Méthode matricielle inverse pour les nuls. matrice inverse

Pour toute matrice non singulière A il existe une unique matrice A -1 telle que

A*A -1 =A -1 *A = E,

où E est la matrice identité des mêmes ordres que A. La matrice A -1 est appelée l'inverse de la matrice A.

Au cas où quelqu'un aurait oublié, dans la matrice identité, à l'exception de la diagonale remplie de uns, toutes les autres positions sont remplies de zéros, un exemple de matrice identité :

Trouver la matrice inverse à l'aide de la méthode de la matrice adjointe

matrice inverse est déterminé par la formule :

où A ij - éléments a ij.

Ceux. Pour calculer la matrice inverse, vous devez calculer le déterminant de cette matrice. Trouvez ensuite les compléments algébriques de tous ses éléments et composez-en une nouvelle matrice. Ensuite, vous devez transporter cette matrice. Et divisez chaque élément de la nouvelle matrice par le déterminant de la matrice d'origine.

Regardons quelques exemples.

Trouver A -1 pour une matrice

Solution : Trouvons A -1 en utilisant la méthode de la matrice adjointe. On a det A = 2. Trouvons les compléments algébriques des éléments de la matrice A. Dans dans ce cas les compléments algébriques des éléments de la matrice seront les éléments correspondants de la matrice elle-même, pris avec un signe conformément à la formule

On a A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. On forme la matrice adjointe

On transporte la matrice A* :

On trouve la matrice inverse à l'aide de la formule :

On a:

En utilisant la méthode de la matrice adjointe, trouvez A -1 si

Solution : Tout d’abord, nous calculons la définition de cette matrice pour vérifier l’existence de la matrice inverse. Nous avons

Ici, nous avons ajouté aux éléments de la deuxième ligne les éléments de la troisième ligne, préalablement multipliés par (-1), puis avons développé le déterminant de la deuxième ligne. Puisque la définition de cette matrice est non nulle, sa matrice inverse existe. Pour construire la matrice adjointe, on trouve les compléments algébriques des éléments de cette matrice. Nous avons

D'après la formule

matrice de transport A* :

Alors selon la formule

Trouver la matrice inverse par la méthode des transformations élémentaires

En plus de la méthode de recherche de la matrice inverse, qui découle de la formule (méthode de la matrice adjointe), il existe une méthode de recherche de la matrice inverse, appelée méthode des transformations élémentaires.

Transformations matricielles élémentaires

Les transformations suivantes sont appelées transformations matricielles élémentaires :

1) réarrangement des lignes (colonnes) ;

2) multiplier une ligne (colonne) par un nombre autre que zéro ;

3) ajouter aux éléments d'une ligne (colonne) les éléments correspondants d'une autre ligne (colonne), préalablement multipliés par un certain nombre.

Pour trouver la matrice A -1, on construit une matrice rectangulaire B = (A|E) d'ordres (n; 2n), en affectant à la matrice A de droite la matrice identité E par une ligne de séparation :

Regardons un exemple.

En utilisant la méthode des transformations élémentaires, trouver A -1 si

Solution On forme la matrice B :

Notons les lignes de la matrice B par α 1, α 2, α 3. Effectuons les transformations suivantes sur les lignes de la matrice B.

Soit une matrice carrée d'ordre n

La matrice A -1 est appelée matrice inverse par rapport à la matrice A, si A*A -1 = E, où E est la matrice identité d'ordre n.

Matrice d'identité- une telle matrice carrée dans laquelle tous les éléments le long de la diagonale principale, passant du coin supérieur gauche au coin inférieur droit, sont des uns, et les autres sont des zéros, par exemple :

matrice inverse peut exister uniquement pour les matrices carrées ceux. pour les matrices dans lesquelles le nombre de lignes et de colonnes coïncide.

Théorème de la condition d'existence d'une matrice inverse

Pour qu’une matrice ait une matrice inverse, il faut et il suffit qu’elle soit non singulière.

La matrice A = (A1, A2,...A n) est appelée non dégénéré, si les vecteurs colonnes sont linéairement indépendants. Le nombre de vecteurs colonnes linéairement indépendants d'une matrice est appelé le rang de la matrice. On peut donc dire que pour qu'une matrice inverse existe, il faut et suffisant que le rang de la matrice soit égal à sa dimension, c'est-à-dire r = n.

Algorithme pour trouver la matrice inverse

1. Écrivez la matrice A dans le tableau pour résoudre les systèmes d'équations à l'aide de la méthode gaussienne et attribuez-lui la matrice E à droite (à la place des membres droits des équations).
2. À l'aide des transformations de Jordan, réduisez la matrice A à une matrice composée de colonnes unitaires ; dans ce cas, il faut transformer simultanément la matrice E.
3. Si nécessaire, réorganisez les lignes (équations) du dernier tableau de manière à ce que sous la matrice A du tableau d'origine vous obteniez la matrice d'identité E.
4. Notez la matrice inverse A -1, qui se trouve dans le dernier tableau sous la matrice E du tableau d'origine.

Exemple 1

Pour la matrice A, trouvez la matrice inverse A -1

Solution : Nous écrivons la matrice A et attribuons à droite la matrice d'identité E. À l'aide des transformations de Jordan, nous réduisons la matrice A à la matrice d'identité E. Les calculs sont donnés dans le tableau 31.1.

Vérifions l'exactitude des calculs en multipliant la matrice originale A et la matrice inverse A -1.

Grâce à la multiplication matricielle, la matrice d'identité a été obtenue. Les calculs ont donc été effectués correctement.

Répondre:

Résolution d'équations matricielles

Les équations matricielles peuvent ressembler à :

AX = B, HA = B, AXB = C,

où A, B, C sont les matrices spécifiées, X est la matrice souhaitée.

Les équations matricielles sont résolues en multipliant l'équation par des matrices inverses.

Par exemple, pour trouver la matrice de l’équation, vous devez multiplier cette équation par la gauche.

Par conséquent, pour trouver une solution à l’équation, vous devez trouver la matrice inverse et la multiplier par la matrice du côté droit de l’équation.

D'autres équations sont résolues de la même manière.

Exemple 2

Résolvez l'équation AX = B si

Solution: Puisque la matrice inverse est égale à (voir exemple 1)

Méthode matricielle en analyse économique

Avec d'autres, ils sont également utilisés méthodes matricielles. Ces méthodes sont basées sur l'algèbre linéaire et vectorielle-matrice. De telles méthodes sont utilisées pour analyser des phénomènes économiques complexes et multidimensionnels. Le plus souvent, ces méthodes sont utilisées lorsqu'il est nécessaire de procéder à une évaluation comparative du fonctionnement des organisations et de leurs divisions structurelles.

Dans le processus d'application des méthodes d'analyse matricielle, plusieurs étapes peuvent être distinguées.

À la première étape un système d'indicateurs économiques est en cours de formation et sur cette base, une matrice de données initiales est compilée, qui est un tableau dans lequel les numéros du système sont affichés dans ses lignes individuelles (je = 1,2,....,n), et en colonnes verticales - nombre d'indicateurs (j = 1,2,....,m).

À la deuxième étape Pour chaque colonne verticale, la plus grande des valeurs d'indicateur disponibles est identifiée, qui est considérée comme une.

Après cela, tous les montants reflétés dans cette colonne sont divisés par valeur la plus élevée et une matrice de coefficients standardisés est formée.

À la troisième étape toutes les composantes de la matrice sont au carré. S'ils ont une signification différente, alors chaque indicateur matriciel se voit attribuer un certain coefficient de pondération k. La valeur de ce dernier est déterminée par avis d'experts.

Sur le dernier, quatrième étape valeurs de notation trouvées Rj sont regroupés par ordre d’augmentation ou de diminution.

Les méthodes matricielles décrites doivent être utilisées, par exemple, lorsque analyse comparative divers projets d'investissement, ainsi que lors de l'évaluation d'autres indicateurs économiques des organisations.

Semblable à l’inverse dans de nombreuses propriétés.

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Les sous-titres

Propriétés d'une matrice inverse

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Où det (\displaystyle \\det ) désigne le déterminant.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) pour deux matrices carrées inversibles UNE (style d'affichage A) Et B (style d'affichage B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Où (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) désigne une matrice transposée.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) pour tout coefficient k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• S'il est nécessaire de résoudre un système d'équations linéaires, (b est un vecteur non nul) où x (style d'affichage x) est le vecteur recherché, et si UNE − 1 (\displaystyle A^(-1)) existe, alors x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Sinon, soit la dimension de l’espace des solutions est supérieure à zéro, soit il n’y a aucune solution.

Méthodes pour trouver la matrice inverse

Si la matrice est inversible, alors pour trouver la matrice inverse, vous pouvez utiliser l'une des méthodes suivantes :

Méthodes exactes (directes)

Méthode Gauss-Jordan

Prenons deux matrices : la UN et célibataire E. Présentons la matrice UNà la matrice d'identité en utilisant la méthode Gauss-Jordan, en appliquant des transformations le long des lignes (vous pouvez également appliquer des transformations le long des colonnes, mais pas entre elles). Après avoir appliqué chaque opération à la première matrice, appliquez la même opération à la seconde. Lorsque la réduction de la première matrice sous forme unitaire est terminée, la deuxième matrice sera égale à A−1.

Lors de l'utilisation de la méthode gaussienne, la première matrice sera multipliée à gauche par une des matrices élémentaires Λ je (\displaystyle \Lambda _(i))(matrice de transvection ou diagonale avec des unités sur la diagonale principale, sauf une position) :

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Flèche droite \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − une 1 m / une m m 0 … 0 … 0 … 1 − une m − 1 m / une m m 0 … 0 0 … 0 1 / une m m 0 … 0 0 … 0 − une m + 1 m / une m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

La deuxième matrice après avoir appliqué toutes les opérations sera égale à Λ ( displaystyle Lambda), c'est-à-dire que ce sera celui souhaité. Complexité de l'algorithme - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Utiliser la matrice du complément algébrique

Matrice inverse de la matrice UNE (style d'affichage A), peut être représenté sous la forme

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Où adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matrice adjointe ;

La complexité de l'algorithme dépend de la complexité de l'algorithme de calcul du déterminant O det et est égale à O(n²)·O det.

Utilisation de la décomposition LU/LUP

Équation matricielle A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) pour la matrice inverse X (style d'affichage X) peut être considéré comme une collection n (style d'affichage n) systèmes de la forme UNE X = b (\ displaystyle Ax = b). Notons je (\style d'affichage i)ème colonne de la matrice X (style d'affichage X)à travers X je (\ displaystyle X_ (i)); Alors UNE X je = e je (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), je = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots,n),parce que le je (\style d'affichage i)ème colonne de la matrice Je n (\ displaystyle I_ (n)) est le vecteur unitaire e je (\ displaystyle e_ (i)). en d’autres termes, trouver la matrice inverse revient à résoudre n équations avec la même matrice et des membres droits différents. Après avoir effectué la décomposition LUP (temps O(n³)), la résolution de chacune des n équations prend un temps O(n²), donc cette partie du travail nécessite également un temps O(n³).

Si la matrice A est non singulière, alors la décomposition LUP peut être calculée pour elle P A = L U (\ displaystyle PA = LU). Laisser P A = B (\ displaystyle PA = B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Alors à partir des propriétés de la matrice inverse on peut écrire : D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Si on multiplie cette égalité par U et L, on obtient deux égalités de la forme UD = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) Et DL = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). La première de ces égalités représente un système de n² équations linéaires Pour n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))à partir duquel les côtés droits sont connus (à partir des propriétés des matrices triangulaires). La seconde représente également un système de n² équations linéaires pour n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))à partir duquel les côtés droits sont connus (également à partir des propriétés des matrices triangulaires). Ensemble, ils représentent un système d’égalités n². En utilisant ces égalités, on peut déterminer récursivement tous les n² éléments de la matrice D. Puis à partir de l'égalité (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. on obtient l'égalité A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

Dans le cas de l'utilisation de la décomposition LU, aucune permutation des colonnes de la matrice D n'est requise, mais la solution peut diverger même si la matrice A est non singulière.

La complexité de l'algorithme est O(n³).

Méthodes itératives

Méthodes Schultz

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\somme _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Estimation de l'erreur

Sélection d'une approximation initiale

Le problème du choix de l'approximation initiale dans les processus itératifs d'inversion matricielle considérés ici ne permet pas de les traiter comme des méthodes universelles indépendantes qui concurrencent les méthodes d'inversion directe basées, par exemple, sur la décomposition LU des matrices. Il y a quelques recommandations pour choisir U 0 (\style d'affichage U_(0)), garantissant le respect de la condition ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (le rayon spectral de la matrice est inférieur à l'unité), ce qui est nécessaire et suffisant pour la convergence du processus. Cependant, dans ce cas, il faut tout d'abord connaître d'en haut l'estimation du spectre de la matrice inversible A ou de la matrice UNE UNE T (\ displaystyle AA ^ (T))(à savoir, si A est une matrice définie positive symétrique et ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), alors tu peux prendre U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Où ; si A est une matrice arbitraire non singulière et ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), alors ils croient U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), où aussi α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Vous pouvez bien sûr simplifier la situation et profiter du fait que ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), mettre U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Deuxièmement, en spécifiant ainsi la matrice initiale, il n'y a aucune garantie que ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) sera petit (peut-être même qu'il s'avérera être ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), et un ordre élevé de taux de convergence ne sera pas révélé immédiatement.

Exemples

Matrice 2x2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)

L'inversion d'une matrice 2x2 n'est possible qu'à condition que a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

La matrice inverse d'une matrice donnée est une telle matrice, multipliant celle d'origine par laquelle donne la matrice identité : Une condition obligatoire et suffisante pour la présence d'une matrice inverse est que le déterminant de la matrice d'origine soit n'est pas égal à zéro (ce qui implique que la matrice doit être carrée). Si le déterminant d'une matrice est égal à zéro, alors il est dit singulier et une telle matrice n'a pas d'inverse. En mathématiques supérieures, les matrices inverses sont importantes et sont utilisées pour résoudre un certain nombre de problèmes. Par exemple, sur trouver la matrice inverse construit méthode matricielle résoudre des systèmes d’équations. Notre site de service permet calculer la matrice inverse en ligne deux méthodes : la méthode de Gauss-Jordan et l'utilisation de la matrice d'additions algébriques. L'interruption implique un grand nombre de transformations élémentaires à l'intérieur de la matrice, la seconde est le calcul des additions déterminantes et algébriques à tous les éléments. Pour calculer le déterminant d'une matrice en ligne, vous pouvez utiliser notre autre service - Calcul du déterminant d'une matrice en ligne

.

Trouver la matrice inverse du site

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Méthodes pour trouver la matrice inverse, . Considérons une matrice carrée

Notons Δ =det A.

La matrice carrée A est appelée non dégénéré, ou pas spécial, si son déterminant est non nul, et dégénérer, ou spécial, SiΔ = 0.

Une matrice carrée B est une matrice carrée A du même ordre si leur produit est A B = B A = E, où E est la matrice identité du même ordre que les matrices A et B.

Théorème . Pour que la matrice A ait une matrice inverse, il faut et il suffit que son déterminant soit différent de zéro.

La matrice inverse de la matrice A, notée A- 1, donc B = A - 1 et est calculé par la formule

, (1)

où A i j sont des compléments algébriques des éléments a i j de la matrice A..

Le calcul de A -1 à l'aide de la formule (1) pour les matrices d'ordre élevé demande beaucoup de travail, donc en pratique, il est pratique de trouver A -1 en utilisant la méthode des transformations élémentaires (ET). Toute matrice non singulière A peut être réduite à la matrice identité E en appliquant uniquement les colonnes (ou uniquement les lignes) à la matrice identité. Si les transformations parfaites sur la matrice A sont appliquées dans le même ordre à la matrice identité E, le résultat sera une matrice inverse. Il est pratique d’effectuer simultanément EP sur les matrices A et E, en écrivant les deux matrices côte à côte sur une ligne. Notons encore une fois que lors de la recherche de la forme canonique d'une matrice, pour la retrouver, on peut utiliser des transformations de lignes et de colonnes. Si vous avez besoin de trouver l'inverse d'une matrice, vous devez utiliser uniquement des lignes ou uniquement des colonnes pendant le processus de transformation.

Exemple 2.10. Pour matrice trouver A -1 .

Solution.On trouve d’abord le déterminant de la matrice A
Cela signifie que la matrice inverse existe et on peut la trouver en utilisant la formule : , où A i j (i,j=1,2,3) sont des additions algébriques d'éléments a i j de la matrice d'origine.

Où .

Exemple 2.11. En utilisant la méthode des transformations élémentaires, trouvez A -1 pour la matrice : A = .

Solution.On affecte à la matrice originale de droite une matrice identité du même ordre : . A l'aide de transformations élémentaires des colonnes, nous réduirons la « moitié » gauche à celle identité, en effectuant simultanément exactement les mêmes transformations sur la matrice droite.
Pour ce faire, échangez la première et la deuxième colonne : ~ . À la troisième colonne, nous ajoutons la première, et à la seconde - la première, multipliée par -2 : . De la première colonne, nous soustrayons la deuxième doublée et de la troisième - la deuxième multipliée par 6 ; . Ajoutons la troisième colonne à la première et à la deuxième : . Multipliez la dernière colonne par -1 : . La matrice carrée obtenue à droite de la barre verticale est la matrice inverse de la matrice donnée A. Ainsi,
.