Regula de rezolvare a algoritmului pentru inegalitățile trigonometrice simple. Rezolvarea inegalităților trigonometrice simple
Proiect de algebră „Soluție” inegalități trigonometrice» Completat de o elevă de clasa a 10-a „B” Kazachkova Yulia Conducător: profesor de matematică Kochakova N.N.
Scop Consolidarea materialului pe tema „Rezolvarea inegalităților trigonometrice” și crearea unui memento pentru ca studenții să se pregătească pentru examenul viitor.
Obiective: Rezumați materialul pe această temă. Sistematizează informațiile primite. Considera Acest subiect la examenul de stat unificat.
Relevanță Relevanța temei pe care am ales-o constă în faptul că sarcinile pe tema „Rezolvarea inegalităților trigonometrice” sunt incluse în sarcinile Examenului de stat unificat.
Inegalități trigonometrice O inegalitate este o relație care leagă două numere sau expresii prin unul dintre semnele: (mai mare decât); ≥ (mai mare sau egal cu). O inegalitate trigonometrică este o inegalitate care conține funcții trigonometrice.
Inegalități trigonometrice Soluția inegalităților care conțin funcții trigonometrice se reduce, de regulă, la rezolvarea celor mai simple inegalități de forma: sin x>a, sin x a, cos x a, tg x a,ctg x
Algoritm pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice Pe axa corespunzătoare unei funcții trigonometrice date, marcați acest valoare numerica această funcție. Desenați o linie prin punctul marcat care intersectează cercul unitar. Selectați punctele de intersecție ale unei linii și ale unui cerc, ținând cont de semnul de inegalitate strictă sau nestrictă. Selectați arcul de cerc pe care se află soluțiile inegalității. Determinați valorile unghiurilor la punctele de început și de sfârșit ale arcului circular. Notați soluția inegalității ținând cont de periodicitatea funcției trigonometrice date.
Formule de rezolvare a inegalităților trigonometrice sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx A; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxA; x (arctg a + πn ; + πn). tgx A; x (πn ; arctan + πn). ctgx
Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază sinx >a
Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază sinx Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază cosx >a Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază cosx Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază tgx >a Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază tgx Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază ctgx >a
La rezolvarea inegalităților care conțin funcții trigonometrice, acestea se reduc la cele mai simple inegalități de forma cos(t)>a, sint(t)=a și altele similare. Și deja cele mai simple inegalități sunt rezolvate. Să ne uităm la diferite exemple de moduri de a rezolva inegalitățile trigonometrice simple.
Exemplul 1. Rezolvați inegalitatea sin(t) > = -1/2.
Desenați un cerc unitar. Deoarece sin(t) prin definiție este coordonata y, se marchează punctul y = -1/2 pe axa Oy. Tragem o linie dreaptă prin el, paralel cu axa Oh. La intersecția dreptei cu graficul cercului unitar, marcați punctele Pt1 și Pt2. Conectăm originea coordonatelor cu punctele Pt1 și Pt2 prin două segmente.
Soluția acestei inegalități vor fi toate punctele cercului unitar situat deasupra acestor puncte. Cu alte cuvinte, soluția va fi arcul l. Acum este necesar să se indice condițiile în care un punct arbitrar va aparține arcului l.
Pt1 se află în semicercul drept, ordonata sa este -1/2, apoi t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Pentru a descrie punctul Pt1, puteți scrie următoarea formulă:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Ca rezultat, obținem următoarea inegalitate pentru t:
Păstrăm inegalitățile. Și deoarece funcția sinus este periodică, înseamnă că soluțiile se vor repeta la fiecare 2*pi. Adăugăm această condiție la inegalitatea rezultată pentru t și notăm răspunsul.
Raspuns: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Exemplul 2. Rezolvați inegalitatea cos(t).<1/2.
Să desenăm un cerc unitar. Deoarece, conform definiției, cos(t) este coordonata x, marchem punctul x = 1/2 pe graficul pe axa Ox.
Tragem o linie dreaptă prin acest punct paralelă cu axa Oy. La intersecția dreptei cu graficul cercului unitar, marcați punctele Pt1 și Pt2. Conectăm originea coordonatelor cu punctele Pt1 și Pt2 prin două segmente.
Soluțiile vor fi toate punctele cercului unitar care aparțin arcului l. Să găsim punctele t1 și t2.
t1 = arccos(1/2) = pi/3.
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.
Am obținut inegalitatea pentru t: pi/3 Deoarece cosinusul este o funcție periodică, soluțiile se vor repeta la fiecare 2*pi. Adăugăm această condiție la inegalitatea rezultată pentru t și notăm răspunsul. Răspuns: pi/3+2*pi*n Exemplul 3. Rezolvați inegalitatea tg(t)< = 1. Perioada tangentei este egală cu pi. Să găsim soluții care aparțin intervalului (-pi/2;pi/2) semicerc drept. Apoi, folosind periodicitatea tangentei, notăm toate soluțiile acestei inegalități. Să desenăm un cerc unitar și să marchem o linie de tangente pe el. Dacă t este o soluție a inegalității, atunci ordonata punctului T = tg(t) trebuie să fie mai mică sau egală cu 1. Mulțimea acestor puncte va alcătui raza AT. Mulțimea punctelor Pt care va corespunde punctelor acestei raze este arcul l. Mai mult, punctul P(-pi/2) nu aparține acestui arc. În timpul lecției practice, vom repeta principalele tipuri de sarcini din tema „Trigonometrie”, vom analiza suplimentar probleme de complexitate crescută și vom lua în considerare exemple de rezolvare a diferitelor inegalități trigonometrice și sistemele acestora. Această lecție vă va ajuta să vă pregătiți pentru unul dintre tipurile de sarcini B5, B7, C1 și C3. Să începem prin a trece în revistă principalele tipuri de sarcini pe care le-am abordat în subiectul „Trigonometrie” și să rezolvăm mai multe probleme non-standard. Sarcina nr. 1. Convertiți unghiurile în radiani și grade: a) ; b) . a) Să folosim formula pentru conversia gradelor în radiani Să înlocuim valoarea specificată în ea. b) Aplicați formula de conversie a radianilor în grade Să efectuăm înlocuirea Răspuns. A) ; b) . Sarcina nr. 2. Calculați: a) ; b) . a) Deoarece unghiul depășește cu mult tabelul, îl vom reduce scăzând perioada sinusului. Deoarece Unghiul este indicat în radiani, atunci vom considera perioada ca . b) B în acest caz, situatia este asemanatoare. Deoarece unghiul este indicat în grade, vom considera perioada tangentei ca . Unghiul rezultat, deși mai mic decât perioada, este mai mare, ceea ce înseamnă că nu se mai referă la partea principală, ci la partea extinsă a mesei. Pentru a nu vă antrena din nou memoria memorând tabelul extins al valorilor trigofuncțiilor, să scădem din nou perioada tangentei: Am profitat de ciudățenia funcției tangente. Răspuns. a) 1; b) . Sarcina nr. 3. calculati Să reducem întreaga expresie la tangente împărțind numărătorul și numitorul fracției la . În același timp, nu ne putem teme de asta, pentru că în acest caz, valoarea tangentei nu ar exista. Sarcina nr. 4. Simplificați expresia. Expresiile specificate sunt convertite folosind formule de reducere. Sunt scrise doar neobișnuit folosind grade. Prima expresie reprezintă în general un număr. Să simplificăm toate trigofuncțiile una câte una: Deoarece , apoi funcția se schimbă într-o cofuncție, adică. la cotangentă, iar unghiul se încadrează în al doilea sfert, în care tangenta inițială are semn negativ. Din aceleași motive ca și în expresia anterioară, funcția se schimbă într-o cofuncție, i.e. la cotangentă, iar unghiul se încadrează în primul sfert, în care tangenta inițială are semn pozitiv. Să înlocuim totul într-o expresie simplificată: Problema #5. Simplificați expresia. Să scriem tangenta unghiului dublu folosind formula corespunzătoare și să simplificăm expresia: Ultima identitate este una dintre formulele universale de înlocuire a cosinusului. Problema #6. Calculati. Principalul lucru este să nu faceți greșeala standard de a nu da răspunsul că expresia este egală cu . Nu puteți utiliza proprietatea de bază a arctangentei atâta timp cât există un factor sub formă de doi lângă el. Pentru a scăpa de ea, vom scrie expresia conform formulei pentru tangentei unui unghi dublu, tratând , ca pe un argument obișnuit. Acum putem aplica proprietatea de bază a arctangentei; amintiți-vă că nu există restricții asupra rezultatului său numeric. Problema nr. 7. Rezolvați ecuația. Când se rezolvă o ecuație fracțională care este egală cu zero, se indică întotdeauna că numărătorul este egal cu zero, dar numitorul nu este, deoarece Nu poți împărți la zero. Prima ecuație este un caz special al celei mai simple ecuații care poate fi rezolvată folosind un cerc trigonometric. Amintiți-vă singuri această soluție. A doua inegalitate este rezolvată ca cea mai simplă ecuație folosind formula generală pentru rădăcinile tangentei, dar numai cu semnul diferit de. După cum vedem, o familie de rădăcini exclude o altă familie de exact același tip de rădăcini care nu satisfac ecuația. Acestea. nu există rădăcini. Răspuns. Nu există rădăcini. Problema nr. 8. Rezolvați ecuația. Să observăm imediat că putem elimina factorul comun și să o facem: Ecuația a fost redusă la una dintre formele standard, în care produsul mai multor factori este egal cu zero. Știm deja că, în acest caz, fie unul dintre ele este egal cu zero, fie celălalt, fie al treilea. Să scriem asta sub forma unui set de ecuații: Primele două ecuații sunt cazuri speciale ale celor mai simple; am întâlnit deja ecuații similare de multe ori, așa că le vom indica imediat soluțiile. Reducem a treia ecuație la o funcție folosind formula sinusului cu unghi dublu. Să rezolvăm ultima ecuație separat: Această ecuație nu are rădăcini, deoarece valoarea sinusului nu poate depăși Astfel, soluția sunt doar primele două familii de rădăcini; ele pot fi combinate într-una singură, care este ușor de arătat pe cercul trigonometric: Aceasta este o familie cu toate jumătățile, adică Să trecem la rezolvarea inegalităților trigonometrice. În primul rând, vom analiza abordarea rezolvării exemplului fără a folosi formule pentru soluții generale, ci folosind cercul trigonometric. Problema nr. 9. Rezolvați inegalitatea. Să desenăm o linie auxiliară pe cercul trigonometric corespunzătoare unei valori sinus egale cu , și să arătăm domeniul de unghiuri care satisfac inegalitatea. Este foarte important să înțelegeți exact cum să indicați intervalul rezultat al unghiurilor, de ex. care este începutul și care este sfârșitul lui. Începutul intervalului va fi unghiul corespunzător punctului în care vom intra chiar la începutul intervalului dacă ne deplasăm în sens invers acelor de ceasornic. În cazul nostru, acesta este punctul care se află în stânga, pentru că deplasându-ne în sens invers acelor de ceasornic și trecând de punctul potrivit, noi, dimpotrivă, părăsim intervalul necesar de unghiuri. Punctul potrivit va corespunde, prin urmare, sfârșitului decalajului. Acum trebuie să înțelegem unghiurile începutului și sfârșitului intervalului nostru de soluții la inegalitate. O greșeală tipică este să indicați imediat că punctul din dreapta corespunde unghiului, cel din stânga și să dați răspunsul. Nu este adevarat! Vă rugăm să rețineți că tocmai am indicat intervalul corespunzător părții superioare a cercului, deși ne interesează partea inferioară, cu alte cuvinte, am amestecat începutul și sfârșitul intervalului de soluție de care avem nevoie. Pentru ca intervalul să înceapă din colțul punctului drept și să se termine cu colțul punctului din stânga, este necesar ca primul unghi specificat să fie mai mic decât al doilea. Pentru a face acest lucru, va trebui să măsurăm unghiul punctului drept în direcția negativă de referință, adică. în sensul acelor de ceasornic și va fi egal cu . Apoi, începând să ne mișcăm din el în sensul acelor de ceasornic, vom ajunge la punctul din dreapta după punctul din stânga și vom obține valoarea unghiului pentru acesta. Acum începutul intervalului de unghiuri este mai mic decât sfârșitul și putem scrie intervalul de soluții fără a lua în considerare perioada: Având în vedere că astfel de intervale se vor repeta de un număr infinit de ori după orice număr întreg de rotații, obținem o soluție generală ținând cont de perioada sinusului: Punem paranteze pentru că inegalitatea este strictă și alegem punctele de pe cerc care corespund capetelor intervalului. Comparați răspunsul primit cu formula pentru soluția generală pe care am dat-o în prelegere. Răspuns. Această metodă este bună pentru a înțelege de unde provin formulele pentru soluțiile generale ale celor mai simple inegalități trigon. În plus, este util pentru cei prea leneși să învețe toate aceste formule greoaie. Cu toate acestea, metoda în sine nu este, de asemenea, ușoară; alegeți care abordare a soluției este cea mai convenabilă pentru dvs. Pentru a rezolva inegalitățile trigonometrice, puteți utiliza și grafice ale funcțiilor pe care este construită o linie auxiliară, similar cu metoda prezentată folosind un cerc unitar. Dacă sunteți interesat, încercați să vă dați seama singuri această abordare a soluției. În cele ce urmează vom folosi formule generale pentru a rezolva inegalitățile trigonometrice simple. Problema nr. 10. Rezolvați inegalitatea. Să folosim formula pentru soluția generală, ținând cont de faptul că inegalitatea nu este strictă: În cazul nostru obținem: Răspuns. Problema nr. 11. Rezolvați inegalitatea. Să folosim formula generală a soluției pentru inegalitatea strictă corespunzătoare: Răspuns. Problema nr. 12. Rezolvați inegalități: a) ; b) . În aceste inegalități, nu este nevoie să vă grăbiți să folosiți formule pentru soluții generale sau cercul trigonometric; este suficient să vă amintiți pur și simplu intervalul de valori ale sinusului și cosinusului. a) Din moment ce b) Pentru că în mod similar, sinusul oricărui argument satisface întotdeauna inegalitatea specificată în condiție. Prin urmare, toate valorile reale ale argumentului satisfac inegalitatea. Răspuns. a) nu există soluții; b) . Problema 13. Rezolvați inegalitatea 1.5 Inegalități trigonometrice și metode de rezolvare a acestora 1.5.1 Rezolvarea inegalităților trigonometrice simple Majoritatea autorilor manualelor moderne de matematică sugerează să începeți să luați în considerare acest subiect prin rezolvarea celor mai simple inegalități trigonometrice. Principiul rezolvării celor mai simple inegalități trigonometrice se bazează pe cunoștințele și abilitățile de a determina pe un cerc trigonometric valorile nu numai ale principalelor unghiuri trigonometrice, ci și ale altor valori. Între timp, rezolvarea inegalităților de forma , , , poate fi efectuată astfel: mai întâi găsim un interval () pe care această inegalitate este satisfăcută și apoi notăm răspunsul final adăugând la capetele intervalului găsit a număr care este un multiplu al perioadei sinusului sau cosinusului: ( De câțiva ani, am folosit cu succes formule pentru rădăcinile ecuațiilor corespunzătoare pentru a găsi soluții la inegalitățile trigonometrice. Studiem acest subiect în felul următor: 1. Construim grafice și y = a, presupunând că . Apoi notăm ecuația și soluția ei. Dând n 0; 1; 2, găsim cele trei rădăcini ale ecuației compilate: . Valorile sunt abscisa a trei puncte consecutive de intersecție ale graficelor și y = a. Este evident că inegalitatea este valabilă întotdeauna pentru intervalul (), iar inegalitatea este valabilă întotdeauna pentru intervalul (). Adunând la capetele acestor intervale un număr care este un multiplu al perioadei sinusului, în primul caz obținem o soluție a inegalității sub forma: ; iar în al doilea caz, o soluție a inegalității sub forma: Numai în contrast cu sinusul din formulă, care este o soluție a ecuației, pentru n = 0 obținem două rădăcini, iar a treia rădăcină pentru n = 1 sub forma Acum nu este greu să notăm soluțiile la inegalități și . În primul caz obținem: ; iar în al doilea: . Rezuma. Pentru a rezolva inegalitatea sau, trebuie să creați ecuația corespunzătoare și să o rezolvați. Din formula rezultată, găsiți rădăcinile lui și și scrieți răspunsul la inegalitate sub forma: . La rezolvarea inegalităților , din formula pentru rădăcinile ecuației corespunzătoare găsim rădăcinile și , și scriem răspunsul la inegalitate sub forma: . Această tehnică vă permite să învățați toți elevii cum să rezolve inegalitățile trigonometrice, deoarece Această tehnică se bazează în întregime pe abilitățile pe care elevii le au o stăpânire puternică. Acestea sunt abilitățile de a rezolva probleme simple și de a găsi valoarea unei variabile folosind o formulă. În plus, devine complet inutilă rezolvarea cu atenție a unui număr mare de exerciții sub îndrumarea unui profesor pentru a demonstra tot felul de tehnici de raționament în funcție de semnul inegalității, valoarea modulului numărului a și semnul acestuia. . Iar procesul de rezolvare a inegalității în sine devine scurt și, ceea ce este foarte important, uniform. Un alt avantaj al acestei metode este că vă permite să rezolvați cu ușurință inegalitățile chiar și atunci când partea dreaptă nu este o valoare de tabel de sinus sau cosinus. Să demonstrăm acest lucru cu un exemplu specific. Să presupunem că trebuie să rezolvăm o inegalitate. Să creăm ecuația corespunzătoare și să o rezolvăm: Să găsim valorile și . Când n = 1 Când n = 2 Scriem răspunsul final la această inegalitate: În exemplul considerat de rezolvare a celor mai simple inegalități trigonometrice, poate exista un singur dezavantaj - prezența unei anumite cantități de formalism. Dar dacă totul este evaluat numai din aceste poziții, atunci va fi posibil să se acuze formulele rădăcinilor ecuației pătratice și toate formulele de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice și multe altele de formalism. Deși metoda propusă ocupă un loc demn în formarea deprinderilor de rezolvare a inegalităților trigonometrice, importanța și caracteristicile altor metode de rezolvare a inegalităților trigonometrice nu pot fi subestimate. Acestea includ metoda intervalului. Să luăm în considerare esența lui. Set editat de A.G. Mordkovich, deși nu ar trebui să ignorați nici restul manualelor. § 3. Metodologia de predare a temei „Funcții trigonometrice” în cursul de algebră și începuturi de analiză În studiul funcțiilor trigonometrice la școală se pot distinge două etape principale: ü Cunoașterea inițială cu funcțiile trigonometrice... În realizarea cercetării au fost rezolvate următoarele sarcini: 1) Au fost analizate manualele actuale de algebră și începuturile analizei matematice pentru a identifica metodele prezentate în acestea de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților iraționale. Analiza ne permite să tragem următoarele concluzii: ·în gimnaziu se acordă o atenție insuficientă metodelor de rezolvare a diverselor ecuații iraționale, în principal... METODE DE REZOLVARE A INEGALĂȚILOR TRIGONOMETRICE
Relevanţă.
Din punct de vedere istoric, ecuațiilor și inegalităților trigonometrice li s-a acordat un loc special în programa școlară. Putem spune că trigonometria este una dintre cele mai importante secțiuni ale cursului școlar și ale întregii științe matematice în general. Ecuațiile și inegalitățile trigonometrice ocupă unul dintre locurile centrale în cursul de matematică din gimnaziu, atât în ceea ce privește conținutul materialului educațional, cât și metodele de activitate educațională și cognitivă care pot și trebuie formate în cursul studiului lor și aplicate la rezolvarea unui număr mare. a problemelor de natură teoretică şi aplicativă . Rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice creează premisele pentru sistematizarea cunoștințelor elevilor legate de tot materialul educațional din trigonometrie (de exemplu, proprietățile funcțiilor trigonometrice, metode de transformare a expresiilor trigonometrice etc.) și face posibilă stabilirea de legături eficiente cu materialul studiat. în algebră (ecuații, echivalență de ecuații, inegalități, transformări identice ale expresiilor algebrice etc.). Cu alte cuvinte, luarea în considerare a tehnicilor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice și a inegalităților implică un fel de transfer al acestor abilități către conținut nou. Semnificația teoriei și numeroasele ei aplicații sunt o dovadă a relevanței temei alese. Aceasta, la rândul său, vă permite să determinați scopurile, obiectivele și subiectul cercetării lucrării cursului. Scopul studiului:
generalizează tipurile disponibile de inegalități trigonometrice, metode de bază și speciale de rezolvare a acestora, selectează un set de probleme pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice de către școlari. Obiectivele cercetării:
1. Pe baza unei analize a literaturii disponibile pe tema de cercetare, sistematizați materialul. 2. Furnizați un set de sarcini necesare pentru a consolida subiectul „Inegalități trigonometrice”. Obiect de studiu
sunt inegalităţi trigonometrice la cursul de matematică şcolară. Subiect de studiu:
tipuri de inegalități trigonometrice și metode de rezolvare a acestora. Semnificație teoretică
este de a sistematiza materialul. Semnificație practică:
aplicarea cunoștințelor teoretice în rezolvarea problemelor; analiza principalelor metode comune de rezolvare a inegalităţilor trigonometrice. Metode de cercetare
: analiza literaturii științifice, sinteza și generalizarea cunoștințelor dobândite, analiza rezolvării problemelor, căutarea metodelor optime de rezolvare a inegalităților. §1.
Tipuri de inegalități trigonometrice și metode de bază de rezolvare a acestora
1.1. Cele mai simple inegalități trigonometrice
Două expresii trigonometrice legate prin semn sau > se numesc inegalități trigonometrice. Rezolvarea unei inegalități trigonometrice înseamnă găsirea mulțimii de valori ale necunoscutelor incluse în inegalitatea pentru care inegalitatea este satisfăcută. Partea principală a inegalităților trigonometrice este rezolvată prin reducerea lor la cea mai simplă soluție: Aceasta poate fi o metodă de factorizare, schimbare a variabilei ( Cele mai simple inegalități pot fi rezolvate în două moduri: folosind cercul unitar sau grafic. Lăsaf(x
– una dintre funcțiile trigonometrice de bază. Pentru a rezolva inegalitatea Să dăm un exemplu de algoritm pentru rezolvarea inegalităților Algoritm pentru rezolvarea inegalității 1. Formulați definiția sinusului unui numărX
pe cercul unitar. 3. Pe axa ordonatelor, marcați punctul cu coordonateleA
.
4. Desenați o linie paralelă cu axa OX prin acest punct și marcați punctele sale de intersecție cu cerc. 5. Selectați un arc de cerc, toate punctele căruia au o ordonată mai mică decâtA
.
6. Indicați direcția rundei (în sens invers acelor de ceasornic) și notați răspunsul adăugând perioada funcției la capetele intervalului2πn
,
Algoritm pentru rezolvarea inegalității 1. Formulați definiția tangentei unui numărX
pe cercul unitar. 2. Desenați un cerc unitar. 3. Desenați o linie de tangente și marcați un punct cu o ordonată pe eaA
.
4. Conectați acest punct cu originea și marcați punctul de intersecție al segmentului rezultat cu cercul unitar. 5. Selectați un arc de cerc, ale cărui toate punctele au o ordonată pe linia tangentă mai mică decâtA
.
6. Indicați direcția parcurgerii și scrieți răspunsul ținând cont de domeniul de definire al funcției, adăugând un punctπn
,
Interpretarea grafică a soluțiilor celor mai simple ecuații și formulele de rezolvare a inegalităților în formă generală sunt indicate în anexă (Anexele 1 și 2). Exemplul 1.
Rezolvați inegalitatea Desenați o linie dreaptă pe cercul unității Toate semnificațiiley
pe intervalul NM este mai mare
, toate punctele arcului AMB satisfac această inegalitate. La toate unghiurile de rotație, mare Fig.1 Astfel, soluția inegalității vor fi toate valorile din interval acestea. Răspuns: 1.2. Metoda grafica
În practică, metoda grafică de rezolvare a inegalităților trigonometrice se dovedește adesea a fi utilă. Să luăm în considerare esența metodei folosind exemplul inegalității 1. Dacă argumentul este complex (diferit deX
), apoi înlocuiți-l cut
.
2. Construim într-un singur plan de coordonatejucărie
grafice de funcții 3. Găsim astfeldouă puncte de intersecție adiacente ale graficelor, între careundă sinusoidalăsituatsuperior
Drept 4. Scrieți o inegalitate dublă pentru argumentt
, ținând cont de perioada cosinus (t
va fi între abscisele găsite). 5. Faceți o înlocuire inversă (reveniți la argumentul inițial) și exprimați valoareaX
din dubla inegalitate scriem raspunsul sub forma unui interval numeric. Exemplul 2.
Rezolvați inegalitatea: . La rezolvarea inegalităților folosind metoda grafică, este necesar să se construiască grafice ale funcțiilor cât mai precis posibil. Să transformăm inegalitatea în forma: Să construim grafice ale funcțiilor într-un sistem de coordonate Fig.2 Graficele funcțiilor se intersectează în punctA
cu coordonate Răspuns: 1.3. Metoda algebrică
Destul de des, inegalitatea trigonometrică inițială poate fi redusă la o inegalitate algebrică (rațională sau irațională) printr-o substituție bine aleasă. Această metodă presupune transformarea unei inegalități, introducerea unei substituții sau înlocuirea unei variabile. Să ne uităm la exemple specifice de aplicare a acestei metode. Exemplul 3.
Reducere la forma cea mai simplă Fig.3 Răspuns: Exemplul 4.
Rezolvați inegalitatea: ODZ: Folosind formule: Să scriem inegalitatea sub forma: Sau, crezând Rezolvând ultima inegalitate folosind metoda intervalului, obținem: Fig.4 Fig.5 Răspuns: 1.4. Metoda intervalului
Schema generală de rezolvare a inegalităților trigonometrice folosind metoda intervalului: Factorizați folosind formule trigonometrice. Găsiți punctele de discontinuitate și zerourile funcției și plasați-le pe cerc. Luați orice punctLA
(dar nu a fost găsit mai devreme) și află semnul produsului. Dacă produsul este pozitiv, atunci plasați un punct în afara cercului unitar pe raza corespunzătoare unghiului. În caz contrar, plasați punctul în interiorul cercului. Dacă un punct apare de un număr par, îl numim punct de multiplicitate par; dacă este de un număr impar de ori, îl numim punct de multiplicitate impar. Desenați arce după cum urmează: începeți dintr-un punctLA
, dacă următorul punct este de multiplicitate impară, atunci arcul intersectează cercul în acest punct, dar dacă punctul este de multiplicitate pară, atunci nu se intersectează. Arcurile din spatele cercului sunt intervale pozitive; în interiorul cercului există spații negative. Exemplul 5.
Rezolvați inegalitatea Puncte din prima serie: Puncte din a doua serie: Fiecare punct apare de un număr impar de ori, adică toate punctele sunt de multiplicitate impară. Să aflăm semnul produsului la Orez. 6 Răspuns: Exemplul 6
. Rezolvați inegalitatea.
Soluţie:
Să găsim zerourile expresiei .
A primiaem :
Pe valorile seriei cercului unitarX
1
reprezentate prin puncte Lasă acum numărul Deci, punctA
trebuie selectat pe raza care formează unghiul Acum din punct de vedereA
trageți o linie continuă ondulată succesiv la toate punctele marcate. Și la puncte Fig.7 Răspuns final: Notă.
Dacă o linie ondulată, după ce a ocolit toate punctele marcate pe cercul unității, nu poate fi returnată la punctA
,
fără a traversa cercul într-un loc „ilegal”, aceasta înseamnă că a fost făcută o eroare în soluție, și anume, un număr impar de rădăcini a fost ratat. Răspuns:
.
§2. Un set de probleme pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice
În procesul de dezvoltare a capacității școlarilor de a rezolva inegalitățile trigonometrice, se pot distinge și 3 etape. 1. pregătitoare, 2. dezvoltarea capacităţii de rezolvare a inegalităţilor trigonometrice simple; 3. introducerea inegalităţilor trigonometrice de alte tipuri. Scopul etapei pregătitoare este acela că este necesar să se dezvolte la școlari capacitatea de a folosi un cerc sau un grafic trigonometric pentru a rezolva inegalitățile, și anume: Capacitatea de a rezolva inegalități simple ale formei Abilitatea de a construi inegalități duble pentru arcuri cerc numeric sau pentru arce de grafice de funcții; Capacitatea de a efectua diverse transformări ale expresiilor trigonometrice. Se recomandă implementarea acestei etape în procesul de sistematizare a cunoștințelor școlarilor despre proprietățile funcțiilor trigonometrice. Principalele mijloace pot fi sarcinile oferite elevilor și efectuate fie sub îndrumarea unui profesor, fie independent, precum și abilitățile dezvoltate în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Iată exemple de astfel de sarcini: 1
. Marcați un punct pe cercul unității .
2.
În ce sfert din planul de coordonate este situat punctul? 3.
Marcați punctele pe cercul trigonometric 4.
Convertiți expresia în funcții trigonometriceeusferturi. A) 5.
Arc MR este dat.M
- mijloceu- al treilea trimestru,R
- mijlocIItrimestrul. Limitați valoarea unei variabilet
pentru: (faceți o inegalitate dublă) a) arc MR; b) arcele RM. 6.
Notați inegalitatea dublă pentru secțiunile selectate ale graficului: Orez. 1 7.
Rezolvați inegalitățile 8.
Conversia expresiei
.
La a doua etapă a învăţării rezolvării inegalităţilor trigonometrice, putem oferi următoarele recomandări legate de metodologia de organizare a activităţilor elevilor. În acest caz, este necesar să ne concentrăm pe abilitățile existente ale elevilor în lucrul cu un cerc sau grafic trigonometric, format în timpul rezolvării celor mai simple ecuații trigonometrice. În primul rând, se poate motiva oportunitatea obținerii unei metode generale de rezolvare a celor mai simple inegalități trigonometrice, apelând, de exemplu, la o inegalitate de formă În al doilea rând, profesorul ar trebui să atragă atenția elevilor asupra diferitelor modalități de finalizare a sarcinii, să ofere un exemplu adecvat de rezolvare a inegalității atât grafic, cât și folosind un cerc trigonometric. Să luăm în considerare următoarele soluții ale inegalității 1. Rezolvarea inegalității folosind cercul unitar. În prima lecție despre rezolvarea inegalităților trigonometrice, vom oferi studenților un algoritm de soluție detaliat, care într-o prezentare pas cu pas reflectă toate abilitățile de bază necesare rezolvării inegalității. Pasul 1.Să desenăm un cerc unitar și să marchem un punct pe axa ordonatelor Pasul 2.Această linie dreaptă a împărțit cercul în două arce. Să-l selectăm pe cel care prezintă numere care au un sinus mai mare decât Orez. 2 Pasul 3.Selectați unul dintre capetele arcului marcat. Să notăm unul dintre numerele care este reprezentat de acest punct al cercului unitar Pasul 4.Pentru a selecta numărul corespunzător celui de-al doilea capăt al arcului selectat, „mergem” de-a lungul acestui arc de la capătul numit la celălalt. În același timp, amintiți-vă că atunci când vă deplasăm în sens invers acelor de ceasornic, numerele prin care vom trece cresc (când ne deplasăm în sens opus, numerele ar scădea). Să notăm numărul care este reprezentat pe cercul unității de al doilea capăt al arcului marcat Astfel, vedem acea inegalitate Elevii ar trebui să fie rugați să examineze cu atenție desenul și să descopere de ce toate soluțiile la inegalitate Orez. 3 Este necesar să atragem atenția elevilor asupra faptului că atunci când rezolvăm inegalități pentru funcția cosinus, trasăm o dreaptă paralelă cu axa ordonatelor. Metoda grafică de rezolvare a inegalităților. Construim grafice Orez. 4 Apoi scriem ecuația (Dăruindn
valorile 0, 1, 2, găsim cele trei rădăcini ale ecuației compilate). Valori Orez. 5 Rezuma. Pentru a rezolva inegalitatea În al treilea rând, faptul despre mulțimea de rădăcini a inegalității trigonometrice corespunzătoare este confirmat foarte clar atunci când o rezolvăm grafic. Orez. 6 Este necesar să le demonstrăm elevilor că turnul, care este soluția inegalității, se repetă în același interval, egal cu perioada funcției trigonometrice. De asemenea, puteți lua în considerare o ilustrație similară pentru graficul funcției sinus. În al patrulea rând, este recomandabil să se efectueze lucrări de actualizare a tehnicilor elevilor pentru conversia sumei (diferențelor) funcțiilor trigonometrice într-un produs și să se atragă atenția elevilor asupra rolului acestor tehnici în rezolvarea inegalităților trigonometrice. O astfel de muncă poate fi organizată prin îndeplinirea independentă de către elevi a sarcinilor propuse de profesor, dintre care evidențiem următoarele: În al cincilea rând, elevilor trebuie să li se ceară să ilustreze soluția fiecărei inegalități trigonometrice simple folosind un grafic sau un cerc trigonometric. Cu siguranță ar trebui să acordați atenție oportunității sale, în special utilizării cercului, deoarece atunci când rezolvați inegalitățile trigonometrice, ilustrația corespunzătoare servește ca un mijloc foarte convenabil de înregistrare a setului de soluții la o anumită inegalitate. Se recomandă introducerea elevilor în metode de rezolvare a inegalităților trigonometrice care nu sunt cele mai simple după următoarea schemă: trecerea la o anumită inegalitate trigonometrică trecerea la ecuația trigonometrică corespunzătoare căutarea în comun (profesor - elevi) a unei soluții; transfer independent de metoda găsită la alte inegalități de același tip. Pentru a sistematiza cunoștințele elevilor despre trigonometrie, recomandăm selectarea specială a unor astfel de inegalități, a căror rezolvare necesită diverse transformări care pot fi implementate în procesul de rezolvare a acesteia, și focalizarea atenției elevilor asupra trăsăturilor lor. Ca atare inegalități productive putem propune, de exemplu, următoarele: În concluzie, dăm un exemplu de set de probleme pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice. 1. Rezolvați inegalitățile: A) b) 5. Găsiți toate soluțiile la inegalități: A) ;
b) ;
V) G) d) 6. Rezolvați inegalitățile: A) ;
b) ;
V) ; G) d) ; e) ; și) 7. Rezolvați inegalitățile: A) b) ;
V) ; G). 8. Rezolvați inegalitățile: A) ;
b) ;
V) ; G) d) e) ; și) h) . Este recomandabil să se ofere sarcinile 6 și 7 studenților care studiază matematica la un nivel avansat, sarcina 8 studenților din clasele cu studii avansate de matematică. §3. Metode speciale de rezolvare a inegalităților trigonometrice
Metode speciale pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice - adică acele metode care pot fi folosite doar pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Aceste metode se bazează pe utilizarea proprietăților funcțiilor trigonometrice, precum și pe utilizarea diferitelor formule și identități trigonometrice. 3.1. Metoda sectorială
Să luăm în considerare metoda sectorială pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice. Rezolvarea inegalităților de formă În metoda intervalului, fiecare factor liniar al numărătorului și numitorului formei Trebuie reținute următoarele: a) Factorii formei b) Factorii formei Exemplul 1.
Rezolvați inegalitățile: a) 3.2. Metoda cercului concentric
Această metodă este un analog al metodei axelor numerice paralele pentru rezolvarea sistemelor de inegalități raționale. Să luăm în considerare un exemplu de sistem de inegalități. Exemplul 5.
Rezolvați un sistem de inegalități trigonometrice simple În primul rând, rezolvăm fiecare inegalitate separat (Figura 5). În colțul din dreapta sus al figurii vom indica pentru ce argument se ia în considerare cercul trigonometric. Fig.5 Apoi, construim un sistem de cercuri concentrice pentru argumentX
. Desenăm un cerc și îl umbrim conform soluției primei inegalități, apoi desenăm un cerc de rază mai mare și îl umbrim conform soluției celei de-a doua, apoi construim un cerc pentru a treia inegalitate și un cerc de bază. Desenăm raze din centrul sistemului prin capetele arcelor, astfel încât acestea să intersecteze toate cercurile. Formăm o soluție pe cercul de bază (Figura 6). Fig.6 Răspuns:
Concluzie
Toate obiectivele cercetării cursului au fost îndeplinite. Materialul teoretic este sistematizat: sunt date principalele tipuri de inegalități trigonometrice și principalele metode de rezolvare a acestora (grafică, algebrică, metoda intervalelor, sectoarelor și metoda cercurilor concentrice). Pentru fiecare metodă a fost dat un exemplu de rezolvare a unei inegalități. Partea teoretică a fost urmată de partea practică. Conține un set de sarcini pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice. Acest curs poate fi folosit de studenți pentru muncă independentă. Elevii pot verifica nivelul de stăpânire a acestui subiect și pot exersa îndeplinirea sarcinilor de complexitate diferită. După ce am studiat literatura relevantă pe această problemă, putem concluziona în mod evident că abilitatea și abilitățile de a rezolva inegalitățile trigonometrice în cursul școlar de algebră și analiză elementară sunt foarte importante, a căror dezvoltare necesită un efort semnificativ din partea profesorului de matematică. Prin urmare, această lucrare va fi utilă profesorilor de matematică, deoarece face posibilă organizarea eficientă a pregătirii elevilor pe tema „Inegalități trigonometrice”. Cercetarea poate fi continuată prin extinderea acesteia la o lucrare finală de calificare.
Lista literaturii folosite
Bogomolov, N.V. Culegere de probleme de matematică [Text] / N.V. Bogomolov. – M.: Butarda, 2009. – 206 p. Vygodsky, M.Ya. Manual de matematică elementară [Text] / M.Ya. Vygodski. – M.: Butarda, 2006. – 509 p. Zhurbenko, L.N. Matematică în exemple și probleme [Text] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 p. Ivanov, O.A. Matematică elementară pentru școlari, elevi și profesori [Text] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 p. Karp, A.P. Teme de algebră și începuturi de analiză pentru organizarea repetiției finale și certificarea în clasa a 11-a [Text] / A.P. Crap. – M.: Educație, 2005. – 79 p. Kulanin, E.D. 3000 de probleme de concurs la matematică [Text] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 p. Leibson, K.L. Culegere de sarcini practice la matematică [Text] / K.L. Leibson. – M.: Butarda, 2010. – 182 p. Cot, V.V. Probleme cu parametrii și soluția acestora. Trigonometrie: ecuații, inegalități, sisteme. Clasa a X-a [Text] / V.V. Cot. – M.: ARKTI, 2008. – 64 p. Manova, A.N. Matematică. Tutor expres pentru pregătirea pentru examenul de stat unificat: student. manual [Text] / A.N. Manova. – Rostov-pe-Don: Phoenix, 2012. – 541 p. Mordkovich, A.G. Algebra și începutul analizei matematice. 10-11 clase. Manual pentru elevii instituțiilor de învățământ general [Text] / A.G. Mordkovici. – M.: Iris-press, 2009. – 201 p. Novikov, A.I. Funcții trigonometrice, ecuații și inegalități [Text] / A.I. Novikov. – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 p. Oganesyan, V.A. Metode de predare a matematicii în liceu: Metodologia generală. Manual manual pentru studenții la fizică - mat. fals. ped. Inst. [Text] / V.A. Oganesyan. – M.: Educație, 2006. – 368 p. Olehnik, S.N. Ecuații și inegalități. Metode de rezolvare nestandard [Text] / S.N. Olehnik. – M.: Editura Factorial, 1997. – 219 p. Sevriukov, P.F. Ecuații și inecuații trigonometrice, exponențiale și logaritmice [Text] / P.F. Sevriukov. – M.: Învățământul public, 2008. – 352 p. Sergheev, I.N. Examen de stat unificat: 1000 de probleme cu răspunsuri și soluții la matematică. Toate sarcinile grupului C [Text] / I.N. Sergheev. – M.: Examen, 2012. – 301 p. Sobolev, A.B. Matematică elementară [Text] / A.B. Sobolev. – Ekaterinburg: Instituția de Învățământ de Stat de Învățământ Profesional Superior USTU-UPI, 2005. – 81 p. Fenko, L.M. Metoda intervalelor în rezolvarea inegalităților și studierea funcțiilor [Text] / L.M. Fenko. – M.: Butarda, 2005. – 124 p. Friedman, L.M. Fundamentele teoretice ale metodelor de predare a matematicii [Text] / L.M. Friedman. – M.: Casa de carte „LIBROKOM”, 2009. – 248 p. Anexa 1 Interpretarea grafică a soluțiilor la inegalități simple Orez. 1 Orez. 2 Fig.3 Fig.4 Fig.5 Fig.6 Fig.7 Fig.8 Anexa 2 Soluții la inegalități simple
.
, Dacă .
.
.
.
, atunci inegalitatea nu are sens. Prin urmare, nu există soluții.
.
). În acest caz, valoarea este ușor de găsit, deoarece sau . Căutarea sensului se bazează pe intuiția elevilor, capacitatea lor de a observa egalitatea arcelor sau a segmentelor, profitând de simetria părților individuale ale graficului sinus sau cosinus. Și acest lucru depășește uneori capacitățile unui număr destul de mare de studenți. Pentru a depăși dificultățile remarcate, manualele în ultimii ani au folosit abordări diferite pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice simple, dar acest lucru nu a dus la nicio îmbunătățire a rezultatelor învățării.
. Și din nou sunt trei abscise consecutive ale punctelor de intersecție ale graficelor și . În intervalul () inegalitatea este valabilă, în intervalul () inegalitatea
, 
etc.), unde se rezolvă mai întâi inegalitatea obișnuită și apoi o inegalitate de formă 
etc., sau alte metode.
este suficient să-și găsești soluția pe o singură perioadă, adică. pe orice segment a cărui lungime este egală cu perioada funcțieif
X
. Apoi se va găsi soluția la inegalitatea inițialăX
, precum și acele valori care diferă de cele găsite de orice număr întreg de perioade ale funcției. În acest caz, este convenabil să folosiți metoda grafică.
(
) Și 
.
(
).
.
.
(numărul din stânga înregistrării este întotdeauna mai mic decât numărul din dreapta).
.
, care intersectează cercul în punctele A și B.
, dar mai mic 
,
va prelua valori mai mari
(dar nu mai mult de unul).
, adică 
. Pentru a obține toate soluțiile acestei inegalități, este suficient să adăugați la capetele acestui interval 
, Unde 
, adică 
,
.
Rețineți că valorile 
Și 
sunt rădăcinile ecuației 
,
;
.
, .
:
Și 
.
. Găsim abscisele acestor puncte.
Și 
(Fig. 2).
; 
. Intre 
puncte grafice 
sub punctele graficului 
. Și atunci când valorile funcției sunt aceleași. De aceea la 
.
.
.
(Fig. 3)
, 
.
, 
, 
.
, 
.
după simple transformări obținem
,
,
.
, respectiv 
. Apoi din Fig. 4 urmează 
, Unde 
.
, 
.
, 
.
.
.
: . Să marchem toate punctele de pe cercul unitar (Fig. 6):
, 
; 
, 
; 
, 
.
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
. SerieX
2
dă puncte 
. O serieX
3
obținem două puncte 
. În sfârșit, serialulX
4
va reprezenta puncte 
. Să reprezentăm toate aceste puncte pe cercul unitar, indicând multiplicitatea acestuia în paranteze lângă fiecare dintre ele.
va fi egal. Să facem o estimare pe baza semnului:
cu grindăOh,
în afara cercului unitar. (Rețineți că fasciculul auxiliarDESPRE
A
Nu este deloc necesar să o înfățișați într-o imagine. PunctA
este ales aproximativ.)linia noastră merge dintr-o zonă în alta: dacă era în afara cercului unității, atunci merge în interiorul acestuia. Apropiindu-se de punct 
, linia revine în regiunea interioară, deoarece multiplicitatea acestui punct este pară. În mod similar la punct 
(cu multiplicitate egală) linia trebuie îndreptată către regiunea exterioară. Deci, am desenat o anumită imagine prezentată în Fig. 7. Ajută la evidențierea zonelor dorite de pe cercul unității. Sunt marcate cu semnul „+”.
,
, ,
,
utilizarea proprietăților funcțiilor sinus și cosinus;
, Dacă, Dacă 
este egal cu: 
, Dacă:
,
b) 
,
V) 
, 
, 
, 
.
.
Folosind cunoștințele și abilitățile dobândite în etapa pregătitoare, elevii vor aduce în formă inegalitatea propusă 
, dar poate fi dificil să găsească un set de soluții la inegalitatea rezultată, deoarece Este imposibil să o rezolvi doar folosind proprietățile funcției sinus. Această dificultate poate fi evitată apelând la ilustrația corespunzătoare (rezolvarea grafică a ecuației sau folosind un cerc unitar)..
și trageți o linie dreaptă prin ea paralelă cu axa x. Această linie va intersecta cercul unitar în două puncte. Fiecare dintre aceste puncte reprezintă numere al căror sinus este egal cu .
. Desigur, acest arc este situat deasupra liniei drepte trasate.
.
.
satisface numerele pentru care inegalitatea este adevărată 
. Am rezolvat inegalitatea pentru numerele situate pe aceeași perioadă a funcției sinus. Prin urmare, toate soluțiile inegalității pot fi scrise sub forma 
poate fi scris sub forma 
, 
.
Și 
, dat fiind 
.
si decizia lui 
, 
, 
, găsit folosind formule 
, 
, 
.
sunt trei abscise consecutive ale punctelor de intersecție ale graficelor Și . Evident, mereu la interval 
inegalitatea este valabilă 
, iar pe interval 
– inegalitatea 
. Ne interesează primul caz, iar apoi adăugând la capetele acestui interval un număr care este un multiplu al perioadei sinusului, obținem o soluție a inegalității la fel de: 
, .
, trebuie să creați ecuația corespunzătoare și să o rezolvați. Găsiți rădăcinile din formula rezultată 
Și 
, și scrieți răspunsul la inegalitate sub forma: , .
, îndeplinind condiția 
;
, îndeplinind condiția 
.
;
;
.
;
.
;
;
;
;
, UndeP
(
X
)
ȘiQ
(
X
)
– funcții trigonometrice raționale (sinusurile, cosinusurile, tangentele și cotangentele sunt incluse în ele rațional), similare rezolvării inegalităților raționale. Este convenabil să se rezolve inegalitățile raționale folosind metoda intervalelor pe dreapta numerică. Analogul său pentru rezolvarea inegalităților trigonometrice raționale este metoda sectoarelor din cercul trigonometric, pt.sinx
Șicosx
(
) sau semicerc trigonometric pentrutgx
Șictgx
(
).
pe axa numerelor corespunde unui punct 
, iar la trecerea prin acest punct schimba semnul. În metoda sectorului, fiecare factor al formei 
, Unde 
- una dintre funcțiisinx
saucosx
Și 
, într-un cerc trigonometric îi corespund două unghiuri 
Și 
, care împart cercul în două sectoare. La trecere prin Și funcţie schimba semnul.
Și 
, Unde 
, păstrați semnul pentru toate valorile 
. Astfel de factori ai numărătorului și numitorului sunt eliminați prin schimbare (dacă 
) cu fiecare astfel de respingere, semnul inegalității este inversat.
Și 
sunt de asemenea aruncate. Mai mult, dacă aceștia sunt factori ai numitorului, atunci inegalitățile de formă sunt adăugate sistemului echivalent de inegalități 
Și 
. Dacă aceștia sunt factori ai numărătorului, atunci în sistemul echivalent de restricții corespund inegalităților Și în cazul unei inegalități inițiale stricte și egalitate 
Și 
în cazul unei inegalităţi iniţiale nestricte. La aruncarea multiplicatorului 
sau 
semnul inegalității este inversat.
, b) 
.
avem funcția b) . Rezolvați inegalitatea pe care o avem,
, 
.
-
Milano Metropolitan: harta, prețurile biletelor și sfaturi utile Cât costă biletele?
-
Învățați să citiți diagramele Jeppesen - Tutorial Instalarea suplimentelor care vor îmbunătăți semnificativ grafica și realismul simulatorului
-
Când și în ce cazuri ar trebui un antreprenor individual să depună o declarație zero?
-
Ce este un epitet și cum să-l găsești?
