Cum să găsiți LCM (cel mai mic multiplu comun)

Un multiplu comun de două numere întregi este un număr întreg care este divizibil egal cu ambele numere date fără a lăsa un rest.

Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi este cel mai mic dintre toate numerele întregi care este divizibil cu ambele numere date fără a lăsa un rest.

Metoda 1. Puteți găsi LCM, pe rând, pentru fiecare dintre numerele date, notând în ordine crescătoare toate numerele care se obțin prin înmulțirea lor cu 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.

Exemplu pentru numerele 6 și 9.
Înmulțim numărul 6, succesiv, cu 1, 2, 3, 4, 5.
Primim: 6, 12, 18 , 24, 30
Înmulțim numărul 9, succesiv, cu 1, 2, 3, 4, 5.
Primim: 9, 18 , 27, 36, 45
După cum puteți vedea, LCM pentru numerele 6 și 9 va fi egal cu 18.

Această metodă este convenabilă atunci când ambele numere sunt mici și este ușor să le înmulțiți cu o succesiune de numere întregi. Cu toate acestea, există momente când trebuie să găsiți LCM pentru două cifre sau numere din trei cifre, și, de asemenea, atunci când există trei sau chiar mai multe numere inițiale.

Metoda 2. Puteți găsi LCM prin factorizarea numerelor originale în factori primi.
După descompunere, este necesar să tăiați factorii primi din seria rezultată aceleasi numere. Numerele rămase ale primului număr vor fi un multiplicator pentru al doilea, iar numerele rămase ale celui de-al doilea vor fi un multiplicator pentru primul.

Exemplu pentru numerele 75 și 60.
Cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere pe rând. Pentru a face acest lucru, să factorăm 75 și 60 în factori simpli:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
După cum puteți vedea, factorii 3 și 5 apar în ambele rânduri. Le „tașăm” mental.
Să notăm factorii rămași incluși în extinderea fiecăruia dintre aceste numere. Când descompunem numărul 75, rămânem cu numărul 5, iar la descompunerea numărului 60, rămânem cu 2 * 2
Aceasta înseamnă că, pentru a determina LCM pentru numerele 75 și 60, trebuie să înmulțim numerele rămase din expansiunea lui 75 (acesta este 5) cu 60 și să înmulțim numerele rămase din expansiunea lui 60 (acesta este 2). * 2) cu 75. Adică, pentru ușurință de înțelegere, spunem că înmulțim „în cruce”.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Așa am găsit LCM pentru numerele 60 și 75. Acesta este numărul 300.

Exemplu. Determinați LCM pentru numerele 12, 16, 24
ÎN în acest caz,, acțiunile noastre vor fi ceva mai complicate. Dar mai întâi, ca întotdeauna, să factorizăm toate numerele
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Pentru a determina corect LCM, selectăm cel mai mic dintre toate numerele (acesta este numărul 12) și parcurgem secvențial factorii săi, tăindu-i dacă în cel puțin unul dintre celelalte rânduri de numere întâlnim același factor care nu a avut încă fost taiat.

Pasul 1 . Vedem că 2 * 2 apare în toate seriile de numere. Să le tăiem.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Pasul 2. În factorii primi ai numărului 12 rămâne doar numărul 3. Dar este prezent în factorii primi ai numărului 24. Tăiem numărul 3 de pe ambele rânduri, în timp ce nu sunt așteptate acțiuni pentru numărul 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

După cum puteți vedea, la descompunerea numărului 12, am „barat” toate numerele. Aceasta înseamnă că constatarea LOC este finalizată. Tot ce rămâne este să-i calculăm valoarea.
Pentru numărul 12, luați factorii rămași ai numărului 16 (următorul în ordine crescătoare)
12 * 2 * 2 = 48
Acesta este NOC

După cum puteți vedea, în acest caz, găsirea LCM a fost oarecum mai dificilă, dar când trebuie să-l găsiți pentru trei sau mai multe numere, aceasta metoda vă permite să o faceți mai repede. Cu toate acestea, ambele metode de găsire a LCM sunt corecte.

Cel mai mare divizor comun

Definiția 2

Dacă un număr natural a este divizibil cu un număr natural $b$, atunci $b$ se numește divizor al lui $a$, iar $a$ este numit multiplu al lui $b$.

Fie $a$ și $b$ numere naturale. Numărul $c$ se numește divizor comun atât al lui $a$ cât și al $b$.

Mulțimea divizorilor comuni ai numerelor $a$ și $b$ este finită, deoarece niciunul dintre acești divizori nu poate fi mai mare decât $a$. Aceasta înseamnă că printre acești divizori există unul mai mare, care se numește cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ și $b$ și este notat cu următoarea notație:

$GCD\(a;b)\ sau \D\(a;b)$

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun al două numere aveți nevoie de:

1. Găsiți produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare divizor comun dorit.

Exemplul 1

Găsiți mcd-ul numerelor $121$ și $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Alegeți numerele care sunt incluse în extinderea acestor numere

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Găsiți produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare divizor comun dorit.

$GCD=2\cdot 11=22$

Exemplul 2

Găsiți mcd-ul monomiilor $63$ și $81$.

Vom găsi conform algoritmului prezentat. Pentru aceasta:

Să factorăm numerele în factori primi

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Selectăm numerele care sunt incluse în extinderea acestor numere

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Să găsim produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare divizor comun dorit.

$GCD=3\cdot 3=9$

Puteți găsi mcd-ul a două numere într-un alt mod, folosind un set de divizori de numere.

Exemplul 3

Găsiți mcd-ul numerelor $48$ și $60$.

Soluţie:

Să găsim mulțimea de divizori ai numărului $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Acum să găsim setul de divizori ai numărului $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Să găsim intersecția acestor mulțimi: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - această mulțime va determina mulțimea divizorilor comuni ai numerelor $48$ și $60 $. Cel mai mare element din acest set va fi numărul $12$. Aceasta înseamnă că cel mai mare divizor comun al numerelor $48$ și $60$ este $12$.

Definiţia NPL

Definiția 3

Multipli comuni ai numerelor naturale$a$ și $b$ este un număr natural care este un multiplu atât al lui $a$ cât și al $b$.

Multiplii comuni ai numerelor sunt numere care sunt divizibile cu numerele originale fără rest. De exemplu, pentru numerele $25$ și $50$, multiplii comuni vor fi numerele $50.100.150.200$ etc.

Cel mai mic multiplu comun va fi numit cel mai mic multiplu comun și va fi notat LCM$(a;b)$ sau K$(a;b).$

Pentru a găsi LCM a două numere, trebuie să:

1. Factorizați numerele în factori primi
2. Notați factorii care fac parte din primul număr și adăugați la ei factorii care fac parte din al doilea și nu fac parte din primul

Exemplul 4

Găsiți LCM al numerelor $99$ și $77$.

Vom găsi conform algoritmului prezentat. Pentru aceasta

Factorizați numerele în factori primi

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Notați factorii incluși în primul

adăugați la ei multiplicatori care fac parte din al doilea și nu din primul

Găsiți produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mic multiplu comun dorit

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Compilarea listelor de divizori ai numerelor este adesea o sarcină foarte intensivă în muncă. Există o modalitate de a găsi GCD numit algoritmul euclidian.

Afirmații pe care se bazează algoritmul euclidian:

Dacă $a$ și $b$ sunt numere naturale și $a\vdots b$, atunci $D(a;b)=b$

Dacă $a$ și $b$ sunt numere naturale astfel încât $b

Folosind $D(a;b)= D(a-b;b)$, putem reduce succesiv numerele luate în considerare până ajungem la o pereche de numere astfel încât unul dintre ele să fie divizibil cu celălalt. Apoi, cel mai mic dintre aceste numere va fi cel mai mare divizor comun dorit pentru numerele $a$ și $b$.

Proprietățile GCD și LCM

1. Orice multiplu comun al lui $a$ și $b$ este divizibil cu K$(a;b)$
2. Dacă $a\vdots b$ , atunci К$(a;b)=a$

Dacă K$(a;b)=k$ și $m$ este un număr natural, atunci K$(am;bm)=km$

Dacă $d$ este un divizor comun pentru $a$ și $b$, atunci K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d); ) $

Dacă $a\vdots c$ și $b\vdots c$ , atunci $\frac(ab)(c)$ este multiplu comun al lui $a$ și $b$

Pentru orice numere naturale $a$ și $b$, egalitatea este valabilă

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Orice divizor comun al numerelor $a$ și $b$ este un divizor al numărului $D(a;b)$

Al doilea număr: b=

Separator de mii Fără separator de spațiu „´

Rezultat:

Cel mai mare divizor comun mcd( A,b)=6

Cel mai mic multiplu comun al LCM( A,b)=468

Se numește cel mai mare număr natural care poate fi împărțit fără rest la numerele a și b cel mai mare divizor comun(GCD) a acestor numere. Notat cu mcd(a,b), (a,b), mcd(a,b) sau hcf(a,b).

Cel mai mic multiplu comun LCM a două numere întregi a și b este cel mai mic număr natural care este divizibil cu a și b fără rest. Notat LCM(a,b) sau lcm(a,b).

Numerele întregi a și b sunt numite prim reciproc, dacă nu au divizori comuni alții decât +1 și −1.

Cel mai mare divizor comun

Să fie date două numere pozitive A 1 și A 2 1). Este necesar să se găsească divizorul comun al acestor numere, adică. găsi un astfel de număr λ , care împarte numerele A 1 și A 2 în același timp. Să descriem algoritmul.

1) În acest articol, cuvântul număr va fi înțeles ca un număr întreg.

Lăsa A 1 ≥ A 2 si lasa

Unde m 1 , A 3 sunt niște numere întregi, A 3 <A 2 (restul diviziunii A 1 per A 2 ar trebui să fie mai puțin A 2).

Să ne prefacem că λ desparte A 1 și A 2 atunci λ desparte m 1 A 2 și λ desparte A 1 −m 1 A 2 =A 3 (Enunțul 2 din articolul „Divizibilitatea numerelor. Testul de divizibilitate”). Rezultă că fiecare divizor comun A 1 și A 2 este divizorul comun A 2 și A 3. Reversul este de asemenea adevărat dacă λ divizor comun A 2 și A 3 atunci m 1 A 2 și A 1 =m 1 A 2 +A 3 este de asemenea divizibil cu λ . Prin urmare divizorul comun A 2 și A 3 este, de asemenea, un divizor comun A 1 și A 2. Deoarece A 3 <A 2 ≤A 1, atunci putem spune că soluția la problema găsirii divizorului comun al numerelor A 1 și A 2 redus la problema mai simplă a găsirii divizorului comun al numerelor A 2 și A 3 .

Dacă A 3 ≠0, atunci putem împărți A 2 pe A 3. Apoi

,

Unde m 1 și A 4 sunt niște numere întregi, ( A 4 rest din diviziune A 2 pe A 3 (A 4 <A 3)). Prin raționament similar ajungem la concluzia că divizorii comuni ai numerelor A 3 și A 4 coincide cu divizori comuni ai numerelor A 2 și A 3 și, de asemenea, cu divizori comuni A 1 și A 2. Deoarece A 1 , A 2 , A 3 , A 4, ... sunt numere care sunt în continuă scădere și, deoarece există un număr finit de numere întregi între A 2 și 0, apoi la un pas n, restul diviziei A non A n+1 va fi egal cu zero ( A n+2 =0).

.

Fiecare divizor comun λ numere A 1 și A 2 este, de asemenea, un divizor de numere A 2 și A 3 , A 3 și A 4 , .... A n și A n+1. Este adevărat și invers, divizori comuni ai numerelor A n și A n+1 sunt și divizori de numere A n−1 și A n , .... , A 2 și A 3 , A 1 și A 2. Dar divizorul comun al numerelor A n și A n+1 este un număr A n+1, deoarece A n și A n+1 sunt divizibile cu A n+1 (rețineți că A n+2 =0). Prin urmare A n+1 este, de asemenea, un divizor de numere A 1 și A 2 .

Rețineți că numărul A n+1 este cel mai mare divizor de numere A n și A n+1 , deoarece cel mai mare divizor A n+1 este el însuși A n+1. Dacă A n+1 poate fi reprezentat ca un produs de numere întregi, atunci aceste numere sunt și divizori comuni ai numerelor A 1 și A 2. Număr A se numește n+1 cel mai mare divizor comun numere A 1 și A 2 .

Numerele A 1 și A 2 poate fi numere pozitive sau negative. Dacă unul dintre numere este egal cu zero, atunci cel mai mare divizor comun al acestor numere va fi egal cu valoarea absolută a celuilalt număr. Cel mai mare divizor comun al numerelor zero este nedefinit.

Algoritmul de mai sus este numit Algoritmul euclidian pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două numere întregi.

Un exemplu de găsire a celui mai mare divizor comun a două numere

Aflați cel mai mare divizor comun al două numere 630 și 434.

• Pasul 1. Împărțiți numărul 630 la 434. Restul este 196.
• Pasul 2. Împărțiți numărul 434 la 196. Restul este 42.
• Pasul 3. Împarte numărul 196 la 42. Restul este 28.
• Pasul 4. Împărțiți numărul 42 la 28. Restul este 14.
• Pasul 5. Împarte numărul 28 la 14. Restul este 0.

La pasul 5, restul diviziunii este 0. Prin urmare, cel mai mare divizor comun al numerelor 630 și 434 este 14. Rețineți că numerele 2 și 7 sunt, de asemenea, divizori ai numerelor 630 și 434.

Numerele coprime

Definiție 1. Fie cel mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2 este egal cu unu. Apoi aceste numere sunt numite numere coprime, neavând divizor comun.

Teorema 1. Dacă A 1 și A 2 numere coprime și λ un număr, apoi orice divizor comun al numerelor λa 1 și A 2 este, de asemenea, un divizor comun al numerelor λ Și A 2 .

Dovada. Luați în considerare algoritmul euclidian pentru găsirea celui mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2 (vezi mai sus).

.

Din condițiile teoremei rezultă că cel mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2 și deci A n și A n+1 este 1. Adică A n+1 =1.

Să înmulțim toate aceste egalități cu λ , Apoi

.

Fie divizorul comun A 1 λ Și A 2 da δ . Apoi δ este inclus ca multiplicator în A 1 λ , m 1 A 2 λ si in A 1 λ -m 1 A 2 λ =A 3 λ (vezi „Divizibilitatea numerelor”, Afirmația 2). Mai departe δ este inclus ca multiplicator în A 2 λ Și m 2 A 3 λ , și, prin urmare, este un factor în A 2 λ -m 2 A 3 λ =A 4 λ .

Raționând astfel, suntem convinși că δ este inclus ca multiplicator în A n−1 λ Și m n−1 A n λ , și deci în A n−1 λ −m n−1 A n λ =A n+1 λ . Deoarece A n+1 =1, atunci δ este inclus ca multiplicator în λ . Prin urmare, numărul δ este divizorul comun al numerelor λ Și A 2 .

Să luăm în considerare cazurile speciale ale teoremei 1.

Consecinţă 1. Lăsa AȘi c Numerele prime sunt relativ b. Apoi produsul lor ac este un număr prim în raport cu b.

Într-adevăr. Din teorema 1 acȘi b au aceiași divizori comuni ca cȘi b. Dar cifrele cȘi b relativ simplu, adică au un singur divizor comun 1. Atunci acȘi b au de asemenea un singur divizor comun 1. Prin urmare acȘi b reciproc simple.

Consecinţă 2. Lăsa AȘi b numere coprime și fie b desparte ak. Apoi b desparte si k.

Într-adevăr. Din condiția de aprobare akȘi b au un divizor comun b. În virtutea teoremei 1, b trebuie să fie un divizor comun bȘi k. Prin urmare b desparte k.

Corolarul 1 poate fi generalizat.

Consecinţă 3. 1. Lasă numerele A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m sunt prime în raport cu numărul b. Apoi A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m, produsul acestor numere este prim în raport cu numărul b.

2. Să avem două rânduri de numere

astfel încât fiecare număr din prima serie este prim în raportul fiecărui număr din a doua serie. Apoi produsul

Trebuie să găsiți numere care sunt divizibile cu fiecare dintre aceste numere.

Dacă un număr este divizibil cu A 1, atunci are forma sa 1 unde s oarecare număr. Dacă q este cel mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2, atunci

Unde s 1 este un număr întreg. Apoi

este cei mai mici multipli comuni ai numerelor A 1 și A 2 .

A 1 și A 2 sunt relativ primi, apoi cel mai mic multiplu comun al numerelor A 1 și A 2:

Trebuie să găsim cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Din cele de mai sus rezultă că orice multiplu de numere A 1 , A 2 , A 3 trebuie să fie un multiplu de numere ε Și A 3 și înapoi. Fie cel mai mic multiplu comun al numerelor ε Și A 3 da ε 1 . Apoi, multipli de numere A 1 , A 2 , A 3 , A 4 trebuie să fie un multiplu de numere ε 1 și A 4 . Fie cel mai mic multiplu comun al numerelor ε 1 și A 4 da ε 2. Astfel, am aflat că toți multiplii numerelor A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m coincid cu multiplii unui anumit număr ε n, care se numește cel mai mic multiplu comun al numerelor date.

În cazul special când numerele A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m sunt relativ primi, apoi cel mai mic multiplu comun al numerelor A 1 , A 2, după cum se arată mai sus, are forma (3). În continuare, de când A 3 prim în raport cu numerele A 1 , A 2 atunci A 3 număr prim A 1 · A 2 (Corolarul 1). Înseamnă cel mai mic multiplu comun al numerelor A 1 ,A 2 ,A 3 este un număr A 1 · A 2 · A 3. Raționând în mod similar, ajungem la următoarele afirmații.

Afirmație 1. Cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m este egal cu produsul lor A 1 · A 2 · A 3 ··· A m.

Afirmație 2. Orice număr care este divizibil cu fiecare dintre numerele coprime A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m este de asemenea divizibil cu produsul lor A 1 · A 2 · A 3 ··· A m.

Definiție. Se numește cel mai mare număr natural cu care numerele a și b sunt împărțite fără rest cel mai mare divizor comun (MCG) aceste numere.

Să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 35.
Divizorii lui 24 sunt numerele 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, iar divizorii lui 35 sunt numerele 1, 5, 7, 35.
Vedem că numerele 24 și 35 au un singur divizor comun - numărul 1. Astfel de numere se numesc prim reciproc.

Definiție. Se numesc numere naturale prim reciproc, dacă cel mai mare divizor comun al lor (MCD) este 1.

Cel mai mare divizor comun (GCD) poate fi găsit fără a scrie toți divizorii numerelor date.

Factorizarea numerelor 48 și 36 obținem:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Din factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere, îi tăiem pe cei care nu sunt incluși în extinderea celui de-al doilea număr (adică doi doi).
Factorii rămași sunt 2 * 2 * 3. Produsul lor este egal cu 12. Acest număr este cel mai mare divizor comun al numerelor 48 și 36. Se găsește și cel mai mare divizor comun a trei sau mai multe numere.

A găsi cel mai mare divizor comun

2) dintre factorii incluși în extinderea unuia dintre aceste numere, bifați pe cei care nu sunt incluși în extinderea altor numere;
3) găsiți produsul factorilor rămași.

Dacă toate numerele date sunt divizibile cu unul dintre ele, atunci acest număr este cel mai mare divizor comun numere date.
De exemplu, cel mai mare divizor comun al numerelor 15, 45, 75 și 180 este numărul 15, deoarece toate celelalte numere sunt divizibile cu acesta: 45, 75 și 180.

Cel mai mic multiplu comun (LCM)

Definiție. Cel mai mic multiplu comun (LCM) numerele naturale a și b sunt cel mai mic număr natural care este multiplu atât al lui a cât și al lui b. Cel mai mic multiplu comun (MCM) al numerelor 75 și 60 poate fi găsit fără a scrie multiplii acestor numere la rând. Pentru a face acest lucru, să factorăm 75 și 60 în factori primi: 75 = 3 * 5 * 5 și 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Să notăm factorii incluși în extinderea primului dintre aceste numere și să adăugăm la ei factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr (adică, combinăm factorii).
Obținem cinci factori 2 * 2 * 3 * 5 * 5, al căror produs este 300. Acest număr este cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 60.

De asemenea, ei găsesc cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere.

La găsi cel mai mic multiplu comun mai multe numere naturale, aveți nevoie de:
1) factorizează-le în factori primi;
2) notează factorii incluși în extinderea unuia dintre numere;
3) adăugați la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase;
4) găsiți produsul factorilor rezultați.

Rețineți că dacă unul dintre aceste numere este divizibil cu toate celelalte numere, atunci acest număr este cel mai mic multiplu comun al acestor numere.
De exemplu, cel mai mic multiplu comun al numerelor 12, 15, 20 și 60 este 60 deoarece este divizibil cu toate aceste numere.

Pitagora (sec. VI î.Hr.) și studenții săi au studiat problema divizibilității numerelor. Ei au numit un număr egal cu suma tuturor divizorilor săi (fără numărul în sine) număr perfect. De exemplu, numerele 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sunt perfecte. Următoarele numere perfecte sunt 496, 8128, 33 550 336. Pitagoreii cunoșteau doar primele trei numere perfecte. Al patrulea - 8128 - a devenit cunoscut în secolul I. n. e. Al cincilea - 33.550.336 - a fost găsit în secolul al XV-lea. Până în 1983, erau deja cunoscute 27 de numere perfecte. Dar oamenii de știință încă nu știu dacă există numere perfecte impare sau dacă există un număr perfect cel mai mare.
Interesul matematicienilor antici pentru numerele prime se datorează faptului că orice număr este fie prim, fie poate fi reprezentat ca un produs al numerelor prime, adică numerele prime sunt ca cărămizile din care sunt construite restul numerelor naturale.
Probabil ați observat că numerele prime din seria numerelor naturale apar neuniform - în unele părți ale seriei sunt mai multe, în altele - mai puține. Dar cu cât ne deplasăm mai departe de-a lungul seriei de numere, cu atât numerele prime sunt mai puțin comune. Apare întrebarea: există un ultim (cel mai mare) număr prim? Matematicianul grec antic Euclid (secolul al III-lea î.Hr.), în cartea sa „Elemente”, care a fost principalul manual de matematică timp de două mii de ani, a demonstrat că există infinit de numere prime, adică în spatele fiecărui număr prim se află un prim și mai mare. număr.
Pentru a găsi numere prime, un alt matematician grec al aceluiași timp, Eratosthenes, a venit cu această metodă. El a notat toate numerele de la 1 la un anumit număr, apoi a tăiat unul, care nu este nici prim, nici compus, apoi a tăiat printr-unul toate numerele care vin după 2 (numere care sunt multipli ai lui 2, adică 4, 6, 8 etc.). Primul număr rămas după 2 a fost 3. Apoi, după doi, toate numerele care vin după 3 (numerele care erau multipli ai lui 3, adică 6, 9, 12 etc.) au fost tăiate. până la urmă au rămas neîncrucișate doar numerele prime.

Să continuăm conversația despre cel mai mic multiplu comun, pe care am început-o în secțiunea „LCM - cel mai mic multiplu comun, definiție, exemple”. În acest subiect ne vom uita la modalități de a găsi LCM pentru trei sau mai multe numere, ne vom uita la întrebarea cum să găsim LCM număr negativ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Calcularea celui mai mic multiplu comun (LCM) prin GCD

Am stabilit deja relația dintre cel mai mic multiplu comun și cel mai mare divizor comun. Acum să învățăm cum să determinăm LCM prin GCD. Mai întâi, să ne dăm seama cum să facem acest lucru pentru numerele pozitive.

Definiția 1

Puteți găsi cel mai mic multiplu comun prin cel mai mare divizor comun folosind formula LCM (a, b) = a · b: MCD (a, b).

Exemplul 1

Trebuie să găsiți LCM al numerelor 126 și 70.

Soluţie

Să luăm a = 126, b = 70. Să substituim valorile în formula pentru calcularea celui mai mic multiplu comun prin cel mai mare divizor comun LCM (a, b) = a · b: MCD (a, b) .

Găsește mcd-ul numerelor 70 și 126. Pentru aceasta avem nevoie de algoritmul euclidian: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, deci GCD (126 , 70) = 14 .

Să calculăm LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Răspuns: LCM(126, 70) = 630.

Exemplul 2

Găsiți numărul 68 și 34.

Soluţie

GCD în acest caz nu este greu de găsit, deoarece 68 este divizibil cu 34. Să calculăm cel mai mic multiplu comun folosind formula: LCM (68, 34) = 68 34: MCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Răspuns: LCM(68, 34) = 68.

În acest exemplu, am folosit regula pentru găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor întregi pozitive a și b: dacă primul număr este divizibil cu al doilea, LCM-ul acelor numere va fi egal cu primul număr.

Aflarea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

Acum să ne uităm la metoda de găsire a LCM, care se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi.

Definiția 2

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să parcurgem o serie de pași simpli:

• compunem produsul tuturor factorilor primi ai numerelor pentru care trebuie să aflăm LCM;
• excludem toți factorii primi din produsele lor rezultate;
• produsul obţinut în urma eliminării factorilor primi comuni va fi egal cu LCM a numerelor date.

Această metodă de găsire a celui mai mic multiplu comun se bazează pe egalitatea LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Dacă te uiți la formula, va deveni clar: produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor care participă la descompunerea acestor două numere. În acest caz, mcd a două numere este egal cu produsul tuturor factorilor primi care sunt prezenți simultan în factorizările acestor două numere.

Exemplul 3

Avem două numere 75 și 210. Le putem factoriza după cum urmează: 75 = 3 5 5Și 210 = 2 3 5 7. Dacă compuneți produsul tuturor factorilor celor două numere originale, obțineți: 2 3 3 5 5 5 7.

Dacă excludem factorii comuni ambelor numere 3 și 5, obținem un produs de următoarea formă: 2 3 5 5 7 = 1050. Acest produs va fi LCM-ul nostru pentru numerele 75 și 210.

Exemplul 4

Găsiți LCM al numerelor 441 Și 700 , factorizarea ambelor numere în factori primi.

Soluţie

Să găsim toți factorii primi ai numerelor date în condiția:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Obținem două lanțuri de numere: 441 = 3 3 7 7 și 700 = 2 2 5 5 7.

Produsul tuturor factorilor care au participat la descompunerea acestor numere va avea forma: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Să găsim factori comuni. Acesta este numărul 7. Să-l excludem din totalul produsului: 2 2 3 3 5 5 7 7. Se pare că NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Răspuns: LOC(441, 700) = 44.100.

Să dăm o altă formulare a metodei de găsire a LCM prin descompunerea numerelor în factori primi.

Definiția 3

Anterior, am exclus din numărul total de factori comuni ambelor numere. Acum o vom face altfel:

• Să factorăm ambele numere în factori primi:
• adăugați la produsul factorilor primi ai primului număr factorii lipsă ai celui de-al doilea număr;
• obținem produsul, care va fi LCM dorit a două numere.

Exemplul 5

Să revenim la numerele 75 și 210, pentru care am căutat deja LCM într-unul din exemplele anterioare. Să le împărțim în factori simpli: 75 = 3 5 5Și 210 = 2 3 5 7. La produsul factorilor 3, 5 și 5 numerele 75 adună factorii lipsă 2 Și 7 numerele 210. Primim: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Acesta este LCM al numerelor 75 și 210.

Exemplul 6

Este necesar să se calculeze LCM al numerelor 84 și 648.

Soluţie

Să factorăm numerele din condiție în factori simpli: 84 = 2 2 3 7Și 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Să adăugăm la produs factorii 2, 2, 3 și 7 numerele 84 lipsesc factorii 2, 3, 3 și
3 numerele 648. Primim produsul 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Acesta este cel mai mic multiplu comun al lui 84 ​​și 648.

Răspuns: LCM(84, 648) = 4.536.

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Indiferent de câte numere avem de-a face, algoritmul acțiunilor noastre va fi întotdeauna același: vom găsi secvenţial LCM a două numere. Există o teoremă pentru acest caz.

Teorema 1

Să presupunem că avem numere întregi a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k aceste numere se găsesc calculând secvenţial m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Acum să vedem cum poate fi aplicată teorema pentru a rezolva probleme specifice.

Exemplul 7

Trebuie să calculați cel mai mic multiplu comun al patru numere 140, 9, 54 și 250 .

Soluţie

Să introducem notația: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Să începem prin a calcula m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Să aplicăm algoritmul euclidian pentru a calcula GCD-ul numerelor 140 și 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Se obține: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Prin urmare, m 2 = 1.260.

Acum să calculăm folosind același algoritm m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). În timpul calculelor obținem m 3 = 3 780.

Trebuie doar să calculăm m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Urmăm același algoritm. Obținem m 4 = 94 500.

LCM a celor patru numere din condiția exemplu este 94500.

Răspuns: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

După cum puteți vedea, calculele sunt simple, dar destul de intensive în muncă. Pentru a economisi timp, puteți merge pe altă cale.

Definiția 4

Vă oferim următorul algoritm de acțiuni:

• descompunem toate numerele în factori primi;
• la produsul factorilor primului număr adăugăm factorii lipsă din produsul celui de-al doilea număr;
• la produsul obținut în etapa anterioară adăugăm factorii lipsă ai numărului al treilea etc.;
• produsul rezultat va fi cel mai mic multiplu comun al tuturor numerelor din condiție.

Exemplul 8

Trebuie să găsiți LCM a cinci numere 84, 6, 48, 7, 143.

Soluţie

Să factorăm toate cele cinci numere în factori primi: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Numerele prime, care este numărul 7, nu pot fi descompuse în factori primi. Astfel de numere coincid cu descompunerea lor în factori primi.

Acum să luăm produsul factorilor primi 2, 2, 3 și 7 ai numărului 84 ​​și să adăugăm la ei factorii lipsă ai celui de-al doilea număr. Am descompus numărul 6 în 2 și 3. Acești factori sunt deja în produsul primului număr. Prin urmare, le omitem.

Continuăm să adăugăm multiplicatorii lipsă. Să trecem la numărul 48, din produsul ai cărui factori primi luăm 2 și 2. Apoi adăugăm factorul prim de 7 din al patrulea număr și factorii de 11 și 13 din al cincilea. Se obține: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Acesta este cel mai mic multiplu comun al celor cinci numere originale.

Răspuns: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor negative

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun al numerelor negative, aceste numere trebuie mai întâi înlocuite cu numere cu semnul opus, iar apoi calculele trebuie efectuate folosind algoritmii de mai sus.

Exemplul 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) și LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Astfel de acțiuni sunt permise datorită faptului că dacă acceptăm asta AȘi − a- numere opuse,
apoi mulţimea multiplilor unui număr A se potrivește cu setul de multipli ai unui număr − a.

Exemplul 10

Este necesar să se calculeze LCM al numerelor negative − 145 Și − 45 .

Soluţie

Să înlocuim numerele − 145 Și − 45 la numerele lor opuse 145 Și 45 . Acum, folosind algoritmul, calculăm LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1.305, după ce am determinat anterior GCD folosind algoritmul euclidian.

Obținem că LCM al numerelor este − 145 și − 45 egală 1 305 .

Răspuns: LCM (− 145, − 45) = 1.305.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter