كما هو الحال في الهندسة الإقليدية، تعد النقطة والخط المستقيم العناصر الرئيسية لنظرية المستويات، لذا فإن متوازي الأضلاع هو أحد الأشكال الرئيسية للأشكال الرباعية المحدبة. منه، مثل الخيوط من الكرة، تتدفق مفاهيم "المستطيل"، "المربع"، "المعين" والكميات الهندسية الأخرى.

في تواصل مع

تعريف متوازي الأضلاع

رباعي محدب,يتكون من قطع، كل زوج منها متوازي، ويعرف في الهندسة باسم متوازي الأضلاع.

كيف يبدو متوازي الأضلاع الكلاسيكي مصور بواسطة ABCD رباعي الأضلاع. تسمى الجوانب قواعد (AB، BC، CD، AD)، ويسمى العمودي المرسوم من أي قمة إلى الجانب المقابل لهذا الرأس بالارتفاع (BE وBF)، ويسمى الخطان AC وBD بالأقطار.

انتباه!المربع والمعين والمستطيل هي حالات خاصة من متوازي الأضلاع.

الجوانب والزوايا: ملامح العلاقة

الخصائص الرئيسية، بشكل عام، محددة سلفا من خلال التسمية نفسها، تم إثباتها بواسطة النظرية. هذه الخصائص هي كما يلي:

1. الجوانب المتقابلة متطابقة في أزواج.
2. الزوايا المقابلة لبعضها البعض متساوية في أزواج.

البرهان: خذ بعين الاعتبار ∆ABC و∆ADC، اللذين تم الحصول عليهما عن طريق قسمة الشكل الرباعي ABCD على الخط المستقيم AC. ∠BCA=∠CAD و ∠BAC=∠ACD، نظرًا لأن التيار المتردد شائع بالنسبة لهم (الزوايا الرأسية لـ BC||AD وAB||CD، على التوالي). ويترتب على ذلك: ∆ABC = ∆ADC (العلامة الثانية لتساوي المثلثات).

القطعان AB وBC في ∆ABC يتطابقان في أزواج مع السطور CD وAD في ∆ADC، مما يعني أنهما متطابقان: AB = CD، BC = AD. وبالتالي، ∠B يقابل ∠D وهما متساويان. بما أن ∠A=∠BAC+∠CAD، ∠C=∠BCA+∠ACD، وهما متطابقان أيضًا، فإن ∠A = ∠C. وقد ثبت العقار.

خصائص أقطار الشكل

الميزة الأساسيةمن هذين الخطين من متوازي الأضلاع: نقطة التقاطع تقسمهما إلى نصفين.

البرهان: لتكن نقطة تقاطع القطرين AC و BD بالشكل ABCD. إنهم يشكلون مثلثين متناسبين - ∆ABE و ∆CDE.

AB=CD لأنهما متضادان. وفقًا للخطوط والقاطع، ∠ABE = ∠CDE و∠BAE = ∠DCE.

بالمعيار الثاني للمساواة، ∆ABE = ∆CDE. وهذا يعني أن العنصرين ∆ABE و ∆CDE: AE = CE، BE = DE وفي نفس الوقت هما أجزاء متناسبة من AC و BD. وقد ثبت العقار.

ملامح الزوايا المجاورة

الجوانب المجاورة لها مجموع زوايا يساوي 180 درجة، لأنهما يقعان على نفس الجانب خطوط متوازيةوقاطع. بالنسبة للشكل الرباعي ABCD:

∠أ+∠ب=∠ج+∠د=∠أ+∠د=∠ب+∠ج=180°

خصائص المنصف:

1. ، منخفضة إلى جانب واحد، متعامدة.
2. القمم المتقابلة لها منصفات متوازية.
3. المثلث الذي تم الحصول عليه عن طريق رسم المنصف سيكون متساوي الساقين.

تحديد السمات المميزة لمتوازي الأضلاع باستخدام النظرية

خصائص هذا الشكل تتبع نظريته الرئيسية التي تنص على ما يلي: يعتبر الشكل الرباعي متوازي الأضلاعفي حال تقاطع قطريها، وهذه النقطة تقسمهما إلى قطع متساوية.

البرهان: دع الخطين AC و BD للشكل الرباعي ABCD يتقاطعان في أي. بما أن ∠AED = ∠BEC، وAE+CE=AC BE+DE=BD، فإن ∆AED = ∆BEC (حسب المعيار الأول لتساوي المثلثات). أي أن ∠EAD = ∠ECB. وهي أيضًا الزوايا المتقاطعة الداخلية للتيار المتردد القاطع للخطين AD وBC. وبالتالي، حسب تعريف التوازي - م || قبل الميلاد تم أيضًا اشتقاق خاصية مشابهة للخطين BC وCD. لقد تم إثبات النظرية.

حساب مساحة الشكل

مساحة هذا الرقم وجدت من خلال عدة طرقواحدة من أبسطها: ضرب الارتفاع والقاعدة التي يرسم عليها.

الدليل: ارسم عمودي BE وCF من الرؤوس B وC. ∆ABE و∆DCF متساويان، حيث أن AB = CD وBE = CF. ABCD يساوي حجم المستطيل EBCF، لأنه يتكون من أرقام متناسبة: S ABE وS EBCD، بالإضافة إلى S DCF وS EBCD. ويترتب على ذلك أن مساحة هذا الشكل الهندسييقع بنفس طريقة المستطيل:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

لتحديد الصيغة العامة لمنطقة متوازي الأضلاع، دعونا نشير إلى الارتفاع hb، والجانب - ب. على التوالى:

طرق أخرى للعثور على المنطقة

حسابات المساحة من خلال جوانب متوازي الأضلاع والزاويةوالتي يشكلونها هي الطريقة الثانية المعروفة.

,

Spr-ma - المنطقة؛

a و b هما جانباها

α هي الزاوية بين القطعتين a و b.

هذه الطريقة تعتمد عمليا على الأولى، لكن في حالة أنها غير معروفة. يقطع دائمًا المثلث الأيمن الذي تم العثور على معلماته الهويات المثلثية، إنه . تحويل العلاقة، نحصل على . وفي معادلة الطريقة الأولى نستبدل الارتفاع بهذا الناتج ونحصل على ما يثبت صحة هذه الصيغة.

من خلال قطري متوازي الأضلاع والزاوية،التي يقومون بإنشائها عندما يتقاطعون، يمكنك أيضًا العثور على المنطقة.

البرهان: يتقاطع AC وBD ليشكلا أربعة مثلثات: ABE وBEC وCDE وAED. مجموعهم يساوي مساحة هذا الشكل الرباعي.

يمكن العثور على مساحة كل من هذه ∆ بالتعبير حيث a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. منذ ذلك الحين، تستخدم الحسابات قيمة جيبية واحدة. إنه . بما أن AE+CE=AC= d 1 وBE+DE=BD= d 2، يتم تقليل صيغة المساحة إلى:

.

التطبيق في الجبر المتجه

لقد وجدت ميزات الأجزاء المكونة لهذا الشكل الرباعي تطبيقًا في الجبر المتجه، أي إضافة متجهين. تنص قاعدة متوازي الأضلاع على ذلك إذا أعطيت ناقلاتولاعلى خط واحد، فإن مجموعها سيكون مساوياً لقطر هذا الشكل، الذي تتوافق قواعده مع هذه المتجهات.

البرهان: من بداية مختارة اعتباطيا - أي: من بداية مختارة. - بناء ناقلات و . بعد ذلك، نقوم ببناء متوازي الأضلاع OASV، حيث تكون القطع OA وOB جوانب. وبالتالي، فإن نظام التشغيل يقع على المتجه أو المجموع.

صيغ لحساب معلمات متوازي الأضلاع

يتم إعطاء الهويات وفقًا للشروط التالية:

1. أ و ب، α - الجانبين والزاوية بينهما؛
2. د 1 و د 2، γ - الأقطار وعند نقطة تقاطعها؛
3. ح أ و ح ب - تم تخفيض الارتفاعات إلى الجانبين أ و ب؛

معامل	معادلة
العثور على الجانبين
على طول الأقطار وجيب التمام للزاوية بينهما
على طول الأقطار والجوانب
من خلال الارتفاع والرأس المقابل
إيجاد أطوال الأقطار
على الجانبين وحجم القمة بينهما

مستوى متوسط

متوازي الأضلاع، مستطيل، معين، مربع (2019)

1. متوازي الأضلاع

كلمة مركبة "متوازي الأضلاع"؟ وخلفه شخصية بسيطة جدًا.

حسنًا، أي أننا أخذنا خطين متوازيين:

عبره اثنان آخران:

وفي الداخل يوجد متوازي الأضلاع!

ما هي خصائص متوازي الأضلاع؟

خصائص متوازي الأضلاع.

بمعنى، ما الذي يمكنك استخدامه إذا أعطيت المسألة متوازي أضلاع؟

النظرية التالية تجيب على هذا السؤال:

دعونا نرسم كل شيء بالتفصيل.

ماذا يعني ذلك النقطة الأولى من النظرية؟ والحقيقة هي أنه إذا كان لديك متوازي الأضلاع، فستكون بالتأكيد

النقطة الثانية تعني أنه إذا كان هناك متوازي أضلاع، فبالتأكيد مرة أخرى:

حسنًا، وأخيرًا، النقطة الثالثة تعني أنه إذا كان لديك متوازي أضلاع، فتأكد من:

هل ترى ما هي ثروة الاختيار هناك؟ ما يجب استخدامه في المشكلة؟ حاول التركيز على مسألة المهمة، أو حاول فقط تجربة كل شيء واحدًا تلو الآخر - سيفي بعض "المفتاح" بالغرض.

والآن دعونا نسأل أنفسنا سؤالاً آخر: كيف يمكننا التعرف على متوازي الأضلاع "بالبصر"؟ ما الذي يجب أن يحدث للشكل الرباعي حتى يكون لنا الحق في إعطائه "عنوان" متوازي الأضلاع؟

هناك عدة علامات لمتوازي الأضلاع تجيب على هذا السؤال.

علامات متوازي الأضلاع.

انتباه! يبدأ.

متوازي الاضلاع.

يرجى ملاحظة: إذا وجدت علامة واحدة على الأقل في مشكلتك، فمن المؤكد أن لديك متوازي أضلاع، ويمكنك استخدام جميع خصائص متوازي الأضلاع.

2. المستطيل

أعتقد أنه لن يكون خبرًا لك على الإطلاق

السؤال الأول: هل المستطيل متوازي أضلاع؟

بالطبع هو كذلك! بعد كل شيء، لديه - تذكر، علامتنا 3؟

ومن هنا، بالطبع، يترتب على ذلك أنه في المستطيل، كما هو الحال في أي متوازي أضلاع، يتم تقسيم الأقطار إلى نصفين عند نقطة التقاطع.

ولكن للمستطيل أيضًا خاصية مميزة واحدة.

خاصية المستطيل

لماذا هذا العقار مميز؟ لأنه لا يوجد متوازي أضلاع آخر له أقطار متساوية. دعونا صياغة ذلك بشكل أكثر وضوحا.

يرجى ملاحظة: لكي يصبح الشكل الرباعي مستطيلاً، يجب أن يتحول أولاً إلى متوازي أضلاع، ثم يُظهر تساوي الأقطار.

3. الماس

ومرة أخرى السؤال: هل المعين متوازي الأضلاع أم لا؟

مع اليمين الكامل - متوازي الأضلاع، لأنه يحتوي على و (تذكر ميزتنا 2).

ومرة أخرى، بما أن المعين متوازي أضلاع، فيجب أن يتمتع بجميع خصائص متوازي الأضلاع. وهذا يعني أن المعين زوايا متضادةمتساوية، والأضلاع المتقابلة متوازية، والأقطار منصفة بنقطة التقاطع.

خصائص المعين

انظر الى الصورة:

كما هو الحال في حالة المستطيل، فإن هذه الخصائص مميزة، أي أنه لكل من هذه الخصائص يمكننا أن نستنتج أن هذا ليس مجرد متوازي أضلاع، ولكنه معين.

علامات الماس

ومرة أخرى، انتبه: لا يجب أن يكون هناك شكل رباعي أقطاره متعامد فحسب، بل يجب أن يكون متوازي الأضلاع. تأكد:

لا، بالطبع، على الرغم من أن أقطارها متعامدة، والقطري هو منصف الزوايا و. لكن... الأقطار غير مقسمة إلى نصفين عند نقطة التقاطع، وبالتالي - ليست متوازي أضلاع، وبالتالي ليست مُعينًا.

أي أن المربع هو مستطيل ومعين في نفس الوقت. دعونا نرى ما سيحدث.

هل من الواضح لماذا؟ - المعين هو منصف الزاوية A، وهو يساوي. وهذا يعني أنه ينقسم (وأيضًا) إلى زاويتين على طول.

حسنًا، الأمر واضح تمامًا: قطرا المستطيل متساويان؛ أقطار المعين متعامدة، وبشكل عام، يتم تقسيم متوازي الأضلاع للأقطار إلى نصفين عند نقطة التقاطع.

مستوى متوسط

خواص الأشكال الرباعية. متوازي الاضلاع

خصائص متوازي الأضلاع

انتباه! كلمات " خصائص متوازي الأضلاع"يعني أنه إذا كان في مهمتك هنالكمتوازي الأضلاع، فيمكن استخدام كل ما يلي.

نظرية خصائص متوازي الأضلاع.

في أي متوازي الأضلاع:

دعونا نفهم لماذا كل هذا صحيح، وبعبارة أخرى سوف نثبتنظرية.

فلماذا 1) صحيح؟

إذا كان متوازي الأضلاع فإن:

• الكذب متقاطع
• الكذب مثل الصلبان.

ويعني ذلك (حسب المعيار الثاني: و- عام).

حسنًا، هذا كل شيء، هذا كل شيء! - اثبت.

ولكن بالمناسبة! لقد أثبتنا أيضًا 2)!

لماذا؟ لكن (أنظر إلى الصورة)، هذا هو السبب بالتحديد.

تبقى 3 فقط).

للقيام بذلك، لا يزال يتعين عليك رسم قطري ثانٍ.

والآن نرى ذلك - حسب الخاصية II (الزوايا والضلع "بينهما").

خصائص أثبتت! دعنا ننتقل إلى العلامات.

علامات متوازي الأضلاع

تذكر أن علامة متوازي الأضلاع تجيب على السؤال "كيف تعرف؟" أن الشكل متوازي أضلاع.

في الأيقونات يكون الأمر هكذا:

لماذا؟ سيكون من الجميل أن نفهم السبب - وهذا يكفي. لكن انظر:

حسنًا، لقد اكتشفنا سبب صحة العلامة 1.

حسنا، إنه أسهل! لنرسم قطريًا مرة أخرى.

وهو ما يعني:

وإنه سهل أيضًا. ولكن مختلفة!

وسائل، . رائع! ولكن أيضًا - داخلي من جانب واحد مع قاطع!

وبالتالي فإن الحقيقة التي تعني ذلك.

وإذا نظرت من الجانب الآخر، إذن - داخلي من جانب واحد مع قاطع! وبالتالي.

هل ترى كم هو عظيم؟!

ومرة أخرى بسيطة:

بالضبط نفس الشيء، و.

انتبه:إذا وجدت على الأقلعلامة واحدة على وجود متوازي الأضلاع في مشكلتك، إذن لديك بالضبطمتوازي الأضلاع ويمكنك استخدامه الجميعخصائص متوازي الأضلاع.

للحصول على الوضوح الكامل، انظر إلى الرسم البياني:

خواص الأشكال الرباعية. مستطيل.

خصائص المستطيل:

النقطة 1) واضحة تمامًا - بعد كل شيء، تم تحقيق العلامة 3 () ببساطة

والنقطة 2) - مهم جدا. لذلك، دعونا نثبت ذلك

وهذا يعني على الجانبين (و- عام).

حسنًا، بما أن المثلثين متساويان، فإن أوتارهما متساوية أيضًا.

أثبت أن!

وتخيل، المساواة بين الأقطار - خاصية مميزةوهي مستطيل بين جميع متوازيات الأضلاع. أي أن هذا الكلام صحيح ^

دعونا نفهم لماذا؟

وهذا يعني (يعني زوايا متوازي الأضلاع). لكن دعونا نتذكر مرة أخرى أنه متوازي أضلاع، وبالتالي.

وسائل، . حسنا، بالطبع، يترتب على ذلك أن كل واحد منهم! بعد كل شيء، عليهم أن يستسلموا بالكامل!

لذلك أثبتوا أنه إذا متوازي الاضلاعفجأة (!) تصبح الأقطار متساوية، ثم هذا مستطيل بالضبط.

لكن! انتبه!هذا هو حول متوازي الأضلاع! ليس فقط أي شخصالشكل الرباعي ذو الأقطار المتساوية هو مستطيل، و فقطمتوازي الاضلاع!

خواص الأشكال الرباعية. المعين

ومرة أخرى السؤال: هل المعين متوازي الأضلاع أم لا؟

مع اليمين الكامل - متوازي الأضلاع، لأنه يحتوي على (تذكر الميزة لدينا 2).

ومرة أخرى، بما أن المعين متوازي أضلاع، فلا بد أن يتمتع بجميع خصائص متوازي الأضلاع. هذا يعني أنه في المعين تكون الزوايا المتقابلة متساوية، والأضلاع المتقابلة متوازية، والأقطار تتنصف عند نقطة التقاطع.

ولكن هناك أيضًا خصائص خاصة. دعونا صياغة ذلك.

خصائص المعين

لماذا؟ حسنًا، بما أن المعين متوازي أضلاع، فإن قطريه مقسمان إلى نصفين.

لماذا؟ نعم، لهذا السبب!

وبعبارة أخرى، تبين أن الأقطار هي منصفات زوايا المعين.

كما هو الحال في المستطيل، هذه الخصائص متميز، كل واحد منهم هو أيضًا علامة على المعين.

علامات الماس.

لماذا هذا؟ وانظر،

هذا يعني كلاهماهذه المثلثات متساوية الساقين.

لكي يكون الشكل الرباعي معينًا، يجب أن "يصبح" أولًا متوازي أضلاع، ثم يحمل الميزة 1 أو الميزة 2.

خواص الأشكال الرباعية. مربع

أي أن المربع هو مستطيل ومعين في نفس الوقت. دعونا نرى ما سيحدث.

هل من الواضح لماذا؟ المربع - المعين - هو منصف الزاوية التي تساويها. وهذا يعني أنه ينقسم (وأيضًا) إلى زاويتين على طول.

حسنًا، الأمر واضح تمامًا: قطرا المستطيل متساويان؛ أقطار المعين متعامدة، وبشكل عام، يتم تقسيم متوازي الأضلاع للأقطار إلى نصفين عند نقطة التقاطع.

لماذا؟ حسنًا، دعونا نطبق نظرية فيثاغورس على...

الملخص والصيغ الأساسية

خصائص متوازي الأضلاع:

1. الضلعان المتقابلان متساويان : .
2. الزوايا المتقابلة متساوية : .
3. مجموع الزوايا على جانب واحد يصل إلى: .
4. يتم تقسيم الأقطار إلى نصفين حسب نقطة التقاطع: .

خصائص المستطيل:

1. قطرا المستطيل متساويان: .
2. المستطيل هو متوازي أضلاع (بالنسبة للمستطيل تتوفر جميع خصائص متوازي الأضلاع).

خصائص المعين:

1. قطرا المعين متعامدان: .
2. أقطار المعين هي منصفات زواياه: ; ; ; .
3. المعين هو متوازي الأضلاع (بالنسبة للمعين تتوفر جميع خصائص متوازي الأضلاع).

خصائص المربع:

المربع عبارة عن معين ومستطيل في نفس الوقت، لذلك، بالنسبة للمربع، يتم استيفاء جميع خصائص المستطيل والمعين. و.

رباعيات.

§43. متوازي الاضلاع.

1. تعريف متوازي الأضلاع.

إذا قطعنا زوجًا من الخطوط المتوازية مع زوج آخر من الخطوط المتوازية، فسنحصل على شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية في أزواج.

في الرباعيات ABC و EFNM (الشكل 224) ВD || ايه سي و ايه بي || قرص مضغوط؛
إي أف || من و م || الجبهة الوطنية.

الشكل الرباعي الذي تكون أضلاعه المتقابلة متوازية في أزواج يسمى متوازي الأضلاع.

2. خصائص متوازي الأضلاع.

نظرية. قطر متوازي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متساويين.

يجب أن يكون هناك متوازي أضلاع ABC (الشكل 225)، حيث AB || سي دي و مكيف || في دي.

عليك أن تثبت أن القطر يقسمه إلى مثلثين متساويين.

دعونا نرسم القطر CB في متوازي الأضلاع ABC. دعونا نثبت ذلك /\ الكابينة = /\ سي دي في.

الجانب NE شائع في هذه المثلثات؛ / اي بي سي = / BCD، كزوايا عرضية داخلية متوازية AB وCD والقاطع CB؛ / ضياء = / СВD، يشبه أيضًا الزوايا المتقاطعة الداخلية مع التيار المتردد المتوازي و ВD والقاطع CB (الفقرة 38).

من هنا /\ الكابينة = /\ سي دي في.

وبنفس الطريقة، يمكن إثبات أن القطر AD سيقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متساويين ACD وABD.

عواقب. 1 . الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية مع بعضها البعض.

/ أ = / D، وهذا يتبع من مساواة المثلثين CAB وCDB.
على نفس المنوال / ج = / في.

2. الجوانب المقابلة لمتوازي الأضلاع متساوية مع بعضها البعض.

AB = CD و AC = BD، حيث أن هذه الأضلاع مثلثات متساوية وتقع مقابل زوايا متساوية.

النظرية 2. تنقسم أقطار متوازي الأضلاع إلى نصفين عند نقطة تقاطعهما.

دع BC و AD هما قطرا متوازي الأضلاع ABC (الشكل 226). دعونا نثبت أن AO = OD و CO = OB.

للقيام بذلك، قارن بين زوج من المثلثات المتقابلة، على سبيل المثال /\ أوب و /\ سمك القد.

في هذه المثلثات AB = CD، مثل الجوانب المتقابلة لمتوازي الأضلاع؛
/ 1 = / 2، كزوايا داخلية تقع بالعرض مع التوازي AB وCD والقاطع AD؛
/ 3 = / 4 لنفس السبب، منذ AB || CD وCB هما قاطعاهما (§ 38).

إنه يتبع هذا /\ أوب = /\ سمك القد. وفي المثلثات المتساوية، الأضلاع المتساوية تقع مقابل زوايا متساوية. ولذلك، AO = OD وCO = OB.

النظرية 3. مجموع الزوايا المجاورة لأحد جانبي متوازي الأضلاع يساوي 2 د .

اثبات ذلك بنفسك.

3. علامات متوازي الأضلاع.

نظرية. إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج، فإن هذا الشكل الرباعي يكون متوازي أضلاع.

دعونا في الرباعي ABC (رسم 227) AB = CD وAC = BD. دعونا نثبت أنه في ظل هذا الشرط AB || سي دي و مكيف || ВD، أي أن الشكل الرباعي АВDC هو متوازي أضلاع.
دعونا نربط بقطعة بعض الرؤوس المتقابلة لهذا الشكل الرباعي، على سبيل المثال C و B. ينقسم الشكل الرباعي ABCD إلى مثلثين متساويين: /\ الكابينة و /\ سي دي في. في الواقع، لديهم نفس الجانب CB، AB = CD، وAC = BD وفقًا للحالة. وبالتالي، فإن ثلاثة أضلاع لمثلث واحد تساوي على التوالي ثلاثة أضلاع مثلث آخر /\ الكابينة = /\ سي دي في.

في المثلثات المتساوية، الزوايا المتساوية تقع مقابل جوانب متساوية، وبالتالي
/ 1 = / 2 و / 3 = / 4.

الزاويتان 1 و2 زاويتان داخليتان تقعان بالعرض عند تقاطع الخطين المستقيمين AB وCD للخط المستقيم CB. لذلك أ ب || قرص مضغوط.

وبنفس الطريقة، الزاويتان 3 و4 زاويتان داخليتان تقعان بالعرض عند تقاطع الخطين CA وBD للخط CB، وبالتالي CA || د (§ 35).

وبالتالي فإن الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي ABCD متوازية في أزواج، وبالتالي فهو متوازي أضلاع، وهو ما يحتاج إلى إثبات.

النظرية 2. إذا كان هناك ضلعان متقابلان في شكل رباعي متساويان ومتوازيان، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

دع AB = CD في الشكل الرباعي ABCD و AB || قرص مضغوط. دعونا نثبت أنه في ظل هذه الظروف يكون الشكل الرباعي ABC متوازي الأضلاع (الشكل 228).

دعونا نربط القمم C وB بالقطعة CB.نظرًا لتوازي الخطوط المستقيمة AB وCD، فإن الزاويتين 1 و2، كزاويتين داخليتين متقابلتين، متساويتان (الفقرة 38).
ثم مثلث الكابينة يساوي مثلث CDB، بما أن لديهم نفس الجانب NE،
AB = CD حسب شروط النظرية و / 1 = / 2 بحسب ما ثبت. وتساوي هذه المثلثات يعني تساوي الزاويتين 3 و 4، حيث أنهما يقعان مقابل جوانب متساوية في مثلثات متساوية.

لكن الزاويتين 3 و 4 هما زاويتان عرضيتان داخليتان تتشكلان من تقاطع الخطين المستقيمين AC و BD للخط المستقيم CB، وبالتالي، AC || ВD (§ 35)، أي رباعي
ABC هو متوازي الأضلاع.

تمارين.

1. أثبت أنه إذا انقسمت أقطار الشكل الرباعي عند نقطة تقاطعهما إلى نصفين فإن هذا الرباعي يكون متوازي أضلاع.

2. إثبات أن الشكل الرباعي الذي مجموعه زوايا داخليةالمجاورة لكل ضلعين متجاورين تساوي 2 د، هناك متوازي الأضلاع.

3. أنشئ متوازي الأضلاع باستخدام الضلعين والزاوية بينهما:

أ) استخدام التوازي بين الجوانب المتقابلة لمتوازي الأضلاع؛
ب) استخدام تساوي الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع.

4. أنشئ متوازي الأضلاع باستخدام ضلعين متجاورين وقطريًا.

5. أنشئ متوازي الأضلاع باستخدام قطريه والزاوية بينهما.

6. أنشئ متوازي الأضلاع باستخدام ضلعه وقطريه.

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية، أي أنها تقع على خطوط متوازية (الشكل 1).

النظرية 1. حول خواص أضلاع وزوايا متوازي الأضلاع.في متوازي الأضلاع، الأضلاع المتقابلة متساوية، والزوايا المتقابلة متساوية، ومجموع الزوايا المجاورة لأحد جانبي متوازي الأضلاع هو 180 درجة.

دليل. في متوازي الأضلاع ABCD هذا، نرسم AC قطريًا ونحصل على مثلثين ABC وADC (الشكل 2).

هذه المثلثات متساوية، حيث أن ∠ 1 = ∠ 4، ∠ 2 = ∠ 3 (زوايا عرضية للخطوط المتوازية)، والجانب AC شائع. من المساواة Δ ABC = Δ ADC يترتب على ذلك أن AB = CD، BC = AD، ∠ B = ∠ D. مجموع الزوايا المجاورة لجانب واحد، على سبيل المثال الزاويتان A وD، يساوي 180 درجة كجانب واحد للخطوط المتوازية. لقد تم إثبات النظرية.

تعليق. إن تساوي الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع يعني أن أجزاء المتوازيات المقطوعة بأشكال متوازية متساوية.

النتيجة الطبيعية 1. إذا كان هناك خطان متوازيان، فإن جميع النقاط على خط واحد تكون على نفس المسافة من الخط الآخر.

دليل. بل دع || ب (الشكل 3).

دعونا نرسم عموديًا BA وCD على الخط المستقيم a من النقطتين B وC على الخط b. منذ أ ب || CD، فالشكل ABCD هو متوازي أضلاع، وبالتالي AB = CD.

المسافة بين خطين متوازيين هي المسافة من نقطة عشوائية على أحد الخطين إلى الخط الآخر.

وعلى ما ثبت فهو يساوي طول العمود المرسوم من نقطة ما لأحد المستقيمين المتوازيين إلى الخط الآخر.

مثال 1.محيط متوازي الأضلاع 122 سم، وأحد أضلاعه أكبر من الآخر بـ 25 سم، أوجد أضلاع متوازي الأضلاع.

حل. حسب النظرية 1، الأضلاع المتقابلة لمتوازي الأضلاع متساوية. دعنا نشير إلى أحد جانبي متوازي الأضلاع بـ x والآخر بـ y. ثم، حسب الشرط $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ وبحل هذا النظام، نحصل على x = 43، y = 18 وبذلك تكون أضلاع متوازي الأضلاع هي 18، 43، 18، 43 سم.

مثال 2.

حل. دع الشكل 4 يستوفي شروط المشكلة.

دعونا نرمز إلى AB بـ x، وBC بـ y. حسب الشرط، محيط متوازي الأضلاع هو 10 سم، أي 2(x + y) = 10، أو x + y = 5. محيط المثلث ABD هو 8 سم، وبما أن AB + AD = x + y = 5 إذن BD = 8 - 5 = 3. إذن BD = 3 سم.

مثال 3.أوجد زاويتي متوازي الأضلاع، مع العلم أن إحداهما أكبر من الأخرى بمقدار 50 درجة.

حل. دع الشكل 5 يستوفي شروط المشكلة.

دعونا نشير إلى قياس درجة الزاوية A بواسطة x. إذن قياس درجة الزاوية D هو x + 50°.

الزاويتان BAD وADC هما زاويتان داخليتان من جانب واحد مع خطوط متوازية AB وDC والقاطع AD. إذن مجموع هذه الزوايا المسماة سيكون 180 درجة، أي.
س + س + 50 درجة = 180 درجة، أو س = 65 درجة. وبالتالي، ∠ A = ∠ C = 65°، أ ∠ B = ∠ D = 115°.

مثال 4.جوانب متوازي الأضلاع هي 4.5 dm و 1.2 dm. يرسم المنصف من رأس زاوية حادة. ما الأجزاء التي يقسمها الجانب الأكبر من متوازي الأضلاع؟

حل. دع الشكل 6 يستوفي شروط المشكلة.

AE هو منصف الزاوية الحادة لمتوازي الأضلاع. ولذلك، ∠ 1 = ∠ 2.

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي تكون فيه الأضلاع المتقابلة متوازية في أزواج.

يحتوي متوازي الأضلاع على جميع خصائص الأشكال الرباعية، ولكنه بالإضافة إلى ذلك له أيضًا خصائصه الخاصة السمات المميزة. بمعرفتها، يمكننا بسهولة العثور على أضلاع وزوايا متوازي الأضلاع.

خصائص متوازي الأضلاع

1. مجموع الزوايا في أي متوازي أضلاع، كما هو الحال في أي شكل رباعي، هو 360 درجة.
2. تتقاطع الخطوط الوسطى لمتوازي الأضلاع وأقطاره عند نقطة واحدة وتنقسم بها. تسمى هذه النقطة عادةً بمركز تناظر متوازي الأضلاع.
3. الأضلاع المتقابلة لمتوازي الأضلاع تكون متساوية دائمًا.
4. كما أن هذا الشكل دائمًا له زوايا متقابلة متساوية.
5. مجموع الزوايا المجاورة لأي من أضلاع متوازي الأضلاع هو دائمًا 180 درجة.
6. مجموع مربعي قطري متوازي الأضلاع يساوي ضعف مجموع مربعي الضلعين المتجاورين. يتم التعبير عن ذلك بالصيغة:
   • د 1 2 + د 2 2 = 2 (أ 2 + ب 2)، حيث د 1 و د 2 قطران، أ و ب ضلعان متجاوران.
7. جيب تمام الزاوية المنفرجة يكون دائمًا أقل من الصفر.

كيف يمكن العثور على زوايا متوازي الأضلاع باستخدام هذه الخصائص عمليًا؟ وما هي الصيغ الأخرى التي يمكن أن تساعدنا في هذا؟ دعونا نلقي نظرة على المهام المحددة التي تتطلب: العثور على زوايا متوازي الأضلاع.

إيجاد زوايا متوازي الأضلاع

الحالة الأولى: قياس الزاوية المنفرجة معروف، وعلينا إيجاد زاوية حادة.

مثال: في متوازي الأضلاع ABCD، الزاوية A هي 120°. أوجد قياسات الزوايا المتبقية.

حل: باستخدام الخاصية رقم 5، يمكننا إيجاد قياس الزاوية B المجاورة للزاوية المعطاة في المهمة. سيكون مساوياً لـ:

• 180°-120°= 60°

والآن، باستخدام الخاصية رقم 4، نحدد أن الزاويتين المتبقيتين C وD متقابلتان للزوايا التي وجدناها بالفعل. الزاوية C معاكسة للزاوية A، والزاوية D معاكسة للزاوية B. وبالتالي فإنهما متساويان في أزواج.

• الإجابة: ب = 60 درجة، ج = 120 درجة، د = 60 درجة

الحالة الثانية: أطوال الأضلاع والأقطار معروفة

في هذه الحالة، علينا استخدام نظرية جيب التمام.

يمكننا أولًا حساب جيب تمام الزاوية التي نحتاجها باستخدام الصيغة، ثم استخدامها طاولة خاصةالعثور على ما تساوي الزاوية نفسها.

بالنسبة للزاوية الحادة الصيغة هي:

• cosa = (A² + B² - d²) / (2 * A * B)، حيث
• هو الذي تبحث عنه زاوية حادة,
• A وB هما ضلعا متوازي الأضلاع،
• د - قطري أصغر

بالنسبة للزاوية المنفرجة، تتغير الصيغة قليلاً:

• cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B)، حيث
• ß هي زاوية منفرجة،
• A وB هما الجانبين
• د - قطري كبير

مثال: أنت بحاجة إلى إيجاد زاوية حادة لمتوازي أضلاع طول ضلعيه 6 سم و 3 سم، والقطر الأصغر 5.2 سم

استبدل القيم في الصيغة لإيجاد زاوية حادة:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) = 17.96/36 ~ 18/36 ~1/2
• كوزا = 1/2. ومن الجدول نستنتج أن الزاوية المطلوبة هي 60 درجة.