مجموع زاويتين متقابلتين في متوازي الأضلاع. كيفية العثور على الزاوية الحادة لمتوازي الأضلاع

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية، أي. تقع على خطوط متوازية

خصائص متوازي الأضلاع:
النظرية 22. الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية.
دليل. في متوازي الأضلاع ABCD، نرسم قطريًا AC. المثلثان ACD وACB متطابقان، إذ أن لهما جانبًا مشتركًا AC وزوجين من الزوايا المتساوية. المجاورة لها: ∠ CAB=∠ ACD، ∠ ACB=∠ DAC (كزوايا عرضية مع خطوط متوازية AD وBC). وهذا يعني أن AB = CD وBC = AD، كأضلاع متناظرة لمثلثات متساوية، وما إلى ذلك. ويترتب على تساوي هذه المثلثات أيضاً أن الزوايا المتناظرة في المثلثات متساوية:
النظرية 23. الزاويتان المتقابلتان في متوازي الأضلاع متساويتان: ∠ A=∠ C و ∠ B=∠ D.
مساواة الزوج الأول تأتي من مساواة المثلثات ABD وCBD، والثانية - ABC وACD.
النظرية 24. الزوايا المجاورة لمتوازي الأضلاع، أي. مجموع الزوايا المجاورة لجانب واحد يصل إلى 180 درجة.
وذلك لأنها زوايا داخلية أحادية الجانب.
النظرية 25. أقطار متوازي الأضلاع تنصف بعضها البعض عند نقطة تقاطعها.
دليل. خذ بعين الاعتبار المثلثين BOC وAOD. وفقًا للخاصية الأولى AD=BC ∠ OAD=∠ OCB و ∠ ODA=∠ OBC تقع بشكل عرضي للخطوط المتوازية AD وBC. ولذلك فإن المثلثين BOC وAOD متساويان في الزوايا الجانبية والمجاورة. وهذا يعني BO=OD وAO=OS، مثل الأضلاع المتناظرة في المثلثات المتساوية، وما إلى ذلك.

علامات متوازي الأضلاع
النظرية 26. إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج، فهو متوازي أضلاع.
دليل. دع الشكل الرباعي ABCD له جوانب AD وBC وAB وCD متساوية على التوالي (الشكل 2). دعونا نرسم التيار المتردد القطري. المثلثان ABC وACD متساويان من ثلاثة جوانب. إذن الزاويتان BAC وDCA متساويتان، وبالتالي فإن AB موازٍ للضلع CD. يأتي التوازي بين الجانبين BC وAD من تساوي الزوايا CAD وACB.
النظرية 27. إذا كانت الزوايا المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج، فهو متوازي أضلاع.
دع ∠ A=∠ C و ∠ B=∠ D. لأن ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o، ثم ∠ A+∠ B=180 o والضلعان AD وBC متوازيان (على أساس توازي الخطوط المستقيمة). وسنثبت أيضًا توازي الضلعين AB وCD، ونستنتج أن ABCD هو متوازي أضلاع بحكم التعريف.
النظرية 28. إذا كانت الزوايا المجاورة للشكل الرباعي، أي. مجموع الزوايا المجاورة لأحد الجانبين يصل إلى 180 درجة، فهو متوازي أضلاع.
إذا كان مجموع قياسات الزوايا الداخلية أحادية الجانب 180 درجة، فإن الخطوط المستقيمة متوازية. إذن AB يوازي CD وBC يوازي AD. تبين أن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع حسب التعريف.
النظرية 29. إذا كانت أقطار الشكل الرباعي تنصف بعضها البعض عند نقطة التقاطع، فإن الشكل الرباعي يكون متوازي أضلاع.
دليل. إذا كانت AO = OC، BO = OD، فإن المثلثين AOD وBOC متساويان، حيث أن لهما زوايا متساوية (عمودية) عند الرأس O، محاطة بين أزواج من الجوانب المتساوية. ومن تساوي المثلثين نستنتج أن AD وBC متساويان. الضلعان AB و CD متساويان أيضًا، ويتضح أن الشكل الرباعي متوازي أضلاع وفقًا للمعيار 1.
النظرية 30. إذا كان الشكل الرباعي يحتوي على زوج من الأضلاع المتساوية والمتوازية، فهو متوازي أضلاع.
اجعل الضلعين AB وCD للشكل الرباعي ABCD متوازيين ومتساويين. دعونا نرسم الأقطار AC و BD. ويترتب على توازي هذه الخطوط أن الزاويتين المتقاطعتين ABO = CDO و BAO = OCD متساويتان. المثلثان ABO وCDO متساويان في الزوايا الجانبية والمجاورة. ولذلك AO = OS، VO = ОD، أي. يتم تقسيم الأقطار إلى نصفين عند نقطة التقاطع ويتضح أن الشكل الرباعي متوازي أضلاع حسب المعيار 4.

في الهندسة، يتم النظر في حالات خاصة لمتوازيات الأضلاع.

رباعيات.

§43. متوازي الاضلاع.

1. تعريف متوازي الأضلاع.

إذا قطعنا زوجًا من الخطوط المتوازية مع زوج آخر من الخطوط المتوازية، فسنحصل على شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية في أزواج.

في الرباعيات ABC و EFNM (الشكل 224) ВD || ايه سي و ايه بي || قرص مضغوط؛
إي أف || من و م || الجبهة الوطنية.

الشكل الرباعي الذي تكون أضلاعه المتقابلة متوازية في أزواج يسمى متوازي الأضلاع.

2. خصائص متوازي الأضلاع.

نظرية. قطر متوازي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متساويين.

يجب أن يكون هناك متوازي أضلاع ABC (الشكل 225)، حيث AB || سي دي و مكيف || في دي.

عليك أن تثبت أن القطر يقسمه إلى مثلثين متساويين.

دعونا نرسم القطر CB في متوازي الأضلاع ABC. دعونا نثبت ذلك /\ الكابينة = /\ سي دي في.

الجانب NE شائع في هذه المثلثات؛ / اي بي سي = / BCD، كزوايا عرضية داخلية متوازية AB وCD والقاطع CB؛ / ضياء = / СВD، يشبه أيضًا الزوايا المتقاطعة الداخلية مع التيار المتردد المتوازي و ВD والقاطع CB (الفقرة 38).

من هنا /\ الكابينة = /\ سي دي في.

وبنفس الطريقة، يمكن إثبات أن القطر AD سيقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متساويين ACD وABD.

عواقب. 1 . الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية مع بعضها البعض.

/ أ = / D، وهذا يتبع من مساواة المثلثين CAB وCDB.
على نفس المنوال / ج = / في.

2. الجوانب المقابلة لمتوازي الأضلاع متساوية مع بعضها البعض.

AB = CD و AC = BD، حيث أن هذه الأضلاع مثلثات متساوية وتقع مقابل زوايا متساوية.

النظرية 2. تنقسم أقطار متوازي الأضلاع إلى نصفين عند نقطة تقاطعهما.

دع BC و AD هما قطرا متوازي الأضلاع ABC (الشكل 226). دعونا نثبت أن AO = OD و CO = OB.

للقيام بذلك، قارن بين زوج من المثلثات المتقابلة، على سبيل المثال /\ أوب و /\ سمك القد.

في هذه المثلثات AB = CD، مثل الجوانب المتقابلة لمتوازي الأضلاع؛
/ 1 = / 2، كزوايا داخلية تقع بالعرض مع التوازي AB وCD والقاطع AD؛
/ 3 = / 4 لنفس السبب، منذ AB || CD وCB هما قاطعاهما (§ 38).

إنه يتبع هذا /\ أوب = /\ سمك القد. وفي المثلثات المتساوية، الأضلاع المتساوية تقع مقابل زوايا متساوية. ولذلك، AO = OD وCO = OB.

النظرية 3. مجموع الزوايا المجاورة لأحد جانبي متوازي الأضلاع يساوي 2 د .

اثبات ذلك بنفسك.

3. علامات متوازي الأضلاع.

نظرية. إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج، فإن هذا الشكل الرباعي يكون متوازي أضلاع.

دعونا في الرباعي ABC (رسم 227) AB = CD وAC = BD. دعونا نثبت أنه في ظل هذا الشرط AB || سي دي و مكيف || ВD، أي أن الشكل الرباعي АВDC هو متوازي أضلاع.
دعونا نربط بقطعة بعض الرؤوس المتقابلة لهذا الشكل الرباعي، على سبيل المثال C و B. ينقسم الشكل الرباعي ABCD إلى مثلثين متساويين: /\ الكابينة و /\ سي دي في. في الواقع، لديهم نفس الجانب CB، AB = CD، وAC = BD وفقًا للحالة. وبالتالي، فإن ثلاثة أضلاع لمثلث واحد تساوي على التوالي ثلاثة أضلاع مثلث آخر /\ الكابينة = /\ سي دي في.

في المثلثات المتساوية، الأضلاع المتساوية تقع متقابلة زوايا متساوية، لهذا
/ 1 = / 2 و / 3 = / 4.

الزاويتان 1 و2 زاويتان داخليتان تقعان بالعرض عند تقاطع الخطين المستقيمين AB وCD للخط المستقيم CB. لذلك أ ب || قرص مضغوط.

وبنفس الطريقة، الزاويتان 3 و4 زاويتان داخليتان تقعان بالعرض عند تقاطع الخطين CA وBD للخط CB، وبالتالي CA || د (§ 35).

وبالتالي فإن الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي ABCD متوازية في أزواج، وبالتالي فهو متوازي أضلاع، وهو ما يحتاج إلى إثبات.

النظرية 2. إذا كان هناك ضلعان متقابلان في شكل رباعي متساويان ومتوازيان، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

دع AB = CD في الشكل الرباعي ABCD و AB || قرص مضغوط. دعونا نثبت أنه في ظل هذه الظروف يكون الشكل الرباعي ABC متوازي الأضلاع (الشكل 228).

دعونا نربط القمم C وB بالقطعة CB.نظرًا لتوازي الخطوط المستقيمة AB وCD، فإن الزاويتين 1 و2، كزاويتين داخليتين متقابلتين، متساويتان (الفقرة 38).
إذن المثلث CAB يساوي المثلث CDB، حيث أن لهما ضلع مشترك CB،
AB = CD حسب شروط النظرية و / 1 = / 2 بحسب ما ثبت. وتساوي هذه المثلثات يعني تساوي الزاويتين 3 و 4، حيث أنهما يقعان مقابل جوانب متساوية في مثلثات متساوية.

لكن الزاويتين 3 و 4 هما زاويتان عرضيتان داخليتان تتشكلان من تقاطع الخطين المستقيمين AC و BD للخط المستقيم CB، وبالتالي، AC || ВD (§ 35)، أي رباعي
ABC هو متوازي الأضلاع.

تمارين.

1. أثبت أنه إذا انقسمت أقطار الشكل الرباعي عند نقطة تقاطعهما إلى نصفين فإن هذا الرباعي يكون متوازي أضلاع.

2. إثبات أن الشكل الرباعي الذي مجموعه زوايا داخليةالمجاورة لكل ضلعين متجاورين تساوي 2 د، هناك متوازي الأضلاع.

3. أنشئ متوازي الأضلاع باستخدام الضلعين والزاوية بينهما:

أ) استخدام التوازي بين الجوانب المتقابلة لمتوازي الأضلاع؛
ب) استخدام تساوي الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع.

4. أنشئ متوازي الأضلاع باستخدام ضلعين متجاورين وقطريًا.

5. أنشئ متوازي الأضلاع باستخدام قطريه والزاوية بينهما.

6. أنشئ متوازي الأضلاع باستخدام ضلعه وقطريه.

كما هو الحال في الهندسة الإقليدية، تعد النقطة والخط المستقيم العناصر الرئيسية لنظرية المستويات، لذا فإن متوازي الأضلاع هو أحد الأشكال الرئيسية للأشكال الرباعية المحدبة. منه، مثل الخيوط من الكرة، تتدفق مفاهيم "المستطيل"، "المربع"، "المعين" والكميات الهندسية الأخرى.

في تواصل مع

تعريف متوازي الأضلاع

رباعي محدب,يتكون من قطع، كل زوج منها متوازي، ويعرف في الهندسة باسم متوازي الأضلاع.

كيف يبدو متوازي الأضلاع الكلاسيكي مصور بواسطة ABCD رباعي الأضلاع. تسمى الجوانب قواعد (AB، BC، CD، AD)، ويسمى العمودي المرسوم من أي قمة إلى الجانب المقابل لهذا الرأس بالارتفاع (BE وBF)، ويسمى الخطان AC وBD بالأقطار.

انتباه!المربع والمعين والمستطيل هي حالات خاصة من متوازي الأضلاع.

الجوانب والزوايا: ملامح العلاقة

الخصائص الرئيسية، بشكل عام، محددة سلفا من خلال التسمية نفسها، تم إثباتها بواسطة النظرية. هذه الخصائص هي كما يلي:

1. الجوانب المتقابلة متطابقة في أزواج.
2. الزوايا المقابلة لبعضها البعض متساوية في أزواج.

البرهان: خذ بعين الاعتبار ∆ABC و∆ADC، اللذين تم الحصول عليهما عن طريق قسمة الشكل الرباعي ABCD على الخط المستقيم AC. ∠BCA=∠CAD و ∠BAC=∠ACD، نظرًا لأن التيار المتردد شائع بالنسبة لهم (الزوايا الرأسية لـ BC||AD وAB||CD، على التوالي). ويترتب على ذلك: ∆ABC = ∆ADC (العلامة الثانية لتساوي المثلثات).

القطعان AB وBC في ∆ABC يتطابقان في أزواج مع السطور CD وAD في ∆ADC، مما يعني أنهما متطابقان: AB = CD، BC = AD. وبالتالي، ∠B يقابل ∠D وهما متساويان. بما أن ∠A=∠BAC+∠CAD، ∠C=∠BCA+∠ACD، وهما متطابقان أيضًا، فإن ∠A = ∠C. وقد ثبت العقار.

خصائص أقطار الشكل

الميزة الأساسيةمن هذين الخطين من متوازي الأضلاع: نقطة التقاطع تقسمهما إلى نصفين.

البرهان: لتكن نقطة تقاطع القطرين AC و BD بالشكل ABCD. إنهم يشكلون مثلثين متناسبين - ∆ABE و ∆CDE.

AB=CD لأنهما متضادان. وفقًا للخطوط والقاطع، ∠ABE = ∠CDE و∠BAE = ∠DCE.

بالمعيار الثاني للمساواة، ∆ABE = ∆CDE. وهذا يعني أن العنصرين ∆ABE و ∆CDE: AE = CE، BE = DE وفي نفس الوقت هما أجزاء متناسبة من AC و BD. وقد ثبت العقار.

ملامح الزوايا المجاورة

الجوانب المجاورة لها مجموع زوايا يساوي 180 درجة، لأنهما يقعان على نفس الجانب خطوط متوازيةوقاطع. بالنسبة للشكل الرباعي ABCD:

∠أ+∠ب=∠ج+∠د=∠أ+∠د=∠ب+∠ج=180°

خصائص المنصف:

1. ، منخفضة إلى جانب واحد، متعامدة.
2. القمم المتقابلة لها منصفات متوازية.
3. المثلث الذي تم الحصول عليه عن طريق رسم المنصف سيكون متساوي الساقين.

تحديد السمات المميزة لمتوازي الأضلاع باستخدام النظرية

خصائص هذا الشكل تتبع نظريته الرئيسية التي تنص على ما يلي: يعتبر الشكل الرباعي متوازي الأضلاعفي حال تقاطع قطريها، وهذه النقطة تقسمهما إلى قطع متساوية.

البرهان: دع الخطين AC و BD للشكل الرباعي ABCD يتقاطعان في أي. بما أن ∠AED = ∠BEC، وAE+CE=AC BE+DE=BD، فإن ∆AED = ∆BEC (حسب المعيار الأول لتساوي المثلثات). أي أن ∠EAD = ∠ECB. وهي أيضًا الزوايا المتقاطعة الداخلية للتيار المتردد القاطع للخطين AD وBC. وبالتالي، حسب تعريف التوازي - م || قبل الميلاد تم أيضًا اشتقاق خاصية مشابهة للخطين BC وCD. لقد تم إثبات النظرية.

حساب مساحة الشكل

مساحة هذا الرقم وجدت من خلال عدة طرقواحدة من أبسطها: ضرب الارتفاع والقاعدة التي يرسم عليها.

الدليل: ارسم عمودي BE وCF من الرؤوس B وC. ∆ABE و∆DCF متساويان، حيث أن AB = CD وBE = CF. ABCD يساوي حجم المستطيل EBCF، لأنه يتكون من أرقام متناسبة: S ABE وS EBCD، بالإضافة إلى S DCF وS EBCD. ويترتب على ذلك أن مساحة هذا الشكل الهندسييقع بنفس طريقة المستطيل:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

لتحديد الصيغة العامة لمنطقة متوازي الأضلاع، دعونا نشير إلى الارتفاع hb، والجانب - ب. على التوالى:

طرق أخرى للعثور على المنطقة

حسابات المساحة من خلال جوانب متوازي الأضلاع والزاويةوالتي يشكلونها هي الطريقة الثانية المعروفة.

,

Spr-ma - المنطقة؛

a و b هما جانباها

α هي الزاوية بين القطعتين a و b.

هذه الطريقة تعتمد عمليا على الأولى، لكن في حالة أنها غير معروفة. يقطع دائمًا المثلث الأيمن الذي تم العثور على معلماته الهويات المثلثية، إنه . تحويل العلاقة، نحصل على . وفي معادلة الطريقة الأولى نستبدل الارتفاع بهذا الناتج ونحصل على ما يثبت صحة هذه الصيغة.

من خلال قطري متوازي الأضلاع والزاوية،التي يقومون بإنشائها عندما يتقاطعون، يمكنك أيضًا العثور على المنطقة.

البرهان: يتقاطع AC وBD ليشكلا أربعة مثلثات: ABE وBEC وCDE وAED. مجموعهم يساوي مساحة هذا الشكل الرباعي.

يمكن العثور على مساحة كل من هذه ∆ بالتعبير حيث a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. منذ ذلك الحين، تستخدم الحسابات قيمة جيبية واحدة. إنه . بما أن AE+CE=AC= d 1 وBE+DE=BD= d 2، يتم تقليل صيغة المساحة إلى:

.

التطبيق في الجبر المتجه

لقد وجدت ميزات الأجزاء المكونة لهذا الشكل الرباعي تطبيقًا في الجبر المتجه، أي إضافة متجهين. تنص قاعدة متوازي الأضلاع على ذلك إذا أعطيت ناقلاتولاعلى خط واحد، فإن مجموعها سيكون مساوياً لقطر هذا الشكل، الذي تتوافق قواعده مع هذه المتجهات.

البرهان: من بداية مختارة اعتباطيا - أي: من بداية مختارة. - بناء ناقلات و . بعد ذلك، نقوم ببناء متوازي الأضلاع OASV، حيث تكون القطع OA وOB جوانب. وبالتالي، فإن نظام التشغيل يقع على المتجه أو المجموع.

صيغ لحساب معلمات متوازي الأضلاع

يتم إعطاء الهويات وفقًا للشروط التالية:

1. أ و ب، α - الجانبين والزاوية بينهما؛
2. د 1 و د 2، γ - الأقطار وعند نقطة تقاطعها؛
3. ح أ و ح ب - تم تخفيض الارتفاعات إلى الجانبين أ و ب؛

معامل	معادلة
العثور على الجانبين
على طول الأقطار وجيب التمام للزاوية بينهما
على طول الأقطار والجوانب
من خلال الارتفاع والرأس المقابل
إيجاد أطوال الأقطار
على الجانبين وحجم القمة بينهما

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية في أزواج. كما أن متوازي الأضلاع له الخصائص التالية: الجوانب المتقابلة متساوية، والزوايا المتقابلة متساوية، ومجموع جميع الزوايا هو 360 درجة.

سوف تحتاج

• معرفة الهندسة.

تعليمات

1. لنتخيل أن إحدى زوايا متوازي الأضلاع معطاة وتساوي A. لنجد قيم الـ 3 المتبقية. وفقًا لخاصية متوازي الأضلاع، فإن الزوايا المتقابلة متساوية. وهذا يعني أن الزاوية المقابلة للزاوية المعطاة تساوي الزاوية المعطاة وقيمتها تساوي A.

2. دعونا نجد الزاويتين المتبقيتين. نظرًا لأن مجموع جميع الزوايا في متوازي الأضلاع يساوي 360 درجة، والزوايا المتقابلة تساوي بعضها البعض، فقد تبين أن الزاوية التي تنتمي إلى نفس الجانب المعطى تساوي (360 - 2A)/2. حسنًا، إما بعد الإصلاح نحصل على 180 - أ. وهكذا، في متوازي الأضلاع، زاويتان تساويان أ، والزاويتان الأخريان تساويان 180 - أ.

ملحوظة!
لا يمكن أن تتجاوز قيمة الزاوية الواحدة 180 درجة. يمكن التحقق من قيم الزوايا التي تم الحصول عليها بسهولة. للقيام بذلك، قم بإضافتها، وإذا كان المجموع 360، فسيتم حساب كل شيء بشكل صحيح.

نصائح مفيدة
المستطيل والمعين هما حالتان خاصتان لمتوازي الأضلاع، وبالتالي تنطبق عليهما جميع خصائص وطرق حساب الزوايا.

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية، أي أنها تقع على خطوط متوازية (الشكل 1).

النظرية 1. حول خواص أضلاع وزوايا متوازي الأضلاع.في متوازي الأضلاع، الأضلاع المتقابلة متساوية، والزوايا المتقابلة متساوية، ومجموع الزوايا المجاورة لأحد جانبي متوازي الأضلاع هو 180 درجة.

دليل. في متوازي الأضلاع ABCD هذا، نرسم AC قطريًا ونحصل على مثلثين ABC وADC (الشكل 2).

هذه المثلثات متساوية، حيث أن ∠ 1 = ∠ 4، ∠ 2 = ∠ 3 (زوايا عرضية للخطوط المتوازية)، والجانب AC شائع. من المساواة Δ ABC = Δ ADC يترتب على ذلك أن AB = CD، BC = AD، ∠ B = ∠ D. مجموع الزوايا المجاورة لجانب واحد، على سبيل المثال الزاويتان A وD، يساوي 180 درجة كجانب واحد للخطوط المتوازية. لقد تم إثبات النظرية.

تعليق. إن تساوي الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع يعني أن أجزاء المتوازيات المقطوعة بأشكال متوازية متساوية.

النتيجة الطبيعية 1. إذا كان هناك خطان متوازيان، فإن جميع النقاط على خط واحد تكون على نفس المسافة من الخط الآخر.

دليل. بل دع || ب (الشكل 3).

دعونا نرسم عموديًا BA وCD على الخط المستقيم a من النقطتين B وC على الخط b. منذ أ ب || CD، فالشكل ABCD هو متوازي أضلاع، وبالتالي AB = CD.

المسافة بين خطين متوازيين هي المسافة من نقطة عشوائية على أحد الخطين إلى الخط الآخر.

وعلى ما ثبت فهو يساوي طول العمود المرسوم من نقطة ما لأحد المستقيمين المتوازيين إلى الخط الآخر.

مثال 1.محيط متوازي الأضلاع 122 سم، وأحد أضلاعه أكبر من الآخر بـ 25 سم، أوجد أضلاع متوازي الأضلاع.

حل. حسب النظرية 1، الأضلاع المتقابلة لمتوازي الأضلاع متساوية. دعنا نشير إلى أحد جانبي متوازي الأضلاع بـ x والآخر بـ y. ثم، حسب الشرط $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ وبحل هذا النظام، نحصل على x = 43، y = 18 وبذلك تكون أضلاع متوازي الأضلاع هي 18، 43، 18، 43 سم.

مثال 2.

حل. دع الشكل 4 يستوفي شروط المشكلة.

دعونا نرمز إلى AB بـ x، وBC بـ y. حسب الشرط، محيط متوازي الأضلاع هو 10 سم، أي 2(x + y) = 10، أو x + y = 5. محيط المثلث ABD هو 8 سم، وبما أن AB + AD = x + y = 5 إذن BD = 8 - 5 = 3. إذن BD = 3 سم.

مثال 3.أوجد زاويتي متوازي الأضلاع، مع العلم أن إحداهما أكبر من الأخرى بمقدار 50 درجة.

حل. دع الشكل 5 يستوفي شروط المشكلة.

دعونا نشير إلى قياس درجة الزاوية A بواسطة x. إذن قياس درجة الزاوية D هو x + 50°.

الزاويتان BAD وADC هما زاويتان داخليتان من جانب واحد مع خطوط متوازية AB وDC والقاطع AD. إذن مجموع هذه الزوايا المسماة سيكون 180 درجة، أي.
س + س + 50 درجة = 180 درجة، أو س = 65 درجة. وبالتالي، ∠ A = ∠ C = 65°، أ ∠ B = ∠ D = 115°.

مثال 4.جوانب متوازي الأضلاع هي 4.5 dm و 1.2 dm. يرسم المنصف من رأس زاوية حادة. ما الأجزاء التي يقسمها الجانب الأكبر من متوازي الأضلاع؟

حل. دع الشكل 6 يستوفي شروط المشكلة.

AE هو منصف الزاوية الحادة لمتوازي الأضلاع. ولذلك، ∠ 1 = ∠ 2.