Reducerea fracțiilor la un numitor comun este o regulă. Reducerea unei fracții la cel mai mic numitor comun: regulă, soluții de exemplu

Schema de reducere la un numitor comun

1. Trebuie să determinați care va fi cel mai mic multiplu comun al numitorilor fracțiilor. Dacă aveți de-a face cu un număr mixt sau întreg, atunci trebuie mai întâi să îl transformați într-o fracție și abia apoi să determinați cel mai mic multiplu comun. Pentru a converti un număr întreg într-o fracție, trebuie să scrieți numărul însuși la numărător și unul la numitor. De exemplu, numărul 5 ca fracție ar arăta astfel: 5/1. Pentru a transforma un număr mixt într-o fracție, trebuie să înmulțiți întregul număr cu numitorul și să adăugați numărătorul. Exemplu: 8 numere întregi și 3/5 ca fracție = 8x5+3/5 = 43/5.
2. După aceasta, este necesar să găsiți un factor suplimentar, care este determinat prin împărțirea NZ la numitorul fiecărei fracții.
3. Ultimul pas este înmulțirea fracției cu un factor suplimentar.

Este important să ne amintim că reducerea la numitor comun Nu este doar pentru adunare sau scădere. Pentru a compara mai multe fracții cu numitori diferiți, mai întâi trebuie să reduceți fiecare dintre ele la un numitor comun.

Reducerea fracțiilor la un numitor comun

Pentru a înțelege cum să reduceți o fracție la un numitor comun, trebuie să înțelegeți unele proprietăți ale fracțiilor. Asa de, proprietate importantă, folosit pentru a reduce la NOS, este egalitatea fracțiilor. Cu alte cuvinte, dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite cu un număr, rezultatul este o fracție egală cu cea anterioară. Să luăm ca exemplu următorul exemplu. Pentru a reduce fracțiile 5/9 și 5/6 la cel mai mic numitor comun, trebuie să faceți următoarele acțiuni:

1. Mai întâi găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor. ÎN în acest caz, pentru numerele 9 și 6, LCM va fi egal cu 18.
2. Determinăm factori suplimentari pentru fiecare dintre fracții. Acest lucru se face după cum urmează. Împărțim LCM la numitorul fiecărei fracții, ca rezultat obținem 18: 9 = 2 și 18: 6 = 3. Aceste numere vor fi factori suplimentari.
3. Aducem două fracții la NOS. Când înmulțiți o fracție cu un număr, trebuie să înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul. Fracția 5/9 poate fi înmulțită cu un factor suplimentar de 2, rezultând o fracție egală cu cea dată - 10/18. Facem același lucru cu a doua fracție: înmulțim 5/6 cu 3, rezultând 15/18.

După cum putem vedea din exemplul de mai sus, ambele fracții au fost reduse la cel mai mic numitor comun. Pentru a înțelege în sfârșit cum să găsiți un numitor comun, trebuie să mai stăpâniți o proprietate a fracțiilor. Constă în faptul că numărătorul și numitorul unei fracții pot fi reduse cu același număr, care se numește divizor comun. De exemplu, fracția 12/30 poate fi redusă la 2/5 dacă este împărțită la divizorul său comun - numărul 6.

Inițial, am vrut să includ tehnici ale numitorului comun în secțiunea Adunarea și scăderea fracțiilor. Dar existau atât de multe informații, iar importanța lor era atât de mare (la urma urmei, nu numai fracții numerice), că este mai bine să studiem această problemă separat.

Deci, să presupunem că avem două fracții cu numitori diferiți. Și vrem să ne asigurăm că numitorii devin aceiași. Proprietatea de bază a unei fracții vine în ajutor, care, permiteți-mi să vă reamintesc, sună astfel:

O fracție nu se va schimba dacă numărătorul și numitorul ei sunt înmulțiți cu același număr, altul decât zero.

Astfel, dacă alegeți corect factorii, numitorii fracțiilor vor deveni egali - acest proces se numește reducere la un numitor comun. Iar numerele necesare, „uniformând” numitorii, se numesc factori suplimentari.

De ce trebuie să reducem fracțiile la un numitor comun? Iată doar câteva motive:

1. Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți. Nu există altă modalitate de a efectua această operație;
2. Compararea fracțiilor. Uneori, reducerea la un numitor comun simplifică foarte mult această sarcină;
3. Rezolvarea problemelor care implică fracții și procente. Procente sunt, de fapt, expresii obișnuite care conțin fracții.

Există multe modalități de a găsi numere care, atunci când sunt înmulțite cu ele, vor face ca numitorii fracțiilor să fie egali. Vom lua în considerare doar trei dintre ele - în ordinea complexității crescânde și, într-un sens, a eficacității.

Înmulțirea încrucișată

Cel mai simplu și mod de încredere, care este garantat să egaleze numitorii. Vom acționa „într-un mod cu cap”: înmulțim prima fracție cu numitorul celei de-a doua fracții, iar a doua cu numitorul primei. Ca urmare, numitorii ambelor fracții vor deveni egali cu produsul numitorilor inițiali. Aruncă o privire:

Ca factori suplimentari, luați în considerare numitorii fracțiilor învecinate. Primim:

Da, atât de simplu. Dacă abia începeți să studiați fracțiile, este mai bine să lucrați folosind această metodă - astfel vă veți asigura împotriva multor greșeli și veți obține garantat rezultatul.

Singurul dezavantaj aceasta metoda- trebuie să faci multă numărare, pentru că numitorii se înmulțesc „iar și iar”, iar rezultatul poate fi numere foarte mari. Acesta este prețul de plătit pentru fiabilitate.

Metoda divizorului comun

Această tehnică ajută la reducerea semnificativă a calculelor, dar, din păcate, este folosită destul de rar. Metoda este următoarea:

1. Înainte de a merge drept înainte (adică, folosind metoda încrucișată), aruncați o privire la numitori. Poate că unul dintre ele (cel mai mare) este împărțit în celălalt.
2. Numărul rezultat din această împărțire va fi un factor suplimentar pentru fracția cu numitor mai mic.
3. În acest caz, o fracție cu un numitor mare nu trebuie să fie înmulțită cu nimic - aici se află economiile. În același timp, probabilitatea de eroare este redusă drastic.

Sarcină. Găsiți semnificațiile expresiilor:

Rețineți că 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Deoarece în ambele cazuri un numitor este împărțit fără rest la celălalt, folosim metoda factorilor comuni. Avem:

Rețineți că a doua fracție nu a fost înmulțită cu nimic. De fapt, am redus cantitatea de calcul la jumătate!

Apropo, nu am luat fracțiile din acest exemplu întâmplător. Dacă sunteți interesat, încercați să le numărați folosind metoda încrucișată. După reducere, răspunsurile vor fi aceleași, dar va fi mult mai mult de lucru.

Aceasta este puterea metodei divizorilor comuni, dar, din nou, poate fi folosită numai atunci când unul dintre numitori este divizibil cu celălalt fără rest. Ceea ce se întâmplă destul de rar.

Metoda multiplă cel mai puțin comună

Când reducem fracțiile la un numitor comun, încercăm în esență să găsim un număr care este divizibil cu fiecare numitor. Apoi aducem numitorii ambelor fracții la acest număr.

Există o mulțime de astfel de numere, iar cel mai mic dintre ele nu va fi neapărat egal cu produsul direct al numitorilor fracțiilor originale, așa cum se presupune în metoda „încrucișată”.

De exemplu, pentru numitorii 8 și 12, numărul 24 este destul de potrivit, deoarece 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Acest număr este mult mai mic decât produsul 8 · 12 = 96.

Cel mai mic număr, care este divizibil cu fiecare dintre numitori, se numește cel mai mic multiplu comun al acestora (LCM).

Notație: Cel mai mic multiplu comun al lui a și b este notat cu LCM(a ; b) . De exemplu, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 .

Dacă reușiți să găsiți un astfel de număr, suma totală a calculelor va fi minimă. Uită-te la exemple:

Sarcină. Găsiți semnificațiile expresiilor:

Rețineți că 234 = 117 2; 351 = 117 3. Factorii 2 și 3 sunt copprimi (nu au alți factori comuni decât 1), iar factorul 117 este comun. Prin urmare, LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

La fel, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Factorii 3 și 4 sunt coprimi, iar factorul 5 este comun. Prin urmare, LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Acum să aducem fracțiile la numitori comuni:

Observați cât de util a fost factorizarea numitorilor inițiali:

1. După ce am descoperit factori identici, am ajuns imediat la cel mai mic multiplu comun, ceea ce, în general, este o problemă nebanală;
2. Din expansiunea rezultată puteți afla ce factori „lipsesc” în fiecare fracție. De exemplu, 234 · 3 = 702, prin urmare, pentru prima fracție factorul suplimentar este 3.

Pentru a aprecia cât de multă diferență face metoda cea mai puțin comună multiplă, încercați să calculați aceleași exemple folosind metoda încrucișată. Desigur, fără calculator. Cred că după aceasta comentariile vor fi inutile.

Să nu credeți că nu vor exista fracții atât de complexe în exemplele reale. Se întâlnesc tot timpul, iar sarcinile de mai sus nu sunt limita!

Singura problemă este cum să găsiți acest NOC. Uneori, totul se găsește în câteva secunde, literalmente „cu ochi”, dar, în general, aceasta este o sarcină de calcul complexă care necesită o analiză separată. Nu vom atinge asta aici.

Reducerea fracțiilor la un numitor comun

Fracții Și au aceiași numitori. Ei spun că au numitor comun 25. Fracții și au numitori diferiti, dar pot fi reduse la un numitor comun folosind proprietatea de bază a fracțiilor. Pentru a face acest lucru, vom găsi un număr care este divizibil cu 8 și 3, de exemplu, 24. Să aducem fracțiile la numitorul 24, pentru a face acest lucru înmulțim numărătorul și numitorul fracției cu multiplicator suplimentar 3. Factorul suplimentar este de obicei scris în stânga deasupra numărătorului:

Înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu un factor suplimentar de 8:

Să aducem fracțiile la un numitor comun. Cel mai adesea, fracțiile sunt reduse la cel mai mic numitor comun, care este cel mai mic multiplu comun al numitorilor fracțiilor date. Deoarece LCM (8, 12) = 24, atunci fracțiile pot fi reduse la un numitor de 24. Să găsim factori suplimentari ai fracțiilor: 24:8 = 3, 24:12 = 2. Atunci

Mai multe fracții pot fi reduse la un numitor comun.

Exemplu. Să aducem fracțiile la un numitor comun. Deoarece 25 = 5 2, 10 = 2 5, 6 = 2 3, atunci LCM (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.

Să găsim factori suplimentari ai fracțiilor și să-i aducem la numitorul 150:

Comparația fracțiilor

În fig. În figura 4.7 este prezentat un segment AB de lungime 1. Este împărțit în 7 părți egale. Segmentul AC are lungime, iar segmentul AD are lungime.

Lungimea segmentului AD este mai mare decât lungimea segmentului AC, adică fracția este mai mare decât fracția

Dintre două fracții cu numitor comun, cea cu numărătorul mai mare este mai mare, adică.

De exemplu, sau

Pentru a compara oricare două fracții, reduceți-le la un numitor comun și apoi aplicați regula pentru compararea fracțiilor cu un numitor comun.

Exemplu. Comparați fracții

Soluţie. LCM (8, 14) = 56. Atunci Din moment ce 21 > 20, atunci

Dacă prima fracție este mai mică decât a doua, iar a doua este mai mică decât a treia, atunci prima este mai mică decât a treia.

Dovada. Să fie date trei fracții. Să le aducem la un numitor comun. Lasă-le apoi să arate ca Deoarece prima fracție este mai mică

al doilea, apoi r< s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s < t. Из полученных неравенств для натуральных чисел следует, что r < t, тогда первая дробь меньше третьей.

Fracția se numește corect, dacă numărătorul său este mai mic decât numitorul său.

Fracția se numește gresit, dacă numărătorul său este mai mare sau egal cu numitorul.

De exemplu, fracțiile sunt proprii și fracțiile sunt improprii.

O fracție proprie este mai mică decât 1 și fracție improprie mai mare sau egal cu 1.

În această lecție ne vom uita la reducerea fracțiilor la un numitor comun și vom rezolva probleme pe această temă. Să definim conceptul de numitor comun și un factor suplimentar, amintim reciprocul numere prime. Să definim conceptul de cel mai mic numitor comun (LCD) și să rezolvăm o serie de probleme pentru a-l găsi.

Subiect: Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

Lecția: Reducerea fracțiilor la un numitor comun

Repetiţie. Proprietatea principală a unei fracții.

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr natural, obțineți o fracție egală.

De exemplu, numărătorul și numitorul unei fracții pot fi împărțite la 2. Obținem fracția. Această operație se numește reducerea fracției. De asemenea, puteți efectua transformarea inversă prin înmulțirea numărătorului și numitorului fracției cu 2. În acest caz, spunem că am redus fracția la un nou numitor. Numărul 2 se numește factor suplimentar.

Concluzie. O fracție poate fi redusă la orice numitor care este un multiplu al numitorului fracției date. Pentru a aduce o fracție la un nou numitor, numărătorul și numitorul acesteia sunt înmulțite cu un factor suplimentar.

1. Reduceți fracția la numitorul 35.

Numărul 35 este un multiplu al lui 7, adică 35 e divizibil cu 7 fără rest. Aceasta înseamnă că această transformare este posibilă. Să găsim un factor suplimentar. Pentru a face acest lucru, împărțiți 35 la 7. Obținem 5. Înmulțiți numărătorul și numitorul fracției inițiale cu 5.

2. Reduceți fracția la numitorul 18.

Să găsim un factor suplimentar. Pentru a face acest lucru, împărțiți noul numitor la cel original. Obținem 3. Înmulțiți numărătorul și numitorul acestei fracții cu 3.

3. Reduceți fracția la un numitor de 60.

Împărțirea a 60 la 15 oferă un factor suplimentar. Este egal cu 4. Înmulțiți numărătorul și numitorul cu 4.

4. Reduceți fracția la numitorul 24

În cazuri simple, reducerea la un nou numitor se realizează mental. Se obișnuiește doar să se indice factorul suplimentar în spatele unei paranteze ușor la dreapta și deasupra fracției inițiale.

O fracție poate fi redusă la un numitor de 15 și o fracție poate fi redusă la un numitor de 15. Fracțiile au și un numitor comun de 15.

Numitorul comun al fracțiilor poate fi orice multiplu comun al numitorilor acestora. Pentru simplitate, fracțiile sunt reduse la cel mai mic numitor comun. Este egal cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor fracțiilor date.

Exemplu. Reduceți la cel mai mic numitor comun al fracției și .

Mai întâi, să găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor acestor fracții. Acest număr este 12. Să găsim un factor suplimentar pentru prima și a doua fracție. Pentru a face acest lucru, împărțiți 12 la 4 și 6. Trei este un factor suplimentar pentru prima fracție, iar doi este pentru a doua. Să aducem fracțiile la numitorul 12.

Am adus fracțiile la un numitor comun, adică am găsit fracții egale care au același numitor.

Regulă. Pentru a reduce fracțiile la cel mai mic numitor comun, trebuie

Mai întâi, găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor acestor fracții, acesta va fi cel mai mic numitor comun al acestora;

În al doilea rând, împărțiți cel mai mic numitor comun la numitorii acestor fracții, adică găsiți un factor suplimentar pentru fiecare fracție.

În al treilea rând, înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu factorul ei suplimentar.

a) Reduceți fracțiile și la un numitor comun.

Cel mai mic numitor comun este 12. Factorul suplimentar pentru prima fracție este 4, pentru a doua - 3. Reducem fracțiile la numitorul 24.

b) Reduceți fracțiile și la un numitor comun.

Cel mai mic numitor comun este 45. Împărțind 45 la 9 la 15 dă 5 și, respectiv, 3. Reducem fracțiile la numitorul 45.

c) Reduceți fracțiile și la un numitor comun.

Numitorul comun este 24. Factorii suplimentari sunt 2 și, respectiv, 3.

Uneori poate fi dificil să găsiți verbal cel mai mic multiplu comun al numitorilor fracțiilor date. Apoi numitorul comun și factorii suplimentari se găsesc folosind descompunerea în factori primi.

Reduceți fracțiile și la un numitor comun.

Să factorăm numerele 60 și 168 în factori primi. Să scriem expansiunea numărului 60 și să adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din a doua expansiune. Să înmulțim 60 cu 14 și să obținem un numitor comun de 840. Factorul suplimentar pentru prima fracție este 14. Factorul suplimentar pentru a doua fracție este 5. Să aducem fracțiile la un numitor comun de 840.

Bibliografie

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. şi altele.Matematică 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica clasa a VI-a. - Gimnaziul, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. - Iluminismul, 1989.

4. Rurukin A.N., Ceaikovski I.V. Teme pentru cursul de matematică pentru clasele 5-6. - ZSh MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Ceaikovski K.G. Matematică 5-6. Un manual pentru elevii de clasa a VI-a la școala de corespondență MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. si altele.Matematica: Manual-interlocutor pentru clasele 5-6 de gimnaziu. Biblioteca profesorului de matematică. - Iluminismul, 1989.

Puteți descărca cărțile specificate în clauza 1.2. a acestei lecții.

Teme pentru acasă

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. si altele.Matematica 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (link vezi 1.2)

Teme: Nr. 297, Nr. 298, Nr. 300.

Alte sarcini: nr. 270, nr. 290