Примери за обратна матрица от трети ред с решение. обратна матрица

Намерете дефиницията на всяка матрица 2x2.Всеки елемент от всяка матрица, включително транспонираната, е свързан със съответна матрица 2x2. За да намерите матрица 2x2, която отговаря на определен елемент, задраскайте реда и колоната, в които се намира дадения елемент, тоест трябва да зачеркнете пет елемента от оригиналната матрица 3x3. Четири елемента ще останат незачертани, които са елементи от съответната матрица 2x2.

• Например, за да намерите матрица 2x2 за елемента, който се намира в пресечната точка на втория ред и първата колона, зачеркнете петте елемента, които са във втория ред и първата колона. Останалите четири елемента са елементи от съответната матрица 2x2.
• Намерете детерминантата на всяка матрица 2x2. За да направите това, извадете произведението на елементите на вторичния диагонал от продукта на елементите на главния диагонал (вижте фигурата).
• Подробна информация за матрици 2x2, съответстващи на конкретни елементи от матрица 3x3, можете да намерите в Интернет.

Създайте кофакторна матрица.Запишете резултатите, получени по-рано, под формата на нова кофакторна матрица. За да направите това, запишете намерената детерминанта на всяка матрица 2x2, където се намира съответният елемент от матрицата 3x3. Например, ако обмисляте матрица 2x2 за елемент (1,1), запишете детерминантата му в позиция (1,1). След това сменете знаците на съответните елементи по определена схема, която е показана на фигурата.

• Схема за промяна на знаците: знакът на първия елемент от първия ред не се променя; знакът на втория елемент от първия ред е обърнат; знакът на третия елемент от първия ред не се променя и така нататък ред по ред. Моля, имайте предвид, че знаците „+“ и „-“, които са показани на диаграмата (вижте фигурата), не означават, че съответният елемент ще бъде положителен или отрицателен. IN в такъв случайзнакът “+” показва, че знакът на елемента не се променя, а знакът “-” показва промяна в знака на елемента.
• Подробна информация за кофакторните матрици може да се намери в Интернет.
• По този начин ще намерите присъединената матрица на оригиналната матрица. Понякога се нарича комплексно спрегната матрица. Такава матрица се обозначава като adj(M).

Разделете всеки елемент от присъединената матрица на неговия детерминант.Детерминантата на матрицата M беше изчислена в самото начало, за да се провери съществуването на обратната матрица. Сега разделете всеки елемент от присъединената матрица на този детерминант. Запишете резултата от всяка операция деление, където се намира съответният елемент. По този начин ще намерите матрицата, обратна на оригиналната.

• Детерминантата на матрицата, която е показана на фигурата, е 1. По този начин тук присъединената матрица е обратната матрица (защото, когато което и да е число е разделено на 1, то не се променя).
• В някои източници операцията деление се заменя с операцията умножение по 1/det(M). Крайният резултат обаче не се променя.

Напишете обратната матрица.Запишете елементите, разположени в дясната половина на голямата матрица, като отделна матрица, която е обратната матрица.

Въведете оригиналната матрица в паметта на калкулатора.За да направите това, щракнете върху бутона Матрица, ако е наличен. За калкулатор на Texas Instruments може да се наложи да натиснете бутоните 2nd и Matrix.

Изберете менюто Редактиране.Направете това с помощта на бутоните със стрелки или съответния функционален бутон, разположен в горната част на клавиатурата на калкулатора (местоположението на бутона варира в зависимост от модела на калкулатора).

Въведете нотацията на матрицата.Повечето графични калкулатори могат да работят с 3-10 матрици, които могат да бъдат обозначени букви A-J. Обикновено просто изберете [A], за да обозначите оригиналната матрица. След това натиснете бутона Enter.

Въведете размера на матрицата.Тази статия говори за 3x3 матрици. Но графичните калкулатори могат да работят с матрици големи размери. Въведете броя на редовете, натиснете Enter, след това въведете броя на колоните и натиснете Enter отново.

Въведете всеки матричен елемент.На екрана на калкулатора ще се покаже матрица. Ако преди това сте въвели матрица в калкулатора, тя ще се появи на екрана. Курсорът ще маркира първия елемент от матрицата. Въведете стойността за първия елемент и натиснете Enter. Курсорът автоматично ще се премести до следващия матричен елемент.

Начини за намиране обратна матрица, . Помислете за квадратна матрица

Нека означим Δ =det A.

Квадратната матрица A се нарича неизроден,или не особено, ако неговата детерминанта е различна от нула, и изроден,или специален, АкоΔ = 0.

Квадратна матрица B е за квадратна матрица A от същия ред, ако техният продукт е A B = B A = E, където E е матрицата на идентичност от същия ред като матриците A и B.

Теорема . За да има матрица А обратна матрица е необходимо и достатъчно нейната детерминанта да е различна от нула.

Обратната матрица на матрица A, означена с A- 1, така че B = A - 1 и се изчислява по формулата

, (1)

където A i j са алгебрични добавки на елементите a i j на матрицата A..

Изчисляването на A -1 с помощта на формула (1) за матрици от висок ред е много трудоемко, така че на практика е удобно да се намери A -1 с помощта на метода на елементарните трансформации (ET). Всяка неособена матрица A може да бъде редуцирана до матрицата за идентичност E чрез прилагане само на колоните (или само редовете) към матрицата за идентичност. Ако трансформациите, перфектни над матрицата A, се прилагат в същия ред към матрицата за идентичност E, резултатът ще бъде обратна матрица. Удобно е да се извърши EP върху матрици A и E едновременно, като се напишат двете матрици една до друга през линия. Нека отбележим още веднъж, че когато търсите каноничната форма на матрица, за да я намерите, можете да използвате трансформации на редове и колони. Ако трябва да намерите обратното на матрица, трябва да използвате само редове или само колони по време на процеса на трансформация.

Пример 2.10. За матрица намерете A -1 .

Решение.Първо намираме детерминантата на матрица А
Това означава, че обратната матрица съществува и можем да я намерим по формулата: , където A i j (i,j=1,2,3) са алгебрични добавки на елементи a i j от оригиналната матрица.

Където .

Пример 2.11. Използвайки метода на елементарните трансформации, намерете A -1 за матрицата: A = .

Решение.Присвояваме на оригиналната матрица отдясно матрица на идентичност от същия ред: . Използвайки елементарни трансформации на колоните, ще намалим лявата „половина“ до идентичността, като едновременно с това извършваме точно същите трансформации на дясната матрица.
За да направите това, разменете първата и втората колона: ~ . Към третата колона добавяме първата, а към втората - първата, умножена по -2: . От първата колона изваждаме втората удвоена, а от третата - втората, умножена по 6; . Нека добавим третата колона към първата и втората: . Умножете последната колона по -1: . Квадратната матрица, получена вдясно от вертикалната лента, е обратната матрица на дадената матрица A. И така,
.

За всяка неособена матрица A съществува уникална матрица A -1 такава, че

A*A -1 =A -1 *A = E,

където E е матрицата на идентичност от същия ред като A. Матрицата A -1 се нарича обратна на матрица A.

Ако някой е забравил, в матрицата за идентичност, с изключение на диагонала, запълнен с единици, всички останали позиции са запълнени с нули, пример за матрица за идентичност:

Намиране на обратната матрица чрез метода на присъединената матрица

Обратната матрица се определя от формулата:

където A ij - елементи a ij.

Тези. За да изчислите обратната матрица, трябва да изчислите детерминантата на тази матрица. След това намерете алгебричните допълнения за всички негови елементи и съставете нова матрица от тях. След това трябва да транспортирате тази матрица. И разделяме всеки елемент от новата матрица на детерминантата на оригиналната матрица.

Нека да разгледаме няколко примера.

Намерете A -1 за матрица

Решение Нека намерим A -1, като използваме метода на свързаната матрица. Имаме det A = 2. Нека намерим алгебричните допълнения на елементите на матрицата A. В този случай алгебричните допълнения на матричните елементи ще бъдат съответните елементи на самата матрица, взети със знак в съответствие с формулата

Имаме A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Формираме присъединената матрица

Транспортираме матрицата A*:

Намираме обратната матрица по формулата:

Получаваме:

Използвайки метода на свързаната матрица, намерете A -1 if

Решение Първо, изчисляваме дефиницията на тази матрица, за да проверим съществуването на обратната матрица. Ние имаме

Тук добавихме към елементите от втория ред елементите от третия ред, преди това умножени по (-1), и след това разширихме детерминантата за втория ред. Тъй като дефиницията на тази матрица е ненулева, съществува нейната обратна матрица. За да построим присъединената матрица, намираме алгебричните допълнения на елементите на тази матрица. Ние имаме

Според формулата

транспортна матрица A*:

След това по формулата

Намиране на обратната матрица чрез метода на елементарните трансформации

В допълнение към метода за намиране на обратната матрица, който следва от формулата (методът на присъединената матрица), съществува метод за намиране на обратната матрица, наречен метод на елементарни трансформации.

Елементарни матрични трансформации

Следните трансформации се наричат ​​елементарни матрични трансформации:

1) пренареждане на редове (колони);

2) умножаване на ред (колона) с число, различно от нула;

3) добавяне към елементите на ред (колона) на съответните елементи на друг ред (колона), предварително умножени по определено число.

За да намерим матрицата A -1, ние конструираме правоъгълна матрица B = (A|E) от поръчки (n; 2n), присвоявайки на матрица A отдясно матрицата на идентичност E през разделителна линия:

Нека разгледаме един пример.

Използвайки метода на елементарните трансформации, намерете A -1 if

Решение Формираме матрица B:

Нека означим редовете на матрицата B с α 1, α 2, α 3. Нека извършим следните трансформации върху редовете на матрица B.

Тази тема е една от най-омразните сред студентите. По-лоши вероятно са квалификациите.

Номерът е, че самата концепция за обратен елемент (и не говоря само за матрици) ни препраща към операцията умножение. Дори в училищна програмаумножение брои сложна операция, а матричното умножение е съвсем отделна тема, на която имам посветен цял параграф и видео урок.

Днес няма да навлизаме в детайлите на матричните изчисления. Нека само да си припомним: как се обозначават матриците, как се умножават и какво следва от това.

Преглед: Матрично умножение

Първо, нека се споразумеем за нотацията. Матрица $A$ с размер $\left[ m\times n \right]$ е просто таблица с числа с точно $m$ реда и $n$ колони:

\=\под скоба(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]

За да избегнете случайно смесване на редове и колони (повярвайте ми, на изпит можете да объркате единица с двойка, да не говорим за няколко реда), просто погледнете снимката:

Какво се случва? Ако поставите стандартната координатна система $OXY$ в горния ляв ъгъл и насочите осите така, че да покриват цялата матрица, тогава всяка клетка от тази матрица може да бъде уникално свързана с координати $\left(x;y \right)$ - това ще бъде номера на реда и номера на колоната.

Защо координатната система е поставена в горния ляв ъгъл? Да, защото именно оттам започваме да четем всякакви текстове. Много лесно се запомня.

Защо оста $x$ е насочена надолу, а не надясно? Отново е просто: вземете стандартна координатна система (оста $x$ върви надясно, оста $y$ върви нагоре) и я завъртете така, че да покрие матрицата. Това е завъртане на 90 градуса по часовниковата стрелка - виждаме резултата на снимката.

Като цяло разбрахме как да определим индексите на матричните елементи. Сега нека да разгледаме умножението.

Определение. Матриците $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, когато броят на колоните в първата съвпада с броя на редовете във втората, са наречена последователна.

Точно в този ред. Човек може да се обърка и да каже, че матриците $A$ и $B$ образуват подредена двойка $\left(A;B \right)$: ако те са последователни в този ред, тогава изобщо не е необходимо $B $ и $A$ тези. двойката $\left(B;A \right)$ също е последователна.

Могат да се умножават само съответстващи матрици.

Определение. Произведението на съвпадащите матрици $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$ е новата матрица $C=\left[ m\times k \right ]$, чиито елементи $((c)_(ij))$ се изчисляват по формулата:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

С други думи: за да получите елемента $((c)_(ij))$ на матрицата $C=A\cdot B$, трябва да вземете $i$-реда на първата матрица, $j$ -та колона на втората матрица и след това умножете по двойки елементи от този ред и колона. Съберете резултатите.

Да, това е толкова сурово определение. От него веднага следват няколко факта:

1. Матричното умножение, най-общо казано, е некомутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Умножението обаче е асоциативно: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. И дори дистрибутивно: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. И още веднъж дистрибутивно: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Дистрибутивността на умножението трябваше да се опише отделно за левия и десния сумиращ фактор именно поради некомутативността на операцията за умножение.

Ако се окаже, че $A\cdot B=B\cdot A$, такива матрици се наричат ​​комутативни.

Сред всички матрици, които се умножават по нещо там, има специални - тези, които, когато се умножат по произволна матрица $A$, отново дават $A$:

Определение. Матрица $E$ се нарича идентичност, ако $A\cdot E=A$ или $E\cdot A=A$. В случай на квадратна матрица $A$ можем да запишем:

Идентификационната матрица е чест гост при решаването матрични уравнения. И като цяло, чест гост в света на матриците. :)

И заради това $E$ някой измисли всички глупости, които ще бъдат написани по-нататък.

Какво е обратна матрица

Тъй като умножението на матрици е много трудоемка операция (трябва да умножите куп редове и колони), концепцията за обратна матрица също се оказва не най-тривиалната. И изисква известно обяснение.

Ключова дефиниция

Е, време е да разберем истината.

Определение. Матрица $B$ се нарича обратна на матрица $A$, ако

Обратната матрица се обозначава с $((A)^(-1))$ (да не се бърка със степента!), така че определението може да бъде пренаписано, както следва:

Изглежда, че всичко е изключително просто и ясно. Но когато се анализира това определение, веднага възникват няколко въпроса:

1. Винаги ли съществува обратна матрица? И ако не винаги, тогава как да се определи: кога съществува и кога не?
2. И кой каза, че има точно една такава матрица? Ами ако за някаква начална матрица $A$ има цяла тълпа обратни?
3. Как изглеждат всички тези "обратни"? И как точно да ги броим?

Що се отнася до алгоритмите за изчисление, ще говорим за това малко по-късно. Но ние ще отговорим на останалите въпроси точно сега. Нека ги формулираме под формата на отделни твърдения-леми.

Основни свойства

Нека започнем с това как по принцип трябва да изглежда матрицата $A$, за да съществува $((A)^(-1))$ за нея. Сега ще се уверим, че и двете от тези матрици трябва да са квадратни и с еднакъв размер: $\left[ n\times n \right]$.

Лема 1. Дадена е матрица $A$ и нейната обратна $((A)^(-1))$. Тогава и двете от тези матрици са квадратни и от един и същи ред $n$.

Доказателство. Просто е. Нека матрицата $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Тъй като продуктът $A\cdot ((A)^(-1))=E$ съществува по дефиниция, матриците $A$ и $((A)^(-1))$ са последователни в показания ред:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( подравняване)\]

Това е пряко следствие от алгоритъма за умножение на матрици: коефициентите $n$ и $a$ са „транзитни“ и трябва да са равни.

В същото време е дефинирано и обратното умножение: $((A)^(-1))\cdot A=E$, следователно матриците $((A)^(-1))$ и $A$ са също в съответствие в посочения ред:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( подравняване)\]

Така, без загуба на общост, можем да приемем, че $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Въпреки това, според дефиницията на $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, следователно размерите на матриците стриктно съвпадат:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Така се оказва, че и трите матрици - $A$, $((A)^(-1))$ и $E$ - са квадратни матрици с размер $\left[ n\times n \right]$. Лемата е доказана.

Е, това вече е добре. Виждаме, че само квадратните матрици са обратими. Сега нека се уверим, че обратната матрица е винаги една и съща.

Лема 2. Дадена е матрица $A$ и нейната обратна $((A)^(-1))$. Тогава тази обратна матрица е единствената.

Доказателство. Нека приемем противното: нека матрицата $A$ има поне две обратни - $B$ и $C$. Тогава според дефиницията са верни следните равенства:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \край (подравняване)\]

От лема 1 заключаваме, че и четирите матрици - $A$, $B$, $C$ и $E$ - са квадрати от един и същи ред: $\left[ n\times n \right]$. Следователно продуктът се определя:

Тъй като матричното умножение е асоциативно (но не комутативно!), можем да напишем:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Стрелка надясно B=C. \\ \край (подравняване)\]

Получихме единствената възможен вариант: два екземпляра на обратната матрица са равни. Лемата е доказана.

Горните аргументи повтарят почти дословно доказателството за уникалността на обратния елемент за всички реални числа $b\ne 0$. Единственото съществено допълнение е вземането под внимание на размерността на матриците.

Все още обаче не знаем нищо за това дали всяка квадратна матрица е обратима. Тук на помощ ни идва една детерминанта – това ключова характеристиказа всички квадратни матрици.

Лема 3. Дадена е матрица $A$. Ако неговата обратна матрица $((A)^(-1))$ съществува, тогава детерминантата на оригиналната матрица е различна от нула:

\[\ляво| A\надясно|\ne 0\]

Доказателство. Вече знаем, че $A$ и $((A)^(-1))$ са квадратни матрици с размер $\left[ n\times n \right]$. Следователно за всеки от тях можем да изчислим детерминантата: $\left| A\right|$ и $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Детерминантата на продукт обаче е равна на произведението на детерминантите:

\[\ляво| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|\]

Но според дефиницията $A\cdot ((A)^(-1))=E$ и детерминантата на $E$ винаги е равна на 1, така че

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\надясно|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \край (подравняване)\]

Произведението на две числа е равно на единица само ако всяко от тези числа е различно от нула:

\[\ляво| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Така се оказва, че $\left| A \right|\ne 0$. Лемата е доказана.

Всъщност това изискване е съвсем логично. Сега ще анализираме алгоритъма за намиране на обратната матрица - и ще стане напълно ясно защо при нулев детерминант обратна матрица по принцип не може да съществува.

Но първо, нека формулираме „спомагателна“ дефиниция:

Определение. Сингулярна матрица е квадратна матрица с размер $\left[ n\times n \right]$, чиято детерминанта е нула.

По този начин можем да твърдим, че всяка обратима матрица е неособена.

Как да намерим обратното на матрица

Сега ще разгледаме универсален алгоритъм за намиране на обратни матрици. Като цяло има два общоприети алгоритъма и днес ще разгледаме втория.

Този, който ще бъде обсъден сега, е много ефективен за матрици с размер $\left[ 2\times 2 \right]$ и - частично - размер $\left[ 3\times 3 \right]$. Но като се започне от размера $\left[ 4\times 4 \right]$ е по-добре да не го използвате. Защо - сега ще разберете всичко сами.

Алгебрични допълнения

Приготви се. Сега ще има болка. Не, не се притеснявайте: красива медицинска сестра в пола, чорапи с дантела няма да дойде при вас и да ви инжектира в дупето. Всичко е много по-прозаично: алгебричните допълнения и нейно величество „Матрицата на съюза“ идват при вас.

Да започнем с основното. Нека има квадратна матрица с размер $A=\left[ n\times n \right]$, чиито елементи се наричат ​​$((a)_(ij))$. Тогава за всеки такъв елемент можем да дефинираме алгебрично допълнение:

Определение. Алгебрично допълнение $((A)_(ij))$ към елемента $((a)_(ij))$, разположен в $i$-тия ред и $j$-тата колона на матрицата $A=\left[ n \times n \right]$ е конструкция на формата

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Където $M_(ij)^(*)$ е детерминантата на матрицата, получена от оригиналния $A$ чрез изтриване на същия $i$-ти ред и $j$-та колона.

Отново. Алгебричното допълнение към матричен елемент с координати $\left(i;j \right)$ се означава като $((A)_(ij))$ и се изчислява по схемата:

1. Първо изтриваме $i$-ред и $j$-та колона от оригиналната матрица. Получаваме нова квадратна матрица и означаваме нейния детерминант като $M_(ij)^(*)$.
2. След това умножаваме този детерминант по $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - първоначално този израз може да изглежда умопомрачителен, но по същество ние просто измисляме знака пред $M_(ij)^(*) $.
3. Преброяваме и получаваме точно число. Тези. алгебричното събиране е именно число, а не някаква нова матрица и т.н.

Самата матрица $M_(ij)^(*)$ се нарича допълнителен минор към елемента $((a)_(ij))$. И в този смисъл горната дефиниция на алгебрично допълнение е частен случай на по-сложна дефиниция - това, което разгледахме в урока за детерминантата.

Важна забележка. Всъщност в математиката за „възрастни“ алгебричните добавки се дефинират по следния начин:

1. Вземаме $k$ реда и $k$ колони в квадратна матрица. При тяхното пресичане получаваме матрица с размер $\left[ k\times k \right]$ - нейният детерминант се нарича минор от порядък $k$ и се обозначава с $((M)_(k))$.
2. След това задраскваме тези „избрани“ $k$ реда и $k$ колони. Отново получавате квадратна матрица - нейният детерминант се нарича допълнителен минор и се обозначава $M_(k)^(*)$.
3. Умножете $M_(k)^(*)$ по $((\left(-1 \right))^(t))$, където $t$ е (внимание!) сумата от числата на всички избрани редове и колони. Това ще бъде алгебричното добавяне.

Вижте третата стъпка: всъщност има сума от $2k$ условия! Друго нещо е, че за $k=1$ ще получим само 2 члена - това ще бъдат същите $i+j$ - “координатите” на елемента $((a)_(ij))$, за който сме търси алгебрично допълнение.

Така че днес използваме леко опростена дефиниция. Но както ще видим по-късно, това ще бъде повече от достатъчно. Много по-важно е следното:

Определение. Свързаната матрица $S$ с квадратната матрица $A=\left[ n\times n \right]$ е нова матрица с размер $\left[ n\times n \right]$, която се получава от $A$ чрез заместване на $(( a)_(ij))$ с алгебрични добавки $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \right]\]

Първата мисъл, която възниква в момента на осъзнаване на това определение, е "колко ще трябва да се брои!" Спокойно: ще трябва да разчитате, но не толкова. :)

Е, всичко това е много хубаво, но защо е необходимо? Но защо.

Основна теорема

Да се ​​върнем малко назад. Спомнете си, в лема 3 беше заявено, че обратимата матрица $A$ винаги е неособена (т.е. нейният детерминант е различен от нула: $\left| A \right|\ne 0$).

Така че обратното също е вярно: ако матрицата $A$ не е сингулярна, тогава тя винаги е обратима. И дори има схема за търсене на $((A)^(-1))$. Виж това:

Теорема за обратната матрица. Нека е дадена квадратна матрица $A=\left[ n\times n \right]$ и нейният детерминант е различен от нула: $\left| A \right|\ne 0$. Тогава обратната матрица $((A)^(-1))$ съществува и се изчислява по формулата:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

И сега - всичко е същото, но с четлив почерк. За да намерите обратната матрица, трябва:

1. Изчислете детерминантата $\left| A \right|$ и се уверете, че е различно от нула.
2. Постройте обединителната матрица $S$, т.е. пребройте 100500 алгебрични добавки $((A)_(ij))$ и ги поставете на място $((a)_(ij))$.
3. Транспонирайте тази матрица $S$ и след това я умножете по някакво число $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Това е всичко! Намерена е обратната матрица $((A)^(-1))$. Нека да разгледаме примери:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

Решение. Да проверим обратимостта. Нека изчислим детерминантата:

\[\ляво| A\дясно|=\ляво| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Детерминантата е различна от нула. Това означава, че матрицата е обратима. Нека създадем обединителна матрица:

Нека изчислим алгебричните добавки:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\надясно|=3. \\ \край (подравняване)\]

Моля, обърнете внимание: детерминантите |2|, |5|, |1| и |3| са детерминанти на матрици с размер $\left[ 1\times 1 \right]$, а не модули. Тези. ако квалификаторите са включени отрицателни числа, няма нужда да премахвате „минуса“.

Общо нашата матрица на съюза изглежда така:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (масив)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\край (масив) \right]\]

Добре, всичко свърши. Проблемът е решен.

Отговор. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Задача. Намерете обратната матрица:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Решение. Отново изчисляваме детерминантата:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Детерминантата е различна от нула - матрицата е обратима. Но сега ще бъде наистина трудно: трябва да преброим цели 9 (девет, копеле!) алгебрични събирания. И всяка от тях ще съдържа детерминанта $\left[ 2\times 2 \right]$. Летя:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \край (матрица)\]

Накратко, матрицата на обединението ще изглежда така:

Следователно обратната матрица ще бъде:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(масив) \right]\]

Това е. Ето и отговора.

Отговор. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

Както можете да видите, в края на всеки пример извършихме проверка. В тази връзка важна забележка:

Не бъдете мързеливи, за да проверите. Умножете оригиналната матрица по намерената обратна матрица - трябва да получите $E$.

Извършването на тази проверка е много по-лесно и по-бързо, отколкото да търсите грешка в по-нататъшни изчисления, когато например решавате матрично уравнение.

Алтернативен начин

Както казах, теоремата за обратната матрица работи чудесно за размери $\left[ 2\times 2 \right]$ и $\left[ 3\times 3 \right]$ (в последният случай- вече не е толкова „прекрасно“), но за големите матрици започва тъгата.

Но не се притеснявайте: има алтернативен алгоритъм, с който можете спокойно да намерите обратното дори за матрицата $\left[ 10\times 10 \right]$. Но, както често се случва, за да разгледаме този алгоритъм, се нуждаем от малко теоретично въведение.

Елементарни трансформации

Сред всички възможни матрични трансформации има няколко специални - те се наричат ​​елементарни. Има точно три такива трансформации:

1. Умножение. Можете да вземете $i$-тия ред (колона) и да го умножите по произволно число $k\ne 0$;
2. Допълнение. Добавете към $i$-тия ред (колона) всеки друг $j$-ти ред (колона), умножен по произволно число $k\ne 0$ (можете, разбира се, да направите $k=0$, но какво е точка? ? Нищо няма да се промени).
3. Пренареждане. Вземете $i$-тия и $j$-тия ред (колони) и разменете местата.

Защо тези трансформации се наричат ​​елементарни (за големи матрици те не изглеждат толкова елементарни) и защо има само три от тях - тези въпроси са извън обхвата на днешния урок. Затова няма да навлизаме в подробности.

Друго нещо е важно: ние трябва да извършим всички тези извращения върху присъединената матрица. Да, да: чухте правилно. Сега ще има още едно определение - последното в днешния урок.

Присъединена матрица

Със сигурност в училище сте решавали системи от уравнения, използвайки метода на добавяне. Е, ето, извадете друг от един ред, умножете някой ред по число - това е всичко.

И така: сега всичко ще бъде същото, но по „възрастен“ начин. Готов?

Определение. Нека са дадени матрица $A=\left[ n\times n \right]$ и единична матрица $E$ със същия размер $n$. След това присъединената матрица $\left[ A\left| E \ дясно. \right]$ е нова матрица с размер $\left[ n\times 2n \right]$, която изглежда така:

\[\left[ A\left| E \ дясно. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

Накратко, вземаме матрицата $A$, отдясно ѝ присвояваме матрицата за идентичност $E$ с необходимия размер, разделяме ги с вертикална лента за красота - ето ви добавката. :)

Каква е уловката? Ето какво:

Теорема. Нека матрицата $A$ е обратима. Разгледайте присъединената матрица $\left[ A\left| E \ дясно. \right]$. Ако използвате елементарни преобразувания на низовепренесете го във формата $\left[ E\left| Ярък. \right]$, т.е. чрез умножаване, изваждане и пренареждане на редове, за да се получи от $A$ матрицата $E$ отдясно, тогава матрицата $B$, получена отляво, е обратната на $A$:

\[\left[ A\left| E \ дясно. \right]\to \left[ E\left| Ярък. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

Толкова е просто! Накратко, алгоритъмът за намиране на обратната матрица изглежда така:

1. Напишете присъединената матрица $\left[ A\left| E \ дясно. \right]$;
2. Извършвайте елементарни преобразувания на низове, докато се появи $E$ вместо $A$;
3. Разбира се, нещо ще се появи и отляво - определена матрица $B$. Това ще бъде обратното;
4. ПЕЧАЛБА! :)

Разбира се, това е много по-лесно да се каже, отколкото да се направи. Така че нека да разгледаме няколко примера: за размери $\left[ 3\times 3 \right]$ и $\left[ 4\times 4 \right]$.

Задача. Намерете обратната матрица:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Решение. Създаваме свързаната матрица:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(масив) \right]\]

Тъй като последната колона на оригиналната матрица е пълна с единици, извадете първия ред от останалите:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(масив) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 \\ & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Няма повече единици, с изключение на първия ред. Но ние не го докосваме, в противен случай новоотстранените единици ще започнат да се „умножават“ в третата колона.

Но можем да извадим втория ред два пъти от последния - получаваме един в долния ляв ъгъл:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(масив) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Сега можем да извадим последния ред от първия и два пъти от втория - по този начин "нулираме" първата колона:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(масив) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \стрелка нагоре \\\end(matrix)\to \\ & \ към \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Умножете втория ред по −1 и след това го извадете 6 пъти от първия и добавете 1 път към последния:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(масив) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(масив) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (матрица)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(масив) \right] \\ \end(align)\]

Всичко, което остава, е да размените редове 1 и 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(масив) \right]\]

Готов! Вдясно е необходимата обратна матрица.

Отговор. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Задача. Намерете обратната матрица:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrix) \right]\]

Решение. Отново съставяме съединителя:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Да поплачем малко, да се натъжим колко трябва да броим сега... и да започнем да броим. Първо, нека „нулираме“ първата колона, като извадим ред 1 от редове 2 и 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\край (масив) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Виждаме твърде много „минуси“ в редове 2-4. Умножете всичките три реда по −1 и след това изгорете третата колона, като извадите ред 3 от останалите:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(масив) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ляво| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ляво| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (масив) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Сега е моментът да „изпържите“ последната колона от оригиналната матрица: извадете ред 4 от останалите:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(масив ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Последно хвърляне: „изгорете“ втората колона чрез изваждане на ред 2 от редове 1 и 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

И отново идентичната матрица е отляво, което означава, че обратната е отдясно. :)

Отговор. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrix) \right]$

Нека продължим разговора за действията с матрици. А именно, по време на изучаването на тази лекция ще научите как да намерите обратната матрица. Уча. Дори ако математиката е трудна.

Какво е обратна матрица? Тук можем да направим аналогия с обратните числа: разгледайте, например, оптимистичното число 5 и неговото обратно число. Произведението на тези числа е равно на едно: . С матриците всичко е подобно! Произведението на матрица и нейната обратна матрица е равно на – матрица на идентичността, което е матричният аналог на числовата единица. Все пак първо трябва да решим важното. практически въпрос, а именно, ще се научим как да намираме точно тази обратна матрица.

Какво трябва да знаете и да можете, за да намерите обратната матрица? Трябва да можеш да решаваш квалификации. Трябва да разберете какво е това матрицаи да можете да извършвате някои действия с тях.

Има два основни метода за намиране на обратната матрица:
като се използва алгебрични добавкиИ с помощта на елементарни трансформации.

Днес ще проучим първия, по-прост метод.

Да започнем с най-ужасното и неразбираемо. Нека помислим квадратматрица. Обратната матрица може да се намери чрез следната формула :

Където е детерминантата на матрицата, е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.

Концепцията за обратна матрица съществува само за квадратни матрици, матрици “две по две”, “три по три” и др.

Наименования: Както може би вече сте забелязали, обратната матрица се обозначава с горен индекс

Да започнем с най-простия случай - матрица две на две. Най-често, разбира се, се изисква „три по три“, но въпреки това силно препоръчвам да изучавате по-проста задача, за да овладеете общ принципрешения.

Пример:

Намерете обратното на матрица

Нека решим. Удобно е да разбиете последователността от действия точка по точка.

1) Първо намираме детерминантата на матрицата.

Ако не разбирате добре това действие, прочетете материала Как да изчислим детерминантата?

важно!Ако детерминантата на матрицата е равна на НУЛА– обратна матрица НЕ СЪЩЕСТВУВА.

В разглеждания пример, както се оказа, , което означава, че всичко е наред.

2) Намерете матрицата на минорите.

За да разрешим нашия проблем, не е необходимо да знаем какво е непълнолетно лице, но е препоръчително да прочетете статията Как да изчислим детерминантата.

Матрицата на минорите има същите размери като матрицата, т.е. в този случай.
Остава само да намерите четири числа и да ги поставите вместо звездички.

Да се ​​върнем към нашата матрица
Нека първо разгледаме горния ляв елемент:

Как да го намерите незначителен?
И това се прави по следния начин: УМСТВЕНО зачеркнете реда и колоната, в които се намира този елемент:

Останалият брой е незначителен на този елемент , което записваме в нашата матрица от второстепенни:

Разгледайте следния матричен елемент:

Мислено задраскайте реда и колоната, в които се появява този елемент:

Това, което остава, е минорът на този елемент, който записваме в нашата матрица:

По същия начин разглеждаме елементите на втория ред и намираме техните второстепенни:


Готов.

Просто е. В матрицата на непълнолетните, от които се нуждаете ПРОМЯНА НА ЗНАЦИдве числа:

Това са числата, които оградих!

– матрица от алгебрични събирания на съответните елементи на матрицата.

И просто...

4) Намерете транспонираната матрица на алгебрични добавки.

– транспонирана матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.

5) Отговор.

Нека си спомним нашата формула
Всичко е намерено!

Така че обратната матрица е:

По-добре е да оставите отговора такъв, какъвто е. НЯМА НУЖДАразделете всеки елемент от матрицата на 2, тъй като резултатът е дробни числа. Този нюанс е разгледан по-подробно в същата статия. Действия с матрици.

Как да проверите решението?

Трябва да извършите матрично умножение или

Преглед:

Получено вече споменато матрица на идентичносттае матрица с единици по главен диагонали нули на други места.

По този начин обратната матрица се намира правилно.

Ако извършите действието, резултатът също ще бъде матрица за идентичност. Това е един от малкото случаи, когато матричното умножение е пермутабилно, повече подробна информацияможете да намерите в статията Свойства на операциите върху матрици. Матрични изрази. Също така имайте предвид, че по време на проверката константата (дробта) се изнася напред и се обработва в самия край - след умножението на матрицата. Това е стандартна техника.

Нека да преминем към по-често срещан случай в практиката - матрицата три по три:

Пример:

Намерете обратното на матрица

Алгоритъмът е абсолютно същият като в случая "две по две".

Намираме обратната матрица по формулата: , където е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.

1) Намерете детерминантата на матрицата.

Тук се разкрива детерминантата на първия ред.

Освен това не забравяйте това, което означава, че всичко е наред - съществува обратна матрица.

2) Намерете матрицата на минорите.

Матрицата на минорите има размерност „три по три“ и трябва да намерим девет числа.

Ще разгледам няколко непълнолетни в детайли:

Разгледайте следния матричен елемент:

УМСТВЕНО задраскайте реда и колоната, в които се намира този елемент:

Записваме останалите четири числа в детерминанта „две по две“.

Тази детерминанта две по две и е минорът на този елемент. Необходимо е да се изчисли:


Това е всичко, минорът е намерен, ние го записваме в нашата матрица на минорите:

Както вероятно се досещате, трябва да изчислите девет детерминанти две по две. Процесът, разбира се, е досаден, но случаят не е най-тежкият, може да бъде по-лош.

Е, за консолидиране – намиране на друг непълнолетен в снимките:

Опитайте сами да изчислите останалите непълнолетни.

Краен резултат:
– матрица от минори на съответните елементи на матрицата.

Това, че всички непълнолетни се оказаха отрицателни, е чиста случайност.

3) Намерете матрицата на алгебричните добавки.

В матрицата на непълнолетните е необходимо ПРОМЯНА НА ЗНАЦИстрого за следните елементи:

В такъв случай:

Ние не разглеждаме намирането на обратната матрица за матрица „четири по четири“, тъй като такава задача може да бъде дадена само от садистичен учител (за ученика да изчисли една детерминанта „четири по четири“ и 16 детерминанти „три по три“ ). В моята практика имаше само един такъв случай и клиентът тестова работаплати доста скъпо за мъките ми =).

В редица учебници и ръководства можете да намерите малко по-различен подход за намиране на обратната матрица, но аз препоръчвам да използвате алгоритъма за решение, описан по-горе. Защо? Тъй като вероятността да се объркате в изчисленията и знаците е много по-малка.