Funcția asimptotă liniară fracționară. Lecție extracurriculară - funcție liniară fracțională

30.09.2019

Funcție rațională fracțională

Formulă y = k/ x, graficul este o hiperbolă. În partea 1 a GIA, această funcție este oferită fără deplasări de-a lungul axelor. Prin urmare, are un singur parametru k. Cea mai mare diferență în aspectul graficului depinde de semn k.

Este mai dificil să vezi diferențe în grafice dacă k un personaj:

După cum vedem, cu atât mai mult k, cu cât hiperbola crește.

Figura prezintă funcții pentru care parametrul k diferă semnificativ. Dacă diferența nu este atât de mare, atunci este destul de dificil să o determinați cu ochii.

În acest sens, următoarea sarcină, pe care am găsit-o într-un manual în general bun pentru pregătirea pentru examenul de stat, este pur și simplu o „capodopera”:

Nu numai că, într-o imagine destul de mică, graficele apropiate se îmbină pur și simplu. De asemenea, hiperbolele cu k pozitiv și negativ sunt descrise într-una plan de coordonate. Ceea ce va dezorienta complet pe oricine se uită la acest desen. „Mica stea cool” îți atrage atenția.

Slavă Domnului, aceasta este doar o sarcină de antrenament. În versiuni reale, s-au propus o formulare mai corectă și desene evidente.

Să ne dăm seama cum să determinăm coeficientul k conform graficului funcţiei.

Din formula: y = k/x urmează că k = y x. Adică, putem lua orice punct întreg cu coordonate convenabile și le putem înmulți - obținem k.

k= 1·(- 3) = - 3.

Prin urmare, formula acestei funcții este: y = - 3/x.

Este interesant de luat în considerare situația cu fracțional k. În acest caz, formula poate fi scrisă în mai multe moduri. Acest lucru nu ar trebui să inducă în eroare.

De exemplu,

Este imposibil să găsiți un singur punct întreg pe acest grafic. Prin urmare valoarea k poate fi determinat foarte aproximativ.

k= 1·0,7≈0,7. Cu toate acestea, se poate înțelege că 0< k< 1. Если среди предложенных вариантов есть такое значение, то можно считать, что оно и является ответом.

Deci, să rezumam.

k> 0 hiperbola este situată în unghiurile de coordonate 1 și 3 (cadrante),

k < 0 - во 2-м и 4-ом.

Dacă k modulo mai mare de 1 ( k= 2 sau k= - 2), atunci graficul este situat deasupra 1 (sub - 1) de-a lungul axei y și arată mai larg.

Dacă k modulo mai mic de 1 ( k= 1/2 sau k= - 1/2), atunci graficul este situat sub 1 (deasupra - 1) de-a lungul axei y și arată mai îngust, „apăsat” spre zero:

Aici coeficienții pentru X iar termenii liberi din numărător și numitor sunt dați numere reale. Graficul unei funcții fracționale liniare în cazul general este hiperbolă.

Cel mai simplu functie liniara fractionara y = - Tu-

greve relație invers proporțională; hiperbola care o reprezintă este bine cunoscută din cursurile de liceu (Fig. 5.5).

Orez. 5.5

Exemplu. 5.3

Trasează un grafic al unei funcții fracționale liniare:

1. Întrucât această fracție nu are sens când x = 3, Acea domeniul funcției X constă din două intervale infinite:
3) și (3; +°°).

2. Pentru a studia comportamentul unei funcții la limita domeniului de definiție (adică atunci când X-»3 și la X-> ±°°), este util să transformăm această expresie în suma a doi termeni, după cum urmează:

Deoarece primul termen este constant, comportamentul funcției la graniță este de fapt determinat de al doilea termen variabil. După ce am studiat procesul schimbării sale, când X->3 și X->±°°, tragem următoarele concluzii cu privire la funcția dată:

a) pentru x->3 pe dreapta(adică pentru *>3) valoarea funcției crește fără limită: la-> +°°: la x->3 stânga(adică la x y - Astfel, hiperbola dorită se apropie de linia dreaptă fără limită cu ecuația x = 3 (stânga josȘi sus în dreapta)şi astfel această linie dreaptă este asimptotă verticală hiperbolă;
b) când x ->±°° al doilea termen scade fără limită, deci valoarea funcției se apropie de primul termen constant fără limită, adică. a valorifica y = 2. În acest caz, graficul funcției se apropie fără limită (stânga jos și dreapta sus) la dreapta dată de ecuație y = 2; astfel această linie este asimptotă orizontală hiperbolă.

Cometariu. Informațiile obținute în această secțiune sunt cele mai importante pentru caracterizarea comportamentului graficului unei funcții în partea îndepărtată a planului (figurat vorbind, la infinit).

3. Presupunând l = 0, găsim y = ~. Prin urmare, hy-

perbola intersectează axa OU la punct M x = (0;-^).

4. Funcția zero ( la= 0) va fi când X= -2; prin urmare, această hiperbolă intersectează axa Ohîn punctul M2 (-2; 0).
5. O fracție este pozitivă dacă numărătorul și numitorul au același semn și negativă dacă au semne diferite. Rezolvând sistemele de inegalități corespunzătoare, constatăm că funcția are două intervale pozitive: (-°°; -2) și (3; +°°) și un interval negativ: (-2; 3).
6. Reprezentarea unei funcții ca sumă a doi termeni (vezi itemul 2) face destul de ușor detectarea a două intervale de scădere: (-°°; 3) și (3; +°°).
7. Evident, această funcție nu are extreme.
8. Setați Y a valorilor acestei funcție: (-°°; 2) și (2; +°°).
9. De asemenea, nu există nici o periodicitate pare, impar sau periodicitate. Informațiile colectate sunt suficiente pentru schematic

desenează o hiperbolă grafic reflectând proprietăţile acestei funcţii (Fig. 5.6).

Orez. 5.6

Funcțiile discutate până în acest punct sunt numite algebric. Să trecem acum să luăm în considerare transcendental funcții.

Funcția y = și graficul acesteia.

OBIECTIVE:

1) introduceți definiția funcției y = ;

2) învață cum să construiești un grafic al funcției y = folosind programul Agrapher;

3) dezvoltarea capacităţii de a construi schiţe de grafice ale funcţiei y = folosind proprietăţile de transformare ale graficelor de funcţii;

I. Material nou - o conversație extinsă.

U: Să considerăm funcţiile definite de formulele y = ; y = ; y = .

Care sunt expresiile scrise în partea dreaptă a acestor formule?

D: Laturile din dreapta acestor formule au forma unei fracții raționale, în care numărătorul este un binom de gradul I sau un număr altul decât zero, iar numitorul este un binom de gradul I.

U: Astfel de funcții sunt de obicei specificate printr-o formulă de formă

Luați în considerare cazurile când a) c = 0 sau c) = .

(Dacă în al doilea caz elevii întâmpină dificultăți, atunci trebuie să le ceri să se exprime Cu dintr-o proporție dată și apoi înlocuiți expresia rezultată în formula (1)).

D1: Dacă c = 0, atunci y = x + b este o funcție liniară.

D2: Dacă = , atunci c = . Înlocuirea valorii Cu în formula (1) obținem:

Adică, y = este o funcție liniară.

Y: O funcție care poate fi specificată printr-o formulă de forma y =, unde litera x denotă un independent

Această variabilă și literele a, b, c și d sunt numere arbitrare, iar c0 și ad sunt toate 0, se numește funcție fracțională liniară.

Să arătăm că graficul unei funcții fracționale liniare este o hiperbolă.

Exemplul 1. Să construim un grafic al funcției y = . Să separăm întreaga parte de fracțiune.

Avem: = = = 1 + .

Graficul funcției y = +1 poate fi obținut din graficul funcției y = folosind două translații paralele: o deplasare de 2 unități la dreapta de-a lungul axei X și o deplasare de 1 unitate în sus în direcția Y Cu aceste deplasări, asimptotele hiperbolei y = se vor deplasa: linia dreaptă x = 0 (adică axa Y) este de 2 unități la dreapta, iar linia dreaptă y = 0 (adică axa X) este o unitate. sus. Înainte de a construi un grafic, să desenăm asimptotele pe planul de coordonate cu o linie punctată: linii drepte x = 2 și y = 1 (Fig. 1a). Având în vedere că hiperbola este formată din două ramuri, pentru a construi fiecare dintre ele vom crea, folosind programul Agrapher, două tabele: unul pentru x>2, iar celălalt pentru x<2.

X	1	0	-1	-2	-4	-10
la	-5	-2	-1	-0,5	0	0,5
X	3	4	5	6	8	12
la	7	4	3	2,5	2	1,6

Să marchem (folosind programul Agrapher) puncte în planul de coordonate, ale căror coordonate sunt înregistrate în primul tabel și să le conectăm cu o linie continuă netedă. Obținem o ramură a hiperbolei. În mod similar, folosind cel de-al doilea tabel, obținem a doua ramură a hiperbolei (Fig. 1b).

Exemplul 2. Să construim un grafic al funcției y = - Să izolăm întreaga parte din fracție împărțind binomul 2x + 10 la binomul x + 3. Obținem = 2 + . Prin urmare, y = -2.

Graficul funcției y = --2 poate fi obținut din graficul funcției y = - folosind două translații paralele: o deplasare de 3 unități la stânga și o deplasare de 2 unități în jos. Asimptotele hiperbolei sunt drepte x = -3 și y = -2. Să creăm (folosind programul Agrapher) tabele pentru x<-3 и для х>-3.

X	-2	-1	1	2	7
la	-6	-4	-3	-2,8	-2,4
X	-4	-5	-7	-8	-11
la	2	0	-1	-1,2	-1,5

Construind (folosind programul Agrapher) puncte în planul de coordonate și desenând prin ele ramurile hiperbolei, obținem un grafic al funcției y = - (Fig. 2).

U: Care este graficul unei funcții fracționale liniare?

D: Graficul oricărei funcții fracționale liniare este o hiperbolă.

T: Cum se grafică o funcție fracțională liniară?

D: Graficul unei funcții liniare fracționale se obține din graficul funcției y = folosind translații paralele de-a lungul axelor de coordonate, ramurile hiperbolei funcției liniare fracționale sunt simetrice față de punctul (-. Linia dreaptă x = se numeste asimptota verticala a hiperbolei.Dreapta y = se numeste asimptota orizontala.

T: Care este domeniul de definire al unei funcții fracționale liniare?

T: Care este intervalul de valori al unei funcții fracționale liniare?

D: E(y) = .

T: Funcția are zerouri?

D: Dacă x = 0, atunci f(0) = , d. Adică, funcția are zerouri - punctul A.

T: Graficul unei funcții fracționale liniare are puncte de intersecție cu axa X?

D: Dacă y = 0, atunci x = -. Aceasta înseamnă că dacă a, atunci punctul de intersecție cu axa X are coordonate. Dacă a = 0, b, atunci graficul funcției fracționale liniare nu are puncte de intersecție cu axa absciselor.

U: Funcția scade pe intervale ale întregului domeniu de definiție dacă bc-ad > 0 și crește pe intervale ale întregului domeniu de definiție dacă bc-ad< 0. Но это немонотонная функция.

Î: Este posibil să indicați cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții?

D: Funcția nu are cele mai mari și cele mai mici valori.

T: Ce linii sunt asimptotele graficului unei funcții fracționale liniare?

D: Asimptota verticală este linia dreaptă x = -; iar asimptota orizontală este linia dreaptă y = .

(Elevii notează toate concluziile generalizate, definițiile și proprietățile unei funcții fracționale liniare într-un caiet)

II. Consolidare.

Când se construiesc și „citesc” grafice ale funcțiilor fracționale liniare, sunt utilizate proprietățile programului Agrapher

III. Munca educațională independentă.

Găsiți centrul hiperbolei, asimptotele și reprezentați grafic funcția:

a) y = b) y = c) y = ; d) y = ; e) y = ; e) y = ;

g) y = h) y = -

Fiecare elev lucrează în ritmul său. Dacă este necesar, profesorul oferă asistență punând întrebări, răspunsurile la care vor ajuta elevul să îndeplinească sarcina corect.

Lucrări de laborator și practice privind studierea proprietăților funcțiilor y = și y = și a caracteristicilor graficelor acestor funcții.

OBIECTIVE: 1) să continue dezvoltarea abilităților de a construi grafice ale funcțiilor y = și y = folosind programul Agrapher;

2) consolidarea abilităților de „citire a graficelor” ale funcțiilor și a capacității de „predire” modificări ale graficelor în timpul diferitelor transformări ale funcțiilor liniare fracționale.

I. Repetarea diferenţiată a proprietăţilor unei funcţii liniare fracţionare.

Fiecărui elev i se dă un cartonaș - un tipărit cu sarcini. Toate construcțiile sunt realizate folosind programul Agrapher. Rezultatele fiecărei sarcini sunt discutate imediat.

Fiecare elev, folosind autocontrolul, poate ajusta rezultatele obținute la finalizarea unei sarcini și poate cere ajutorul unui profesor sau consultant de elev.

Aflați valoarea argumentului X la care f(x) =6; f(x) =-2,5.

3. Construiţi un grafic al funcţiei y = Stabiliţi dacă punctul aparţine graficului acestei funcţii: a) A(20;0,5); b) B(-30;-); c) C(-4;2,5); d) D(25;0,4)?

4. Construiți un grafic al funcției y = Aflați intervalele în care y>0 și în care y<0.

5. Reprezentați grafic funcția y = . Găsiți domeniul și domeniul funcției.

6. Indicați asimptotele hiperbolei - graficul funcției y = -. Creați un grafic.

7. Reprezentați grafic funcția y = . Aflați zerourile funcției.

II.Laborator şi lucrări practice.

Fiecărui elev i se dau 2 cartonașe: fișa nr. 1 "Instrucțiuni" cu un plan conform căruia lucrarea se face, iar textul cu sarcina și cardul nr. 2 „ Rezultatele studiului funcțional ”.

Trasează un grafic al funcției indicate.
Găsiți domeniul funcției.
Găsiți intervalul funcției.
Indicați asimptotele hiperbolei.
Aflați zerourile funcției (f(x) = 0).
Aflați punctul de intersecție al hiperbolei cu axa X (y = 0).

7. Aflaţi intervalele în care: a) y<0; б) y>0.

8. Indicați intervalele de creștere (scădere) a funcției.

eu optiunea.

Folosind programul Agrapher, construiți un grafic al funcției și explorați proprietățile acesteia:

a) y = b) y = - c) y = d) y = e) y = f) y = . -5-

1. Funcția liniară fracțională și graficul acesteia

O funcție de forma y = P(x) / Q(x), unde P(x) și Q(x) sunt polinoame, se numește funcție rațională fracțională.

Probabil că ești deja familiarizat cu conceptul de numere raționale. De asemenea funcții raționale sunt funcții care pot fi reprezentate ca câtul a două polinoame.

Dacă o funcție rațională fracțională este câtul a două funcții liniare - polinoame de gradul I, i.e. functia formei

y = (ax + b) / (cx + d), atunci se numește liniar fracționar.

Rețineți că în funcția y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (în caz contrar, funcția devine liniară y = ax/d + b/d) și că a/c ≠ b/d (în caz contrar, funcția este constantă). Funcția fracțională liniară este definită pentru toate numerele reale, cu excepția x = -d/c. Graficele funcțiilor liniare fracționale nu diferă ca formă de graficul y = 1/x pe care îl cunoașteți. Se numește o curbă care este un grafic al funcției y = 1/x hiperbolă. Cu o creștere nelimitată a x în valoare absolută, funcția y = 1/x scade nelimitat în valoare absolută și ambele ramuri ale graficului se apropie de abscisă: cea dreaptă se apropie de sus, iar cea stângă de jos. Liniile de care se apropie ramurile unei hiperbole se numesc ei asimptote.

Exemplul 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Soluţie.

Să selectăm întreaga parte: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Acum este ușor de observat că graficul acestei funcții se obține din graficul funcției y = 1/x prin următoarele transformări: deplasare cu 3 segmente unitare la dreapta, întinzându-se de-a lungul axei Oy de 7 ori și deplasând cu 2 segmente de unitate în sus.

Orice fracție y = (ax + b) / (cx + d) poate fi scrisă într-un mod similar, evidențiind „partea întreagă”. În consecință, graficele tuturor funcțiilor liniare fracționale sunt hiperbole, deplasate în diferite moduri de-a lungul axelor de coordonate și întinse de-a lungul axei Oy.

Pentru a construi un grafic al oricărei funcție liniară fracțională arbitrară, nu este deloc necesar să se transforme fracția care definește această funcție. Deoarece știm că graficul este o hiperbolă, va fi suficient să găsim liniile drepte de care se apropie ramurile sale - asimptotele hiperbolei x = -d/c și y = a/c.

Exemplul 2.

Aflați asimptotele graficului funcției y = (3x + 5)/(2x + 2).

Soluţie.

Funcția nu este definită, la x = -1. Aceasta înseamnă că linia dreaptă x = -1 servește ca asimptotă verticală. Pentru a găsi asimptota orizontală, să aflăm ce se apropie de valorile funcției y(x) atunci când argumentul x crește în valoare absolută.

Pentru a face acest lucru, împărțiți numărătorul și numitorul fracției la x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Ca x → ∞ fracția va tinde spre 3/2. Aceasta înseamnă că asimptota orizontală este linia dreaptă y = 3/2.

Exemplul 3.

Reprezentați grafic funcția y = (2x + 1)/(x + 1).

Soluţie.

Să selectăm „întreaga parte” a fracției:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Acum este ușor de observat că graficul acestei funcții se obține din graficul funcției y = 1/x prin următoarele transformări: o deplasare cu 1 unitate la stânga, o afișare simetrică față de Ox și o deplasare cu 2 segmente de unitate în sus de-a lungul axei Oy.

Domeniul D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Interval de valori E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Puncte de intersecție cu axele: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funcția crește la fiecare interval al domeniului de definiție.

Răspuns: Figura 1.

2. Funcția rațională fracțională

Se consideră o funcție rațională fracțională de forma y = P(x) / Q(x), unde P(x) și Q(x) sunt polinoame de grad mai mare decât primul.

Exemple de astfel de funcții raționale:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) sau y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Dacă funcția y = P(x) / Q(x) reprezintă câtul a două polinoame de grad mai mare decât primul, atunci graficul său va fi, de regulă, mai complex și uneori poate fi dificil să îl construiți cu precizie. , cu toate detaliile. Cu toate acestea, este adesea suficient să folosiți tehnici similare cu cele pe care le-am introdus deja mai sus.

Fie fracția o fracție proprie (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

În mod evident, graficul unei funcții raționale fracționale poate fi obținut ca sumă de grafice ale fracțiilor elementare.

Trasarea graficelor de funcții raționale fracționale

Să luăm în considerare mai multe moduri de a construi grafice ale unei funcții raționale fracționale.

Exemplul 4.

Desenați un grafic al funcției y = 1/x 2 .

Soluţie.

Folosim graficul funcției y = x 2 pentru a construi un grafic al lui y = 1/x 2 și folosim tehnica „împărțirii” graficelor.

Domeniul D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Interval de valori E(y) = (0; +∞).

Nu există puncte de intersecție cu axele. Funcția este uniformă. Crește pentru tot x din intervalul (-∞; 0), scade pentru x de la 0 la +∞.

Răspuns: Figura 2.

Exemplul 5.

Reprezentați grafic funcția y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Soluţie.

Domeniul D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Aici am folosit tehnica factorizării, reducerii și reducerii la o funcție liniară.

Răspuns: Figura 3.

Exemplul 6.

Reprezentați grafic funcția y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Soluţie.

Domeniul de definiție este D(y) = R. Deoarece funcția este pară, graficul este simetric față de ordonată. Înainte de a construi un grafic, să transformăm din nou expresia, evidențiind întreaga parte:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Rețineți că izolarea părții întregi în formula unei funcții raționale fracționale este una dintre cele mai importante atunci când construiți grafice.

Dacă x → ±∞, atunci y → 1, adică. linia dreaptă y = 1 este o asimptotă orizontală.

Răspuns: Figura 4.

Exemplul 7.

Să luăm în considerare funcția y = x/(x 2 + 1) și să încercăm să găsim cu exactitate cea mai mare valoare a acesteia, i.e. cel mai înalt punct din jumătatea dreaptă a graficului. Pentru a construi cu acuratețe acest grafic, cunoștințele de astăzi nu sunt suficiente. Evident, curba noastră nu se poate „crește” foarte sus, pentru că numitorul începe rapid să „depășească” numărătorul. Să vedem dacă valoarea funcției poate fi egală cu 1. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvăm ecuația x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Această ecuație nu are rădăcini reale. Aceasta înseamnă că presupunerea noastră este incorectă. Pentru a găsi cea mai mare valoare a funcției, trebuie să aflați la ce mai mare A va avea o soluție ecuația A = x/(x 2 + 1). Să înlocuim ecuația inițială cu una pătratică: Ax 2 – x + A = 0. Această ecuație are soluție când 1 – 4A 2 ≥ 0. De aici găsim cea mai mare valoare A = 1/2.

Răspuns: Figura 5, max y(x) = ½.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să grafici funcții?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

1. Funcția liniară fracțională și graficul acesteia

O funcție de forma y = P(x) / Q(x), unde P(x) și Q(x) sunt polinoame, se numește funcție rațională fracțională.

Probabil că ești deja familiarizat cu conceptul de numere raționale. De asemenea funcții raționale sunt funcții care pot fi reprezentate ca câtul a două polinoame.

Dacă o funcție rațională fracțională este câtul a două funcții liniare - polinoame de gradul I, i.e. functia formei

y = (ax + b) / (cx + d), atunci se numește liniar fracționar.

Exemplul 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Soluţie.

Să selectăm întreaga parte: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Exemplul 2.

Aflați asimptotele graficului funcției y = (3x + 5)/(2x + 2).

Soluţie.

Pentru a face acest lucru, împărțiți numărătorul și numitorul fracției la x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Ca x → ∞ fracția va tinde spre 3/2. Aceasta înseamnă că asimptota orizontală este linia dreaptă y = 3/2.

Exemplul 3.

Reprezentați grafic funcția y = (2x + 1)/(x + 1).

Soluţie.

Să selectăm „întreaga parte” a fracției:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Domeniul D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Interval de valori E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Puncte de intersecție cu axele: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funcția crește la fiecare interval al domeniului de definiție.

Răspuns: Figura 1.

2. Funcția rațională fracțională

Se consideră o funcție rațională fracțională de forma y = P(x) / Q(x), unde P(x) și Q(x) sunt polinoame de grad mai mare decât primul.

Exemple de astfel de funcții raționale:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) sau y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

În mod evident, graficul unei funcții raționale fracționale poate fi obținut ca sumă de grafice ale fracțiilor elementare.

Trasarea graficelor de funcții raționale fracționale

Să luăm în considerare mai multe moduri de a construi grafice ale unei funcții raționale fracționale.

Exemplul 4.

Desenați un grafic al funcției y = 1/x 2 .

Soluţie.

Folosim graficul funcției y = x 2 pentru a construi un grafic al lui y = 1/x 2 și folosim tehnica „împărțirii” graficelor.

Domeniul D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Interval de valori E(y) = (0; +∞).

Nu există puncte de intersecție cu axele. Funcția este uniformă. Crește pentru tot x din intervalul (-∞; 0), scade pentru x de la 0 la +∞.

Răspuns: Figura 2.

Exemplul 5.

Reprezentați grafic funcția y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Soluţie.

Domeniul D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Aici am folosit tehnica factorizării, reducerii și reducerii la o funcție liniară.

Răspuns: Figura 3.

Exemplul 6.

Reprezentați grafic funcția y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Soluţie.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Rețineți că izolarea părții întregi în formula unei funcții raționale fracționale este una dintre cele mai importante atunci când construiți grafice.

Dacă x → ±∞, atunci y → 1, adică. linia dreaptă y = 1 este o asimptotă orizontală.

Răspuns: Figura 4.

Exemplul 7.

Răspuns: Figura 5, max y(x) = ½.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să grafici funcții?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Articole similare: