العلامة الثالثة على التوازي دليلان مباشران. خط مستقيم

§ 1. علامات التوازي بين خطين - الهندسة الصف 7 (Atanasyan L. S.)

وصف قصير:

سوف تتعرف على الخطوط المتوازية الموجودة في هذه الفقرة. سوف تحصل على تعريف بسيط، ولكن في نفس الوقت غير عادي إلى حد ما - يسمى الخطان الموجودان على المستوى بالتوازي إذا لم يتقاطعا. بمعنى آخر، إذا لم يتقاطع المستقيمان، فإنهما يكونان متوازيين. أو، إذا لم يكن للمستقيمين نقاط تقاطع، فهما متوازيان.
وغرابة هذا التعريف تكمن في أنه إذا كان أمامك خطان مستقيمان ولا ترى نقطة تقاطعهما، فهذا لا يعني على الإطلاق عدم وجودهما. هذا يعني أنك ببساطة قد لا تراه.
ولذلك، لا يمكن استخدام هذا التعريف مباشرة لإثبات أن المستقيمين متوازيان. بعد كل شيء، لا يمكنك متابعة استمرار الخطوط إلى ما لا نهاية للتأكد من عدم تقاطعها.
ولكن هذا ليس ضروريا. هناك علامات يمكن من خلالها الحكم على توازي الخطوط. هناك ثلاثة منهم. وفقًا لكل منها، يتم أخذ الزوايا الخاصة أو مجموعاتها في الاعتبار، والتي تتشكل عندما يتقاطع هذان الخطان قيد الدراسة مع خط مستقيم ثالث - القاطع. تُستخدم هذه الزوايا للحكم على توازي الخطوط المستقيمة.
تعتمد أدلة هذه العلامات - نظريات توازي الخطوط - على النظرية التي تناولتها بالفعل في الفصل الأول من الكتاب المدرسي - خطان متعامدان مع خط ثالث لا يتقاطعان. الآن فقط تبدو هذه النظرية مختلفة - خطان متعامدان مع الخط الثالث متوازيان.

أهداف الدرس: في هذا الدرس، سوف تتعرف على مفهوم "الخطوط المتوازية"، وتتعلم كيف يمكنك التحقق من توازي الخطوط، بالإضافة إلى خصائص الزوايا التي تشكلها الخطوط المتوازية والقواطع.

خطوط متوازية

أنت تعلم أن مفهوم "الخط المستقيم" هو أحد ما يسمى بمفاهيم الهندسة غير القابلة للتعريف.

أنت تعلم بالفعل أن الخطين يمكن أن يتطابقا، أي أن يكون لهما جميع النقاط المشتركة، أو أن يتقاطعا، أي أن يكون لهما نقطة مشتركة واحدة. تتقاطع الخطوط المستقيمة بزوايا مختلفة، وتعتبر الزاوية الواقعة بين الخطوط المستقيمة هي أصغر الزوايا التي تشكلها. يمكن اعتبار حالة خاصة من التقاطع حالة عمودية، عندما تكون الزاوية التي تشكلها الخطوط المستقيمة تساوي 90 0.

لكن الخطين المستقيمين قد لا يكون لهما نقاط مشتركة، أي لا يمكن أن يتقاطعا. تسمى هذه الخطوط موازي.

العمل مع الموارد التعليمية الإلكترونية « ».

للتعرف على مفهوم "الخطوط المتوازية"، استخدم مواد دروس الفيديو

وهكذا، الآن أنت تعرف تعريف الخطوط المتوازية.

من مواد جزء درس الفيديو الذي تعلمته أنواع مختلفةالزوايا التي تتكون عندما يتقاطع خطان مستقيمان مع خط ثالث.

أزواج من الزوايا 1 و 4؛ يتم استدعاء 3 و 2 زوايا داخلية من جانب واحد(إنها تقع بين خطوط مستقيمة أو ب).

أزواج من الزوايا 5 و 8؛ يتم استدعاء 7 و 6 زوايا خارجية أحادية الجانب(إنهم يقعون خارج الخطوط أو ب).

أزواج الزوايا 1 و 8؛ 3 و 6؛ 5 و 4؛ تسمى 7 و 2 زوايا أحادية الجانب في زوايا قائمة أو بوقاطع ج. كما ترون، من بين زوج من الزوايا المتناظرة، تقع إحداهما بين الزاوية القائمة أو ب، والآخر خارج عنهم.

علامات الخطوط المتوازية

ومن الواضح أنه باستخدام التعريف لا يمكن استنتاج أن خطين متوازيين. ولذلك، من أجل استنتاج أن خطين متوازيين، استخدم علامات.

يمكنك بالفعل صياغة واحدة منها بعد التعرف على مواد الجزء الأول من درس الفيديو:

النظرية 1. المستقيمان المتعامدان مع الثالث لا يتقاطعان، أي أنهما متوازيان.

سوف تتعرف على العلامات الأخرى لتوازي الخطوط المبنية على تساوي أزواج معينة من الزوايا من خلال العمل بالمواد الموجودة في الجزء الثاني من درس الفيديو"علامات الخطوط المتوازية."

وبالتالي، يجب أن تعرف ثلاث علامات أخرى للخطوط المتوازية.

النظرية 2 (العلامة الأولى للخطوط المتوازية). إذا كان المستقيمان متقاطعين بالعرض، وكانت الزوايا بينهما متساوية، فإن المستقيمين متوازيان.

كرر الإشارة الأولى للخطوط المتوازية مرة أخرى من خلال العمل بالمصدر التعليمي الإلكتروني « ».

وهكذا، عند إثبات العلامة الأولى لتوازي الخطوط، تستخدم علامة تساوي المثلثات (على الجانبين والزاوية بينهما)، وكذلك علامة توازي الخطوط المتعامدة مع خط مستقيم واحد.

التمرين 1.

اكتبوا صياغة العلامة الأولى للخطوط المتوازية وإثباتها في دفاتركم.

النظرية 3 (العلامة الثانية للخطوط المتوازية). إذا تقاطع مستقيمان مع قاطع وكانت الزوايا المتناظرة متساوية، فإن المستقيمين متوازيان.

كرر الإشارة الثانية للخطوط المتوازية مرة أخرى من خلال العمل بالمصدر التعليمي الإلكتروني « ».

عند إثبات العلامة الثانية لتوازي الخطوط، يتم استخدام خاصية الزوايا الرأسية والعلامة الأولى لتوازي الخطوط.

المهمة 2.

اكتبوا صياغة المعيار الثاني لتوازي الخطوط وبرهانها في دفاتركم.

النظرية 4 (العلامة الثالثة للخطوط المتوازية). إذا تقاطع مستقيمان مع قاطع، وكان مجموع الزوايا أحادية الجانب يساوي 180 0، فإن المستقيمين متوازيان.

كرر العلامة الثالثة للخطوط المتوازية مرة أخرى من خلال العمل بالمصدر التعليمي الإلكتروني « ».

وهكذا، عند إثبات العلامة الأولى لتوازي الخطوط، يتم استخدام خاصية الزوايا المجاورة والعلامة الأولى لتوازي الخطوط.

المهمة 3.

اكتبوا صيغة المعيار الثالث للمستقيمات المتوازية وإثباتها في دفاتركم.

من أجل التدرب على حل المشكلات البسيطة، العمل مع مواد المورد التعليمي الإلكتروني « ».

تستخدم علامات توازي الخطوط في حل المشكلات.

انظر الآن إلى أمثلة حل المشكلات على علامات الخطوط المتوازية، والعمل باستخدام مواد درس الفيديو"حل المسائل المتعلقة بموضوع "علامات الخطوط المتوازية."

الآن اختبر نفسك بإكمال مهام التحكم بالمصدر التعليمي الإلكتروني « ».

يمكن لأي شخص يريد العمل على حل المشكلات الأكثر تعقيدًا العمل باستخدام مواد الفيديو التعليمية "المهام على علامات توازي الخطوط."

خصائص الخطوط المتوازية

الخطوط المتوازية لها مجموعة من الخصائص.

سوف تتعلم ما هي هذه الخصائص من خلال العمل مع مواد الفيديو التعليمية "خصائص الخطوط المتوازية."

هكذا، حقيقة مهمةالشيء الذي يجب أن تعرفه هو بديهية التزامن.

بديهية التوازي. من خلال نقطة لا تقع على خط معين، من الممكن رسم خط موازٍ للخط المحدد، علاوة على ذلك، خط واحد فقط.

كما تعلمت من الفيديو التعليمي، بناءً على هذه البديهية، يمكن صياغة نتيجتين.

النتيجة الطبيعية 1.إذا قطع مستقيم أحد المستقيمين المتوازيين، فإنه يتقاطع مع الخط الموازي الآخر أيضًا.

النتيجة الطبيعية 2.إذا كان المستقيمان متوازيين مع خط ثالث، فإنهما متوازيان مع بعضهما البعض.

المهمة 4.

اكتب صيغة النتائج الطبيعية المذكورة وأدلتها في دفاتر ملاحظاتك.

خصائص الزوايا المتكونة من الخطوط المتوازية والمستعرضة هي نظريات عكسية للخصائص المقابلة.

لذلك، من مواد درس الفيديو، تعلمت خاصية الزوايا المتقاطعة.

النظرية 5 (النظرية العكسية للمعيار الأول للخطوط المتوازية). عندما يتقاطع خطان متوازيان بالعرض، فإن الزوايا المشتركة بينهما متساوية.

المهمة 5.

كرر الخاصية الأولى للخطوط المتوازية مرة أخرى من خلال العمل بالمصدر التعليمي الإلكتروني « ».

النظرية 6 (نظرية العكس للمعيار الثاني لتوازي الخطوط). عندما يتقاطع خطان متوازيان فإن الزوايا المتناظرة تكون متساوية.

المهمة 6.

واكتبوا بيان هذه النظرية وبرهانها في دفاتركم.

كرر الخاصية الثانية للخطوط المتوازية مرة أخرى من خلال العمل بالمصدر التعليمي الإلكتروني « ».

نظرية 7 (نظرية، معكوس الثالثعلامة توازي الخطوط). عندما يتقاطع خطان متوازيان فإن مجموع الزوايا أحادية الجانب هو 180 0.

المهمة 7.

واكتبوا بيان هذه النظرية وبرهانها في دفاتركم.

كرر الخاصية الثالثة للخطوط المتوازية مرة أخرى من خلال العمل بالمصدر التعليمي الإلكتروني « ».

تُستخدم جميع خصائص الخطوط المتوازية أيضًا في حل المشكلات.

فكر في أمثلة نموذجية لحل المشكلات من خلال العمل باستخدام مواد دروس الفيديو "الخطوط المتوازية ومشاكل في الزوايا بينها وبين القاطع."

على المستوى، تسمى الخطوط متوازية إذا لم يكن لديها نقاط مشتركة، أي أنها لا تتقاطع. للإشارة إلى التوازي، استخدم أيقونة خاصة || (الخطوط المتوازية أ || ب).

بالنسبة للخطوط الموجودة في الفضاء، لا يكفي اشتراط عدم وجود نقاط مشتركة - لكي تكون متوازية في الفضاء، يجب أن تنتمي إلى نفس المستوى (وإلا فسوف تتقاطع).

ليس عليك أن تذهب بعيداً للحصول على أمثلة للخطوط المتوازية، فهي ترافقنا في كل مكان، في الغرفة - هذه هي خطوط تقاطع الجدار مع السقف والأرضية، على ورقة دفتر الملاحظات - الحواف المقابلة، وما إلى ذلك.

ومن الواضح تمامًا أنه إذا كان هناك خطان متوازيان وخط ثالث موازي لأحد الخطين الأولين، فسيكون موازيًا للثاني أيضًا.

ترتبط الخطوط المتوازية على المستوى ببيان لا يمكن إثباته باستخدام بديهيات قياس التخطيط. يتم قبوله كحقيقة، كبديهية: لأي نقطة على المستوى لا تقع على خط، هناك خط فريد يمر عبرها بالتوازي مع الخط المحدد. كل طالب في الصف السادس يعرف هذه البديهية.

إن تعميمها المكاني، أي القول بأنه بالنسبة لأي نقطة في الفضاء لا تقع على خط، يوجد خط فريد يمر عبرها موازيًا للخط المحدد، يمكن إثباته بسهولة باستخدام بديهية التوازي المعروفة بالفعل على طائرة.

خصائص الخطوط المتوازية

• إذا كان أحد المستقيمين المتوازيين موازيًا للثالث، فإنهما متوازيان بشكل متبادل.

الخطوط المتوازية سواء على المستوى أو في الفضاء لها هذه الخاصية.
على سبيل المثال، النظر في مبرراته في القياس المجسم.

لنفترض أن الخطين b والخط a متوازيان.

الحالة التي تقع فيها جميع الخطوط المستقيمة في نفس المستوى ستترك لقياس التخطيط.

لنفترض أن a وb ينتميان إلى مستوى بيتا، وغاما هي المستوى الذي ينتمي إليه a وc (بحسب تعريف التوازي في الفضاء، يجب أن تنتمي الخطوط المستقيمة إلى نفس المستوى).

إذا افترضنا أن مستويي بيتا وغاما مختلفان ووضعنا علامة معينة على نقطة B على الخط b من مستوى بيتا، فإن المستوى المرسوم عبر النقطة B والخط c يجب أن يتقاطع مع مستوى بيتا في خط مستقيم (دعنا نشير إليه بـ b1) .

إذا كان الخط المستقيم الناتج b1 يتقاطع مع مستوى جاما، فمن ناحية، يجب أن تقع نقطة التقاطع على a، نظرًا لأن b1 ينتمي إلى مستوى بيتا، ومن ناحية أخرى، يجب أن ينتمي أيضًا إلى c، حيث b1 ينتمي إلى المستوى الثالث.
لكن الخطوط المتوازية a وc لا ينبغي أن تتقاطع.

وبالتالي، يجب أن ينتمي السطر b1 إلى مستوى بيتا وفي نفس الوقت لا يحتوي على نقاط مشتركة مع a، وبالتالي، وفقًا لبديهية التوازي، فإنه يتزامن مع b.
لقد حصلنا على خط b1 يتطابق مع الخط b، ينتمي إلى نفس المستوى مع الخط c ولا يتقاطع معه، أي أن b وc متوازيان

• من خلال نقطة لا تقع على خط معين، يمكن أن يمر خط مستقيم واحد فقط موازيًا للخط المعطى.

• خطان مستقيمان يقعان على مستوى وعمودي على الخط الثالث متوازيان.

• إذا قطع المستوى أحد المستقيمين المتوازيين، فإن الخط الثاني يتقاطع أيضًا مع نفس المستوى.

• مطابقة وعبر الكذب زوايا داخلية، التي تتكون من تقاطع خطين مستقيمين متوازيين من الخط الثالث، متساويان، ومجموع الخطوط الداخلية المكونة من جانب واحد يساوي 180 درجة.

والعكس صحيح أيضًا، ويمكن اعتباره علامة على توازي خطين مستقيمين.

حالة الخطوط المتوازية

تمثل الخصائص والخصائص المذكورة أعلاه شروط توازي الخطوط، ويمكن إثباتها باستخدام طرق الهندسة. وبعبارة أخرى، لإثبات توازي خطين موجودين، يكفي إثبات توازيهما لخط ثالث أو تساوي الزوايا، سواء كانت متقابلة أو متقاطعة ونحو ذلك.

وللإثبات، يستخدمون بشكل أساسي طريقة "بالتناقض"، أي على افتراض أن الخطوط غير متوازية. وبناء على هذا الافتراض، يمكن بسهولة إثبات أنه في هذه الحالة يتم انتهاك الشروط المحددة، على سبيل المثال، الزوايا الداخلية التي تقع على بعضها البعض غير متساوية، مما يثبت عدم صحة الافتراض.

يحتوي درس الفيديو "علامات توازي الخطين" على دليل على النظريات التي تصف العلامات التي تشير إلى توازي الخطوط. في الوقت نفسه، يصف الفيديو 1) نظرية توازي الخطوط التي يتم فيها إنشاء زوايا متساوية بواسطة القاطع، 2) علامة تعني التوازي بين خطين مستقيمين - بزوايا متساوية متساوية الشكل، 3) علامة وهذا يعني توازي خطين في حالة تقاطعهما بزوايا أحادية الجانب يبلغ مجموعها 180 درجة. الغرض من هذا الدرس المرئي هو تعريف الطلاب بالعلامات التي تعني توازي خطين، والتي تعد معرفتها ضرورية لحل العديد من المشكلات العملية، ولعرض إثبات هذه النظريات بشكل واضح، ولتنمية المهارات في إثبات البيانات الهندسية.

ترتبط مزايا درس الفيديو بحقيقة أنه بمساعدة الرسوم المتحركة والمرافقة الصوتية والقدرة على التمييز بالألوان، فإنه يوفر درجة عاليةالوضوح، يمكن أن يكون بمثابة بديل لتزويد كتلة قياسية جديدة المواد التعليميةمدرس.

يبدأ درس الفيديو بالعنوان المعروض على الشاشة. قبل وصف علامات الخطوط المتوازية، يتعرف الطلاب على مفهوم القاطع. يتم تعريف القاطع على أنه الخط الذي يتقاطع مع خطوط أخرى. تعرض الشاشة خطين مستقيمين أ و ب، يتقاطعان مع الخط المستقيم ج. يتم تمييز الخط الذي تم إنشاؤه c باللون الأزرق، مع التركيز على حقيقة أنه قاطع للخطين المحددين a وb. من أجل النظر في علامات توازي الخطوط، من الضروري أن تصبح أكثر دراية بمساحة تقاطع الخطوط. القاطع عند نقاط التقاطع مع الخطوط يشكل 8 زوايا ∠1، ∠2، ∠3، ∠4، ∠5، ∠6، ∠7، ∠8، من خلال تحليل العلاقات التي يمكن استخلاص علاماتها التوازي بين هذه الخطوط. ويلاحظ أن الزوايا ∠3 و ∠5، وكذلك ∠2 و ∠4 تسمى بالعرض. منح شرح مفصلاستخدام الرسوم المتحركة للترتيب العرضي للزوايا المستلقية كزوايا تقع بين خطوط مستقيمة متوازية وخطوط مستقيمة مجاورة، مستلقية بشكل عرضي. ثم تم تقديم مفهوم الزوايا أحادية الجانب، والتي تشمل الأزواج ∠4 و∠5، وكذلك ∠3 و∠6. يشار أيضًا إلى أزواج الزوايا المقابلة، والتي يوجد منها 4 أزواج في الصورة المبنية - ∠1-∠5، ∠4-∠8، ∠2-∠6، ∠3-∠7.

الجزء التالي من درس الفيديو يفحص ثلاث علامات للتوازي لأي خطين. يظهر الوصف الأول على الشاشة. تنص النظرية على أنه إذا كانت الزوايا المتقاطعة التي يشكلها القاطع متساوية، فإن الخطوط المعطاة ستكون متوازية. البيان مصحوب برسم يوضح خطين مستقيمين a و b و secant AB. ويلاحظ أن الزوايا المستقيمة ∠1 و ∠2 المتكونة بالعرض متساوية مع بعضها البعض. هذا البيان يحتاج إلى دليل.

الأكثر يمكن إثباته بسهولة حالة خاصة- عندما تكون الزوايا المتقاطعة المعطاة زوايا قائمة. وهذا يعني أن القاطع عمودي على الخطوط، ووفقا للنظرية المثبتة بالفعل، في هذه الحالة لن يتقاطع الخطان a و b، أي أنهما متوازيان. يتم وصف الدليل الخاص بهذه الحالة تحديدًا باستخدام مثال الصورة التي تم إنشاؤها بجوار الشكل الأول، مع تسليط الضوء على التفاصيل المهمة للدليل باستخدام الرسوم المتحركة.

ولإثبات ذلك في الحالة العامة، من الضروري رسم عمودي إضافي من منتصف القطعة AB إلى الخط المستقيم a. بعد ذلك، يتم وضع الجزء BH 1 الذي يساوي الجزء AN على الخط المستقيم b. من النقطة الناتجة H 1، يتم رسم قطعة تربط النقطتين O و H 1. بعد ذلك، نفكر في مثلثين ΔОНА و ΔОВН 1، يتم إثبات تساويهما بالمعيار الأول لتساوي المثلثين. الجانبان OA وOB متساويان في البناء، حيث تم تحديد النقطة O على أنها منتصف القطعة AB. الجانبان HA وH 1 B متساويان أيضًا في البناء، حيث أننا قمنا بطرح قطعة H 1 B تساوي HA. وتكون الزوايا ∠1=∠2 حسب شروط المشكلة. وبما أن المثلثات المتكونة متساوية مع بعضها البعض، فإن أزواج الزوايا والأضلاع المتبقية المتناظرة متساوية أيضًا مع بعضها البعض. ويترتب على ذلك أن المقطع OH 1 هو استمرار للجزء OH، ويشكل مقطعًا واحدًا HH 1. تجدر الإشارة إلى أنه بما أن القطعة المبنية OH متعامدة مع الخط المستقيم a، فإن القطعة HH 1 تكون متعامدة مع الخطين المستقيمين a وb. هذه الحقيقةيعني، باستخدام نظرية توازي الخطوط التي تم بناء عمود واحد عليها، أن الخطين المعطىين a وb متوازيان.

النظرية التالية التي تتطلب إثباتًا هي علامة على مساواة الخطوط المتوازية بتساوي الزوايا المقابلة التي تتشكل عند تقاطع القاطع. يتم عرض بيان هذه النظرية على الشاشة ويمكن للطلاب اقتراحها للتسجيل. يبدأ الإثبات ببناء خطين متوازيين a و b على الشاشة، حيث يتم إنشاء القاطع c. أبرزها باللون الأزرق في الصورة. يشكل القاطع الزوايا المقابلة ∠1 و ∠2، والتي تكون متساوية مع بعضها البعض حسب الشرط. تم أيضًا تحديد الزوايا المجاورة ∠3 و∠4. ∠2 بالنسبة إلى الزاوية ∠3 هي زاوية رأسية. والزوايا الرأسية متساوية دائمًا. بالإضافة إلى ذلك، فإن الزوايا ∠1 و ∠3 تقعان بالعرض بين بعضهما البعض - ومساواتهم (وفقًا للبيان المثبت بالفعل) تعني أن الخطين a و b متوازيان. لقد تم إثبات النظرية.

الجزء الأخير من درس الفيديو خصص لإثبات مقولة أنه إذا كان مجموع الزوايا الأحادية الجانب التي تتكون عند تقاطع خطين مع خط مستعرض يساوي 180 درجة، فإن هذه الخطوط في هذه الحالة ستكون متوازية مع بعضها البعض. يتم توضيح الدليل باستخدام شكل يوضح الخطوط a و b المتقاطعة مع القاطع c. تم تحديد الزوايا التي شكلها التقاطع بشكل مشابه للإثبات السابق. بالشرط، مجموع الزوايا ∠1 و ∠4 يساوي 180 درجة. ومن المعلوم أن مجموع الزوايا ∠3 و ∠4 يساوي 180 درجة، حيث أنهما متجاورتان. هذا يعني أن الزاويتين ∠1 و ∠3 متساويتان. يعطي هذا الاستنتاج الحق في التأكيد على أن الخطين a و b متوازيان. لقد تم إثبات النظرية.

يمكن للمدرس استخدام درس الفيديو "علامات توازي الخطين" ككتلة مستقلة توضح إثباتات هذه النظريات، لتحل محل شرح المعلم أو المصاحب له. يتيح الشرح التفصيلي للطلاب استخدام المادة للدراسة المستقلة وسيساعد في شرح المادة أثناء التعلم عن بعد.