Exemple de matrice inversă de ordinul trei cu soluție. matrice inversă

Găsiți definiția fiecărei matrice 2x2. Fiecare element al oricărei matrice, inclusiv unul transpus, este asociat cu o matrice 2x2 corespunzătoare. Pentru a găsi o matrice 2x2 care corespunde unui anumit element, tăiați rândul și coloana în care se află elementul dat, adică trebuie să tăiați cinci elemente din matricea originală 3x3. Patru elemente vor rămâne neîncrucișate, care sunt elemente ale matricei 2x2 corespunzătoare.

• De exemplu, pentru a găsi o matrice 2x2 pentru elementul care este situat la intersecția celui de-al doilea rând și prima coloană, tăiați cele cinci elemente care se află în al doilea rând și prima coloană. Cele patru elemente rămase sunt elemente ale matricei 2x2 corespunzătoare.
• Aflați determinantul fiecărei matrice 2x2. Pentru a face acest lucru, scădeți produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale (vezi figura).
• Informații detaliate despre matrice 2x2 corespunzătoare elementelor specifice ale unei matrice 3x3 pot fi găsite pe Internet.

Creați o matrice de cofactori. Scrieți rezultatele obținute mai devreme sub forma unei noi matrice cofactoriale. Pentru a face acest lucru, scrieți determinantul găsit al fiecărei matrice 2x2 unde a fost localizat elementul corespunzător al matricei 3x3. De exemplu, dacă luați în considerare o matrice 2x2 pentru elementul (1,1), scrieți determinantul acestuia în poziția (1,1). Apoi schimbați semnele elementelor corespunzătoare conform unei anumite scheme, care este prezentată în figură.

• Schema de schimbare a semnelor: semnul primului element al primei linii nu se modifică; semnul celui de-al doilea element al primei linii este inversat; semnul celui de-al treilea element al primei linii nu se schimbă și așa mai departe rând cu linie. Vă rugăm să rețineți că semnele „+” și „-” care sunt afișate în diagramă (vezi figura) nu indică faptul că elementul corespunzător va fi pozitiv sau negativ. ÎN în acest caz, semnul „+” indică faptul că semnul elementului nu se schimbă, iar semnul „-” indică o schimbare a semnului elementului.
• Informații detaliate despre matricele de cofactori pot fi găsite pe Internet.
• În acest fel veți găsi matricea adiacentă matricei originale. Uneori este numită o matrice conjugată complexă. O astfel de matrice este notată ca adj(M).

Împărțiți fiecare element al matricei adiacente la determinantul său. Determinantul matricei M a fost calculat de la bun început pentru a verifica existența matricei inverse. Acum împărțiți fiecare element al matricei adiacente la acest determinant. Scrieți rezultatul fiecărei operații de împărțire în care se află elementul corespunzător. În acest fel veți găsi matricea inversă față de cea originală.

• Determinantul matricei care este prezentat în figură este 1. Astfel, aici matricea alăturată este matricea inversă (deoarece atunci când orice număr este împărțit la 1, acesta nu se schimbă).
• În unele surse, operația de împărțire este înlocuită cu operația de înmulțire cu 1/det(M). Cu toate acestea, rezultatul final nu se schimbă.

Scrieți matricea inversă. Scrieți elementele situate în jumătatea dreaptă a matricei mari ca o matrice separată, care este matricea inversă.

Introduceți matricea originală în memoria calculatorului. Pentru a face acest lucru, faceți clic pe butonul Matrice, dacă este disponibil. Pentru un calculator Texas Instruments, poate fi necesar să apăsați butoanele 2nd și Matrix.

Selectați meniul Editare. Faceți acest lucru folosind butoanele săgeată sau butonul de funcție corespunzător situat în partea de sus a tastaturii calculatorului (locația butonului variază în funcție de modelul calculatorului).

Introduceți notația matriceală. Majoritatea calculatoarelor grafice pot lucra cu 3-10 matrici, care pot fi desemnate literele A-J. De obicei, selectați [A] pentru a desemna matricea originală. Apoi apăsați butonul Enter.

Introduceți dimensiunea matricei. Acest articol vorbește despre matrice 3x3. Dar calculatoarele grafice pot lucra cu matrici dimensiuni mari. Introduceți numărul de rânduri, apăsați Enter, apoi introduceți numărul de coloane și apăsați Enter din nou.

Introduceți fiecare element de matrice. O matrice va fi afișată pe ecranul calculatorului. Dacă ați introdus anterior o matrice în calculator, aceasta va apărea pe ecran. Cursorul va evidenția primul element al matricei. Introduceți valoarea pentru primul element și apăsați Enter. Cursorul se va muta automat la următorul element de matrice.

Modalități de a găsi matrice inversă, . Luați în considerare o matrice pătrată

Să notăm Δ =det A.

Matricea pătrată A se numește nedegenerat, sau Nimic special, dacă determinantul său este diferit de zero și degenerat, sau special, DacăΔ = 0.

O matrice pătrată B este pentru o matrice pătrată A de același ordin dacă produsul lor este A B = B A = E, unde E este matricea de identitate de același ordin ca și matricele A și B.

Teorema . Pentru ca matricea A să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca determinantul ei să fie diferit de zero.

Matricea inversă a matricei A, notată cu A- 1, deci B = A - 1 și se calculează prin formula

, (1)

unde A i j sunt complemente algebrice ale elementelor a i j ale matricei A..

Calcularea A -1 folosind formula (1) pentru matrice de ordin înalt este foarte laborioasă, așa că în practică este convenabil să găsiți A -1 folosind metoda transformărilor elementare (ET). Orice matrice nesingulară A poate fi redusă la matricea de identitate E prin aplicarea numai a coloanelor (sau doar a rândurilor) la matricea de identitate.Dacă transformările perfecte peste matricea A sunt aplicate în aceeași ordine matricei de identitate E, rezultatul va fi o matrice inversă. Este convenabil să efectuați EP pe matricele A și E simultan, scriind ambele matrici una lângă alta printr-o linie. Să remarcăm încă o dată că atunci când căutați forma canonică a unei matrice, pentru a o găsi, puteți utiliza transformări de rânduri și coloane. Dacă trebuie să găsiți inversul unei matrice, ar trebui să utilizați numai rânduri sau numai coloane în timpul procesului de transformare.

Exemplul 2.10. Pentru matrice găsiți A-1.

Soluţie.Mai întâi găsim determinantul matricei A
Aceasta înseamnă că matricea inversă există și o putem găsi folosind formula: , unde A i j (i,j=1,2,3) sunt adunări algebrice ale elementelor a i j ale matricei originale.

Unde .

Exemplul 2.11. Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți A -1 pentru matricea: A = .

Soluţie.Atribuim matricei inițiale din dreapta o matrice de identitate de același ordin: . Folosind transformări elementare ale coloanelor, vom reduce „jumătatea” stângă la cea de identitate, efectuând simultan exact aceleași transformări pe matricea din dreapta.
Pentru a face acest lucru, schimbați prima și a doua coloană: ~ . La a treia coloană o adăugăm pe prima, iar la a doua - prima, înmulțită cu -2: . Din prima coloană scadem a doua dublată, iar din a treia - a doua înmulțită cu 6; . Să adăugăm a treia coloană la prima și a doua: . Înmulțiți ultima coloană cu -1: . Matricea pătrată obținută în dreapta barei verticale este matricea inversă a matricei date A. Deci,
.

Pentru orice matrice nesingulară A există o matrice unică A -1 astfel încât

A*A -1 =A -1 *A = E,

unde E este matricea de identitate de aceleași ordine ca și A. Matricea A -1 se numește inversul matricei A.

În cazul în care cineva a uitat, în matricea de identitate, cu excepția diagonalei umplute cu unele, toate celelalte poziții sunt umplute cu zerouri, un exemplu de matrice de identitate:

Găsirea matricei inverse folosind metoda matricei adiacente

Matricea inversă este definită prin formula:

unde A ij - elemente a ij.

Acestea. Pentru a calcula matricea inversă, trebuie să calculați determinantul acestei matrice. Apoi găsiți complementele algebrice pentru toate elementele sale și compuneți o nouă matrice din ele. În continuare trebuie să transportați această matrice. Și împărțiți fiecare element al noii matrice la determinantul matricei originale.

Să ne uităm la câteva exemple.

Găsiți A -1 pentru o matrice

Rezolvare.Să găsim A -1 folosind metoda matricei adiacente. Avem det A = 2. Să găsim complementele algebrice ale elementelor matricei A. În acest caz, complementele algebrice ale elementelor matricei vor fi elementele corespunzătoare ale matricei însăși, luate cu semn conform formulei.

Avem A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Formăm matricea adjunctă

Transportăm matricea A*:

Găsim matricea inversă folosind formula:

Primim:

Folosind metoda matricei adiacente, găsiți A -1 dacă

Rezolvare În primul rând, calculăm definiția acestei matrice pentru a verifica existența matricei inverse. Avem

Aici am adăugat elementelor celui de-al doilea rând elementele celui de-al treilea rând, înmulțite anterior cu (-1), apoi am extins determinantul pentru al doilea rând. Deoarece definiția acestei matrice este diferită de zero, matricea sa inversă există. Pentru a construi matricea adjunctă, găsim complementele algebrice ale elementelor acestei matrice. Avem

Conform formulei

matricea de transport A*:

Apoi conform formulei

Găsirea matricei inverse folosind metoda transformărilor elementare

Pe lângă metoda de găsire a matricei inverse, care decurge din formulă (metoda matricei adiacente), există o metodă de găsire a matricei inverse, numită metoda transformărilor elementare.

Transformări matriceale elementare

Următoarele transformări se numesc transformări matrice elementare:

1) rearanjarea rândurilor (coloanelor);

2) înmulțirea unui rând (coloană) cu un alt număr decât zero;

3) adăugarea elementelor unui rând (coloană) a elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană), înmulțite anterior cu un anumit număr.

Pentru a găsi matricea A -1, construim o matrice dreptunghiulară B = (A|E) de ordine (n; 2n), atribuind matricei A din dreapta matricea de identitate E printr-o linie de despărțire:

Să ne uităm la un exemplu.

Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți A -1 dacă

Rezolvare Formăm matricea B:

Să notăm rândurile matricei B cu α 1, α 2, α 3. Să efectuăm următoarele transformări pe rândurile matricei B.

Acest subiect este unul dintre cele mai urâte printre studenți. Mai rău, probabil, sunt calificările.

Trucul este că însuși conceptul de element invers (și nu mă refer doar la matrice) ne trimite la operația de înmulțire. Chiar și în curiculumul scolarînmulțirea numără operație complexă, iar înmulțirea matricei este un subiect cu totul separat, căruia am un întreg paragraf și un tutorial video dedicat.

Astăzi nu vom intra în detaliile calculelor matriceale. Să ne amintim: cum sunt desemnate matricele, cum sunt înmulțite și ce rezultă din aceasta.

Recenzie: Înmulțirea matricelor

În primul rând, să cădem de acord asupra notării. O matrice $A$ de dimensiunea $\left[ m\times n \right]$ este pur și simplu un tabel de numere cu exact $m$ rânduri și $n$ coloane:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrice) \right])_(n)\]

Pentru a evita amestecarea accidentală a rândurilor și coloanelor (credeți-mă, la un examen puteți confunda unul cu doi, darămite câteva rânduri), priviți imaginea:

Ce se întâmplă? Dacă plasați sistemul de coordonate standard $OXY$ în colțul din stânga sus și direcționați axele astfel încât să acopere întreaga matrice, atunci fiecare celulă a acestei matrice poate fi asociată în mod unic cu coordonatele $\left(x;y \right)$ - acesta va fi numărul rândului și numărul coloanei.

De ce este plasat sistemul de coordonate în colțul din stânga sus? Da, pentru că de acolo începem să citim orice texte. Este foarte ușor de reținut.

De ce axa $x$ este îndreptată în jos și nu spre dreapta? Din nou, este simplu: luați un sistem de coordonate standard (axa $x$ merge la dreapta, axa $y$ merge în sus) și rotiți-l astfel încât să acopere matricea. Aceasta este o rotație de 90 de grade în sensul acelor de ceasornic - vedem rezultatul în imagine.

În general, ne-am dat seama cum să determinăm indicii elementelor matricei. Acum să ne uităm la înmulțire.

Definiție. Matricele $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$, când numărul de coloane din prima coincide cu numărul de rânduri din a doua, sunt numite consistente.

Exact în acea ordine. Se poate confunda și spune că matricele $A$ și $B$ formează o pereche ordonată $\left(A;B \right)$: dacă sunt consistente în această ordine, atunci nu este deloc necesar ca $B $ și $A$ acelea. perechea $\left(B;A \right)$ este de asemenea consistentă.

Numai matricele potrivite pot fi multiplicate.

Definiție. Produsul matricelor potrivite $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$ este noua matrice $C=\left[ m\times k \right ]$ , ale căror elemente $((c)_(ij))$ se calculează după formula:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Cu alte cuvinte: pentru a obține elementul $((c)_(ij))$ al matricei $C=A\cdot B$, trebuie să luați $i$-rândul primei matrice, $j$ -a coloană a celei de-a doua matrice, apoi înmulțiți în perechi elementele din acest rând și coloană. Adunați rezultatele.

Da, aceasta este o definiție atât de dură. Din aceasta decurg imediat mai multe fapte:

1. Înmulțirea matriceală, în general, este necomutativă: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Totuși, înmulțirea este asociativă: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Și chiar distributiv: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Și încă o dată distributiv: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Distributivitatea înmulțirii a trebuit să fie descrisă separat pentru factorul de sumă din stânga și din dreapta tocmai din cauza necomutativității operației de înmulțire.

Dacă se dovedește că $A\cdot B=B\cdot A$, astfel de matrici se numesc comutative.

Printre toate matricele care sunt înmulțite cu ceva acolo, există unele speciale - cele care, atunci când sunt înmulțite cu orice matrice $A$, dau din nou $A$:

Definiție. O matrice $E$ se numește identitate dacă $A\cdot E=A$ sau $E\cdot A=A$. În cazul unei matrice pătrate $A$ putem scrie:

Matricea de identitate este un invitat frecvent în rezolvare ecuații matriceale. Și, în general, un invitat frecvent în lumea matricelor. :)

Și din cauza acestui $E$, cineva a venit cu toate prostiile care vor fi scrise în continuare.

Ce este o matrice inversă

Deoarece înmulțirea matricei este o operație foarte intensă de muncă (trebuie să înmulțiți o grămadă de rânduri și coloane), conceptul de matrice inversă se dovedește a nu fi cel mai banal. Și necesită niște explicații.

Definiție cheie

Ei bine, este timpul să cunoaștem adevărul.

Definiție. O matrice $B$ se numește inversul unei matrice $A$ dacă

Matricea inversă este notată cu $((A)^(-1))$ (a nu se confunda cu gradul!), deci definiția poate fi rescrisă după cum urmează:

S-ar părea că totul este extrem de simplu și clar. Dar atunci când analizăm această definiție, apar imediat câteva întrebări:

1. Există întotdeauna o matrice inversă? Și dacă nu întotdeauna, atunci cum să determinați: când există și când nu?
2. Și cine a spus că există exact o astfel de matrice? Ce se întâmplă dacă pentru o matrice inițială $A$ există o mulțime întreagă de inverse?
3. Cum arată toate aceste „reversuri”? Și cum, mai exact, ar trebui să le numărăm?

În ceea ce privește algoritmii de calcul, despre asta vom vorbi puțin mai târziu. Dar vom răspunde la întrebările rămase chiar acum. Să le formulăm sub forma unor enunţuri-leme separate.

Proprietăți de bază

Să începem cu cum ar trebui, în principiu, să arate matricea $A$ pentru ca $((A)^(-1))$ să existe pentru ea. Acum ne vom asigura că ambele matrice trebuie să fie pătrate și de aceeași dimensiune: $\left[ n\times n \right]$.

Lema 1. Având în vedere o matrice $A$ și inversul ei $((A)^(-1))$. Atunci ambele aceste matrici sunt pătrate și de același ordin $n$.

Dovada. E simplu. Fie matricea $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Deoarece produsul $A\cdot ((A)^(-1))=E$ există prin definiție, matricele $A$ și $((A)^(-1))$ sunt consistente în ordinea prezentată:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( alinia)\]

Aceasta este o consecință directă a algoritmului de multiplicare a matricei: coeficienții $n$ și $a$ sunt „tranzit” și trebuie să fie egali.

În același timp, se definește și înmulțirea inversă: $((A)^(-1))\cdot A=E$, deci matricele $((A)^(-1))$ și $A$ sunt de asemenea, consecvent în ordinea specificată:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( alinia)\]

Astfel, fără pierderea generalității, putem presupune că $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Cu toate acestea, conform definiției lui $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, prin urmare dimensiunile matricelor coincid strict:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Deci, se dovedește că toate cele trei matrici - $A$, $((A)^(-1))$ și $E$ - sunt matrici pătrate de dimensiunea $\left[ n\times n \right]$. Lema este dovedită.

Ei bine, asta e deja bine. Vedem că numai matricele pătrate sunt inversabile. Acum să ne asigurăm că matricea inversă este întotdeauna aceeași.

Lema 2. Având în vedere o matrice $A$ și inversul ei $((A)^(-1))$. Atunci această matrice inversă este singura.

Dovada. Să trecem prin contradicție: să fie matricea $A$ să aibă cel puțin două inverse - $B$ și $C$. Atunci, conform definiției, următoarele egalități sunt adevărate:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

Din lema 1 concluzionăm că toate cele patru matrice - $A$, $B$, $C$ și $E$ - sunt pătrate de același ordin: $\left[ n\times n \right]$. Prin urmare, produsul este definit:

Deoarece înmulțirea matriceală este asociativă (dar nu comutativă!), putem scrie:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(align)\]

Am primit singurul varianta posibila: două instanțe ale matricei inverse sunt egale. Lema este dovedită.

Argumentele de mai sus repetă aproape textual demonstrația unicității elementului invers pentru toate numerele reale $b\ne 0$. Singura adăugare semnificativă este luarea în considerare a dimensiunii matricelor.

Cu toate acestea, încă nu știm nimic despre dacă fiecare matrice pătrată este inversabilă. Aici ne vine în ajutor un determinant - acesta caracteristica cheie pentru toate matricele pătrate.

Lema 3. Dată o matrice $A$. Dacă matricea sa inversă $((A)^(-1))$ există, atunci determinantul matricei originale este diferit de zero:

\[\stanga| A\dreapta|\ne 0\]

Dovada. Știm deja că $A$ și $((A)^(-1))$ sunt matrici pătrate de dimensiune $\left[ n\times n \right]$. Prin urmare, pentru fiecare dintre ele putem calcula determinantul: $\left| A\dreapta|$ și $\stânga| ((A)^(-1)) \dreapta|$. Totuși, determinantul unui produs este egal cu produsul determinanților:

\[\stanga| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \dreapta|\]

Dar conform definiției, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, iar determinantul lui $E$ este întotdeauna egal cu 1, deci

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\dreapta|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]

Produsul a două numere este egal cu unul numai dacă fiecare dintre aceste numere este diferit de zero:

\[\stanga| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \dreapta|\ne 0.\]

Deci, se dovedește că $\left| A \dreapta|\ne 0$. Lema este dovedită.

De fapt, această cerință este destul de logică. Acum vom analiza algoritmul de găsire a matricei inverse - și va deveni complet clar de ce, cu un determinant zero, nu poate exista în principiu nicio matrice inversă.

Dar mai întâi, să formulăm o definiție „auxiliară”:

Definiție. O matrice singulară este o matrice pătrată de dimensiunea $\left[ n\times n \right]$ al cărei determinant este zero.

Astfel, putem pretinde că fiecare matrice inversabilă este nesingulară.

Cum se află inversul unei matrice

Acum vom lua în considerare un algoritm universal pentru găsirea matricilor inverse. În general, există doi algoritmi general acceptați și îl vom lua în considerare și pe al doilea astăzi.

Cea care va fi discutată acum este foarte eficientă pentru matrice de dimensiune $\left[ 2\times 2 \right]$ și - parțial - dimensiune $\left[ 3\times 3 \right]$. Dar pornind de la dimensiunea $\left[ 4\times 4 \right]$ este mai bine să nu-l folosești. De ce - acum vei înțelege totul singur.

Adunări algebrice

Pregateste-te. Acum va fi durere. Nu, nu-ți face griji: o asistentă frumoasă în fustă, ciorapi cu dantelă nu vor veni la tine și îți vor face o injecție în fese. Totul este mult mai prozaic: adăugările algebrice și Majestatea Sa „Matricea Unirii” vin la tine.

Să începem cu principalul. Să fie o matrice pătrată de mărimea $A=\left[ n\times n \right]$, ale cărei elemente se numesc $((a)_(ij))$. Apoi pentru fiecare astfel de element putem defini un complement algebric:

Definiție. Complement algebric $((A)_(ij))$ la elementul $((a)_(ij))$ situat în $i$-lea rând și $j$-a coloană a matricei $A=\left[ n \times n \right]$ este o construcție a formei

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Unde $M_(ij)^(*)$ este determinantul matricei obținute din $A$ original prin ștergerea aceluiași $i$-lea și $j$-a coloană.

Din nou. Complementul algebric la un element de matrice cu coordonatele $\left(i;j \right)$ se notează $((A)_(ij))$ și se calculează conform schemei:

1. În primul rând, ștergem $i$-rândul și $j$-a coloană din matricea originală. Obținem o nouă matrice pătrată și notăm determinantul ei $M_(ij)^(*)$.
2. Apoi înmulțim acest determinant cu $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - la început această expresie poate părea uimitoare, dar, în esență, pur și simplu descoperim semnul din fața lui $M_(ij)^(*) $.
3. Numărăm și obținem un anumit număr. Acestea. adunarea algebrică este tocmai un număr, și nu o matrice nouă etc.

Matricea $M_(ij)^(*)$ însăși este numită un minor suplimentar pentru elementul $((a)_(ij))$. Și în acest sens, definiția de mai sus a unui complement algebric este un caz special al unei definiții mai complexe - ceea ce ne-am uitat în lecția despre determinant.

Notă importantă. De fapt, în matematica „adulților”, adunările algebrice sunt definite după cum urmează:

1. Luăm $k$ rânduri și $k$ coloane într-o matrice pătrată. La intersecția lor obținem o matrice de dimensiune $\left[ k\times k \right]$ - determinantul său se numește minor de ordin $k$ și se notează $((M)_(k))$.
2. Apoi tăiem aceste $k$ rânduri și $k$ coloane „selectate”. Încă o dată obțineți o matrice pătrată - determinantul său se numește minor suplimentar și se notează $M_(k)^(*)$.
3. Înmulțiți $M_(k)^(*)$ cu $((\left(-1 \right))^(t))$, unde $t$ este (atenție acum!) suma numerelor tuturor rândurilor selectate si coloane. Aceasta va fi adunarea algebrică.

Uită-te la al treilea pas: există de fapt o sumă de termeni de 2k$! Alt lucru este că pentru $k=1$ vom obține doar 2 termeni - aceștia vor fi aceiași $i+j$ - „coordonatele” elementului $((a)_(ij))$ pentru care suntem căutând un complement algebric.

Deci astăzi folosim o definiție ușor simplificată. Dar după cum vom vedea mai târziu, va fi mai mult decât suficient. Următorul lucru este mult mai important:

Definiție. Matricea aliată $S$ cu matricea pătrată $A=\left[ n\times n \right]$ este o nouă matrice de dimensiune $\left[ n\times n \right]$, care se obține din $A$ prin înlocuirea $(( a)_(ij))$ cu adunări algebrice $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrice) \right]\]

Primul gând care apare în momentul realizării acestei definiții este „cât va trebui să fie numărat!” Relaxează-te: va trebui să numeri, dar nu atât. :)

Ei bine, toate acestea sunt foarte frumoase, dar de ce este necesar? Dar de ce.

Teorema principală

Să ne întoarcem puțin înapoi. Amintiți-vă, în Lema 3 s-a afirmat că matricea inversabilă $A$ este întotdeauna nesingulară (adică determinantul său este diferit de zero: $\left| A \right|\ne 0$).

Deci, este și opusul adevărat: dacă matricea $A$ nu este singulară, atunci este întotdeauna inversabilă. Și există chiar și o schemă de căutare pentru $((A)^(-1))$. Verifică:

Teorema matricei inverse. Fie dată o matrice pătrată $A=\left[ n\times n \right]$, iar determinantul ei este diferit de zero: $\left| A \dreapta|\ne 0$. Atunci matricea inversă $((A)^(-1))$ există și se calculează prin formula:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

Și acum - totul este la fel, dar cu un scris de mână lizibil. Pentru a găsi matricea inversă, aveți nevoie de:

1. Calculați determinantul $\left| A \right|$ și asigurați-vă că este diferit de zero.
2. Construiți matricea de unire $S$, i.e. numărați 100500 de adunări algebrice $((A)_(ij))$ și plasați-le în locul $((a)_(ij))$.
3. Transpuneți această matrice $S$ și apoi înmulțiți-o cu un număr $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Asta e tot! S-a găsit matricea inversă $((A)^(-1))$. Să ne uităm la exemple:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

Soluţie. Să verificăm reversibilitatea. Să calculăm determinantul:

\[\stanga| A\dreapta|=\stânga| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinantul este diferit de zero. Aceasta înseamnă că matricea este inversabilă. Să creăm o matrice de unire:

Să calculăm adunările algebrice:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\right|=3. \\ \end(align)\]

Vă rugăm să rețineți: determinanții |2|, |5|, |1| și |3| sunt determinanți ai matricelor de dimensiune $\left[ 1\times 1 \right]$, și nu module. Acestea. dacă calificativele incluse numere negative, nu este nevoie să eliminați „minus”.

În total, matricea noastră de uniuni arată astfel:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (matrice)(*(35)(r)) 2 și -1 \\ -5 și 3 \\\end(matrice) \right]\]

OK, totul sa terminat acum. Problema este rezolvată.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Soluţie. Calculăm din nou determinantul:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinantul este diferit de zero - matricea este inversabilă. Dar acum va fi foarte greu: trebuie să numărăm până la 9 (nouă, nenorocitul!) adăugiri algebrice. Și fiecare dintre ele va conține determinantul $\left[ 2\times 2 \right]$. A zburat:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(matrice)\]

Pe scurt, matricea de unire va arăta astfel:

Prin urmare, matricea inversă va fi:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(matrice) \right]\]

Asta este. Iată răspunsul.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

După cum puteți vedea, la sfârșitul fiecărui exemplu am efectuat o verificare. În acest sens, o notă importantă:

Nu fi lene să verifici. Înmulțiți matricea originală cu matricea inversă găsită - ar trebui să obțineți $E$.

Efectuarea acestei verificări este mult mai ușoară și mai rapidă decât căutarea unei erori în calculele ulterioare atunci când, de exemplu, rezolvați o ecuație matriceală.

Mod alternativ

După cum am spus, teorema matricei inverse funcționează excelent pentru dimensiunile $\left[ 2\times 2 \right]$ și $\left[ 3\times 3 \right]$ (în acest din urmă caz- nu mai este atât de „minunat”), dar pentru matricele de dimensiuni mari începe tristețea.

Dar nu vă faceți griji: există un algoritm alternativ cu care puteți găsi calm inversul chiar și pentru matricea $\left[ 10\times 10 \right]$. Dar, așa cum se întâmplă adesea, pentru a lua în considerare acest algoritm avem nevoie de o mică introducere teoretică.

Transformări elementare

Printre toate transformările de matrice posibile, există mai multe speciale - ele sunt numite elementare. Există exact trei astfel de transformări:

1. Multiplicare. Puteți lua $i$-lea rând (coloană) și îl puteți înmulți cu orice număr $k\ne 0$;
2. Plus. Adaugă la $i$--lea rând (coloană) orice alt $j$--lea rând (coloană) înmulțit cu orice număr $k\ne 0$ (puteți, desigur, să faceți $k=0$, dar care este nu se va schimba nimic).
3. Rearanjare. Luați rândurile $i$i și $j$-lea (coloane) și schimbați locurile.

De ce aceste transformări sunt numite elementare (pentru matrice mari nu arată atât de elementar) și de ce sunt doar trei dintre ele - aceste întrebări depășesc scopul lecției de astăzi. Prin urmare, nu vom intra în detalii.

Un alt lucru este important: trebuie să realizăm toate aceste perversiuni pe matricea adiacentă. Da, da: ai auzit bine. Acum va mai exista o definiție - ultima din lecția de astăzi.

Matrice adjunctă

Cu siguranță la școală ai rezolvat sisteme de ecuații folosind metoda adunării. Ei bine, scădeți altul dintr-o linie, înmulțiți o linie cu un număr - asta-i tot.

Deci: acum totul va fi la fel, dar într-un mod „adult”. Gata?

Definiție. Fie date o matrice $A=\left[ n\times n \right]$ și o matrice de identitate $E$ de aceeași dimensiune $n$. Apoi matricea adjunctă $\left[ A\left| E\ dreapta. \right]$ este o nouă matrice de dimensiune $\left[ n\time 2n \right]$ care arată astfel:

\[\left[ A\left| E\ dreapta. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(matrice) \right]\]

Pe scurt, luăm matricea $A$, în dreapta îi atribuim matricea de identitate $E$ de mărimea cerută, le separăm cu o bară verticală pentru frumusețe - aici aveți adjunctul. :)

Care e siretlicul? Iată ce:

Teorema. Fie matricea $A$ să fie inversabilă. Se consideră matricea adjunctă $\left[ A\left| E\ dreapta. \dreapta]$. Dacă utilizați conversii elementare de șiruri aduceți-l la forma $\left[ E\left| Luminos. \right]$, adică prin înmulțirea, scăderea și rearanjarea rândurilor pentru a obține din $A$ matricea $E$ din dreapta, apoi matricea $B$ obținută în stânga este inversul lui $A$:

\[\left[ A\left| E\ dreapta. \right]\la \left[ E\left| Luminos. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

Este atat de simplu! Pe scurt, algoritmul pentru găsirea matricei inverse arată astfel:

1. Scrieți matricea adjunctă $\left[ A\left| E\ dreapta. \dreapta]$;
2. Efectuați conversii elementare de șiruri până când apare $E$ în loc de $A$;
3. Desigur, ceva va apărea și în stânga - o anumită matrice $B$. Acesta va fi invers;
4. PROFIT!:)

Desigur, acest lucru este mult mai ușor de spus decât de făcut. Deci, să ne uităm la câteva exemple: pentru dimensiunile $\left[ 3\times 3 \right]$ și $\left[ 4\times 4 \right]$.

Sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Soluţie. Cream matricea adjunta:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 și 1 \\\end(matrice) \right]\]

Deoarece ultima coloană a matricei originale este umplută cu unele, scădeți primul rând din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrice)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Nu mai există unități, cu excepția primei linii. Dar nu îl atingem, altfel unitățile proaspăt eliminate vor începe să se „înmulțească” în a treia coloană.

Dar putem scădea a doua linie de două ori din ultima - obținem una în colțul din stânga jos:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrice)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Acum putem scădea ultimul rând din primul și de două ori din al doilea - astfel vom „zero” prima coloană:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrice)\to \\ & \ la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Înmulțiți a doua linie cu −1, apoi scădeți-o de 6 ori din prima și adăugați 1 dată la ultima:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Tot ce rămâne este să schimbați liniile 1 și 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(matrice) \right]\]

Gata! În dreapta este matricea inversă necesară.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrice) \dreapta]\]

Soluţie. Compunem din nou adjunctul:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\]

Să plângem puțin, să fim întristați de cât de mult trebuie să numărăm acum... și să începem să numărăm. Mai întâi, să „eliminăm zero” prima coloană scăzând rândul 1 din rândurile 2 și 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Vedem prea multe „contra” în rândurile 2-4. Înmulțiți toate cele trei rânduri cu -1 și apoi ardeți a treia coloană scăzând rândul 3 din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(matrice) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (matrice) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Acum este momentul să „prăjim” ultima coloană a matricei originale: scădeți linia 4 din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Aruncare finală: „arzi” a doua coloană scăzând linia 2 din rândurile 1 și 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( matrice) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Și din nou matricea de identitate este în stânga, ceea ce înseamnă că inversul este în dreapta. :)

Răspuns. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrice) \right]$

Să continuăm conversația despre acțiunile cu matrice. Și anume, în timpul studiului acestei prelegeri veți învăța cum să găsiți matricea inversă. Învăța. Chiar dacă matematica este dificilă.

Ce este o matrice inversă? Aici putem face o analogie cu numerele inverse: luați în considerare, de exemplu, numărul optimist 5 și numărul său invers . Produsul acestor numere este egal cu unu: . Totul este similar cu matricele! Produsul unei matrice și matricea sa inversă este egal cu – matrice de identitate, care este analogul matriceal al unității numerice. Cu toate acestea, primul lucru este mai întâi - să rezolvăm mai întâi cel important. întrebare practică, și anume, vom învăța cum să găsim această matrice foarte inversă.

Ce trebuie să știți și să puteți face pentru a găsi matricea inversă? Trebuie să poți decide calificative. Trebuie să înțelegi ce este matriceși să poată efectua unele acțiuni cu ei.

Există două metode principale pentru a găsi matricea inversă:
prin utilizarea adunări algebriceȘi folosind transformări elementare.

Astăzi vom studia prima metodă, mai simplă.

Să începem cu cele mai teribile și de neînțeles. Sa luam in considerare pătrat matrice. Matricea inversă poate fi găsită prin următoarea formulă :

Unde este determinantul matricei, este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

Conceptul de matrice inversă există numai pentru matrice pătrată, matrice „două câte două”, „trei câte trei”, etc.

Denumiri: După cum probabil ați observat deja, matricea inversă este indicată printr-un superscript

Să începem cu cel mai simplu caz - o matrice două câte două. Cel mai adesea, desigur, este necesar „trei câte trei”, dar, cu toate acestea, recomand insistent să studiați o sarcină mai simplă pentru a stăpâni principiu general solutii.

Exemplu:

Aflați inversul unei matrice

Să decidem. Este convenabil să descompuneți secvența de acțiuni punct cu punct.

1) Mai întâi găsim determinantul matricei.

Dacă înțelegerea dvs. despre această acțiune nu este bună, citiți materialul Cum se calculează determinantul?

Important! Dacă determinantul matricei este egal cu ZERO– matrice inversă NU EXISTA.

În exemplul luat în considerare, după cum sa dovedit, , ceea ce înseamnă că totul este în ordine.

2) Găsiți matricea minorilor.

Pentru a ne rezolva problema, nu este necesar să știm ce este un minor, totuși, este indicat să citiți articolul Cum se calculează determinantul.

Matricea minorilor are aceleași dimensiuni ca și matricea, adică în acest caz.
Singurul lucru rămas de făcut este să găsiți patru numere și să le puneți în loc de asteriscuri.

Să revenim la matricea noastră
Să ne uităm mai întâi la elementul din stânga sus:

Cum să-l găsești minor?
Și acest lucru se face astfel: tăiați MENTAL rândul și coloana în care se află acest element:

Numărul rămas este minor a acestui element , pe care o scriem în matricea noastră de minori:

Luați în considerare următorul element de matrice:

Trimiteți mental rândul și coloana în care apare acest element:

Ceea ce rămâne este minorul acestui element, pe care îl scriem în matricea noastră:

În mod similar, luăm în considerare elementele din al doilea rând și găsim minorii acestora:


Gata.

E simplu. În matricea minorilor ai nevoie SCHIMBARE SEMNE doua numere:

Acestea sunt numerele pe care le-am încercuit!

– matrice de adunări algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

Si doar...

4) Aflați matricea transpusă de adunări algebrice.

– matrice transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

5) Răspuns.

Să ne amintim formula noastră
Totul a fost găsit!

Deci matricea inversă este:

Este mai bine să lăsați răspunsul așa cum este. NU ESTE NEVOIEîmpărțiți fiecare element al matricei la 2, deoarece rezultatul sunt numere fracționale. Această nuanță este discutată mai detaliat în același articol. Acțiuni cu matrice.

Cum se verifică soluția?

Trebuie să efectuați înmulțirea matricei sau

Examinare:

Primit deja menționat matrice de identitate este o matrice cu uni de diagonala principalăși zerouri în alte locuri.

Astfel, matricea inversă este găsită corect.

Dacă desfășurați acțiunea, rezultatul va fi și o matrice de identitate. Acesta este unul dintre puținele cazuri în care multiplicarea matricei este permutabilă, mai mult informatii detaliate pot fi găsite în articol Proprietăți ale operațiilor pe matrice. Expresii matriceale. De asemenea, rețineți că în timpul verificării, constanta (fracția) este adusă înainte și procesată la sfârșit - după înmulțirea matricei. Aceasta este o tehnică standard.

Să trecem la un caz mai comun în practică - matricea de trei câte trei:

Exemplu:

Aflați inversul unei matrice

Algoritmul este exact același ca pentru cazul „două câte doi”.

Găsim matricea inversă folosind formula: , unde este matricea transpusă de complemente algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

1) Aflați determinantul matricei.

Aici se dezvăluie determinantul pe prima linie.

De asemenea, nu uitați asta, ceea ce înseamnă că totul este bine - matrice inversă există.

2) Găsiți matricea minorilor.

Matricea minorilor are o dimensiune de „trei câte trei” , și trebuie să găsim nouă numere.

Voi arunca o privire mai atentă la câțiva minori:

Luați în considerare următorul element de matrice:

Trimiteți MENTAL rândul și coloana în care se află acest element:

Scriem cele patru numere rămase în determinantul „două câte doi”.

Acest determinant doi câte doi și este minorul acestui element. Trebuie calculat:


Asta e, minorul a fost găsit, îl scriem în matricea noastră de minori:

După cum probabil ați ghicit, trebuie să calculați nouă doi câte doi determinanți. Procesul, desigur, este plictisitor, dar cazul nu este cel mai sever, poate fi și mai rău.

Ei bine, pentru a consolida – găsirea unui alt minor în imagini:

Încercați să calculați singuri minorii rămași.

Rezultat final:
– matricea minorilor elementelor corespondente ale matricei.

Faptul că toți minorii s-au dovedit a fi negativi este un pur accident.

3) Aflați matricea adunărilor algebrice.

În matricea minorilor este necesar SCHIMBARE SEMNE strict pentru următoarele elemente:

În acest caz:

Nu luăm în considerare găsirea matricei inverse pentru o matrice „patru cu patru”, deoarece o astfel de sarcină poate fi dată doar de un profesor sadic (pentru ca elevul să calculeze un determinant „patru cu patru” și 16 determinanți „trei cu trei” ). În practica mea, a existat un singur astfel de caz și clientul munca de testare plătit destul de scump pentru chinul meu =).

Într-o serie de manuale și manuale puteți găsi o abordare ușor diferită pentru găsirea matricei inverse, dar vă recomand să utilizați algoritmul de soluție prezentat mai sus. De ce? Pentru că probabilitatea de a te confunda în calcule și semne este mult mai mică.