U pravilnom trouglu svi uglovi su jednaki. Pravilan trougao

U školskom kursu geometrije, ogromna količina vremena posvećena je proučavanju trouglova. Učenici izračunavaju uglove, konstruišu simetrale i visine, otkrivaju po čemu se oblici razlikuju jedan od drugog i najlakši način da pronađu njihovu površinu i perimetar. Čini se da to neće biti korisno u životu, ali ponekad je ipak korisno naučiti, na primjer, kako odrediti je li trokut jednakostraničan ili tupokut. Kako to učiniti?

Vrste trouglova

Tri tačke koje ne leže na istoj pravoj i segmenti koji ih povezuju. Čini se da je ova brojka najjednostavnija. Kakvi trouglovi mogu biti ako imaju samo tri stranice? Zapravo postoji dosta opcija. veliki broj, a neki od njih su dati Posebna pažnja kao deo školskog kursa geometrije. Pravilan trougao je jednakostraničan, odnosno svi uglovi i stranice su mu jednaki. Ima niz izvanrednih svojstava, o kojima će se dalje govoriti.

Jednakokraka ima samo dvije jednake strane, i također je prilično zanimljiva. U pravougaonom, kao što možete pretpostaviti, jedan od uglova je ravan ili tup. Štaviše, mogu biti i jednakokračne.

Postoji i jedan poseban koji se zove Egipatski. Njegove strane su 3, 4 i 5 jedinica. Štaviše, pravougaona je. Vjeruje se da su ga aktivno koristili egipatski geodeti i arhitekte za izgradnju pravih uglova. Vjeruje se da su uz njegovu pomoć izgrađene čuvene piramide.

Pa ipak, svi vrhovi trougla mogu ležati na istoj pravoj liniji. U ovom slučaju će se zvati degenerisanim, dok će se svi ostali zvati nedegenerisanim. Oni su jedan od predmeta izučavanja geometrije.

Jednakostranični trougao

Naravno, tačne brojke uvijek izazivaju najveće interesovanje. Djeluju savršenije, gracioznije. Formule za izračunavanje njihovih karakteristika često su jednostavnije i kraće nego za obične figure. Ovo se odnosi i na trouglove. Nije iznenađujuće da im se pri proučavanju geometrije posvećuje dosta pažnje: školarci se uče da razlikuju ispravne figure od ostalih, a govore im i o nekim njihovim zanimljivim karakteristikama.

Znakovi i svojstva

Kao što možete pretpostaviti iz imena, svaka strana jednakostraničnog trougla jednaka je ostalim dvjema. Osim toga, ima niz karakteristika koje vam pomažu da utvrdite je li cifra ispravna ili ne.

Ako se primijeti barem jedan od gore navedenih znakova, onda je trokut jednakostraničan. Za prava figura Sve gore navedene izjave su tačne.

Svi trouglovi imaju niz izvanrednih svojstava. prvo, srednja linija, odnosno segment koji dijeli dvije strane na pola i paralelan s trećom, jednak je polovini baze. Drugo, zbir svih uglova ove figure je uvek jednak 180 stepeni. Osim toga, postoji još jedan zanimljiv odnos u trouglovima. Dakle, nasuprot veće strane leži veći ugao i obrnuto. Ali to, naravno, nema nikakve veze sa jednakostraničnim trouglom, jer su svi njegovi uglovi jednaki.

Upisane i opisane kružnice

Često na kursu geometrije, studenti takođe uče kako oblici mogu međusobno da komuniciraju. Posebno se proučavaju krugovi upisani u poligone ili opisani oko njih. O čemu se radi?

Upisana kružnica je kružnica kojoj su sve strane poligona tangente. Opisana - ona koja ima dodirne tačke sa svim uglovima. Za svaki trougao uvijek možete konstruirati i prvi i drugi krug, ali samo jedan od svake vrste. Dokazi za ovo dvoje

teoreme se daju u školskom kursu geometrije.

Osim izračunavanja parametara samih trouglova, neki problemi uključuju i izračunavanje polumjera ovih kružnica. I formule za
jednakostranični trokut izgleda ovako:

gdje je r poluprečnik upisane kružnice, R poluprečnik opisane kružnice, a dužina stranice trougla.

Proračun visine, perimetra i površine

Osnovni parametri koje školarci izračunavaju dok proučavaju geometriju ostaju nepromijenjeni za gotovo svaku figuru. To su obim, površina i visina. Da bismo pojednostavili proračune, postoje različite formule.

Dakle, perimetar, odnosno dužina svih strana, izračunava se na sljedeće načine:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, gde je a stranica jednakostraničnog trougla, R je poluprečnik opisane kružnice, r je upisana kružnica.

h = (√ ̅3/2)*a, gdje je a dužina stranice.

Konačno, formula je izvedena iz standardne, odnosno umnožaka polovine baze i njene visine.

S = (√ ̅3/4)*a 2, gdje je a dužina stranice.

Ova vrijednost se također može izračunati kroz parametre opisane ili upisane kružnice. Za to postoje i posebne formule:

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2, gdje su r i R polumjeri upisanog i opisanog kruga, respektivno.

Izgradnja

Još jedna zanimljiva vrsta problema, uključujući trouglove, uključuje potrebu za crtanjem određene figure koristeći minimalni skup

alati: šestar i ravnalo bez podjela.

Da biste konstruirali pravilan trokut koristeći samo ove uređaje, potrebno je slijediti nekoliko koraka.

1. Morate nacrtati krug bilo kojeg radijusa i sa centrom u proizvoljnoj tački A. Mora biti označen.
2. Zatim morate povući pravu liniju kroz ovu tačku.
3. Presjeci kružnice i prave linije moraju biti označeni kao B i C. Sve konstrukcije moraju biti izvedene sa najvećom mogućom preciznošću.
4. Zatim morate izgraditi još jedan krug s istim polumjerom i centrom u tački C ili luk s odgovarajućim parametrima. Tačke raskrsnice će biti označene D i F.
5. Tačke B, F, D moraju biti povezane segmentima. Konstruiran je jednakostranični trokut.

Rješavanje ovakvih problema obično je problem za školarce, ali ova vještina može biti korisna u svakodnevnom životu.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi, u skladu sa zakonom, sudski postupak, V suđenje, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva vladinih agencija u Ruskoj Federaciji - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Definicija 7. Svaki trougao čije su dvije stranice jednake naziva se jednakokraki.
Dvije jednake strane nazivaju se bočne, a treća baza.
Definicija 8. Ako su sve tri strane trougla jednake, onda se trokut naziva jednakostraničan.
To je posebna vrsta jednakokračnog trougla.
Teorema 18. Visina jednakokračnog trokuta, spuštenog na osnovu, istovremeno je i simetrala ugla između jednakih stranica, medijane i ose simetrije osnove.
Dokaz. Spustimo visinu na osnovu jednakokračnog trougla. Podijelit će ga na dva jednaka (duž kraka i hipotenuze) pravokutna trougla. Uglovi A i C su jednaki, a visina također dijeli bazu na pola i bit će osa simetrije cijele figure koja se razmatra.
Ova teorema se također može formulirati na sljedeći način:
Teorema 18.1. Medijan jednakokračnog trougla, spušten na osnovu, je ujedno i simetrala ugla između jednakih stranica, visine i ose simetrije osnove.
Teorema 18.2. Simetrala jednakokračnog trougla, spuštena na osnovu, istovremeno je visina, medijan i osa simetrije osnove.
Teorema 18.3. Osa simetrije jednakokračnog trougla je istovremeno i simetrala ugla između jednakih stranica, medijane i visine.
Dokaz ovih posljedica također slijedi iz jednakosti trouglova na koje je podijeljen jednakokraki trokut.

Teorema 19. Uglovi u osnovi jednakokračnog trougla su jednaki.
Dokaz. Spustimo visinu na osnovu jednakokračnog trougla. Podijelit će ga na dva jednaka (duž kraka i hipotenuze) pravokutna trougla, što znači da su odgovarajući uglovi jednaki, tj. ∠ A=∠ C
Kriterijumi za jednakokraki trougao dolaze iz teoreme 1 i njenih posljedica i teoreme 2.
Teorema 20. Ako se dvije od navedene četiri prave (visina, medijana, simetrala, osa simetrije) poklapaju, tada će trokut biti jednakokračan (što znači da će se sve četiri prave poklopiti).
Teorema 21. Ako su bilo koja dva ugla trokuta jednaka, onda je on jednakokraki.

dokaz: Slično dokazu direktne teoreme, ali koristeći drugi kriterij jednakosti trokuta. Težište, centri opisane kružnice i upisane kružnice i tačka preseka visina jednakokračnog trougla leže na njegovoj osi simetrije, tj. na visokom.
Jednakostranični trougao je jednakokraki za svaki par njegovih stranica. Zbog jednakosti svih njegovih stranica, sva tri ugla takvog trougla su jednaka. S obzirom da je zbir uglova bilo kojeg trougla jednak dvama pravim uglovima, vidimo da je svaki od uglova jednakostraničnog trougla jednak 60°. Obrnuto, da bi se osiguralo da su sve strane trougla jednake, dovoljno je provjeriti da su dva od tri ugla trokuta jednaka 60°.
Teorema 22 . U jednakostraničnom trouglu, sve značajne tačke se poklapaju: centar gravitacije, centri upisanih i opisanih kružnica, tačka preseka visina (koja se naziva ortocentar trougla).
Teorema 23 . Ako se dvije od navedene četiri tačke poklapaju, tada će trokut biti jednakostraničan i, kao posljedica toga, sve četiri imenovane tačke će se poklopiti.
Zaista, takav trokut će ispasti, prema prethodnom, jednakokračan u odnosu na bilo koji par strana, tj. equilateral. Jednakostranični trougao se naziva i pravilan trougao. Površina jednakokračnog trokuta jednaka je polovini umnoška kvadrata bočne stranice i sinusa ugla između stranica
Razmotrite ovu formulu za jednakostranični trokut, tada će alfa kut biti jednak 60 stepeni. Tada će se formula promijeniti u ovu:

Teorema d1 . U jednakokračnom trouglu, medijane povučene na stranice su jednake.

dokaz: Neka je ABC jednakokraki trougao (AC = BC), AK i BL njegove medijane. Tada su trouglovi AKB i ALB jednaki prema drugom kriterijumu jednakosti trouglova. Imaju zajedničku stranicu AB, stranice AL i BK jednake su kao polovice bočnih stranica jednakokračnog trougla, a uglovi LAB i KBA jednaki su uglovima osnove jednakokračnog trougla. Kako su trokuti podudarni, njihove stranice AK i LB su jednake. Ali AK i LB su medijane jednakokračnog trougla povučene na njegove bočne strane.
Teorema d2 . U jednakokračnom trouglu simetrale povučene na bočne stranice su jednake.

dokaz: Neka je ABC jednakokraki trougao (AC = BC), AK i BL njegove simetrale. Trouglovi AKB i ALB su jednaki prema drugom kriterijumu jednakosti trouglova. Imaju zajedničku stranicu AB, uglovi LAB i KBA jednaki su uglovima osnove jednakokračnog trougla, a uglovi LBA i KAB jednaki su polovini uglova osnove jednakokračnog trougla. Kako su trouglovi podudarni, njihove stranice AK i LB - simetrale trougla ABC - su podudarne. Teorema je dokazana.
Teorema d3 . U jednakokračnom trouglu visine spuštene na stranice su jednake.

dokaz: Neka je ABC jednakokraki trougao (AC = BC), a AK i BL njegove visine. Tada su uglovi ABL i KAB jednaki, jer su uglovi ALB i AKB pravi, a uglovi LAB i ABK jednaki uglovima osnove jednakokrakog trougla. Prema tome, trouglovi ALB i AKB su jednaki prema drugom kriteriju jednakosti trokuta: imaju zajedničku stranicu AB, uglovi KAB i LBA su jednaki prema gore navedenom, a uglovi LAB i KBA jednaki su uglovima osnove jednakokraki trougao. Ako su trouglovi podudarni, podudarne su i njihove stranice AK i BL. Q.E.D.

Video kurs “Dobijte A” uključuje sve teme neophodne za uspjeh polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike za 60-65 bodova. U potpunosti svi zadaci 1-13 profilnog Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, prvi dio morate riješiti za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.

Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Šaljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Jasna objašnjenja složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.