Numeric na expression– ito ay anumang talaan ng mga numero, mga palatandaan mga operasyon sa aritmetika at mga bracket. Ang isang numerical expression ay maaaring binubuo lamang ng isang numero. Alalahanin na ang mga pangunahing operasyon ng aritmetika ay "pagdaragdag", "pagbabawas", "pagpaparami" at "paghahati". Ang mga pagkilos na ito ay tumutugma sa mga palatandaan na "+", "-", "∙", ":".

Syempre, para magtagumpay tayo pagpapahayag ng numero, ang pagsulat mula sa mga numero at aritmetika na mga palatandaan ay dapat na makabuluhan. Kaya, halimbawa, ang naturang entry 5: + ∙ ay hindi matatawag na numeric na expression, dahil ito ay isang random na hanay ng mga simbolo na walang kahulugan. Sa kabaligtaran, ang 5 + 8 ∙ 9 ay isa nang tunay na numerical expression.

Ang halaga ng isang numeric na expression.

Sabihin natin kaagad na kung gagawin natin ang mga pagkilos na ipinahiwatig sa numerical expression, bilang isang resulta makakakuha tayo ng isang numero. Ang numerong ito ay tinatawag ang halaga ng isang numeric na expression.

Subukan nating kalkulahin kung ano ang makukuha natin bilang resulta ng pagsasagawa ng mga aksyon ng ating halimbawa. Ayon sa pagkakasunud-sunod kung saan isinasagawa ang mga pagpapatakbo ng aritmetika, ginagawa muna namin ang pagpaparami ng pagpaparami. I-multiply ang 8 sa 9. Nakukuha natin ang 72. Ngayon idagdag ang 72 at 5. Nakuha natin ang 77.
Kaya, 77 - ibig sabihin numerical expression 5 + 8 ∙ 9.

Pagkakapantay-pantay ng numero.

Maaari mong isulat ito sa ganitong paraan: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Dito ginamit namin ang “=” sign (“Katumbas”) sa unang pagkakataon. Ang nasabing notasyon kung saan ang dalawang numeric na expression ay pinaghihiwalay ng “=” sign ay tinatawag pagkakapantay-pantay ng numero. Bukod dito, kung ang mga halaga ng kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay nag-tutugma, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay tinatawag tapat. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – tamang pagkakapantay-pantay.
Kung isusulat natin ang 5 + 8 ∙ 9 = 100, magiging ganito na maling pagkakapantay-pantay, dahil ang mga halaga ng kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay hindi na nagtutugma.

Dapat pansinin na sa numerical expression maaari din tayong gumamit ng mga panaklong. Naaapektuhan ng mga panaklong ang pagkakasunud-sunod ng mga pagkilos. Kaya, halimbawa, baguhin natin ang ating halimbawa sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga panaklong: (5 + 8) ∙ 9. Ngayon kailangan mo munang magdagdag ng 5 at 8. Makukuha natin ang 13. At pagkatapos ay i-multiply ang 13 sa 9. Nakuha natin ang 117. Kaya, (5) + 8) ∙ 9 = 117.
117 – ibig sabihin numerical expression (5 + 8) ∙ 9.

Upang basahin nang tama ang isang expression, kailangan mong matukoy kung aling aksyon ang huling ginawa upang kalkulahin ang halaga ng isang ibinigay na numeric na expression. Kaya, kung huling aksyon pagbabawas, ang expression ay tinatawag na "pagkakaiba". Alinsunod dito, kung ang huling aksyon ay sum - "sum", dibisyon - "quotient", multiplikasyon - "produkto", exponentiation - "kapangyarihan".

Halimbawa, ang numerical expression (1+5)(10-3) ay ganito: "ang produkto ng kabuuan ng mga numero 1 at 5 at ang pagkakaiba ng mga numero 10 at 3."

Mga halimbawa ng mga numeric na expression.

Narito ang isang halimbawa ng isang mas kumplikadong numerical expression:

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

Ang numerical expression na ito ay gumagamit ng mga pangunahing numero, ordinaryo at decimal na mga fraction. Ginagamit din ang mga palatandaan ng pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami at paghahati. Pinapalitan din ng fraction line ang division sign. Sa kabila ng maliwanag na pagiging kumplikado, ang paghahanap ng halaga ng numerical expression na ito ay medyo simple. Ang pangunahing bagay ay upang maisagawa ang mga operasyon na may mga praksyon, pati na rin ang maingat at tumpak na mga kalkulasyon, na obserbahan ang pagkakasunud-sunod kung saan ang mga aksyon ay ginanap.

Sa mga bracket mayroon kaming expression na $\frac(1)(4)+3.75$ . Magtransform tayo decimal 3.75 sa karaniwan.

$3.75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Kaya, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Susunod, sa numerator ng fraction \[\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\] mayroon tayong expression na 1.25+3.47+4.75-1.47. Upang pasimplehin ang expression na ito, inilalapat namin ang commutative law ng karagdagan, na nagsasaad: "Ang kabuuan ay hindi nagbabago sa pamamagitan ng pagbabago ng mga lugar ng mga termino." Ibig sabihin, 1.25+3.47+4.75-1.47=1.25+4.75+3.47-1.47=6+2=8.

Sa denominator ng fraction ang expression $4\centerdot 0.5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Nakukuha namin $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$

Kailan walang kahulugan ang mga numerical expression?

Tingnan natin ang isa pang halimbawa. Sa denominator ng fraction $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ ang halaga ng expression na $3\centerdot 3-9$ ay 0. At, tulad ng alam natin, imposible ang paghahati sa zero. Samakatuwid, ang fraction na $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ ay walang kahulugan. Ang mga numerical expression na walang kahulugan ay sinasabing "walang kahulugan."

Kung gagamit tayo ng mga titik bilang karagdagan sa mga numero sa numerical expression, magkakaroon tayo

Numerical at algebraic expression. Pag-convert ng mga Expression.

Ano ang isang expression sa matematika? Bakit kailangan natin ng mga conversion ng expression?

Ang tanong, gaya ng sinasabi nila, ay kawili-wili... Ang katotohanan ay ang mga konseptong ito ang batayan ng lahat ng matematika. Ang lahat ng matematika ay binubuo ng mga expression at ang kanilang mga pagbabago. Hindi masyadong malinaw? Hayaan mo akong magpaliwanag.

Sabihin nating mayroon kang masamang halimbawa sa harap mo. Napakalaki at napakakomplikado. Sabihin nating magaling ka sa matematika at hindi natatakot sa anuman! Makakasagot ka agad?

Kakailanganin mo magpasya halimbawang ito. Patuloy, hakbang-hakbang, ang halimbawang ito pasimplehin. Sa pamamagitan ng ilang mga tuntunin, natural. Yung. gawin pagpapalit ng ekspresyon. Kung mas matagumpay mong isinasagawa ang mga pagbabagong ito, mas malakas ka sa matematika. Kung hindi mo alam kung paano gawin ang mga tamang pagbabago, hindi mo magagawa ang mga ito sa matematika. Wala...

Upang maiwasan ang gayong hindi komportable na hinaharap (o kasalukuyan...), hindi masakit na maunawaan ang paksang ito.)

Una, alamin natin ano ang ekspresyon sa matematika. Anong nangyari pagpapahayag ng numero at kung ano ang algebraic expression.

Ano ang isang expression sa matematika?

Pagpapahayag sa matematika- ito ay isang napakalawak na konsepto. Halos lahat ng bagay na pinag-uusapan natin sa matematika ay isang set ng mga mathematical expression. Anumang mga halimbawa, formula, fraction, equation, at iba pa - lahat ng ito ay binubuo ng mga pagpapahayag ng matematika.

Ang 3+2 ay isang mathematical expression. s 2 - d 2- isa rin itong mathematical expression. Parehong isang malusog na fraction at kahit isang numero ay pawang mga mathematical expression. Halimbawa, ang equation ay:

5x + 2 = 12

ay binubuo ng dalawang mathematical expression na konektado sa pamamagitan ng isang pantay na tanda. Ang isang expression ay nasa kaliwa, ang isa sa kanan.

SA pangkalahatang pananaw termino" pagpapahayag ng matematika"ay ginagamit, kadalasan, upang maiwasan ang pag-moo. Tatanungin ka nila kung ano ang isang ordinaryong fraction, halimbawa? At paano sasagutin?!

Unang sagot: "Ito ay... mmmmmm... ganoong bagay... kung saan... Maaari ba akong magsulat ng isang fraction nang mas mahusay? Alin ang gusto mo?"

Pangalawang sagot: " Karaniwang fraction- ito ay (masaya at masaya!) pagpapahayag ng matematika , na binubuo ng numerator at denominator!"

Ang pangalawang opsyon ay magiging mas kahanga-hanga, tama?)

Ito ang layunin ng pariralang " pagpapahayag ng matematika "Very good. Parehong tama at solid. Pero para sa praktikal na aplikasyon kailangang maging bihasa mga tiyak na uri ng pagpapahayag sa matematika .

Ang tiyak na uri ay isa pang bagay. Ito Ito ay isang ganap na naiibang bagay! Ang bawat uri ng mathematical expression ay may akin isang hanay ng mga tuntunin at pamamaraan na dapat gamitin kapag gumagawa ng desisyon. Para sa pagtatrabaho sa mga fraction - isang set. Para sa pagtatrabaho sa mga trigonometrikong expression - ang pangalawa. Para sa pagtatrabaho sa logarithms - ang pangatlo. At iba pa. Sa isang lugar ang mga panuntunang ito ay nag-tutugma, sa isang lugar na naiiba ang mga ito nang husto. Ngunit huwag matakot sa mga nakakatakot na salitang ito. Makakabisado natin ang logarithms, trigonometry at iba pang mahiwagang bagay sa naaangkop na mga seksyon.

Dito ay mapapatunayan natin (o - ulitin, depende kung sino...) ang dalawang pangunahing uri ng mga ekspresyong matematikal. Numerical expression at algebraic expression.

Mga numeric na expression.

Anong nangyari pagpapahayag ng numero? Ito ay isang napakasimpleng konsepto. Ang pangalan mismo ay nagpapahiwatig na ito ay isang expression na may mga numero. ganyan yan. Ang isang mathematical expression na binubuo ng mga numero, bracket at arithmetic na simbolo ay tinatawag na numerical expression.

Ang 7-3 ay isang numerical expression.

(8+3.2) Ang 5.4 ay isang numerical expression din.

At ang halimaw na ito:

isang numerical expression din, oo...

Isang ordinaryong numero, isang fraction, anumang halimbawa ng pagkalkula na walang X at iba pang mga titik - lahat ng ito ay mga numerical na expression.

Pangunahing tanda numerical mga expression - sa loob nito walang mga titik. wala. Mga numero at mathematical na simbolo lamang (kung kinakailangan). Simple lang diba?

At ano ang maaari mong gawin sa mga numerical expression? Karaniwang mabibilang ang mga numeric na expression. Upang gawin ito, nangyayari na kailangan mong buksan ang mga bracket, baguhin ang mga palatandaan, paikliin, palitan ang mga termino - i.e. gawin mga conversion ng expression. Ngunit higit pa sa ibaba.

Dito natin haharapin ito nakakatawang pangyayari, kapag may numeric na expression wala kang kailangang gawin. Well, wala naman! Ang kaaya-ayang operasyon na ito - Para walang magawa)- ay naisakatuparan kapag ang expression walang saysay.

Kailan walang kahulugan ang isang numerical expression?

Ito ay malinaw na kung nakikita natin ang ilang uri ng abracadabra sa harap natin, tulad ng

tapos wala tayong gagawin. Dahil hindi malinaw kung ano ang gagawin tungkol dito. Isang uri ng kalokohan. Siguro bilangin ang bilang ng mga plus...

Ngunit may mga panlabas na medyo disenteng mga ekspresyon. Halimbawa ito:

(2+3): (16 - 2 8)

Gayunpaman, ang expression na ito din walang saysay! Para sa simpleng dahilan na sa pangalawang bracket - kung bibilangin mo - makakakuha ka ng zero. Ngunit hindi mo maaaring hatiin sa zero! Ito ay isang ipinagbabawal na operasyon sa matematika. Samakatuwid, hindi rin kailangang gumawa ng anuman sa ekspresyong ito. Para sa anumang gawain na may ganitong expression, ang sagot ay palaging magiging pareho: "Walang kahulugan ang ekspresyon!"

Upang magbigay ng ganoong sagot, siyempre, kailangan kong kalkulahin kung ano ang nasa mga bracket. At kung minsan ay maraming bagay sa panaklong... Well, wala kang magagawa tungkol dito.

Walang napakaraming ipinagbabawal na operasyon sa matematika. Isa lang ang nasa paksang ito. Dibisyon sa pamamagitan ng zero. Ang mga karagdagang paghihigpit na nagmumula sa mga ugat at logarithms ay tinatalakay sa kaukulang mga paksa.

Kaya, isang ideya kung ano ito pagpapahayag ng numero- nakuha. Konsepto walang saysay ang numeric na expression- napagtanto. Mag-move on na tayo.

Algebraic expression.

Kung lumilitaw ang mga titik sa isang numerical expression, ang expression na ito ay nagiging... Ang expression ay nagiging... Oo! Ito ay nagiging algebraic expression. Halimbawa:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Ang ganitong mga ekspresyon ay tinatawag din literal na mga pagpapahayag. O kaya mga expression na may mga variable. Ito ay halos pareho. Pagpapahayag 5a +c, halimbawa, parehong literal at algebraic, at isang expression na may mga variable.

Konsepto algebraic expression - mas malawak kaysa numeric. Ito kasama ang at lahat ng mga numerical expression. Yung. ang numerical expression ay isa ring algebraic expression, tanging walang mga titik. Ang bawat herring ay isang isda, ngunit hindi lahat ng isda ay isang herring...)

Bakit alpabeto- Ito ay malinaw. Well, dahil may mga titik... Phrase pagpapahayag na may mga variable Hindi rin ito masyadong nakakalito. Kung naiintindihan mo na ang mga numero ay nakatago sa ilalim ng mga titik. Ang lahat ng uri ng mga numero ay maaaring itago sa ilalim ng mga titik... At 5, at -18, at anumang bagay. Ibig sabihin, ang isang sulat ay maaaring palitan sa magkaibang numero. Iyon ang dahilan kung bakit ang mga titik ay tinatawag mga variable.

Sa pagpapahayag y+5, Halimbawa, sa- variable na halaga. O sasabihin lang nila" variable", nang walang salitang "magnitude". Hindi tulad ng lima, na isang pare-parehong halaga. O kaya lang- pare-pareho.

Termino algebraic expression Nangangahulugan na upang gumana sa expression na ito kailangan mong gumamit ng mga batas at panuntunan algebra. Kung aritmetika gumagana sa mga partikular na numero, kung gayon algebra- kasama ang lahat ng mga numero nang sabay-sabay. Isang simpleng halimbawa para sa paglilinaw.

Sa arithmetic maaari nating isulat iyon

Ngunit kung isusulat natin ang gayong pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng mga algebraic na expression:

a + b = b + a

magdedesisyon kami kaagad Lahat mga tanong. Para sa lahat ng numero stroke. Para sa lahat ng walang katapusan. Dahil sa ilalim ng mga titik A At b ipinahiwatig Lahat numero. At hindi lamang mga numero, ngunit kahit na iba pang mga mathematical expression. Ito ay kung paano gumagana ang algebra.

Kailan walang kahulugan ang isang algebraic expression?

Ang lahat ng tungkol sa numerical expression ay malinaw. Hindi mo maaaring hatiin ng zero doon. At sa pamamagitan ng mga titik, posible bang malaman kung saan tayo naghahati?!

Kunin natin halimbawa ang expression na ito na may mga variable:

2: (A - 5)

May katuturan ba ito? Sino ang nakakaalam? A- kahit anong numero...

Anuman, anuman... Ngunit may isang kahulugan A, kung saan ang expression na ito eksakto walang sense! At ano ang numerong ito? Oo! Ito ay 5! Kung ang variable A palitan (sinasabi nilang "kapalit") ng numero 5, sa mga bracket makakakuha ka ng zero. Na hindi maaaring hatiin. Kaya pala yung expression namin walang saysay, Kung a = 5. Ngunit para sa iba pang mga halaga A may katuturan ba ito? Maaari mo bang palitan ang iba pang mga numero?

tiyak. Sa ganitong mga kaso sinasabi lang nila na ang expression

2: (A - 5)

may katuturan para sa anumang mga halaga A, maliban sa a = 5 .

Ang buong hanay ng mga numero na Pwede ang pagpapalit sa isang ibinigay na expression ay tinatawag rehiyon mga katanggap-tanggap na halaga expression na ito.

Tulad ng nakikita mo, walang nakakalito. Tingnan natin ang expression na may mga variable at alamin: sa anong halaga ng variable nakuha ang ipinagbabawal na operasyon (dibisyon sa zero)?

At pagkatapos ay siguraduhing tingnan ang tanong sa gawain. Ano ba ang tinatanong nila?

walang saysay, ang ating ipinagbabawal na kahulugan ang magiging sagot.

Kung tatanungin mo kung anong halaga ng isang variable ang expression may kahulugan(feel the difference!), ang magiging sagot lahat ng iba pang mga numero maliban sa bawal.

Bakit kailangan natin ang kahulugan ng expression? Nandiyan siya, wala siya... Anong pinagkaiba?! Ang punto ay ang konseptong ito ay nagiging napakahalaga sa mataas na paaralan. Napakahalaga! Ito ang batayan para sa mga solidong konsepto bilang domain ng mga katanggap-tanggap na halaga o domain ng isang function. Kung wala ito, hindi mo malulutas ang mga seryosong equation o hindi pagkakapantay-pantay. Ganito.

Pag-convert ng mga Expression. Mga pagbabago sa pagkakakilanlan.

Ipinakilala kami sa mga numerical at algebraic na expression. Naunawaan namin kung ano ang ibig sabihin ng pariralang "ang pagpapahayag ay walang kahulugan". Ngayon kailangan nating malaman kung ano ito pagbabago ng mga ekspresyon. Simple lang ang sagot, to the point of disgrace.) This is any action with an expression. Iyon lang. Ginagawa mo ang mga pagbabagong ito mula pa noong unang baitang.

Kunin natin ang cool na numerical expression na 3+5. Paano ito mababago? Oo, napakasimple! Kalkulahin:

Ang pagkalkula na ito ang magiging pagbabago ng expression. Maaari mong isulat ang parehong expression sa ibang paraan:

Dito wala kaming binilang kahit ano. Isinulat lang ang ekspresyon sa ibang anyo. Ito rin ay magiging pagbabago ng ekspresyon. Maaari mong isulat ito tulad nito:

At ito rin ay isang pagbabago ng isang ekspresyon. Maaari kang gumawa ng maraming pagbabago hangga't gusto mo.

Anuman aksyon sa pagpapahayag anuman ang pagsulat nito sa ibang anyo ay tinatawag na pagbabago ng ekspresyon. At yun lang. Napakasimple ng lahat. Ngunit mayroong isang bagay dito napakahalagang tuntunin. Napakahalaga na maaari itong ligtas na matawag pangunahing tuntunin lahat ng matematika. Paglabag sa panuntunang ito hindi maiiwasan humahantong sa mga pagkakamali. Papasok na ba tayo?)

Sabihin nating binago natin ang ating ekspresyon nang basta-basta, tulad nito:

Conversion? tiyak. Isinulat namin ang expression sa ibang anyo, ano ang mali dito?

Hindi naman sa ganun.) The point is that transformations "nang random" ay hindi interesado sa matematika sa lahat.) Ang lahat ng matematika ay binuo sa mga pagbabagong-anyo kung saan hitsura, ngunit hindi nagbabago ang diwa ng pagpapahayag. Maaaring isulat ang tatlo at lima sa anumang anyo, ngunit dapat itong walo.

Mga pagbabago, mga ekspresyong hindi nagbabago sa diwa ay tinatawag magkapareho.

Eksakto pagbabago ng pagkakakilanlan at hayaan kaming, hakbang-hakbang, na magbago kumplikadong halimbawa sa isang simpleng pagpapahayag, pinapanatili ang kakanyahan ng halimbawa. Kung tayo ay magkamali sa kadena ng mga pagbabagong-anyo, gumawa tayo ng HINDI magkatulad na pagbabagong-anyo, pagkatapos tayo ay magpapasya isa pa halimbawa. Sa iba pang mga sagot na hindi nauugnay sa mga tama.)

Ito ang pangunahing panuntunan para sa paglutas ng anumang mga gawain: pagpapanatili ng pagkakakilanlan ng mga pagbabago.

Nagbigay ako ng isang halimbawa na may numerical expression na 3+5 para sa kalinawan. Sa mga algebraic expression, ang mga pagbabago sa pagkakakilanlan ay ibinibigay ng mga formula at panuntunan. Sabihin nating sa algebra mayroong isang formula:

a(b+c) = ab + ac

Nangangahulugan ito na sa anumang halimbawa ay maaari naming sa halip na ang expression a(b+c) huwag mag-atubiling magsulat ng isang expression ab + ac. At vice versa. Ito magkatulad na pagbabago. Binibigyan tayo ng matematika ng pagpipilian sa pagitan ng dalawang expression na ito. At kung alin ang isusulat - mula sa kongkretong halimbawa depende.

Isa pang halimbawa. Ang isa sa pinakamahalaga at kinakailangang pagbabago ay ang pangunahing katangian ng isang fraction. Maaari mong tingnan ang link para sa higit pang mga detalye, ngunit dito ko lang ipapaalala sa iyo ang panuntunan: Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami (hinati) sa parehong numero, o isang expression na hindi katumbas ng zero, ang fraction ay hindi magbabago. Narito ang isang halimbawa ng mga pagbabago sa pagkakakilanlan gamit ang property na ito:

Tulad ng malamang na nahulaan mo, ang kadena na ito ay maaaring ipagpatuloy nang walang katapusan...) Napaka mahalagang ari-arian. Ito ang nagpapahintulot sa iyo na gawing puti at malambot ang lahat ng uri ng mga halimaw.)

Mayroong maraming mga formula na tumutukoy sa magkatulad na pagbabago. Ngunit ang pinakamahalaga ay isang makatwirang numero. Isa sa mga pangunahing pagbabago ay ang factorization. Ginagamit ito sa lahat ng matematika - mula elementarya hanggang advanced. Magsimula tayo sa kanya. Sa susunod na aralin.)

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Ang isang expression ay ang pinakamalawak na termino sa matematika. Mahalaga, sa agham na ito ang lahat ay binubuo ng mga ito, at ang lahat ng mga operasyon ay isinasagawa din sa kanila. Ang isa pang tanong ay, depende sa tiyak na uri, ganap na magkakaibang mga pamamaraan at pamamaraan ang ginagamit. Kaya, ang pagtatrabaho sa trigonometrya, mga fraction o logarithms ay tatlo iba't ibang aksyon. Ang isang expression na walang kahulugan ay maaaring isa sa dalawang uri: numerical o algebraic. Ngunit kung ano ang ibig sabihin ng konseptong ito, kung ano ang hitsura ng halimbawa nito at iba pang mga punto ay tatalakayin pa.

Mga Numeric na Ekspresyon

Kung ang isang expression ay binubuo ng mga numero, panaklong, plus at minus at iba pang mga simbolo ng mga operasyon ng aritmetika, maaari itong ligtas na matatawag na numerical. Alin ang medyo lohikal: kailangan mo lamang tingnan ang unang pinangalanang bahagi nito.

Ang isang numerical expression ay maaaring anuman: ang pangunahing bagay ay hindi ito naglalaman ng mga titik. At sa ilalim ng "kahit ano" sa sa kasong ito lahat ay nauunawaan: mula sa isang simpleng numero na nakatayo nang mag-isa, sa kanyang sarili, sa isang malaking listahan ng mga ito at mga palatandaan ng mga operasyon ng aritmetika na nangangailangan ng kasunod na pagkalkula ng huling resulta. Ang fraction ay isa ring numerical expression kung wala itong anumang a, b, c, d, atbp., dahil isa itong ganap na kakaibang uri, na tatalakayin sa ibang pagkakataon.

Mga kundisyon para sa isang expression na walang saysay

Kapag nagsimula ang isang gawain sa salitang "kalkulahin", maaari nating pag-usapan ang pagbabago. Ang bagay ay ang pagkilos na ito ay hindi palaging ipinapayong: ito ay hindi na mayroong isang malakas na pangangailangan para dito, kung foreground lumalabas ang isang ekspresyon na walang kahulugan. Ang mga halimbawa ay walang katapusang kahanga-hanga: kung minsan, upang maunawaan na ito ay naabutan na tayo, kailangan nating buksan ang mga bracket sa loob ng mahabang panahon at nakakapagod at mabibilang-bilang-bilang...

Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay walang kahulugan sa mga expression na ang huling resulta ay bumagsak sa isang aksyon na ipinagbabawal sa matematika. Upang maging ganap na tapat, kung gayon ang pagbabagong-anyo mismo ay nagiging walang kabuluhan, ngunit upang malaman, kailangan mo munang isagawa ito. Isang kabalintunaan!

Ang pinakatanyag, ngunit hindi gaanong mahalaga na ipinagbabawal na operasyon ng matematika ay paghahati sa pamamagitan ng zero.

Samakatuwid, halimbawa, narito ang isang expression na walang kahulugan:

(17+11):(5+4-10+1).

Kung, gamit ang mga simpleng kalkulasyon, binabawasan namin ang pangalawang bracket sa isang digit, kung gayon ito ay magiging zero.

Sa pamamagitan ng parehong prinsipyo, isang "honorary title" ay ibinibigay sa expression na ito:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebraic expression

Ito ang parehong numerical expression kung ang mga ipinagbabawal na titik ay idinagdag dito. Pagkatapos ito ay magiging ganap na algebraic. Maaari rin itong dumating sa lahat ng laki at hugis. Ang isang algebraic expression ay isang mas malawak na konsepto na kinabibilangan ng nauna. Ngunit makatuwiran na simulan ang pag-uusap hindi dito, ngunit sa isang numero, upang ito ay maging mas malinaw at mas madaling maunawaan. Pagkatapos ng lahat, kung ang isang algebraic expression ay may katuturan ay hindi isang napaka-komplikadong tanong, ngunit isa na may higit pang mga paglilinaw.

Bakit ganon?

Ang isang literal na expression o isang expression na may mga variable ay kasingkahulugan. Ang unang termino ay madaling ipaliwanag: pagkatapos ng lahat, naglalaman ito ng mga titik! Ang pangalawa ay hindi rin isang misteryo ng siglo: sa halip na mga titik, maaari mong palitan ang iba't ibang mga numero, bilang isang resulta kung saan ang kahulugan ng expression ay magbabago. Hindi mahirap hulaan na ang mga titik sa kasong ito ay ang mga variable. Sa pamamagitan ng pagkakatulad, ang mga numero ay pare-pareho.

At dito bumalik tayo sa pangunahing paksa: walang kabuluhan?

Mga halimbawa ng mga algebraic na expression na walang kahulugan

Ang kundisyon para sa kawalan ng kahulugan ng isang algebraic na expression ay kapareho ng para sa isang numerical, na may isang pagbubukod lamang, o, mas tiyak, isang karagdagan. Kapag nagko-convert at kinakalkula ang panghuling resulta, kailangan mong isaalang-alang ang mga variable, kaya ang tanong ay hindi ibinibigay bilang "aling expression ang hindi makatwiran?", ngunit "sa anong halaga ng variable ang hindi magkakaroon ng kahulugan ang expression na ito?" at "may halaga ba ang variable kung saan hindi na magkakaroon ng kahulugan ang expression?"

Halimbawa, (18-3):(a+11-9).

Ang ekspresyon sa itaas ay walang kahulugan kapag ang a ay katumbas ng -2.

Ngunit tungkol sa (a+3):(12-4-8) ligtas nating masasabi na ito ay isang expression na hindi makatwiran para sa anumang a.

Sa parehong paraan, kahit anong b ang ipalit mo sa expression (b - 11): (12+1), magkakaroon pa rin ito ng kahulugan.

Mga karaniwang problema sa paksang "Isang expression na walang kahulugan"

Pinag-aaralan ng ika-7 baitang ang paksang ito sa matematika, bukod sa iba pa, at ang mga takdang-aralin tungkol dito ay madalas na matatagpuan nang direkta pagkatapos ng kaukulang aralin, at bilang isang "panlinlang" na tanong sa mga module at pagsusulit.

Iyon ang dahilan kung bakit ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng mga tipikal na problema at pamamaraan para sa paglutas ng mga ito.

Halimbawa 1.

May katuturan ba ang expression:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Kinakailangan na isagawa ang lahat ng mga kalkulasyon sa mga bracket at dalhin ang expression sa form:

Ang huling resulta ay naglalaman samakatuwid ang expression ay walang kahulugan.

Halimbawa 2.

Aling mga expression ang hindi makatuwiran?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Dapat mong kalkulahin ang panghuling halaga para sa bawat expression.

Sagot: 1; 2.

Halimbawa 3.

Hanapin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga para sa mga sumusunod na expression:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Ang hanay ng mga pinahihintulutang halaga (VA) ay ang lahat ng mga numero na, kapag pinalitan sa halip na mga variable, ang expression ay magkakaroon ng kahulugan.

Iyon ay, ang gawain ay parang ganito: maghanap ng mga halaga kung saan walang dibisyon sa pamamagitan ng zero.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), o b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), o b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Halimbawa 4.

Sa anong mga halaga ang expression sa ibaba ay walang kahulugan?

Ang pangalawang bracket ay katumbas ng zero kapag ang laro ay katumbas ng -3.

Sagot: y=-3

Halimbawa 4.

Alin sa mga expression ang hindi makatuwiran sa x = -14?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 at 3, dahil sa unang kaso, kung papalitan mo ang x = -14, kung gayon ang pangalawang bracket ay magiging katumbas ng -28, at hindi zero, tulad ng tunog sa kahulugan ng isang walang kahulugan na expression.

Halimbawa 5.

Bumuo at isulat ang isang expression na walang kahulugan.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebraic expression na may dalawang variable

Sa kabila ng katotohanan na ang lahat ng mga expression na walang kahulugan ay may parehong kakanyahan, may iba't ibang antas ng kanilang pagiging kumplikado. Kaya, maaari nating sabihin na ang mga numerical ay mga simpleng halimbawa, dahil mas madali ang mga ito kaysa sa algebraic. Ang bilang ng mga variable sa huli ay nagdaragdag sa kahirapan ng paglutas. Ngunit hindi sila dapat magmukhang pareho: ang pangunahing bagay ay tandaan ang pangkalahatang prinsipyo ng solusyon at ilapat ito, hindi alintana kung ang halimbawa ay katulad ng isang karaniwang problema o may ilang hindi kilalang mga karagdagan.

Halimbawa, maaaring lumitaw ang tanong kung paano lutasin ang naturang gawain.

Maghanap at isulat ang isang pares ng mga numero na hindi wasto para sa expression:

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y)/(12x 2 - y).

Mga posibleng sagot:

Ngunit kung tutuusin, mukhang nakakatakot at masalimuot lamang, dahil sa katunayan ay naglalaman ito ng matagal nang kilala: mga numerong squaring at cubed, ilang operasyong aritmetika tulad ng paghahati, pagpaparami, pagbabawas at pagdaragdag. Para sa kaginhawahan, sa pamamagitan ng paraan, maaari mong bawasan ang problema sa fractional form.

Ang numerator ng resultang fraction ay hindi masaya: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). Ito ay katotohanan. Ngunit may isa pang dahilan para sa kaligayahan: hindi mo na kailangang hawakan ito upang malutas ang gawain! Ayon sa kahulugan na tinalakay kanina, hindi mo maaaring hatiin sa zero, at kung ano ang eksaktong paghahatiin nito ay ganap na hindi mahalaga. Samakatuwid, iniiwan namin ang expression na ito na hindi nagbabago at pinapalitan ang mga pares ng mga numero mula sa mga pagpipiliang ito sa denominator. Tamang-tama na ang pangatlong punto, ginagawang zero ang isang maliit na bracket. Ngunit ang paghinto doon ay isang masamang rekomendasyon, dahil maaaring may ibang bagay na angkop. Sa katunayan: ang ikalimang punto ay angkop din at nababagay sa mga kondisyon.

Isulat namin ang sagot: 3 at 5.

Sa wakas

Tulad ng nakikita mo, ang paksang ito ay napaka-interesante at hindi partikular na kumplikado. Hindi ito magiging mahirap na malaman ito. Ngunit hindi kailanman masakit na magsanay ng ilang mga halimbawa!

Ang isang expression ay ang pinakamalawak na termino sa matematika. Mahalaga, sa agham na ito ang lahat ay binubuo ng mga ito, at ang lahat ng mga operasyon ay isinasagawa din sa kanila. Ang isa pang tanong ay, depende sa tiyak na uri, ganap na magkakaibang mga pamamaraan at pamamaraan ang ginagamit. Kaya, ang pagtatrabaho sa trigonometrya, mga fraction o logarithms ay tatlong magkakaibang aksyon. Ang isang expression na walang kahulugan ay maaaring isa sa dalawang uri: numerical o algebraic. Ngunit kung ano ang ibig sabihin ng konseptong ito, kung ano ang hitsura ng halimbawa nito at iba pang mga punto ay tatalakayin pa.

Mga Numeric na Ekspresyon

Kung ang isang expression ay binubuo ng mga numero, panaklong, plus at minus at iba pang mga simbolo ng mga operasyon ng aritmetika, maaari itong ligtas na matatawag na numerical. Alin ang medyo lohikal: kailangan mo lamang tingnan ang unang pinangalanang bahagi nito.

Ang isang numerical expression ay maaaring anuman: ang pangunahing bagay ay hindi ito naglalaman ng mga titik. At sa pamamagitan ng "anuman" sa kasong ito, ang ibig sabihin namin ay ang lahat: mula sa isang simpleng numero na nakatayo nang mag-isa, sa kanyang sarili, sa isang malaking listahan ng mga ito at mga palatandaan ng mga operasyon ng aritmetika na nangangailangan ng kasunod na pagkalkula ng huling resulta. Ang fraction ay isa ring numerical expression kung wala itong anumang a, b, c, d, atbp., dahil isa itong ganap na kakaibang uri, na tatalakayin sa ibang pagkakataon.

Mga kundisyon para sa isang expression na walang saysay

Kapag nagsimula ang isang gawain sa salitang "kalkulahin", maaari nating pag-usapan ang pagbabago. Ang bagay ay ang pagkilos na ito ay hindi palaging ipinapayong: hindi ito ang labis na pangangailangan para dito kung ang isang pagpapahayag na walang katuturan ay nauuna. Ang mga halimbawa ay walang katapusang kahanga-hanga: kung minsan, upang maunawaan na ito ay naabutan na tayo, kailangan nating buksan ang mga bracket sa loob ng mahabang panahon at nakakapagod at mabibilang-bilang-bilang...

Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay walang kahulugan sa mga expression na ang huling resulta ay bumagsak sa isang aksyon na ipinagbabawal sa matematika. Upang maging ganap na tapat, kung gayon ang pagbabagong-anyo mismo ay nagiging walang kabuluhan, ngunit upang malaman, kailangan mo munang isagawa ito. Isang kabalintunaan!

Ang pinakatanyag, ngunit hindi gaanong mahalaga na ipinagbabawal na operasyon ng matematika ay paghahati sa pamamagitan ng zero.

Samakatuwid, halimbawa, narito ang isang expression na walang kahulugan:

(17+11):(5+4-10+1).

Kung, gamit ang mga simpleng kalkulasyon, binabawasan namin ang pangalawang bracket sa isang digit, kung gayon ito ay magiging zero.

Sa pamamagitan ng parehong prinsipyo, isang "honorary title" ay ibinibigay sa expression na ito:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebraic expression

Ito ang parehong numerical expression kung ang mga ipinagbabawal na titik ay idinagdag dito. Pagkatapos ito ay magiging ganap na algebraic. Maaari rin itong dumating sa lahat ng laki at hugis. Ang isang algebraic expression ay isang mas malawak na konsepto na kinabibilangan ng nauna. Ngunit makatuwiran na simulan ang pag-uusap hindi dito, ngunit sa isang numero, upang ito ay maging mas malinaw at mas madaling maunawaan. Pagkatapos ng lahat, kung ang isang algebraic expression ay may katuturan ay hindi isang napaka-komplikadong tanong, ngunit isa na may higit pang mga paglilinaw.

Bakit ganon?

Ang isang literal na expression o isang expression na may mga variable ay kasingkahulugan. Ang unang termino ay madaling ipaliwanag: pagkatapos ng lahat, naglalaman ito ng mga titik! Ang pangalawa ay hindi rin isang misteryo ng siglo: sa halip na mga titik, maaari mong palitan ang iba't ibang mga numero, bilang isang resulta kung saan ang kahulugan ng expression ay magbabago. Hindi mahirap hulaan na ang mga titik sa kasong ito ay ang mga variable. Sa pamamagitan ng pagkakatulad, ang mga numero ay pare-pareho.

At dito bumalik tayo sa pangunahing paksa: ano ang isang expression na walang kahulugan?

Mga halimbawa ng mga algebraic na expression na walang kahulugan

Ang kundisyon para sa kawalan ng kahulugan ng isang algebraic na expression ay kapareho ng para sa isang numerical, na may isang pagbubukod lamang, o, mas tiyak, isang karagdagan. Kapag nagko-convert at kinakalkula ang panghuling resulta, kailangan mong isaalang-alang ang mga variable, kaya ang tanong ay hindi ibinibigay bilang "aling expression ang hindi makatwiran?", ngunit "sa anong halaga ng variable ang hindi magkakaroon ng kahulugan ang expression na ito?" at "may halaga ba ang variable kung saan hindi na magkakaroon ng kahulugan ang expression?"

Halimbawa, (18-3):(a+11-9).

Ang ekspresyon sa itaas ay walang kahulugan kapag ang a ay katumbas ng -2.

Ngunit tungkol sa (a+3):(12-4-8) ligtas nating masasabi na ito ay isang expression na hindi makatwiran para sa anumang a.

Sa parehong paraan, kahit anong b ang ipalit mo sa expression (b - 11): (12+1), magkakaroon pa rin ito ng kahulugan.

Mga karaniwang problema sa paksang "Isang expression na walang kahulugan"

Pinag-aaralan ng ika-7 baitang ang paksang ito sa matematika, bukod sa iba pa, at ang mga takdang-aralin tungkol dito ay madalas na matatagpuan nang direkta pagkatapos ng kaukulang aralin, at bilang isang "panlinlang" na tanong sa mga module at pagsusulit.

Iyon ang dahilan kung bakit ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng mga tipikal na problema at pamamaraan para sa paglutas ng mga ito.

Halimbawa 1.

May katuturan ba ang expression:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Kinakailangan na isagawa ang lahat ng mga kalkulasyon sa mga bracket at dalhin ang expression sa form:

Ang huling resulta ay naglalaman ng dibisyon sa pamamagitan ng zero, kaya ang expression ay walang kahulugan.

Halimbawa 2.

Aling mga expression ang hindi makatuwiran?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Dapat mong kalkulahin ang panghuling halaga para sa bawat expression.

Sagot: 1; 2.

Halimbawa 3.

Hanapin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga para sa mga sumusunod na expression:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Ang hanay ng mga pinahihintulutang halaga (VA) ay ang lahat ng mga numero na, kapag pinalitan sa halip na mga variable, ang expression ay magkakaroon ng kahulugan.

Iyon ay, ang gawain ay parang ganito: maghanap ng mga halaga kung saan walang dibisyon sa pamamagitan ng zero.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), o b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), o b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Halimbawa 4.

Sa anong mga halaga ang expression sa ibaba ay walang kahulugan?

Ang pangalawang bracket ay katumbas ng zero kapag ang laro ay katumbas ng -3.

Sagot: y=-3

Halimbawa 4.

Alin sa mga expression ang hindi makatuwiran sa x = -14?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 at 3, dahil sa unang kaso, kung papalitan mo ang x = -14, kung gayon ang pangalawang bracket ay magiging katumbas ng -28, at hindi zero, tulad ng tunog sa kahulugan ng isang walang kahulugan na expression.

Halimbawa 5.

Bumuo at isulat ang isang expression na walang kahulugan.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebraic expression na may dalawang variable

Sa kabila ng katotohanan na ang lahat ng mga expression na walang kahulugan ay may parehong kakanyahan, may iba't ibang antas ng kanilang pagiging kumplikado. Kaya, maaari nating sabihin na ang mga numerical ay mga simpleng halimbawa, dahil mas madali ang mga ito kaysa sa algebraic. Ang bilang ng mga variable sa huli ay nagdaragdag sa kahirapan ng paglutas. Ngunit hindi sila dapat malito sa kanilang hitsura: ang pangunahing bagay ay tandaan ang pangkalahatang prinsipyo ng solusyon at ilapat ito, hindi alintana kung ang halimbawa ay katulad ng isang karaniwang problema o may ilang hindi kilalang mga karagdagan.

Halimbawa, maaaring lumitaw ang tanong kung paano lutasin ang naturang gawain.

Maghanap at isulat ang isang pares ng mga numero na hindi wasto para sa expression:

(x3 - x2y3 + 13x - 38y)/(12x2 - y).

Mga posibleng sagot:

Ngunit kung tutuusin, mukhang nakakatakot at masalimuot lamang, dahil sa katunayan ay naglalaman ito ng matagal nang kilala: mga numerong squaring at cubed, ilang operasyong aritmetika tulad ng paghahati, pagpaparami, pagbabawas at pagdaragdag. Para sa kaginhawahan, sa pamamagitan ng paraan, maaari mong bawasan ang problema sa fractional form.

Ang numerator ng resultang fraction ay hindi masaya: (x3 - x2y3 + 13x - 38y). Ito ay katotohanan. Ngunit may isa pang dahilan para sa kaligayahan: hindi mo na kailangang hawakan ito upang malutas ang gawain! Ayon sa kahulugan na tinalakay kanina, hindi mo maaaring hatiin sa zero, at kung ano ang eksaktong paghahatiin nito ay ganap na hindi mahalaga. Samakatuwid, iniiwan namin ang expression na ito na hindi nagbabago at pinapalitan ang mga pares ng mga numero mula sa mga pagpipiliang ito sa denominator. Tamang-tama na ang pangatlong punto, ginagawang zero ang isang maliit na bracket. Ngunit ang paghinto doon ay isang masamang rekomendasyon, dahil maaaring may ibang bagay na angkop. Sa katunayan: ang ikalimang punto ay angkop din at nababagay sa mga kondisyon.

Isulat namin ang sagot: 3 at 5.

Sa wakas

Tulad ng nakikita mo, ang paksang ito ay napaka-interesante at hindi partikular na kumplikado. Hindi ito magiging mahirap na malaman ito. Ngunit hindi kailanman masakit na magsanay ng ilang mga halimbawa!