Magtrabaho tayo quadratic equation. Ang mga ito ay napakapopular na mga equation! Sa pinaka pangkalahatang pananaw ganito ang hitsura ng quadratic equation:

Halimbawa:

Dito A =1; b = 3; c = -4

Dito A =2; b = -0,5; c = 2,2

Dito A =-3; b = 6; c = -18

Well, naiintindihan mo...

Paano magdesisyon quadratic equation? Kung mayroon kang isang quadratic equation sa harap mo sa form na ito, kung gayon ang lahat ay simple. Tandaan ang magic word may diskriminasyon . Bihira ang isang high school student na hindi nakarinig ng salitang ito! Ang pariralang "wesolve through a discriminant" inspires confidence and reassurance. Dahil hindi na kailangang umasa ng mga trick mula sa discriminant! Ito ay simple at walang problema sa paggamit. Kaya, ang formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation ay ganito ang hitsura:

Ang ekspresyon sa ilalim ng tanda ng ugat ay ang isa may diskriminasyon. Tulad ng nakikita mo, upang mahanap ang X, ginagamit namin a, b at c lang. Yung. coefficients mula sa isang quadratic equation. Maingat lamang na palitan ang mga halaga a, b at c Ito ang formula na aming kinakalkula. Palitan natin gamit ang iyong sariling mga palatandaan! Halimbawa, para sa unang equation A =1; b = 3; c= -4. Narito isusulat namin ito:

Ang halimbawa ay halos malutas:

Iyon lang.

Anong mga kaso ang posible kapag ginagamit ang formula na ito? May tatlong kaso lang.

1. Positibo ang discriminant. Nangangahulugan ito na ang ugat ay maaaring makuha mula dito. Kung ang ugat ay nakuha ng mabuti o hindi maganda ay isa pang tanong. Ang mahalaga ay kung ano ang nakuha sa prinsipyo. Pagkatapos ang iyong quadratic equation ay may dalawang ugat. Dalawang magkaibang solusyon.

2. Ang discriminant ay zero. Pagkatapos ay mayroon kang isang solusyon. Sa mahigpit na pagsasalita, ito ay hindi isang ugat, ngunit dalawang magkapareho. Ngunit ito ay gumaganap ng isang papel sa hindi pagkakapantay-pantay, kung saan pag-aaralan natin ang isyu nang mas detalyado.

3. Negatibo ang discriminant. Mula sa isang negatibong numero Kuwadrado na ugat hindi na-extract. Well, okay. Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.

Napakasimple ng lahat. At ano, sa palagay mo imposibleng magkamali? Well, oo, paano...
Ang pinakakaraniwang pagkakamali ay pagkalito sa mga halaga ng tanda a, b at c. O sa halip, hindi sa kanilang mga palatandaan (kung saan malito?), ngunit sa pagpapalit ng mga negatibong halaga sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat. Ang nakakatulong dito ay isang detalyadong pagtatala ng formula na may mga partikular na numero. Kung may mga problema sa mga kalkulasyon, gawin mo yan!

Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang sumusunod na halimbawa:

Dito a = -6; b = -5; c = -1

Sabihin nating alam mo na bihira kang makakuha ng mga sagot sa unang pagkakataon.

Well, huwag maging tamad. Aabutin ng humigit-kumulang 30 segundo upang magsulat ng dagdag na linya. At ang bilang ng mga error ay bababa nang husto. Kaya't sumulat kami nang detalyado, kasama ang lahat ng mga bracket at palatandaan:

Tila hindi kapani-paniwalang mahirap isulat nang maingat. Pero parang ganun lang. Subukan. Well, o pumili. Ano ang mas mahusay, mabilis o tama? Tsaka papasayahin kita. Pagkaraan ng ilang sandali, hindi na kailangang isulat ang lahat nang napakaingat. Gagana ito nang mag-isa. Lalo na kung gumagamit ka ng mga praktikal na pamamaraan na inilarawan sa ibaba. Ang masamang halimbawang ito na may isang bungkos ng mga minus ay madaling malutas at walang mga pagkakamali!

Kaya, kung paano lutasin ang mga quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant na naalala natin. O natuto sila, na maganda rin. Alam mo kung paano matukoy nang tama a, b at c. Alam mo ba kung paano? matulungin palitan ang mga ito sa root formula at matulungin bilangin ang resulta. Naintindihan mo ba yun keyword dito - matulungin?

Gayunpaman, ang mga quadratic equation ay madalas na mukhang bahagyang naiiba. Halimbawa, tulad nito:

Ito hindi kumpletong quadratic equation . Maaari din silang lutasin sa pamamagitan ng isang discriminant. Kailangan mo lang maunawaan ng tama kung ano ang mga ito ay katumbas dito. a, b at c.

Naisip mo na ba ito? Sa unang halimbawa a = 1; b = -4; A c? Ito ay wala doon sa lahat! Well oo, tama iyan. Sa matematika ang ibig sabihin nito ay c = 0 ! Iyon lang. Sa halip, palitan ang zero sa formula c, at magtatagumpay tayo. Pareho sa pangalawang halimbawa. Basta wala tayong zero dito Sa, A b !

Ngunit ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay maaaring malutas nang mas simple. Nang walang anumang diskriminasyon. Isaalang-alang natin ang unang hindi kumpletong equation. Ano ang maaari mong gawin sa kaliwang bahagi? Maaari mong alisin ang X sa mga bracket! Ilabas na natin.

At ano mula dito? At ang katotohanan na ang produkto ay katumbas ng zero kung at kung anuman sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero! Huwag maniwala sa akin? Okay, pagkatapos ay bumuo ng dalawang di-zero na numero na, kapag pinarami, ay magbibigay ng zero!
Hindi gumagana? Ayan yun...
Samakatuwid, maaari tayong magsulat nang may kumpiyansa: x = 0, o x = 4

Lahat. Ito ang magiging ugat ng ating equation. Parehong angkop. Kapag pinapalitan ang alinman sa mga ito sa orihinal na equation, nakukuha namin ang tamang pagkakakilanlan 0 = 0. Tulad ng makikita mo, ang solusyon ay mas simple kaysa sa paggamit ng isang discriminant.

Ang pangalawang equation ay maaari ding malutas nang simple. Ilipat ang 9 sa kanang bahagi. Nakukuha namin:

Ang natitira na lang ay kunin ang ugat mula sa 9, at iyon na. Ito ay lalabas:

Dalawang ugat din . x = +3 at x = -3.

Ito ay kung paano nalulutas ang lahat ng hindi kumpletong quadratic equation. Alinman sa pamamagitan ng paglalagay ng X sa labas ng mga bracket, o sa pamamagitan lamang ng paglipat ng numero sa kanan at pagkatapos ay i-extract ang ugat.
Napakahirap lituhin ang mga diskarteng ito. Dahil lang sa unang kaso, kailangan mong kunin ang ugat ng X, na kahit papaano ay hindi maintindihan, at sa pangalawang kaso ay walang dapat alisin sa mga bracket...

Ngayon tandaan ang mga praktikal na pamamaraan na kapansin-pansing binabawasan ang bilang ng mga pagkakamali. Ang parehong mga iyon ay dahil sa kawalan ng pansin... Kung saan sa kalaunan ay nagiging masakit at nakakasakit...

Unang appointment. Huwag maging tamad bago lutasin ang isang quadratic equation at dalhin ito sa karaniwang anyo. Ano ang ibig sabihin nito?
Sabihin nating pagkatapos ng lahat ng mga pagbabagong-anyo ay makukuha mo ang sumusunod na equation:

Huwag magmadali upang isulat ang root formula! Halos tiyak na magkakahalo ka sa mga posibilidad a, b at c. Buuin nang wasto ang halimbawa. Una, X squared, pagkatapos ay walang square, pagkatapos ay ang libreng term. Ganito:

At muli, huwag magmadali! Ang isang minus sa harap ng isang X squared ay maaari talagang magalit sa iyo. Madaling kalimutan... Tanggalin ang minus. Paano? Oo, gaya ng itinuro sa nakaraang paksa! Kailangan nating i-multiply ang buong equation sa -1. Nakukuha namin:

Ngunit ngayon maaari mong ligtas na isulat ang formula para sa mga ugat, kalkulahin ang discriminant at tapusin ang paglutas ng halimbawa. Magpasya para sa iyong sarili. Dapat mayroon ka na ngayong mga ugat 2 at -1.

Pangalawa ang reception. Suriin ang mga ugat! Ayon sa teorama ni Vieta. Huwag kang matakot, ipapaliwanag ko ang lahat! Sinusuri huling bagay ang equation. Yung. ang ginamit namin para isulat ang root formula. Kung (tulad ng sa halimbawang ito) ang coefficient a = 1, ang pagsuri sa mga ugat ay madali. Ito ay sapat na upang i-multiply ang mga ito. Ang resulta ay dapat na isang libreng miyembro, i.e. sa aming kaso -2. Mangyaring tandaan, hindi 2, ngunit -2! Libreng miyembro kasama ang iyong tanda . Kung hindi ito gumana, nangangahulugan ito na nagkagulo na sila sa isang lugar. Hanapin ang error. Kung ito ay gumagana, kailangan mong idagdag ang mga ugat. Huling at huling pagsusuri. Ang koepisyent ay dapat b Sa kabaligtaran pamilyar. Sa aming kaso -1+2 = +1. Isang koepisyent b, na nasa harap ng X, ay katumbas ng -1. Kaya, lahat ay tama!
Nakakalungkot na napakasimple lang nito para sa mga halimbawa kung saan ang x squared ay purong, na may koepisyent. a = 1. Ngunit hindi bababa sa suriin ang gayong mga equation! Magkakaroon ng mas kaunting mga error.

Pangatlo ang reception. Kung ang iyong equation ay may fractional coefficients, alisin ang mga fraction! I-multiply ang equation sa isang common denominator gaya ng inilalarawan sa nakaraang seksyon. Kapag nagtatrabaho sa mga fraction, patuloy na gumagapang ang mga error sa ilang kadahilanan...

Sa pamamagitan ng paraan, ipinangako ko na pasimplehin ang masamang halimbawa sa isang bungkos ng mga minus. Pakiusap! Heto siya.

Upang hindi malito sa mga minus, pinarami namin ang equation sa -1. Nakukuha namin:

Iyon lang! Ang paglutas ay isang kasiyahan!

Kaya, sabihin buod ang paksa.

Praktikal na payo:

1. Bago lutasin, dinadala namin ang quadratic equation sa karaniwang anyo at itayo ito Tama.

2. Kung mayroong negatibong koepisyent sa harap ng X squared, inaalis namin ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa -1.

3. Kung fractional ang mga coefficient, inaalis namin ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa kaukulang factor.

4. Kung ang x squared ay purong, ang coefficient nito katumbas ng isa, ang solusyon ay madaling ma-verify gamit ang theorem ng Vieta. Gawin mo!

Fractional equation. ODZ.

Patuloy naming pinagkadalubhasaan ang mga equation. Alam na natin kung paano gumawa ng mga linear at quadratic na equation. Nanatili huling view – mga fractional equation. O tinatawag din silang mas kagalang-galang - fractional rational equation. Ito ay pareho.

Fractional equation.

Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, ang mga equation na ito ay kinakailangang naglalaman ng mga fraction. Ngunit hindi lamang mga praksiyon, ngunit mga praksiyon na mayroon hindi kilala sa denominator. Hindi bababa sa isa. Halimbawa:

Ipaalala ko sa iyo na kung ang mga denominador ay lamang numero, ito ay mga linear na equation.

Paano magdesisyon mga fractional equation? Una sa lahat, alisin ang mga fraction! Pagkatapos nito, ang equation ay madalas na nagiging linear o quadratic. At pagkatapos ay alam namin kung ano ang gagawin... Sa ilang mga kaso maaari itong maging isang pagkakakilanlan, tulad ng 5=5 o isang hindi tamang expression, tulad ng 7=2. Ngunit bihira itong mangyari. Babanggitin ko ito sa ibaba.

Ngunit paano mapupuksa ang mga fraction!? Napakasimple. Paglalapat ng magkaparehong pagbabagong-anyo.

Kailangan nating i-multiply ang buong equation sa parehong expression. Upang ang lahat ng mga denominador ay nabawasan! Ang lahat ay agad na magiging mas madali. Hayaan akong ipaliwanag sa isang halimbawa. Kailangan nating lutasin ang equation:

Gaya ng itinuro sa mga junior class? Inilipat namin ang lahat sa isang tabi, dalhin ito sa karaniwang denominador atbp. Kalimutan kung paano kakila-kilabot na panaginip! Ito ang kailangan mong gawin kapag nagdagdag o nagbawas ng mga fraction. O nagtatrabaho ka sa hindi pagkakapantay-pantay. At sa mga equation, agad nating i-multiply ang magkabilang panig sa pamamagitan ng isang expression na magbibigay sa atin ng pagkakataong bawasan ang lahat ng denominator (i.e., sa esensya, ng isang common denominator). At ano ang expression na ito?

Sa kaliwang bahagi, ang pagbabawas ng denominator ay nangangailangan ng pagpaparami ng x+2. At sa kanan, kailangan ang multiplication sa 2. Nangangahulugan ito na ang equation ay dapat i-multiply sa 2(x+2). Multiply:

Ito ay isang karaniwang multiplikasyon ng mga fraction, ngunit ilalarawan ko ito nang detalyado:

Pakitandaan na hindi ko pa binubuksan ang bracket (x + 2)! Kaya, sa kabuuan nito, isinulat ko ito:

Sa kaliwang bahagi ito ay ganap na kumukontra (x+2), at sa kanan 2. Alin ang kinakailangan! Pagkatapos ng pagbabawas makuha namin linear ang equation:

At lahat ay maaaring malutas ang equation na ito! x = 2.

Lutasin natin ang isa pang halimbawa, medyo mas kumplikado:

Kung naaalala natin na 3 = 3/1, at 2x = 2x/ 1, maaari nating isulat:

At muli, inaalis natin ang hindi natin gusto - mga fraction.

Nakikita natin na upang mabawasan ang denominator na may X, kailangan nating i-multiply ang fraction sa (x – 2). At ang iilan ay hindi hadlang sa amin. Well, paramihin natin. Lahat kaliwang bahagi At lahat kanang bahagi:

Panaklong muli (x – 2) Hindi ako nagsisiwalat. Nagtatrabaho ako sa bracket bilang isang buo na parang isang numero! Ito ay dapat palaging gawin, kung hindi, walang mababawasan.

Sa isang pakiramdam ng malalim na kasiyahan binabawasan namin (x – 2) at nakakakuha tayo ng equation na walang anumang fraction, na may ruler!

Ngayon buksan natin ang mga bracket:

Nagdadala kami ng mga katulad, ilipat ang lahat sa kaliwang bahagi at makakuha ng:

Klasikong quadratic equation. Ngunit ang minus sa unahan ay hindi maganda. Maaari mong palaging mapupuksa ito sa pamamagitan ng pagpaparami o paghahati sa -1. Ngunit kung titingnan mong mabuti ang halimbawa, mapapansin mo na pinakamahusay na hatiin ang equation na ito sa -2! Sa isang iglap, ang minus ay mawawala, at ang mga posibilidad ay magiging mas kaakit-akit! Hatiin sa -2. Sa kaliwang bahagi - termino ayon sa termino, at sa kanan - hatiin lamang ang zero sa -2, zero at makuha natin ang:

Niresolba namin ang discriminant at sinusuri gamit ang theorem ni Vieta. Nakukuha namin x = 1 at x = 3. Dalawang ugat.

Tulad ng nakikita mo, sa unang kaso ang equation pagkatapos ng pagbabagong-anyo ay naging linear, ngunit dito ito ay nagiging parisukat. Nangyayari na pagkatapos maalis ang mga fraction, lahat ng X ay nabawasan. May natitira, tulad ng 5=5. Ibig sabihin nito ay x ay maaaring maging kahit ano. Kung ano man yan, mababawasan pa rin. At ito ay lumabas na purong katotohanan, 5=5. Ngunit, pagkatapos maalis ang mga fraction, maaari itong maging ganap na hindi totoo, tulad ng 2=7. At ito ay nangangahulugan na walang solusyon! Ang alinmang X ay lumalabas na hindi totoo.

Napagtanto pangunahing paraan mga solusyon mga fractional equation? Ito ay simple at lohikal. Binabago natin ang orihinal na ekspresyon para mawala ang lahat ng hindi natin gusto. O nakakasagabal ito. SA sa kasong ito ito ay mga fraction. Gayon din ang gagawin natin sa lahat ng uri ng kumplikadong mga halimbawa na may logarithms, sines at iba pang kakila-kilabot. Kami Laging Alisin na natin ang lahat ng ito.

Gayunpaman, kailangan nating baguhin ang orihinal na expression sa direksyon na kailangan natin ayon sa mga tuntunin, oo... Ang karunungan nito ay paghahanda para sa Unified State Exam sa matematika. Kaya't pinagkadalubhasaan namin ito.

Ngayon ay matututunan natin kung paano i-bypass ang isa sa pangunahing ambus sa Unified State Exam! Ngunit una, tingnan natin kung nahulog ka ba dito o hindi?

Tingnan natin ang isang simpleng halimbawa:

Ang bagay ay pamilyar na, pinarami namin ang magkabilang panig (x – 2), nakukuha natin ang:

I remind you, with brackets (x – 2) Nagtatrabaho kami na parang may isa, integral na expression!

Dito hindi na ako sumulat ng isa sa mga denominador, ito ay hindi marangal... At hindi ako gumuhit ng mga bracket sa mga denominator, maliban sa x – 2 walang anuman, hindi mo kailangang gumuhit. Paikliin natin:

Buksan ang mga panaklong, ilipat ang lahat sa kaliwa, at magbigay ng mga katulad:

Malutas namin, suriin, nakakuha kami ng dalawang ugat. x = 2 At x = 3. Malaki.

Ipagpalagay na ang takdang-aralin ay nagsasabi na isulat ang ugat, o ang kanilang kabuuan kung mayroong higit sa isang ugat. Ano ang isusulat natin?

Kung magpasya kang ang sagot ay 5, ikaw ay tinambangan. At ang gawain ay hindi mai-kredito sa iyo. Nagtrabaho sila nang walang kabuluhan... Ang tamang sagot ay 3.

Anong problema?! At subukan mong gumawa ng tseke. Palitan ang mga halaga ng hindi alam sa orihinal halimbawa. At kung sa x = 3 lahat ay lalago nang kahanga-hanga, makakakuha tayo ng 9 = 9, pagkatapos ay kailan x = 2 Ito ay magiging dibisyon ng zero! Ang talagang hindi mo magagawa. ibig sabihin x = 2 ay hindi isang solusyon, at hindi isinasaalang-alang sa sagot. Ito ang tinatawag na extraneous o extra root. Itatapon na lang namin. Ang huling ugat ay isa. x = 3.

Paano kaya?! – Nakarinig ako ng mga galit na bulalas. Itinuro sa amin na ang isang equation ay maaaring i-multiply sa isang expression! Ito ay isang magkatulad na pagbabagong-anyo!

Oo, magkapareho. Sa ilalim ng isang maliit na kondisyon - ang expression kung saan tayo nagpaparami (hatiin) - iba sa zero. A x – 2 sa x = 2 katumbas ng zero! Kaya lahat ay patas.

At ngayon ano ang magagawa ko?! Huwag i-multiply sa expression? Dapat ko bang suriin sa bawat oras? Muli itong hindi malinaw!

mahinahon! Huwag mag-panic!

Sa mahirap na sitwasyong ito, tatlong magic letter ang magliligtas sa atin. Alam ko kung ano ang iniisip mo. Tama! Ito ODZ . Lugar ng Mga Katanggap-tanggap na Halaga.

Sa pagpapatuloy ng paksang "Paglutas ng mga Equation," ang materyal sa artikulong ito ay magpapakilala sa iyo sa mga quadratic equation.

Tingnan natin ang lahat nang detalyado: ang kakanyahan at pagtatala ng quadratic equation, tukuyin ang mga nauugnay na termino, pag-aralan ang scheme para sa paglutas ng hindi kumpleto at kumpletong equation, kilalanin natin ang formula ng mga ugat at diskriminasyon, magtatag ng mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat at koepisyent, at siyempre magbibigay tayo ng visual na solusyon sa mga praktikal na halimbawa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Quadratic equation, mga uri nito

Kahulugan 1

Quadratic equation ay isang equation na nakasulat bilang a x 2 + b x + c = 0, Saan x– variable, a , b at c– ilang mga numero, habang a ay hindi zero.

Kadalasan, ang mga quadratic equation ay tinatawag ding mga equation ng pangalawang degree, dahil sa esensya ang isang quadratic equation ay algebraic equation ikalawang antas.

Magbigay tayo ng isang halimbawa upang ilarawan ang ibinigay na kahulugan: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, atbp. Ito ay mga quadratic equation.

Kahulugan 2

Mga numero a, b at c ay ang mga coefficient ng quadratic equation a x 2 + b x + c = 0, habang ang coefficient a ay tinatawag na una, o senior, o coefficient sa x 2, b - ang pangalawang coefficient, o coefficient sa x, A c tinatawag na libreng miyembro.

Halimbawa, sa quadratic equation 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 ang nangungunang koepisyent ay 6, ang pangalawang koepisyent ay − 2 , at ang libreng termino ay katumbas ng − 11 . Bigyang-pansin natin ang katotohanan na kapag ang coefficients b at/o c ay negatibo, pagkatapos ay isang maikling anyo ng form ang ginagamit 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, ngunit hindi 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Linawin din natin ang aspetong ito: kung ang coefficients a at/o b pantay 1 o − 1 , kung gayon ay hindi sila maaaring magkaroon ng tahasang bahagi sa pagsulat ng quadratic equation, na ipinaliwanag ng mga kakaibang katangian ng pagsulat ng ipinahiwatig na mga numerical coefficient. Halimbawa, sa quadratic equation y 2 − y + 7 = 0 ang nangungunang koepisyent ay 1, at ang pangalawang koepisyent ay − 1 .

Nabawasan at hindi nabawas na mga quadratic equation

Batay sa halaga ng unang koepisyent, nahahati ang mga quadratic equation sa nabawas at hindi nabawas.

Kahulugan 3

Pinababang quadratic equation ay isang quadratic equation kung saan ang leading coefficient ay 1. Para sa iba pang mga halaga ng nangungunang koepisyent, ang quadratic equation ay hindi nabawasan.

Magbigay tayo ng mga halimbawa: ang mga quadratic equation x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 ay nababawasan, kung saan ang nangungunang koepisyent ay 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- unreduced quadratic equation, kung saan ang unang coefficient ay iba sa 1 .

Anumang unreduced quadratic equation ay maaaring ma-convert sa isang pinababang equation sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng unang coefficient (katumbas na pagbabago). Ang binagong equation ay magkakaroon ng parehong mga ugat gaya ng ibinigay na hindi nabawas na equation o hindi rin magkakaroon ng mga ugat sa lahat.

Pagsasaalang-alang kongkretong halimbawa ay magbibigay-daan sa amin na malinaw na ipakita ang paglipat mula sa isang hindi nabawas na quadratic equation patungo sa isang pinababang equation.

Halimbawa 1

Ibinigay ang equation na 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Kinakailangang i-convert ang orihinal na equation sa pinababang anyo.

Solusyon

Ayon sa pamamaraan sa itaas, hinahati namin ang magkabilang panig ng orihinal na equation sa pamamagitan ng nangungunang koepisyent 6. Pagkatapos makuha namin: (6 x 2 + 18 x − 7): 3 = 0: 3, at ito ay kapareho ng: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 − 7: 3 = 0 at higit pa: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Mula rito: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Kaya, ang isang equation na katumbas ng ibinigay ay nakuha.

Sagot: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Kumpleto at hindi kumpletong quadratic equation

Bumaling tayo sa kahulugan ng isang quadratic equation. Sa loob nito ay tinukoy namin iyon isang ≠ 0. Ang isang katulad na kondisyon ay kinakailangan para sa equation a x 2 + b x + c = 0 ay tiyak na parisukat, dahil sa a = 0 ito ay mahalagang transforms sa linear equation b x + c = 0.

Sa kaso kapag ang mga coefficients b At c ay katumbas ng zero (na posible, parehong indibidwal at magkasanib), ang quadratic equation ay tinatawag na hindi kumpleto.

Kahulugan 4

Hindi kumpletong quadratic equation- tulad ng isang quadratic equation a x 2 + b x + c = 0, kung saan kahit isa sa mga coefficient b At c(o pareho) ay zero.

Kumpletuhin ang quadratic equation– isang quadratic equation kung saan ang lahat ng mga numerical coefficient ay hindi katumbas ng zero.

Talakayin natin kung bakit ang mga uri ng quadratic equation ay binibigyan ng eksaktong mga pangalang ito.

Kapag b = 0, ang quadratic equation ay nasa anyo a x 2 + 0 x + c = 0, na kapareho ng a x 2 + c = 0. Sa c = 0 ang quadratic equation ay nakasulat bilang a x 2 + b x + 0 = 0, na katumbas a x 2 + b x = 0. Sa b = 0 At c = 0 ang equation ay kukuha ng anyo a x 2 = 0. Ang mga equation na nakuha namin ay naiiba sa kumpletong quadratic equation na ang kanilang mga kaliwang bahagi ay hindi naglalaman ng alinman sa isang term na may variable na x, o isang libreng termino, o pareho. Sa totoo lang, ang katotohanang ito ay nagbigay ng pangalan sa ganitong uri ng equation - hindi kumpleto.

Halimbawa, ang x 2 + 3 x + 4 = 0 at − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ay mga kumpletong quadratic equation; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – hindi kumpletong quadratic equation.

Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

Ginagawang posible ng kahulugang ibinigay sa itaas na makilala ang mga sumusunod na uri ng hindi kumpletong quadratic equation:

• a x 2 = 0, ang equation na ito ay tumutugma sa mga coefficient b = 0 at c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 at b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 sa c = 0.

Isaalang-alang natin nang sunud-sunod ang solusyon ng bawat uri ng hindi kumpletong quadratic equation.

Solusyon ng equation a x 2 =0

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang equation na ito ay tumutugma sa mga coefficient b At c, katumbas ng zero. Ang equation a x 2 = 0 maaaring i-convert sa isang katumbas na equation x 2 = 0, na nakukuha natin sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng orihinal na equation sa numero a, hindi katumbas ng zero. Ang halatang katotohanan ay ang ugat ng equation x 2 = 0 ito ay zero dahil 0 2 = 0 . Ang equation na ito ay walang iba pang mga ugat, na maaaring ipaliwanag ng mga katangian ng degree: para sa anumang numero p, hindi katumbas ng zero, totoo ang hindi pagkakapantay-pantay p 2 > 0, mula sa kung saan ito ay sumusunod na kapag p ≠ 0 pagkakapantay-pantay p 2 = 0 hinding-hindi makakamit.

Kahulugan 5

Kaya, para sa hindi kumpletong quadratic equation a x 2 = 0 mayroong isang ugat x = 0.

Halimbawa 2

Halimbawa, lutasin natin ang isang hindi kumpletong quadratic equation − 3 x 2 = 0. Ito ay katumbas ng equation x 2 = 0, ang tanging ugat nito ay x = 0, kung gayon ang orihinal na equation ay may iisang ugat - zero.

Sa madaling sabi, ang solusyon ay nakasulat tulad ng sumusunod:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Paglutas ng equation na a x 2 + c = 0

Susunod sa linya ay ang solusyon ng hindi kumpletong mga quadratic equation, kung saan b = 0, c ≠ 0, iyon ay, mga equation ng form a x 2 + c = 0. Ibahin natin ang equation na ito sa pamamagitan ng paglipat ng term mula sa isang gilid ng equation patungo sa isa, pagpapalit ng sign sa tapat ng isa at paghahati sa magkabilang panig ng equation sa isang numero na hindi katumbas ng zero:

• paglipat c sa kanang bahagi, na nagbibigay ng equation a x 2 = − c;
• hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng a, napupunta tayo sa x = - c a .

Ang aming mga pagbabagong-anyo ay katumbas; ayon dito, ang nagresultang equation ay katumbas din ng orihinal, at ang katotohanang ito ay ginagawang posible upang makagawa ng mga konklusyon tungkol sa mga ugat ng equation. Mula sa kung ano ang mga halaga a At c ang halaga ng expression - c a depende: maaari itong magkaroon ng minus sign (halimbawa, kung a = 1 At c = 2, pagkatapos - c a = - 2 1 = - 2) o isang plus sign (halimbawa, kung a = − 2 At c = 6, pagkatapos - c a = - 6 - 2 = 3); hindi ito zero dahil c ≠ 0. Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang mga sitwasyon kung kailan - c a< 0 и - c a > 0 .

Sa kaso kapag - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p ang pagkakapantay-pantay p 2 = - c a ay hindi maaaring totoo.

Ang lahat ay iba kapag - c a > 0: tandaan ang square root, at magiging halata na ang ugat ng equation x 2 = - c a ay ang numero - c a, dahil - c a 2 = - c a. Hindi mahirap unawain na ang bilang - - c a ay ang ugat din ng equation x 2 = - c a: sa katunayan, - - c a 2 = - c a.

Ang equation ay hindi magkakaroon ng iba pang mga ugat. Maipapakita natin ito gamit ang paraan ng kontradiksyon. Upang magsimula, tukuyin natin ang mga notasyon para sa mga ugat na matatagpuan sa itaas bilang x 1 At − x 1. Ipagpalagay natin na ang equation x 2 = - c a ay mayroon ding ugat x 2, na iba sa mga ugat x 1 At − x 1. Alam natin iyon sa pamamagitan ng pagpapalit sa equation x ang mga ugat nito, binabago natin ang equation sa isang patas na pagkakapantay-pantay sa numero.

Para sa x 1 At − x 1 isinusulat namin: x 1 2 = - c a , at para sa x 2- x 2 2 = - c a . Batay sa mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero, binabawasan namin ang isang tamang termino ng pagkakapantay-pantay ayon sa termino mula sa isa pa, na magbibigay sa amin ng: x 1 2 − x 2 2 = 0. Ginagamit namin ang mga katangian ng mga pagpapatakbo na may mga numero upang muling isulat ang huling pagkakapantay-pantay bilang (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Ito ay kilala na ang produkto ng dalawang numero ay zero kung at kung hindi bababa sa isa sa mga numero ay zero. Mula sa itaas ay sinusundan iyon x 1 − x 2 = 0 at/o x 1 + x 2 = 0, na pareho x 2 = x 1 at/o x 2 = − x 1. Ang isang malinaw na kontradiksyon ay lumitaw, dahil sa una ay napagkasunduan na ang ugat ng equation x 2 naiiba mula sa x 1 At − x 1. Kaya, napatunayan namin na ang equation ay walang mga ugat maliban sa x = - c a at x = - - c a.

Isa-isahin natin ang lahat ng mga argumento sa itaas.

Kahulugan 6

Hindi kumpletong quadratic equation a x 2 + c = 0 ay katumbas ng equation x 2 = - c a, na:

• ay walang mga ugat sa - c a< 0 ;
• magkakaroon ng dalawang ugat x = - c a at x = - - c a para sa - c a > 0.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng paglutas ng mga equation a x 2 + c = 0.

Halimbawa 3

Nabigyan ng quadratic equation 9 x 2 + 7 = 0. Ito ay kinakailangan upang makahanap ng solusyon.

Solusyon

Ilipat natin ang libreng termino sa kanang bahagi ng equation, pagkatapos ay magkakaroon ng anyo ang equation 9 x 2 = − 7.
Hatiin natin ang magkabilang panig ng resultang equation sa pamamagitan ng 9 , dumating tayo sa x 2 = - 7 9 . Sa kanang bahagi ay nakikita natin ang isang numero na may minus sign, na nangangahulugang: ang ibinigay na equation ay walang mga ugat. Pagkatapos ay ang orihinal na hindi kumpletong quadratic equation 9 x 2 + 7 = 0 ay hindi magkakaroon ng mga ugat.

Sagot: ang equation 9 x 2 + 7 = 0 walang ugat.

Halimbawa 4

Ang equation ay kailangang malutas − x 2 + 36 = 0.

Solusyon

Ilipat natin ang 36 sa kanang bahagi: − x 2 = − 36.
Hatiin natin ang dalawang bahagi sa pamamagitan ng − 1 , nakukuha namin x 2 = 36. Sa kanang bahagi ay mayroong isang positibong numero, kung saan maaari nating tapusin iyon x = 36 o x = - 36 .
Kunin natin ang ugat at isulat ang huling resulta: hindi kumpletong quadratic equation − x 2 + 36 = 0 may dalawang ugat x=6 o x = − 6.

Sagot: x=6 o x = − 6.

Solusyon ng equation a x 2 +b x=0

Suriin natin ang ikatlong uri ng hindi kumpletong quadratic equation, kung kailan c = 0. Upang makahanap ng solusyon sa isang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 + b x = 0, gagamitin natin ang paraan ng factorization. I-factorize natin ang polynomial na nasa kaliwang bahagi ng equation, na inaalis ang common factor sa mga bracket x. Ang hakbang na ito ay gagawing posible na baguhin ang orihinal na hindi kumpletong quadratic equation sa katumbas nito x (a x + b) = 0. At ang equation na ito, sa turn, ay katumbas ng isang set ng mga equation x = 0 At a x + b = 0. Ang equation a x + b = 0 linear, at ang ugat nito: x = − b a.

Kahulugan 7

Kaya, ang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 + b x = 0 magkakaroon ng dalawang ugat x = 0 At x = − b a.

Palakasin natin ang materyal gamit ang isang halimbawa.

Halimbawa 5

Kinakailangang maghanap ng solusyon sa equation 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Solusyon

Ilalabas natin x sa labas ng mga bracket ay nakukuha natin ang equation na x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ang equation na ito ay katumbas ng mga equation x = 0 at 2 3 x - 2 2 7 = 0. Ngayon ay dapat mong lutasin ang resultang linear equation: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Maikling isulat ang solusyon sa equation tulad ng sumusunod:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o x = 3 3 7

Sagot: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminant, formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Upang makahanap ng mga solusyon sa mga quadratic equation, mayroong isang root formula:

Kahulugan 8

x = - b ± D 2 · a, kung saan D = b 2 − 4 a c– ang tinatawag na discriminant ng isang quadratic equation.

Ang pagsulat ng x = - b ± D 2 · esensyal ay nangangahulugan na x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Magiging kapaki-pakinabang na maunawaan kung paano hinango ang formula na ito at kung paano ito ilalapat.

Derivation ng formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Harapin natin ang gawain ng paglutas ng isang quadratic equation a x 2 + b x + c = 0. Magsagawa tayo ng ilang katumbas na pagbabago:

• hatiin ang magkabilang panig ng equation sa isang numero a, naiiba sa zero, nakukuha natin ang sumusunod na quadratic equation: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Piliin natin ang kumpletong parisukat sa kaliwang bahagi ng resultang equation:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Pagkatapos nito, ang equation ay kukuha ng anyo: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Ngayon ay posible na ilipat ang huling dalawang termino sa kanang bahagi, binabago ang pag-sign sa kabaligtaran, pagkatapos nito makuha namin ang: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Sa wakas, binabago namin ang expression na nakasulat sa kanang bahagi ng huling pagkakapantay-pantay:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Kaya, dumating tayo sa equation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , katumbas ng orihinal na equation a x 2 + b x + c = 0.

Sinuri namin ang solusyon ng naturang mga equation sa mga nakaraang talata (paglutas ng hindi kumpletong mga quadratic equation). Ang karanasang natamo ay ginagawang posible na makagawa ng konklusyon tungkol sa mga ugat ng equation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• na may b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• kapag b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 ang equation ay x + b 2 · a 2 = 0, pagkatapos ay x + b 2 · a = 0.

Mula dito ang tanging ugat x = - b 2 · a ay halata;

• para sa b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, ang mga sumusunod ay magiging totoo: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 o x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , na kapareho ng x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 o x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ibig sabihin. ang equation ay may dalawang ugat.

Posibleng tapusin na ang pagkakaroon o kawalan ng mga ugat ng equation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (at samakatuwid ang orihinal na equation) ay nakasalalay sa tanda ng expression na b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 na nakasulat sa kanang bahagi. At ang tanda ng pagpapahayag na ito ay ibinibigay ng tanda ng numerator, (denominator 4 a 2 ay palaging magiging positibo), iyon ay, ang tanda ng pagpapahayag b 2 − 4 a c. Ang ekspresyong ito b 2 − 4 a c ibinigay ang pangalan - ang discriminant ng quadratic equation at ang letrang D ay tinukoy bilang pagtatalaga nito. Dito maaari mong isulat ang kakanyahan ng discriminant - batay sa halaga at tanda nito, maaari nilang tapusin kung ang quadratic equation ay magkakaroon ng tunay na mga ugat, at, kung gayon, ano ang bilang ng mga ugat - isa o dalawa.

Bumalik tayo sa equation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Isulat muli natin ito gamit ang discriminant notation: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Bumuo tayo muli ng ating mga konklusyon:

Kahulugan 9

• sa D< 0 ang equation ay walang tunay na ugat;
• sa D=0 ang equation ay may iisang ugat x = - b 2 · a ;
• sa D > 0 ang equation ay may dalawang ugat: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 o x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Batay sa mga katangian ng mga radical, ang mga ugat na ito ay maaaring isulat sa anyo: x = - b 2 · a + D 2 · a o - b 2 · a - D 2 · a. At, kapag binuksan natin ang mga module at dinala ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, makakakuha tayo ng: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Kaya, ang resulta ng aming pangangatwiran ay ang derivation ng formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminant D kinakalkula ng formula D = b 2 − 4 a c.

Ginagawang posible ng mga formula na ito na matukoy ang parehong tunay na pinagmulan kapag ang discriminant ay mas malaki sa zero. Kapag ang discriminant ay zero, ang paglalapat ng parehong mga formula ay magbibigay ng parehong ugat bilang ang tanging solusyon sa quadratic equation. Sa kaso kung saan negatibo ang discriminant, kung susubukan nating gamitin ang quadratic root formula, haharap tayo sa pangangailangang kunin ang square root ng isang negatibong numero, na magdadala sa atin na lampas sa saklaw ng mga tunay na numero. Sa negatibong diskriminasyon Iyon ay, ang quadratic equation ay hindi magkakaroon ng mga tunay na ugat, ngunit posible ang isang pares ng kumplikadong conjugate root, na tinutukoy ng parehong mga formula ng ugat na nakuha namin.

Algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation gamit ang root formula

Posibleng malutas ang isang quadratic equation sa pamamagitan ng kaagad na paggamit ng root formula, ngunit ito ay karaniwang ginagawa kapag kinakailangan upang makahanap ng mga kumplikadong ugat.

Sa karamihan ng mga kaso, karaniwang nangangahulugan ito ng paghahanap hindi para sa kumplikado, ngunit para sa mga tunay na ugat ng isang quadratic equation. Kung gayon, pinakamainam, bago gamitin ang mga pormula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, upang matukoy muna ang discriminant at tiyaking hindi ito negatibo (kung hindi man ay ipapasiya natin na ang equation ay walang tunay na mga ugat), at pagkatapos ay magpatuloy upang kalkulahin ang halaga ng mga ugat.

Ang pangangatwiran sa itaas ay ginagawang posible na bumalangkas ng isang algorithm para sa paglutas ng isang quadratic equation.

Kahulugan 10

Upang malutas ang isang quadratic equation a x 2 + b x + c = 0, kailangan:

• ayon sa pormula D = b 2 − 4 a c hanapin ang discriminant value;
• sa D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• para sa D = 0, hanapin ang tanging ugat ng equation gamit ang formula x = - b 2 · a ;
• para sa D > 0, tukuyin ang dalawang tunay na ugat ng quadratic equation gamit ang formula x = - b ± D 2 · a.

Tandaan na kapag ang discriminant ay zero, maaari mong gamitin ang formula x = - b ± D 2 · a, magbibigay ito ng parehong resulta gaya ng formula x = - b 2 · a.

Tingnan natin ang mga halimbawa.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation

Magbigay tayo ng mga solusyon sa mga halimbawa para sa iba't ibang halaga ng discriminant.

Halimbawa 6

Kailangan nating hanapin ang mga ugat ng equation x 2 + 2 x − 6 = 0.

Solusyon

Isulat natin ang mga numerical coefficient ng quadratic equation: a = 1, b = 2 at c = − 6. Susunod ay nagpapatuloy kami ayon sa algorithm, i.e. Simulan nating kalkulahin ang discriminant, kung saan papalitan natin ang mga coefficient a, b At c sa discriminant formula: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Kaya nakuha namin ang D> 0, na nangangahulugan na ang orihinal na equation ay magkakaroon ng dalawang tunay na ugat.
Upang mahanap ang mga ito, ginagamit namin ang root formula x = - b ± D 2 · a at, pinapalitan ang kaukulang mga halaga, nakukuha namin ang: x = - 2 ± 28 2 · 1. Pasimplehin natin ang resultang expression sa pamamagitan ng pag-alis ng factor sa root sign at pagkatapos ay bawasan ang fraction:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 o x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 o x = - 1 - 7

Sagot: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1-7 .

Halimbawa 7

Kailangang lutasin ang isang quadratic equation − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Solusyon

Tukuyin natin ang discriminant: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Sa ganitong halaga ng discriminant, ang orihinal na equation ay magkakaroon lamang ng isang ugat, na tinutukoy ng formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

Sagot: x = 3.5.

Halimbawa 8

Ang equation ay kailangang malutas 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Solusyon

Ang mga numerical coefficient ng equation na ito ay magiging: a = 5, b = 6 at c = 2. Ginagamit namin ang mga halagang ito upang mahanap ang discriminant: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Ang kinakalkula na discriminant ay negatibo, kaya ang orihinal na quadratic equation ay walang tunay na ugat.

Sa kaso kapag ang gawain ay upang ipahiwatig ang mga kumplikadong ugat, inilalapat namin ang root formula, na gumaganap ng mga aksyon na may mga kumplikadong numero:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 o x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i o x = - 3 5 - 1 5 · i.

Sagot: walang tunay na mga ugat; ang mga kumplikadong ugat ay ang mga sumusunod: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

SA kurikulum ng paaralan Walang pamantayang kinakailangan upang maghanap ng mga kumplikadong ugat, samakatuwid, kung sa panahon ng solusyon ang discriminant ay natukoy na negatibo, ang sagot ay agad na isusulat na walang tunay na mga ugat.

Root formula para sa kahit na pangalawang coefficient

Ang root formula x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) ay ginagawang posible na makakuha ng isa pang formula, mas compact, na nagpapahintulot sa isa na makahanap ng mga solusyon sa quadratic equation na may pantay na koepisyent para sa x ( o may isang koepisyent ng anyo 2 · n, halimbawa, 2 3 o 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Ipakita natin kung paano hinango ang formula na ito.

Harapin natin ang gawain ng paghahanap ng solusyon sa quadratic equation a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Nagpapatuloy kami ayon sa algorithm: tinutukoy namin ang discriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), at pagkatapos ay gamitin ang root formula:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Hayaang ang expression n 2 − a · c ay denoted bilang D 1 (kung minsan ito ay denoted D "). Pagkatapos ay ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation na isinasaalang-alang sa pangalawang coefficient 2 · n ay kukuha ng anyo:

x = - n ± D 1 a, kung saan D 1 = n 2 − a · c.

Madaling makita na D = 4 · D 1, o D 1 = D 4. Sa madaling salita, ang D 1 ay isang quarter ng discriminant. Malinaw, ang tanda ng D 1 ay kapareho ng tanda ng D, na nangangahulugang ang tanda ng D 1 ay maaari ding magsilbi bilang isang tagapagpahiwatig ng pagkakaroon o kawalan ng mga ugat ng isang quadratic equation.

Kahulugan 11

Kaya, upang makahanap ng solusyon sa isang quadratic equation na may pangalawang coefficient na 2 n, kinakailangan:

• hanapin ang D 1 = n 2 − a · c ;
• sa D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kapag D 1 = 0, tukuyin ang tanging ugat ng equation gamit ang formula x = - n a;
• para sa D 1 > 0, tukuyin ang dalawang tunay na ugat gamit ang formula x = - n ± D 1 a.

Halimbawa 9

Kinakailangang lutasin ang quadratic equation 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Solusyon

Maaari nating katawanin ang pangalawang koepisyent ng ibinigay na equation bilang 2 · (− 3) . Pagkatapos ay muling isulat namin ang ibinigay na quadratic equation bilang 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, kung saan ang a = 5, n = − 3 at c = − 32.

Kalkulahin natin ang ikaapat na bahagi ng discriminant: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Ang resultang halaga ay positibo, na nangangahulugan na ang equation ay may dalawang tunay na ugat. Tukuyin natin ang mga ito gamit ang kaukulang root formula:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 o x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 o x = - 2

Posibleng magsagawa ng mga kalkulasyon gamit ang karaniwang formula para sa mga ugat ng isang parisukat na equation, ngunit sa kasong ito ang solusyon ay magiging mas mahirap.

Sagot: x = 3 1 5 o x = - 2 .

Pagpapasimple sa anyo ng mga quadratic equation

Minsan posible na i-optimize ang anyo ng orihinal na equation, na magpapasimple sa proseso ng pagkalkula ng mga ugat.

Halimbawa, ang quadratic equation na 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 ay malinaw na mas maginhawang lutasin kaysa 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Mas madalas, ang pagpapasimple ng anyo ng isang quadratic equation ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagpaparami o paghahati sa magkabilang panig nito sa isang tiyak na numero. Halimbawa, sa itaas ay nagpakita kami ng pinasimple na representasyon ng equation na 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, na nakuha sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng 100.

Ang ganitong pagbabago ay posible kapag ang mga coefficient ng quadratic equation ay hindi magkapareho mga pangunahing numero. Pagkatapos ay karaniwang hinahati natin ang magkabilang panig ng equation sa pinakadakilang karaniwang divisor ng mga ganap na halaga ng mga coefficient nito.

Bilang halimbawa, ginagamit namin ang quadratic equation 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Tukuyin natin ang GCD ng mga ganap na halaga ng mga coefficient nito: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Hatiin natin ang magkabilang panig ng orihinal na quadratic equation sa pamamagitan ng 6 at makuha ang katumbas na quadratic equation na 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng isang quadratic equation, karaniwan mong inaalis ang mga fractional coefficient. Sa kasong ito, dumarami sila sa hindi bababa sa karaniwang maramihang mga denominator ng mga coefficient nito. Halimbawa, kung ang bawat bahagi ng quadratic equation 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 ay i-multiply sa LCM (6, 3, 1) = 6, kung gayon ito ay isusulat sa higit pa sa simpleng anyo x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Sa wakas, tandaan namin na halos palaging inaalis namin ang minus sa unang koepisyent ng isang quadratic equation sa pamamagitan ng pagbabago ng mga palatandaan ng bawat termino ng equation, na nakakamit sa pamamagitan ng pagpaparami (o paghahati) sa magkabilang panig ng -1. Halimbawa, mula sa quadratic equation − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, maaari kang pumunta sa pinasimpleng bersyon nito 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Relasyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient

Ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation, na alam na natin, x = - b ± D 2 · a, ay nagpapahayag ng mga ugat ng equation sa pamamagitan ng mga numerical coefficient nito. Batay sa formula na ito, mayroon kaming pagkakataon na tukuyin ang iba pang mga dependency sa pagitan ng mga ugat at coefficient.

Ang pinakatanyag at naaangkop na mga pormula ay ang teorama ni Vieta:

x 1 + x 2 = - b a at x 2 = c a.

Sa partikular, para sa ibinigay na quadratic equation, ang kabuuan ng mga ugat ay ang pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino. Halimbawa, sa pamamagitan ng pagtingin sa anyo ng quadratic equation 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, posibleng agad na matukoy na ang kabuuan ng mga ugat nito ay 7 3 at ang produkto ng mga ugat ay 22 3.

Makakahanap ka rin ng ilang iba pang koneksyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng isang quadratic equation. Halimbawa, ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng isang quadratic equation ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng mga coefficient:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Unang antas

Quadratic equation. Komprehensibong gabay (2019)

Sa terminong "quadratic equation," ang pangunahing salita ay "quadratic." Nangangahulugan ito na ang equation ay dapat na naglalaman ng isang variable (na parehong x) squared, at hindi dapat magkaroon ng xes sa pangatlo (o mas mataas) na kapangyarihan.

Ang solusyon ng maraming equation ay bumaba sa paglutas ng mga quadratic equation.

Alamin natin na ito ay isang quadratic equation at hindi ibang equation.

Halimbawa 1.

Alisin natin ang denominator at i-multiply ang bawat termino ng equation sa

Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi at ayusin ang mga termino sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga kapangyarihan ng X

Ngayon ay maaari nating sabihin nang may kumpiyansa na ang equation na ito ay quadratic!

Halimbawa 2.

I-multiply ang kaliwa at kanang bahagi sa pamamagitan ng:

Ang equation na ito, kahit na ito ay orihinal na nasa loob nito, ay hindi quadratic!

Halimbawa 3.

I-multiply natin ang lahat sa pamamagitan ng:

Nakakatakot? Ang ika-apat at ikalawang degree... Gayunpaman, kung gagawa tayo ng kapalit, makikita natin na mayroon tayong simpleng quadratic equation:

Halimbawa 4.

Mukhang naroroon, ngunit tingnan natin nang maigi. Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi:

Tingnan, ito ay nabawasan - at ngayon ito ay isang simpleng linear equation!

Ngayon subukang tukuyin para sa iyong sarili kung alin sa mga sumusunod na equation ang quadratic at alin ang hindi:

Mga halimbawa:

Mga sagot:

1. parisukat;
2. parisukat;
3. hindi parisukat;
4. hindi parisukat;
5. hindi parisukat;
6. parisukat;
7. hindi parisukat;
8. parisukat.

Karaniwang hinahati ng mga mathematician ang lahat ng quadratic equation sa mga sumusunod na uri:

• Kumpletuhin ang mga quadratic equation- mga equation kung saan ang mga coefficient at, pati na rin ang libreng termino c, ay hindi katumbas ng zero (tulad ng sa halimbawa). Bilang karagdagan, sa mga kumpletong quadratic equation ay mayroong binigay- ito ay mga equation kung saan ang coefficient (ang equation mula sa halimbawa ng isa ay hindi lamang kumpleto, ngunit nabawasan din!)

• Hindi kumpletong quadratic equation- mga equation kung saan ang coefficient at o ang libreng termino c ay katumbas ng zero:

  Hindi kumpleto ang mga ito dahil may nawawala silang elemento. Ngunit ang equation ay dapat palaging naglalaman ng x squared!!! Kung hindi man, hindi na ito magiging isang quadratic equation, ngunit ibang equation.

Bakit sila nagkaroon ng ganitong dibisyon? Mukhang may X squared, at okay. Ang paghahati na ito ay tinutukoy ng mga pamamaraan ng solusyon. Tingnan natin ang bawat isa sa kanila nang mas detalyado.

Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

Una, tumuon tayo sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation - mas simple ang mga ito!

May mga uri ng hindi kumpletong quadratic equation:

1. , sa equation na ito ang coefficient ay pantay.
2. , sa equation na ito ang libreng termino ay katumbas ng.
3. , sa equation na ito ang coefficient at ang free term ay pantay.

1. i. Dahil alam natin kung paano kunin ang square root, ipahayag natin mula sa equation na ito

Ang expression ay maaaring negatibo o positibo. Ang isang parisukat na numero ay hindi maaaring negatibo, dahil kapag nagpaparami ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging magiging positibong numero, kaya: kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon.

At kung, pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang ugat. Hindi na kailangang isaulo ang mga formula na ito. Ang pangunahing bagay ay dapat mong malaman at laging tandaan na hindi ito maaaring mas mababa.

Subukan nating lutasin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 5:

Lutasin ang equation

Ngayon ang natitira na lang ay kunin ang ugat mula sa kaliwa at kanang bahagi. Pagkatapos ng lahat, naaalala mo kung paano kunin ang mga ugat?

Sagot:

Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong palatandaan!!!

Halimbawa 6:

Lutasin ang equation

Sagot:

Halimbawa 7:

Lutasin ang equation

Oh! Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring negatibo, na nangangahulugan na ang equation

walang ugat!

Para sa mga naturang equation na walang mga ugat, ang mga mathematician ay nakabuo ng isang espesyal na icon - (empty set). At ang sagot ay maaaring isulat tulad nito:

Sagot:

Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat. Walang mga paghihigpit dito, dahil hindi namin kinuha ang ugat.
Halimbawa 8:

Lutasin ang equation

Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:

kaya,

Ang equation na ito ay may dalawang ugat.

Sagot:

Ang pinakasimpleng uri ng hindi kumpletong quadratic equation (bagama't lahat sila ay simple, tama?). Malinaw, ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang:

Magbibigay kami ng mga halimbawa dito.

Paglutas ng kumpletong quadratic equation

Ipinapaalala namin sa iyo na ang isang kumpletong quadratic equation ay isang equation ng form equation kung saan

Ang paglutas ng kumpletong quadratic equation ay medyo mas mahirap (konti lang) kaysa sa mga ito.

Tandaan, Anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang isang discriminant! Kahit hindi kumpleto.

Ang iba pang mga pamamaraan ay makakatulong sa iyo na gawin ito nang mas mabilis, ngunit kung mayroon kang mga problema sa mga quadratic equation, master muna ang solusyon gamit ang discriminant.

1. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang discriminant.

Ang paglutas ng mga quadratic equation gamit ang pamamaraang ito ay napaka-simple, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula.

Kung, kung gayon ang equation ay may ugat. Espesyal na atensyon humakbang. Sinasabi sa atin ng discriminant () ang bilang ng mga ugat ng equation.

• Kung, ang formula sa hakbang ay mababawasan sa. Kaya, ang equation ay magkakaroon lamang ng ugat.
• Kung, kung gayon, hindi namin ma-extract ang ugat ng discriminant sa hakbang. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.

Bumalik tayo sa ating mga equation at tingnan ang ilang mga halimbawa.

Halimbawa 9:

Lutasin ang equation

Hakbang 1 laktawan natin.

Hakbang 2.

Nakita namin ang discriminant:

Nangangahulugan ito na ang equation ay may dalawang ugat.

Hakbang 3.

Sagot:

Halimbawa 10:

Lutasin ang equation

Ang equation ay ipinakita sa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan natin.

Hakbang 2.

Nakita namin ang discriminant:

Nangangahulugan ito na ang equation ay may isang ugat.

Sagot:

Halimbawa 11:

Lutasin ang equation

Ang equation ay ipinakita sa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan natin.

Hakbang 2.

Nakita namin ang discriminant:

Nangangahulugan ito na hindi namin makukuha ang ugat ng discriminant. Walang mga ugat ng equation.

Ngayon alam na natin kung paano isulat nang tama ang mga ganoong sagot.

Sagot: walang ugat

2. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang Vieta's theorem.

Kung naaalala mo, mayroong isang uri ng equation na tinatawag na reduced (kapag ang coefficient a ay katumbas ng):

Ang ganitong mga equation ay napakadaling lutasin gamit ang Vieta's theorem:

Kabuuan ng mga ugat binigay ang quadratic equation ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay.

Halimbawa 12:

Lutasin ang equation

Ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang Vieta's theorem dahil .

Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay pantay, i.e. makuha namin ang unang equation:

At ang produkto ay katumbas ng:

Bumuo tayo at lutasin ang sistema:

• At. Ang halaga ay katumbas ng;
• At. Ang halaga ay katumbas ng;
• At. Ang halaga ay katumbas.

at ang solusyon sa system:

Sagot: ; .

Halimbawa 13:

Lutasin ang equation

Sagot:

Halimbawa 14:

Lutasin ang equation

Ang equation ay ibinigay, na nangangahulugang:

Sagot:

MGA PAQUADRATIC EQUATIONS. AVERAGE LEVEL

Ano ang isang quadratic equation?

Sa madaling salita, ang isang quadratic equation ay isang equation ng form, kung saan - ang hindi alam, - ilang mga numero, at.

Ang bilang ay tinatawag na pinakamataas o unang koepisyent quadratic equation, - pangalawang koepisyent, A - libreng miyembro.

Bakit? Dahil kung magiging linear agad ang equation, kasi mawawala.

Sa kasong ito, at maaaring katumbas ng zero. Sa upuan equation na ito ay tinatawag na hindi kumpleto. Kung ang lahat ng mga termino ay nasa lugar, iyon ay, ang equation ay kumpleto na.

Mga solusyon sa iba't ibang uri ng quadratic equation

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation:

Una, tingnan natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation - mas simple ang mga ito.

Maaari nating makilala ang mga sumusunod na uri ng mga equation:

I., sa equation na ito ang coefficient at ang free term ay pantay.

II. , sa equation na ito ang coefficient ay pantay.

III. , sa equation na ito ang libreng termino ay katumbas ng.

Ngayon tingnan natin ang solusyon sa bawat isa sa mga subtype na ito.

Malinaw, ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang:

Ang isang parisukat na numero ay hindi maaaring negatibo, dahil kapag nag-multiply ka ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging isang positibong numero. kaya naman:

kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon;

kung mayroon tayong dalawang ugat

Hindi na kailangang isaulo ang mga formula na ito. Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay hindi ito maaaring mas mababa.

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

Sagot:

Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong tanda!

Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring negatibo, na nangangahulugan na ang equation

walang ugat.

Upang maisulat sa madaling sabi na walang solusyon ang isang problema, ginagamit namin ang icon na walang laman na hanay.

Sagot:

Kaya, ang equation na ito ay may dalawang ugat: at.

Sagot:

Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:

Ang produkto ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Nangangahulugan ito na ang equation ay may solusyon kapag:

Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat: at.

Halimbawa:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

I-factor natin ang kaliwang bahagi ng equation at hanapin ang mga ugat:

Sagot:

Mga pamamaraan para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation:

1. Diskriminasyon

Ang paglutas ng mga quadratic equation sa ganitong paraan ay madali, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula. Tandaan, anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang isang discriminant! Kahit hindi kumpleto.

Napansin mo ba ang ugat mula sa discriminant sa formula para sa mga ugat? Ngunit ang discriminant ay maaaring negatibo. Anong gagawin? Kailangan nating bigyang-pansin ang hakbang 2. Sinasabi sa atin ng discriminant ang bilang ng mga ugat ng equation.

• Kung, kung gayon ang equation ay may mga ugat:
• Kung ang equation ay mayroon magkaparehong ugat, ngunit mahalagang isang ugat:

  Ang ganitong mga ugat ay tinatawag na dobleng ugat.

• Kung, kung gayon ang ugat ng discriminant ay hindi nakuha. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.

Bakit posible ang iba't ibang bilang ng mga ugat? Lumiko tayo sa geometric na kahulugan quadratic equation. Ang graph ng function ay isang parabola:

Sa isang espesyal na kaso, na isang quadratic equation, . Nangangahulugan ito na ang mga ugat ng isang quadratic equation ay ang mga punto ng intersection sa abscissa axis (axis). Ang isang parabola ay maaaring hindi magsalubong sa axis, o maaaring magsalubong dito sa isa (kapag ang vertex ng parabola ay nasa axis) o dalawang punto.

Bilang karagdagan, ang koepisyent ay responsable para sa direksyon ng mga sanga ng parabola. Kung, kung gayon ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, at kung, pagkatapos ay pababa.

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

Sagot:

Sagot: .

Sagot:

Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.

Sagot: .

2. Vieta's theorem

Napakadaling gamitin ang theorem ng Vieta: kailangan mo lamang pumili ng isang pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas ng libreng termino ng equation, at ang kabuuan ay katumbas ng pangalawang koepisyent na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda.

Mahalagang tandaan na ang theorem ni Vieta ay maaari lamang ilapat sa pinababang quadratic equation ().

Tingnan natin ang ilang halimbawa:

Halimbawa #1:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang Vieta's theorem dahil . Iba pang mga coefficient: ; .

Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay:

At ang produkto ay katumbas ng:

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas at suriin kung ang kanilang kabuuan ay pantay:

• At. Ang halaga ay katumbas ng;
• At. Ang halaga ay katumbas ng;
• At. Ang halaga ay katumbas.

at ang solusyon sa system:

Kaya, at ang mga ugat ng aming equation.

Sagot: ; .

Halimbawa #2:

Solusyon:

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at pagkatapos ay suriin kung pantay ang kanilang kabuuan:

at: nagbibigay sila sa kabuuan.

at: nagbibigay sila sa kabuuan. Upang makuha, ito ay sapat na upang baguhin lamang ang mga palatandaan ng dapat na mga ugat: at, pagkatapos ng lahat, ang produkto.

Sagot:

Halimbawa #3:

Solusyon:

Ang libreng termino ng equation ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay isang negatibong numero. Ito ay posible lamang kung ang isa sa mga ugat ay negatibo at ang isa ay positibo. Samakatuwid ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pagkakaiba ng kanilang mga module.

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng:

at: ang kanilang pagkakaiba ay pantay - hindi magkasya;

at: - hindi angkop;

at: - hindi angkop;

at: - angkop. Ang natitira na lang ay tandaan na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Dahil ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, ang ugat na may mas maliit na modulus ay dapat na negatibo: . Sinusuri namin:

Sagot:

Halimbawa #4:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation ay ibinigay, na nangangahulugang:

Ang libreng termino ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay negatibo. At ito ay posible lamang kapag ang isang ugat ng equation ay negatibo at ang isa ay positibo.

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas, at pagkatapos ay tukuyin kung aling mga ugat ang dapat magkaroon ng negatibong tanda:

Malinaw, ang mga ugat lamang at angkop para sa unang kondisyon:

Sagot:

Halimbawa #5:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation ay ibinigay, na nangangahulugang:

Ang kabuuan ng mga ugat ay negatibo, na nangangahulugang, ayon sa kahit na, negatibo ang isa sa mga ugat. Pero dahil positive ang produkto nila, ibig sabihin may minus sign ang parehong ugat.

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas ng:

Malinaw, ang mga ugat ay ang mga numero at.

Sagot:

Sumang-ayon, napaka-maginhawang magkaroon ng mga ugat nang pasalita, sa halip na bilangin ang masamang diskriminasyong ito. Subukang gamitin ang theorem ni Vieta nang madalas hangga't maaari.

Ngunit kailangan ang teorama ni Vieta upang mapadali at mapabilis ang paghahanap ng mga ugat. Upang makinabang ka sa paggamit nito, dapat mong dalhin ang mga aksyon sa pagiging awtomatiko. At para dito, lutasin ang limang higit pang mga halimbawa. Ngunit huwag mandaya: hindi ka maaaring gumamit ng isang discriminant! Tanging ang teorama ni Vieta:

Mga solusyon sa mga gawain para sa malayang gawain:

Gawain 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Ayon sa teorama ni Vieta:

Gaya ng dati, sinisimulan namin ang pagpili sa piraso:

Hindi angkop dahil ang dami;

: ang dami mo lang kailangan.

Sagot: ; .

Gawain 2.

At muli ang aming paboritong Vieta theorem: ang kabuuan ay dapat na pantay, at ang produkto ay dapat na pantay.

Ngunit dahil ito ay dapat na hindi, ngunit, binago natin ang mga palatandaan ng mga ugat: at (sa kabuuan).

Sagot: ; .

Gawain 3.

Hmm... Nasaan na kaya yun?

Kailangan mong ilipat ang lahat ng mga termino sa isang bahagi:

Ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng produkto.

Okay, stop! Ang equation ay hindi ibinigay. Ngunit ang teorama ni Vieta ay naaangkop lamang sa mga ibinigay na equation. Kaya kailangan mo munang magbigay ng isang equation. Kung hindi ka makapamuno, talikuran ang ideyang ito at lutasin ito sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng isang discriminant). Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang pagbibigay ng quadratic equation ay nangangahulugan na gawing pantay ang nangungunang coefficient:

Malaki. Pagkatapos ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng at ang produkto.

Narito ito ay kasingdali ng paghihimay ng peras upang pumili: pagkatapos ng lahat, ito ay isang pangunahing numero (paumanhin para sa tautolohiya).

Sagot: ; .

Gawain 4.

Ang libreng miyembro ay negatibo. Ano ang espesyal dito? At ang katotohanan ay ang mga ugat ay magkakaroon ng iba't ibang mga palatandaan. At ngayon, sa panahon ng pagpili, hindi namin sinusuri ang kabuuan ng mga ugat, ngunit ang pagkakaiba sa kanilang mga module: ang pagkakaiba na ito ay pantay, ngunit isang produkto.

Kaya, ang mga ugat ay katumbas ng at, ngunit ang isa sa kanila ay minus. Sinasabi sa atin ng teorama ni Vieta na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, iyon ay. Nangangahulugan ito na ang mas maliit na ugat ay magkakaroon ng minus: at, dahil.

Sagot: ; .

Gawain 5.

Ano ang dapat mong gawin muna? Tama iyon, ibigay ang equation:

Muli: pinipili namin ang mga kadahilanan ng numero, at ang kanilang pagkakaiba ay dapat na katumbas ng:

Ang mga ugat ay katumbas ng at, ngunit ang isa sa kanila ay minus. alin? Ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, na nangangahulugan na ang minus ay magkakaroon ng mas malaking ugat.

Sagot: ; .

Hayaan akong buod:

1. Ang theorem ni Vieta ay ginagamit lamang sa mga quadratic equation na ibinigay.
2. Gamit ang teorama ni Vieta, mahahanap mo ang mga ugat sa pamamagitan ng pagpili, pasalita.
3. Kung ang equation ay hindi ibinigay o walang angkop na pares ng mga salik ng libreng termino ay natagpuan, kung gayon walang mga buong ugat, at kailangan mong lutasin ito sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng isang diskriminasyon).

3. Paraan para sa pagpili ng kumpletong parisukat

Kung ang lahat ng mga terminong naglalaman ng hindi alam ay kinakatawan sa anyo ng mga termino mula sa pinaikling mga formula ng multiplikasyon - ang parisukat ng kabuuan o pagkakaiba - pagkatapos ay pagkatapos palitan ang mga variable, ang equation ay maaaring iharap sa anyo ng isang hindi kumpletong quadratic equation ng uri.

Halimbawa:

Halimbawa 1:

Lutasin ang equation: .

Solusyon:

Sagot:

Halimbawa 2:

Lutasin ang equation: .

Solusyon:

Sagot:

Sa pangkalahatan, ang pagbabago ay magiging ganito:

Ito ay nagpapahiwatig: .

Hindi nagpapaalala sa iyo ng kahit ano? Ito ay isang bagay na may diskriminasyon! Iyan ay eksakto kung paano namin nakuha ang discriminant formula.

MGA PAQUADRATIC EQUATIONS. MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY

Quadratic equation- ito ay isang equation ng anyo, kung saan - ang hindi alam, - ang mga coefficient ng quadratic equation, - ang libreng termino.

Kumpletuhin ang quadratic equation- isang equation kung saan ang mga coefficient ay hindi katumbas ng zero.

Pinababang quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient, iyon ay: .

Hindi kumpletong quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient at o ang libreng termino c ay katumbas ng zero:

• kung ang koepisyent, ang equation ay mukhang: ,
• kung mayroong isang libreng termino, ang equation ay may anyo: ,
• kung at, ang equation ay mukhang: .

1. Algorithm para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

1.1. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :

1) Ipahayag natin ang hindi alam: ,

2) Suriin ang tanda ng expression:

• kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon,
• kung, kung gayon ang equation ay may dalawang ugat.

1.2. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :

1) Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket: ,

2) Ang produkto ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang equation ay may dalawang ugat:

1.3. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan:

Ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang: .

2. Algorithm para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation ng form kung saan

2.1. Solusyon gamit ang discriminant

1) Dalhin natin ang equation sa karaniwang anyo: ,

2) Kalkulahin natin ang discriminant gamit ang formula: , na nagpapahiwatig ng bilang ng mga ugat ng equation:

3) Hanapin ang mga ugat ng equation:

• kung, kung gayon ang equation ay may mga ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
• kung, kung gayon ang equation ay may ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
• kung, kung gayon ang equation ay walang mga ugat.

2.2. Solusyon gamit ang teorama ni Vieta

Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation (equation ng form kung saan) ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay, i.e. , A.

2.3. Solusyon sa pamamagitan ng paraan ng pagpili ng isang kumpletong parisukat

Ang mga problema sa quadratic equation ay pinag-aaralan kapwa sa kurikulum ng paaralan at sa mga unibersidad. Ang ibig nilang sabihin ay mga equation ng anyong a*x^2 + b*x + c = 0, kung saan x- variable, a, b, c - mga pare-pareho; a<>0 . Ang gawain ay upang mahanap ang mga ugat ng equation.

Geometric na kahulugan ng quadratic equation

Ang graph ng isang function na kinakatawan ng isang quadratic equation ay isang parabola. Ang mga solusyon (roots) ng isang quadratic equation ay ang mga punto ng intersection ng parabola na may abscissa (x) axis. Ito ay sumusunod na mayroong tatlong posibleng mga kaso:
1) ang parabola ay walang mga punto ng intersection sa abscissa axis. Nangangahulugan ito na ito ay nasa itaas na eroplano na may mga sanga sa itaas o sa ibaba na may mga sanga pababa. Sa ganitong mga kaso, ang quadratic equation ay walang tunay na ugat (ito ay may dalawang kumplikadong ugat).

2) ang parabola ay may isang punto ng intersection sa Ox axis. Ang nasabing punto ay tinatawag na vertex ng parabola, at ang quadratic equation dito ay nakakakuha ng pinakamababa o pinakamataas na halaga nito. Sa kasong ito, ang quadratic equation ay may isang tunay na ugat (o dalawang magkaparehong ugat).

3) Huling kaso sa pagsasagawa ito ay mas kawili-wili - mayroong dalawang punto ng intersection ng parabola na may abscissa axis. Nangangahulugan ito na mayroong dalawang tunay na ugat ng equation.

Batay sa pagsusuri ng mga koepisyent ng mga kapangyarihan ng mga variable, ang mga kagiliw-giliw na konklusyon ay maaaring iguguhit tungkol sa paglalagay ng parabola.

1) Kung ang coefficient a ay mas malaki kaysa sa zero, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas; kung ito ay negatibo, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa.

2) Kung ang coefficient b ay mas malaki kaysa sa zero, kung gayon ang vertex ng parabola ay nasa kaliwang kalahating eroplano kung aabutin negatibong kahulugan- pagkatapos ay sa kanan.

Derivation ng formula para sa paglutas ng isang quadratic equation

Ilipat natin ang pare-pareho mula sa quadratic equation

para sa pantay na tanda, nakukuha namin ang expression

I-multiply ang magkabilang panig sa 4a

Upang makakuha ng kumpletong parisukat sa kaliwa, magdagdag ng b^2 sa magkabilang panig at isagawa ang pagbabago

Mula dito mahahanap natin

Formula para sa discriminant at mga ugat ng isang quadratic equation

Ang discriminant ay ang halaga ng radical expression. Kung ito ay positibo, ang equation ay may dalawang tunay na ugat, na kinakalkula ng formula Kapag ang discriminant ay zero, ang quadratic equation ay may isang solusyon (dalawang coinciding roots), na madaling makuha mula sa itaas na formula para sa D=0. Kapag ang discriminant ay negatibo, ang equation ay walang tunay na ugat. Gayunpaman, ang mga solusyon sa quadratic equation ay matatagpuan sa kumplikadong eroplano, at ang kanilang halaga ay kinakalkula gamit ang formula

Ang teorama ni Vieta

Isaalang-alang natin ang dalawang ugat ng isang quadratic equation at bumuo ng isang quadratic equation sa kanilang batayan. Ang theorem ng Vieta mismo ay madaling sumusunod mula sa notation: kung mayroon tayong quadratic equation ng form kung gayon ang kabuuan ng mga ugat nito ay katumbas ng koepisyent p na kinuha sa kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ng equation ay katumbas ng libreng termino q. Ang formulaic na representasyon ng nasa itaas ay magmumukhang Kung sa isang klasikal na equation ang pare-parehong a ay nonzero, pagkatapos ay kailangan mong hatiin ang buong equation sa pamamagitan nito, at pagkatapos ay ilapat ang Vieta's theorem.

Factoring quadratic equation schedule

Hayaang itakda ang gawain: i-factor ang isang quadratic equation. Upang gawin ito, lutasin muna natin ang equation (hanapin ang mga ugat). Susunod, pinapalitan natin ang mga natagpuang ugat sa formula ng pagpapalawak para sa quadratic equation. Ito ay malulutas ang problema.

Mga problema sa quadratic equation

Gawain 1. Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation

x^2-26x+120=0 .

Solusyon: Isulat ang mga coefficient at palitan ang mga ito sa discriminant formula

ugat ng binigay na halaga ay katumbas ng 14, ito ay madaling mahanap gamit ang isang calculator, o tandaan kung kailan madalas na paggamit, gayunpaman, para sa kaginhawahan, sa dulo ng artikulo ay bibigyan kita ng isang listahan ng mga parisukat ng mga numero na maaaring madalas na nakatagpo sa mga naturang problema.
Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa root formula

at nakukuha namin

Gawain 2. Lutasin ang equation

2x 2 +x-3=0.

Solusyon: Mayroon kaming kumpletong quadratic equation, isulat ang mga coefficient at hanapin ang discriminant


Gamit ang mga kilalang formula, makikita natin ang mga ugat ng quadratic equation

Gawain 3. Lutasin ang equation

9x 2 -12x+4=0.

Solusyon: Mayroon kaming kumpletong quadratic equation. Pagtukoy sa diskriminasyon

Mayroon kaming isang kaso kung saan ang mga ugat ay nag-tutugma. Hanapin ang mga halaga ng mga ugat gamit ang formula

Gawain 4. Lutasin ang equation

x^2+x-6=0 .

Solusyon: Sa mga kaso kung saan may maliliit na coefficient para sa x, ipinapayong ilapat ang theorem ng Vieta. Sa pamamagitan ng kondisyon nito ay nakakakuha tayo ng dalawang equation

Mula sa pangalawang kundisyon nakita namin na ang produkto ay dapat na katumbas ng -6. Nangangahulugan ito na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Mayroon kaming sumusunod na posibleng pares ng mga solusyon (-3;2), (3;-2) . Isinasaalang-alang ang unang kundisyon, tinatanggihan namin ang pangalawang pares ng mga solusyon.
Ang mga ugat ng equation ay pantay

Suliranin 5. Hanapin ang mga haba ng mga gilid ng isang parihaba kung ang perimeter nito ay 18 cm at ang lawak nito ay 77 cm 2.

Solusyon: Ang kalahati ng perimeter ng isang parihaba ay katumbas ng kabuuan ng mga katabing gilid nito. Tukuyin natin ang x bilang mas malaking bahagi, pagkatapos ay 18-x ang mas maliit na bahagi nito. Ang lugar ng rektanggulo ay katumbas ng produkto ng mga haba na ito:
x(18-x)=77;
o
x 2 -18x+77=0.
Hanapin natin ang discriminant ng equation

Pagkalkula ng mga ugat ng equation

Kung x=11, yun 18's=7 , ang kabaligtaran ay totoo rin (kung x=7, pagkatapos ay 21's=9).

Suliranin 6. I-factor ang quadratic equation na 10x 2 -11x+3=0.

Solusyon: Kalkulahin natin ang mga ugat ng equation, upang gawin ito ay makikita natin ang discriminant

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa root formula at kalkulahin

Inilapat namin ang formula para sa decomposing isang quadratic equation sa pamamagitan ng mga ugat

Pagbukas ng mga bracket, makakakuha tayo ng pagkakakilanlan.

Quadratic equation na may parameter

Halimbawa 1. Sa anong mga halaga ng parameter A , may isang ugat ba ang equation (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0?

Solusyon: Sa pamamagitan ng direktang pagpapalit ng halaga a=3 makikita natin na wala itong solusyon. Susunod, gagamitin namin ang katotohanan na sa isang zero discriminant ang equation ay may isang ugat ng multiplicity 2. Isulat natin ang discriminant

Pasimplehin natin ito at i-equate ito sa zero

Nakuha namin ang isang quadratic equation na may paggalang sa parameter a, ang solusyon kung saan ay madaling makuha gamit ang teorem ng Vieta. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7, at ang kanilang produkto ay 12. Sa pamamagitan ng simpleng paghahanap, itinatag namin na ang mga numero 3,4 ang magiging ugat ng equation. Dahil tinanggihan na namin ang solusyon a=3 sa simula ng mga kalkulasyon, ang tanging tama ay - a=4. Kaya, para sa a=4 ang equation ay may isang ugat.

Halimbawa 2. Sa anong mga halaga ng parameter A , ang equation a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 may higit sa isang ugat?

Solusyon: Isaalang-alang muna natin ang mga singular na puntos, ang mga ito ay ang mga halaga a=0 at a=-3. Kapag a=0, ang equation ay pasimplehin sa anyo na 6x-9=0; x=3/2 at magkakaroon ng isang ugat. Para sa a= -3 makuha natin ang pagkakakilanlan 0=0.
Kalkulahin natin ang discriminant

at hanapin ang halaga ng isang kung saan ito ay positibo

Mula sa unang kundisyon nakakakuha tayo ng>3. Para sa pangalawa, makikita natin ang discriminant at mga ugat ng equation


Tukuyin natin ang mga pagitan kung saan tumatagal ang function mga positibong halaga. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng puntong a=0 nakukuha natin 3>0 . Kaya, sa labas ng pagitan (-3;1/3) ang function ay negatibo. Huwag kalimutan ang punto a=0, na dapat na hindi kasama dahil ang orihinal na equation ay may isang ugat dito.
Bilang resulta, nakakakuha kami ng dalawang pagitan na nakakatugon sa mga kondisyon ng problema

Magkakaroon ng maraming katulad na mga gawain sa pagsasanay, subukang malaman ang mga gawain sa iyong sarili at huwag kalimutang isaalang-alang ang mga kondisyon na kapwa eksklusibo. Pag-aralan nang mabuti ang mga formula para sa paglutas ng mga quadratic equation; kadalasang kailangan ang mga ito sa mga kalkulasyon sa iba't ibang problema at agham.

Kopyevskaya rural secondary school

10 Paraan para Malutas ang Mga Quadratic Equation

Pinuno: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

guro sa matematika

nayon Kopevo, 2007

1. Kasaysayan ng pagbuo ng mga quadratic equation

1.1 Quadratic equation sa Sinaunang Babylon

1.2 Paano binubuo at nalulutas ni Diophantus ang mga quadratic equation

1.3 Quadratic equation sa India

1.4 Quadratic equation ni al-Khorezmi

1.5 Quadratic equation sa Europe XIII - XVII siglo

1.6 Tungkol sa teorama ni Vieta

2. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation

Konklusyon

Panitikan

1. Kasaysayan ng pagbuo ng mga quadratic equation

1.1 Quadratic equation sa Sinaunang Babylon

Ang pangangailangan upang malutas ang mga equation hindi lamang ng una, kundi pati na rin ng pangalawang antas, kahit na noong sinaunang panahon, ay sanhi ng pangangailangan upang malutas ang mga problema na may kaugnayan sa paghahanap ng mga lugar ng mga plot ng lupa at sa gawaing paghuhukay ng isang militar na kalikasan, pati na rin tulad ng pag-unlad ng astronomiya at matematika mismo. Ang mga quadratic equation ay maaaring malutas sa paligid ng 2000 BC. e. Babylonians.

Gamit ang modernong algebraic notation, maaari nating sabihin na sa kanilang mga cuneiform na teksto ay mayroong, bilang karagdagan sa mga hindi kumpleto, tulad, halimbawa, kumpletong quadratic equation:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Ang panuntunan para sa paglutas ng mga equation na ito, na itinakda sa mga teksto ng Babylonian, ay mahalagang tumutugma sa modernong isa, ngunit hindi alam kung paano nakarating ang mga Babylonians sa panuntunang ito. Halos lahat ng mga tekstong cuneiform na natagpuan sa ngayon ay nagbibigay lamang ng mga problema sa mga solusyon na inilatag sa anyo ng mga recipe, na walang indikasyon kung paano sila natagpuan.

Sa kabila ng mataas na antas ng pag-unlad ng algebra sa Babylon, ang mga tekstong cuneiform ay hindi naglalaman ng konsepto ng negatibong numero at pangkalahatang pamamaraan paglutas ng mga quadratic equation.

1.2 Paano binubuo at nalulutas ni Diophantus ang mga quadratic equation.

Ang Diophantus' Arithmetic ay hindi naglalaman ng isang sistematikong presentasyon ng algebra, ngunit naglalaman ito ng isang sistematikong serye ng mga problema, na sinamahan ng mga paliwanag at nalutas sa pamamagitan ng pagbuo ng mga equation ng iba't ibang antas.

Kapag bumubuo ng mga equation, mahusay na pinipili ni Diophantus ang mga hindi alam upang gawing simple ang solusyon.

Narito, halimbawa, ang isa sa kanyang mga gawain.

Suliranin 11."Maghanap ng dalawang numero, alam na ang kanilang kabuuan ay 20 at ang kanilang produkto ay 96"

Ang mga dahilan ni Diophantus ay ang mga sumusunod: mula sa mga kondisyon ng problema ay sumusunod na ang mga kinakailangang numero ay hindi pantay, dahil kung sila ay pantay, kung gayon ang kanilang produkto ay hindi magiging katumbas ng 96, ngunit sa 100. Kaya, ang isa sa kanila ay higit pa sa kalahati ng kanilang kabuuan, ibig sabihin. 10 + x, ang isa ay mas mababa, i.e. 10's. Ang pagkakaiba sa pagitan nila 2x .

Kaya ang equation:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Mula rito x = 2. Ang isa sa mga kinakailangang numero ay katumbas ng 12 , iba pa 8 . Solusyon x = -2 para sa Diophantus ay hindi umiiral, dahil ang Griyego matematika alam lamang positibong numero.

Kung malulutas natin ang problemang ito sa pamamagitan ng pagpili ng isa sa mga kinakailangang numero bilang hindi alam, pagkatapos ay darating tayo sa isang solusyon sa equation

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Malinaw na sa pamamagitan ng pagpili ng kalahating pagkakaiba ng mga kinakailangang numero bilang hindi alam, pinapasimple ni Diophantus ang solusyon; nagagawa niyang bawasan ang problema sa paglutas ng hindi kumpletong quadratic equation (1).

1.3 Mga Quadratic Equation sa India

Ang mga problema sa quadratic equation ay matatagpuan na sa astronomical treatise na "Aryabhattiam", na pinagsama-sama noong 499 ng Indian mathematician at astronomer na si Aryabhatta. Binalangkas ng isa pang siyentipikong Indian, si Brahmagupta (ika-7 siglo). pangkalahatang tuntunin mga solusyon ng quadratic equation na binawasan sa iisang canonical form:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

Sa equation (1), ang mga coefficient, maliban A, maaari ding maging negatibo. Ang pamumuno ni Brahmagupta ay halos pareho sa atin.

Sa sinaunang India, ang mga pampublikong kumpetisyon sa paglutas ng mahihirap na problema ay karaniwan. Ganito ang sabi ng isa sa mga lumang aklat sa India tungkol sa gayong mga kompetisyon: “Kung paanong ang araw ay naglalaho sa mga bituin sa taglay nitong kinang, gayon din aral na tao lampasan ang kaluwalhatian ng iba sa mga popular na asembliya sa pamamagitan ng pagmumungkahi at paglutas ng mga problema sa algebraic.” Ang mga suliranin ay madalas na ipinakita sa anyong patula.

Ito ay isa sa mga problema ng sikat na Indian mathematician noong ika-12 siglo. Mga Bhaskar.

Suliranin 13.

“Isang kawan ng mga malikot na unggoy, at labindalawa sa tabi ng mga baging...

Ang mga awtoridad, pagkatapos kumain, ay nagsaya. Nagsimula silang tumalon, magbitin...

Nandiyan sila sa plaza, walong bahagi. Ilang unggoy ang naroon?

Nagsasaya ako sa clearing. Sabihin mo sa akin, sa paketeng ito?

Ang solusyon ni Bhaskara ay nagpapahiwatig na alam niya na ang mga ugat ng quadratic equation ay may dalawang halaga (Fig. 3).

Ang equation na tumutugma sa problema 13 ay:

( x /8) 2 + 12 = x

Sumulat si Bhaskara sa ilalim ng pagkukunwari:

x 2 - 64x = -768

at, upang makumpleto ang kaliwang bahagi ng equation na ito sa parisukat, idinagdag sa magkabilang panig 32 2 , pagkatapos ay makakakuha ng:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Quadratic equation sa al - Khorezmi

Sa algebraic treatise ng al-Khorezmi, isang klasipikasyon ng linear at quadratic equation ang ibinigay. Ang may-akda ay nagbibilang ng 6 na uri ng mga equation, na nagpapahayag ng mga ito bilang mga sumusunod:

1) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga ugat," i.e. palakol 2 + c = b X.

2) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga numero", i.e. palakol 2 = c.

3) "Ang mga ugat ay katumbas ng bilang," i.e. ah = s.

4) "Ang mga parisukat at numero ay katumbas ng mga ugat," i.e. palakol 2 + c = b X.

5) "Ang mga parisukat at ugat ay katumbas ng mga numero", i.e. ah 2 + bx = s.

6) "Ang mga ugat at numero ay katumbas ng mga parisukat," i.e. bx + c = palakol 2 .

Para kay al-Khorezmi, na umiwas sa paggamit ng mga negatibong numero, ang mga termino ng bawat isa sa mga equation na ito ay mga addend at hindi mga subtractable. Sa kasong ito, ang mga equation na walang positibong solusyon ay malinaw na hindi isinasaalang-alang. Ang may-akda ay nagtatakda ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito gamit ang mga pamamaraan ng al-jabr at al-muqabala. Ang kanyang mga desisyon, siyempre, ay hindi ganap na tumutugma sa atin. Hindi sa banggitin na ito ay purong retorika, dapat tandaan, halimbawa, na kapag nilutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng unang uri

Si al-Khorezmi, tulad ng lahat ng mga mathematician bago ang ika-17 siglo, ay hindi isinasaalang-alang ang zero na solusyon, marahil dahil sa mga partikular na praktikal na problema ay hindi ito mahalaga. Kapag nilulutas ang kumpletong quadratic equation, itinakda ni al-Khorezmi ang mga patakaran para sa paglutas ng mga ito gamit ang mga partikular na halimbawang numero, at pagkatapos ay mga geometric na patunay.

Suliranin 14.“Ang parisukat at ang bilang na 21 ay katumbas ng 10 ugat. Hanapin ang ugat" (nagpapahiwatig ng ugat ng equation x 2 + 21 = 10x).

Ang solusyon ng may-akda ay ganito: hatiin ang bilang ng mga ugat sa kalahati, makakakuha ka ng 5, i-multiply ang 5 sa sarili nito, ibawas ang 21 mula sa produkto, ang natitira ay 4. Kunin ang ugat mula sa 4, makakakuha ka ng 2. Ibawas ang 2 mula sa 5 , makakakuha ka ng 3, ito ang magiging ninanais na ugat. O magdagdag ng 2 hanggang 5, na nagbibigay ng 7, ito ay ugat din.

Ang treatise ng al-Khorezmi ay ang unang libro na dumating sa amin, na sistematikong nagtatakda ng pag-uuri ng mga quadratic equation at nagbibigay ng mga formula para sa kanilang solusyon.

1.5 Quadratic equation sa Europe XIII - XVII bb

Ang mga pormula para sa paglutas ng mga quadratic equation sa mga linya ng al-Khwarizmi sa Europe ay unang itinakda sa Book of Abacus, na isinulat noong 1202 ng Italian mathematician na si Leonardo Fibonacci. Ang malaking gawaing ito, na sumasalamin sa impluwensya ng matematika, parehong mga bansang Islamiko at Sinaunang Greece, ay nakikilala sa pamamagitan ng parehong pagkakumpleto at kalinawan ng presentasyon. Ang may-akda ay nakapag-iisa na bumuo ng ilang bago mga halimbawa ng algebraic paglutas ng mga problema at siya ang una sa Europa na nagpakilala ng mga negatibong numero. Ang kanyang libro ay nag-ambag sa paglaganap ng kaalaman sa algebraic hindi lamang sa Italya, kundi pati na rin sa Alemanya, Pransya at iba pang mga bansa sa Europa. Maraming mga problema mula sa Aklat ng Abacus ang ginamit sa halos lahat ng mga aklat-aralin sa Europa noong ika-16 - ika-17 siglo. at bahagyang XVIII.

Ang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation ay binawasan sa isang solong canonical form:

x 2 + bx = c,

para sa lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga coefficient sign b , Sa ay binuo sa Europa lamang noong 1544 ni M. Stiefel.

Ang derivation ng formula para sa paglutas ng quadratic equation sa pangkalahatang anyo ay makukuha mula sa Viète, ngunit ang Viète ay kumikilala lamang ng mga positibong ugat. Ang mga Italian mathematician na sina Tartaglia, Cardano, Bombelli ay kabilang sa mga una noong ika-16 na siglo. Bilang karagdagan sa mga positibo, ang mga negatibong ugat ay isinasaalang-alang din. Noong ika-17 siglo lamang. Salamat sa gawain ni Girard, Descartes, Newton at iba pang mga siyentipiko, ang paraan ng paglutas ng mga quadratic equation ay tumatagal sa isang modernong anyo.

1.6 Tungkol sa teorama ni Vieta

Ang theorem na nagpapahayag ng relasyon sa pagitan ng mga coefficient ng isang quadratic equation at ang mga ugat nito, na pinangalanan sa Vieta, ay binuo niya sa unang pagkakataon noong 1591 tulad ng sumusunod: "Kung B + D, pinarami ng A - A 2 , katumbas BD, Iyon A katumbas SA at pantay D ».

Upang maunawaan ang Vieta, dapat nating tandaan iyon A, tulad ng anumang titik ng patinig, ay nangangahulugang hindi alam (aming X), patinig SA, D- coefficients para sa hindi alam. Sa wika ng modernong algebra, ang nasa itaas na pagbabalangkas ng Vieta ay nangangahulugang: kung mayroon

(isang + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Sa pagpapahayag ng ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng mga equation na may mga pangkalahatang formula na nakasulat gamit ang mga simbolo, itinatag ni Viète ang pagkakapareho sa mga paraan ng paglutas ng mga equation. Gayunpaman, ang simbolismo ng Viet ay malayo pa rin modernong hitsura. Hindi niya nakilala ang mga negatibong numero at samakatuwid, sa paglutas ng mga equation, isinasaalang-alang lamang niya ang mga kaso kung saan ang lahat ng mga ugat ay positibo.

2. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation

Ang mga quadratic equation ay ang pundasyon kung saan nakasalalay ang maringal na edipisyo ng algebra. Quadratic equation ay matatagpuan malawak na aplikasyon kapag nilulutas ang trigonometric, exponential, logarithmic, irrational at transendental equation at inequalities. Alam nating lahat kung paano lutasin ang mga quadratic equation mula sa paaralan (ika-8 baitang) hanggang sa pagtatapos.