Решаване на система от линейни уравнения по метода на Крамер. Правилото на Крамър

19.10.2019

2. Решаване на системи от уравнения по матричния метод (с помощта на обратна матрица).
3. Метод на Гаус за решаване на системи от уравнения.

Методът на Крамер.

Методът на Cramer се използва за решаване на линейни системи алгебрични уравнения (СЛАУ).

Формули, използващи примера на система от две уравнения с две променливи.
дадени:Решете системата с помощта на метода на Крамер

Относно променливите хИ при.
Решение:
Да намерим детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на системата Изчисляване на детерминанти. :

Нека приложим формулите на Cramer и да намерим стойностите на променливите:
И .
Пример 1:
Решете системата от уравнения:

по отношение на променливите хИ при.
Решение:

Нека заменим първата колона в тази детерминанта с колона с коефициенти от дясната страна на системата и да намерим нейната стойност:

Хайде да го направим подобно действие, замествайки втората колона в първата детерминанта:

Приложимо Формули на Крамери намерете стойностите на променливите:
И .
Отговор:
коментар:Този метод може да решава системи с по-високи измерения.

коментар:Ако се окаже, че , но не може да се раздели на нула, тогава те казват, че системата няма уникално решение. В този случай системата или има безкрайно много решения, или изобщо няма решения.

Пример 2(безкраен брой решения):

Решете системата от уравнения:

по отношение на променливите хИ при.
Решение:
Нека намерим детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на системата:

Решаване на системи чрез метода на заместване.

Първото от уравненията на системата е равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите (тъй като 4 винаги е равно на 4). Това означава, че остава само едно уравнение. Това е уравнение за връзката между променливите.
Открихме, че решението на системата е всяка двойка стойности на променливи, свързани една с друга чрез равенството.
Общото решение ще бъде написано, както следва:
Конкретни решения могат да бъдат определени чрез избиране на произволна стойност на y и изчисляване на x от това равенство на връзката.

и т.н.
Има безкрайно много такива решения.
Отговор: общо решение
Частни решения:

Пример 3(няма решения, системата е несъвместима):

Решете системата от уравнения:

Решение:
Нека намерим детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на системата:

Формулите на Cramer не могат да се използват. Нека решим тази система, използвайки метода на заместване

Второто уравнение на системата е равенство, което не е вярно за никакви стойности на променливите (разбира се, тъй като -15 не е равно на 2). Ако едно от уравненията на системата не е вярно за никакви стойности на променливите, тогава цялата система няма решения.
Отговор:няма решения

Методи КрамерИ Гаус- един от най-популярните методи за решение СЛАУ. Освен това в някои случаи е препоръчително да се използват специфични методи. Сесията е близо и сега е моментът да ги повторите или овладеете от нулата. Днес ще разгледаме решението с помощта на метода на Cramer. В крайна сметка решението на системата линейни уравненияМетодът на Крамър е много полезно умение.

Системи линейни алгебрични уравнения

Система от линейни алгебрични уравнения е система от уравнения от вида:

Задаване на стойност х , при което уравненията на системата се превръщат в идентичности, се нарича решение на системата, а И b са реални коефициенти. Една проста система, състояща се от две уравнения с две неизвестни, може да бъде решена наум или чрез изразяване на една променлива по отношение на другата. Но може да има много повече от две променливи (xes) в SLAE и тук прости училищни манипулации не са достатъчни. Какво да правя? Например, решете SLAE с помощта на метода на Cramer!

И така, нека системата се състои от н уравнения с н неизвестен.

Такава система може да бъде пренаписана в матрична форма

Тук А – основната матрица на системата, х И б , съответно колонни матрици на неизвестни променливи и свободни членове.

Решаване на SLAE по метода на Cramer

Ако детерминантата на основната матрица не е равна на нула (матрицата е неособена), системата може да бъде решена с помощта на метода на Крамер.

Според метода на Крамер решението се намира по формулите:

Тук делта е детерминантата на основната матрица и делта х nth – детерминанта, получена от детерминантата на основната матрица чрез замяна на n-та колона с колона от свободни членове.

Това е цялата същност на метода Крамер. Заместване на стойностите, намерени с горните формули х в желаната система, ние сме убедени в правилността (или обратното) на нашето решение. За да ви помогнем да разберете по-бързо същината, нека дадем пример по-долу. подробно решение SLAE по метода на Крамер:

Дори и да не успеете от първия път, не се обезсърчавайте! С малко практика ще започнете да чупите SLAU като ядки. Освен това сега абсолютно не е необходимо да се занимавате с тетрадка, да решавате тромави изчисления и да записвате ядрото. Можете лесно да решите SLAE, като използвате метода на Cramer онлайн, просто като замените коефициентите в готовата форма. Опитай онлайн калкулаторРешения, използващи метода на Cramer, могат да бъдат намерени например на този уебсайт.

И ако системата се окаже упорита и не се предаде, винаги можете да се обърнете за помощ към нашите автори, например към. Ако има поне 100 неизвестни в системата, ние със сигурност ще го разрешим правилно и навреме!

Методът на Крамър се основава на използването на детерминанти при решаване на системи от линейни уравнения. Това значително ускорява процеса на решение.

Методът на Крамър може да се използва за решаване на система от толкова линейни уравнения, колкото неизвестни има във всяко уравнение. Ако детерминантата на системата не е равна на нула, тогава методът на Крамър може да се използва в решението, но ако е равна на нула, тогава не може. В допълнение, методът на Cramer може да се използва за решаване на системи от линейни уравнения, които имат уникално решение.

Определение. Детерминанта, съставена от коефициенти за неизвестни, се нарича детерминанта на системата и се обозначава (делта).

Детерминанти

се получават чрез заместване на коефициентите на съответните неизвестни със свободни членове:

;

Теорема на Крамър. Ако детерминантата на системата е различна от нула, тогава системата от линейни уравнения има едно единствено решение и неизвестното е равно на отношението на детерминантите. Знаменателят съдържа детерминантата на системата, а числителят съдържа детерминантата, получена от детерминантата на системата чрез заместване на коефициентите на това неизвестно със свободни членове. Тази теорема е валидна за система от линейни уравнения от произволен ред.

Пример 1.Решете система от линейни уравнения:

Според Теорема на Крамърние имаме:

И така, решението на система (2):

онлайн калкулатор, решителен методКрамер.

Три случая при решаване на системи от линейни уравнения

Както става ясно от Теорема на Крамър, при решаване на система от линейни уравнения могат да възникнат три случая:

Първи случай: система от линейни уравнения има уникално решение

(системата е последователна и категорична)

Втори случай: система от линейни уравнения има безкраен брой решения

(системата е последователна и несигурна)

** ,

тези. коефициентите на неизвестните и свободните членове са пропорционални.

Трети случай: системата от линейни уравнения няма решения

(системата е непоследователна)

Така че системата млинейни уравнения с ннаречени променливи неставни, ако тя няма нито едно решение, и става, ако има поне едно решение. Нарича се едновременна система от уравнения, която има само едно решение определени, и повече от един – несигурен.

Примери за решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер

Нека се даде системата

Въз основа на теоремата на Крамър

………….
,

Където
-

системна детерминанта. Получаваме останалите детерминанти, като заменяме колоната с коефициентите на съответната променлива (неизвестна) със свободни условия:

Пример 2.

Следователно системата е категорична. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите

Използвайки формулите на Cramer намираме:

И така, (1; 0; -1) е единственото решение на системата.

За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатор, като използвате метода за решаване на Cramer.

Ако в система от линейни уравнения няма променливи в едно или повече уравнения, то в детерминантата съответните елементи са равни на нула! Това е следващият пример.

Пример 3.Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер:

Решение. Намираме детерминантата на системата:

Разгледайте внимателно системата от уравнения и детерминантата на системата и повторете отговора на въпроса в кои случаи един или повече елементи от детерминантата са равни на нула. И така, детерминантата не е равна на нула, следователно системата е определена. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите за неизвестните

Използвайки формулите на Cramer намираме:

И така, решението на системата е (2; -1; 1).

Най-горе на страницата

Продължаваме заедно да решаваме системи, използвайки метода на Cramer

Както вече споменахме, ако детерминантата на системата е равна на нула, а детерминантите на неизвестните не са равни на нула, системата е непоследователна, тоест няма решения. Нека илюстрираме със следния пример.

Пример 6.Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер:

Решение. Намираме детерминантата на системата:

Детерминантата на системата е равна на нула, следователно системата от линейни уравнения е или непоследователна и определена, или непоследователна, т.е. няма решения. За да изясним, ние изчисляваме детерминанти за неизвестни

Детерминантите на неизвестните не са равни на нула, следователно системата е непоследователна, тоест няма решения.

При задачи, включващи системи от линейни уравнения, има и такива, в които освен букви, обозначаващи променливи, има и други букви. Тези букви представляват число, най-често реално. На практика задачите за търсене водят до такива уравнения и системи от уравнения общи свойствавсякакви явления или предмети. Тоест измислили ли сте някакви нов материалили устройство и за да опишете свойствата му, които са общи, независимо от размера или броя на екземпляра, трябва да решите система от линейни уравнения, където вместо някои коефициенти за променливи има букви. Не е нужно да търсите далеч за примери.

Следващият пример е за подобен проблем, само че броят на уравненията, променливите и буквите, обозначаващи определено реално число, се увеличава.

Пример 8.Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер:

Решение. Намираме детерминантата на системата:

Намиране на детерминанти за неизвестни

Да разгледаме система от 3 уравнения с три неизвестни

Използвайки детерминанти от 3-ти ред, решението на такава система може да бъде написано в същата форма като за система от две уравнения, т.е.

(2.4)

ако 0. Тук

Там е Правилото на Крамър решаване на система от три линейни уравнения с три неизвестни.

Пример 2.3.Решете система от линейни уравнения, като използвате правилото на Крамър:

Решение . Намиране на детерминантата на основната матрица на системата

Тъй като 0, тогава, за да намерим решение на системата, можем да приложим правилото на Крамър, но първо изчисляваме още три детерминанти:

Преглед:

Следователно решението е намерено правилно. 

Правилата на Крамер, получени за линейни системи 2-ри и 3-ти ред предполагат, че същите правила могат да бъдат формулирани за линейни системи от всякакъв ред. Наистина се случва

Теорема на Крамър. Квадратна система от линейни уравнения с ненулев детерминант на основната матрица на системата (0) има едно и само едно решение и това решение се изчислява с помощта на формулите

(2.5)

Където  – детерминанта на основната матрица,  i – матрична детерминанта, получен от основния, заместващith колона колона от безплатни членове.

Имайте предвид, че ако =0, тогава правилото на Крамър не се прилага. Това означава, че системата или изобщо няма решения, или има безкрайно много решения.

След като формулирахме теоремата на Крамър, естествено възниква въпросът за изчисляване на детерминанти от по-високи порядъци.

2.4. Детерминанти от n-ти ред

Допълнителен минор М ijелемент а ijе детерминанта, получена от дадено чрез изтриване iти ред и йта колона. Алгебрично допълнение А ijелемент а ijсе нарича минорът на този елемент, взет със знака (–1). i + й, т.е. А ij = (–1) i + й М ij .

Например, нека намерим минорите и алгебричните допълнения на елементите а 23 и а 31 квалификации

Получаваме



Използвайки понятието алгебрично допълнение, можем да формулираме теорема за детерминантно разширениен-ти ред по ред или колона.

Теорема 2.1. Матрична детерминантаАе равно на сумата от произведенията на всички елементи на определен ред (или колона) от техните алгебрични допълнения:

(2.6)

Тази теорема е в основата на един от основните методи за изчисляване на детерминанти, т.нар. метод за намаляване на поръчката. В резултат на разширяването на определителя нред над всеки ред или колона, получаваме n детерминанти ( н–1)-ти ред. За да имате по-малко такива детерминанти, препоръчително е да изберете реда или колоната, които имат най-много нули. На практика формулата за разширяване на детерминантата обикновено се записва като:

тези. алгебричните допълнения се записват изрично в термините на минори.

Примери 2.4.Изчислете детерминантите, като първо ги сортирате в някакъв ред или колона. Обикновено в такива случаи изберете колоната или реда с най-много нули. Избраният ред или колона ще бъдат обозначени със стрелка.



2.5. Основни свойства на детерминантите

Разширявайки детерминантата върху всеки ред или колона, получаваме n детерминанти ( н–1)-ти ред. Тогава всяка от тези детерминанти ( н–1)-ти ред също може да се разложи на сума от детерминанти ( н–2) ред. Продължавайки този процес, може да се стигне до детерминантите от 1-ви ред, т.е. към елементите на матрицата, чиято детерминанта се изчислява. И така, за да изчислите детерминанти от 2-ри ред, ще трябва да изчислите сумата от два члена, за детерминанти от 3-ти ред - сумата от 6 члена, за детерминанти от 4-ти ред - 24 члена. Броят на членовете ще се увеличи рязко с увеличаване на реда на детерминантата. Това означава, че изчисляването на детерминанти от много висок порядък се превръща в доста трудоемка задача, която не е по силите дори на компютър. Детерминантите обаче могат да бъдат изчислени по друг начин, като се използват свойствата на детерминантите.

Имот 1 . Детерминантата няма да се промени, ако редовете и колоните в нея се разменят, т.е. при транспониране на матрица:

Това свойство показва равенството на редовете и колоните на детерминантата. С други думи, всяко твърдение за колоните на детерминанта е вярно и за неговите редове и обратно.

Имот 2 . Детерминантата променя знака си, когато два реда (колони) се разменят.

Последица . Ако детерминантата има два еднакви реда (колони), тогава тя е равна на нула.

Имот 3 . Общият фактор на всички елементи във всеки ред (колона) може да бъде изваден от детерминантния знак.

Например,

Последица . Ако всички елементи на определен ред (колона) на детерминанта са равни на нула, то самата детерминанта е равна на нула.

Имот 4 . Детерминантата няма да се промени, ако елементите на един ред (колона) се добавят към елементите на друг ред (колона), умножени по произволно число.

Например,

Имот 5 . Детерминантата на произведението на матриците е равна на произведението на детерминантите на матриците:

Нека системата от линейни уравнения съдържа толкова уравнения, колкото е броят на независимите променливи, т.е. изглежда като

Такива системи от линейни уравнения се наричат квадратни. Детерминантата, съставена от коефициенти за независимите променливи на системата (1.5), се нарича основна детерминанта на системата. Ще го обозначим с гръцката буква D. Така,

. (1.6)

Ако основната детерминанта съдържа произволен ( й th) колона, заменете с колона с безплатни условия на системата (1.5), тогава можете да получите нспомагателни квалификатори:

(й = 1, 2, …, н). (1.7)

Правилото на Крамъррешаването на квадратни системи от линейни уравнения е както следва. Ако основната детерминанта D на система (1.5) е различна от нула, тогава системата има уникално решение, което може да се намери с помощта на формулите:

(1.8)

Пример 1.5.Решете системата от уравнения по метода на Крамер

Нека изчислим основната детерминанта на системата:

Тъй като D¹0, системата има уникално решение, което може да се намери с помощта на формули (1.8):

По този начин,

Действия върху матрици

1. Умножение на матрица по число.Операцията за умножаване на матрица по число се дефинира по следния начин.

2. За да умножите една матрица по число, трябва да умножите всички нейни елементи по това число. Това е

. (1.9)

Пример 1.6. .

Събиране на матрица.

Тази операция се въвежда само за матрици от същия ред.

За да се съберат две матрици, е необходимо към елементите на една матрица да се добавят съответните елементи от друга матрица:

(1.10)
Операцията на събиране на матрици има свойствата на асоциативност и комутативност.

Пример 1.7. .

Матрично умножение.

Ако броят на колоните на матрицата Асъвпада с броя на редовете на матрицата IN, тогава за такива матрици се въвежда операцията за умножение:

Така при умножаване на матрица Аразмери м´ нкъм матрицата INразмери н´ кполучаваме матрица СЪСразмери м´ к. В този случай матричните елементи СЪСизчислено от следните формули:

Задача 1.8.Намерете, ако е възможно, произведението на матриците ABИ Б.А.:

Решение. 1) За да си намеря работа AB, имате нужда от матрични редове Аумножете по матрични колони б:

2) Работа Б.А.не съществува, тъй като броят на колоните на матрицата бне съвпада с броя на редовете на матрицата А.

Обратна матрица. Решаване на системи от линейни уравнения по матричния метод

Матрица а- 1 се нарича обратна на квадратна матрица А, ако е спазено равенството:

къде през азобозначава матрицата на идентичност от същия ред като матрицата А:

За да има обратна квадратна матрица, е необходимо и достатъчно нейната детерминанта да е различна от нула. Обратната матрица се намира по формулата:

, (1.13)

Където A ij- алгебрични добавки към елементите a ijматрици А(обърнете внимание, че алгебричните добавки към матричните редове Аса разположени в обратната матрица под формата на съответни колони).

Пример 1.9.Намерете обратната матрица а- 1 към матрицата

Намираме обратната матрица с помощта на формула (1.13), която за случая н= 3 има формата:

Да намерим дет А = | А| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Тъй като детерминантата на оригиналната матрица е различна от нула, обратната матрица съществува.

1) Намерете алгебрични допълнения A ij:

За по-лесно местоположение обратна матрица, поставихме алгебричните добавки към редовете на оригиналната матрица в съответните колони.

От получените алгебрични добавки съставяме нова матрица и я разделяме на детерминантата det А. Така получаваме обратната матрица:

Квадратни системи от линейни уравнения с ненулева главна детерминанта могат да бъдат решени с помощта на обратната матрица. За целта системата (1.5) се записва в матрична форма:

Където

Умножаване на двете страни на равенството (1.14) отляво по а- 1, получаваме решението на системата:

, където

По този начин, за да намерите решение на квадратна система, трябва да намерите обратната матрица на основната матрица на системата и да я умножите вдясно по матрицата на колоната на свободните членове.

Задача 1.10.Решете система от линейни уравнения

с помощта на обратната матрица.

Решение.Нека запишем системата в матрична форма: ,

Където - основната матрица на системата, - колоната на неизвестните и - колоната на свободните членове. Тъй като основната детерминанта на системата , след това основната матрица на системата Аима обратна матрица А-1 . За намиране на обратната матрица А-1 , изчисляваме алгебричните допълнения към всички елементи на матрицата А:

От получените числа ще съставим матрица (и алгебрични добавки към редовете на матрицата Анапишете го в съответните колони) и го разделете на детерминанта D. Така намерихме обратната матрица:

Намираме решението на системата по формула (1.15):

По този начин,

Решаване на системи от линейни уравнения с помощта на обикновения елиминационен метод на Йордан

Нека е дадена произволна (не непременно квадратна) система от линейни уравнения:

(1.16)

Изисква се да се намери решение на системата, т.е. такъв набор от променливи, който удовлетворява всички равенства на системата (1.16). В общия случай системата (1.16) може да има не само едно решение, но и безброй решения. Може също да няма никакви решения.

При решаването на такива проблеми се използва добре познатият в училище метод за елиминиране на неизвестни, който също се нарича обикновен метод за елиминиране на Йордан. Същността този методсе крие във факта, че в едно от уравненията на системата (1.16) една от променливите е изразена чрез други променливи. След това тази променлива се замества в други уравнения в системата. Резултатът е система, съдържаща едно уравнение и една променлива по-малко от оригиналната система. Запомня се уравнението, от което е изразена променливата.

Този процес се повтаря, докато в системата остане едно последно уравнение. Чрез процеса на елиминиране на неизвестни някои уравнения могат да станат истински идентичности, напр. Такива уравнения са изключени от системата, тъй като те са изпълнени за всякакви стойности на променливите и следователно не влияят на решението на системата. Ако в процеса на елиминиране на неизвестни поне едно уравнение се превърне в равенство, което не може да бъде изпълнено за никакви стойности на променливите (например), тогава заключаваме, че системата няма решение.

Ако по време на решението не възникнат противоречиви уравнения, тогава една от останалите променливи в него се намира от последното уравнение. Ако в последното уравнение е останала само една променлива, тя се изразява като число. Ако в последното уравнение останат други променливи, тогава те се считат за параметри и променливата, изразена чрез тях, ще бъде функция на тези параметри. След това се извършва така нареченото „обратно движение“. Намерената променлива се замества в последното запомнено уравнение и се намира втората променлива. След това двете намерени променливи се заместват в предпоследното запомнено уравнение и се намира третата променлива и така нататък до първото запаметено уравнение.

В резултат на това получаваме решение на системата. Това решение ще бъде уникално, ако намерените променливи са числа. Ако първата намерена променлива, а след това всички останали, зависят от параметрите, тогава системата ще има безкраен брой решения (всеки набор от параметри съответства на ново решение). Формулите, които ви позволяват да намерите решение на система в зависимост от определен набор от параметри, се наричат общо решение на системата.

Пример 1.11.

След като запомних първото уравнение и добавяйки подобни членове във второто и третото уравнение, стигаме до системата:

Да изразим гот второто уравнение и го заместете в първото уравнение:

Нека си спомним второто уравнение и от първото намираме z:

Работейки назад, ние постоянно намираме гИ z. За да направим това, първо заместваме в последното запомнено уравнение, откъдето намираме г:

След това ще го заместим в първото запомнено уравнение където можем да го намерим х:

Задача 1.12.Решете система от линейни уравнения, като елиминирате неизвестните:

. (1.17)

Решение.Нека изразим променливата от първото уравнение хи го заместете във второто и третото уравнения:

Нека си припомним първото уравнение

В тази система първото и второто уравнения си противоречат. Наистина, изразяване г , получаваме, че 14 = 17. Това равенство не е валидно за никакви стойности на променливите х, г, И z. Следователно системата (1.17) е непоследователна, т.е. няма решение.

Каним читателите сами да проверят, че основната детерминанта на оригиналната система (1.17) е равна на нула.

Нека разгледаме система, която се различава от системата (1.17) само с един свободен член.

Задача 1.13.Решете система от линейни уравнения, като елиминирате неизвестните:

. (1.18)

Решение.Както преди, изразяваме променливата от първото уравнение хи го заместете във второто и третото уравнения:

Нека си припомним първото уравнение и представя подобни членове във второто и третото уравнения. Стигаме до системата:

Изразяване гот първото уравнение и заместването му във второто уравнение , получаваме идентичността 14 = 14, която не засяга решението на системата и следователно може да бъде изключена от системата.

В последното запомнено равенство, променливата zще го считаме за параметър. Ние вярваме. Тогава

Да заместим гИ zв първото запомнено равенство и намерете х:

Така системата (1.18) има безкраен брой решения и всяко решение може да се намери с помощта на формули (1.19), като се избере произволна стойност на параметъра T:

(1.19)
Така че решенията на системата, например, са следните набори от променливи (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т.н. Формулите (1.19) изразяват общото (всяко) решение на системата (1.18 ).

В случай, че оригиналната система (1.16) има достатъчно голям бройуравнения и неизвестни, посоченият метод за обикновено елиминиране на Йордан изглежда тромав. Обаче не е така. Достатъчно е да се изведе алгоритъм за преизчисляване на системните коефициенти на една стъпка в общ изгледи формулирайте решението на проблема под формата на специални йорданови таблици.

Нека е дадена система от линейни форми (уравнения):

, (1.20)
Където x j- независими (търсени) променливи, a ij- постоянни коефициенти
(аз = 1, 2,…, м; й = 1, 2,…, н). Десните части на системата y i (аз = 1, 2,…, м) могат да бъдат променливи (зависими) или константи. Изисква се да се намерят решения на тази система чрез елиминиране на неизвестните.

Нека разгледаме следната операция, наричана оттук нататък „една стъпка от обикновени елиминации на Джордан“. От произволен ( r th) равенство изразяваме произволна променлива ( xs) и заменете във всички други равенства. Разбира се, това е възможно само ако a rs№ 0. Коеф a rsнаричан разрешаващ (понякога ръководен или основен) елемент.

Ще получим следната система:

. (1.21)

от с- равенство на системата (1.21), впоследствие намираме променливата xs(след като бъдат намерени останалите променливи). С-тият ред се запомня и впоследствие се изключва от системата. Останалата система ще съдържа едно уравнение и една по-малко независима променлива от оригиналната система.

Нека изчислим коефициентите на получената система (1.21) чрез коефициентите на първоначалната система (1.20). Да започнем с rто уравнение, което след изразяване на променливата xsчрез останалите променливи ще изглежда така:

Така новите коеф rуравненията се изчисляват по следните формули:

(1.23)
Нека сега изчислим новите коефициенти b ij(i¹ r) на произволно уравнение. За да направим това, нека заместим променливата, изразена в (1.22) xs V iтото уравнение на системата (1.20):

След привеждане на подобни термини получаваме:

(1.24)
От равенството (1.24) получаваме формули, по които се изчисляват останалите коефициенти на системата (1.21) (с изключение на rто уравнение):

(1.25)
Преобразуването на системи от линейни уравнения по метода на обикновеното елиминиране на Йордан е представено под формата на таблици (матрици). Тези таблици се наричат „Йордански таблици“.

Така проблемът (1.20) е свързан със следната таблица на Йордан:

Таблица 1.1

	х 1	х 2	…	x j	…	xs	…	x n
г 1 =	а 11	а 12		а 1й		а 1с		а 1н
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		a ij		а е		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		арн
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		една мс		мн

Таблица 1.1 на Jordan съдържа лява заглавна колона, в която са записани десните части на системата (1.20), и горен заглавен ред, в който са записани независими променливи.

Останалите елементи на таблицата образуват основната матрица на коефициентите на системата (1.20). Ако умножите матрицата Акъм матрицата, състояща се от елементите на горния заглавен ред, получавате матрица, състояща се от елементите на лявата заглавна колона. Това означава, че по същество таблицата на Йордания е матрична форма на запис на система от линейни уравнения: . Система (1.21) съответства на следната таблица на Йордан:

Таблица 1.2

	х 1	х 2	…	x j	…	y r	…	x n
г 1 =	b 11	b 12		b 1 й		b 1 с		b 1 н
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b е		б в
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		bms		б мн

Разрешителен елемент a rs Ще ги подчертаем с удебелен шрифт. Спомнете си, че за да се приложи една стъпка на елиминиране на Jordan, разделящият елемент трябва да е различен от нула. Редът на таблицата, съдържащ разрешаващия елемент, се нарича разрешаващ ред. Колоната, съдържаща елемента за активиране, се нарича колона за активиране. При преминаване от дадена таблица към следващата таблица, една променлива ( xs) от горния заглавен ред на таблицата се премества в лявата заглавна колона и, обратно, един от свободните членове на системата ( y r) се премества от лявата заглавна колона на таблицата към горния заглавен ред.

Нека опишем алгоритъма за преизчисляване на коефициентите при преминаване от таблицата на Йордан (1.1) към таблицата (1.2), което следва от формули (1.23) и (1.25).

1. Резолвиращият елемент се заменя с обратното число:

2. Останалите елементи на разрешаващия низ се разделят на разрешаващия елемент и променят знака на противоположния:

3. Останалите елементи от колоната за разделителна способност са разделени на елемент за разделителна способност:

4. Елементите, които не са включени в разрешаващия ред и разрешаващата колона, се преизчисляват по формулите:

Последната формула е лесна за запомняне, ако забележите, че елементите, които съставят фракцията , са на кръстовището i- о и rредове и йта и с th колони (разрешаващ ред, разрешаваща колона и реда и колоната, в пресечната точка на които се намира преизчисленият елемент). По-точно при запаметяване на формулата можете да използвате следната диаграма:

-21 -26 -13 -37

Когато изпълнявате първата стъпка от изключенията на Jordan, можете да изберете всеки елемент от Таблица 1.3, разположен в колоните, като разрешаващ елемент х 1 ,…, х 5 (всички посочени елементи не са нула). Просто не избирайте активиращия елемент в последната колона, защото трябва да намерите независими променливи х 1 ,…, х 5. Например, ние избираме коефициента 1 с променлива х 3 в третия ред на таблица 1.3 (разрешаващият елемент е показан с удебелен шрифт). При преминаване към таблица 1.4, променливата х 3 от горния заглавен ред се заменя с константата 0 от лявата заглавна колона (трети ред). В този случай променливата х 3 се изразява чрез останалите променливи.

низ х 3 (Таблица 1.4) може, след предварително запомняне, да бъде изключен от Таблица 1.4. Третата колона с нула в горния заглавен ред също е изключена от таблица 1.4. Въпросът е, че независимо от коефициентите на дадена колона b i 3 всички съответстващи членове на всяко уравнение 0 b i 3 системи ще бъдат равни на нула. Следователно не е необходимо тези коефициенти да се изчисляват. Елиминиране на една променлива х 3 и запомняйки едно от уравненията, стигаме до система, съответстваща на таблица 1.4 (със зачертана линия х 3). Избиране в таблица 1.4 като разрешаващ елемент b 14 = -5, отидете на таблица 1.5. В таблица 1.5 запомнете първия ред и го изключете от таблицата заедно с четвъртата колона (с нула в горната част).

Таблица 1.5 Таблица 1.6

От последната таблица 1.7 намираме: х 1 = - 3 + 2х 5 .

Последователно замествайки вече намерените променливи в запомнените редове, намираме останалите променливи:

Така системата има безкрайно много решения. Променлива х 5, могат да се задават произволни стойности. Тази променлива действа като параметър х 5 = t. Доказахме съвместимостта на системата и намерихме нейното общо решение:

х 1 = - 3 + 2T

х 2 = - 1 - 3T

х 3 = - 2 + 4T . (1.27)
х 4 = 4 + 5T

х 5 = T

Даващ параметър Tразлични стойности, ще получим безкраен брой решения на оригиналната система. Така, например, решението на системата е следният набор от променливи (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Подобни статии: