Suma a două unghiuri opuse ale unui paralelogram. Cum să găsiți unghiul ascuțit al unui paralelogram

Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele, adică. se află pe linii paralele

Proprietățile unui paralelogram:
Teorema 22. Laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale.
Dovada. În paralelogramul ABCD desenăm o diagonală AC. Triunghiurile ACD și ACB sunt congruente, având o latură comună AC și două perechi de unghiuri egale. adiacent acestuia: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (ca unghiuri transversale cu drepte paralele AD și BC). Aceasta înseamnă că AB = CD și BC = AD, ca laturile corespunzătoare ale triunghiurilor egale etc. Din egalitatea acestor triunghiuri rezultă, de asemenea, că unghiurile corespunzătoare ale triunghiurilor sunt egale:
Teorema 23. Unghiurile opuse ale paralelogramului sunt egale: ∠ A=∠ C și ∠ B=∠ D.
Egalitatea primei perechi provine din egalitatea triunghiurilor ABD și CBD, iar a doua - ABC și ACD.
Teorema 24. Unghiurile adiacente ale unui paralelogram, de ex. unghiurile adiacente unei laturi se adaugă până la 180 de grade.
Acest lucru se datorează faptului că sunt unghiuri interioare unilaterale.
Teorema 25. Diagonalele unui paralelogram se bisectează în punctul lor de intersecție.
Dovada. Luați în considerare triunghiurile BOC și AOD. Conform primei proprietăți AD=BC ∠ OAD=∠ OCB și ∠ ODA=∠ OBC situat transversal pentru drepte paralele AD și BC. Prin urmare, triunghiurile BOC și AOD sunt egale în laturi și unghiuri adiacente. Aceasta înseamnă BO=OD și AO=OS, ca laturile corespunzătoare ale triunghiurilor egale etc.

Semne ale unui paralelogram
Teorema 26. Dacă laturile opuse ale unui patrulater sunt egale în perechi, atunci acesta este un paralelogram.
Dovada. Fie patrulaterul ABCD să aibă laturile AD și BC, AB și respectiv CD egale (Fig. 2). Să desenăm diagonala AC. Triunghiurile ABC și ACD sunt egale pe trei laturi. Atunci unghiurile BAC și DCA sunt egale și, prin urmare, AB este paralel cu CD. Paralelismul laturilor BC și AD rezultă din egalitatea unghiurilor CAD și ACB.
Teorema 27. Dacă unghiurile opuse ale unui patrulater sunt egale în perechi, atunci acesta este un paralelogram.
Fie ∠ A=∠ C și ∠ B=∠ D. Deoarece ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, atunci ∠ A+∠ B=180 o iar laturile AD și BC sunt paralele (pe baza paralelismului dreptelor). Vom demonstra, de asemenea, paralelismul laturilor AB și CD și vom concluziona că ABCD este un paralelogram prin definiție.
Teorema 28. Dacă colțurile adiacente ale unui patrulater, de ex. Unghiurile adiacente unei laturi se adună până la 180 de grade, apoi este un paralelogram.
Dacă unghiurile interioare unilaterale se adună până la 180 de grade, atunci liniile drepte sunt paralele. Deci AB este paralel cu CD și BC este paralel cu AD. Un patrulater se dovedește a fi un paralelogram prin definiție.
Teorema 29. Dacă diagonalele unui patrulater se bisectează în punctul de intersecție, atunci patrulaterul este un paralelogram.
Dovada. Dacă AO = OC, BO = OD, atunci triunghiurile AOD și BOC sunt egale, ca având unghiuri egale (verticale) la vârful O, închise între perechi de laturi egale. Din egalitatea triunghiurilor concluzionăm că AD și BC sunt egale. Laturile AB și CD sunt de asemenea egale, iar patrulaterul se dovedește a fi un paralelogram conform criteriului 1.
Teorema 30. Dacă un patrulater are o pereche de laturi egale, paralele, atunci este un paralelogram.
Fie laturile AB și CD ale patrulaterului ABCD să fie paralele și egale. Să desenăm diagonalele AC și BD. Din paralelismul acestor drepte rezultă că unghiurile transversale ABO = CDO și BAO = OCD sunt egale. Triunghiurile ABO și CDO sunt egale în laturi și unghiuri adiacente. Prin urmare AO=OS, VO=ОD, i.e. Diagonalele sunt împărțite la jumătate de punctul de intersecție și patrulaterul se dovedește a fi un paralelogram conform criteriului 4.

În geometrie sunt luate în considerare cazuri speciale de paralelograme.

CADAGONE.

§43. PARALELOGRAM.

1. Definiția unui paralelogram.

Dacă intersectăm o pereche de drepte paralele cu o altă pereche de drepte paralele, obținem un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi.

În patrulaterele ABC și EFNM (Fig. 224) ВD || AC și AB || CD;
EF || MN și EM || FN.

Un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi se numește paralelogram.

2. Proprietăţile unui paralelogram.

Teorema. Diagonala unui paralelogram îl împarte în două triunghiuri egale.

Să existe un paralelogram ABC (Fig. 225), în care AB || CD și AC || ВD.

Trebuie să demonstrați că diagonala o împarte în două triunghiuri egale.

Să desenăm diagonala CB în paralelogramul ABC. Să demonstrăm asta /\ CAB= /\ СДВ.

Latura NE este comună acestor triunghiuri; / ABC = / BCD, ca unghiuri transversale interne cu AB și CD paralele și CB secante; / DIA = / СВD, de asemenea, ca și unghiurile transversale interne cu AC și ВD paralele și CB secante (§ 38).

De aici /\ CAB = /\ СДВ.

În același mod, se poate demonstra că diagonala AD va împărți paralelogramul în două triunghiuri egale ACD și ABD.

Consecințe. 1 . Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale între ele.

/ A = / D, aceasta rezultă din egalitatea triunghiurilor CAB și CDB.
De asemenea / C = / ÎN.

2. Laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale între ele.

AB = CD și AC = BD, deoarece acestea sunt laturile triunghiurilor egale și se află opuse unghiurilor egale.

Teorema 2. Diagonalele unui paralelogram sunt împărțite în jumătate în punctul de intersecție.

Fie BC și AD diagonalele paralelogramului ABC (Fig. 226). Să demonstrăm că AO = OD și CO = OB.

Pentru a face acest lucru, comparați o pereche de triunghiuri opuse, de exemplu /\ AOB și /\ COD.

În aceste triunghiuri AB = CD, ca laturile opuse ale unui paralelogram;
/ 1 = / 2, ca unghiuri interioare situate transversal cu paralele AB și CD și secante AD;
/ 3 = / 4 din același motiv, întrucât AB || CD și CB sunt secantele lor (§ 38).

Rezultă că /\ AOB = /\ COD. Și în triunghiuri egale, laturile egale se află opuse unghiurilor egale. Prin urmare, AO = OD și CO = OB.

Teorema 3. Suma unghiurilor adiacente unei laturi a paralelogramului este egală cu 2 d .

Demonstrează-l singur.

3. Semne ale unui paralelogram.

Teorema. Dacă laturile opuse ale unui patrulater sunt egale în perechi, atunci acest patrulater este un paralelogram.

Fie în patrulaterul ABC (Desen 227) AB = CD și AC = BD. Să demonstrăm că în această condiție AB || CD și AC || ВD, adică patrulaterul АВDC este un paralelogram.
Să conectăm cu un segment vreo două vârfuri opuse ale acestui patrulater, de exemplu C și B. Patrulaterul ABCD este împărțit în două triunghiuri egale: /\ CAB și /\ СДВ. De fapt, au aceeași latură CB, AB = CD și AC = BD conform condiției. Astfel, trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altuia, prin urmare /\ CAB = /\ СДВ.

În triunghiuri egale, laturile egale sunt opuse unghiuri egale, De aceea
/ 1 = / 2 și / 3 = / 4.

Unghiurile 1 și 2 sunt unghiuri interne situate transversal la intersecția dreptelor AB și CD ale dreptei CB. Prin urmare AB || CD.

În același mod, unghiurile 3 și 4 sunt unghiuri interne situate transversal la intersecția dreptelor CA și BD ale dreptei CB, prin urmare, CA || ВD (§ 35).

Astfel, laturile opuse ale patrulaterului ABCD sunt paralele în perechi, prin urmare, este un paralelogram, ceea ce trebuia demonstrat.

Teorema 2. Dacă două laturi opuse ale unui patrulater sunt egale și paralele, atunci patrulaterul este un paralelogram.

Fie AB = CD în patrulater ABCD și AB || CD. Să demonstrăm că în aceste condiţii patrulaterul ABC este un paralelogram (Fig. 228).

Să conectăm vârfurile C și B cu un segment CB. Datorită paralelismului dreptelor AB și CD, unghiurile 1 și 2, ca unghiuri interne situate transversal, sunt egale (§ 38).
Atunci triunghiul CAB este egal cu triunghiul CDB, deoarece au o latură comună CB,
AB = CD conform condiţiilor teoremei şi / 1 = / 2 conform dovedit. Egalitatea acestor triunghiuri implică egalitatea unghiurilor 3 și 4, deoarece ele se află opuse laturi egale în triunghiuri egale.

Dar unghiurile 3 și 4 sunt unghiuri transversale interne formate prin intersecția dreptelor AC și BD ale dreptei CB, prin urmare, AC || ВD (§ 35), adică un patrulater
ABC este un paralelogram.

Exerciții.

1. Demonstrați că dacă diagonalele unui patrulater în punctul de intersecție reciprocă sunt împărțite la jumătate, atunci acest patrulater este un paralelogram.

2. Demonstrați că un patrulater a cărui sumă colțurile interne adiacent la fiecare dintre cele două laturi adiacente este egal cu 2 d, există un paralelogram.

3. Construiți un paralelogram folosind două laturi și unghiul dintre ele:

a) folosind paralelismul laturilor opuse ale unui paralelogram;
b) folosind egalitatea laturilor opuse ale unui paralelogram.

4. Construiți un paralelogram folosind două laturi adiacente și o diagonală.

5. Construiți un paralelogram folosind cele două diagonale ale sale și unghiul dintre ele.

6. Construiți un paralelogram folosind latura și două diagonale.

La fel ca în geometria euclidiană, un punct și o dreaptă sunt elementele principale ale teoriei planelor, așadar paralelogramul este una dintre figurile cheie ale patrulaterelor convexe. Din el, ca firele dintr-o minge, curg conceptele de „dreptunghi”, „pătrat”, „romb” și alte cantități geometrice.

In contact cu

Definiţia parallelogram

patrulater convex, format din segmente, fiecare pereche fiind paralelă, este cunoscut în geometrie ca paralelogram.

Cum arată un paralelogram clasic este reprezentat de un patrulater ABCD. Laturile se numesc baze (AB, BC, CD și AD), perpendiculara trasată de la orice vârf pe latura opusă acestui vârf se numește înălțime (BE și BF), liniile AC și BD se numesc diagonale.

Atenţie! Pătratul, rombul și dreptunghiul sunt cazuri speciale de paralelogram.

Laturi și unghiuri: caracteristici ale relației

Proprietățile cheie, în general, predeterminat de denumirea în sine, ele sunt dovedite prin teoremă. Aceste caracteristici sunt după cum urmează:

1. Laturile opuse sunt identice în perechi.
2. Unghiurile opuse unul altuia sunt egale în perechi.

Demonstrație: Se consideră ∆ABC și ∆ADC, care se obțin prin împărțirea patrulaterului ABCD cu dreapta AC. ∠BCA=∠CAD și ∠BAC=∠ACD, deoarece AC este comun pentru ele (unghiuri verticale pentru BC||AD și respectiv AB||CD). Din aceasta rezultă: ∆ABC = ∆ADC (al doilea semn de egalitate a triunghiurilor).

Segmentele AB și BC din ∆ABC corespund în perechi dreptelor CD și AD din ∆ADC, ceea ce înseamnă că sunt identice: AB = CD, BC = AD. Astfel, ∠B corespunde lui ∠D și sunt egale. Deoarece ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, care sunt de asemenea identice pe perechi, atunci ∠A = ∠C. Proprietatea a fost dovedită.

Caracteristicile diagonalelor unei figuri

Caracteristica principală dintre aceste drepte ale unui paralelogram: punctul de intersecție le împarte în jumătate.

Dovada: Fie, adică, punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD ale figurii ABCD. Ele formează două triunghiuri proporționale - ∆ABE și ∆CDE.

AB=CD deoarece sunt opuse. Conform dreptelor și secantei, ∠ABE = ∠CDE și ∠BAE = ∠DCE.

După al doilea criteriu de egalitate, ∆ABE = ∆CDE. Aceasta înseamnă că elementele ∆ABE și ∆CDE: AE = CE, BE = DE și în același timp sunt părți proporționale ale AC și BD. Proprietatea a fost dovedită.

Caracteristicile colțurilor adiacente

Laturile adiacente au o sumă de unghiuri egală cu 180°, din moment ce se află pe aceeași parte linii paralele si secante. Pentru patrulater ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Proprietățile bisectoarei:

1. , coborâte într-o parte, sunt perpendiculare;
2. vârfurile opuse au bisectoare paralele;
3. triunghiul obţinut prin trasarea unei bisectoare va fi isoscel.

Determinarea trăsăturilor caracteristice ale unui paralelogram folosind teorema

Caracteristicile acestei figuri decurg din teorema ei principală, care afirmă următoarele: un patrulater este considerat paralelogramîn cazul în care diagonalele sale se intersectează, iar acest punct le împarte în segmente egale.

Dovada: fie dreptele AC și BD ale patrulaterului ABCD să se intersecteze la i.e. Deoarece ∠AED = ∠BEC și AE+CE=AC BE+DE=BD, atunci ∆AED = ∆BEC (după primul criteriu pentru egalitatea triunghiurilor). Adică ∠EAD = ∠ECB. Ele sunt, de asemenea, unghiurile transversale interne ale secantei AC pentru liniile AD și BC. Astfel, prin definiția paralelismului - AD || B.C. O proprietate similară a liniilor BC și CD este, de asemenea, derivată. Teorema a fost demonstrată.

Calcularea ariei unei figuri

Zona acestei figuri găsit prin mai multe metode una dintre cele mai simple: înmulțirea înălțimii și a bazei la care este trasă.

Demonstrație: trageți perpendicularele BE și CF de la vârfurile B și C. ∆ABE și ∆DCF sunt egale, deoarece AB = CD și BE = CF. ABCD este egală ca mărime cu dreptunghiul EBCF, deoarece sunt formate din cifre proporționale: S ABE și S EBCD, precum și S DCF și S EBCD. De aici rezultă că zona acestuia figură geometrică este situat în același mod ca un dreptunghi:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Pentru a determina formula generală pentru aria unui paralelogram, să notăm înălțimea ca hb, iar partea - b. Respectiv:

Alte modalități de a găsi zonă

Calcule de suprafață prin laturile paralelogramului și unghiului, pe care o formează, este a doua metodă cunoscută.

,

Spr-ma - zona;

a și b sunt laturile sale

α este unghiul dintre segmentele a și b.

Această metodă se bazează practic pe prima, dar în cazul în care este necunoscută. decupează întotdeauna un triunghi dreptunghic ai cărui parametri se găsesc identități trigonometrice, acesta este . Transformând relația, obținem . În ecuația primei metode, înlocuim înălțimea cu acest produs și obținem o dovadă a validității acestei formule.

Prin diagonalele unui paralelogram și unghiul, pe care le creează atunci când se intersectează, puteți găsi și zona.

Dovada: AC și BD se intersectează pentru a forma patru triunghiuri: ABE, BEC, CDE și AED. Suma lor este egală cu aria acestui patrulater.

Aria fiecăruia dintre aceste ∆ poate fi găsită prin expresia , unde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Din moment ce , calculele folosesc o singură valoare sinus. Acesta este . Deoarece AE+CE=AC= d 1 și BE+DE=BD= d 2, formula ariei se reduce la:

.

Aplicație în algebră vectorială

Caracteristicile părților constitutive ale acestui patrulater și-au găsit aplicație în algebra vectorială, și anume adăugarea a doi vectori. Regula paralelogramului prevede că dacă se dau vectoriȘiNusunt coliniare, atunci suma lor va fi egală cu diagonala acestei figuri, ale cărei baze corespund acestor vectori.

Dovada: de la un început ales arbitrar - i.e. - construirea vectorilor si . În continuare, construim un paralelogram OASV, unde segmentele OA și OB sunt laturi. Astfel, sistemul de operare se află pe vector sau sumă.

Formule pentru calcularea parametrilor unui paralelogram

Identitățile sunt date în următoarele condiții:

1. a și b, α - laturile și unghiul dintre ele;
2. d 1 și d 2, γ - diagonalele și în punctul de intersecție a acestora;
3. h a și h b - înălțimi coborâte pe laturile a și b;

Parametru	Formulă
Găsirea laturilor
de-a lungul diagonalelor și cosinusului unghiului dintre ele
de-a lungul diagonalelor și laturilor
prin înălţime şi vârful opus
Aflarea lungimii diagonalelor
pe laturi si marimea apexului dintre ele

Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi. De asemenea, un paralelogram are următoarele proprietăți: laturile opuse sunt egale, unghiurile opuse sunt egale și suma tuturor unghiurilor este de 360 ​​de grade.

Vei avea nevoie

• Cunoștințe de geometrie.

Instrucțiuni

1. Să ne imaginăm că unul dintre unghiurile paralelogramului este dat și este egal cu A. Să găsim valorile celor 3 rămase. Conform proprietății paralelogramului, unghiurile opuse sunt egale. Aceasta înseamnă că unghiul opus celui dat este egal cu cel dat și valoarea lui este egală cu A.

2. Să găsim celelalte două colțuri. Deoarece suma tuturor unghiurilor dintr-un paralelogram este egală cu 360 de grade, iar unghiurile opuse sunt egale între ele, rezultă că unghiul aparținând aceleiași laturi cu cea dată este egal cu (360 - 2A)/2. Ei bine, fie după reformă obținem 180 - A. Astfel, într-un paralelogram, două unghiuri sunt egale cu A, iar celelalte două unghiuri sunt egale cu 180 - A.

Notă!
Valoarea unui unghi nu poate depăși 180 de grade. Valorile unghiului obținute pot fi ușor verificate. Pentru a face acest lucru, adună-le și, dacă suma este 360, totul este calculat corect.

Sfaturi utile
Un dreptunghi și un romb sunt cazuri speciale ale unui paralelogram; prin urmare, li se aplică toate proprietățile și metodele de calculare a unghiurilor.

Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele, adică se află pe linii paralele (Fig. 1).

Teorema 1. Despre proprietățile laturilor și unghiurilor unui paralelogram.Într-un paralelogram, laturile opuse sunt egale, unghiurile opuse sunt egale, iar suma unghiurilor adiacente unei laturi a paralelogramului este de 180°.

Dovada. În acest paralelogram ABCD desenăm o diagonală AC și obținem două triunghiuri ABC și ADC (Fig. 2).

Aceste triunghiuri sunt egale, deoarece ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (unghiuri transversale pentru drepte paralele), iar latura AC este comună. Din egalitatea Δ ABC = Δ ADC rezultă că AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Suma unghiurilor adiacente unei laturi, de exemplu unghiurile A și D, este egală cu 180° ca unilateral pentru linii paralele. Teorema a fost demonstrată.

Cometariu. Egalitatea laturilor opuse ale unui paralelogram înseamnă că segmentele de paralele tăiate de paralele sunt egale.

Corolarul 1. Dacă două drepte sunt paralele, atunci toate punctele de pe o dreaptă sunt la aceeași distanță de cealaltă dreaptă.

Dovada. Într-adevăr, să fie un || b (Fig. 3).

Să desenăm perpendicularele BA și CD pe dreapta a din vreo două puncte B și C ale liniei b. Din moment ce AB || CD, atunci figura ABCD este un paralelogram și, prin urmare, AB = CD.

Distanța dintre două drepte paralele este distanța de la un punct arbitrar de pe una dintre linii la cealaltă dreaptă.

Conform celor dovedite, este egală cu lungimea perpendicularei trase dintr-un punct al uneia dintre drepte paralele la cealaltă dreaptă.

Exemplul 1. Perimetrul paralelogramului este de 122 cm.Una dintre laturile sale este cu 25 cm mai mare decât cealaltă.Aflați laturile paralelogramului.

Soluţie. După teorema 1, laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale. Să notăm o parte a paralelogramului cu x și cealaltă cu y. Apoi, prin condiția $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Rezolvând acest sistem, obținem x = 43, y = 18 Astfel, laturile paralelogramului sunt de 18, 43, 18 și 43 cm.

Exemplul 2.

Soluţie. Fie că Figura 4 îndeplinește condițiile problemei.

Notăm AB cu x și BC cu y. Conform condiției, perimetrul paralelogramului este de 10 cm, adică 2(x + y) = 10, sau x + y = 5. Perimetrul triunghiului ABD este de 8 cm. Și deoarece AB + AD = x + y = 5 apoi BD = 8 - 5 = 3. Deci BD = 3 cm.

Exemplul 3. Aflați unghiurile paralelogramului, știind că unul dintre ele este cu 50° mai mare decât celălalt.

Soluţie. Fie ca Figura 5 să îndeplinească condițiile problemei.

Să notăm gradul de măsură a unghiului A cu x. Atunci măsura gradului unghiului D este x + 50°.

Unghiurile BAD și ADC sunt unghiuri interioare unilaterale cu drepte paralele AB și DC și secante AD. Apoi suma acestor unghiuri numite va fi 180°, adică.
x + x + 50° = 180° sau x = 65°. Astfel, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Exemplul 4. Laturile paralelogramului sunt de 4,5 dm și 1,2 dm. O bisectoare este trasată de la vârful unui unghi ascuțit. În ce părți împarte latura mai mare a paralelogramului?

Soluţie. Fie că Figura 6 îndeplinește condițiile problemei.

AE este bisectoarea unui unghi ascuțit al unui paralelogram. Prin urmare, ∠ 1 = ∠ 2.