Koeficijent b u linearnoj funkciji. Linearna funkcija

U 7. razredu smo učili funkcije y = C, y = kx, y = kx + m, y = x 2 i na kraju došao do zaključka da je jednadžba s dvije varijable oblika y = f(x) (funkcija) matematički model pogodan za izračunavanje odgovarajuće vrijednosti nezavisne varijable x (argumenta), dajući određenu vrijednost

odgovarajuću vrijednost zavisne varijable y. Na primjer, ako je data funkcija y = x 2, tj. f(x) = x 2, tada za x = 1 dobijamo y = 1 2 = 1; Ukratko, piše se ovako: f(1) = 1. Za x = 2 dobijamo f(2) = 2 2 = 4, tj. y = 4; za x = - 3 dobijamo f(- 3) = (- 3) 2 = 9, tj. y = 9, itd.

Već u 7. razredu smo ti i ja počeli shvaćati da je u jednakosti y = f(x) desni deo, tj. izraz f(x) nije ograničen na četiri gore navedena slučaja (C, kx, kx + m, x 2).
Na primjer, već smo se susreli s funkcijama po komadima, odnosno funkcijama definiranim različitim formulama u različitim intervalima. Evo jedne takve funkcije:

y = f(x), gdje je

Sjećate li se kako grafički prikazati takve funkcije? Prvo morate konstruirati parabolu y = x 2 i uzeti njen dio u x< 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х >0 (slika 2). I na kraju, potrebno je spojiti oba odabrana dijela u jedan crtež, odnosno izgraditi jedan koordinatna ravan(vidi sliku 3).

Sada je naš zadatak sljedeći: dopuniti zalihu proučavanih funkcija. IN pravi zivot postoje procesi opisani različitim matematički modeli oblika y = f(x), ne samo one koje smo gore naveli. U ovom dijelu ćemo razmotriti funkciju y = kx 2, gdje je koeficijent k bilo koji broj različit od nule.

Zapravo, funkcija y = kx 2 u jednom slučaju vam je malo poznata. Pogledajte: ako je k = 1, onda dobijamo y = x 2; Učili ste ovu funkciju u 7. razredu i vjerovatno se sećate da je njen graf parabola (slika 1). Hajde da razgovaramo o tome šta se dešava pri drugim vrednostima koeficijenta k.
Razmotrimo dvije funkcije: y = 2x 2 i y = 0,5x 2. Napravimo tablicu vrijednosti za prvu funkciju y = 2x 2:

Konstruirajmo tačke (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5) na koordinatnoj ravni (slika 4); oni ocrtavaju određenu liniju, hajde da je nacrtamo

(Sl. 5).
Napravimo tablicu vrijednosti za drugu funkciju y = 0,5x 2:

Konstruirajmo tačke (0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), C; 4.5), (-3; 4.5) na koordinatnoj ravni (sl. 6); ocrtavaju određenu liniju, nacrtajmo je (slika 7)

.

Tačke prikazane na sl. 4 i 6 se ponekad nazivaju kontrolnim tačkama za graf odgovarajuće funkcije.

Uporedite slike 1, 5 i 7. Nije li tačno da su nacrtane linije slične? Svaka od njih se naziva parabola; u ovom slučaju, tačka (0; 0) se naziva vrh parabole, a y-osa je os simetrije parabole. „Brzina kretanja prema gore“ grana parabole zavisi od vrednosti koeficijenta k, ili, kako još kažu,
"stepen strmine" parabole. Ovo je jasno vidljivo na sl. 8, gdje se sve tri gore konstruirane parabole nalaze na istoj koordinatnoj ravni.

Situacija je potpuno ista sa bilo kojom drugom funkcijom oblika y = kx 2, gdje je k > 0. Njen graf je parabola sa vrhom u početku, grane parabole su usmjerene prema gore, a što je strmije to je viša koeficijent k. Y-osa je osa simetrije parabole. Inače, radi sažetosti, matematičari često govore „parabola y = kx 2“ umjesto dugačke fraze „parabola koja služi kao graf funkcije y = kx 2“, a umjesto izraza „os simetrije parabola” koriste izraz “os parabole”.

Da li primjećujete da postoji analogija s funkcijom y = kx? Ako je k > 0, onda je grafik funkcije y = kx prava linija koja prolazi kroz ishodište koordinata (zapamtite, ukratko smo rekli: prava linija y = kx), a i ovdje je "stepen strmine" prava linija zavisi od vrednosti koeficijenta k. Ovo je jasno vidljivo na
pirinač. 9, gdje su grafovi linearnih funkcija y = kx prikazani u jednom koordinatnom sistemu za tri vrijednosti koeficijenta

Vratimo se na funkciju y = kx 2. Hajde da saznamo kako stvari stoje u slučaju negativnog koeficijenta ft. Napravimo, na primjer, graf funkcije

y = - x 2 (ovdje k ​​= - 1). Kreirajmo tablicu vrijednosti:

Označite bodove (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9) na koordinatnoj ravni (sl. 10); ocrtavaju određenu liniju, nacrtajmo je (slika 11). Ovo je parabola sa svojim vrhom u tački (0; 0), y-osa je osa simetrije, ali za razliku od slučaja kada je k > 0, ovoga puta grane parabole su usmerene naniže. Slična je situacija i sa ostalima negativne vrijednosti koeficijent k.

Dakle, graf funkcije je parabola sa svojim vrhom u početku; y-osa je osa parabole; grane parabole su usmjerene prema gore na k>0 u prema dolje u k<0.

Napomenimo i da parabola y = kx 2 dodiruje x osu u tački (0; 0), odnosno da jedna grana parabole glatko prelazi u drugu, kao da pritiska x osu.
Ako nacrtate grafove funkcija y = x2 i y = - x2 u istom koordinatnom sistemu, onda je lako uočiti da su ove parabole simetrične jedna prema drugoj u odnosu na x os, što je jasno vidljivo na Sl. 12. Na isti način, parabole y = 2x 2 i y = - 2x 2 su simetrične jedna prema drugoj u odnosu na os x (ne budi lijen, napravi ove
dvije parabole u istom koordinatnom sistemu i uvjerite se da je tvrdnja tačna).

Općenito, graf funkcije y = - f(x) je simetričan grafu funkcije y = f(x) u odnosu na apscisu.

Svojstva funkcije y = kx 2 za k > 0

Opisujući svojstva ove funkcije, oslonićemo se na njen geometrijski model - parabolu (slika 13).

1. Budući da se za bilo koju vrijednost x odgovarajuća vrijednost y može izračunati korištenjem formule y = kx 2, funkcija je definirana u bilo kojoj tački x (za bilo koju vrijednost argumenta x). Ukratko, piše se ovako: domen definicije funkcije je (-oo, +oo), odnosno cijela koordinatna linija.

2. y = 0 na x = 0; y > O na . To se može vidjeti i iz grafa funkcije (u cijelosti se nalazi iznad x-ose), ali se može opravdati bez pomoći grafa: ako

Tada je kx 2 > O kao proizvod dva pozitivna broja k i x 2 .

3. y = kx 2 je kontinuirana funkcija. Podsjetimo da za sada ovaj pojam smatramo sinonimom za rečenicu „grafikon funkcije je puna linija koja se može povući bez podizanja olovke s papira“. U višim razredima će se dati preciznija matematička interpretacija koncepta kontinuiteta funkcije, ne oslanjajući se na geometrijsku ilustraciju.

4.y/ naim = 0 (postignuto na x = 0); nai6 ne postoji.

Podsjetimo se da (/max je najmanja vrijednost funkcije, a Unaib. je najveća vrijednost funkcije u datom intervalu; ako interval nije specificiran, tada su unaim- i y max., respektivno, najmanji i najveća vrijednost funkcije u domenu definicije.

5. Funkcija y = kx 2 raste kao x > O i opada kao x< 0.

Podsjetimo, u predmetu algebre 7. razreda dogovorili smo se da nazovemo funkciju čiji graf na intervalu koji se razmatra ide s lijeva na desno kao da se "uzbrdo" povećava, a funkciju čiji graf na intervalu koji se razmatra ide slijeva na desno desno kao "nizbrdo", - opadajući. Preciznije, možemo reći ovo: kaže se da funkcija y = f (x) raste na intervalu X ako na tom intervalu odgovara veća vrijednost argumenta
veća vrijednost funkcije; za funkciju y = f (x) se kaže da je opadajuća na intervalu X ako na tom intervalu veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

U udžbeniku Algebra 7 nazvali smo proces navođenja svojstava funkcije koja čita graf. Proces čitanja grafa postupno će postati bogatiji i zanimljiviji kako učimo nova svojstva funkcija. Razgovarali smo o pet gore navedenih svojstava u 7. razredu za funkcije koje smo tamo proučavali. Dodajmo jednu novu nekretninu.

Funkcija y = f(x) naziva se ograničenom ispod ako su sve vrijednosti funkcije veće od određenog broja. Geometrijski, to znači da se graf funkcije nalazi iznad određene prave linije paralelne sa x-osi.

Sada pogledajte: grafik funkcije y = kx 2 nalazi se iznad prave linije y = - 1 (ili y = - 2, nije važno) - prikazan je na sl. 13. Dakle, y - kx2 (k > 0) je funkcija ograničena odozdo.

Uz funkcije ograničene odozdo, razmatraju se i funkcije ograničene odozgo. Za funkciju y - f(x) se kaže da je ograničena odozgo ako su sve vrijednosti funkcije manje od određenog broja. Geometrijski, to znači da se graf funkcije nalazi ispod neke prave linije paralelne sa x-osi.
Postoji li takva prava za parabolu y = kx 2, gdje je k > 0? br. To znači da funkcija nije gornje ograničena.

Dakle, dobili smo još jednu nekretninu, dodajmo je na pet gore navedenih.

6. Funkcija y = kx 2 (k > 0) je ograničena odozdo, a ne odozgo.

Svojstva funkcije y = kx 2 za k< 0

Kada opisujemo svojstva ove funkcije, oslanjamo se na njen geometrijski model - parabolu (slika 14).

1. Područje definicije funkcije je (—oo, +oo).

2. y = 0 na x = 0; at< 0 при .

Z.u = kx 2 je kontinuirana funkcija.
4. y nai6 = 0 (postignuto na x = 0), unaim ne postoji.

5. Funkcija raste kao x< 0, убывает при х > 0.

6. Funkcija je ograničena odozgo, a ne odozdo.

Objasnimo posljednju osobinu: postoji prava paralelna sa x osom (na primjer, y = 1, nacrtana je na slici 14), takva da cijela parabola leži ispod ove prave; to znači da je funkcija ograničena iznad. S druge strane, nemoguće je povući tako pravu liniju paralelno sa osom x, tako da se cijela parabola nalazi iznad ove prave linije; to znači da funkcija nije ograničena ispod.

Redoslijed poteza korišten iznad prilikom navođenja svojstava funkcije nije zakon, sve dok se hronološki razvija na ovaj način.

Više-manje određen redosled poteza ćemo razvijati postepeno i ujednačavati ga u kursu algebre 9. razreda.

Primjer 1. Nađite najmanju i najveću vrijednost funkcije y = 2x 2 na segmentu: a) ; b) [- 2, - 1]; c) [- 1, 1.5].

Rješenje.
a) Napravimo grafik funkcije y = 2x2 i označimo njen dio na segmentu (slika 15). Napominjemo da 1/ime. = 0 (postignuto pri x = 0), i y max = 8 (postignuto pri x = 2).

b) Napravimo grafik funkcije y = 2x2 i istaknemo njen dio na segmentu [- 2, - 1] (slika 16). Napominjemo da je 2/max = 2 (postignuto pri x = - 1), a y max = 8 (postignuto pri x = - 2).

c) Napravimo grafik funkcije y = 2x2 i istaknemo njen dio na segmentu [- 1, 1.5] (Sl. 17). Napominjemo da je unanm = 0 (postignuto u x = 0), a y se najviše postiže u tački x = 1,5; Izračunajmo ovu vrijednost: (1,5) = 2-1,5 2 = 2-2,25 = 4,5. Dakle, y max =4,5.

Primjer 2. Riješite jednačinu - x 2 = 2x - 3.

Rješenje. U udžbeniku “Algebra-7” razvili smo algoritam za grafičko rješavanje jednačina, podsjetimo ga.

Da biste grafički riješili jednačinu f(x) = g (x), trebate:

1) razmotriti dvije funkcije y = -x 2 i y = 2x -3;
2) konstruisati grafik funkcije i/ = / (x);
3) konstruisati grafik funkcije y = g (x);
4) naći presečne tačke konstruisanih grafova; apscis-
Sistem ovih tačaka su koreni jednačine f(x) = g (x).
Primijenimo ovaj algoritam na datu jednačinu.
1) Razmotrimo dvije funkcije: y = - x2 i y = 2x - 3.
2) Konstruirajmo parabolu - grafik funkcije y = - x 2 (slika 18).

3) Napravimo grafik funkcije y = 2x - 3. Ovo je prava linija, da bismo je izgradili, dovoljno je pronaći bilo koje dvije tačke na grafu. Ako je x = 0, onda je y = - 3; ako je x = 1,

onda je y = -1. Dakle, našli smo dvije tačke (0; -3) i (1; -1). Prava linija koja prolazi kroz ove dvije tačke (grafikon funkcije y = 2x - 3) prikazana je na istoj

crtež (vidi sliku 18).

4) Prema crtežu nalazimo da se prava i parabola seku u dve tačke A(1; -1) i B(-3; -9). To znači da ova jednadžba ima dva korijena: 1 i - 3 - to su apscise tačaka A i B.

Odgovor: 1,-3.

Komentar. Naravno, ne možete slijepo vjerovati grafičkim ilustracijama. Možda nam se samo čini da tačka A ima koordinate (1; - 1) i dalje
Da li se, na primjer, zapravo razlikuju (0,98; - 1,01)?

Stoga je uvijek korisno provjeriti se. Dakle, u razmatranom primjeru morate biti sigurni da tačka A(1; -1) pripada paraboli y = - x 2 (ovo je lako - samo zamijenite koordinate tačke A u formulu y = - x 2 ; dobijamo - 1 = - 1 2 - tačnu numeričku jednakost) i pravu liniju y = 2x - 3 (a to je lako - samo zamenite koordinate tačke A u formulu y = 2x - 3; dobijamo - 1 = 2-3 - tačna brojčana jednakost). Isto se mora uraditi za
tačke 8. Ova provjera pokazuje da su u razmatranoj jednačini grafička opažanja dovela do ispravnog rezultata.

Primjer 3. Riješiti sistem jednačina

Rješenje. Transformirajmo prvu jednačinu sistema u oblik y = - x 2. Grafikon ove funkcije je parabola prikazana na sl. 18.
Pretvorimo drugu jednačinu sistema u oblik y = 2x - 3. Grafikon ove funkcije je prava linija prikazana na Sl. 18.

Parabola i prava se seku u tačkama A (1; -1) i B (- 3; - 9). Koordinate ovih tačaka služe kao rješenja za dati sistem jednačina.

Odgovor: (1; -1), (-3; -9).

Primjer 4. Zadana je funkcija y - f (x), gdje je

Obavezno:

a) izračunati f(-4), f(-2), f(0), f(1.5), f(2), f(3);

b) konstruisati graf funkcije;

c) koristiti graf za popis svojstava funkcije.

rješenje,

a) Vrijednost x = - 4 zadovoljava uslov - dakle, f(-4) se mora izračunati koristeći prvi red definicije funkcije. Imamo f(x) = - 0,5x2, što znači
f(-4) = -0,5 . (-4) 2 = -8.
Slično nalazimo:

f(-2) = -0,5 . (-2) 2 =-2;
f(0) = -0,5 . 0 2 = 0.

Vrijednost zadovoljava uvjet, tako da se mora izračunati korištenjem drugog reda specifikacije funkcije. Imamo f(x) = x + 1, što znači

Vrijednost x = 1,5 zadovoljava uslov 1< х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х 2 , значит,
f(1,5) = 2-1,5 2 = 4,5.
Slično dobijamo
f(2)= 2 . 2 2 =8.
Vrijednost x = 3 ne zadovoljava nijedan od tri uslova za specificiranje funkcije, te stoga f(3) u u ovom slučaju ne može se izračunati, tačka x = 3 ne pripada domenu definicije funkcije. Zadatak izračunavanja f(3) je netačan.

b) Grafikon ćemo izgraditi “dio po dio”. Prvo, konstruirajmo parabolu y = -0,5x 2 i odaberimo njen dio na segmentu [-4, 0] (slika 19). Zatim konstruišemo pravu liniju y = x + 1 u. Odaberimo njen dio na poluintervalu (0, 1] (slika 20). Zatim ćemo konstruirati parabolu y = 2x2 i odabrati njen dio na poluintervalu

(1, 2] (Sl. 21).

Na kraju ćemo prikazati sva tri „komada” u jednom koordinatnom sistemu; dobijamo grafik funkcije y = f(x) (slika 22).

c) Hajde da navedemo svojstva funkcije ili, kako smo se dogovorili, pročitajmo graf.

1. Područje definicije funkcije je segment [—4, 2].

2. y = 0 na x = 0; y > 0 na 0<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.

3. Funkcija prolazi kroz diskontinuitet na x = 0.

4. Funkcija raste na segmentu [-4, 2].

5. Funkcija je ograničena i odozdo i odozgo.

6. y max = -8 (postignuto na x = -4); y most6 . = 8 (postignuto pri x = 2).

Primjer 5. Zadana je funkcija y = f(x), gdje je f(x) = 3x 2. Pronađite:

f(1), f(- 2), f(a), f(2a), f(a + 1), f(-h), f(Zh), f(x - 1),
f(x + a), f(x) + 5, f(x) + b, f(x + a) + b, f(x 2), f(2x 3).

Rješenje. Pošto je f (x) = 3x 2, konzistentno dobijamo:

f(1) =3 .1 2 = 3;
f(a) = Za 2;
f(a+1) = 3(a + 1) 2 ;
f(3x) = 3.(3x) 2 = 27x 2 ;
f(x + a) = 3(x + a) 2 ;

f(x 2) +b = 3x 2 +b
f(x 2) = 3 . (x 2) 2

F(- 2) = Z . (-2) 2 = 12
f(2a) =Z . (2a) 2 =12a 2

F(x) =Z . (-x) 2 =3x 2

F(-x)+ 5 =3x 2 +5
f(x + a) + b = 3 (x + a) 2 + b;
f(2x 3) = 3 . (2x3)2

Ova video lekcija za kurs matematike će vas upoznati sa svojstvima funkcije y = k/x, pod uslovom da je vrednost k negativna.
U našim prethodnim video lekcijama upoznali ste se sa funkcijom y jednako k podijeljeno sa x, njenim grafom koji se naziva "hiperbola", kao i sa svojstvima grafa za pozitivnu vrijednost k. Ovaj video će vas upoznati sa svojstvima koeficijenta k kada je njegova vrijednost negativna, odnosno manja od nule.

Svojstva jednakosti, u kojoj je y jednako koeficijentu k podijeljenom nezavisnom varijablom x, pod uvjetom da je koeficijent negativan, prikazana su u videu.
Kada se opisuju svojstva ove funkcije, prije svega se oslanjaju na njen geometrijski model - hiperbolu.

Svojstvo 1. Domen funkcije se sastoji od svih brojeva, ali iz toga slijedi da x ne može biti jednako 0, jer se ne može dijeliti sa nulom.
Svojstvo 2. y je veći od nule pod uslovom da je x manji od nule; i, shodno tome, naprotiv, y je manje od nule na vrijednosti kada je x u opsegu većem od nule i do beskonačnosti.
Svojstvo 3. Funkcija raste na intervalima od minus beskonačnosti do nule i od nule do plus beskonačnosti: (-∞, 0) i (0, +∞).
Svojstvo 4. Funkcija je beskonačna, jer nema ograničenja ni odozdo ni odozgo.
Svojstvo 5. Funkcija nema ni najmanju ni najveću vrijednost, jer je beskonačna.
Svojstvo 6. Funkcija je kontinuirana na intervalima od minus beskonačnosti do nule (-∞, 0) i od nule do beskonačnosti (0, +∞), a treba napomenuti da je podvrgnuta diskontinuitetu u slučaju kada x ima vrijednost nula.
Svojstvo 7. Opseg funkcija je unija dva otvorena zraka od minus beskonačnosti do nule (-∞, 0) i od nule do plus beskonačnosti (0, +∞).

Sljedeći video daje primjere. Pogledat ćemo samo neke od njih, a ostale preporučujemo da pogledate sami u priloženim video zapisima.
Dakle, pogledajmo prvi primjer. Potrebno je riješiti sljedeću jednačinu: 4/x = 5-x.
Radi veće pogodnosti, rješenje ove jednakosti dijelimo u nekoliko faza:
1) Prvo zapisujemo našu jednakost u obliku dvije odvojene jednadžbe: y = 4/x i y = 5-x/
2) Zatim, kao što je prikazano u videu, crtamo funkciju y = 4/x, što je hiperbola.
3) Zatim gradimo graf linearne funkcije. U ovom slučaju, to je prava linija koja se može konstruirati iz dvije tačke. Grafikoni su predstavljeni u našem video materijalu.
4) Na osnovu samog crteža određujemo tačke u kojima se seku oba naša grafika, i hiperbola i prava linija. Treba napomenuti da se oni seku u tačkama A (1; 4) i B (4; 1). Provjera dobijenih rezultata pokazuje da su oni tačni. Ova jednadžba može imati dva korijena 1 i 4.

Sljedeći primjer, o kojem se raspravlja u video lekciji, ima sljedeći zadatak: izgraditi i pročitati graf funkcije y = f(x), gdje je f(x) = -x2, ako je varijabla x u rasponu od većeg od ili jednako -2 i veće od ili je jednako 1, i y = -1/x, ako je x veće od jedan.
Rješenje se provodi u nekoliko faza. Prvo gradimo graf funkcije y = -x2, koja se zove “parabola”, i biramo njen dio u području od - 2 do 1. Da biste pogledali graf, pogledajte video.

Sljedeći korak je konstruiranje hiperbole za jednakost y = -1/x i odabir njenog dijela na otvorenom zraku od jedan do beskonačnosti. Zatim pomeramo oba grafa u istom koordinatnom sistemu. Kao rezultat, dobijamo graf funkcije y = f(x).
Zatim biste trebali pročitati graf funkcije y = f(x):
1. Područje definicije funkcije je zraka u području od -2 do +∞.
2. y je nula u slučaju kada je x jednako nuli; y je manji od nule kada je x veći ili jednak -2 i manji od nule, kao i kada je x veći od nule.
3. Funkcija raste u području od -2 do 0 iu području od 1 do beskonačnosti, grafik pokazuje smanjenje površine od nule do jedan.
4. Funkcija sa datim parametrima je ograničena i odozdo i odozgo.
5. Najmanja vrijednost varijable y je - 4 i postiže se kada je vrijednost x na nivou - 2; a takođe najveća vrijednost y je 0, što se postiže kada je vrijednost x jednaka nuli.
6. U datom domenu definicije, naša funkcija je kontinuirana.
7. Područje vrijednosti funkcije nalazi se na intervalu od -4 do 0.
8. Funkcija je konveksna prema gore na segmentu od -2 do 1 i na zraku od 1 do beskonačnosti.
S preostalim primjerima možete se upoznati gledajući predstavljeni video.

Koncept numeričke funkcije. Metode za određivanje funkcije. Svojstva funkcija.

Numerička funkcija je funkcija koja djeluje iz jednog numeričkog prostora (skupa) u drugi numerički prostor (skup).

Tri glavna načina za definiranje funkcije: analitički, tabelarni i grafički.

1. Analitički.

Metoda specificiranja funkcije pomoću formule naziva se analitička. Ova metoda je glavna u otiraču. analize, ali u praksi to nije zgodno.

2. Tabelarni metod specificiranja funkcije.

Funkcija se može specificirati pomoću tablice koja sadrži vrijednosti argumenata i njihove odgovarajuće vrijednosti funkcije.

3. Grafička metoda specificiranja funkcije.

Za funkciju y=f(x) se kaže da je data grafički ako je njen graf konstruisan. Ova metoda specificiranja funkcije omogućava određivanje vrijednosti funkcije samo približno, budući da je konstruiranje grafa i pronalaženje vrijednosti funkcije na njemu povezano s greškama.

Svojstva funkcije koja se moraju uzeti u obzir pri konstruisanju njenog grafa:

1) Područje definicije funkcije.

domena funkcije, odnosno one vrijednosti koje argument x funkcije F =y (x) može uzeti.

2) Intervali rastućih i opadajućih funkcija.

Funkcija se zove rastuća na intervalu koji se razmatra, ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije y(x). To znači da ako su dva proizvoljna argumenta x 1 i x 2 uzeta iz intervala koji se razmatra, a x 1 > x 2, onda je y(x 1) > y(x 2).

Funkcija se zove opadajuća na intervalu koji se razmatra, ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije y(x). To znači da ako se dva proizvoljna argumenta x 1 i x 2 uzmu iz intervala koji se razmatra, a x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Nule funkcije.

Tačke u kojima funkcija F = y (x) siječe osu apscise (dobive se rješavanjem jednadžbe y(x) = 0) nazivaju se nulama funkcije.

4) Parne i neparne funkcije.

Funkcija se zove parna, ako za sve vrijednosti argumenata iz opsega

y(-x) = y(x).

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ordinatu.

Funkcija se naziva neparna, ako za sve vrijednosti argumenta iz domene definicije

y(-x) = -y(x).

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

Mnoge funkcije nisu ni parne ni neparne.

5) Periodičnost funkcije.

Funkcija se zove periodična, ako postoji broj P takav da za sve vrijednosti argumenta iz domene definicije

y(x + P) = y(x).

Linearna funkcija, njegova svojstva i graf.

Linearna funkcija je funkcija oblika y = kx + b, definisan na skupu svih realnih brojeva.

k– nagib (stvarni broj)

b– lažni termin (stvarni broj)

x- nezavisna varijabla.

· U posebnom slučaju, ako je k = 0, dobijamo konstantnu funkciju y = b, čiji je grafik prava linija paralelna sa Ox osi koja prolazi kroz tačku sa koordinatama (0; b).

· Ako je b = 0, onda dobijamo funkciju y = kx, što je direktna proporcionalnost.

o Geometrijsko značenje koeficijent b je dužina segmenta odsečenog pravom linijom duž ose Oy, računajući od početka.

o Geometrijsko značenje koeficijenta k je ugao nagiba prave linije prema pozitivnom smjeru ose Ox, izračunat u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Svojstva linearne funkcije:

1) Oblast definisanja linearne funkcije je cela realna osa;

2) Ako je k ≠ 0, tada je raspon vrijednosti linearne funkcije cijela realna os.

Ako je k = 0, tada se raspon vrijednosti linearne funkcije sastoji od broja b;

3) Parnost i neparnost linearne funkcije zavise od vrijednosti koeficijenata k i b.

a) b ≠ 0, k = 0, dakle, y = b – parno;

b) b = 0, k ≠ 0, dakle y = kx – neparan;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, stoga je y = kx + b funkcija opšteg oblika;

d) b = 0, k = 0, stoga je y = 0 i parna i neparna funkcija.

4) Linearna funkcija nema svojstvo periodičnosti;

5) Tačke preseka sa koordinatnim osama:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, dakle (-b/k; 0) je tačka preseka sa x-osom.

Oy: y = 0k + b = b, dakle (0; b) je tačka preseka sa ordinatom.

Komentar. Ako je b = 0 i k = 0, tada funkcija y = 0 nestaje za bilo koju vrijednost varijable x. Ako je b ≠ 0 i k = 0, tada funkcija y = b ne nestaje ni za jednu vrijednost varijable x.

6) Intervali konstantnog predznaka zavise od koeficijenta k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – pozitivno na x iz (-b/k; +∞),

y = kx + b – negativno za x iz (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – pozitivno na x od (-∞; -b/k),

y = kx + b – negativno za x od (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b je pozitivan u cijelom domenu definicije,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Intervali monotonosti linearne funkcije zavise od koeficijenta k.

k > 0, stoga se y = kx + b povećava u cijelom domenu definicije,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funkcija y = ax 2 + bx + c, njena svojstva i graf.

Funkcija y = ax 2 + bx + c (a, b, c su konstante, a ≠ 0) naziva se kvadratni U najjednostavnijem slučaju, y = ax 2 (b = c = 0) grafik je kriva linija koja prolazi kroz početak. Kriva koja služi kao graf funkcije y = ax 2 je parabola. Svaka parabola ima os simetrije tzv osi parabole. Tačka O presjeka parabole sa njenom osom naziva se vrh parabole.

Raspored se može izraditi prema sledeći dijagram: 1) Naći koordinate temena parabole x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Konstruišemo još nekoliko tačaka koje pripadaju paraboli, pri konstruisanju možemo koristiti simetrije parabole u odnosu na pravu x = -b/2a. 3) Povežite naznačene tačke glatkom linijom. Primjer. Grafikujte funkciju b = x 2 + 2x - 3. Rješenja. Graf funkcije je parabola, čije su grane usmjerene prema gore. Apscisa vrha parabole x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, njene ordinate y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Dakle, vrh parabole je tačka (-1; -4). Sastavimo tablicu vrijednosti za nekoliko tačaka koje se nalaze desno od ose simetrije parabole - ravna linija x = -1. Svojstva funkcije.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi, u skladu sa zakonom, sudski postupak, V suđenje, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva vladinih agencija u Ruskoj Federaciji - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Definicija linearne funkcije

Hajde da uvedemo definiciju linearne funkcije

Definicija

Funkcija oblika $y=kx+b$, gdje je $k$ različit od nule, naziva se linearna funkcija.

Grafikon linearne funkcije je prava linija. Broj $k$ naziva se nagib prave.

Kada je $b=0$ linearna funkcija se naziva funkcijom direktne proporcionalnosti $y=kx$.

Razmotrite sliku 1.

Rice. 1. Geometrijsko značenje nagiba prave

Razmotrimo trougao ABC. Vidimo da je $VS=kx_0+b$. Nađimo tačku preseka prave $y=kx+b$ sa osom $Ox$:

\ \

Dakle, $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Nađimo omjer ovih strana:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

S druge strane, $\frac(BC)(AC)=tg\ugao A$.

Dakle, možemo izvući sljedeći zaključak:

Zaključak

Geometrijsko značenje koeficijenta $k$. Faktor nagiba prava linija $k$ jednaka je tangenti ugla nagiba ove prave na osu $Ox$.

Proučavanje linearne funkcije $f\left(x\right)=kx+b$ i njenog grafa

Prvo, razmotrite funkciju $f\left(x\right)=kx+b$, gdje je $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Posljedično, ova funkcija se povećava u cijelom domenu definicije. Ne postoje ekstremne tačke.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafikon (slika 2).

Rice. 2. Grafovi funkcije $y=kx+b$, za $k > 0$.

Sada razmotrite funkciju $f\left(x\right)=kx$, gdje je $k

1. Domen definicije su svi brojevi.
2. Raspon vrijednosti su svi brojevi.
3. $f\lijevo(-x\desno)=-kx+b$. Funkcija nije ni parna ni neparna.
4. Za $x=0,f\left(0\right)=b$. Kada je $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Točke preseka sa koordinatnim osama: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ i $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Dakle, funkcija nema prevojne tačke.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Grafikon (slika 3).