Primjeri inverzne matrice trećeg reda s rješenjem. inverzna matrica

Pronađite definiciju svake 2x2 matrice. Svaki element bilo koje matrice, uključujući i transponovanu, povezan je sa odgovarajućom matricom 2x2. Da biste pronašli matricu 2x2 koja odgovara određenom elementu, precrtajte red i stupac u kojem se nalazi dati element, odnosno potrebno je precrtati pet elemenata originalne matrice 3x3. Četiri elementa će ostati neukrštena, a to su elementi odgovarajuće matrice 2x2.

• Na primjer, da biste pronašli matricu 2x2 za element koji se nalazi na sjecištu drugog reda i prve kolone, precrtajte pet elemenata koji se nalaze u drugom redu i prvom stupcu. Preostala četiri elementa su elementi odgovarajuće matrice 2x2.
• Pronađite determinantu svake 2x2 matrice. Da biste to učinili, oduzmite proizvod elemenata sekundarne dijagonale od proizvoda elemenata glavne dijagonale (vidi sliku).
• Detaljne informacije o matricama 2x2 koje odgovaraju specifičnim elementima matrice 3x3 mogu se naći na Internetu.

Kreirajte matricu kofaktora. Zapišite ranije dobivene rezultate u obliku nove matrice kofaktora. Da biste to učinili, napišite pronađenu determinantu svake matrice 2x2 gdje se nalazi odgovarajući element matrice 3x3. Na primjer, ako razmatrate matricu 2x2 za element (1,1), napišite njenu determinantu na poziciji (1,1). Zatim promijenite znakove odgovarajućih elemenata prema određenoj shemi, koja je prikazana na slici.

• Šema za promjenu predznaka: znak prvog elementa prvog reda se ne mijenja; znak drugog elementa prve linije je obrnut; predznak trećeg elementa prvog reda se ne mijenja, i tako red po red. Imajte na umu da znakovi “+” i “-” koji su prikazani na dijagramu (vidi sliku) ne označavaju da će odgovarajući element biti pozitivan ili negativan. IN u ovom slučaju znak “+” označava da se predznak elementa ne mijenja, a znak “-” označava promjenu predznaka elementa.
• Detaljne informacije o matricama kofaktora mogu se naći na Internetu.
• Na ovaj način ćete pronaći pridruženu matricu originalne matrice. Ponekad se naziva kompleksna konjugirana matrica. Takva matrica se označava kao adj(M).

Podijelite svaki element spojene matrice njegovom determinantom. Determinanta matrice M izračunata je na samom početku kako bi se provjerilo postoji li inverzna matrica. Sada podijelite svaki element spojene matrice ovom determinantom. Napišite rezultat svake operacije dijeljenja gdje se nalazi odgovarajući element. Na ovaj način ćete pronaći matricu inverznu originalnoj.

• Determinanta matrice koja je prikazana na slici je 1. Dakle, ovdje je pridružena matrica inverzna matrica (jer kada se bilo koji broj podijeli sa 1, ne mijenja se).
• U nekim izvorima, operacija dijeljenja je zamijenjena operacijom množenja sa 1/det(M). Međutim, konačni rezultat se ne mijenja.

Napišite inverznu matricu. Zapišite elemente koji se nalaze na desnoj polovini velike matrice kao posebnu matricu, koja je inverzna matrica.

Unesite originalnu matricu u memoriju kalkulatora. Da biste to učinili, kliknite na dugme Matrix, ako je dostupno. Za kalkulator Texas Instruments, možda ćete morati pritisnuti tipke 2nd i Matrix.

Izaberite meni Uredi. Uradite to pomoću dugmadi sa strelicama ili odgovarajućeg funkcijskog dugmeta koje se nalazi na vrhu tastature kalkulatora (lokacija dugmeta varira u zavisnosti od modela kalkulatora).

Unesite notaciju matrice. Većina grafičkih kalkulatora može raditi sa 3-10 matrica koje se mogu odrediti slova A-J. Obično samo odaberite [A] da biste označili originalnu matricu. Zatim pritisnite dugme Enter.

Unesite veličinu matrice. Ovaj članak govori o matricama 3x3. Ali grafički kalkulatori mogu raditi s matricama velike veličine. Unesite broj redova, pritisnite Enter, zatim unesite broj kolona i ponovo pritisnite Enter.

Unesite svaki element matrice. Matrica će biti prikazana na ekranu kalkulatora. Ako ste prethodno uneli matricu u kalkulator, ona će se pojaviti na ekranu. Kursor će označiti prvi element matrice. Unesite vrijednost za prvi element i pritisnite Enter. Kursor će se automatski pomaknuti na sljedeći element matrice.

Načini pronalaženja inverzna matrica, . Razmotrimo kvadratnu matricu

Označimo Δ =det A.

Kvadratna matrica A se naziva nedegenerisan, ili nije posebno, ako je njegova determinanta različita od nule, i degenerirati, ili poseban, AkoΔ = 0.

Kvadratna matrica B je za kvadratnu matricu A istog reda ako je njihov proizvod A B = B A = E, gdje je E matrica identiteta istog reda kao i matrice A i B.

Teorema . Da bi matrica A imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da njena determinanta bude različita od nule.

Inverzna matrica matrice A, označena sa A- 1, dakle B = A - 1 a izračunava se po formuli

, (1)

gdje su A i j algebarski komplementi elemenata a i j matrice A..

Izračunavanje A -1 koristeći formulu (1) za matrice visokog reda je vrlo radno intenzivno, pa je u praksi zgodno pronaći A -1 metodom elementarnih transformacija (ET). Bilo koja nesingularna matrica A može se svesti na matricu identiteta E primjenom samo stupaca (ili samo redova) na matricu identiteta. Ako se transformacije savršene nad matricom A primjenjuju istim redoslijedom na matricu identiteta E, rezultat će biti inverzna matrica. Pogodno je izvoditi EP na matricama A i E istovremeno, pišući obje matrice jednu do druge kroz liniju. Napomenimo još jednom da kada tražite kanonski oblik matrice, da biste ga pronašli, možete koristiti transformacije redova i stupaca. Ako trebate pronaći inverznu vrijednost matrice, trebali biste koristiti samo redove ili samo stupce tokom procesa transformacije.

Primjer 2.10. Za matricu naći A -1 .

Rješenje.Prvo nalazimo determinantu matrice A
To znači da inverzna matrica postoji i možemo je pronaći pomoću formule: , gdje su A i j (i,j=1,2,3) algebarski dodaci elemenata a i j originalne matrice.

Gdje .

Primjer 2.11. Koristeći metodu elementarnih transformacija, pronađite A -1 za matricu: A = .

Rješenje.Originalnoj matrici na desnoj strani dodjeljujemo matricu identiteta istog reda: . Koristeći elementarne transformacije stupaca, smanjit ćemo lijevu „polovinu“ na identičnu, istovremeno obavljajući potpuno iste transformacije na desnoj matrici.
Da biste to učinili, zamijenite prvi i drugi stupac: ~ . Trećem stupcu dodajemo prvi, a drugom - prvi, pomnožen sa -2: . Od prvog stupca oduzimamo drugi udvostručeni, a od trećeg - drugi pomnožen sa 6; . Dodajmo treću kolonu prvom i drugom: . Pomnožite posljednju kolonu sa -1: . Kvadratna matrica dobijena desno od vertikalne trake je inverzna matrica date matrice A. Dakle,
.

Za bilo koju nesingularnu matricu A postoji jedinstvena matrica A -1 takva da

A*A -1 =A -1 *A = E,

gdje je E matrica identiteta istih redova kao i A. Matrica A -1 se naziva inverzna matrici A.

U slučaju da je neko zaboravio, u matrici identiteta, osim dijagonale popunjene jedinicama, sve ostale pozicije su popunjene nulama, primjer matrice identiteta:

Pronalaženje inverzne matrice korištenjem metode adjuint matrice

Inverzna matrica je definirana formulom:

gdje je A ij - elementi a ij.

One. Da biste izračunali inverznu matricu, morate izračunati determinantu ove matrice. Zatim pronađite algebarske komplemente za sve njegove elemente i sastavite novu matricu od njih. Zatim morate prenijeti ovu matricu. I podijelite svaki element nove matrice determinantom originalne matrice.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Pronađite A -1 za matricu

Rješenje: Nađimo A -1 koristeći metodu adjoint matrice. Imamo det A = 2. Nađimo algebarske komplemente elemenata matrice A. U ovom slučaju, algebarski komplementi elemenata matrice će biti odgovarajući elementi same matrice, uzeti sa predznakom u skladu sa formulom

Imamo A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Formiramo pridruženu matricu

Prevozimo matricu A*:

Inverznu matricu pronalazimo pomoću formule:

Dobijamo:

Koristeći metodu spojene matrice, pronađite A -1 if

Rješenje Prije svega izračunavamo definiciju ove matrice da bismo provjerili postojanje inverzne matrice. Imamo

Ovdje smo elementima drugog reda dodali elemente trećeg reda, prethodno pomnožene sa (-1), a zatim proširili determinantu za drugi red. Pošto je definicija ove matrice različita od nule, postoji njena inverzna matrica. Da bismo konstruisali pridruženu matricu, nalazimo algebarske komplemente elemenata ove matrice. Imamo

Prema formuli

transportna matrica A*:

Zatim prema formuli

Pronalaženje inverzne matrice metodom elementarnih transformacija

Pored metode pronalaženja inverzne matrice, koja slijedi iz formule (metoda adjuint matrix), postoji i metoda za pronalaženje inverzne matrice koja se zove metoda elementarnih transformacija.

Elementarne matrične transformacije

Sljedeće transformacije se nazivaju transformacije elementarnih matrica:

1) preuređivanje redova (kolona);

2) množenje reda (kolone) brojem koji nije nula;

3) dodavanjem elementima reda (kolone) odgovarajućih elemenata drugog reda (kolone), prethodno pomnoženih određenim brojem.

Da bismo pronašli matricu A -1, konstruišemo pravougaonu matricu B = (A|E) redova (n; 2n), pridajući matrici A na desnoj strani matricu identiteta E kroz liniju razdvajanja:

Pogledajmo primjer.

Koristeći metodu elementarnih transformacija, pronaći A -1 if

Rješenje Formiramo matricu B:

Označimo redove matrice B sa α 1, α 2, α 3. Izvršimo sljedeće transformacije na redovima matrice B.

Ova tema je jedna od najomraženijih među studentima. Najgore su, vjerovatno, kvalifikacije.

Trik je u tome što nas sam koncept inverznog elementa (a ne govorim samo o matricama) upućuje na operaciju množenja. Čak i unutra školski program množenje broji složena operacija, a množenje matrice je sasvim zasebna tema, kojoj sam posvetio cijeli pasus i video tutorijal.

Danas nećemo ulaziti u detalje matričnih proračuna. Prisjetimo se samo: kako se označavaju matrice, kako se množe i šta iz toga slijedi.

Pregled: Množenje matrica

Prije svega, dogovorimo se oko notacije. Matrica $A$ veličine $\left[ m\times n \right]$ je jednostavno tabela brojeva sa tačno $m$ redova i $n$ kolona:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrica) \desno])_(n)\]

Da ne biste slučajno pomiješali redove i kolone (vjerujte, na ispitu možete pobrkati jedan sa dva, a kamoli neke redove), samo pogledajte sliku:

Šta se dešava? Ako standardni koordinatni sistem $OXY$ postavite u gornji lijevi ugao i usmjerite ose tako da pokrivaju cijelu matricu, onda svaka ćelija ove matrice može biti jedinstveno povezana sa koordinatama $\left(x;y \right)$ - ovo će biti broj reda i kolone.

Zašto je koordinatni sistem postavljen u gornji levi ugao? Da, jer odatle počinjemo čitati bilo kakve tekstove. Vrlo je lako zapamtiti.

Zašto je osa $x$ usmjerena prema dolje, a ne udesno? Opet, jednostavno je: uzmite standardni koordinatni sistem ($x$ osa ide udesno, $y$ osa ide gore) i rotirajte ga tako da pokrije matricu. Ovo je rotacija za 90 stepeni u smeru kazaljke na satu - vidimo rezultat na slici.

Općenito, shvatili smo kako odrediti indekse matričnih elemenata. Pogledajmo sada množenje.

Definicija. Matrice $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$, kada se broj kolona u prvoj poklapa sa brojem redova u drugoj, su naziva konzistentan.

Tačno tim redosledom. Može se zbuniti i reći da matrice $A$ i $B$ čine uređeni par $\left(A;B \right)$: ako su konzistentne u ovom redoslijedu, onda uopće nije potrebno da $B $ i $A$ one. par $\left(B;A \right)$ je takođe konzistentan.

Samo uparene matrice se mogu množiti.

Definicija. Proizvod usklađenih matrica $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$ je nova matrica $C=\left[ m\times k \right ]$ , čiji se elementi $((c)_(ij))$ izračunavaju prema formuli:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Drugim riječima: da biste dobili element $((c)_(ij))$ matrice $C=A\cdot B$, trebate uzeti $i$-red prve matrice, $j$ -ti stupac druge matrice, a zatim pomnožiti u parovima elemente iz ovog reda i kolone. Zbrojite rezultate.

Da, to je tako oštra definicija. Iz toga odmah slijedi nekoliko činjenica:

1. Množenje matrice, općenito govoreći, nije komutativno: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Međutim, množenje je asocijativno: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Čak i distributivno: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. I još jednom distributivno: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Distributivnost množenja je morala biti opisana odvojeno za lijevi i desni faktor sume upravo zbog nekomutativnosti operacije množenja.

Ako se ispostavi da je $A\cdot B=B\cdot A$, takve matrice se nazivaju komutativne.

Među svim matricama koje se tamo nečim množe, postoje posebne - one koje, kada se pomnože s bilo kojom matricom $A$, opet daju $A$:

Definicija. Matrica $E$ se naziva identitetom ako je $A\cdot E=A$ ili $E\cdot A=A$. U slučaju kvadratne matrice $A$ možemo napisati:

Matrica identiteta je čest gost u rješavanju matrične jednačine. I općenito čest gost u svijetu matrica. :)

I zbog ovog $E$, neko je smislio sve gluposti koje će se dalje pisati.

Šta je inverzna matrica

Budući da je množenje matrice vrlo naporna operacija (morate pomnožiti gomilu redova i stupaca), koncept inverzne matrice također se ispostavlja da nije najtrivijalniji. I zahtijeva neko objašnjenje.

Ključna definicija

Pa, vrijeme je da saznamo istinu.

Definicija. Matrica $B$ se zove inverzna matrici $A$ if

Inverzna matrica je označena sa $((A)^(-1))$ (ne treba je brkati sa stepenom!), tako da se definicija može prepisati na sljedeći način:

Čini se da je sve krajnje jednostavno i jasno. Ali kada analiziramo ovu definiciju, odmah se nameće nekoliko pitanja:

1. Da li inverzna matrica uvijek postoji? I ako ne uvijek, kako onda odrediti: kada postoji, a kada ne?
2. A ko je rekao da postoji tačno jedna takva matrica? Šta ako za neku početnu matricu $A$ postoji čitava gomila inverza?
3. Kako izgledaju svi ovi „preokreti“? I kako, tačno, da ih brojimo?

Što se tiče algoritama proračuna, o tome ćemo govoriti nešto kasnije. Ali na preostala pitanja ćemo odmah odgovoriti. Formulirajmo ih u obliku zasebnih iskaza-lema.

Osnovna svojstva

Počnimo od toga kako bi matrica $A$ u principu trebala izgledati da bi za nju postojao $((A)^(-1))$. Sada ćemo se pobrinuti da obje ove matrice moraju biti kvadratne i iste veličine: $\left[ n\times n \right]$.

Lema 1. Date matricu $A$ i njen inverzni $((A)^(-1))$. Tada su obje ove matrice kvadratne, i istog reda $n$.

Dokaz. To je jednostavno. Neka je matrica $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Budući da proizvod $A\cdot ((A)^(-1))=E$ postoji po definiciji, matrice $A$ i $((A)^(-1))$ su konzistentne u prikazanom redoslijedu:

\[\begin(poravnati) & \left[ m\puta n \desno]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( poravnati)\]

Ovo je direktna posljedica algoritma množenja matrice: koeficijenti $n$ i $a$ su "tranzitni" i moraju biti jednaki.

Istovremeno je definirano i obrnuto množenje: $((A)^(-1))\cdot A=E$, stoga su matrice $((A)^(-1))$ i $A$ također konzistentan u navedenom redoslijedu:

\[\begin(poravnati) & \left[ a\puta b \desno]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\puts n \right] \\ & b=m \end( poravnati)\]

Dakle, bez gubitka opštosti, možemo pretpostaviti da je $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Međutim, prema definiciji $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, stoga se veličine matrica striktno podudaraju:

\[\početak(poravnati) & \lijevo[ m\puta n \desno]=\lijevo[ n\puta m \desno] \\ & m=n \end(poravnati)\]

Dakle, ispada da su sve tri matrice - $A$, $(A)^(-1))$ i $E$ - kvadratne matrice veličine $\left[ n\puta n \right]$. Lema je dokazana.

Pa, to je već dobro. Vidimo da su samo kvadratne matrice invertibilne. Sada se uvjerimo da je inverzna matrica uvijek ista.

Lema 2. Date matricu $A$ i njen inverzni $((A)^(-1))$. Tada je ova inverzna matrica jedina.

Dokaz. Idemo kontradiktorno: neka matrica $A$ ima najmanje dva inverza - $B$ i $C$. Tada su, prema definiciji, tačne sljedeće jednakosti:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(poravnati)\]

Iz leme 1 zaključujemo da su sve četiri matrice - $A$, $B$, $C$ i $E$ - kvadrati istog reda: $\left[ n\times n \right]$. Dakle, proizvod je definiran:

Pošto je množenje matrice asocijativno (ali ne i komutativno!), možemo napisati:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \desno)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(poravnati)\]

Dobili smo jedini moguća varijanta: dvije instance inverzne matrice su jednake. Lema je dokazana.

Gornji argumenti ponavljaju gotovo doslovno dokaz jedinstvenosti inverznog elementa za sve realne brojeve $b\ne 0$. Jedini značajan dodatak je uzimanje u obzir dimenzije matrica.

Međutim, još uvijek ne znamo ništa o tome da li je svaka kvadratna matrica inverzibilna. Ovdje nam u pomoć dolazi odrednica - ovo ključna karakteristika za sve kvadratne matrice.

Lema 3. Zadana je matrica $A$. Ako postoji njena inverzna matrica $((A)^(-1))$, tada je determinanta originalne matrice različita od nula:

\[\lijevo| A\desno|\ne 0\]

Dokaz. Već znamo da su $A$ i $((A)^(-1))$ kvadratne matrice veličine $\left[ n\puta n \right]$. Dakle, za svaki od njih možemo izračunati determinantu: $\left| A\desno|$ i $\levo| ((A)^(-1)) \right|$. Međutim, determinanta proizvoda jednaka je proizvodu determinanti:

\[\lijevo| A\cdot B \desno|=\lijevo| A \desno|\cdot \levo| B \right|\Rightarrow \levo| A\cdot ((A)^(-1)) \desno|=\lijevo| A \desno|\cdot \levo| ((A)^(-1)) \desno|\]

Ali prema definiciji, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, a determinanta $E$ je uvijek jednaka 1, tako da

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \lijevo| A\cdot ((A)^(-1)) \desno|=\lijevo| E\desno|; \\ & \lijevo| A \desno|\cdot \levo| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(poravnati)\]

Proizvod dva broja jednak je jedan samo ako je svaki od ovih brojeva različit od nule:

\[\lijevo| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Dakle, ispada da je $\left| A \right|\ne 0$. Lema je dokazana.

Zapravo, ovaj zahtjev je sasvim logičan. Sada ćemo analizirati algoritam za pronalaženje inverzne matrice - i biće potpuno jasno zašto, sa nultom determinantom, inverzna matrica u principu ne može postojati.

Ali prvo, formulirajmo "pomoćnu" definiciju:

Definicija. Singularna matrica je kvadratna matrica veličine $\left[ n\puta n \right]$ čija je determinanta nula.

Dakle, možemo tvrditi da je svaka invertibilna matrica nesingularna.

Kako pronaći inverz od matrice

Sada ćemo razmotriti univerzalni algoritam za pronalaženje inverznih matrica. Generalno, postoje dva općeprihvaćena algoritma, a danas ćemo razmotriti i drugi.

Ona o kojoj ćemo sada govoriti je vrlo efikasna za matrice veličine $\left[ 2\times 2 \right]$ i - djelimično - veličine $\left[ 3\times 3 \right]$. Ali počevši od veličine $\left[ 4\times 4 \right]$ bolje je ne koristiti je. Zašto - sada ćete sve sami shvatiti.

Algebarski dodaci

Spremiti se. Sada će biti bola. Ne, ne brini: lijepa medicinska sestra u suknji, čarapama sa čipkom neće ti doći i dati ti injekciju u zadnjicu. Sve je mnogo prozaičnije: algebarski dodaci i Njeno Veličanstvo "Matrica Unije" dolaze vam.

Počnimo od glavne stvari. Neka postoji kvadratna matrica veličine $A=\left[ n\times n \right]$, čiji se elementi nazivaju $((a)_(ij))$. Tada za svaki takav element možemo definirati algebarski komplement:

Definicija. Algebarski komplement $((A)_(ij))$ elementu $((a)_(ij))$ koji se nalazi u $i$th redu i $j$toj koloni matrice $A=\left[ n \times n \right]$ je konstrukcija forme

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Gdje je $M_(ij)^(*)$ determinanta matrice dobijene iz originalnog $A$ brisanjem istog $i$th reda i $j$th kolone.

Opet. Algebarski komplement matričnom elementu sa koordinatama $\left(i;j \right)$ označava se kao $((A)_(ij))$ i izračunava se prema šemi:

1. Prvo, brišemo $i$-red i $j$-tu kolonu iz originalne matrice. Dobijamo novu kvadratnu matricu i njenu determinantu označavamo sa $M_(ij)^(*)$.
2. Zatim pomnožimo ovu determinantu sa $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - u početku ovaj izraz može izgledati zapanjujuće, ali u suštini jednostavno otkrivamo znak ispred $M_(ij)^(*) $.
3. Računamo i dobijamo konkretan broj. One. algebarsko sabiranje je upravo broj, a ne neka nova matrica itd.

Sama matrica $M_(ij)^(*)$ naziva se dodatnim minorom elementu $((a)_(ij))$. I u tom smislu, gornja definicija algebarskog komplementa je poseban slučaj složenije definicije – onoga što smo gledali u lekciji o determinanti.

Važna napomena. Zapravo, u matematici „odraslih“ algebarski sabirci se definiraju na sljedeći način:

1. Uzimamo $k$ redova i $k$ kolona u kvadratnoj matrici. Na njihovom preseku dobijamo matricu veličine $\left[ k\times k \right]$ - njena determinanta se naziva minor reda $k$ i označava se kao $((M)_(k))$.
2. Zatim precrtavamo ove “odabrane” $k$ redove i $k$ kolone. Još jednom dobijate kvadratnu matricu - njena determinanta se zove dodatni minor i označava se kao $M_(k)^(*)$.
3. Pomnožite $M_(k)^(*)$ sa $((\left(-1 \right))^(t))$, gdje je $t$ (pažnja!) zbir brojeva svih odabranih redova i kolone. Ovo će biti algebarski dodatak.

Pogledajte treći korak: zapravo postoji zbir termina od $2k$! Druga stvar je što ćemo za $k=1$ dobiti samo 2 člana - to će biti isti $i+j$ - "koordinate" elementa $((a)_(ij))$ za koji smo tražeći algebarski komplement.

Dakle, danas koristimo malo pojednostavljenu definiciju. Ali kako ćemo kasnije vidjeti, to će biti više nego dovoljno. Mnogo je važnija sledeća stvar:

Definicija. Povezana matrica $S$ sa kvadratnom matricom $A=\left[ n\times n \right]$ je nova matrica veličine $\left[ n\times n \right]$, koja se dobija iz $A$ zamjenom $(( a)_(ij))$ algebarskim dodacima $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrica) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrica) \desno]\]

Prva pomisao koja se nameće u trenutku realizacije ove definicije je “koliko će se morati izbrojati!” Opustite se: moraćete da računate, ali ne toliko. :)

Pa, sve je ovo jako lepo, ali zašto je potrebno? Ali zašto.

Glavna teorema

Vratimo se malo unazad. Zapamtite, u lemi 3 je navedeno da je invertibilna matrica $A$ uvijek nesingularna (to jest, njena determinanta nije nula: $\left| A \right|\ne 0$).

Dakle, istina je i suprotno: ako matrica $A$ nije singularna, onda je uvijek inverzibilna. Čak postoji i šema pretraživanja za $((A)^(-1))$. Provjeri:

Teorema inverzne matrice. Neka je data kvadratna matrica $A=\left[ n\times n \right]$, a njena determinanta je različita od nule: $\left| A \right|\ne 0$. Tada inverzna matrica $((A)^(-1))$ postoji i izračunava se po formuli:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

A sada - sve je isto, ali čitljivim rukopisom. Da biste pronašli inverznu matricu, trebate:

1. Izračunajte determinantu $\left| \right|$ i uvjerite se da nije nula.
2. Konstruirajte union matricu $S$, tj. izbrojte 100500 algebarskih dodataka $((A)_(ij))$ i postavite ih na mjesto $((a)_(ij))$.
3. Transponirajte ovu matricu $S$, a zatim je pomnožite nekim brojem $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

To je sve! Inverzna matrica $((A)^(-1))$ je pronađena. Pogledajmo primjere:

\[\left[ \begin(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrica) \right]\]

Rješenje. Hajde da proverimo reverzibilnost. Izračunajmo determinantu:

\[\lijevo| A\desno|=\lijevo| \begin(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrica) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Odrednica se razlikuje od nule. To znači da je matrica invertibilna. Kreirajmo matricu sindikata:

Izračunajmo algebarske sabirke:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\lijevo(-1 \desno))^(1+2))\cdot \lijevo| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\lijevo(-1 \desno))^(2+1))\cdot \lijevo| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\lijevo(-1 \desno))^(2+2))\cdot \lijevo| 3\desno|=3. \\ \end(poravnati)\]

Obratite pažnju: determinante |2|, |5|, |1| i |3| su determinante matrica veličine $\left[ 1\puts 1 \right]$, a ne moduli. One. ako su uključene kvalifikacije negativni brojevi, nema potrebe za uklanjanjem “minusa”.

Ukupno, naša sindikalna matrica izgleda ovako:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(niz) \desno])^(T))=\left[ \begin (niz)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(niz) \desno]\]

OK, sve je gotovo. Problem je riješen.

Odgovori. $\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(niz) \right]$

Zadatak. Pronađite inverznu matricu:

\[\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(niz) \desno] \]

Rješenje. Ponovo izračunavamo determinantu:

\[\početi(poravnati) & \lijevo| \begin(niz)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(niz) \right|=\begin(matrica ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrica)= \ \ & =\left(2+1+0 \desno)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinanta je različita od nule - matrica je invertibilna. Ali sada će biti jako teško: trebamo izbrojati čak 9 (devet, jebem ti mater!) algebarskih dodataka. I svaki od njih će sadržavati determinantu $\left[ 2\puts 2 \right]$. leteo:

\[\begin(matrica) ((A)_(11))=((\left(-1 \desno))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrica) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\lijevo(-1 \desno))^(1+2))\cdot \lijevo| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\lijevo(-1 \desno))^(1+3))\cdot \lijevo| \begin(matrica) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrica) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \desno))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrica) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrica) \right|=2; \\ \end(matrica)\]

Ukratko, matrica sindikata će izgledati ovako:

Dakle, inverzna matrica će biti:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrica) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrica) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\kraj (niz) \desno]\]

To je to. Evo odgovora.

Odgovori. $\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(niz) \right ]$

Kao što vidite, na kraju svakog primjera izvršili smo provjeru. S tim u vezi, važna napomena:

Ne budite lijeni provjeriti. Pomnožite originalnu matricu sa pronađenom inverznom matricom - trebali biste dobiti $E$.

Izvođenje ove provjere je mnogo lakše i brže od traženja greške u daljim proračunima kada, na primjer, rješavate matričnu jednačinu.

Alternativni način

Kao što sam rekao, teorema inverzne matrice odlično radi za veličine $\left[ 2\times 2 \right]$ i $\left[ 3\times 3 \right]$ (u poslednji slučaj- više nije tako „divan“), ali za matrice velikih dimenzija počinje tuga.

Ali ne brinite: postoji alternativni algoritam s kojim možete mirno pronaći inverz čak i za matricu $\left[ 10\x 10 \right]$. Ali, kao što se često dešava, da bismo razmotrili ovaj algoritam potrebno nam je malo teorijske pozadine.

Elementarne transformacije

Među svim mogućim matričnim transformacijama postoji nekoliko posebnih - nazivaju se elementarnim. Postoje tačno tri takve transformacije:

1. Množenje. Možete uzeti $i$-ti red (kolona) i pomnožiti ga bilo kojim brojem $k\ne 0$;
2. Dodatak. Dodajte u $i$-ti red (kolona) bilo koji drugi $j$-ti red (kolona) pomnožen sa bilo kojim brojem $k\ne 0$ (možete, naravno, učiniti $k=0$, ali šta je poenta? ? Ništa se neće promijeniti).
3. Preuređenje. Uzmite $i$th i $j$th redove (kolone) i zamijenite mjesta.

Zašto se ove transformacije nazivaju elementarnim (za velike matrice ne izgledaju tako elementarne) i zašto ih ima samo tri - ova pitanja su izvan okvira današnje lekcije. Stoga, nećemo ulaziti u detalje.

Još jedna stvar je važna: sve ove perverzije moramo izvesti na adjuint matrici. Da, da: dobro ste čuli. Sada će biti još jedna definicija - posljednja u današnjoj lekciji.

Adjoint matrica

Sigurno ste u školi rješavali sisteme jednačina metodom sabiranja. Pa, eto, oduzmite drugu od jedne linije, pomnožite neki red brojem - to je sve.

Dakle: sada će sve biti isto, ali na „odrasli“ način. Spreman?

Definicija. Neka su data matrica $A=\left[ n\times n \right]$ i matrica identiteta $E$ iste veličine $n$. Tada je pridružena matrica $\left[ A\left| E\desno. \right]$ je nova matrica veličine $\left[ n\puta 2n \right]$ koja izgleda ovako:

\[\lijevo[ A\lijevo| E\desno. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & (a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(niz) \desno]\]

Ukratko, uzimamo matricu $A$, desno joj dodjeljujemo matricu identiteta $E$ tražene veličine, odvajamo ih vertikalnom trakom radi ljepote - evo vam adjoint. :)

u čemu je kvaka? Evo šta:

Teorema. Neka je matrica $A$ invertibilna. Razmotrimo pridruženu matricu $\left[ A\left| E\desno. \right]$. Ako koristite elementarne konverzije nizova dovedite ga u oblik $\left[ E\left| Svijetao. \right]$, tj. množenjem, oduzimanjem i preuređivanjem redova da se od $A$ dobije matrica $E$ s desne strane, tada je matrica $B$ dobijena s lijeve strane inverzna od $A$:

\[\lijevo[ A\lijevo| E\desno. \desno]\na \lijevo[ E\lijevo| Svijetao. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

To je tako jednostavno! Ukratko, algoritam za pronalaženje inverzne matrice izgleda ovako:

1. Napišite pridruženu matricu $\left[ A\left| E\desno. \right]$;
2. Izvodite elementarne konverzije nizova dok se ne pojavi $E$ umjesto $A$;
3. Naravno, nešto će se pojaviti i na lijevoj strani - određena matrica $B$. Ovo će biti suprotno;
4. PROFIT!:)

Naravno, ovo je mnogo lakše reći nego učiniti. Dakle, pogledajmo nekoliko primjera: za veličine $\left[ 3\times 3 \right]$ i $\left[ 4\times 4 \right]$.

Zadatak. Pronađite inverznu matricu:

\[\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(niz) \desno]\ ]

Rješenje. Kreiramo pridruženu matricu:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\kraj (niz) \desno]\]

Budući da je posljednja kolona originalne matrice popunjena jedinicama, oduzmite prvi red od ostatka:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\kraj(niz) \desno]\početak(matrica) \strelica prema dolje \\ -1 \\ -1 \\\kraj(matrica)\do \\ & \na \lijevo [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(poravnati)\]

Nema više jedinica, osim prve linije. Ali mi to ne diramo, inače će se novouklonjene jedinice početi "množavati" u trećem stupcu.

Ali možemo dva puta oduzeti drugi red od posljednjeg - dobijamo jedan u donjem lijevom uglu:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\kraj(niz) \desno]\početak(matrica) \ \\ \strelica prema dolje \\ -2 \\\kraj(matrica)\do \\ & \lijevo [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(poravnati)\]

Sada možemo oduzeti posljednji red od prvog i dva puta od drugog - na ovaj način "nuliramo" prvi stupac:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(niz) \desno]\početak(matrica) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrica)\do \\ & \ na \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\kraj (niz) \desno] \\ \end(poravnanje)\]

Pomnožite drugi red sa −1, a zatim ga oduzmite 6 puta od prvog i dodajte 1 put poslednjem:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\kraj(niz) \desno]\početak(matrica) \ \\ \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ \ \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\kraj(niz) \desno]\početak(matrica) -6 \\ \strelica nagore \\ +1 \\\end (matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\kraj (niz) \desno] \\ \end(poravnanje)\]

Ostaje samo zamijeniti redove 1 i 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\kraj (niz) \desno]\]

Spremni! Desno je tražena inverzna matrica.

Odgovori. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Zadatak. Pronađite inverznu matricu:

\[\left[ \begin(matrica) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\kraj (matrica) \desno]\]

Rješenje. Ponovo sastavljamo adjoint:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\kraj (niz) \desno]\]

Hajde da se malo rasplačemo, da budemo tužni koliko sada moramo da brojimo... i počnimo da brojimo. Prvo, hajde da "nulimo" prvu kolonu oduzimanjem reda 1 od reda 2 i 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(niz) \desno]\begin(matrica) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(align)\]

Vidimo previše "protiv" u redovima 2-4. Pomnožite sva tri reda sa −1, a zatim spalite treći stupac oduzimanjem reda 3 od ostatka:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(niz) \desno]\početak(matrica) \ \\ \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (niz) \desno]\početak(matrica) -2 \\ -1 \\ \strelica nagore \\ -2 \\\kraj(matrica)\na \\ & \na \levo[ \begin(niz)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(align)\]

Sada je vrijeme da se "prži" posljednji stupac originalne matrice: od ostatka oduzmite red 4:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(niz ) \desno]\begin(matrica) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\kraj (niz) \desno] \\ \end(poravnanje)\]

Završno bacanje: "sagorite" drugu kolonu oduzimanjem reda 2 od redova 1 i 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( niz) \desno]\početak(matrica) 6 \\ \strelica nagore \\ -5 \\ \ \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(niz)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(align)\]

I opet je matrica identiteta na lijevoj strani, što znači da je inverzna desno. :)

Odgovori. $\left[ \begin(matrica) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrica) \desno]$

Nastavimo razgovor o akcijama sa matricama. Naime, tokom proučavanja ovog predavanja naučićete kako pronaći inverznu matricu. Naučite. Čak i ako je matematika teška.

Šta je inverzna matrica? Ovdje možemo povući analogiju s inverznim brojevima: razmotrimo, na primjer, optimistični broj 5 i njegov inverzni broj. Proizvod ovih brojeva jednak je jedan: . Sve je slično sa matricama! Proizvod matrice i njene inverzne matrice jednak je – matrica identiteta, što je matrični analog numeričke jedinice. Međutim, prvo prvo - hajde da prvo riješimo ono važno. praktično pitanje, naime, naučit ćemo kako pronaći baš ovu inverznu matricu.

Šta treba da znate i da znate da biste pronašli inverznu matricu? Moraš biti u stanju da odlučiš kvalifikacije. Morate shvatiti šta je to matrica i biti u mogućnosti da izvršite neke radnje sa njima.

Postoje dvije glavne metode za pronalaženje inverzne matrice:
korišćenjem algebarski dodaci I koristeći elementarne transformacije.

Danas ćemo proučiti prvi, jednostavniji metod.

Počnimo s najstrašnijim i najnerazumljivijim. Hajde da razmotrimo kvadrat matrica. Inverzna matrica se može naći pomoću sljedeću formulu :

Gdje je determinanta matrice, je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.

Koncept inverzne matrice postoji samo za kvadratne matrice, matrice “dva po dva”, “tri po tri” itd.

Oznake: Kao što ste možda već primijetili, inverzna matrica je označena superskriptom

Počnimo s najjednostavnijim slučajem - matricom dva po dva. Najčešće je, naravno, potrebno "tri po tri", ali, ipak, toplo preporučujem proučavanje jednostavnijeg zadatka kako biste savladali opšti princip rješenja.

primjer:

Naći inverz matrice

Hajde da odlučimo. Pogodno je razbiti redoslijed akcija tačku po tačku.

1) Prvo pronalazimo determinantu matrice.

Ako vaše razumijevanje ove akcije nije dobro, pročitajte materijal Kako izračunati determinantu?

Bitan! Ako je determinanta matrice jednaka NULA– inverzna matrica NE POSTOJI.

U primjeru koji se razmatra, kako se ispostavilo, , što znači da je sve u redu.

2) Pronađite matricu minora.

Da bismo riješili naš problem, nije potrebno znati što je maloljetnik, ali je preporučljivo pročitati članak Kako izračunati determinantu.

Matrica minora ima iste dimenzije kao i matrica, odnosno u ovom slučaju.
Jedino što preostaje je pronaći četiri broja i staviti ih umjesto zvjezdica.

Vratimo se našoj matrici
Pogledajmo prvo gornji lijevi element:

Kako ga pronaći minor?
A to se radi ovako: MENTALNO precrtajte red i stupac u kojem se ovaj element nalazi:

Preostali broj je minor ovog elementa , koje upisujemo u našu matricu minora:

Razmotrite sljedeći element matrice:

Mentalno precrtajte red i stupac u kojem se pojavljuje ovaj element:

Ono što ostaje je minor ovog elementa, koji upisujemo u našu matricu:

Slično, razmatramo elemente drugog reda i pronalazimo njihove minore:


Spreman.

To je jednostavno. U matrici maloljetnika trebate PROMENI ZNAKOVE dva broja:

Ovo su brojevi koje sam zaokružio!

– matrica algebarskih sabiranja odgovarajućih elemenata matrice.

I samo...

4) Pronađite transponovanu matricu algebarskih sabiranja.

– transponovana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.

5) Odgovor.

Prisjetimo se naše formule
Sve je pronađeno!

Dakle, inverzna matrica je:

Bolje je ostaviti odgovor kakav jeste. NO NEED podijelite svaki element matrice sa 2, jer su rezultat razlomci. O ovoj nijansi detaljnije se govori u istom članku. Akcije sa matricama.

Kako provjeriti rješenje?

Potrebno je izvršiti množenje matrice ili

pregled:

Primljeno već spomenuto matrica identiteta je matrica sa jedinicama po glavna dijagonala i nule na drugim mjestima.

Dakle, inverzna matrica je ispravno pronađena.

Ako izvršite akciju, rezultat će također biti matrica identiteta. Ovo je jedan od rijetkih slučajeva gdje je množenje matrice promjenjivo, više detaljne informacije možete pronaći u članku Svojstva operacija nad matricama. Matrični izrazi. Također imajte na umu da se tokom provjere konstanta (razlomak) prenosi naprijed i obrađuje na samom kraju - nakon množenja matrice. Ovo je standardna tehnika.

Pređimo na češći slučaj u praksi - matricu tri po tri:

primjer:

Naći inverz matrice

Algoritam je potpuno isti kao i za slučaj „dva po dva“.

Inverznu matricu pronalazimo pomoću formule: , gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.

1) Pronađite determinantu matrice.

Ovdje se otkriva determinanta na prvoj liniji.

Takođe, ne zaboravite to, što znači da je sve u redu - inverzna matrica postoji.

2) Pronađite matricu minora.

Matrica maloljetnika ima dimenziju "tri sa tri" , i trebamo pronaći devet brojeva.

Detaljnije ću pogledati par maloljetnika:

Razmotrite sljedeći element matrice:

MENTALNO precrtajte red i stupac u kojem se nalazi ovaj element:

Preostala četiri broja upisujemo u odrednicu “dva po dva”.

Ova determinanta dva po dva i je minor ovog elementa. Potrebno je izračunati:


To je to, minor je pronađen, upisujemo ga u našu matricu minora:

Kao što ste verovatno pretpostavili, morate izračunati devet determinanti dva po dva. Proces je, naravno, naporan, ali slučaj nije najteži, može biti i gori.

Pa, da se konsolidujemo – pronalazak još jednog maloletnika na slikama:

Pokušajte sami izračunati preostale maloljetnike.

Konačan rezultat:
– matrica minora odgovarajućih elemenata matrice.

To što su svi maloljetnici ispali negativni je čista nesreća.

3) Naći matricu algebarskih sabiranja.

U matrici maloljetnika to je neophodno PROMENI ZNAKOVE striktno za sljedeće elemente:

U ovom slučaju:

Ne razmatramo pronalaženje inverzne matrice za matricu „četiri puta četiri”, jer takav zadatak može dati samo učitelj sadista (da učenik izračuna jednu determinantu „četiri puta četiri” i 16 determinanti „tri sa tri”). ). U mojoj praksi bio je samo jedan takav slučaj, i to kupac testni rad skupo platio moju muku =).

U brojnim udžbenicima i priručnicima možete pronaći nešto drugačiji pristup pronalaženju inverzne matrice, ali preporučujem korištenje algoritma rješenja koji je gore opisan. Zašto? Zato što je vjerovatnoća da ćete se zbuniti u proračunima i znakovima mnogo manja.