כלל לפתרון האלגוריתם לאי-שוויון טריגונומטרי פשוט. פתרון אי שוויון טריגונומטרי פשוט

פרויקט אלגברה "פתרון" אי שוויון טריגונומטרי» הושלם על ידי תלמיד כיתה י' ב' קזצ'קובה יוליה מנחה: מורה למתמטיקה קוצ'קובה נ.נ.

מטרה לגבש את החומר בנושא "פתרון אי שוויון טריגונומטרי" וליצור תזכורת לתלמידים להתכונן לבחינה הקרובה.

מטרות: לסכם את החומר בנושא זה. עשה שיטתיות של המידע המתקבל. לשקול הנושא הזהבבחינת המדינה המאוחדת.

רלוונטיות הרלוונטיות של הנושא שבחרתי נעוצה בעובדה שמשימות בנושא "פתרון אי-שוויון טריגונומטרי" כלולות במשימות של בחינת המדינה המאוחדת.

אי שוויון טריגונומטרי אי שוויון הוא יחס המחבר בין שני מספרים או ביטויים דרך אחד הסימנים: (גדול מ); ≥ (גדול או שווה ל). אי שוויון טריגונומטרי הוא מכיל אי שוויון פונקציות טריגונומטריות.

אי שוויון טריגונומטרי פתרון אי השוויון המכילים פונקציות טריגונומטריות מצטמצם, ככלל, לפתרון אי השוויון הפשוטים ביותר של הצורה: sin x>a, sin x א, כי x a, tg x a,ctg x

אלגוריתם לפתרון אי שוויון טריגונומטרי על הציר המתאים לפונקציה טריגונומטרית נתונה, סמן זאת ערך מספריפונקציה זו. צייר קו דרך הנקודה המסומנת החותכת את מעגל היחידה. בחר את נקודות החיתוך של קו ומעגל, תוך התחשבות בסימן אי השוויון קפדני או לא קפדני. בחר את קשת המעגל שעליה נמצאים הפתרונות לאי השוויון. קבע את ערכי הזווית בנקודות ההתחלה והסיום של הקשת המעגלית. רשום את הפתרון לאי השוויון תוך התחשבות במחזוריות של הפונקציה הטריגונומטרית הנתונה.

נוסחאות לפתרון אי-שוויון טריגונומטרי sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx א; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxא; x (arctg a + πn ; + πn). tgx א; x (πn ; arctan + πn). ctgx

פתרון גרפי של אי-שוויון טריגונומטרי בסיסי sinx >a

פתרון גרפי של אי-שוויון טריגונומטרי בסיסי sinx

פתרון גרפי של אי-שוויון טריגונומטרי בסיסי cosx >a

פתרון גרפי של אי-שוויון טריגונומטרי בסיסי cosx

פתרון גרפי של אי-שוויון טריגונומטרי בסיסי tgx >a

פתרון גרפי של אי-שוויון טריגונומטרי בסיסי tgx

פתרון גרפי של אי-שוויון טריגונומטרי בסיסי ctgx >a

פתרון גרפי של אי-שוויון טריגונומטרי בסיסי ctgx

שיטות לפתרון אי-שוויון טריגונומטרי פתרון אי-שוויון טריגונומטרי באמצעות עיגול המספרים; פתרון אי שוויון טריגונומטרי באמצעות גרף של פונקציה. :

פתרון אי שוויון טריגונומטרי באמצעות עיגול המספרים דוגמה 1: : תשובה:

פתרון אי שוויון טריגונומטרי באמצעות עיגול המספרים דוגמה 1: תשובה:

פתרון אי שוויון טריגונומטרי באמצעות גרף של פונקציה דוגמה: תשובה:

תוצאה של העבודה גיבסתי את הידע שלי בנושא "פתרון אי שוויון טריגונומטרי". ביצע שיטתיות של המידע שהתקבל בנושא זה כדי להקל על התפיסה: פיתח אלגוריתם לפתרון אי שוויון טריגונומטרי; התווה שני פתרונות; הדגימו דוגמאות לפתרונות. :

תוצאת העבודה מצורף לפרויקט שלי כמוצר מוגמר גם "תזכיר לתלמידים המתכוננים לבחינת האלגברה". מסמך Microsoft Office Word (2). docx:

ספרות השתמשה בספרות אלגברה לכיתה 10 "אלגברה והתחלות הניתוח" בעריכת A.N. Kolmogorov http://festival.1september.ru/articles/514580/ http://www.mathematics-repetition.com http:// www. calc.ru http://www.pomochnik-vsem.ru:

כאשר פותרים אי-שוויון המכילים פונקציות טריגונומטריות, הם מצטמצמים לאי-השוויון הפשוטים ביותר של הצורה cos(t)>a, sint(t)=a ודומים. וכבר נפתרים אי השוויון הפשוטים ביותר. בואו נסתכל על דוגמאות שונות של דרכים לפתור אי שוויון טריגונומטרי פשוט.

דוגמה 1. פתור את אי השוויון sin(t) > = -1/2.

צייר מעגל יחידה. מכיוון ש-sin(t) בהגדרה היא קואורדינטת y, אנו מסמנים את הנקודה y = -1/2 על ציר Oy. אנו מציירים קו ישר דרכו, מקביל לציראה. במפגש של הישר עם גרף מעגל היחידה, סמן את הנקודות Pt1 ו-Pt2. אנו מחברים את מקור הקואורדינטות עם נקודות Pt1 ו- Pt2 על ידי שני קטעים.

הפתרון לאי-שוויון זה יהיו כל הנקודות של מעגל היחידה הממוקמות מעל נקודות אלו. במילים אחרות, הפתרון יהיה arc l. כעת יש צורך לציין את התנאים שבהם נקודה שרירותית תהיה שייכת לקשת l.

Pt1 נמצא בחצי העיגול הימני, הסמין שלו הוא -1/2, ואז t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. כדי לתאר את הנקודה Pt1, אתה יכול לכתוב את הנוסחה הבאה:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. כתוצאה מכך, אנו מקבלים את אי השוויון הבא עבור t:

אנחנו שומרים על אי השוויון. ומכיוון שפונקציית הסינוס היא מחזורית, זה אומר שהפתרונות יחזרו על עצמם כל 2*pi. נוסיף את התנאי הזה לאי השוויון שנוצר עבור t ורשום את התשובה.

תשובה: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

דוגמה 2.פתור את אי השוויון cos(t).<1/2.

בואו נצייר עיגול יחידה. מכיוון שלפי ההגדרה cos(t) היא קואורדינטת x, אנו מסמנים את הנקודה x = 1/2 בגרף על ציר השור.
אנו מציירים קו ישר דרך נקודה זו במקביל לציר Oy. במפגש של הישר עם גרף מעגל היחידה, סמן את הנקודות Pt1 ו-Pt2. אנו מחברים את מקור הקואורדינטות עם נקודות Pt1 ו- Pt2 על ידי שני קטעים.

הפתרונות יהיו כל הנקודות של מעגל היחידה השייכות לקשת l. בוא נמצא את הנקודות t1 ו-t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

קיבלנו את אי השוויון עבור t: pi/3

מכיוון שקוסינוס הוא פונקציה מחזורית, הפתרונות יחזרו על עצמם כל 2*pi. נוסיף את התנאי הזה לאי השוויון שנוצר עבור t ורשום את התשובה.

תשובה: pi/3+2*pi*n

דוגמה 3.לפתור אי שוויון tg(t)< = 1.

תקופת המשיק שווה ל-pi. הבה נמצא פתרונות השייכים למרווח (-pi/2;pi/2) חצי עיגול ימני. לאחר מכן, באמצעות המחזוריות של המשיק, נכתוב את כל הפתרונות לאי-שוויון זה. נצייר מעגל יחידה ונסמן עליו קו משיקים.

אם t הוא פתרון לאי השוויון, אזי הסמין של הנקודה T = tg(t) חייבת להיות קטנה או שווה ל-1. קבוצת הנקודות הללו תהווה את הקרן AT. קבוצת הנקודות Pt שתתאים לנקודות של קרן זו היא הקשת l. יתרה מכך, נקודה P(-pi/2) אינה שייכת לקשת זו.

במהלך השיעור המעשי, נחזור על סוגי המשימות העיקריות מהנושא "טריגונומטריה", בנוסף ננתח בעיות במורכבות מוגברת ונשקול דוגמאות לפתרון אי-שוויון טריגונומטרי שונים ומערכותיהם.

שיעור זה יעזור לך להתכונן לאחד מסוגי המשימות B5, B7, C1 ו-C3.

נתחיל בסקירת סוגי המשימות העיקריות שכיסינו בנושא "טריגונומטריה" ונפתור מספר בעיות לא סטנדרטיות.

משימה מס' 1. המרת זוויות לרדיאנים ומעלות: א) ; ב).

א) בואו נשתמש בנוסחה להמרת מעלות לרדיאנים

בואו נחליף לתוכו את הערך שצוין.

ב) החל את הנוסחה להמרת רדיאנים למעלות

בוא נבצע את ההחלפה .

תשובה. א) ; ב).

משימה מס' 2. חשב: א) ; ב).

א) מכיוון שהזווית חורגת הרבה מעבר לטבלה, נפחית אותה על ידי הפחתת תקופת הסינוס. כי הזווית מצוינת ברדיאנים, ואז נשקול את התקופה כ-.

ב) ב במקרה הזההמצב דומה. מכיוון שהזווית מצוינת במעלות, נשקול את תקופת המשיק כ-.

הזווית המתקבלת, אם כי קטנה מהתקופה, גדולה יותר, מה שאומר שהיא כבר לא מתייחסת לחלק הראשי, אלא לחלק המורחב של הטבלה. כדי לא לאמן שוב את הזיכרון שלך על ידי שינון הטבלה המורחבת של ערכי הטריגופונקציה, הבה נחסר שוב את תקופת המשיק:

ניצלנו את המוזרות של פונקציית המשיק.

תשובה. א) 1; ב).

משימה מס' 3. לחשב , אם .

הבה נצמצם את הביטוי כולו למשיקים על ידי חלוקת המונה והמכנה של השבר ב- . יחד עם זאת, אנחנו לא יכולים לפחד מזה, כי במקרה זה, ערך המשיק לא יהיה קיים.

משימה מס' 4. פשט את הביטוי.

הביטויים שצוינו מומרים באמצעות נוסחאות הפחתה. הם פשוט נכתבים בצורה יוצאת דופן באמצעות תארים. הביטוי הראשון מייצג בדרך כלל מספר. בואו נפשט את כל פונקציות הטריגו בזה אחר זה:

כי , אז הפונקציה משתנה ל-cofunction, כלומר. לקוטנגנט, והזווית נופלת לרבע השני, שבו למשיק המקורי יש סימן שלילי.

מאותן סיבות כמו בביטוי הקודם, הפונקציה משתנה ל-cofunction, כלומר. לקוטנגנט, והזווית נופלת לרבע הראשון, שבו למשיק המקורי יש סימן חיובי.

בואו נחליף הכל בביטוי פשוט:

בעיה מס' 5. פשט את הביטוי.

הבה נכתוב את הטנגנס של הזווית הכפולה באמצעות הנוסחה המתאימה ונפשט את הביטוי:

הזהות האחרונה היא אחת מנוסחאות ההחלפה האוניברסליות לקוסינוס.

בעיה מס' 6. לחשב.

העיקר לא לעשות את הטעות הסטנדרטית ולא לתת את התשובה שהביטוי שווה ל. אתה לא יכול להשתמש בתכונה הבסיסית של הארקטנג'ן כל עוד יש גורם בצורת שניים לידו. כדי להיפטר ממנו, נכתוב את הביטוי לפי נוסחת הטנגנס של זווית כפולה, תוך התייחסות לטיעון רגיל.

כעת נוכל ליישם את התכונה הבסיסית של הארקטנג'נט; זכור שאין הגבלות על התוצאה המספרית שלו.

בעיה מס' 7. פתור את המשוואה.

כשפותרים משוואת שבר ששווה לאפס, תמיד מצוין שהמונה שווה לאפס, אבל המכנה לא, כי אי אפשר לחלק באפס.

המשוואה הראשונה היא מקרה מיוחד של המשוואה הפשוטה ביותר שניתן לפתור באמצעות עיגול טריגונומטרי. זכור את הפתרון הזה בעצמך. אי השוויון השני נפתר כמשוואה הפשוטה ביותר באמצעות הנוסחה הכללית של שורשי המשיק, אך רק כשהסימן אינו שווה.

כפי שאנו רואים, משפחה אחת של שורשים לא כוללת משפחה אחרת של אותו סוג של שורשים, שאינם עומדים במשוואה. הָהֵן. אין שורשים.

תשובה. אין שורשים.

בעיה מס' 8. פתור את המשוואה.

מיד נציין שאנו יכולים להוציא את הגורם המשותף ובואו נעשה זאת:

המשוואה צומצמה לאחת מהצורות הסטנדרטיות, כאשר המכפלה של מספר גורמים שווה לאפס. אנחנו כבר יודעים שבמקרה זה, אחד מהם שווה לאפס, או השני, או השלישי. בוא נכתוב את זה בצורה של קבוצה של משוואות:

שתי המשוואות הראשונות הן מקרים מיוחדים מהפשוטים ביותר, כבר נתקלנו הרבה פעמים במשוואות דומות, אז מיד נציין את הפתרונות שלהן. אנו מצמצמים את המשוואה השלישית לפונקציה אחת באמצעות נוסחת הסינוס הזווית הכפולה.

נפתור את המשוואה האחרונה בנפרד:

למשוואה הזו אין שורשים, כי ערך הסינוס אינו יכול לעבור מעבר .

לפיכך, הפתרון הוא רק שתי משפחות השורשים הראשונות; ניתן לשלב אותן לאחת, שקל להראות על המעגל הטריגונומטרי:

זו משפחה של כל החצאים, כלומר.

נעבור לפתרון אי שוויון טריגונומטרי. ראשית, ננתח את הגישה לפתרון הדוגמה מבלי להשתמש בנוסחאות לפתרונות כלליים, אלא באמצעות המעגל הטריגונומטרי.

בעיה מס' 9. לפתור אי שוויון.

הבה נצייר קו עזר על המעגל הטריגונומטרי המתאים לערך סינוס השווה ל , ונראה את טווח הזוויות המספקות את אי השוויון.

חשוב מאוד להבין בדיוק כיצד לציין את מרווח הזוויות המתקבל, כלומר. מה ההתחלה שלו ומה הסוף שלו. תחילת המרווח תהיה הזווית המתאימה לנקודה שניכנס ממש בתחילת המרווח אם ננוע נגד כיוון השעון. במקרה שלנו זו הנקודה שנמצאת משמאל, כי נעים נגד כיוון השעון ועוברים את הנקודה הנכונה, אנו, להיפך, משאירים את טווח הזוויות הנדרש. הנקודה הנכונה תתאים אפוא לסוף הפער.

כעת עלינו להבין את הזוויות של ההתחלה והסוף של מרווח הפתרונות שלנו לאי השוויון. טעות אופיינית היא לציין מיד שהנקודה הימנית מתאימה לזווית, השמאלית ולתת את התשובה. זה לא נכון! שימו לב שזה עתה ציינו את המרווח המתאים לחלק העליון של המעגל, למרות שאנו מעוניינים בחלק התחתון, במילים אחרות, ערבבנו את ההתחלה והסוף של מרווח הפתרונות שאנו צריכים.

כדי שהמרווח יתחיל מפינת הנקודה הימנית ויסתיים בפינת הנקודה השמאלית, יש צורך שהזווית הראשונה שצוינה תהיה קטנה מהשנייה. לשם כך, נצטרך למדוד את הזווית של הנקודה הנכונה בכיוון השלילי של הפניה, כלומר. עם כיוון השעון והוא יהיה שווה ל. ואז, מתחילים לנוע ממנו בכיוון חיובי עם כיוון השעון, נגיע לנקודה הימנית אחרי הנקודה השמאלית ונקבל את ערך הזווית עבורה. כעת תחילת מרווח הזוויות קטנה מהסוף, ונוכל לכתוב את מרווח הפתרונות מבלי לקחת בחשבון את התקופה:

בהתחשב בכך שמרווחים כאלה יחזרו על עצמם מספר אינסופי של פעמים לאחר כל מספר שלם של סיבובים, אנו מקבלים פתרון כללי תוך התחשבות בתקופת הסינוס:

אנחנו שמים סוגריים כי אי השוויון הוא קפדני, ואנחנו בוחרים את הנקודות על המעגל שמתאימות לקצוות המרווח.

השווה את התשובה שאתה מקבל עם הנוסחה לפתרון הכללי שנתנו בהרצאה.

תשובה. .

שיטה זו טובה להבנה מהיכן מגיעות הנוסחאות לפתרונות כלליים של אי השוויון הפשוטים ביותר בטריגונים. בנוסף, זה שימושי למי שמתעצל ללמוד את כל הנוסחאות המסורבלות הללו. עם זאת, גם השיטה עצמה אינה קלה, בחרו איזו גישה לפתרון הנוחה לכם ביותר.

כדי לפתור אי שוויון טריגונומטרי, ניתן להשתמש גם בגרפים של פונקציות שעליהן בנוי קו עזר, בדומה לשיטה המוצגת באמצעות מעגל יחידה. אם אתה מעוניין, נסה להבין את הגישה הזו לפתרון בעצמך. בהמשך נשתמש בנוסחאות כלליות כדי לפתור אי שוויון טריגונומטרי פשוט.

בעיה מס' 10. לפתור אי שוויון.

הבה נשתמש בנוסחה לפתרון הכללי, תוך התחשבות בעובדה שאי השוויון אינו קפדני:

במקרה שלנו אנו מקבלים:

תשובה.

בעיה מס' 11. לפתור אי שוויון.

הבה נשתמש בנוסחת הפתרון הכללית לאי השוויון התואם למהדרין:

תשובה. .

בעיה מס' 12. לפתור אי שוויון: א); ב).

באי-השוויון הללו, אין צורך למהר להשתמש בנוסחאות לפתרונות כלליים או למעגל הטריגונומטרי; מספיק פשוט לזכור את טווח הערכים של סינוס וקוסינוס.

א) מאז , אז אי השוויון לא הגיוני. לכן, אין פתרונות.

ב) כי באופן דומה, הסינוס של כל טיעון תמיד עונה על אי השוויון שצוין בתנאי. לכן, כל הערכים האמיתיים של הטיעון מספקים את אי השוויון.

תשובה. א) אין פתרונות; ב).

בעיה 13. לפתור אי שוויון .

1.5 אי שוויון טריגונומטרי ושיטות לפתרונם

1.5.1 פתרון אי שוויון טריגונומטרי פשוט

רוב מחברי ספרי הלימוד במתמטיקה מודרניים מציעים להתחיל לשקול נושא זה על ידי פתרון אי השוויון הטריגונומטרי הפשוט ביותר. העיקרון של פתרון אי השוויון הטריגונומטרי הפשוט ביותר מבוסס על הידע והמיומנויות של קביעת מעגל טריגונומטרי את הערכים של לא רק הזוויות הטריגונומטריות העיקריות, אלא גם ערכים אחרים.

בינתיים, הפתרון לאי-השוויון של הצורה , , , יכול להתבצע באופן הבא: תחילה נמצא מרווח כלשהו () שעליו מסתפק אי-השוויון, ולאחר מכן רושמים את התשובה הסופית על-ידי הוספת הקצוות של המרווח המצוי a מספר שהוא כפולה של התקופה של הסינוס או הקוסינוס: ( ). במקרה זה, קל למצוא את הערך, כי או . החיפוש אחר משמעות מבוסס על האינטואיציה של התלמידים, על יכולתם להבחין בשוויון של קשתות או מקטעים, תוך ניצול הסימטריה של חלקים בודדים של גרף הסינוס או הקוסינוס. וזה לפעמים מעבר ליכולות של מספר די גדול של תלמידים. על מנת להתגבר על הקשיים שצוינו, ספרי הלימוד השתמשו בשנים האחרונות בגישות שונות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי פשוט, אך הדבר לא הביא לשיפור כלשהו בתוצאות הלמידה.

במשך מספר שנים, אנו משתמשים בהצלחה רבה בנוסחאות לשורשי המשוואות המתאימות כדי למצוא פתרונות לאי-שוויון טריגונומטרי.

אנו לומדים את הנושא בצורה הבאה:

1. אנו בונים גרפים ו-y = a, בהנחה ש.

לאחר מכן נכתוב את המשוואה ואת הפתרון שלה. מתן n 0; 1; 2, אנו מוצאים את שלושת השורשים של המשוואה המורכבת: . הערכים הם האבססיס של שלוש נקודות חיתוך רצופות של הגרפים ו-y = a. ברור שהאי-שוויון תמיד מתקיים במרווח (), ואי-השוויון תמיד מתקיים במרווח ().

על ידי הוספת לקצוות המרווחים הללו מספר שהוא כפולה של תקופת הסינוס, במקרה הראשון נקבל פתרון לאי השוויון בצורה: ; ובמקרה השני, פתרון לאי השוויון בצורה:

רק בניגוד לסינוס מהנוסחה, שהוא פתרון למשוואה, עבור n = 0 נקבל שני שורשים, והשורש השלישי עבור n = 1 בצורה . ושוב, הם שלוש אבסקיס רצופות של נקודות החיתוך של הגרפים ו. במרווח () אי השוויון מתקיים, במרווח () אי השוויון

עכשיו לא קשה לרשום את הפתרונות לחוסר השוויון ו. במקרה הראשון נקבל: ;

ובשני:.

לְסַכֵּם. כדי לפתור את אי השוויון או, עליך ליצור את המשוואה המתאימה ולפתור אותה. מהנוסחה שהתקבלה, מצא את השורשים של ו , וכתוב את התשובה לאי השוויון בצורה: .

כשפותרים אי שוויון , מהנוסחה לשורשי המשוואה המתאימה נמצא את השורשים ו , ונכתוב את התשובה לאי השוויון בצורה: .

טכניקה זו מאפשרת לך ללמד את כל התלמידים כיצד לפתור אי שוויון טריגונומטרי, כי טכניקה זו מסתמכת לחלוטין על מיומנויות שלתלמידים יש שליטה חזקה בהן. אלו הן המיומנויות לפתור בעיות פשוטות ולמצוא את הערך של משתנה באמצעות נוסחה. בנוסף, הופך מיותר לחלוטין לפתור בקפידה מספר רב של תרגילים בהנחיית מורה על מנת להדגים כל מיני טכניקות חשיבה בהתאם לסימן אי השוויון, ערך המודולוס של המספר a והסימן שלו. . ותהליך פתרון אי השוויון עצמו הופך להיות קצר, וזה חשוב מאוד, אחיד.

יתרון נוסף של שיטה זו הוא שהיא מאפשרת לפתור אי-שוויון בקלות גם כאשר הצד הימני אינו ערך טבלה של סינוס או קוסינוס.

בואו נדגים זאת באמצעות דוגמה ספציפית. נניח שאנחנו צריכים לפתור אי שוויון. בואו ניצור את המשוואה המתאימה ונפתור אותה:

בואו למצוא את הערכים של ו.

כאשר n = 1

כאשר n = 2

אנו רושמים את התשובה הסופית לאי השוויון הזה:

בדוגמה הנחשבת של פתרון אי השוויון הטריגונומטרי הפשוט ביותר, יכול להיות רק חסרון אחד - נוכחות של מידה מסוימת של פורמליזם. אבל אם הכל יוערך רק מתוך עמדות אלו, אז ניתן יהיה להאשים את הנוסחאות של שורשי המשוואה הריבועית, ואת כל הנוסחאות לפתרון משוואות טריגונומטריות, ועוד הרבה יותר, בפורמליזם.

למרות שהשיטה המוצעת תופסת מקום ראוי ביצירת מיומנויות בפתרון אי-שוויון טריגונומטרי, לא ניתן להמעיט בחשיבותן ובתכונותיהן של שיטות אחרות לפתרון אי-שוויון טריגונומטרי. אלה כוללים את שיטת המרווחים.

בואו נשקול את המהות שלו.

סט בעריכת א.ג. מורדקוביץ', למרות שגם אתה לא צריך להתעלם משאר ספרי הלימוד. § 3. מתודולוגיה להוראת הנושא "פונקציות טריגונומטריות" במהלך האלגברה והתחלות ניתוח בחקר פונקציות טריגונומטריות בבית הספר ניתן להבחין בשני שלבים עיקריים: ü היכרות ראשונית עם פונקציות טריגונומטריות...

בביצוע המחקר נפתרו המשימות הבאות: 1) נותחו ספרי הלימוד הנוכחיים של האלגברה והתחלות הניתוח המתמטי כדי לזהות את השיטות המוצגות בהם לפתרון משוואות ואי-שוויון לא רציונליות. הניתוח מאפשר לנו להסיק את המסקנות הבאות: בבית הספר העל יסודי, אין תשומת לב מספקת לשיטות לפתרון משוואות אי-רציונליות שונות, בעיקר...

שיטות לפתרון אי-שוויון טריגונומטרי

רלוונטיות. מבחינה היסטורית, משוואות טריגונומטריות ואי-שוויון קיבלו מקום מיוחד בתכנית הלימודים בבית הספר. אנו יכולים לומר שטריגונומטריה היא אחד הסעיפים החשובים ביותר בקורס בית הספר ובכל המדע המתמטי בכלל.

משוואות טריגונומטריות ואי-שוויון תופסים את אחד המקומות המרכזיים בקורס המתמטיקה בבית הספר העל-יסודי, הן מבחינת תוכן החומר החינוכי והן מבחינת שיטות הפעילות החינוכית והקוגניטיבית שניתן וצריכים להיווצר במהלך לימודיהם וליישם לפתרון מספר רב. של בעיות בעלות אופי תיאורטי ויישומי.

פתרון משוואות ואי-שוויון טריגונומטריות יוצר את התנאים המוקדמים לשיטת הידע של התלמידים הקשורים לכל החומר החינוכי בטריגונומטריה (לדוגמה, תכונות של פונקציות טריגונומטריות, שיטות להמרת ביטויים טריגונומטריים ועוד) ומאפשר ליצור קשרים יעילים עם החומר הנלמד. באלגברה (משוואות, שקילות משוואות, אי-שוויון, טרנספורמציות זהות של ביטויים אלגבריים וכו').

במילים אחרות, בחינת טכניקות לפתרון משוואות טריגונומטריות ואי-שוויון כרוכה בסוג של העברה של מיומנויות אלו לתוכן חדש.

משמעות התיאוריה ויישומיה הרבים מהווים הוכחה לרלוונטיות של הנושא הנבחר. זה בתורו מאפשר לך לקבוע את המטרות, המטרות ואת נושא המחקר של עבודת הקורס.

מטרת המחקר: להכליל את הסוגים הזמינים של אי שוויון טריגונומטרי, שיטות בסיסיות ומיוחדות לפתרונם, לבחור מערכת בעיות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי על ידי תלמידי בית ספר.

נושאי מחקר:

1. בהתבסס על ניתוח של הספרות הזמינה בנושא המחקר, ערכו שיטתיות של החומר.

2. ספק קבוצת משימות הנחוצות לאיחוד הנושא "אי-שוויון טריגונומטרי".

מושא לימוד הם אי שוויון טריגונומטרי בקורס המתמטיקה בבית הספר.

נושא לימוד: סוגי אי-שוויון טריגונומטריים ושיטות לפתרונם.

משמעות תיאורטית זה לסדר את החומר.

משמעות מעשית: יישום ידע תיאורטי בפתרון בעיות; ניתוח השיטות הנפוצות העיקריות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי.

שיטות מחקר : ניתוח ספרות מדעית, סינתזה והכללה של ידע נרכש, ניתוח פתרון בעיות, חיפוש שיטות מיטביות לפתרון אי שוויון.

§1. סוגי אי-שוויון טריגונומטרי ושיטות בסיסיות לפתרון אותם

1.1. אי השוויון הטריגונומטרי הפשוט ביותר

שני ביטויים טריגונומטריים המחוברים בסימן או > נקראים אי-שוויון טריגונומטרי.

פתרון אי שוויון טריגונומטרי פירושו למצוא את מערך הערכים של הלא ידועים הכלולים באי השוויון שעבורם אי השוויון מרוצה.

החלק העיקרי של אי שוויון טריגונומטרי נפתר על ידי צמצום לפתרון הפשוט ביותר:

זו עשויה להיות שיטה של ​​פירוק לגורמים, שינוי של משתנה (
,
וכו'), שם פותרים קודם את אי השוויון הרגיל, ואחר כך אי שוויון של הצורה
וכו', או שיטות אחרות.

את אי השוויון הפשוטים ביותר ניתן לפתור בשתי דרכים: באמצעות מעגל היחידה או בצורה גרפית.

לתתf(x  - אחת הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות. לפתור את אי השוויון
די למצוא את פתרונו על תקופה אחת, כלומר. על כל קטע שאורכו שווה לתקופה של הפונקציהו  איקס  . אז הפתרון לאי השוויון המקורי יימצא כולואיקס , כמו גם אותם ערכים השונים מאלה שנמצאו לפי מספר שלם של תקופות של הפונקציה. במקרה זה, נוח להשתמש בשיטה הגרפית.

הבה ניתן דוגמה לאלגוריתם לפתרון אי שוויון
(
) ו
.

אלגוריתם לפתרון אי שוויון
(
).

1. נסח את ההגדרה של הסינוס של מספראיקס על מעגל היחידה.

3. על ציר הסמין, סמן את הנקודה עם הקואורדינטהא .

4. צייר קו מקביל לציר OX דרך נקודה זו וסמן את נקודות החיתוך שלה עם המעגל.

5. בחר קשת של מעגל, שלכל הנקודות שלה יש סדין קטן מא .

6. ציין את כיוון הסיבוב (נגד כיוון השעון) ורשום את התשובה על ידי הוספת פרק הזמן של הפונקציה לקצוות המרווח2πn ,
.

אלגוריתם לפתרון אי שוויון
.

1. נסח את ההגדרה של הטנגנס של מספראיקס על מעגל היחידה.

2. צייר עיגול יחידה.

3. צייר קו של משיקים וסמן נקודה שעליה ישנהא .

4. חברו נקודה זו למקור וסמנו את נקודת החיתוך של הקטע שנוצר עם מעגל היחידה.

5. בחרו קשת של מעגל, שלכל הנקודות שלה יש סדין על קו המשיק פחות מא .

6. ציין את כיוון המעבר וכתוב את התשובה תוך התחשבות בתחום ההגדרה של הפונקציה, הוספת נקודהπn ,
(המספר משמאל לערך תמיד קטן מהמספר מימין).

פרשנות גרפית של פתרונות למשוואות ולנוסחאות הפשוטות ביותר לפתרון אי-שוויון בצורה כללית מצוינת בנספח (נספחים 1 ו-2).

דוגמה 1. לפתור את אי השוויון
.

צייר קו ישר על מעגל היחידה
, שחותך את המעגל בנקודות A ו-B.

כל המשמעויותy במרווח NM גדול יותר , כל הנקודות של קשת AMB מספקות את אי השוויון הזה. בכל זוויות הסיבוב, גדולות , אבל קטן יותר ,
יקבל ערכים גדולים יותר (אך לא יותר מאחד).

איור.1

לפיכך, הפתרון לאי השוויון יהיה כל הערכים במרווח
, כלומר
. כדי לקבל את כל הפתרונות לאי-שוויון זה, מספיק להוסיף לקצוות המרווח הזה
, איפה
, כלומר
,
. שימו לב שהערכים
ו
הם שורשי המשוואה
,

הָהֵן.
;
.

תשובה:
,
.

1.2. שיטה גרפית

בפועל, השיטה הגרפית לפתרון אי-שוויון טריגונומטרי מתבררת פעמים רבות כמועילה. הבה נבחן את מהות השיטה תוך שימוש בדוגמה של אי שוויון
:

1. אם הטיעון מורכב (שונה מאיקס ), ואז החליפו אותו בט .

2. אנו בונים במישור קואורדינטות אחדצַעֲצוּעַ גרפי פונקציות
ו
.

3. אנחנו מוצאים כאלהשתי נקודות חיתוך סמוכות של גרפים, ביניהםגל סינוסממוקםגבוה יותר יָשָׁר
. אנו מוצאים את האבססיס של הנקודות הללו.

4. כתוב אי שוויון כפול לטיעוןט , תוך התחשבות בתקופת הקוסינוס (ט יהיה בין האבססיסים שנמצאו).

5. בצע החלפה הפוכה (חזור לארגומנט המקורי) ובטא את הערךאיקס מהאי-שוויון הכפול, אנו כותבים את התשובה בצורה של מרווח מספרי.

דוגמה 2. לפתור אי שוויון: .

כאשר פותרים אי שוויון בשיטה הגרפית, יש צורך לבנות גרפים של פונקציות בצורה מדויקת ככל האפשר. בואו נהפוך את אי השוויון לצורה:

בואו נבנה גרפים של פונקציות במערכת קואורדינטות אחת
ו
(איור 2).

איור 2

הגרפים של פונקציות מצטלבים בנקודהא עם קואורדינטות
;
. בין לבין
גרף נקודות
מתחת לנקודות הגרף
. ומתי
ערכי הפונקציה זהים. בגלל זה
בְּ-
.

תשובה:
.

1.3. שיטה אלגברית

לעתים קרובות, ניתן לצמצם את אי השוויון הטריגונומטרי המקורי לאי שוויון אלגברי (רציונלי או לא רציונלי) באמצעות החלפה שנבחרה היטב. שיטה זו כוללת הפיכת אי שוויון, הכנסת תחליף או החלפת משתנה.

בואו נסתכל על דוגמאות ספציפיות ליישום של שיטה זו.

דוגמה 3. צמצום לצורה הפשוטה ביותר
.

(איור 3)

איור 3

,
.

תשובה:
,

דוגמה 4. לפתור אי שוויון:

ODZ:
,
.

שימוש בנוסחאות:
,

בוא נכתוב את אי השוויון בצורה:
.

או, להאמין
לאחר טרנספורמציות פשוטות אנו מקבלים

,

,

.

פתרון אי השוויון האחרון בשיטת המרווחים, נקבל:

איור.4

, בהתאמה
. ואז מתוך איור. 4 בהמשך
, איפה
.

איור.5

תשובה:
,
.

1.4. שיטת מרווחים

סכימה כללית לפתרון אי שוויון טריגונומטרי בשיטת המרווחים:

גורם באמצעות נוסחאות טריגונומטריות.

מצא את נקודות האי-רציפות והאפסים של הפונקציה והצב אותם על המעגל.

קח כל נקודהל (אך לא נמצא קודם לכן) וגלה את הסימן של המוצר. אם התוצר חיובי, הצב נקודה מחוץ למעגל היחידה על הקרן המתאימה לזווית. אחרת, מקם את הנקודה בתוך המעגל.

אם נקודה מתרחשת מספר זוגי של פעמים, אנו קוראים לה נקודה של ריבוי זוגי; אם מספר אי זוגי של פעמים, אנו קוראים לה נקודה של ריבוי אי זוגי. צייר קשתות באופן הבא: התחל מנקודהל , אם הנקודה הבאה היא בריבוי אי זוגי, אז הקשת חותכת את המעגל בנקודה זו, אבל אם הנקודה היא בריבוי זוגי, אז היא לא חותכת.

קשתות מאחורי המעגל הן מרווחים חיוביים; בתוך המעגל יש רווחים שליליים.

דוגמה 5. לפתור אי שוויון

,
.

נקודות מהסדרה הראשונה:
.

נקודות מהסדרה השנייה:
.

כל נקודה מתרחשת מספר אי זוגי של פעמים, כלומר כל הנקודות הן בריבוי אי זוגי.

תן לנו לגלות את הסימן של המוצר ב
: . בואו נסמן את כל הנקודות במעגל היחידה (איור 6):

אורז. 6

תשובה:
,
;
,
;
,
.

דוגמה 6 . לפתור את אי השוויון.

פִּתָרוֹן:

בוא נמצא את האפסים של הביטוי .

לְקַבֵּלaeM :

,
;

,
;

,
;

,
;

על ערכי סדרת מעגל היחידהאיקס 1 מיוצג על ידי נקודות
. סִדרָהאיקס 2 נותן נקודות
. סדרהאיקס 3 נקבל שתי נקודות
. סוף סוף, הסדרהאיקס 4 ייצג נקודות
. הבה נשרטט את כל הנקודות הללו על מעגל היחידה, ונציין את ריבויה בסוגריים ליד כל אחת מהן.

תן עכשיו את המספר יהיה שווה. בואו נעשה הערכה על סמך השלט:

אז, נקודהא יש לבחור על הקרן שיוצרת את הזווית עם קורההו, מחוץ למעגל היחידה. (שימו לב שקרן העזרעל אודות א אין צורך כלל לתאר אותו בציור. נְקוּדָהא נבחר בערך.)

עכשיו מהנקודהא צייר קו רציף גלי ברצף לכל הנקודות המסומנות. ובנקודות
הקו שלנו עובר מאזור אחד לאחר: אם הוא היה מחוץ למעגל היחידה, אז הוא נכנס לתוכו. מתקרבים לנקודה , הקו חוזר לאזור הפנימי, שכן הריבוי של נקודה זו הוא זוגי. באופן דומה בנקודה (עם ריבוי שווה) יש להפנות את הקו לאזור החיצוני. אז, ציירנו תמונה מסוימת המוצגת באיור. 7. זה עוזר להדגיש את האזורים הרצויים במעגל היחידה. הם מסומנים בסימן "+".

איור 7

תשובה סופית:

הערה. אם קו גלי, לאחר שהקיף את כל הנקודות המסומנות במעגל היחידה, לא ניתן להחזיר לנקודהא , מבלי לחצות את המעגל במקום "לא חוקי", זה אומר שנפלה טעות בפתרון, כלומר, מספר אי זוגי של שורשים הוחמץ.

תשובה: .

§2. קבוצת בעיות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי

בתהליך פיתוח היכולת של תלמידי בית הספר לפתור אי שוויון טריגונומטרי, ניתן להבחין גם ב-3 שלבים.

1. הכנה,

2. פיתוח היכולת לפתור אי שוויון טריגונומטרי פשוט;

3. הכנסת אי-שוויון טריגונומטרי מסוגים אחרים.

מטרת שלב ההכנה היא שיש צורך לפתח אצל תלמידי בית הספר את היכולת להשתמש במעגל טריגונומטרי או גרף כדי לפתור אי שוויון, כלומר:

יכולת לפתור אי שוויון פשוט של הצורה
,
,
,
, שימוש במאפיינים של פונקציות הסינוס והקוסינוס;

יכולת לבנות אי-שוויון כפול לקשתות עיגול מספריםאו עבור קשתות של גרפים של פונקציות;

יכולת לבצע טרנספורמציות שונות של ביטויים טריגונומטריים.

מומלץ ליישם שלב זה בתהליך שיטת הידע של תלמידי בית הספר על תכונות הפונקציות הטריגונומטריות. האמצעים העיקריים יכולים להיות משימות המוצעות לתלמידים ומבוצעות בהנחיית מורה או באופן עצמאי, כמו גם מיומנויות שפותחו בפתרון משוואות טריגונומטריות.

להלן דוגמאות למשימות כאלה:

1 . סמן נקודה על מעגל היחידה , אם

.

2. באיזה רבע ממישור הקואורדינטות נמצאת הנקודה? , אם שווים:

3. סמן את הנקודות על המעגל הטריגונומטרי , אם:

4. המר את הביטוי לפונקציות טריגונומטריותאנימְגוּרִים.

א)
, ב)
, V)

5. Arc MR ניתן.M – באמצעאני-רבעון,ר – באמצעIIהרבעון. הגבל את הערך של משתנהט עבור: (לעשות אי שוויון כפול) א) קשת MR; ב) קשתות RM.

6. רשום את אי השוויון הכפול עבור החלקים הנבחרים של הגרף:

אורז. 1

7. לפתור אי שוויון
,
,
,
.

8. המרת ביטוי .

בשלב השני של לימוד פתרון אי שוויון טריגונומטרי, נוכל להציע את ההמלצות הבאות הקשורות למתודולוגיה לארגון פעילויות התלמידים. במקרה זה, יש צורך להתמקד במיומנויות הקיימות של התלמידים בעבודה עם מעגל טריגונומטרי או גרף, שנוצרו תוך פתרון המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר.

ראשית, ניתן להניע את כדאיות השגת שיטה כללית לפתרון אי השוויון הטריגונומטרי הפשוט ביותר על ידי פנייה, למשל, לאי שוויון של הצורה.
. באמצעות הידע והמיומנויות שנרכשו בשלב ההכנה, התלמידים יביאו את אי השוויון המוצע לטופס
, אך עלולים להתקשות למצוא מערך פתרונות לאי השוויון הנובע מכך, משום אי אפשר לפתור את זה רק באמצעות המאפיינים של פונקציית הסינוס. ניתן להימנע מקושי זה על ידי פנייה לאיור המתאים (פתרון המשוואה בצורה גרפית או שימוש במעגל יחידה).

שנית, על המורה למשוך את תשומת לב התלמידים לדרכים שונות להשלמת המשימה, לתת דוגמה מתאימה לפתרון אי השוויון הן בצורה גרפית והן באמצעות מעגל טריגונומטרי.

הבה נבחן את הפתרונות הבאים לאי-שוויון
.

1. פתרון אי השוויון באמצעות מעגל היחידה.

בשיעור הראשון על פתרון אי שוויון טריגונומטרי, נציע לתלמידים אלגוריתם פתרונות מפורט, אשר במצגת שלב אחר שלב משקף את כל המיומנויות הבסיסיות הנחוצות לפתרון אי השוויון.

שלב 1.נצייר מעגל יחידה ונסמן נקודה על ציר הסמין וצייר דרכו קו ישר במקביל לציר ה-x. קו זה יחצה את מעגל היחידה בשתי נקודות. כל אחת מהנקודות הללו מייצגת מספרים שהסינוס שלהם שווה ל .

שלב 2.קו ישר זה חילק את המעגל לשתי קשתות. הבה נבחר את זה שמתאר מספרים בעלי סינוס גדול מ . באופן טבעי, קשת זו ממוקמת מעל הקו הישר המצויר.

אורז. 2

שלב 3.בחר אחד מקצוות הקשת המסומנת. נרשום את אחד המספרים שמיוצג על ידי נקודה זו של מעגל היחידה .

שלב 4.על מנת לבחור את המספר המתאים לקצה השני של הקשת שנבחרה, אנו "צועדים" לאורך הקשת הזו מהקצה המכונה אל הקצה השני. יחד עם זאת, זכרו שכאשר נעים נגד כיוון השעון, המספרים שנעבור גדלים (כאשר נעים בכיוון ההפוך, המספרים היו יורדים). נרשום את המספר שמתואר על מעגל היחידה בקצה השני של הקשת המסומנת .

לפיכך, אנו רואים את אי השוויון
לספק את המספרים שעבורם אי השוויון נכון
. פתרנו את אי השוויון עבור מספרים הממוקמים באותה תקופה של פונקציית הסינוס. לכן, כל הפתרונות לאי השוויון יכולים להיכתב בטופס

יש לבקש מהתלמידים לבחון היטב את הציור ולהבין מדוע כל הפתרונות לאי השוויון
ניתן לכתוב בטופס
,
.

אורז. 3

יש צורך להסב את תשומת ליבם של התלמידים לעובדה שכאשר פותרים אי שוויון עבור פונקציית הקוסינוס, אנו מציירים קו ישר מקביל לציר האורדינאטה.

שיטה גרפית לפתרון אי שוויון.

אנחנו בונים גרפים
ו
, בהתחשב בכך ש
.

אורז. 4

ואז נכתוב את המשוואה
וההחלטה שלו
,
,
, נמצא באמצעות נוסחאות
,
,
.

(מַתָןנ ערכים 0, 1, 2, נמצא את שלושת השורשים של המשוואה המורכבת). ערכים
הם שלוש אבשסיס רצוף של נקודות החיתוך של הגרפים
ו
. ברור, תמיד במרווח
אי השוויון מתקיים
, ועל המרווח
- אי שיוויון
. אנחנו מתעניינים במקרה הראשון, ואז מוסיפים לקצוות המרווח הזה מספר שהוא כפולה של תקופת הסינוס, נקבל פתרון לאי השוויון
כפי ש:
,
.

אורז. 5

לְסַכֵּם. לפתור את אי השוויון
, עליך ליצור את המשוואה המתאימה ולפתור אותה. מצא את השורשים מהנוסחה שהתקבלה ו , וכתוב את התשובה לאי השוויון בצורה: ,
.

שלישית, העובדה על מערך השורשים של אי השוויון הטריגונומטרי המתאים מאושרת בבירור כאשר פותרים אותו בצורה גרפית.

אורז. 6

יש צורך להדגים לתלמידים שהתור, שהוא הפתרון לאי השוויון, חוזר על עצמו באותו מרווח, שווה לתקופה של הפונקציה הטריגונומטרית. אתה יכול גם לשקול איור דומה עבור הגרף של פונקציית הסינוס.

רביעית, מומלץ לבצע עבודה על עדכון טכניקות של תלמידים להמרת סכום (הפרש) של פונקציות טריגונומטריות למוצר, ולהסב את תשומת לב התלמידים לתפקידן של טכניקות אלו בפתרון אי שוויון טריגונומטרי.

ניתן לארגן עבודה כזו באמצעות השלמת מטלות עצמאית של התלמידים המוצעים על ידי המורה, וביניהן אנו מדגישים את הדברים הבאים:

חמישית, יש לדרוש מהתלמידים להמחיש את הפתרון לכל אי שוויון טריגונומטרי פשוט באמצעות גרף או עיגול טריגונומטרי. כדאי בהחלט לשים לב לכדאיות שלו, במיוחד לשימוש במעגל, שכן בעת ​​פתרון אי שוויון טריגונומטרי, האיור המקביל משמש כאמצעי נוח מאוד לרישום מערך הפתרונות לאי שוויון נתון

רצוי להכיר לתלמידים שיטות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי שאינן הפשוטות ביותר לפי הסכימה הבאה: פנייה לאי שוויון טריגונומטרי ספציפי פנייה למשוואה הטריגונומטרית המתאימה חיפוש משותף (מורה - תלמידים) לפתרון העברה עצמאית של נמצא שיטה לאי-שוויון אחרים מאותו סוג.

על מנת ליצור שיטתיות של הידע של התלמידים על טריגונומטריה, אנו ממליצים לבחור במיוחד באי-שוויון כאלה, שפתרונם מצריך טרנספורמציות שונות שניתן ליישם בתהליך פתרונה, ולמקד את תשומת הלב של התלמידים בתכונותיהם.

כאי-שוויון פרודוקטיבי שכזה, אנו יכולים להציע, למשל, את הדברים הבאים:

לסיכום, אנו נותנים דוגמה למערכת של בעיות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי.

1. לפתור את אי השוויון:

2. לפתור את אי השוויון: 3. מצא את כל הפתרונות לאי-השוויון: 4. מצא את כל הפתרונות לאי השוויון:

א)
, עומד בתנאי
;

ב)
, עומד בתנאי
.

5. מצא את כל הפתרונות לאי-השוויון:

א) ;

ב) ;

V)
;

ז)
;

ד)
.

6. פתור את אי השוויון:

א) ;

ב) ;

V) ;

ז)
;

ד) ;

ה) ;

ו)
.

7. לפתור את אי השוויון:

א)
;

ב) ;

V) ;

ז).

8. פתור את אי השוויון:

א) ;

ב) ;

V) ;

ז)
;

ד)
;

ה) ;

ו)
;

ח) .

רצוי להציע מטלות 6 ו-7 לתלמידים הלומדים מתמטיקה ברמה מתקדמת, משימה 8 לתלמידי כיתות השתלמות במתמטיקה.

§3. שיטות מיוחדות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי

שיטות מיוחדות לפתרון משוואות טריגונומטריות - כלומר אותן שיטות שניתן להשתמש בהן רק לפתרון משוואות טריגונומטריות. שיטות אלו מבוססות על שימוש בתכונות של פונקציות טריגונומטריות, וכן על שימוש בנוסחאות ובזהויות טריגונומטריות שונות.

3.1. שיטת מגזר

הבה נבחן את שיטת המגזר לפתרון אי שוויון טריגונומטרי. פתרון אי שוויון של הצורה

, איפהפ ( איקס ) וש ( איקס ) – פונקציות טריגונומטריות רציונליות (סינוסים, קוסינוסים, טנג'נסים וקוטנגנטים נכללים בהן באופן רציונלי), בדומה לפתרון אי-שוויון רציונלי. נוח לפתור אי-שוויון רציונלי בשיטת המרווחים על קו המספרים. האנלוגי שלו לפתרון אי-שוויון טריגונומטרי רציונלי הוא שיטת המגזרים במעגל הטריגונומטרי, עבורsinx וcosx (
) או חצי עיגול טריגונומטרי עבורtgx וctgx (
).

בשיטת המרווח, כל גורם ליניארי של המונה והמכנה של הצורה
על ציר המספרים מתאים לנקודה , וכאשר עוברים בנקודה זו
משנה סימן. בשיטת המגזר, כל גורם של הטופס
, איפה
- אחת הפונקציותsinx אוֹcosx ו
, במעגל טריגונומטרי מתאימות שתי זוויות ו
, המחלקים את המעגל לשני מגזרים. כשעוברים דרכו ו פוּנקצִיָה
משנה סימן.

יש לזכור את הדברים הבאים:

א) גורמי הצורה
ו
, איפה
, שמור סימן עבור כל הערכים . גורמים כאלה של המונה והמכנה נמחקים על ידי שינוי (אם
) עם כל דחייה כזו, סימן אי השוויון מתהפך.

ב) גורמי הצורה
ו
גם נזרקים. יתרה מכך, אם אלה הם גורמים של המכנה, אזי אי-השוויון של הצורה מתווספים למערכת המקבילה של אי-השוויון
ו
. אם אלו גורמים של המונה, אזי במערכת ההגבלות המקבילה הם תואמים את אי השוויון
ו
במקרה של אי שוויון ראשוני קפדני, ושוויון
ו
במקרה של אי שוויון ראשוני לא קפדני. כאשר זורקים את המכפיל
אוֹ
סימן אי השוויון הפוך.

דוגמה 1. לפתור אי שוויון: א)
, ב)
. יש לנו פונקציה ב). לפתור את אי השוויון שיש לנו,

3.2. שיטת מעגל קונצנטרי

שיטה זו היא אנלוגי לשיטת צירי המספרים המקבילים לפתרון מערכות של אי-שוויון רציונלי.

הבה נבחן דוגמה למערכת של אי שוויון.

דוגמה 5. פתור מערכת של אי-שוויון טריגונומטרי פשוט

ראשית, אנו פותרים כל אי שוויון בנפרד (איור 5). בפינה הימנית העליונה של האיור נציין עבור איזה טיעון המעגל הטריגונומטרי נחשב.

איור.5

לאחר מכן, אנו בונים מערכת של מעגלים קונצנטריים עבור הטיעוןאיקס . אנו מציירים עיגול ומצללים אותו לפי הפתרון של אי השוויון הראשון, לאחר מכן אנו מציירים עיגול ברדיוס גדול יותר ומצללים אותו לפי הפתרון של השני, לאחר מכן אנו בונים עיגול לאי השוויון השלישי ומעגל בסיס. אנו מציירים קרניים ממרכז המערכת דרך קצוות הקשתות כך שהן חותכות את כל המעגלים. אנו יוצרים פתרון על מעגל הבסיס (איור 6).

איור 6

תשובה:
,
.

סיכום

כל המטרות של מחקר הקורס הושלמו. החומר התיאורטי מסודר: ניתנים הסוגים העיקריים של אי-שוויון טריגונומטרי והשיטות העיקריות לפתרונם (גרפי, אלגברי, שיטת מרווחים, סקטורים ושיטת מעגלים קונצנטריים). ניתנה דוגמה לפתרון אי שוויון לכל שיטה. לאחר החלק העיוני הגיע החלק המעשי. הוא מכיל קבוצה של משימות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי.

קורס זה יכול לשמש את התלמידים לעבודה עצמאית. תלמידי בית ספר יכולים לבדוק את רמת השליטה בנושא זה ולתרגל ביצוע משימות בעלות מורכבות משתנה.

לאחר שלמדנו את הספרות הרלוונטית בנושא זה, אנו יכולים כמובן להסיק שהיכולת והמיומנויות לפתור אי שוויון טריגונומטרי בקורס בית הספר של אלגברה וניתוח יסודי חשובים מאוד, שפיתוחם דורש מאמץ משמעותי מצד המורה למתמטיקה.

לכן, עבודה זו תהיה שימושית עבור מורים למתמטיקה, שכן היא מאפשרת לארגן ביעילות את ההכשרה של תלמידים בנושא "אי שוויון טריגונומטרי".

ניתן להמשיך את המחקר על ידי הרחבתו לעבודת הכשרה סופית.

רשימת ספרות משומשת

Bogomolov, N.V. אוסף בעיות במתמטיקה [טקסט] / N.V. בוגומולוב. – M.: Bustard, 2009. – 206 עמ'.

ויגודסקי, מ.י. מדריך למתמטיקה יסודית [טקסט] / M.Ya. ויגודסקי. – M.: Bustard, 2006. – 509 p.

ז'ורבנקו, ל.נ. מתמטיקה בדוגמאות ובעיות [טקסט] / ל.נ. ז'ורבנקו. – מ.: אינפרא-מ, 2009. – 373 עמ'.

איבנוב, או.א. מתמטיקה יסודית לתלמידי בית ספר, תלמידים ומורים [טקסט] / O.A. איבנוב. – מ.: MTsNMO, 2009. – 384 עמ'.

קארפ, א.פ. מטלות על אלגברה והתחלות ניתוח לארגון חזרה והסמכה סופית בכיתה יא [טקסט] / א.פ. קַרפִּיוֹן. – מ.: חינוך, 2005. – 79 עמ'.

קולנין, א.ד. 3000 בעיות תחרות במתמטיקה [טקסט] / E.D. קולנין. – M.: Iris-press, 2007. – 624 p.

לייבסון, ק.ל. אוסף משימות מעשיות במתמטיקה [טקסט] / ק.ל. ליבסון. – M.: Bustard, 2010. – 182 עמ'.

מרפק, V.V. בעיות בפרמטרים והפתרון שלהם. טריגונומטריה: משוואות, אי שוויון, מערכות. כיתה י' [טקסט] / V.V. מַרְפֵּק. – M.: ARKTI, 2008. – 64 עמ'.

מנובה, א.נ. מָתֵימָטִיקָה. מורה אקספרס להכנה לבחינת המדינה המאוחדת: סטודנט. ידני [טקסט] / א.נ. מנובה. – רוסטוב-על-דון: הפניקס, 2012. – 541 עמ'.

מורדקוביץ', א.ג. אלגברה ותחילת ניתוח מתמטי. כיתות י'-י"א. ספר לימוד לתלמידי מוסדות חינוך כללי [טקסט] / א.ג. מורדקוביץ'. – M.: Iris-press, 2009. – 201 עמ'.

נוביקוב, א.י. פונקציות טריגונומטריות, משוואות ואי-שוויון [טקסט] / א.י. נוביקוב. – מ.: FIZMATLIT, 2010. – 260 עמ'.

Oganesyan, V.A. שיטות הוראת מתמטיקה בבית הספר העל יסודי: מתודולוגיה כללית. ספר לימוד מדריך לתלמידי פיזיקה - מחצלת. fak. פד. אינסט. [טקסט] / V.A. אוגאנסיאן. – מ.: חינוך, 2006. – 368 עמ'.

Olehnik, S.N. משוואות ואי שוויון. שיטות פתרון לא סטנדרטיות [טקסט] / S.N. אולחניק. – מ.: הוצאת פקטורי, 1997. – 219 עמ'.

סבריוקוב, P.F. משוואות טריגונומטריות, אקספוננציאליות ולוגריתמיות ואי-שוויון [טקסט] / P.F. סבריוקוב. – מ.: חינוך ציבורי, 2008. – 352 עמ'.

סרגייב, I.N. בחינת המדינה המאוחדת: 1000 בעיות עם תשובות ופתרונות במתמטיקה. כל המשימות של קבוצה C [טקסט] / I.N. סרגייב. – מ.: בחינה, 2012. – 301 עמ'.

סובולב, א.ב. מתמטיקה יסודית [טקסט] / א.ב. סובולב. – יקטרינבורג: המוסד החינוכי הממלכתי להשכלה מקצועית גבוהה USTU-UPI, 2005. – 81 עמ'.

פנקו, ל.מ. שיטת מרווחים בפתרון אי שוויון ולימוד פונקציות [טקסט] / ל.מ. פנקו. – M.: Bustard, 2005. – 124 עמ'.

פרידמן, ל.מ. יסודות תיאורטיים של שיטות הוראת מתמטיקה [טקסט] / ל.מ. פרידמן. – מ.: בית הספר "LIBROKOM", 2009. – 248 עמ'.

נספח 1

פרשנות גרפית של פתרונות לאי שוויון פשוטים

אורז. 1

אורז. 2

איור 3

איור.4

איור.5

איור 6

איור 7

איור.8

נספח 2

פתרונות לאי שוויון פשוטים