Trouver une solution générale à une équation différentielle ; exemples de solutions. Equations différentielles en ligne

Rappelons la tâche à laquelle nous étions confrontés lors de la recherche d'intégrales définies :

ou dy = f(x)dx. Sa solution :

et cela revient à calculer intégrale indéfinie. En pratique, une tâche plus complexe est plus souvent rencontrée : trouver la fonction oui, si l'on sait qu'il satisfait une relation de la forme

Cette relation relie la variable indépendante X, fonction inconnue oui et ses dérivés à hauteur de l'ordre n inclus, sont appelés .

DANS équation différentielle comprend une fonction sous le signe des dérivées (ou différentielles) d'un ordre ou d'un autre. L'ordre le plus élevé est appelé ordre (9.1) .

Équations différentielles:

- Premier ordre,

Deuxième ordre

- cinquième ordre, etc.

La fonction qui satisfait une équation différentielle donnée est appelée sa solution , ou intégrale . Le résoudre, c’est trouver toutes ses solutions. Si pour la fonction requise oui réussi à obtenir une formule qui donne toutes les solutions, alors on dit qu'on l'a trouvée décision commune, ou intégrale générale .

Décision commune contient n constantes arbitraires et on dirait

Si l’on obtient une relation qui concerne x, y Et n constantes arbitraires, sous une forme non autorisée par rapport à oui -

alors une telle relation est appelée l'intégrale générale de l'équation (9.1).

Problème de Cauchy

Chaque solution spécifique, c'est-à-dire chaque fonction spécifique qui satisfait une équation différentielle donnée et ne dépend pas de constantes arbitraires, est appelée une solution particulière. , ou une intégrale partielle. Pour obtenir des solutions particulières (intégrales) à partir de solutions générales, il est nécessaire de donner des constantes spécifiques valeurs numériques.

Le graphique d’une solution particulière est appelé courbe intégrale. La solution générale, qui contient toutes les solutions partielles, est une famille de courbes intégrales. Pour une équation du premier ordre cette famille dépend d'une constante arbitraire, pour l'équation n-ième commande - à partir de n constantes arbitraires.

Le problème de Cauchy consiste à trouver une solution particulière à l'équation n-ième ordre, satisfaisant n conditions initiales:

par lequel n constantes c 1, c 2,..., c n sont déterminées.

équations différentielles du 1er ordre

Pour une équation différentielle du 1er ordre non résolue par rapport à la dérivée, elle a la forme

ou pour permis relativement

Exemple 3.46. Trouver la solution générale de l'équation

Solution. En intégrant, on obtient

où C est une constante arbitraire. Si nous attribuons des valeurs numériques spécifiques à C, nous obtenons des solutions particulières, par exemple,

Exemple 3.47. Considérons une somme d'argent croissante déposée à la banque sous réserve de l'accumulation de 100 r intérêts composés par an. Soit Yo le montant d'argent initial, et Yx - à la fin X années. Si les intérêts sont calculés une fois par an, nous obtenons

où x = 0, 1, 2, 3,.... Lorsque les intérêts sont calculés deux fois par an, on obtient

où x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Lors du calcul des intérêts n une fois par an et si x prend les valeurs séquentielles 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., puis

Désignez 1/n = h, alors l’égalité précédente ressemblera à :

Avec un grossissement illimité n(à ) à la limite, nous arrivons au processus d'augmentation du montant d'argent avec accumulation continue d'intérêts :

Il est donc clair qu'avec un changement continu X la loi de variation de la masse monétaire est exprimée par une équation différentielle du premier ordre. Où Y x est une fonction inconnue, X- variable indépendante, r- constante. Résolvons cette équation, pour ce faire nous la réécrivons comme suit :

où , ou , où P désigne e C .

A partir des conditions initiales Y(0) = Yo, on trouve P : Yo = Pe o, d'où, Yo = P. La solution a donc la forme :

Considérons le deuxième problème économique. Les modèles macroéconomiques sont également décrits par des équations différentielles linéaires du 1er ordre, décrivant les changements de revenu ou de production Y en fonction du temps.

Exemple 3.48. Supposons que le revenu national Y augmente à un taux proportionnel à sa valeur :

et laissez le déficit des dépenses publiques être directement proportionnel au revenu Y avec le coefficient de proportionnalité q. Un déficit de dépenses entraîne une augmentation de la dette nationale D :

Conditions initiales Y = Yo et D = Do à t = 0. D'après la première équation Y= Yoe kt. En remplaçant Y, nous obtenons dD/dt = qYoe kt . La solution générale a la forme
D = (q/ k) Yoe kt +С, où С = const, qui est déterminé à partir des conditions initiales. En substituant les conditions initiales, nous obtenons Do = (q/ k)Yo + C. Donc, finalement,

D = Faire +(q/ k)Yo (e kt -1),

cela montre que la dette nationale augmente au même rythme relatif k, la même chose que le revenu national.

Considérons les équations différentielles les plus simples nème ordre, ce sont des équations de la forme

Sa solution générale peut être obtenue en utilisant n fois les intégrations.

Exemple 3.49. Prenons l'exemple y """ = cos x.

Solution. En intégrant, on trouve

La solution générale a la forme

Équations différentielles linéaires

En économie super application avez, envisagez de résoudre de telles équations. Si (9.1) a la forme :

alors on l'appelle linéaire, où рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) reçoivent des fonctions. Si f(x) = 0, alors (9.2) est dit homogène, sinon il est dit inhomogène. La solution générale de l'équation (9.2) est égale à la somme de l'une de ses solutions particulières y(x) et la solution générale de l'équation homogène qui lui correspond :

Si les coefficients р o (x), р 1 (x),..., р n (x) sont constants, alors (9.2)

(9.4) est appelée une équation différentielle linéaire à coefficients d'ordre constants n .

Car (9.4) a la forme :

Sans perte de généralité, on peut poser p o = 1 et écrire (9.5) sous la forme

Nous chercherons une solution (9.6) sous la forme y = e kx, où k est une constante. Nous avons: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . En substituant les expressions résultantes dans (9.6), nous aurons :

(9.7) oui équation algébrique, son inconnue est k, cela s’appelle caractéristique. L'équation caractéristique a un degré n Et n racines, parmi lesquelles elles peuvent être à la fois multiples et complexes. Soient k 1 , k 2 ,..., k n réels et distincts, alors - solutions particulières (9.7), et générales

Considérons une équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants :

Son équation caractéristique a la forme

(9.9)

son discriminant D = p 2 - 4q, selon le signe de D, trois cas sont possibles.

1. Si D>0, alors les racines k 1 et k 2 (9.9) sont réelles et différentes, et la solution générale a la forme :

Solution.Équation caractéristique : k 2 + 9 = 0, d'où k = ± 3i, a = 0, b = 3, la solution générale a la forme :

y = C 1 cos 3x + C 2 péché 3x.

Des équations différentielles linéaires du 2ème ordre sont utilisées lors de l'étude d'un modèle économique de type Web avec des stocks de biens, où le taux de variation du prix P dépend de la taille des stocks (voir paragraphe 10). Dans le cas où l'offre et la demande sont fonctions linéaires les prix, c'est-à-dire

a est une constante qui détermine le taux de réaction, alors le processus de changement de prix est décrit par l'équation différentielle :

Pour une solution particulière, nous pouvons prendre une constante

prix d’équilibre significatif. Déviation satisfait l'équation homogène

(9.10)

L'équation caractéristique sera la suivante :

Dans le cas où le terme est positif. Notons . Les racines de l'équation caractéristique k 1,2 = ± i w, donc la solution générale (9.10) a la forme :

où C et sont des constantes arbitraires, elles sont déterminées à partir des conditions initiales. Nous avons obtenu la loi de variation des prix dans le temps :

Entrez votre équation différentielle, l'apostroa "" est utilisée pour saisir la dérivée, appuyez sur Soumettre pour obtenir la solution

Équation différentielle (DE) - c'est l'équation,
où sont les variables indépendantes, y est la fonction et sont les dérivées partielles.

Équation différentielle ordinaire est une équation différentielle qui n'a qu'une seule variable indépendante, .

Différentes partie de l'équation est une équation différentielle qui comporte deux ou plusieurs variables indépendantes.

Les mots « ordinaires » et « dérivées partielles » peuvent être omis s’il est clair quelle équation est considérée. Dans ce qui suit, des équations différentielles ordinaires sont considérées.

Ordre de l'équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée.

Voici un exemple d’équation du premier ordre :

Voici un exemple d’équation du quatrième ordre :

Parfois, une équation différentielle du premier ordre s’écrit en termes de différentielles :

Dans ce cas, les variables x et y sont égales. Autrement dit, la variable indépendante peut être x ou y. Dans le premier cas, y est fonction de x. Dans le deuxième cas, x est fonction de y. Si nécessaire, nous pouvons réduire cette équation à une forme qui inclut explicitement la dérivée y′.
En divisant cette équation par dx on obtient :
.
Puisque et , il s'ensuit que
.

Résolution d'équations différentielles

Les dérivées de fonctions élémentaires sont exprimées à travers des fonctions élémentaires. Les intégrales de fonctions élémentaires ne sont souvent pas exprimées en termes de fonctions élémentaires. Avec les équations différentielles, la situation est encore pire. Grâce à la solution, vous pouvez obtenir :

• dépendance explicite d'une fonction à une variable ;

  Résoudre une équation différentielle est la fonction y = u (X), qui est défini, n fois différentiable, et .

• dépendance implicite sous la forme d'une équation de type Φ (x, y) = 0 ou des systèmes d'équations;

  Intégrale d'une équation différentielle est une solution d'une équation différentielle qui a une forme implicite.

• dépendance exprimée à travers les fonctions élémentaires et leurs intégrales ;

  Résoudre une équation différentielle en quadratures - il s'agit de trouver une solution sous la forme d'une combinaison de fonctions élémentaires et de leurs intégrales.

• la solution ne peut pas être exprimée par des fonctions élémentaires.

Puisque la résolution d'équations différentielles revient au calcul d'intégrales, la solution comprend un ensemble de constantes C 1, C 2, C 3, ... C n. Le nombre de constantes est égal à l'ordre de l'équation. Intégrale partielle d'une équation différentielle est l'intégrale générale pour des valeurs données des constantes C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Les références:
V.V. Stepanov, Cours d'équations différentielles, "LKI", 2015.
N. M. Gunter, R.O. Kuzmin, Collection de problèmes en mathématiques supérieures, «Lan», 2003.

Équation différentielle ordinaire est une équation qui relie une variable indépendante, une fonction inconnue de cette variable et ses dérivées (ou différentielles) d'ordres divers.

L'ordre de l'équation différentielle est appelé l'ordre de la dérivée la plus élevée qu'il contient.

En plus des équations aux dérivées partielles ordinaires, les équations aux dérivées partielles sont également étudiées. Ce sont des équations mettant en relation des variables indépendantes, une fonction inconnue de ces variables et ses dérivées partielles par rapport aux mêmes variables. Mais nous ne considérerons que équations différentielles ordinaires et par conséquent, par souci de concision, nous omettrons le mot « ordinaire ».

Exemples d'équations différentielles :

(1) ;

(3) ;

(4) ;

L'équation (1) est du quatrième ordre, l'équation (2) est du troisième ordre, les équations (3) et (4) sont du deuxième ordre, l'équation (5) est du premier ordre.

Équation différentielle nème ordre ne doit pas nécessairement contenir une fonction explicite, toutes ses dérivées du premier au n-ième ordre et variable indépendante. Il ne peut pas contenir explicitement de dérivées de certains ordres, une fonction ou une variable indépendante.

Par exemple, dans l'équation (1), il n'y a clairement pas de dérivées du troisième et du second ordre, ni de fonction ; dans l'équation (2) - la dérivée du second ordre et la fonction ; dans l'équation (4) - la variable indépendante ; dans l'équation (5) - fonctions. Seule l'équation (3) contient explicitement toutes les dérivées, la fonction et la variable indépendante.

Résoudre une équation différentielle chaque fonction est appelée y = f(x), lorsqu'il est substitué dans l'équation, il se transforme en identité.

Le processus de recherche d'une solution à une équation différentielle est appelé son l'intégration.

Exemple 1. Trouvez la solution de l'équation différentielle.

Solution. Écrivons cette équation sous la forme . La solution est de trouver la fonction à partir de sa dérivée. La fonction originale, comme le sait le calcul intégral, est une primitive de, c'est-à-dire

C'est ce que c'est solution à cette équation différentielle . Changer dedans C, nous allons recevoir diverses solutions. Nous avons découvert qu’il existe un nombre infini de solutions à une équation différentielle du premier ordre.

Solution générale de l'équation différentielle n L’ordre est sa solution, exprimée explicitement par rapport à la fonction inconnue et contenant n constantes arbitraires indépendantes, c'est-à-dire

La solution de l'équation différentielle de l'exemple 1 est générale.

Solution partielle de l'équation différentielle une solution dans laquelle des constantes arbitraires reçoivent des valeurs numériques spécifiques est appelée.

Exemple 2. Trouver la solution générale de l'équation différentielle et une solution particulière pour .

Solution. Intégrons les deux côtés de l'équation un nombre de fois égal à l'ordre de l'équation différentielle.

,

.

En conséquence, nous avons reçu une solution générale -

d’une équation différentielle du troisième ordre donnée.

Trouvons maintenant une solution particulière dans les conditions spécifiées. Pour ce faire, remplacez leurs valeurs au lieu de coefficients arbitraires et obtenez

.

Si, en plus de l'équation différentielle, la condition initiale est donnée sous la forme , alors un tel problème est appelé Problème de Cauchy . Remplacez les valeurs et dans la solution générale de l'équation et trouvez la valeur d'une constante arbitraire C, puis une solution particulière de l'équation pour la valeur trouvée C. C'est la solution au problème de Cauchy.

Exemple 3. Résolvez le problème de Cauchy pour l'équation différentielle de l'exemple 1 sous réserve de .

Solution. Remplaçons les valeurs de la condition initiale dans la solution générale oui = 3, X= 1. On obtient

Nous écrivons la solution du problème de Cauchy pour cette équation différentielle du premier ordre :

La résolution d’équations différentielles, même les plus simples, nécessite de bonnes compétences en intégration et en dérivées, y compris les fonctions complexes. Cela peut être vu dans l’exemple suivant.

Exemple 4. Trouvez la solution générale de l'équation différentielle.

Solution. L’équation est écrite sous une forme telle que vous pouvez immédiatement intégrer les deux côtés.

.

Nous appliquons la méthode d'intégration par changement de variable (substitution). Qu'il en soit ainsi.

Obligatoire de prendre dx et maintenant - attention - nous faisons cela selon les règles de différenciation d'une fonction complexe, puisque X et il y a une fonction complexe ("pomme" - extraire racine carrée ou, qu'est-ce que c'est la même chose - élever à la puissance « la moitié », et « viande hachée » est l'expression même sous la racine) :

On retrouve l'intégrale :

Revenir à la variable X, on a:

.

C'est la solution générale de cette équation différentielle du premier degré.

Non seulement les compétences de sections précédentes des mathématiques supérieures seront nécessaires pour résoudre des équations différentielles, mais aussi des compétences du primaire, c'est-à-dire mathématiques scolaires. Comme déjà mentionné, dans une équation différentielle d'un ordre quelconque, il ne peut y avoir de variable indépendante, c'est-à-dire une variable X. La connaissance des proportions de l'école qui n'ont pas été oubliées (cependant, selon qui) de l'école aidera à résoudre ce problème. C'est l'exemple suivant.

Cet article est un point de départ dans l'étude de la théorie des équations différentielles. Voici les définitions et concepts de base qui apparaîtront constamment dans le texte. Pour meilleure absorption et la compréhension de la définition sont fournis avec des exemples.

Équation différentielle (DE) est une équation qui inclut une fonction inconnue sous le signe dérivé ou différentiel.

Si la fonction inconnue est fonction d'une variable, alors l'équation différentielle est appelée ordinaire(abrégé ODE - équation différentielle ordinaire). Si la fonction inconnue est fonction de plusieurs variables, alors l'équation différentielle est appelée différentes partie de l'équation.

L'ordre maximum de la dérivée d'une fonction inconnue entrant dans une équation différentielle est appelé ordre de l'équation différentielle.

Voici des exemples d'ODE du premier, du deuxième et du cinquième ordre, respectivement

Comme exemples d'équations aux dérivées partielles du second ordre, nous donnons

De plus, nous ne considérerons que les équations différentielles ordinaires du nième ordre de la forme ou , où Ф(x, y) = 0 est une fonction inconnue spécifiée implicitement (si possible, nous l'écrirons en représentation explicite y = f(x) ).

Le processus de recherche de solutions à une équation différentielle est appelé en intégrant l'équation différentielle.

Résoudre une équation différentielle est une fonction Ф(x, y) = 0 implicitement spécifiée (dans certains cas, la fonction y peut être exprimée explicitement via l'argument x), qui transforme l'équation différentielle en une identité.

NOTE.

La solution d'une équation différentielle est toujours recherchée sur un intervalle X prédéterminé.

Pourquoi en parlons-nous séparément ? Oui, car dans de nombreux problèmes, l’intervalle X n’est pas mentionné. Autrement dit, la condition des problèmes est généralement formulée comme suit : « trouver une solution à l'équation différentielle ordinaire " Dans ce cas, cela implique que la solution doit être recherchée pour tout x pour lequel la fonction y souhaitée et l'équation d'origine ont un sens.

La solution d'une équation différentielle est souvent appelée intégrale de l'équation différentielle.

Les fonctions ou peuvent être appelées la solution d'une équation différentielle.

L'une des solutions de l'équation différentielle est la fonction. En effet, en substituant cette fonction dans l'équation originale, on obtient l'identité . Il est facile de voir qu'une autre solution à cette ODE est, par exemple, . Ainsi, les équations différentielles peuvent avoir plusieurs solutions.

Solution générale d'une équation différentielle est un ensemble de solutions contenant toutes, sans exception, les solutions de cette équation différentielle.

La solution générale d'une équation différentielle est également appelée intégrale générale de l'équation différentielle.

Revenons à l'exemple. La solution générale de l'équation différentielle a la forme ou , où C est une constante arbitraire. Ci-dessus, nous avons indiqué deux solutions à cette ODE, qui sont obtenues à partir de l'intégrale générale de l'équation différentielle en substituant C = 0 et C = 1, respectivement.

Si la solution de l'équation différentielle satisfait à la spécification initialement spécifiée conditions additionnelles, alors on l'appelle solution partielle de l'équation différentielle.

Une solution partielle de l’équation différentielle satisfaisant la condition y(1)=1 est . Vraiment, Et .

Les principaux problèmes de la théorie des équations différentielles sont les problèmes de Cauchy, les problèmes de valeurs limites et les problèmes de recherche d'une solution générale à une équation différentielle sur un intervalle X donné.

Problème de Cauchy est le problème de trouver une solution particulière à une équation différentielle qui satisfait la donnée conditions initiales, où sont les nombres.

Problème de valeur limite est le problème de trouver une solution particulière à une équation différentielle du second ordre qui satisfait des conditions supplémentaires aux points limites x 0 et x 1 :
f (x 0) = f 0, f (x 1) = f 1, où f 0 et f 1 reçoivent des nombres.

Le problème des valeurs limites est souvent appelé problème de frontière.

Une équation différentielle ordinaire d’ordre n s’appelle linéaire, s'il a la forme , et les coefficients sont des fonctions continues de l'argument x sur l'intervalle d'intégration.

I. Équations différentielles ordinaires

1.1. Concepts et définitions de base

Une équation différentielle est une équation qui relie une variable indépendante X, la fonction requise oui et ses dérivés ou différentiels.

Symboliquement, l'équation différentielle s'écrit comme suit :

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Une équation différentielle est dite ordinaire si la fonction recherchée dépend d'une variable indépendante.

Résoudre une équation différentielle s'appelle une fonction qui transforme cette équation en une identité.

L'ordre de l'équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée incluse dans cette équation

Exemples.

1. Considérons une équation différentielle du premier ordre

La solution de cette équation est la fonction y = 5 ln x. En effet, en substituant oui" dans l’équation, nous obtenons l’identité.

Et cela signifie que la fonction y = 5 ln x– est une solution de cette équation différentielle.

2. Considérons l'équation différentielle du second ordre y" - 5y" +6y = 0. La fonction est la solution de cette équation.

Vraiment, .

En substituant ces expressions dans l'équation, on obtient : , – identité.

Et cela signifie que la fonction est la solution de cette équation différentielle.

Intégration d'équations différentielles est le processus de recherche de solutions aux équations différentielles.

Solution générale de l'équation différentielle appelée fonction de la forme , qui comprend autant de constantes arbitraires indépendantes que l'ordre de l'équation.

Solution partielle de l'équation différentielle est une solution obtenue à partir d'une solution générale pour diverses valeurs numériques de constantes arbitraires. Les valeurs de constantes arbitraires se trouvent à certaines valeurs initiales de l'argument et de la fonction.

Le graphique d'une solution particulière à une équation différentielle est appelé courbe intégrale.

Exemples

1. Trouver une solution particulière à une équation différentielle du premier ordre

xdx + ydy = 0, Si oui= 4 à X = 3.

Solution. En intégrant les deux côtés de l’équation, on obtient

Commentaire. Une constante arbitraire C obtenue à la suite de l'intégration peut être représentée sous n'importe quelle forme pratique pour des transformations ultérieures. Dans ce cas, compte tenu de l'équation canonique d'un cercle, il convient de représenter une constante arbitraire C sous la forme .

- solution générale de l'équation différentielle.

Solution particulière de l'équation satisfaisant les conditions initiales oui = 4 à X = 3 est trouvé à partir du général en substituant les conditions initiales dans la solution générale : 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

En substituant C=5 dans la solution générale, on obtient x 2 + y 2 = 5 2 .

Il s'agit d'une solution particulière d'une équation différentielle obtenue à partir d'une solution générale dans des conditions initiales données.

2. Trouver la solution générale de l'équation différentielle

La solution de cette équation est n’importe quelle fonction de la forme , où C est une constante arbitraire. En effet, en substituant dans les équations, on obtient : , .

Par conséquent, cette équation différentielle a un nombre infini de solutions, puisque pour différentes valeurs de la constante C, l'égalité détermine différentes solutions à l'équation.

Par exemple, par substitution directe vous pouvez vérifier que les fonctions sont des solutions à l’équation.

Un problème dans lequel vous devez trouver une solution particulière à l'équation y" = f(x,y) satisfaisant la condition initiale y(x 0) = y 0, s'appelle le problème de Cauchy.

Résoudre l'équation y" = f(x,y), satisfaisant la condition initiale, y(x 0) = y 0, est appelé une solution au problème de Cauchy.

La solution du problème de Cauchy a une signification géométrique simple. En effet, selon ces définitions, pour résoudre le problème de Cauchy y" = f(x,y)étant donné que y(x 0) = y 0, signifie trouver la courbe intégrale de l'équation y" = f(x,y) qui passe par un point donné M 0 (x 0,oui 0).

II. Équations différentielles du premier ordre

2.1. Concepts de base

Une équation différentielle du premier ordre est une équation de la forme F(x,y,y") = 0.

Une équation différentielle du premier ordre inclut la dérivée première et n'inclut pas les dérivées d'ordre supérieur.

L'équation y" = f(x,y) est appelée une équation du premier ordre résolue par rapport à la dérivée.

La solution générale d'une équation différentielle du premier ordre est une fonction de la forme , qui contient une constante arbitraire.

Exemple. Considérons une équation différentielle du premier ordre.

La solution de cette équation est la fonction.

En effet, en remplaçant cette équation par sa valeur, on obtient

c'est 3x=3x

Par conséquent, la fonction est une solution générale de l’équation pour toute constante C.

Trouver une solution particulière à cette équation qui satisfait la condition initiale y(1)=1 Remplacement des conditions initiales x = 1, y =1 dans la solution générale de l’équation, on obtient d’où C=0.

Ainsi, on obtient une solution particulière à partir de la solution générale en substituant dans cette équation la valeur résultante C=0– solution privée.

2.2. Équations différentielles à variables séparables

Une équation différentielle à variables séparables est une équation de la forme : y"=f(x)g(y) ou par différentiels, où f(x) Et g(y)– fonctions spécifiées.

Pour ceux oui, pour lequel , l'équation y"=f(x)g(y) est équivalent à l'équation, dans lequel la variable oui est présente uniquement sur le côté gauche et la variable x est uniquement sur le côté droit. Ils disent : « dans l'équation. y"=f(x)g(y Séparons les variables."

Équation de la forme appelée équation à variables séparées.

Intégrer les deux côtés de l’équation Par X, on a G(y) = F(x) + C est la solution générale de l'équation, où G(o) Et F(x)– quelques primitives, respectivement, de fonctions et f(x), C constante arbitraire.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle du premier ordre à variables séparables

Exemple 1

Résous l'équation y" = xy

Solution. Dérivée d'une fonction oui" remplacez-le par

séparons les variables

Intégrons les deux côtés de l'égalité :

Exemple 2

2aa" = 1- 3x 2, Si oui 0 = 3à x0 = 1

Il s'agit d'une équation à variables séparées. Imaginons-le en différentiels. Pour ce faire, on réécrit cette équation sous la forme D'ici

En intégrant les deux côtés de la dernière égalité, on trouve

Remplacement des valeurs initiales x 0 = 1, y 0 = 3 nous trouverons AVEC 9=1-1+C, c'est à dire. C = 9.

Par conséquent, l’intégrale partielle requise sera ou

Exemple 3

Écrire une équation pour une courbe passant par un point M(2;-3) et ayant une tangente avec un coefficient angulaire

Solution. Selon l'état

Il s'agit d'une équation à variables séparables. En divisant les variables, on obtient :

En intégrant les deux côtés de l’équation, on obtient :

En utilisant les conditions initiales, x = 2 Et y = - 3 nous trouverons C:

Par conséquent, l’équation recherchée a la forme

2.3. Équations différentielles linéaires du premier ordre

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation de la forme y" = f(x)y + g(x)

Où f(x) Et g(x)- quelques fonctions spécifiées.

Si g(x)=0 alors l'équation différentielle linéaire est dite homogène et a la forme : y" = f(x)y

Si alors l'équation y" = f(x)y + g(x) dit hétérogène.

Solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire y" = f(x)y est donné par la formule : où AVEC– constante arbitraire.

En particulier, si C =0, alors la solution est y = 0 Si une équation linéaire homogène a la forme y" = ky Où k est une constante, alors sa solution générale a la forme : .

Solution générale d'une équation différentielle inhomogène linéaire y" = f(x)y + g(x) est donné par la formule ,

ceux. est égal à la somme de la solution générale de l'équation homogène linéaire correspondante et de la solution particulière de cette équation.

Pour une équation linéaire inhomogène de la forme y" = kx + b,

Où k Et b- certains nombres et une solution particulière seront une fonction constante. La solution générale est donc de la forme .

Exemple. Résous l'équation y" + 2y +3 = 0

Solution. Représentons l'équation sous la forme y" = -2y - 3 Où k = -2, b= -3 La solution générale est donnée par la formule.

Par conséquent, où C est une constante arbitraire.

2.4. Résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre par la méthode de Bernoulli

Trouver une solution générale à une équation différentielle linéaire du premier ordre y" = f(x)y + g(x) se réduit à résoudre deux équations différentielles avec des variables séparées par substitution y=uv, Où toi Et v- fonctions inconnues de X. Cette méthode de résolution est appelée méthode de Bernoulli.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre

y" = f(x)y + g(x)

1. Entrez le remplacement y=uv.

2. Différencier cette égalité y" = u"v + uv"

3. Remplacer oui Et oui" dans cette équation : u"v + uv" =f(x)uv + g(x) ou u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Regroupez les termes de l'équation de manière à ce que toi retirez-le des parenthèses :

5. À partir du support, en l'assimilant à zéro, trouvez la fonction

Il s'agit d'une équation séparable :

Divisons les variables et obtenons :

Où . .

6. Remplacez la valeur résultante v dans l'équation (de l'étape 4) :

et trouvez la fonction C'est une équation à variables séparables :

7. Écrivez la solution générale sous la forme : , c'est à dire. .

Exemple 1

Trouver une solution particulière à l'équation y" = -2y +3 = 0 Si y =1à x = 0

Solution. Résolvons-le en utilisant la substitution y=uv,.y" = u"v + uv"

Remplacement oui Et oui" dans cette équation, on obtient

En regroupant les deuxième et troisième termes du côté gauche de l'équation, on retire le facteur commun toi hors parenthèses

Nous assimilons l'expression entre parenthèses à zéro et, après avoir résolu l'équation résultante, nous trouvons la fonction v = v(x)

Nous obtenons une équation avec des variables séparées. Intégrons les deux côtés de cette équation : Trouvez la fonction v:

Remplaçons la valeur résultante v dans l'équation on obtient :

Il s'agit d'une équation à variables séparées. Intégrons les deux côtés de l'équation : Trouvons la fonction u = u(x,c) Trouvons une solution générale : Trouvons une solution particulière à l'équation qui satisfait aux conditions initiales y = 1à x = 0:

III. Équations différentielles d'ordre supérieur

3.1. Concepts et définitions de base

Une équation différentielle du second ordre est une équation contenant des dérivées ne dépassant pas le second ordre. Dans le cas général, une équation différentielle du second ordre s’écrit : F(x,y,y",y") = 0

La solution générale d'une équation différentielle du second ordre est fonction de la forme , qui comprend deux constantes arbitraires C1 Et C2.

Une solution particulière d'une équation différentielle du second ordre est une solution obtenue à partir d'une solution générale pour certaines valeurs de constantes arbitraires C1 Et C2.

3.2. Equations différentielles homogènes linéaires du second ordre avec coefficients constants.

Équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants appelé une équation de la forme y" + py" + qy = 0, Où p Et q- des valeurs constantes.

Algorithme de résolution d'équations différentielles homogènes du second ordre à coefficients constants

1. Écrivez l'équation différentielle sous la forme : y" + py" + qy = 0.

2. Créez son équation caractéristique, désignant oui"à travers r2, oui"à travers r, oui en 1: r 2 + pr + q = 0