אי שוויון במשוואות טריגונומטריות איך לפתור. שיטות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי

הנקודה הראשונה היא, כרגיל, arcsin(-a)=-arcsina. כדי להגיע לנקודה השנייה נלך בדרך העליונה, כלומר לכיוון הגדלת הזווית.

הפעם אנחנו עוברים מעבר ל-n. כמה זמן אנחנו הולכים? על arcsin x. זה אומר שהנקודה השנייה היא n+arcsin x. למה אין מינוס? כי המינוס בסימון -arcsin a פירושו תנועה בכיוון השעון, אבל הלכנו נגד כיוון השעון. ולבסוף, הוסף 2pn לכל קצה של המרווח.

5) sinx>a, if a>1.

מעגל היחידה נמצא כולו מתחת לקו הישר y=a. אין נקודה אחת מעל הקו הישר. אז אין פתרונות.

6) sinx>-a, כאשר a>1.

במקרה זה, כל מעגל היחידה נמצא כולו מעל הקו הישר y=a. לכן, כל נקודה עומדת בתנאי sinx>a. זה אומר ש-x הוא כל מספר.

וכאן x הוא כל מספר, שכן הנקודות -n/2+2nn כלולות בפתרון, בניגוד לאי השוויון הקפדני sinx>-1. אין צורך להוציא שום דבר.

הנקודה היחידה במעגל שמקיימת תנאי זה היא n/2. אם לוקחים בחשבון את תקופת הסינוס, הפתרון לאי-שוויון זה הוא קבוצת הנקודות x=n/2+2n.

לדוגמה, פתור את האי-שוויון sinx>-1/2:

שיטות לפתרון אי-שוויון טריגונומטרי

רלוונטיות. מבחינה היסטורית, משוואות טריגונומטריות ואי-שוויון קיבלו מקום מיוחד בתכנית הלימודים בבית הספר. אנו יכולים לומר שטריגונומטריה היא אחד הסעיפים החשובים ביותר בקורס בית הספר ובכל המדע המתמטי בכלל.

משוואות טריגונומטריות ואי-שוויון תופסים את אחד המקומות המרכזיים בקורס המתמטיקה בבית הספר העל-יסודי, הן מבחינת תוכן החומר החינוכי והן מבחינת שיטות הפעילות החינוכית והקוגניטיבית שניתן וצריכים להיווצר במהלך לימודיהם וליישם לפתרון מספר רב. של בעיות בעלות אופי תיאורטי ויישומי.

פתרון משוואות ואי-שוויון טריגונומטריות יוצר את התנאים המוקדמים לשיטת הידע של התלמידים הקשורים לכל החומר החינוכי בטריגונומטריה (לדוגמה, תכונות של פונקציות טריגונומטריות, שיטות להמרת ביטויים טריגונומטריים ועוד) ומאפשר ליצור קשרים יעילים עם החומר הנלמד. באלגברה (משוואות, שקילות משוואות, אי-שוויון, טרנספורמציות זהות של ביטויים אלגבריים וכו').

במילים אחרות, בחינת טכניקות לפתרון משוואות טריגונומטריות ואי-שוויון כרוכה בסוג של העברה של מיומנויות אלו לתוכן חדש.

משמעות התיאוריה ויישומיה הרבים מהווים הוכחה לרלוונטיות של הנושא הנבחר. זה בתורו מאפשר לך לקבוע את המטרות, המטרות ואת נושא המחקר של עבודת הקורס.

מטרת המחקר: להכליל את הסוגים הזמינים של אי שוויון טריגונומטרי, שיטות בסיסיות ומיוחדות לפתרונם, לבחור מערכת בעיות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי על ידי תלמידי בית ספר.

נושאי מחקר:

1. בהתבסס על ניתוח של הספרות הזמינה בנושא המחקר, ערכו שיטתיות של החומר.

2. ספק קבוצת משימות הנחוצות לאיחוד הנושא "אי-שוויון טריגונומטרי".

מושא לימוד הם אי שוויון טריגונומטרי בקורס המתמטיקה בבית הספר.

נושא לימוד: סוגי אי-שוויון טריגונומטריים ושיטות לפתרונם.

משמעות תיאורטית זה לסדר את החומר.

משמעות מעשית: יישום ידע תיאורטי בפתרון בעיות; ניתוח השיטות הנפוצות העיקריות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי.

שיטות מחקר : ניתוח ספרות מדעית, סינתזה והכללה של ידע נרכש, ניתוח פתרון בעיות, חיפוש שיטות מיטביות לפתרון אי שוויון.

§1. סוגי אי-שוויון טריגונומטרי ושיטות בסיסיות לפתרון אותם

1.1. אי השוויון הטריגונומטרי הפשוט ביותר

שני ביטויים טריגונומטריים המחוברים בסימן או > נקראים אי-שוויון טריגונומטרי.

פתרון אי שוויון טריגונומטרי פירושו למצוא את מערך הערכים של הלא ידועים הכלולים באי השוויון שעבורם אי השוויון מרוצה.

החלק העיקרי של אי שוויון טריגונומטרי נפתר על ידי צמצום לפתרון הפשוט ביותר:

זו עשויה להיות שיטה של ​​פירוק לגורמים, שינוי של משתנה (
,
וכו'), שם פותרים קודם את אי השוויון הרגיל, ואחר כך אי שוויון של הצורה
וכו', או שיטות אחרות.

את אי השוויון הפשוטים ביותר ניתן לפתור בשתי דרכים: באמצעות מעגל היחידה או בצורה גרפית.

לתתf(x  - אחת הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות. לפתור את אי השוויון
די למצוא את פתרונו על תקופה אחת, כלומר. על כל קטע שאורכו שווה לתקופה של הפונקציהו  איקס  . אז הפתרון לאי השוויון המקורי יימצא כולואיקס , כמו גם אותם ערכים השונים מאלה שנמצאו לפי מספר שלם של תקופות של הפונקציה. במקרה זה, נוח להשתמש בשיטה הגרפית.

הבה ניתן דוגמה לאלגוריתם לפתרון אי שוויון
(
) ו
.

אלגוריתם לפתרון אי שוויון
(
).

1. נסח את ההגדרה של הסינוס של מספראיקס על מעגל היחידה.

3. על ציר הסמין, סמן את הנקודה עם הקואורדינטהא .

4. צייר קו מקביל לציר OX דרך נקודה זו וסמן את נקודות החיתוך שלה עם המעגל.

5. בחר קשת של מעגל, שלכל הנקודות שלה יש סדין קטן מא .

6. ציין את כיוון הסיבוב (נגד כיוון השעון) ורשום את התשובה על ידי הוספת פרק הזמן של הפונקציה לקצוות המרווח2πn ,
.

אלגוריתם לפתרון אי שוויון
.

1. נסח את ההגדרה של הטנגנס של מספראיקס על מעגל היחידה.

2. צייר עיגול יחידה.

3. צייר קו של משיקים וסמן נקודה שעליה ישנהא .

4. חברו נקודה זו למקור וסמנו את נקודת החיתוך של הקטע שנוצר עם מעגל היחידה.

5. בחרו קשת של מעגל, שלכל הנקודות שלה יש סדין על קו המשיק פחות מא .

6. ציין את כיוון המעבר וכתוב את התשובה תוך התחשבות בתחום ההגדרה של הפונקציה, הוספת נקודהπn ,
(המספר משמאל לערך תמיד קטן מהמספר מימין).

פרשנות גרפית של פתרונות למשוואות ולנוסחאות הפשוטות ביותר לפתרון אי-שוויון בצורה כללית מצוינת בנספח (נספחים 1 ו-2).

דוגמה 1. לפתור את אי השוויון
.

צייר קו ישר על מעגל היחידה
, שחותך את המעגל בנקודות A ו-B.

כל המשמעויותy במרווח NM גדול יותר , כל הנקודות של קשת AMB מספקות את אי השוויון הזה. בכל זוויות הסיבוב, גדולות , אבל קטן יותר ,
יקבל ערכים גדולים יותר (אך לא יותר מאחד).

איור.1

לפיכך, הפתרון לאי השוויון יהיה כל הערכים במרווח
, כלומר
. כדי לקבל את כל הפתרונות לאי-שוויון זה, מספיק להוסיף לקצוות המרווח הזה
, איפה
, כלומר
,
. שימו לב שהערכים
ו
הם שורשי המשוואה
,

הָהֵן.
;
.

תשובה:
,
.

1.2. שיטה גרפית

בפועל, השיטה הגרפית לפתרון אי-שוויון טריגונומטרי מתבררת פעמים רבות כמועילה. הבה נבחן את מהות השיטה תוך שימוש בדוגמה של אי שוויון
:

1. אם הטיעון מורכב (שונה מאיקס ), ואז החליפו אותו בט .

2. אנו בונים במישור קואורדינטות אחדצַעֲצוּעַ גרפי פונקציות
ו
.

3. אנחנו מוצאים כאלהשתי נקודות חיתוך סמוכות של גרפים, ביניהםגל סינוסממוקםגבוה יותר יָשָׁר
. אנו מוצאים את האבססיס של הנקודות הללו.

4. כתוב אי שוויון כפול לטיעוןט , תוך התחשבות בתקופת הקוסינוס (ט יהיה בין האבססיסים שנמצאו).

5. בצע החלפה הפוכה (חזור לארגומנט המקורי) ובטא את הערךאיקס מהאי-שוויון הכפול, אנו כותבים את התשובה בצורה של מרווח מספרי.

דוגמה 2. לפתור אי שוויון: .

כאשר פותרים אי שוויון בשיטה הגרפית, יש צורך לבנות גרפים של פונקציות בצורה מדויקת ככל האפשר. בואו נהפוך את אי השוויון לצורה:

בואו נבנה גרפים של פונקציות במערכת קואורדינטות אחת
ו
(איור 2).

איור 2

הגרפים של פונקציות מצטלבים בנקודהא עם קואורדינטות
;
. בין לבין
גרף נקודות
מתחת לנקודות הגרף
. ומתי
ערכי הפונקציה זהים. בגלל זה
בְּ-
.

תשובה:
.

1.3. שיטה אלגברית

לעתים קרובות, ניתן לצמצם את אי השוויון הטריגונומטרי המקורי לאי שוויון אלגברי (רציונלי או לא רציונלי) באמצעות החלפה שנבחרה היטב. שיטה זו כוללת הפיכת אי שוויון, הכנסת תחליף או החלפת משתנה.

בואו נסתכל על דוגמאות ספציפיות ליישום של שיטה זו.

דוגמה 3. צמצום לצורה הפשוטה ביותר
.

(איור 3)

איור 3

,
.

תשובה:
,

דוגמה 4. לפתור אי שוויון:

ODZ:
,
.

שימוש בנוסחאות:
,

בוא נכתוב את אי השוויון בצורה:
.

או, להאמין
לאחר טרנספורמציות פשוטות אנו מקבלים

,

,

.

פתרון אי השוויון האחרון בשיטת המרווחים, נקבל:

איור.4

, בהתאמה
. ואז מתוך איור. 4 בהמשך
, איפה
.

איור.5

תשובה:
,
.

1.4. שיטת מרווחים

סכימה כללית לפתרון אי שוויון טריגונומטרי בשיטת המרווחים:

גורם באמצעות נוסחאות טריגונומטריות.

מצא את נקודות האי-רציפות והאפסים של הפונקציה והצב אותם על המעגל.

קח כל נקודהל (אך לא נמצא קודם לכן) וגלה את הסימן של המוצר. אם התוצר חיובי, הצב נקודה מחוץ למעגל היחידה על הקרן המתאימה לזווית. אחרת, מקם את הנקודה בתוך המעגל.

אם נקודה מתרחשת מספר זוגי של פעמים, אנו קוראים לה נקודה של ריבוי זוגי; אם מספר אי זוגי של פעמים, אנו קוראים לה נקודה של ריבוי אי זוגי. צייר קשתות באופן הבא: התחל מנקודהל , אם הנקודה הבאה היא בריבוי אי זוגי, אז הקשת חותכת את המעגל בנקודה זו, אבל אם הנקודה היא בריבוי זוגי, אז היא לא חותכת.

קשתות מאחורי המעגל הן מרווחים חיוביים; בתוך המעגל יש רווחים שליליים.

דוגמה 5. לפתור אי שוויון

,
.

נקודות מהסדרה הראשונה:
.

נקודות מהסדרה השנייה:
.

כל נקודה מתרחשת מספר אי זוגי של פעמים, כלומר כל הנקודות הן בריבוי אי זוגי.

תן לנו לגלות את הסימן של המוצר ב
: . בואו נסמן את כל הנקודות במעגל היחידה (איור 6):

אורז. 6

תשובה:
,
;
,
;
,
.

דוגמה 6 . לפתור את אי השוויון.

פִּתָרוֹן:

בוא נמצא את האפסים של הביטוי .

לְקַבֵּלaeM :

,
;

,
;

,
;

,
;

על ערכי סדרת מעגל היחידהאיקס 1 מיוצג על ידי נקודות
. סִדרָהאיקס 2 נותן נקודות
. סדרהאיקס 3 נקבל שתי נקודות
. סוף סוף, הסדרהאיקס 4 ייצג נקודות
. הבה נשרטט את כל הנקודות הללו על מעגל היחידה, ונציין את ריבויה בסוגריים ליד כל אחת מהן.

תן עכשיו את המספר יהיה שווה. בואו נעשה הערכה על סמך השלט:

אז, נקודהא יש לבחור על הקרן שיוצרת את הזווית עם קורההו, מחוץ למעגל היחידה. (שימו לב שקרן העזרעל אודות א אין צורך כלל לתאר זאת בתמונה. נְקוּדָהא נבחר בערך.)

עכשיו מהנקודהא צייר קו רציף גלי ברצף לכל הנקודות המסומנות. ובנקודות
הקו שלנו עובר מאזור אחד לאחר: אם הוא היה מחוץ למעגל היחידה, אז הוא נכנס לתוכו. מתקרבים לנקודה , הקו חוזר לאזור הפנימי, שכן הריבוי של נקודה זו הוא זוגי. באופן דומה בנקודה (עם ריבוי שווה) יש להפנות את הקו לאזור החיצוני. אז, ציירנו תמונה מסוימת המוצגת באיור. 7. זה עוזר להדגיש את האזורים הרצויים במעגל היחידה. הם מסומנים בסימן "+".

איור 7

תשובה סופית:

הערה. אם קו גלי, לאחר שהקיף את כל הנקודות המסומנות במעגל היחידה, לא ניתן להחזיר לנקודהא , מבלי לחצות את המעגל במקום "לא חוקי", זה אומר שנפלה טעות בפתרון, כלומר, מספר אי זוגי של שורשים הוחמץ.

תשובה: .

§2. קבוצת בעיות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי

בתהליך פיתוח היכולת של תלמידי בית הספר לפתור אי שוויון טריגונומטרי, ניתן להבחין גם ב-3 שלבים.

1. הכנה,

2. פיתוח היכולת לפתור אי שוויון טריגונומטרי פשוט;

3. הכנסת אי-שוויון טריגונומטרי מסוגים אחרים.

מטרת שלב ההכנה היא שיש צורך לפתח אצל תלמידי בית הספר את היכולת להשתמש במעגל טריגונומטרי או גרף כדי לפתור אי שוויון, כלומר:

יכולת לפתור אי שוויון פשוט של הצורה
,
,
,
, שימוש במאפיינים של פונקציות הסינוס והקוסינוס;

יכולת לבנות אי-שוויון כפול עבור קשתות של מעגל המספרים או עבור קשתות של גרפים של פונקציות;

יכולת לבצע טרנספורמציות שונות של ביטויים טריגונומטריים.

מומלץ ליישם שלב זה בתהליך שיטת הידע של תלמידי בית הספר על תכונות הפונקציות הטריגונומטריות. האמצעים העיקריים יכולים להיות משימות המוצעות לתלמידים ומבוצעות בהנחיית מורה או באופן עצמאי, כמו גם מיומנויות שפותחו בפתרון משוואות טריגונומטריות.

להלן דוגמאות למשימות כאלה:

1 . סמן נקודה על מעגל היחידה , אם

.

2. באיזה רבע ממישור הקואורדינטות נמצאת הנקודה? , אם שווים:

3. סמן את הנקודות על המעגל הטריגונומטרי , אם:

4. המר את הביטוי לפונקציות טריגונומטריותאנימְגוּרִים.

א)
, ב)
, V)

5. Arc MR ניתן.M – באמצעאני-רבעון,ר – באמצעIIהרבעון. הגבל את הערך של משתנהט עבור: (לעשות אי שוויון כפול) א) קשת MR; ב) קשתות RM.

6. רשום את אי השוויון הכפול עבור החלקים הנבחרים של הגרף:

אורז. 1

7. לפתור אי שוויון
,
,
,
.

8. המרת ביטוי .

בשלב השני של הלמידה לפתרון אי שוויון טריגונומטרי, נוכל להציע את ההמלצות הבאות הקשורות למתודולוגיה לארגון פעילויות התלמידים. במקרה זה, יש צורך להתמקד במיומנויות הקיימות של התלמידים בעבודה עם מעגל טריגונומטרי או גרף, שנוצרו תוך פתרון המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר.

ראשית, ניתן להניע את כדאיות השגת שיטה כללית לפתרון אי השוויון הטריגונומטרי הפשוט ביותר על ידי פנייה, למשל, לאי שוויון של הצורה.
. באמצעות הידע והמיומנויות שנרכשו בשלב ההכנה, התלמידים יביאו את אי השוויון המוצע לטופס
, אך עלולים להתקשות למצוא מערך פתרונות לאי השוויון הנובע מכך, משום אי אפשר לפתור את זה רק באמצעות המאפיינים של פונקציית הסינוס. ניתן להימנע מקושי זה על ידי פנייה לאיור המתאים (פתרון המשוואה בצורה גרפית או שימוש במעגל יחידה).

שנית, על המורה למשוך את תשומת לב התלמידים לדרכים שונות להשלמת המשימה, לתת דוגמה מתאימה לפתרון אי השוויון הן בצורה גרפית והן באמצעות מעגל טריגונומטרי.

הבה נבחן את הפתרונות הבאים לאי-שוויון
.

1. פתרון אי השוויון באמצעות מעגל היחידה.

בשיעור הראשון על פתרון אי שוויון טריגונומטרי, נציע לתלמידים אלגוריתם פתרונות מפורט, אשר בהצגה שלב אחר שלב משקף את כל המיומנויות הבסיסיות הנחוצות לפתרון אי השוויון.

שלב 1.נצייר מעגל יחידה ונסמן נקודה על ציר הסמין וצייר דרכו קו ישר במקביל לציר ה-x. קו זה יחצה את מעגל היחידה בשתי נקודות. כל אחת מהנקודות הללו מייצגת מספרים שהסינוס שלהם שווה ל .

שלב 2.קו ישר זה חילק את המעגל לשתי קשתות. הבה נבחר את זה שמתאר מספרים בעלי סינוס גדול מ . באופן טבעי, קשת זו ממוקמת מעל הקו הישר המצויר.

אורז. 2

שלב 3.בחר אחד מקצוות הקשת המסומנת. נרשום את אחד המספרים שמיוצג על ידי נקודה זו של מעגל היחידה .

שלב 4.על מנת לבחור את המספר המתאים לקצה השני של הקשת שנבחרה, אנו "צועדים" לאורך הקשת הזו מהקצה המכונה אל הקצה השני. יחד עם זאת, זכרו שכאשר נעים נגד כיוון השעון, המספרים שנעבור עולים (כאשר נעים בכיוון ההפוך, המספרים היו יורדים). נרשום את המספר שמתואר על מעגל היחידה בקצה השני של הקשת המסומנת .

לפיכך, אנו רואים את אי השוויון
לספק את המספרים שעבורם אי השוויון נכון
. פתרנו את אי השוויון עבור מספרים הממוקמים באותה תקופה של פונקציית הסינוס. לכן, כל הפתרונות לאי השוויון יכולים להיכתב בטופס

יש לבקש מהתלמידים לבחון היטב את הציור ולהבין מדוע כל הפתרונות לאי השוויון
ניתן לכתוב בטופס
,
.

אורז. 3

יש צורך להסב את תשומת ליבם של התלמידים לעובדה שכאשר פותרים אי שוויון עבור פונקציית הקוסינוס, אנו מציירים קו ישר מקביל לציר האורדינאטה.

שיטה גרפית לפתרון אי שוויון.

אנחנו בונים גרפים
ו
, בהתחשב בכך ש
.

אורז. 4

ואז נכתוב את המשוואה
וההחלטה שלו
,
,
, נמצא באמצעות נוסחאות
,
,
.

(מַתָןנ ערכים 0, 1, 2, נמצא את שלושת השורשים של המשוואה המורכבת). ערכים
הם שלוש אבשסיס רצוף של נקודות החיתוך של הגרפים
ו
. ברור, תמיד במרווח
אי השוויון מתקיים
, ועל המרווח
- אי שיוויון
. אנחנו מתעניינים במקרה הראשון, ואז מוסיפים לקצוות המרווח הזה מספר שהוא כפולה של תקופת הסינוס, נקבל פתרון לאי השוויון
כפי ש:
,
.

אורז. 5

לְסַכֵּם. לפתור את אי השוויון
, עליך ליצור את המשוואה המתאימה ולפתור אותה. מצא את השורשים מהנוסחה שהתקבלה ו , וכתוב את התשובה לאי השוויון בצורה: ,
.

שלישית, העובדה על מערך השורשים של אי השוויון הטריגונומטרי המתאים מאושרת בבירור כאשר פותרים אותו בצורה גרפית.

אורז. 6

יש צורך להדגים לתלמידים שהתור, שהוא הפתרון לאי השוויון, חוזר על עצמו באותו מרווח, שווה לתקופה של הפונקציה הטריגונומטרית. אתה יכול גם לשקול איור דומה עבור הגרף של פונקציית הסינוס.

רביעית, מומלץ לבצע עבודה על עדכון טכניקות של תלמידים להמרת סכום (הפרש) של פונקציות טריגונומטריות למוצר, ולהסב את תשומת לב התלמידים לתפקידן של טכניקות אלו בפתרון אי שוויון טריגונומטרי.

ניתן לארגן עבודה כזו באמצעות השלמת מטלות עצמאית של התלמידים המוצעים על ידי המורה, וביניהן אנו מדגישים את הדברים הבאים:

חמישית, יש לדרוש מהתלמידים להמחיש את הפתרון לכל אי שוויון טריגונומטרי פשוט באמצעות גרף או עיגול טריגונומטרי. כדאי בהחלט לשים לב לכדאיות שלו, במיוחד לשימוש במעגל, שכן בעת ​​פתרון אי שוויון טריגונומטרי, האיור המקביל משמש כאמצעי נוח מאוד לרישום מערך הפתרונות לאי שוויון נתון

רצוי להכיר לתלמידים שיטות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי שאינן הפשוטות ביותר לפי הסכימה הבאה: פנייה לאי שוויון טריגונומטרי ספציפי פנייה למשוואה הטריגונומטרית המתאימה חיפוש משותף (מורה - תלמידים) לפתרון העברה עצמאית של נמצא שיטה לאי-שוויון אחרים מאותו סוג.

על מנת ליצור שיטתיות של הידע של התלמידים על טריגונומטריה, אנו ממליצים לבחור במיוחד באי-שוויון כאלה, שפתרונם מצריך טרנספורמציות שונות שניתן ליישם בתהליך פתרונה, ולמקד את תשומת הלב של התלמידים בתכונותיהם.

כאי-שוויון פרודוקטיבי שכזה, אנו יכולים להציע, למשל, את הדברים הבאים:

לסיכום, אנו נותנים דוגמה למערכת של בעיות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי.

1. לפתור את אי השוויון:

א)
, עומד בתנאי
;

ב)
, עומד בתנאי
.

5. מצא את כל הפתרונות לאי-השוויון:

א) ;

ב) ;

V)
;

ז)
;

ד)
.

6. פתור את אי השוויון:

א) ;

ב) ;

V) ;

ז)
;

ד) ;

ה) ;

ו)
.

7. לפתור את אי השוויון:

א)
;

ב) ;

V) ;

ז).

8. פתור את אי השוויון:

א) ;

ב) ;

V) ;

ז)
;

ד)
;

ה) ;

ו)
;

ח) .

רצוי להציע מטלות 6 ו-7 לתלמידים הלומדים מתמטיקה ברמה מתקדמת, משימה 8 לתלמידי כיתות השתלמות במתמטיקה.

§3. שיטות מיוחדות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי

שיטות מיוחדות לפתרון משוואות טריגונומטריות - כלומר אותן שיטות שניתן להשתמש בהן רק לפתרון משוואות טריגונומטריות. שיטות אלו מבוססות על שימוש בתכונות של פונקציות טריגונומטריות, וכן על שימוש בנוסחאות ובזהויות טריגונומטריות שונות.

3.1. שיטת מגזר

הבה נבחן את שיטת המגזר לפתרון אי שוויון טריגונומטרי. פתרון אי שוויון של הצורה

, איפהפ ( איקס ) וש ( איקס ) – פונקציות טריגונומטריות רציונליות (סינוסים, קוסינוסים, טנג'נסים וקוטנגנטים נכללים בהן באופן רציונלי), בדומה לפתרון אי-שוויון רציונלי. נוח לפתור אי-שוויון רציונלי בשיטת המרווחים על קו המספרים. האנלוגי שלו לפתרון אי-שוויון טריגונומטרי רציונלי הוא שיטת המגזרים במעגל הטריגונומטרי, עבורsinx וcosx (
) או חצי עיגול טריגונומטרי עבורtgx וctgx (
).

בשיטת המרווח, כל גורם ליניארי של המונה והמכנה של הצורה
על ציר המספרים מתאים לנקודה , וכשעוברים בנקודה זו
משנה סימן. בשיטת המגזר, כל גורם של הטופס
, איפה
- אחת הפונקציותsinx אוֹcosx ו
, במעגל טריגונומטרי מתאימות שתי זוויות ו
, המחלקים את המעגל לשני מגזרים. כשעוברים דרכו ו פוּנקצִיָה
משנה סימן.

יש לזכור את הדברים הבאים:

א) גורמי הצורה
ו
, איפה
, שמור סימן עבור כל הערכים . גורמים כאלה של המונה והמכנה נמחקים על ידי שינוי (אם
) עם כל דחייה כזו, סימן אי השוויון מתהפך.

ב) גורמי הצורה
ו
גם נזרקים. יתרה מכך, אם אלה הם גורמים של המכנה, אזי אי-השוויון של הצורה מתווספים למערכת המקבילה של אי-השוויון
ו
. אם אלו גורמים של המונה, אזי במערכת ההגבלות המקבילה הם תואמים את אי השוויון
ו
במקרה של אי שוויון ראשוני קפדני, ושוויון
ו
במקרה של אי שוויון ראשוני לא קפדני. כאשר זורקים את המכפיל
אוֹ
סימן אי השוויון הפוך.

דוגמה 1. לפתור אי שוויון: א)
, ב)
. יש לנו פונקציה ב). לפתור את אי השוויון שיש לנו,

3.2. שיטת מעגל קונצנטרי

שיטה זו היא אנלוגי לשיטת צירי המספרים המקבילים לפתרון מערכות של אי-שוויון רציונלי.

הבה נבחן דוגמה למערכת של אי שוויון.

דוגמה 5. פתור מערכת של אי-שוויון טריגונומטרי פשוט

ראשית, אנו פותרים כל אי שוויון בנפרד (איור 5). בפינה הימנית העליונה של האיור נציין עבור איזה טיעון המעגל הטריגונומטרי נחשב.

איור.5

לאחר מכן, אנו בונים מערכת של מעגלים קונצנטריים עבור הטיעוןאיקס . אנו מציירים עיגול ומצללים אותו לפי הפתרון של אי השוויון הראשון, לאחר מכן אנו מציירים עיגול ברדיוס גדול יותר ומצללים אותו לפי הפתרון של השני, לאחר מכן אנו בונים עיגול לאי השוויון השלישי ומעגל בסיס. אנו מציירים קרניים ממרכז המערכת דרך קצוות הקשתות כך שהן חותכות את כל המעגלים. אנו יוצרים פתרון על מעגל הבסיס (איור 6).

איור 6

תשובה:
,
.

סיכום

כל המטרות של מחקר הקורס הושלמו. החומר התיאורטי מסודר: ניתנים הסוגים העיקריים של אי-שוויון טריגונומטרי והשיטות העיקריות לפתרונם (גרפי, אלגברי, שיטת מרווחים, סקטורים ושיטת מעגלים קונצנטריים). ניתנה דוגמה לפתרון אי שוויון לכל שיטה. לאחר החלק העיוני הגיע החלק המעשי. הוא מכיל קבוצה של משימות לפתרון אי שוויון טריגונומטרי.

קורס זה יכול לשמש את התלמידים לעבודה עצמאית. תלמידי בית ספר יכולים לבדוק את רמת השליטה בנושא זה ולתרגל ביצוע משימות בעלות מורכבות משתנה.

לאחר שלמדנו את הספרות הרלוונטית בנושא זה, אנו יכולים כמובן להסיק שהיכולת והמיומנויות לפתור אי שוויון טריגונומטרי בקורס בית הספר של אלגברה וניתוח יסודי חשובים מאוד, שפיתוחם דורש מאמץ משמעותי מצד המורה למתמטיקה.

לכן, עבודה זו תהיה שימושית עבור מורים למתמטיקה, שכן היא מאפשרת לארגן ביעילות את ההכשרה של תלמידים בנושא "אי שוויון טריגונומטרי".

ניתן להמשיך את המחקר על ידי הרחבתו לעבודת הכשרה סופית.

רשימת ספרות משומשת

Bogomolov, N.V. אוסף בעיות במתמטיקה [טקסט] / N.V. בוגומולוב. – M.: Bustard, 2009. – 206 עמ'.

ויגודסקי, מ.י. מדריך למתמטיקה יסודית [טקסט] / M.Ya. ויגודסקי. – M.: Bustard, 2006. – 509 p.

ז'ורבנקו, ל.נ. מתמטיקה בדוגמאות ובעיות [טקסט] / ל.נ. ז'ורבנקו. – מ.: אינפרא-מ, 2009. – 373 עמ'.

איבנוב, או.א. מתמטיקה יסודית לתלמידי בית ספר, תלמידים ומורים [טקסט] / O.A. איבנוב. – מ.: MTsNMO, 2009. – 384 עמ'.

קארפ, א.פ. מטלות על אלגברה והתחלות ניתוח לארגון חזרה והסמכה סופית בכיתה יא [טקסט] / א.פ. קַרפִּיוֹן. – מ.: חינוך, 2005. – 79 עמ'.

קולנין, א.ד. 3000 בעיות תחרות במתמטיקה [טקסט] / E.D. קולנין. – M.: Iris-press, 2007. – 624 p.

לייבסון, ק.ל. אוסף משימות מעשיות במתמטיקה [טקסט] / ק.ל. ליבסון. – M.: Bustard, 2010. – 182 עמ'.

מרפק, V.V. בעיות בפרמטרים והפתרון שלהם. טריגונומטריה: משוואות, אי שוויון, מערכות. כיתה י' [טקסט] / V.V. מַרְפֵּק. – M.: ARKTI, 2008. – 64 עמ'.

מנובה, א.נ. מָתֵימָטִיקָה. מורה אקספרס להכנה לבחינת המדינה המאוחדת: סטודנט. ידני [טקסט] / א.נ. מנובה. – רוסטוב-על-דון: הפניקס, 2012. – 541 עמ'.

מורדקוביץ', א.ג. אלגברה ותחילת ניתוח מתמטי. כיתות י'-י"א. ספר לימוד לתלמידי מוסדות חינוך כללי [טקסט] / א.ג. מורדקוביץ'. – M.: Iris-press, 2009. – 201 עמ'.

נוביקוב, א.י. פונקציות טריגונומטריות, משוואות ואי-שוויון [טקסט] / א.י. נוביקוב. – מ.: FIZMATLIT, 2010. – 260 עמ'.

Oganesyan, V.A. שיטות הוראת מתמטיקה בבית הספר העל יסודי: מתודולוגיה כללית. ספר לימוד מדריך לתלמידי פיזיקה - מחצלת. fak. פד. אינסט. [טקסט] / V.A. אוגאנסיאן. – מ.: חינוך, 2006. – 368 עמ'.

Olehnik, S.N. משוואות ואי שוויון. שיטות פתרון לא סטנדרטיות [טקסט] / S.N. אולחניק. – מ.: הוצאת פקטורי, 1997. – 219 עמ'.

סבריוקוב, P.F. משוואות טריגונומטריות, אקספוננציאליות ולוגריתמיות ואי-שוויון [טקסט] / P.F. סבריוקוב. – מ.: חינוך ציבורי, 2008. – 352 עמ'.

סרגייב, I.N. בחינת המדינה המאוחדת: 1000 בעיות עם תשובות ופתרונות במתמטיקה. כל המשימות של קבוצה C [טקסט] / I.N. סרגייב. – מ.: בחינה, 2012. – 301 עמ'.

סובולב, א.ב. מתמטיקה יסודית [טקסט] / א.ב. סובולב. – יקטרינבורג: המוסד החינוכי הממלכתי להשכלה מקצועית גבוהה USTU-UPI, 2005. – 81 עמ'.

פנקו, ל.מ. שיטת מרווחים בפתרון אי שוויון ולימוד פונקציות [טקסט] / ל.מ. פנקו. – M.: Bustard, 2005. – 124 עמ'.

פרידמן, ל.מ. יסודות תיאורטיים של שיטות הוראת מתמטיקה [טקסט] / ל.מ. פרידמן. – מ.: בית הספר "LIBROKOM", 2009. – 248 עמ'.

נספח 1

פרשנות גרפית של פתרונות לאי שוויון פשוטים

אורז. 1

אורז. 2

איור 3

איור.4

איור.5

איור 6

איור 7

איור.8

נספח 2

פתרונות לאי שוויון פשוטים

פרויקט אלגברה "פתרון אי שוויון טריגונומטרי" הושלם על ידי תלמיד כיתה 10 "ב" קזצ'קובה יוליה מנחה: מורה למתמטיקה קוצ'קובה נ.נ.

מטרה לגבש את החומר בנושא "פתרון אי שוויון טריגונומטרי" וליצור תזכורת לתלמידים להתכונן לבחינה הקרובה.

מטרות: לסכם את החומר בנושא זה. עשה שיטתיות של המידע המתקבל. שקול נושא זה בבחינת המדינה המאוחדת.

רלוונטיות הרלוונטיות של הנושא שבחרתי נעוצה בעובדה שמשימות בנושא "פתרון אי-שוויון טריגונומטרי" כלולות במשימות של בחינת המדינה המאוחדת.

אי שוויון טריגונומטרי אי שוויון הוא יחס המחבר בין שני מספרים או ביטויים דרך אחד הסימנים: (גדול מ); ≥ (גדול או שווה ל). אי שוויון טריגונומטרי הוא אי שוויון הכולל פונקציות טריגונומטריות.

אי שוויון טריגונומטרי פתרון אי השוויון המכילים פונקציות טריגונומטריות מצטמצם, ככלל, לפתרון אי השוויון הפשוטים ביותר של הצורה: sin x>a, sin x א, כי x a, tg x a,ctg x

אלגוריתם לפתרון אי שוויון טריגונומטרי על ציר המתאים לנתון פונקציה טריגונומטרית, שים לב לזה ערך מספריפונקציה זו. צייר קו דרך הנקודה המסומנת החותכת את מעגל היחידה. בחר את נקודות החיתוך של קו ומעגל, תוך התחשבות בסימן אי השוויון קפדני או לא קפדני. בחר את קשת המעגל שעליה נמצאים הפתרונות לאי השוויון. קבע את ערכי הזווית בנקודות ההתחלה והסיום של הקשת המעגלית. רשום את הפתרון לאי השוויון תוך התחשבות במחזוריות של הפונקציה הטריגונומטרית הנתונה.

נוסחאות לפתרון אי-שוויון טריגונומטרי sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx א; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxא; x (arctg a + πn ; + πn). tgx א; x (πn ; arctan + πn). ctgx

פתרון גרפי של אי-שוויון טריגונומטרי בסיסי sinx >a

פתרון גרפי של אי-שוויון טריגונומטרי בסיסי sinx

פתרון גרפי של אי-שוויון טריגונומטרי בסיסי cosx >a

פתרון גרפי של אי-שוויון טריגונומטרי בסיסי cosx

פתרון גרפי של אי-שוויון טריגונומטרי בסיסי tgx >a

פתרון גרפי של אי-שוויון טריגונומטרי בסיסי tgx

פתרון גרפי של אי-שוויון טריגונומטרי בסיסי ctgx >a

פתרון גרפי של אי-שוויון טריגונומטרי בסיסי ctgx

שיטות לפתרון אי-שוויון טריגונומטרי פתרון אי-שוויון טריגונומטרי באמצעות עיגול המספרים; פתרון אי שוויון טריגונומטרי באמצעות גרף של פונקציה. :

פתרון אי שוויון טריגונומטרי באמצעות עיגול המספרים דוגמה 1: : תשובה:

פתרון אי שוויון טריגונומטרי באמצעות עיגול המספרים דוגמה 1: תשובה:

פתרון אי שוויון טריגונומטרי באמצעות גרף של פונקציה דוגמה: תשובה:

תוצאה של העבודה גיבסתי את הידע שלי בנושא "פתרון אי שוויון טריגונומטרי". ביצע שיטתיות של המידע שהתקבל בנושא זה כדי להקל על התפיסה: פיתח אלגוריתם לפתרון אי שוויון טריגונומטרי; התווה שני פתרונות; הדגימו דוגמאות לפתרונות. :

תוצאת העבודה מצורף לפרויקט שלי כמוצר מוגמר גם "תזכיר לתלמידים המתכוננים לבחינת האלגברה". מסמך Microsoft Office Word (2). docx:

ספרות בשימוש אלגברה עבור כיתה 10 "אלגברה והתחלות הניתוח" בעריכת A.N. Kolmogorov http://festival.1september.ru/articles/514580/ http://www.mathematics-repetition.com http:// www. calc.ru http://www.pomochnik-vsem.ru:

1. אם הטיעון מורכב (שונה מ איקס), ואז החליפו אותו ב ט.

2. אנחנו בונים באחד מישור קואורדינטות צַעֲצוּעַגרפי פונקציות y=עלותו y=a.

3. אנחנו מוצאים כאלה שתי נקודות חיתוך סמוכות של גרפים, שביניהם ממוקם מעל הקו הישר y=a. אנו מוצאים את האבססיס של הנקודות הללו.

4. כתוב אי שוויון כפול לטיעון ט, תוך התחשבות בתקופת הקוסינוס ( טיהיה בין האבססיסים שנמצאו).

5. בצע החלפה הפוכה (חזור לארגומנט המקורי) ובטא את הערך איקסמהאי-שוויון הכפול, אנו כותבים את התשובה בצורה של מרווח מספרי.

דוגמה 1.

לאחר מכן, על פי האלגוריתם, אנו קובעים את הערכים הללו של הטיעון ט, שבו נמצא הסינוסואיד גבוה יותר יָשָׁר. בואו נכתוב את הערכים האלה כאי שוויון כפול, תוך התחשבות במחזוריות של פונקציית הקוסינוס, ואז נחזור לארגומנט המקורי איקס.

דוגמה 2.

בחירת טווח ערכים ט, שבו הסינוסואיד נמצא מעל הקו הישר.

אנו כותבים את הערכים בצורה של אי שוויון כפול ט,עמידה בתנאי. אל תשכח כי התקופה הקטנה ביותר של הפונקציה y=עלותשווים 2π. חוזרים למשתנה איקס, מפשט בהדרגה את כל חלקי אי השוויון הכפול.

אנו כותבים את התשובה בצורה של מרווח מספרי סגור, שכן אי השוויון לא היה קפדני.

דוגמה 3.

נתעניין בטווח הערכים ט, שבהן נקודות הסינוסואיד ישכבו מעל הקו הישר.

ערכים טכתוב את זה בצורה של אי שוויון כפול, כתוב מחדש את אותם ערכים עבור 2xולהביע איקס. בוא נכתוב את התשובה בצורה של מרווח מספרי.

ושוב נוּסחָה עלות>א.

אם עלות>א, (-1≤א≤1), אז - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

החל נוסחאות כדי לפתור אי שוויון טריגונומטרי ותחסוך זמן בבדיקות הבחינה.

ועכשיו נוּסחָה , שבו עליך להשתמש בבחינת UNT או Unified State Examination בעת ההחלטה אי שוויון טריגונומטריסוג עֲלוּת