Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice exponențiale. Ecuații trigonometrice mai complexe

16.10.2019

Conceptul de soluție ecuații trigonometrice.

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, convertiți-o într-una sau mai multe ecuații trigonometrice de bază. Rezolvarea unei ecuații trigonometrice se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor patru ecuații trigonometrice de bază.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază.

Există 4 tipuri de ecuații trigonometrice de bază:
sin x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază implică examinarea diferitelor poziții x pe cercul unității, precum și utilizarea unui tabel de conversie (sau calculator).
Exemplul 1. sin x = 0,866. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator) veți obține răspunsul: x = π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: 2π/3. Rețineți: toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, adică valorile lor se repetă. De exemplu, periodicitatea lui sin x și cos x este 2πn, iar periodicitatea lui tg x și ctg x este πn. Prin urmare, răspunsul este scris după cum urmează:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Exemplul 2. cos x = -1/2. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator) veți obține răspunsul: x = 2π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Exemplul 3. tg (x - π/4) = 0.
Răspuns: x = π/4 + πn.
Exemplul 4. ctg 2x = 1.732.
Răspuns: x = π/12 + πn.

Transformări utilizate în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

Pentru a transforma ecuațiile trigonometrice, utilizați transformări algebrice(factorizarea, reducerea termenilor omogene etc.) şi identități trigonometrice.
Exemplul 5: Folosind identități trigonometrice, ecuația sin x + sin 2x + sin 3x = 0 este convertită în ecuația 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Astfel, următoarele ecuații trigonometrice de bază trebuie rezolvate: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Găsirea unghiurilor prin valori cunoscute funcții.
- Înainte de a învăța cum să rezolvi ecuațiile trigonometrice, trebuie să înveți cum să găsești unghiuri folosind valorile funcțiilor cunoscute. Acest lucru se poate face folosind un tabel de conversie sau un calculator.
- Exemplu: cos x = 0,732. Calculatorul va da răspunsul x = 42,95 grade. Cercul unitar va da unghiuri suplimentare, al căror cosinus este, de asemenea, 0,732.
Pune deoparte soluția pe cercul unității.
- Puteți reprezenta soluțiile unei ecuații trigonometrice pe cercul unității. Soluțiile unei ecuații trigonometrice pe cercul unitar sunt vârfurile unui poligon regulat.
- Exemplu: Soluțiile x = π/3 + πn/2 pe cercul unitar reprezintă vârfurile pătratului.
- Exemplu: Soluțiile x = π/4 + πn/3 pe cercul unitar reprezintă vârfurile unui hexagon regulat.
Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
- Dacă o ecuație trigonometrică dată conține doar una functie trigonometrica, rezolvați această ecuație ca o ecuație trigonometrică de bază. Dacă o anumită ecuație include două sau mai multe funcții trigonometrice, atunci există 2 metode de rezolvare a unei astfel de ecuații (în funcție de posibilitatea transformării acesteia).
  - Metoda 1.
- Transformați această ecuație într-o ecuație de forma: f(x)*g(x)*h(x) = 0, unde f(x), g(x), h(x) sunt ecuațiile trigonometrice de bază.
- Exemplul 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Soluţie. Folosind formula unghiului dublu sin 2x = 2*sin x*cos x, înlocuiți sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos x = 0 și (sin x + 1) = 0.
- Exemplul 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2cos x + 1) = 0.
- Exemplul 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2sin x + 1) = 0 .
  - Metoda 2.
- Convertiți ecuația trigonometrică dată într-o ecuație care conține o singură funcție trigonometrică. Apoi înlocuiți această funcție trigonometrică cu una necunoscută, de exemplu, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t etc.).
- Exemplul 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Soluţie. În această ecuație, înlocuiți (cos^2 x) cu (1 - sin^2 x) (în funcție de identitate). Ecuația transformată este:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Înlocuiți sin x cu t. Acum, ecuația arată astfel: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Aceasta este o ecuație pătratică care are două rădăcini: t1 = -1 și t2 = 9/5. A doua rădăcină t2 nu satisface domeniul de funcții (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Exemplul 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Soluţie. Înlocuiți tg x cu t. Rescrieți ecuația inițială după cum urmează: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Acum găsiți t și apoi găsiți x pentru t = tan x.

Când rezolvi multe probleme matematice, în special cele care apar înainte de clasa a 10-a, este clar definită ordinea acțiunilor efectuate care vor duce la obiectiv. Astfel de probleme includ, de exemplu, ecuații liniare și pătratice, inegalități liniare și pătratice, ecuații fracționale și ecuații care se reduc la cele pătratice. Principiul rezolvării cu succes a fiecăreia dintre problemele menționate este următorul: este necesar să se stabilească ce tip de problemă se rezolvă, să se rețină succesiunea necesară de acțiuni care vor duce la rezultatul dorit, adică răspundeți și urmați acești pași.

Este evident că succesul sau eșecul în rezolvarea unei anumite probleme depinde în principal de cât de corect este determinat tipul de ecuație care se rezolvă, cât de corect este reprodusă succesiunea tuturor etapelor rezolvării acesteia. Desigur, în acest caz este necesar să aveți abilitățile de a efectua transformări și calcule identice.

Situația este diferită cu ecuații trigonometrice. Nu este deloc greu de stabilit faptul că ecuația este trigonometrică. Apar dificultăți la determinarea succesiunii de acțiuni care ar duce la răspunsul corect.

De aspect ecuație, uneori este dificil să-i determine tipul. Și fără a cunoaște tipul de ecuație, este aproape imposibil să o alegeți pe cea potrivită din câteva zeci de formule trigonometrice.

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, trebuie să încercați:

1. aduceți toate funcțiile incluse în ecuație la „aceleași unghiuri”;
2. aduceți ecuația la „funcții identice”;
3. desfășurare partea stanga ecuații de factorizare etc.

Sa luam in considerare metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

I. Reducerea la cele mai simple ecuații trigonometrice

Diagrama soluției

Pasul 1. Exprimați o funcție trigonometrică în termeni de componente cunoscute.

Pasul 2. Găsiți argumentul funcției folosind formulele:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Pasul 3. Găsiți variabila necunoscută.

Exemplu.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Soluţie.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Răspuns: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Înlocuire variabilă

Diagrama soluției

Pasul 1. Reduceți ecuația la formă algebrică în raport cu una dintre funcțiile trigonometrice.

Pasul 2. Notați funcția rezultată prin variabila t (dacă este necesar, introduceți restricții asupra t).

Pasul 3. Scrieți și rezolvați ecuația algebrică rezultată.

Pasul 4. Faceți o înlocuire inversă.

Pasul 5. Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.

Exemplu.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Soluţie.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Fie sin (x/2) = t, unde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 sau e = -3/2, nu satisface condiția |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Răspuns: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda de reducere a ordinii ecuațiilor

Diagrama soluției

Pasul 1.Înlocuiți această ecuație cu una liniară, folosind formula de reducere a gradului:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metodele I și II.

Exemplu.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Soluţie.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Răspuns: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuații omogene

Diagrama soluției

Pasul 1. Reduceți această ecuație la forma

a) a sin x + b cos x = 0 (ecuația omogenă de gradul I)

sau la vedere

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ecuația omogenă de gradul doi).

Pasul 2.Împărțiți ambele părți ale ecuației la

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

și obțineți ecuația pentru tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Pasul 3. Rezolvați ecuația folosind metode cunoscute.

Exemplu.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Soluţie.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Fie tg x = t, atunci

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 sau t = -4, ceea ce înseamnă

tg x = 1 sau tg x = -4.

Din prima ecuație x = π/4 + πn, n Є Z; din a doua ecuaţie x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda de transformare a unei ecuații folosind formule trigonometrice

Diagrama soluției

Pasul 1. Folosind toate formulele trigonometrice posibile, reduceți această ecuație la o ecuație rezolvată prin metodele I, II, III, IV.

Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metode cunoscute.

Exemplu.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Soluţie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 sau 2cos x + 1 = 0;

Din prima ecuație 2x = π/2 + πn, n Є Z; din a doua ecuație cos x = -1/2.

Avem x = π/4 + πn/2, n Є Z; din a doua ecuație x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ca rezultat, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Abilitatea și deprinderea de a rezolva ecuații trigonometrice este foarte important, dezvoltarea lor necesită un efort semnificativ, atât din partea elevului, cât și din partea profesorului.

Multe probleme de stereometrie, fizică etc. sunt asociate cu rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.Procesul de rezolvare a unor astfel de probleme întruchipează multe dintre cunoștințele și abilitățile care sunt dobândite prin studierea elementelor de trigonometrie.

Ecuațiile trigonometrice ocupă un loc important în procesul de învățare a matematicii și în dezvoltarea personală în general.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele necesare pentru succes promovarea examenului de stat unificat la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.

Când rezolvi multe probleme matematice, în special cele care apar înainte de clasa a 10-a, este clar definită ordinea acțiunilor efectuate care vor duce la obiectiv. Astfel de probleme includ, de exemplu, ecuații liniare și pătratice, inegalități liniare și pătratice, ecuații fracționale și ecuații care se reduc la cele pătratice. Principiul rezolvării cu succes a fiecăreia dintre problemele menționate este următorul: trebuie să stabiliți ce tip de problemă rezolvați, să vă amintiți succesiunea necesară de acțiuni care vor duce la rezultatul dorit, adică. răspundeți și urmați acești pași.

Este uneori dificil de determinat tipul său pe baza aspectului unei ecuații. Și fără a cunoaște tipul de ecuație, este aproape imposibil să o alegeți pe cea potrivită din câteva zeci de formule trigonometrice.

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, trebuie să încercați:

1. aduceți toate funcțiile incluse în ecuație la „aceleași unghiuri”;
2. aduceți ecuația la „funcții identice”;
3. factorizează partea stângă a ecuației etc.

Sa luam in considerare metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

I. Reducerea la cele mai simple ecuații trigonometrice

Diagrama soluției

Pasul 1. Exprimați o funcție trigonometrică în termeni de componente cunoscute.

Pasul 2. Găsiți argumentul funcției folosind formulele:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Pasul 3. Găsiți variabila necunoscută.

Exemplu.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Soluţie.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Răspuns: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Înlocuire variabilă

Diagrama soluției

Pasul 1. Reduceți ecuația la formă algebrică în raport cu una dintre funcțiile trigonometrice.

Pasul 2. Notați funcția rezultată prin variabila t (dacă este necesar, introduceți restricții asupra t).

Pasul 3. Scrieți și rezolvați ecuația algebrică rezultată.

Pasul 4. Faceți o înlocuire inversă.

Pasul 5. Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.

Exemplu.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Soluţie.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Fie sin (x/2) = t, unde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 sau e = -3/2, nu satisface condiția |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Răspuns: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda de reducere a ordinii ecuațiilor

Diagrama soluției

Pasul 1.Înlocuiți această ecuație cu una liniară, folosind formula de reducere a gradului:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metodele I și II.

Exemplu.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Soluţie.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Răspuns: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuații omogene

Diagrama soluției

Pasul 1. Reduceți această ecuație la forma

a) a sin x + b cos x = 0 (ecuația omogenă de gradul I)

sau la vedere

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ecuația omogenă de gradul doi).

Pasul 2.Împărțiți ambele părți ale ecuației la

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

și obțineți ecuația pentru tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Pasul 3. Rezolvați ecuația folosind metode cunoscute.

Exemplu.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Soluţie.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Fie tg x = t, atunci

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 sau t = -4, ceea ce înseamnă

tg x = 1 sau tg x = -4.

Din prima ecuație x = π/4 + πn, n Є Z; din a doua ecuaţie x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda de transformare a unei ecuații folosind formule trigonometrice

Diagrama soluției

Pasul 1. Folosind toate formulele trigonometrice posibile, reduceți această ecuație la o ecuație rezolvată prin metodele I, II, III, IV.

Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metode cunoscute.

Exemplu.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Soluţie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 sau 2cos x + 1 = 0;

Din prima ecuație 2x = π/2 + πn, n Є Z; din a doua ecuație cos x = -1/2.

Avem x = π/4 + πn/2, n Є Z; din a doua ecuație x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ca rezultat, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Abilitatea și deprinderea de a rezolva ecuații trigonometrice este foarte important, dezvoltarea lor necesită un efort semnificativ, atât din partea elevului, cât și din partea profesorului.

Ecuațiile trigonometrice ocupă un loc important în procesul de învățare a matematicii și în dezvoltarea personală în general.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Lecție și prezentare pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Manuale si simulatoare in magazinul online Integral pentru nota 10 din 1C
Rezolvarea problemelor de geometrie. Sarcini interactive pentru construirea în spațiu
Mediul software „1C: Mathematical Constructor 6.1”

Ce vom studia:
1. Ce sunt ecuațiile trigonometrice?

3. Două metode principale de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
4. Ecuații trigonometrice omogene.
5. Exemple.

Ce sunt ecuațiile trigonometrice?

Băieți, am studiat deja arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. Acum să ne uităm la ecuațiile trigonometrice în general.

Ecuațiile trigonometrice sunt ecuații în care o variabilă este conținută sub semnul unei funcții trigonometrice.

Să repetăm forma rezolvării celor mai simple ecuații trigonometrice:

1)Dacă |a|≤ 1, atunci ecuația cos(x) = a are o soluție:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Dacă |a|≤ 1, atunci ecuația sin(x) = a are o soluție:

3) Dacă |a| > 1, atunci ecuația sin(x) = a și cos(x) = a nu au soluții 4) Ecuația tg(x)=a are o soluție: x=arctg(a)+ πk

5) Ecuația ctg(x)=a are o soluție: x=arcctg(a)+ πk

Pentru toate formulele k este un număr întreg

Cele mai simple ecuații trigonometrice au forma: T(kx+m)=a, T este o funcție trigonometrică.

Exemplu.

Rezolvați ecuațiile: a) sin(3x)= √3/2

Soluţie:

A) Să notăm 3x=t, atunci ne vom rescrie ecuația sub forma:

Soluția acestei ecuații va fi: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Din tabelul de valori obținem: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Să revenim la variabila noastră: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Atunci x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Răspuns: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, unde n este un număr întreg. (-1)^n – minus unu la puterea lui n.

Mai multe exemple de ecuații trigonometrice.

Rezolvați ecuațiile: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Soluţie:

A) De data aceasta, să trecem direct la calcularea rădăcinilor ecuației:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Atunci x/5= πk => x=5πk

Răspuns: x=5πk, unde k este un număr întreg.

B) O scriem sub forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Știm că: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Răspuns: x=2π/9 + πk/3, unde k este un număr întreg.

Rezolvați ecuațiile: cos(4x)= √2/2. Și găsiți toate rădăcinile de pe segment.

Soluţie:

Vom decide în vedere generala ecuația noastră: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Acum să vedem ce rădăcini cad pe segmentul nostru. La k La k=0, x= π/16, suntem în segmentul dat.
Cu k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, lovim din nou.
Pentru k=2, x= π/16+ π=17π/16, dar aici nu am lovit, ceea ce înseamnă că pentru k mare, evident, nu vom lovi.

Răspuns: x= π/16, x= 9π/16

Două metode principale de soluție.

Ne-am uitat la cele mai simple ecuații trigonometrice, dar există și altele mai complexe. Pentru rezolvarea acestora se utilizează metoda introducerii unei noi variabile și metoda factorizării. Să ne uităm la exemple.

Să rezolvăm ecuația:

Soluţie:
Pentru a ne rezolva ecuația, vom folosi metoda introducerii unei noi variabile, notând: t=tg(x).

Ca rezultat al înlocuirii obținem: t 2 + 2t -1 = 0

Să găsim rădăcinile ecuație pătratică: t=-1 si t=1/3

Atunci tg(x)=-1 și tg(x)=1/3, obținem cea mai simplă ecuație trigonometrică, să-i găsim rădăcinile.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Răspuns: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații

Rezolvați ecuații: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Soluţie:

Să folosim identitatea: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Ecuația noastră va lua forma: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Să introducem înlocuirea t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Soluția ecuației noastre pătratice este rădăcinile: t=2 și t=-1/2

Atunci cos(x)=2 și cos(x)=-1/2.

Deoarece Cosinusul nu poate lua valori mai mari de unu, atunci cos(x)=2 nu are rădăcini.

Pentru cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Răspuns: x= ±2π/3 + 2πk

Ecuații trigonometrice omogene.

Definiție: Ecuațiile de forma a sin(x)+b cos(x) se numesc ecuații trigonometrice omogene de gradul I.

Ecuații de formă

ecuații trigonometrice omogene de gradul doi.

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică omogenă de gradul I, împărțiți-o la cos(x): Nu puteți împărți la cosinus dacă este egal cu zero, să ne asigurăm că nu este cazul:
Fie cos(x)=0, apoi asin(x)+0=0 => sin(x)=0, dar sinusul și cosinusul nu sunt egale cu zero în același timp, obținem o contradicție, deci putem împărți în siguranță cu zero.

Rezolvați ecuația:
Exemplu: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Soluţie:

Să scoatem factorul comun: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Atunci trebuie să rezolvăm două ecuații:

Cos(x)=0 și cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 la x= π/2 + πk;

Luați în considerare ecuația cos(x)+sin(x)=0 Împărțiți ecuația noastră la cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Răspuns: x= π/2 + πk și x= -π/4+πk

Cum se rezolvă ecuații trigonometrice omogene de gradul doi?
Băieți, respectați întotdeauna aceste reguli!

1. Vezi cu ce este egal coeficientul a, dacă a=0 atunci ecuația noastră va lua forma cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), un exemplu a cărui soluție este pe diapozitivul anterior

2. Dacă a≠0, atunci trebuie să împărțiți ambele părți ale ecuației la cosinusul la pătrat, obținem:

Schimbăm variabila t=tg(x) și obținem ecuația: