Le troisième signe parallèle de deux preuves directes. Ligne droite

§ 1. Signes de parallélisme de deux droites - Niveau de géométrie 7 (Atanasyan L. S.)

Brève description:

Vous découvrirez ce que sont les lignes parallèles dans ce paragraphe. Vous obtiendrez une définition simple, mais en même temps quelque peu inhabituelle : deux droites sur un plan sont dites parallèles si elles ne se coupent pas. En d’autres termes, si deux droites ne se coupent pas, alors elles seront parallèles. Ou bien, si les droites n’ont pas de points d’intersection, elles sont alors parallèles.
La particularité de cette définition réside dans le fait que s'il y a deux lignes droites devant vous et que vous ne voyez pas leur point d'intersection, cela ne veut pas du tout dire qu'elle n'existe pas. Cela signifie que vous ne le verrez peut-être tout simplement pas.
Par conséquent, cette définition ne peut pas être utilisée directement pour prouver que deux droites sont parallèles. Après tout, vous ne pouvez pas suivre sans fin la suite des lignes afin de vous assurer qu'elles ne se croisent pas.
Mais ce n'est pas nécessaire. Il existe des signes permettant de juger du parallélisme des lignes. Il y en a trois. Conformément à chacun d'eux, des angles spéciaux ou leurs combinaisons sont considérés, qui se forment lorsque ces deux lignes étudiées croisent une troisième ligne droite - une sécante. Ces angles permettent de juger du parallélisme des droites.
Les preuves de ces signes - théorèmes sur le parallélisme des droites - sont basées sur le théorème que vous avez déjà considéré dans le chapitre 1 du manuel - deux droites perpendiculaires à une troisième ne se coupent pas. Ce n'est que maintenant que ce théorème semble différent - deux droites perpendiculaires à la troisième sont parallèles.

Objectifs de la leçon: Dans cette leçon, vous vous familiariserez avec le concept de « lignes parallèles », apprendrez comment vérifier le parallélisme des lignes, ainsi que quelles sont les propriétés des angles formés par des lignes parallèles et une transversale.

Lignes parallèles

Vous savez que la notion de « ligne droite » fait partie des notions dites indéfinissables de la géométrie.

Vous savez déjà que deux droites peuvent coïncider, c'est-à-dire avoir tous des points communs, ou se croiser, c'est-à-dire avoir un point commun. Les lignes droites se coupent sous différents angles et l'angle entre les lignes droites est considéré comme le plus petit des angles qu'elles forment. Un cas particulier d'intersection peut être considéré comme le cas de la perpendiculaire, lorsque l'angle formé par les droites est égal à 90 0.

Mais deux droites peuvent ne pas avoir de points communs, c’est-à-dire qu’elles ne peuvent pas se croiser. De telles lignes sont appelées parallèle.

Travailler avec une ressource pédagogique électronique « ».

Pour vous familiariser avec le concept de « lignes parallèles », travaillez avec le matériel de cours vidéo

Ainsi, vous connaissez maintenant la définition des lignes parallèles.

À partir du matériel du fragment de leçon vidéo que vous avez appris divers types angles qui se forment lorsque deux lignes droites coupent une troisième.

Paires de coins 1 et 4 ; 3 et 2 sont appelés coins internes unilatéraux(ils se trouvent entre des lignes droites un Et b).

Paires d'angles 5 et 8 ; 7 et 6 sont appelés coins extérieurs unilatéraux(ils se trouvent en dehors des lignes un Et b).

Paires d'angles 1 et 8 ; 3 et 6 ; 5 et 4 ; 7 et 2 sont appelés angles unilatéraux à angle droit un Et b et sécante c. Comme vous pouvez le voir, sur une paire d'angles correspondants, l'un se situe entre l'angle droit un Et b, et l’autre est en dehors d’eux.

Signes de lignes parallèles

Il est évident qu’en utilisant la définition, il est impossible de conclure que deux droites sont parallèles. Par conséquent, pour conclure que deux droites sont parallèles, utilisez panneaux.

Vous pouvez déjà en formuler un après avoir pris connaissance du matériel de la première partie de la leçon vidéo :

Théorème 1. Deux droites perpendiculaires à la troisième ne se coupent pas, c'est-à-dire qu'elles sont parallèles.

Vous vous familiariserez avec d'autres signes de parallélisme de droites basés sur l'égalité de certaines paires d'angles en travaillant avec le matériel de la deuxième partie de la leçon vidéo"Signes de lignes parallèles."

Ainsi, vous devriez connaître trois autres signes de lignes parallèles.

Théorème 2 (le premier signe des droites parallèles). Si, lorsque deux droites se coupent transversalement, les angles impliqués sont égaux, alors les droites sont parallèles.

Répétez à nouveau le premier signe de lignes parallèles en travaillant avec la ressource pédagogique électronique « ».

Ainsi, pour prouver le premier signe de parallélisme des droites, le signe d'égalité des triangles est utilisé (sur deux côtés et l'angle entre eux), ainsi que le signe du parallélisme des droites perpendiculaires à une droite.

Exercice 1.

Notez la formulation du premier signe des droites parallèles et sa preuve dans vos cahiers.

Théorème 3 (deuxième signe des droites parallèles). Si, lorsque deux droites se coupent avec une transversale, les angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles.

Répétez à nouveau le deuxième signe de lignes parallèles en travaillant avec la ressource pédagogique électronique « ».

Lors de la preuve du deuxième signe du parallélisme des droites, la propriété des angles verticaux et le premier signe du parallélisme des droites sont utilisés.

Tâche 2.

Notez la formulation du deuxième critère de parallélisme des droites et sa preuve dans vos cahiers.

Théorème 4 (troisième signe des droites parallèles). Si, lorsque deux droites se coupent avec une transversale, la somme des angles unilatéraux est égale à 180 0, alors les droites sont parallèles.

Répétez à nouveau le troisième signe de lignes parallèles en travaillant avec la ressource pédagogique électronique « ».

Ainsi, pour prouver le premier signe de parallélisme des droites, la propriété des angles adjacents et le premier signe du parallélisme des droites sont utilisés.

Tâche 3.

Notez la formulation du troisième critère pour les droites parallèles et sa preuve dans vos cahiers.

Afin de vous entraîner à résoudre des problèmes simples, travaillez avec le matériel de la ressource pédagogique électronique « ».

Les signes de parallélisme des lignes sont utilisés pour résoudre des problèmes.

Regardez maintenant des exemples de résolution de problèmes sur les signes de lignes parallèles, en travaillant avec le matériel de la leçon vidéo.« Résoudre des problèmes sur le thème « Signes de lignes parallèles ».

Testez-vous maintenant en accomplissant les tâches de la ressource pédagogique électronique de contrôle « ».

Quiconque souhaite résoudre des problèmes plus complexes peut travailler avec le matériel du didacticiel vidéo. "Tâches sur les signes de parallélisme des lignes."

Propriétés des lignes parallèles

Les lignes parallèles ont un ensemble de propriétés.

Vous apprendrez quelles sont ces propriétés en travaillant avec le matériel du didacticiel vidéo "Propriétés des lignes parallèles."

Ainsi, fait important Ce que vous devez savoir, c'est l'axiome de la concurrence.

Axiome du parallélisme. Par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée, il est possible de tracer une droite parallèle à celle donnée, et de plus une seule.

Comme vous l'avez appris dans le didacticiel vidéo, à partir de cet axiome, deux conséquences peuvent être formulées.

Corollaire 1. Si une droite coupe l’une des droites parallèles, elle coupe également l’autre droite parallèle.

Corollaire 2. Si deux droites sont parallèles à une troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Tâche 4.

Notez la formulation des corollaires énoncés et leurs preuves dans vos cahiers.

Les propriétés des angles formés par des droites parallèles et une transversale sont des théorèmes inverses des propriétés correspondantes.

Ainsi, grâce au matériel de cours vidéo, vous avez appris la propriété des angles croisés.

Théorème 5 (théorème inverse du premier critère pour les droites parallèles). Lorsque deux droites parallèles se coupent transversalement, les angles impliqués sont égaux.

Tâche 5.

Répétez à nouveau la première propriété des lignes parallèles en travaillant avec la ressource pédagogique électronique « ».

Théorème 6 (théorème inverse du deuxième critère du parallélisme des droites). Lorsque deux droites parallèles se coupent, les angles correspondants sont égaux.

Tâche 6.

Notez l'énoncé de ce théorème et sa preuve dans vos cahiers.

Répétez à nouveau la deuxième propriété des lignes parallèles en travaillant avec la ressource pédagogique électronique « ».

Théorème 7 (théorème, inverse du tiers signe de parallélisme des droites). Lorsque deux droites parallèles se coupent, la somme des angles unilatéraux est de 180 0.

Tâche 7.

Notez l'énoncé de ce théorème et sa preuve dans vos cahiers.

Répétez à nouveau la troisième propriété des lignes parallèles en travaillant avec la ressource pédagogique électronique « ».

Toutes les propriétés des lignes parallèles sont également utilisées pour résoudre des problèmes.

Considérez des exemples typiques de résolution de problèmes en travaillant avec le matériel de cours vidéo "Lignes parallèles et problèmes sur les angles entre elles et la transversale."

Sur un plan, les droites sont dites parallèles si elles n'ont pas de points communs, c'est-à-dire qu'elles ne se coupent pas. Pour indiquer le parallélisme, utilisez une icône spéciale || (lignes parallèles a || b).

Pour les lignes situées dans l'espace, l'exigence qu'il n'y ait pas de points communs ne suffit pas - pour qu'elles soient parallèles dans l'espace, elles doivent appartenir au même plan (sinon elles se couperont).

Il n'est pas nécessaire d'aller bien loin pour trouver des exemples de lignes parallèles, elles nous accompagnent partout, dans une pièce - ce sont les lignes d'intersection du mur avec le plafond et le sol, sur une feuille de cahier - les bords opposés, etc.

Il est bien évident qu'ayant deux droites parallèles et une troisième droite parallèle à l'une des deux premières, elle sera également parallèle à la seconde.

Les lignes parallèles sur un plan sont liées par une affirmation qui ne peut être prouvée à l'aide des axiomes de la planimétrie. C'est accepté comme un fait, comme un axiome : pour tout point du plan qui ne se trouve pas sur une droite, il existe une unique droite qui le traverse parallèlement à celle donnée. Tous les élèves de sixième connaissent cet axiome.

Sa généralisation spatiale, c'est-à-dire l'affirmation selon laquelle pour tout point de l'espace qui ne se trouve pas sur une ligne, il existe une ligne unique qui le traverse parallèlement à celle donnée, est facilement prouvée en utilisant l'axiome déjà connu du parallélisme sur le avion.

Propriétés des lignes parallèles

• Si l’une des deux droites parallèles est parallèle à la troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Les lignes parallèles dans le plan et dans l'espace ont cette propriété.
A titre d'exemple, considérons sa justification en stéréométrie.

Supposons que les droites b et la droite a soient parallèles.

Le cas où toutes les lignes droites se trouvent dans le même plan sera laissé à la planimétrie.

Supposons que a et b appartiennent au plan bêta et que gamma soit le plan auquel appartiennent a et c (par la définition du parallélisme dans l'espace, les lignes droites doivent appartenir au même plan).

Si nous supposons que les plans bêta et gamma sont différents et marquons un certain point B sur la ligne b à partir du plan bêta, alors le plan passant par le point B et la ligne c doit couper le plan bêta en ligne droite (notons-le b1) .

Si la droite b1 résultante coupait le plan gamma, alors, d'une part, le point d'intersection devrait se trouver sur a, puisque b1 appartient au plan bêta, et d'autre part, il devrait également appartenir à c, puisque b1 appartient au troisième plan.
Mais les droites parallèles a et c ne doivent pas se croiser.

Ainsi, la ligne b1 doit appartenir au plan betta et en même temps ne pas avoir de points communs avec a, donc, selon l'axiome du parallélisme, elle coïncide avec b.
Nous avons obtenu une droite b1 coïncidant avec la droite b, qui appartient au même plan que la droite c et ne la coupe pas, c'est-à-dire que b et c sont parallèles

• Par un point qui ne se trouve pas sur une droite donnée, une seule droite peut passer parallèlement à cette droite donnée.

• Deux droites situées sur un plan perpendiculaire au troisième sont parallèles.

• Si le plan coupe l’une des deux droites parallèles, la deuxième droite coupe également le même plan.

• Assortiment et mensonge croisé coins internes, formées par l'intersection de deux droites parallèles de la troisième, sont égales, la somme des droites internes unilatérales formées est égale à 180°.

Les affirmations inverses sont également vraies, ce qui peut être considéré comme un signe du parallélisme de deux lignes droites.

Condition pour les lignes parallèles

Les propriétés et caractéristiques formulées ci-dessus représentent les conditions du parallélisme des lignes et peuvent être prouvées à l'aide des méthodes de géométrie. Autrement dit, pour prouver le parallélisme de deux droites existantes, il suffit de prouver leur parallélisme à une troisième droite ou l'égalité des angles, qu'ils soient correspondants ou transversaux, etc.

Pour preuve, ils utilisent principalement la méthode « par contradiction », c'est-à-dire en faisant l'hypothèse que les droites ne sont pas parallèles. Sur la base de cette hypothèse, il est facile de montrer que dans ce cas, les conditions spécifiées ne sont pas respectées, par exemple, les angles internes qui se croisent s'avèrent inégaux, ce qui prouve l'inexactitude de l'hypothèse formulée.

La leçon vidéo « Signes pour le parallélisme de deux droites » contient des preuves de théorèmes décrivant les signes indiquant le parallélisme des droites. En même temps, la vidéo décrit 1) le théorème sur le parallélisme des droites dans lequel des angles égaux sont créés par une transversale, 2) un signe qui signifie le parallélisme de deux droites - à angles correspondants formés égaux, 3) un signe cela signifie le parallélisme de deux droites dans le cas où, lorsqu'elles se coupent avec une sécante unilatérale, la somme des angles est de 180°. Le but de cette leçon vidéo est de familiariser les étudiants avec les signes qui signifient le parallélisme de deux droites, dont la connaissance est nécessaire pour résoudre de nombreux problèmes pratiques, de présenter clairement la preuve de ces théorèmes et de développer des compétences dans la preuve d'énoncés géométriques.

Les avantages de la leçon vidéo sont liés au fait qu'à l'aide de l'animation, de l'accompagnement vocal et de la possibilité de surligner avec de la couleur, elle permet haut degré clarté, peut servir de remplacement à la fourniture d'un bloc standard d'un nouveau Matériel pédagogique professeur.

La leçon vidéo commence par le titre affiché à l'écran. Avant de décrire les signes de droites parallèles, les élèves sont initiés au concept de sécante. Une sécante est définie comme une ligne qui coupe d'autres lignes. L'écran affiche deux droites a et b, qui coupent la droite c. La droite construite c est surlignée en bleu, soulignant le fait qu'elle est une sécante des droites données a et b. Afin de considérer les signes de parallélisme des lignes, il est nécessaire de se familiariser avec la zone d'intersection des lignes. La sécante aux points d'intersection avec les droites forme 8 angles ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, en analysant les relations dont il est possible de déduire des signes de le parallélisme de ces lignes. Il est à noter que les angles ∠3 et ∠5, ainsi que ∠2 et ∠4 sont appelés transversaux. Donné explication détaillée en utilisant l'animation de la disposition transversale des angles couchés comme angles qui se situent entre des lignes droites parallèles et des lignes droites adjacentes, situées transversalement. Ensuite, le concept d'angles unilatéraux est introduit, qui incluent les paires ∠4 et ∠5, ainsi que ∠3 et ∠6. Des paires d'angles correspondants sont également indiquées, dont il y a 4 paires dans l'image construite - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.

La partie suivante de la leçon vidéo examine trois signes de parallélisme de deux droites quelconques. La première description apparaît à l'écran. Le théorème stipule que si les angles transversaux formés par la transversale sont égaux, les droites données seront parallèles. L'énoncé est accompagné d'un dessin montrant deux droites a et b et une sécante AB. On remarque que les angles couchés ∠1 et ∠2 formés transversalement sont égaux entre eux. Cette affirmation nécessite une preuve.

Le plus facilement prouvable cas particulier- lorsque les angles transversaux donnés sont des angles droits. Cela signifie que la sécante est perpendiculaire aux droites, et selon le théorème déjà prouvé, dans ce cas les droites a et b ne se couperont pas, c'est-à-dire qu'elles sont parallèles. La preuve de ce cas particulier est décrite à l'aide de l'exemple d'une image construite à côté de la première figure, mettant en évidence les détails importants de la preuve par l'animation.

Pour le prouver dans le cas général, il faut tracer une perpendiculaire supplémentaire du milieu du segment AB à la droite a. Ensuite, le segment BH 1 égal au segment AN est tracé sur la droite b. À partir du point résultant H 1, un segment est tracé reliant les points O et H 1. Considérons ensuite deux triangles ΔОНА et ΔОВН 1, dont l'égalité est prouvée par le premier critère d'égalité de deux triangles. Les côtés OA et OB sont de construction égale, puisque le point O a été marqué comme le milieu du segment AB. Les côtés HA et H 1 B sont également égaux en construction, puisque nous avons licencié un segment H 1 B égal à HA. Et les angles sont ∠1=∠2 selon les conditions du problème. Puisque les triangles formés sont égaux les uns aux autres, les paires d’angles et de côtés restantes correspondantes sont également égales les unes aux autres. Il s'ensuit que le segment OH 1 est une continuation du segment OH, constituant un segment HH 1. Il est à noter que puisque le segment construit OH est perpendiculaire à la droite a, alors, par conséquent, le segment HH 1 est perpendiculaire aux droites a et b. Ce fait signifie, en utilisant le théorème sur le parallélisme des droites auxquelles une perpendiculaire est construite, que les droites données a et b sont parallèles.

Le prochain théorème qui nécessite une preuve est un signe de l'égalité des lignes parallèles par l'égalité des angles correspondants formés lors de l'intersection d'une transversale. L'énoncé de ce théorème est affiché à l'écran et peut être proposé par les étudiants pour enregistrement. La preuve commence par la construction sur l'écran de deux droites parallèles a et b, auxquelles est construite la sécante c. Surligné en bleu sur l'image. La sécante forme les angles correspondants ∠1 et ∠2, qui par condition sont égaux entre eux. Les angles adjacents ∠3 et ∠4 sont également marqués. ∠2 par rapport à l'angle ∠3 est un angle vertical. Et les angles verticaux sont toujours égaux. De plus, les angles ∠1 et ∠3 sont croisés l'un par rapport à l'autre - leur égalité (selon l'affirmation déjà prouvée) signifie que les lignes a et b sont parallèles. Le théorème a été prouvé.

La dernière partie de la leçon vidéo est consacrée à prouver l'affirmation selon laquelle si la somme des angles unilatéraux formés lorsque deux lignes coupent une ligne transversale est égale à 180°, dans ce cas ces lignes seront parallèles entre elles. La preuve est démontrée à l’aide d’une figure montrant les lignes a et b coupant une sécante c. Les angles formés par l'intersection sont marqués de la même manière que dans la preuve précédente. Par condition, la somme des angles ∠1 et ∠4 est égale à 180°. De plus, on sait que la somme des angles ∠3 et ∠4 est égale à 180°, puisqu'ils sont adjacents. Cela signifie que les angles ∠1 et ∠3 sont égaux. Cette conclusion donne le droit d'affirmer que les droites a et b sont parallèles. Le théorème a été prouvé.

La leçon vidéo « Signes de parallélisme de deux droites » peut être utilisée par l'enseignant comme un bloc indépendant démontrant les preuves de ces théorèmes, remplaçant l'explication de l'enseignant ou l'accompagnant. Une explication détaillée permet aux étudiants d'utiliser le matériel pour une étude indépendante et aidera à expliquer le matériel lors de l'enseignement à distance.