Az egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenségek algoritmusának megoldási szabálya. Egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása
Algebra projekt „Megoldás” trigonometrikus egyenlőtlenségek» Kazachkova Julia 10. osztályos tanuló „B” Témavezető: matematikatanár Kochakova N.N.
Cél A „Trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása” témájú tananyag összevonása, és emlékeztető készítése a hallgatók számára, hogy készüljenek fel a közelgő vizsgára.
Célok: A témával kapcsolatos anyagok összefoglalása. Rendszerezze a kapott információkat. Fontolgat ez a téma az egységes államvizsgán.
Relevancia Az általam választott téma relevanciája abban rejlik, hogy a „Trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása” témakörben szereplő feladatok az Egységes Államvizsga feladatai közé tartoznak.
Trigonometrikus egyenlőtlenségek Az egyenlőtlenség két számot vagy kifejezést összekötő reláció az egyik előjelen keresztül: (nagyobb, mint); ≥ (nagyobb vagy egyenlő). A trigonometrikus egyenlőtlenség olyan egyenlőtlenség, amely tartalmazza trigonometrikus függvények.
Trigonometrikus egyenlőtlenségek A trigonometrikus függvényeket tartalmazó egyenlőtlenségek megoldása általában a legegyszerűbb alakú egyenlőtlenségek megoldására redukálódik: sin x>a, sin x a, cos x a, tg x a,ctg x
Algoritmus trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldására Az adott trigonometrikus függvénynek megfelelő tengelyen jelölje be ezt számérték ezt a funkciót. Rajzoljon egy vonalat a megjelölt ponton, amely metszi az egységkört. Válasszuk ki egy egyenes és egy kör metszéspontját, figyelembe véve a szigorú vagy nem szigorú egyenlőtlenség jelet. Válassza ki a kör ívét, amelyen az egyenlőtlenség megoldásai találhatók. Határozza meg a szögértékeket a körív kezdő- és végpontjában. Írja fel az egyenlőtlenség megoldását az adott trigonometrikus függvény periodicitásának figyelembevételével!
Képletek trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldására sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx a; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxa; x (arctg a + πn ; + πn). tgx a; x (πn ; arctan + πn). ctgx
Sinx >a alapvető trigonometrikus egyenlőtlenségek grafikus megoldása
Sinx alapvető trigonometrikus egyenlőtlenségek grafikus megoldása Alapvető trigonometrikus egyenlőtlenségek grafikus megoldása cosx >a Cosx alapvető trigonometrikus egyenlőtlenségek grafikus megoldása Alapvető trigonometrikus egyenlőtlenségek grafikus megoldása tgx >a A tgx alapvető trigonometrikus egyenlőtlenségek grafikus megoldása Alapvető trigonometrikus egyenlőtlenségek grafikus megoldása ctgx >a
A trigonometrikus függvényeket tartalmazó egyenlőtlenségek megoldásánál a legegyszerűbb cos(t)>a, sint(t)=a és hasonló formájú egyenlőtlenségekre redukálódnak. És máris megoldódtak a legegyszerűbb egyenlőtlenségek. Nézzünk meg különféle példákat az egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldására.
1. példa. Oldja meg a sin(t) > = -1/2 egyenlőtlenséget.
Rajzolj egy egységkört. Mivel sin(t) definíció szerint az y koordináta, az Oy tengelyen az y = -1/2 pontot jelöljük. Egyenes vonalat húzunk rajta, a tengellyel párhuzamosÓ. Az egyenes metszéspontjában az egységkör grafikonjával jelölje be a Pt1 és Pt2 pontokat. A koordináták origóját a Pt1 és Pt2 pontokkal két szegmenssel összekötjük.
Ennek az egyenlőtlenségnek a megoldása az egységkör e pontok feletti összes pontja lesz. Más szóval, a megoldás az l ív lesz. Most meg kell jelölni azokat a feltételeket, amelyek mellett egy tetszőleges pont az l ívhez fog tartozni.
Pt1 a jobb oldali félkörben fekszik, ordinátája -1/2, ekkor t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. A Pt1 pont leírásához a következő képletet írhatja fel:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Ennek eredményeként a következő egyenlőtlenséget kapjuk t-re:
Megőrizzük az egyenlőtlenségeket. És mivel a szinuszfüggvény periodikus, ez azt jelenti, hogy a megoldások 2*pi-nként ismétlődnek. Ezt a feltételt hozzáadjuk a kapott t egyenlőtlenséghez, és felírjuk a választ.
Válasz: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
2. példa Oldja meg a cos(t) egyenlőtlenséget<1/2.
Rajzoljunk egységkört. Mivel a definíció szerint cos(t) az x koordináta, a grafikonon az x = 1/2 pontot jelöljük az Ox tengelyen.
Ezen a ponton keresztül az Oy tengellyel párhuzamos egyenest húzunk. Az egyenes metszéspontjában az egységkör grafikonjával jelölje be a Pt1 és Pt2 pontokat. A koordináták origóját a Pt1 és Pt2 pontokkal két szegmenssel összekötjük.
A megoldás az egységkör minden olyan pontja lesz, amely az l ívhez tartozik, keressük meg a t1 és t2 pontokat.
t1 = arccos(1/2) = pi/3.
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.
Megkaptuk a t egyenlőtlenséget: pi/3 Mivel a koszinusz periodikus függvény, a megoldások 2*pi-nként megismétlődnek. Ezt a feltételt hozzáadjuk a kapott t egyenlőtlenséghez, és felírjuk a választ. Válasz: pi/3+2*pi*n 3. példa tg(t) egyenlőtlenség megoldása< = 1. Az érintő periódus egyenlő pi-vel. Keressünk olyan megoldásokat, amelyek a (-pi/2;pi/2) intervallumhoz tartozó jobb oldali félkörhöz tartoznak. Ezután az érintő periodicitását felhasználva felírjuk ennek az egyenlőtlenségnek az összes megoldását. Rajzoljunk egy egységkört, és jelöljük meg rajta az érintővonalat. Ha t az egyenlőtlenség megoldása, akkor a T = tg(t) pont ordinátájának kisebbnek vagy egyenlőnek kell lennie 1-nél. Az ilyen pontok halmaza alkotja az AT sugarat. A Pt pontok halmaza, amely ennek a sugárnak a pontjainak felel meg, az l ív. Ráadásul a P(-pi/2) pont nem tartozik ehhez az ívhez. A gyakorlati óra során megismételjük a „Trigonometria” témakör főbb feladattípusait, emellett elemezzük a megnövekedett összetettségű problémákat, és példákat veszünk a különböző trigonometrikus egyenlőtlenségek és rendszereik megoldására. Ez a lecke segít felkészülni a B5, B7, C1 és C3 típusú feladatok valamelyikére. Kezdjük a „Trigonometria” témakörben tárgyalt főbb feladattípusok áttekintésével, és oldjunk meg néhány nem szabványos problémát. 1. számú feladat. Szögek átváltása radiánra és fokra: a) ; b) . a) Használjuk a képletet a fokok radiánra konvertálására Helyettesítsük be a megadott értéket. b) Alkalmazza a radiánok fokokká alakításának képletét! Végezzük el a helyettesítést Válasz. A) ; b) . 2. feladat. Számítsd ki: a) ; b) . a) Mivel a szög messze túlmutat a táblázaton, a szinuszperiódus kivonásával csökkentjük. Mert A szöget radiánban adjuk meg, ekkor a periódusnak tekintjük. b) B ebben az esetben a helyzet hasonló. Mivel a szög fokban van megadva, az érintő periódusát a következőnek tekintjük. Az így kapott szög, bár kisebb a periódusnál, nagyobb, ami azt jelenti, hogy már nem a fő, hanem a kiterjesztett táblázatrészre vonatkozik. Annak érdekében, hogy ne edzzük még egyszer a memóriáját a trigofunkciós értékek kiterjesztett táblázatának memorizálásával, vonjuk ki ismét az érintő periódust: Kihasználtuk az érintőfüggvény páratlanságát. Válasz. a) 1; b) . 3. feladat. Kiszámítja A teljes kifejezést redukáljuk érintőkre úgy, hogy a tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk -vel. Ugyanakkor nem félhetünk attól, hogy ebben az esetben az érintőérték nem létezne. 4. feladat. Egyszerűsítse a kifejezést. A megadott kifejezések redukciós képletek segítségével konvertálódnak. Csak szokatlan módon vannak írva a fokokkal. Az első kifejezés általában egy számot jelent. Egyszerűsítsük az összes trigofüggvényt egyenként: Mert , akkor a függvény kofunkcióvá változik, azaz. a kotangenshez, és a szög a második negyedbe esik, amelyben az eredeti érintő negatív előjelű. Ugyanazok az okok miatt, mint az előző kifejezésben, a függvény kofunkcióvá változik, pl. a kotangenshez, és a szög az első negyedbe esik, amelyben az eredeti érintő pozitív előjelű. Helyettesítsünk mindent egy egyszerűsített kifejezésre: 5. probléma. Egyszerűsítse a kifejezést. Írjuk fel a kettős szög érintőjét a megfelelő képlettel, és egyszerűsítsük a kifejezést: Az utolsó azonosság a koszinusz egyik univerzális helyettesítési képlete. 6. probléma. Kiszámítja. A lényeg az, hogy ne kövessük el azt a szokásos hibát, hogy nem azt a választ adjuk, hogy a kifejezés egyenlő -val. Nem használhatod az arctangens alaptulajdonságát mindaddig, amíg van mellette kettős faktor. Hogy megszabaduljunk tőle, a kifejezést a kettős szög érintőjének képlete szerint írjuk fel, miközben a -t közönséges argumentumként kezeljük. Most már alkalmazhatjuk az arctangens alapvető tulajdonságát, ne feledje, hogy a numerikus eredményére nincs korlátozás. 7. probléma. Oldja meg az egyenletet. A nullával egyenlő törtegyenlet megoldásánál mindig jelezzük, hogy a számláló egyenlő nullával, de a nevező nem, mert Nem lehet nullával osztani. Az első egyenlet a legegyszerűbb egyenlet speciális esete, amely trigonometrikus körrel megoldható. Emlékezzen erre a megoldásra. A második egyenlőtlenséget a legegyszerűbb egyenletként oldjuk meg az érintő gyökeinek általános képletével, de csak nem egyenlő előjellel. Amint látjuk, az egyik gyökércsalád kizár egy másik, pontosan ugyanolyan típusú gyökércsaládot, amely nem felel meg az egyenletnek. Azok. nincsenek gyökerei. Válasz. Nincsenek gyökerek. 8. számú probléma. Oldja meg az egyenletet. Azonnal jegyezzük meg, hogy kivehetjük a közös tényezőt, és tegyük meg: Az egyenletet az egyik standard alakra redukáltuk, ahol több tényező szorzata nullával egyenlő. Azt már tudjuk, hogy ebben az esetben vagy az egyik egyenlő nullával, vagy a másik, vagy a harmadik. Írjuk fel ezt egyenlethalmaz formájában: Az első két egyenlet a legegyszerűbbek speciális esetei, sokszor találkoztunk már hasonló egyenletekkel, ezért azonnal jelezzük a megoldásukat. A harmadik egyenletet egy függvényre redukáljuk a kettős szög szinusz képlet segítségével. Oldjuk meg külön az utolsó egyenletet: Ennek az egyenletnek nincs gyökere, mert a szinuszérték nem lépheti túl Így a megoldás csak az első két gyökércsalád, ezek összevonhatók egybe, ami könnyen látható a trigonometrikus körön: Ez egy csupa fél család, i.e. Térjünk át a trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldására. Először is elemezzük a példa megoldásának megközelítését általános megoldások képlete nélkül, hanem a trigonometrikus kör használatával. 9. számú probléma. Oldja meg az egyenlőtlenséget. Rajzoljunk egy segédvonalat a trigonometrikus körre, amely egyenlő szinuszértékkel egyenlő, és mutassuk meg az egyenlőtlenséget kielégítő szögtartományt. Nagyon fontos megérteni, hogy pontosan hogyan kell jelezni a kapott szögintervallumot, azaz. mi a kezdete és mi a vége. Az intervallum eleje annak a pontnak megfelelő szög lesz, amelyet az óramutató járásával ellentétes irányban haladva az intervallum legelején belépünk. Esetünkben ez az a pont, ami a bal oldalon van, mert Az óramutató járásával ellentétes irányba haladva és a megfelelő ponton áthaladva, éppen ellenkezőleg, elhagyjuk a szükséges szögtartományt. A megfelelő pont tehát a rés végének felel meg. Most meg kell értenünk az egyenlőtlenség megoldási intervallumának kezdetét és végét. Tipikus hiba, hogy azonnal jelezzük, hogy a jobb pont megfelel a szögnek, a bal oldali, és megadjuk a választ. Ez nem igaz! Felhívjuk figyelmét, hogy az imént jeleztük a kör felső részének megfelelő intervallumot, bár minket az alsó rész érdekel, vagyis összekevertük a szükséges megoldási intervallum elejét és végét. Ahhoz, hogy az intervallum a jobb oldali pont sarkától induljon, és a bal pont sarkával végződjön, szükséges, hogy az első megadott szög kisebb legyen, mint a második. Ehhez meg kell majd mérnünk a megfelelő pont szögét a negatív vonatkoztatási irányban, pl. az óramutató járásával megegyező irányba, és egyenlő lesz: . Ezután az óramutató járásával megegyező irányban elindulva onnan elindulva a bal oldali pont után a jobb oldali ponthoz jutunk, és megkapjuk a szögértéket. Most a szögek intervallumának eleje kisebb, mint a vége, és a megoldások intervallumát felírhatjuk anélkül, hogy figyelembe vennénk a periódusot: Tekintettel arra, hogy az ilyen intervallumok tetszőleges egész számú forgatás után végtelen számú alkalommal ismétlődnek, a szinuszperiódus figyelembevételével általános megoldást kapunk: Zárójelet teszünk, mert az egyenlőtlenség szigorú, és kijelöljük a kör azon pontjait, amelyek megfelelnek az intervallum végeinek. Hasonlítsa össze a kapott választ az általános megoldás képletével, amelyet az előadásban adtunk. Válasz. Ez a módszer arra alkalmas, hogy megértsük, honnan származnak a legegyszerűbb trigon-egyenlőtlenségek általános megoldási képletei. Ezen túlmenően azoknak is hasznos, akik túl lusták megtanulni ezeket a nehézkes képleteket. Azonban maga a módszer sem egyszerű, válassza ki, hogy a megoldás melyik megközelítése a legkényelmesebb az Ön számára. A trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásához olyan függvények grafikonjait is használhatjuk, amelyeken segédegyenes készül, hasonlóan az egységkör használatával bemutatott módszerhez. Ha érdekli, próbálja meg saját maga kitalálni ezt a megközelítést a megoldáshoz. A következőkben általános képleteket fogunk használni egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldására. 10. számú probléma. Oldja meg az egyenlőtlenséget. Használjuk az általános megoldás képletét, figyelembe véve, hogy az egyenlőtlenség nem szigorú: Esetünkben a következőket kapjuk: Válasz. 11. számú probléma. Oldja meg az egyenlőtlenséget. Használjuk az általános megoldási képletet a megfelelő szigorúan egyenlőtlenséghez: Válasz. 12. feladat. Egyenlőtlenségek megoldása: a) ; b) . Ezekben az egyenlőtlenségekben nem kell rohanni az általános megoldások vagy a trigonometrikus kör képleteivel, elég csak megjegyezni a szinusz és a koszinusz értéktartományát. a) Azóta b) Mert hasonlóan bármely argumentum szinusza mindig kielégíti a feltételben megadott egyenlőtlenséget. Ezért az érv minden valós értéke kielégíti az egyenlőtlenséget. Válasz. a) nincsenek megoldások; b) . 13. probléma. Oldja meg az egyenlőtlenséget 1.5 Trigonometrikus egyenlőtlenségek és megoldási módszerek 1.5.1 Egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása A modern matematikai tankönyvek szerzőinek többsége azt javasolja, hogy kezdjük el ezt a témát a legegyszerűbb trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásával. A legegyszerűbb trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásának elve a trigonometrikus körön nemcsak a fő trigonometrikus szögek értékeinek, hanem más értékek meghatározásának tudásán és készségén alapul. Eközben a , , , alakú egyenlőtlenségek megoldása a következőképpen hajtható végre: először keresünk egy () intervallumot, amelyen ez az egyenlőtlenség teljesül, majd írjuk fel a végső választ úgy, hogy a talált intervallum végeihez hozzáadunk egy szám, amely a szinusz vagy koszinusz periódusának többszöröse: ( Évek óta meglehetősen sikeresen alkalmazzuk a megfelelő egyenletek gyökereinek képleteit, hogy megoldásokat találjunk a trigonometrikus egyenlőtlenségekre. Ezt a témát a következő módon tanulmányozzuk: 1. Grafikonokat készítünk és y = a, feltételezve, hogy . Ezután felírjuk az egyenletet és annak megoldását. n 0 megadása; 1; 2, megtaláljuk az összeállított egyenlet három gyökerét: . Az értékek a grafikonok három egymást követő metszéspontjának abszcissza, és y = a. Nyilvánvaló, hogy az egyenlőtlenség mindig érvényes a (), az egyenlőtlenség pedig mindig a () intervallumra. Ha ezen intervallumok végéhez adunk egy számot, amely a szinusz periódusának többszöröse, az első esetben az egyenlőtlenség megoldását kapjuk a következő formában: ; a második esetben pedig az egyenlőtlenség megoldása a következő formában: Csak ellentétben a képlet szinuszával, amely az egyenlet megoldása, n = 0 esetén két gyökot kapunk, és n = 1 esetén a harmadik gyöket a formában Most már nem nehéz leírni a megoldásokat az egyenlőtlenségekre és . Az első esetben ezt kapjuk: ; a másodikban pedig: . Összesít. A vagy egyenlőtlenség megoldásához létre kell hozni a megfelelő egyenletet, és meg kell oldani. Az eredményül kapott képletből keresse meg a és a gyökereit, és írja be az egyenlőtlenségre a választ a következő alakba: . Egyenlıtlenségek megoldása során a megfelelı egyenlet gyökeinek képletébıl keressük meg a és a gyököket, és az egyenlıtlenségre a választ a következő alakba írjuk: . Ez a technika lehetővé teszi, hogy minden diákot megtanítson a trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldására, mert Ez a technika teljes mértékben olyan készségekre támaszkodik, amelyeket a tanulók erősen ismernek. Ezek az egyszerű problémák megoldásának és egy változó értékének képlet segítségével történő meghatározásának készségei. Ezenkívül teljesen feleslegessé válik nagyszámú gyakorlat gondos megoldása tanári irányítás mellett, hogy mindenféle érvelési technikát mutassunk be az egyenlőtlenség előjelétől, az a szám modulusának értékétől és előjelétől függően. . Maga az egyenlőtlenség megoldásának folyamata pedig rövid, és ami nagyon fontos, egységessé válik. A módszer másik előnye, hogy lehetővé teszi az egyenlőtlenségek egyszerű megoldását még akkor is, ha a jobb oldal nem szinusz vagy koszinusz táblázatértéke. Mutassuk meg ezt egy konkrét példával. Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk egy egyenlőtlenséget. Hozzuk létre a megfelelő egyenletet, és oldjuk meg: Keressük meg az és értékeit. Amikor n = 1 Amikor n = 2 Leírjuk a végső választ erre az egyenlőtlenségre: A legegyszerűbb trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásának megfontolt példájában csak egy hátrány lehet - egy bizonyos mennyiségű formalizmus jelenléte. De ha mindent csak ezekből a helyzetekből értékelünk, akkor a másodfokú egyenlet gyökereinek képleteit, a trigonometrikus egyenletek megoldására szolgáló összes képletet és még sok mást formalizmussal vádolhatunk. Bár a javasolt módszer méltó helyet foglal el a trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldására vonatkozó készségek kialakításában, a trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldására szolgáló egyéb módszerek fontosságát és jellemzőit nem lehet alábecsülni. Ezek közé tartozik az intervallum módszer. Nézzük a lényegét. A készletet szerkesztette: A.G. Mordkovich, bár nem szabad figyelmen kívül hagyni a többi tankönyvet sem. 3. § A „Trigonometrikus függvények” témakör oktatásának módszertana az algebra során és az elemzés kezdetei A trigonometrikus függvények iskolai tanulmányozásában két fő szakasz különíthető el: ü A trigonometrikus függvényekkel való kezdeti ismerkedés... A kutatás során az alábbi feladatokat oldottam meg: 1) A jelenlegi algebrai tankönyvek és a matematikai elemzés kezdeteinek elemzése során azonosítottam az irracionális egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására szolgáló módszereket. Az elemzésből a következő következtetések vonhatók le: ·a középiskolában nem fordítanak kellő figyelmet a különféle irracionális egyenletek megoldási módszereire, elsősorban... A TRIGONOMETRIAI EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSÁNAK MÓDSZEREI
Relevancia.
A történelem során a trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek különleges helyet kaptak az iskolai tantervben. Elmondhatjuk, hogy a trigonometria az iskolai kurzus és általában az egész matematikai tudomány egyik legfontosabb része. A középiskolai matematika kurzusban a trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek az egyik központi helyet foglalják el, mind az oktatási anyagok tartalmát, mind az oktatási és kognitív tevékenység módszereit tekintve, amelyeket tanulmányaik során lehet és kell kialakítani, és nagyszámú megoldásra alkalmazni. elméleti és alkalmazott jellegű problémák . A trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása megteremti az előfeltételeket a tanulók minden trigonometriai oktatási anyaggal kapcsolatos ismereteinek rendszerezéséhez (például trigonometrikus függvények tulajdonságai, trigonometrikus kifejezések transzformációs módszerei stb.), és lehetővé teszi a tanult anyaggal való hatékony kapcsolatok kialakítását. algebrában (egyenletek, egyenletek ekvivalenciája, egyenlőtlenségek, algebrai kifejezések azonos transzformációi stb.). Más szóval, a trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási technikáinak mérlegelése magában foglalja e készségek egyfajta átadását új tartalomba. Az elmélet jelentősége és számos alkalmazása bizonyítja a választott téma relevanciáját. Ez viszont lehetővé teszi a kurzusmunka céljainak, célkitűzéseinek és kutatási tárgyának meghatározását. A tanulmány célja:
általánosítsa a trigonometrikus egyenlőtlenségek elérhető típusait, megoldásukra vonatkozó alapvető és speciális módszereket, válasszon ki egy feladatsort a trigonometrikus egyenlőtlenségek iskolások általi megoldására. Kutatási célok:
1. A kutatási témában rendelkezésre álló szakirodalom elemzése alapján rendszerezze az anyagot. 2. Adja meg a „Trigonometrikus egyenlőtlenségek” témakör konszolidálásához szükséges feladatokat. A vizsgálat tárgya
trigonometrikus egyenlőtlenségek az iskolai matematika tantárgyban. Tanulmányi tárgy:
a trigonometrikus egyenlőtlenségek típusai és megoldási módszerei. Elméleti jelentősége
az anyag rendszerezése. Gyakorlati jelentősége:
az elméleti ismeretek alkalmazása a problémák megoldásában; a trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásának főbb általános módszereinek elemzése. Kutatási módszerek
: tudományos irodalom elemzése, megszerzett ismeretek szintézise és általánosítása, problémamegoldás elemzése, optimális módszerek keresése az egyenlőtlenségek megoldására. §1.
A trigonometrikus egyenlőtlenségek típusai és megoldásuk alapvető módszerei
1.1. A legegyszerűbb trigonometrikus egyenlőtlenségek
Két trigonometrikus kifejezést, amelyeket a vagy > jel köt össze, trigonometrikus egyenlőtlenségnek nevezünk. A trigonometrikus egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az egyenlőtlenségben szereplő ismeretlenek azon értékkészletét, amelyre az egyenlőtlenség teljesül. A trigonometrikus egyenlőtlenségek nagy részét úgy oldjuk meg, hogy a legegyszerűbb megoldásra redukáljuk őket: Ez lehet a faktorizálás módszere, a változó megváltoztatása ( A legegyszerűbb egyenlőtlenségeket kétféleképpen lehet megoldani: az egységkör használatával vagy grafikusan. Haddf(x
– az egyik alapvető trigonometrikus függvény. Megoldani az egyenlőtlenséget Adjunk egy példát az egyenlőtlenségek megoldására szolgáló algoritmusra Algoritmus az egyenlőtlenség megoldására 1. Fogalmazza meg egy szám szinuszának definícióját!x
az egységkörön. 3. Az ordináta tengelyén jelölje be a pontot a koordinátávala
.
4. Rajzoljon ezen a ponton az OX tengellyel párhuzamos egyenest, és jelölje meg a körrel annak metszéspontjait. 5. Válasszunk ki egy körívet, amelynek minden pontjának ordinátája kisebb, minta
.
6. Jelölje meg a kör irányát (az óramutató járásával ellentétes irányban), és írja le a választ úgy, hogy az intervallum végéhez hozzáadja a függvény periódusát2πn
,
Algoritmus az egyenlőtlenség megoldására 1. Fogalmazza meg egy szám érintőjének definícióját!x
az egységkörön. 2. Rajzolj egységkört! 3. Rajzoljon érintővonalat, és jelöljön ki egy pontot ordinátávala
.
4. Kösd össze ezt a pontot az origóval, és jelöld meg a kapott szakasz metszéspontját az egységkörrel. 5. Válasszunk ki egy körívet, amelynek minden pontjának ordinátája kisebb, minta
.
6. Adja meg a bejárás irányát, és írja le a választ a függvény definíciós tartományának figyelembevételével, pont hozzáadásávalπn
,
A legegyszerűbb egyenletek megoldásainak grafikus értelmezését és az egyenlőtlenségek általános formában történő megoldására szolgáló képleteket a melléklet tartalmazza (1. és 2. melléklet). 1. példa
Oldja meg az egyenlőtlenséget Rajzolj egy egyenest az egységkörre Minden jelentésey
az NM intervallumon nagyobb
, az AMB ív minden pontja kielégíti ezt az egyenlőtlenséget. Minden forgási szögben, nagy 1. ábra Így az egyenlőtlenség megoldása az intervallum összes értéke lesz azok. Válasz: 1.2. Grafikus módszer
A gyakorlatban a trigonometrikus egyenlőtlenségek grafikus megoldása gyakran hasznosnak bizonyul. Tekintsük a módszer lényegét az egyenlőtlenség példáján 1. Ha az argumentum összetett (eltér ax
), majd cserélje ki a következőret
.
2. Egy koordinátasíkban építünkjáték
függvénygrafikonok 3. Olyanokat találunkgráfok két szomszédos metszéspontja, amelyek közöttszinuszos hullámtalálhatómagasabb
egyenes 4. Írjon kettős egyenlőtlenséget az érvre!t
, figyelembe véve a koszinusz időszakot (t
a talált abszciszák között lesz). 5. Végezzen fordított helyettesítést (térjen vissza az eredeti argumentumhoz), és fejezze ki az értéketx
a kettős egyenlőtlenségből numerikus intervallum formájában írjuk fel a választ. 2. példa
Egyenlőtlenség megoldása: . Az egyenlőtlenségek grafikus módszerrel történő megoldása során szükséges a függvénygráfok minél pontosabb elkészítése. Alakítsuk át az egyenlőtlenséget alakra: Készítsünk függvénygráfokat egy koordinátarendszerben 2. ábra A függvények grafikonjai a pontban metszik egymástA
koordinátákkal Válasz: 1.3. Algebrai módszer
Az eredeti trigonometrikus egyenlőtlenség gyakran egy jól megválasztott helyettesítés révén algebrai (racionális vagy irracionális) egyenlőtlenséggé redukálható. Ez a módszer magában foglalja egy egyenlőtlenség átalakítását, behelyettesítést vagy egy változó cseréjét. Nézzünk konkrét példákat ennek a módszernek az alkalmazására. 3. példa
Redukálás a legegyszerűbb formára 3. ábra Válasz: 4. példa
Az egyenlőtlenség megoldása: ODZ: Képletek használata: Írjuk az egyenlőtlenséget a következő alakba: Vagy hinni Az utolsó egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel megoldva kapjuk: 4. ábra 5. ábra Válasz: 1.4. Intervallum módszer
Általános séma a trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásához az intervallum módszerrel: Tényező trigonometrikus képletekkel. Keresse meg a függvény szakadási pontjait és nulláit, és helyezze őket a körre. Vegyél bármilyen pontotNAK NEK
(de nem találta korábban), és találja meg a termék jelét. Ha a szorzat pozitív, akkor helyezzünk el egy pontot az egységkörön kívül a szögnek megfelelő sugárra. Ellenkező esetben helyezze a pontot a kör belsejébe. Ha egy pont páros számú alkalommal fordul elő, akkor páros sokszorosságú pontnak nevezzük, ha páratlan számú, akkor páratlan sokszorosságú pontnak nevezzük. Rajzolj íveket a következőképpen: kezdd egy pontbólNAK NEK
, ha a következő pont páratlan sokszorosságú, akkor az ív ebben a pontban metszi a kört, de ha a pont páros sokszorosságú, akkor nem metszi. A kör mögötti ívek pozitív intervallumok; a körön belül negatív terek vannak. 5. példa
Oldja meg az egyenlőtlenséget Az első sorozat pontjai: A második sorozat pontjai: Minden pont páratlan számú alkalommal fordul elő, vagyis minden pont páratlan sokszorosságú. Nézzük meg a termék jelét a címen Rizs. 6 Válasz: 6. példa
. Oldja meg az egyenlőtlenséget.
Megoldás:
Keressük meg a kifejezés nulláit .
Kapaem :
Az egységkör sorozatértékekenx
1
pontokkal ábrázolva Most legyen a szám Szóval, pontA
a szöget alkotó sugáron kell kiválasztani Most a lényegrőlA
rajzoljon egy hullámos folytonos vonalat egymás után az összes megjelölt pontra. És pontokon 7. ábra Végső válasz: Jegyzet.
Ha egy hullámvonal az egységkörön jelölt összes pont bejárása után nem állítható vissza a pontbaA
,
anélkül, hogy „illegális” helyen keresztezte volna a kört, ez azt jelenti, hogy hiba történt a megoldásban, vagyis páratlan számú gyökér hiányzott. Válasz:
.
§2. Feladathalmaz trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldására
Az iskolások trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldási képességének fejlesztése során 3 szakasz is megkülönböztethető. 1. előkészítő, 2. egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldási képességének fejlesztése; 3. más típusú trigonometrikus egyenlőtlenségek bevezetése. Az előkészítő szakasz célja, hogy az iskolásokban fejleszteni kell a trigonometrikus kör vagy grafikon használatának képességét az egyenlőtlenségek megoldására, nevezetesen: Képes az egyszerű formaegyenlőtlenségek megoldására Képes ívekre kettős egyenlőtlenségeket alkotni számkör vagy függvénygrafikonok íveihez; Képes trigonometrikus kifejezések különféle transzformációira. Javasoljuk, hogy ezt a szakaszt az iskolások trigonometrikus függvények tulajdonságaival kapcsolatos ismereteinek rendszerezése során hajtsák végre. Fő eszközei lehetnek a diákoknak felajánlott, tanári irányítással vagy önállóan elvégzett feladatok, valamint a trigonometrikus egyenletek megoldásában kifejlesztett készségek. Íme példák az ilyen feladatokra: 1
. Jelölj egy pontot az egységkörön .
2.
A koordinátasík melyik negyedében található a pont? 3.
Jelölje be a pontokat a trigonometrikus körön 4.
Konvertálja a kifejezést trigonometrikus függvényekkéénszállás. A) 5.
Az ív MR-t megadják.M
– középsőén- a negyedévben,R
– középsőIInegyedévében. Korlátozza a változó értékétt
mert: (kettős egyenlőtlenség készítése) a) ív MR; b) RM ívek. 6.
Írja fel a kettős egyenlőtlenséget a grafikon kiválasztott szakaszaira: Rizs. 1 7.
Oldja meg az egyenlőtlenségeket 8.
Kifejezés konvertálása
.
A trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásának elsajátításának második szakaszában a következő ajánlásokat tudjuk adni a tanulói tevékenységek szervezésének módszertanához. Ebben az esetben a legegyszerűbb trigonometrikus egyenletek megoldása során kialakított trigonometrikus körrel vagy grafikonnal végzett munka során a tanulók meglévő készségeire kell összpontosítani. Először is, a legegyszerűbb trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldására szolgáló általános módszer megszerzésének célszerűségét motiválhatjuk például egy formaegyenlőtlenségre fordulva. Másodszor, a tanárnak fel kell hívnia a tanulók figyelmét a feladat különböző módjaira, megfelelő példát kell adnia az egyenlőtlenség megoldására mind grafikusan, mind trigonometrikus kör használatával. Tekintsük az egyenlőtlenség alábbi megoldásait 1. Az egyenlőtlenség megoldása az egységkör segítségével. A trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásának első leckében egy részletes megoldási algoritmust kínálunk a tanulóknak, amely lépésről lépésre bemutatva tükrözi az egyenlőtlenség megoldásához szükséges összes alapkészséget. 1. lépés.Rajzoljunk egy egységkört és jelöljünk ki egy pontot az ordináta tengelyén 2. lépés.Ez az egyenes két ívre osztotta a kört. Válasszuk ki azt, amelyik olyan számokat ábrázol, amelyek szinusza nagyobb, mint Rizs. 2 3. lépésVálassza ki a megjelölt ív egyik végét. Írjuk fel az egyik számot, amelyet az egységkör ezen pontja jelképez 4. lépés.A kiválasztott ív második végéhez tartozó szám kiválasztásához ezen az íven „sétálunk” a megnevezett végétől a másikig. Ugyanakkor ne feledjük, hogy ha az óramutató járásával ellentétes irányba haladunk, akkor nőnek a számok, amelyeken keresztül megyünk (ellentétes irányú mozgásnál a számok csökkennének). Jegyezzük fel azt a számot, amely a megjelölt ív második vége mellett van az egységkörön Így látjuk azt az egyenlőtlenséget A tanulókat meg kell kérni, hogy alaposan vizsgálják meg a rajzot, és találják ki, miért van az egyenlőtlenség minden megoldása Rizs. 3 Fel kell hívni a tanulók figyelmét, hogy a koszinuszfüggvény egyenlőtlenségeinek megoldása során az ordinátatengellyel párhuzamos egyenest húzunk. Grafikus módszer egyenlőtlenségek megoldására. Grafikonokat készítünk Rizs. 4 Ezután felírjuk az egyenletet (Adnin
0, 1, 2 értékek esetén megtaláljuk az összeállított egyenlet három gyökerét). Értékek Rizs. 5 Összesít. Megoldani az egyenlőtlenséget Harmadszor, a megfelelő trigonometrikus egyenlőtlenség gyökhalmazának ténye a grafikus megoldás során nagyon világosan beigazolódik. Rizs. 6 Be kell mutatni a tanulóknak, hogy az egyenlőtlenség megoldását jelentő fordulat ugyanazon az intervallumon keresztül ismétlődik, megegyezik a trigonometrikus függvény periódusával. A szinuszfüggvény grafikonjához hasonló illusztrációt is figyelembe vehet. Negyedszer, célszerű a trigonometrikus függvények összegének (különbségének) szorzattá konvertálására szolgáló hallgatói technikák korszerűsítését végezni, és felhívni a hallgatók figyelmét ezeknek a technikáknak a trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásában betöltött szerepére. Az ilyen munka a tanár által javasolt feladatok tanulók önálló elvégzésével szervezhető meg, amelyek közül kiemeljük a következőket: Ötödször, a tanulóknak meg kell mutatniuk minden egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenség megoldását grafikonon vagy trigonometrikus körön keresztül. Célszerűségére mindenképpen ügyelni kell, különösen a kör használatára, hiszen a trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásánál a megfelelő ábra nagyon kényelmes eszközként szolgál az adott egyenlőtlenség megoldási halmazának rögzítésére. A nem a legegyszerűbb trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásának módszereit célszerű megismertetni a hallgatókkal az alábbi séma szerint: rátérni egy adott trigonometrikus egyenlőtlenségre, rátérni a megfelelő trigonometrikus egyenletre közös keresés (tanár - tanulók) a megoldás független átvitele érdekében. módszert talált más azonos típusú egyenlőtlenségekre. A tanulók trigonometriai ismereteinek rendszerezése érdekében javasoljuk, hogy külön válasszák ki azokat az egyenlőtlenségeket, amelyek megoldása során különféle átalakításokat igényelnek, amelyek a megoldás során megvalósíthatók, és a tanulók figyelmét a jellemzőikre irányítják. Ilyen termelési egyenlőtlenségekként például a következőket javasolhatjuk: Befejezésül adunk egy példát a trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldására szolgáló feladatsorra. 1. Oldja meg az egyenlőtlenségeket: A) b) 5. Keresse meg az egyenlőtlenségek összes megoldását: A) ;
b) ;
V) G) d) 6. Oldja meg az egyenlőtlenségeket: A) ;
b) ;
V) ; G) d) ; e) ; és) 7. Oldja meg az egyenlőtlenségeket: A) b) ;
V) ; G) . 8. Oldja meg az egyenlőtlenségeket: A) ;
b) ;
V) ; G) d) e) ; és) h) . A 6. és 7. feladatot a matematikát emelt szinten tanuló diákoknak, a 8. feladatot az emelt szintű matematika tagozatos tanulóknak célszerű felajánlani. §3. Speciális módszerek trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldására
Speciális módszerek trigonometrikus egyenletek megoldására - vagyis azok a módszerek, amelyek csak trigonometrikus egyenletek megoldására használhatók. Ezek a módszerek a trigonometrikus függvények tulajdonságainak felhasználásán, valamint különféle trigonometrikus képletek és azonosságok használatán alapulnak. 3.1. Szektor módszer
Tekintsük a trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásának szektormódszerét. Formaegyenlőtlenségek megoldása Az intervallum módszerben az alak számlálójának és nevezőjének minden lineáris tényezője A következőket kell emlékezni: a) A forma tényezői b) A forma tényezői 1. példa
Oldja meg az egyenlőtlenségeket: a) 3.2. Koncentrikus kör módszer
Ez a módszer a racionális egyenlőtlenségek rendszereinek megoldására szolgáló párhuzamos számtengely módszer analógja. Nézzünk egy példát az egyenlőtlenségek rendszerére. 5. példa
Oldja meg az egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenségek rendszerét! Először az egyes egyenlőtlenségeket külön-külön oldjuk meg (5. ábra). Az ábra jobb felső sarkában jelezzük, hogy a trigonometrikus kör melyik argumentumra vonatkozik. 5. ábra Ezután koncentrikus körök rendszerét építjük fel az argumentumhozx
. Rajzolunk egy kört és beárnyékoljuk az első egyenlőtlenség megoldása szerint, majd rajzolunk egy nagyobb sugarú kört és a második megoldása szerint árnyékoljuk be, majd a harmadik egyenlőtlenséghez kört és alapkört készítünk. A rendszer közepéből sugarakat húzunk az ívek végein keresztül úgy, hogy az összes kört metszi. Az alapkörön megoldást alkotunk (6. ábra). 6. ábra Válasz:
Következtetés
A kurzuskutatás minden célkitűzése megvalósult. Az elméleti anyag rendszerezett: megadjuk a trigonometrikus egyenlőtlenségek főbb típusait és a főbb megoldási módokat (grafikus, algebrai, intervallum-, szektor- és koncentrikus körök módszere). Mindegyik módszerhez adott egy példát egy egyenlőtlenség megoldására. Az elméleti részt a gyakorlati rész követte. Feladatsort tartalmaz a trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldására. Ezt a tananyagot a hallgatók önálló munkára használhatják. Az iskolások ellenőrizhetik a téma elsajátításának szintjét, és gyakorolhatják a különböző bonyolultságú feladatok elvégzését. A témával kapcsolatos szakirodalmat áttanulmányozva nyilvánvalóan megállapíthatjuk, hogy az algebra és elemi analízis iskolai kurzusában nagyon fontos a trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásának képessége és készsége, melynek fejlesztése jelentős erőfeszítést igényel a matematikatanártól. Ezért ez a munka hasznos lesz a matematikatanárok számára, mivel lehetővé teszi a diákok képzésének hatékony megszervezését a „Trigonometrikus egyenlőtlenségek” témában. A kutatás egy végső minősítő munkára való kiterjesztésével folytatható.
Felhasznált irodalom jegyzéke
Bogomolov, N.V. Matematikai feladatgyűjtemény [Szöveg] / N.V. Bogomolov. – M.: Túzok, 2009. – 206 p. Vygodsky, M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve [Szöveg] / M.Ya. Vigodszkij. – M.: Túzok, 2006. – 509 p. Zhurbenko, L.N. Matematika példákban és problémákban [Szöveg] / L.N. Zsurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 p. Ivanov, O.A. Alapfokú matematika iskolásoknak, diákoknak és tanároknak [Szöveg] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 p. Karp, A.P. Feladatok az algebráról és az elemzés kezdetei a 11. évfolyamon a végső ismétlés és bizonyítvány megszervezéséhez [Szöveg] / A.P. Ponty. – M.: Nevelés, 2005. – 79 p. Kulanin, E.D. 3000 versenyfeladat matematikából [Szöveg] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 p. Leibson, K.L. Gyakorlati feladatok gyűjteménye matematikából [Szöveg] / K.L. Leibson. – M.: Túzok, 2010. – 182 p. Könyök, V.V. Paraméterekkel kapcsolatos problémák és megoldásaik. Trigonometria: egyenletek, egyenlőtlenségek, rendszerek. 10. évfolyam [Szöveg] / V.V. Könyök. – M.: ARKTI, 2008. – 64 p. Manova, A.N. Matematika. Expressz oktató az egységes államvizsgára való felkészüléshez: hallgató. kézikönyv [Szöveg] / A.N. Manova. – Rostov-on-Don: Főnix, 2012. – 541 p. Mordkovich, A.G. Algebra és a matematikai elemzés kezdete. 10-11 évfolyam. Tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára [Szöveg] / A.G. Mordkovich. – M.: Iris-press, 2009. – 201 p. Novikov, A.I. Trigonometrikus függvények, egyenletek és egyenlőtlenségek [Szöveg] / A.I. Novikov. – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 p. Oganesyan, V.A. A matematika oktatásának módszerei a középiskolában: Általános módszertan. Tankönyv kézikönyv fizikus hallgatók számára - mat. fak. ped. Inst. [Szöveg] / V.A. Oganesyan. – M.: Nevelés, 2006. – 368 p. Olehnik, S.N. Egyenletek és egyenlőtlenségek. Nem szabványos megoldási módszerek [Szöveg] / S.N. Olehnik. – M.: Factorial Könyvkiadó, 1997. – 219 p. Sevryukov, P. F. Trigonometrikus, exponenciális és logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek [Szöveg] / P.F. Szevrjukov. – M.: Közoktatás, 2008. – 352 p. Szergejev, I.N. Egységes államvizsga: 1000 feladat válaszokkal és megoldásokkal matematikából. A C csoport összes feladata [Szöveg] / I.N. Szergejev. – M.: Vizsga, 2012. – 301 p. Sobolev, A.B. Alapfokú matematika [Szöveg] / A.B. Szobolev. – Jekatyerinburg: Állami Szakmai Felsőoktatási Intézmény USTU-UPI, 2005. – 81 p. Fenko, L.M. Intervallumok módszere az egyenlőtlenségek megoldásában és a függvények tanulmányozásában [Szöveg] / L.M. Fenko. – M.: Túzok, 2005. – 124 p. Friedman, L.M. A matematikatanítás módszereinek elméleti alapjai [Szöveg] / L.M. Friedman. – M.: Könyvesház „LIBROKOM”, 2009. – 248 p. 1. számú melléklet Egyszerű egyenlőtlenségek megoldásainak grafikus értelmezése Rizs. 1 Rizs. 2 3. ábra 4. ábra 5. ábra 6. ábra 7. ábra 8. ábra 2. függelék Megoldások egyszerű egyenlőtlenségekre
.
, Ha .
.
.
.
, akkor az egyenlőtlenségnek nincs értelme. Ezért nincsenek megoldások.
.
). Ebben az esetben az értéket könnyű megtalálni, mert vagy . A jelentéskeresés alapja a tanulók intuíciója, azon képessége, hogy észrevegyék az ívek vagy szakaszok egyenlőségét, kihasználva a szinusz- vagy koszinuszgráf egyes részeinek szimmetriáját. Ez pedig olykor túl sok diáknak meghaladja a képességeit. A jelzett nehézségek leküzdése érdekében az elmúlt években a tankönyvek különböző megközelítéseket alkalmaztak az egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldására, de ez nem eredményezett javulást a tanulási eredményekben.
. És ismét, ezek a és a gráfok metszéspontjainak három egymást követő abszcisszája. A () intervallumban az egyenlőtlenség, a () intervallumban az egyenlőtlenség érvényesül
, 
stb.), ahol először a szokásos egyenlőtlenséget oldjuk meg, majd egy alakegyenlőtlenséget 
stb., vagy más módszerekkel.
elég egy perióduson megtalálni a megoldását, pl. bármely szakaszon, amelynek hossza megegyezik a függvény periódusávalf
x
. Akkor az eredeti egyenlőtlenség megoldása mind megtalálható leszx
, valamint azokat az értékeket, amelyek eltérnek a függvény tetszőleges számú periódusai által talált értékektől. Ebben az esetben célszerű a grafikus módszert használni.
(
) És 
.
(
).
.
.
(a bejegyzés bal oldalán lévő szám mindig kisebb, mint a jobb oldali szám).
.
, amely az A és B pontokban metszi a kört.
, de kisebb 
,
nagyobb értékeket vesz fel
(de legfeljebb egy).
, azaz 
. Ahhoz, hogy ennek az egyenlőtlenségnek minden megoldását megkapjuk, elegendő hozzáadni ennek az intervallumnak a végeit 
, Ahol 
, azaz 
,
.
Vegye figyelembe, hogy az értékek 
És 
az egyenlet gyökerei 
,
;
.
, .
:
És 
.
. Megtaláljuk ezeknek a pontoknak az abszcisszáját.
És 
(2. ábra).
; 
. Közte 
grafikon pontok 
a grafikon pontjai alatt 
. És mikor a függvényértékek megegyeznek. Ezért nál nél 
.
.
.
(3. ábra)
, 
.
, 
, 
.
, 
.
egyszerű átalakítások után kapjuk
,
,
.
, ill 
. Ezután az ábrából. 4 következik 
, Ahol 
.
, 
.
, 
.
.
.
: . Jelöljük meg az egységkör összes pontját (6. ábra):
, 
; 
, 
; 
, 
.
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
. Sorozatx
2
pontokat ad 
. Sorozatx
3
két pontot kapunk 
. Végül a sorozatx
4
pontokat fog képviselni 
. Ábrázoljuk ezeket a pontokat az egységkörön, mindegyik mellett zárójelben jelezve a többszörösét.
egyenlő lesz. Készítsünk becslést az előjel alapján:
gerendávalÓ,
az egységkörön kívül. (Ne feledje, hogy a segédsugárRÓL RŐL
A
Egyáltalán nem szükséges képen ábrázolni. PontA
hozzávetőlegesen van kiválasztva.)vonalunk egyik területről a másikra megy: ha az egységkörön kívül volt, akkor azon belül megy. A lényeghez közeledve 
, az egyenes visszatér a belső régióba, mivel ennek a pontnak a multiplicitása páros. Hasonlóan a ponton 
(egyenletes multiplicitással) a vonalat a külső régió felé kell fordítani. Tehát rajzoltunk egy bizonyos képet, amely az ábrán látható. 7. Segít kiemelni a kívánt területeket az egységkörön. „+” jellel vannak jelölve.
,
, ,
,
a szinusz és koszinusz függvények tulajdonságainak felhasználása;
, Ha, Ha 
egyenlő: 
, Ha:
,
b) 
,
V) 
, 
, 
, 
.
.
Az előkészítő szakaszban megszerzett tudás és készségek felhasználásával a hallgatók formába hozzák a javasolt egyenlőtlenséget 
, de nehéz lehet megoldást találni az ebből eredő egyenlőtlenségre, mert Csak a szinuszfüggvény tulajdonságainak felhasználásával megoldani lehetetlen. Ez a nehézség elkerülhető a megfelelő illusztrációra lapozva (az egyenlet grafikus megoldása vagy egységkör használata)..
és húzz rajta egy egyenest az x tengellyel párhuzamosan. Ez az egyenes két pontban metszi az egységkört. Ezen pontok mindegyike olyan számokat jelöl, amelyek szinusza egyenlő .
. Ez az ív természetesen a húzott egyenes felett helyezkedik el.
.
.
kielégíti azokat a számokat, amelyekre az egyenlőtlenség igaz 
. Megoldottuk a szinuszfüggvény azonos periódusán elhelyezkedő számok egyenlőtlenségét. Ezért az egyenlőtlenség minden megoldása a formába írható 
formába írható 
, 
.
És 
, tekintettel arra 
.
és a döntése 
, 
, 
, képletek segítségével található 
, 
, 
.
a gráfok metszéspontjainak három egymást követő abszcisszán És . Nyilvánvalóan mindig az intervallumon 
egyenlőtlenség érvényesül 
, és az intervallumon 
– egyenlőtlenség 
. Az első eset érdekel minket, majd ennek az intervallumnak a végeihez hozzáadva a szinusz periódusának többszörösét, megoldást kapunk az egyenlőtlenségre. mint: 
, .
, létre kell hoznia a megfelelő egyenletet és meg kell oldania. Keresse meg a gyökereket a kapott képletből! 
És 
, és írja be az egyenlőtlenségre a választ a következő formában: , .
, kielégíti a feltételt 
;
, kielégíti a feltételt 
.
;
;
.
;
.
;
;
;
;
, AholP
(
x
)
ÉsK
(
x
)
– racionális trigonometrikus függvények (a szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek racionálisan szerepelnek bennük), hasonlóan a racionális egyenlőtlenségek megoldásához. A racionális egyenlőtlenségeket célszerű a számegyenes intervallumok módszerével megoldani. A racionális trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldásának analógja a trigonometrikus körben lévő szektorok módszere,sinx
Éscosx
(
) vagy trigonometrikus félkör fortgx
Ésctgx
(
).
a számtengelyen egy pontnak felel meg 
, és amikor áthalad ezen a ponton jelét változtatja. A szektor módszerben a forma minden tényezője 
, Ahol 
- az egyik funkciósinx
vagycosx
És 
, egy trigonometrikus körben két szögnek felel meg 
És 
, amelyek a kört két szektorra osztják. Ha áthalad És funkció jelét változtatja.
És 
, Ahol 
, megtartja a jelet minden értéknél 
. A számláló és a nevező ilyen tényezőit megváltoztatjuk (ha 
) minden ilyen elutasításnál az egyenlőtlenség előjele megfordul.
És 
szintén eldobják. Sőt, ha ezek a nevező tényezői, akkor a forma egyenlőtlenségei hozzáadódnak az ekvivalens egyenlőtlenségi rendszerhez 
És 
. Ha ezek a számláló tényezői, akkor az ekvivalens korlátozási rendszerben az egyenlőtlenségeknek felelnek meg És szigorú kezdeti egyenlőtlenség esetén és egyenlőség 
És 
nem szigorú kezdeti egyenlőtlenség esetén. A szorzó eldobásakor 
vagy 
az egyenlőtlenség jele megfordul.
, b) 
.
van b) függvényünk. Oldja meg a nálunk lévő egyenlőtlenséget,
, 
.
-
Milan Metropolitan: térkép, jegyárak és hasznos tippek Mennyibe kerülnek a jegyek?
-
Jeppesen diagramok olvasásának megtanulása – oktatóanyag Kiegészítők telepítése, amelyek jelentősen javítják a szimulátor grafikáját és valósághűségét
-
Mikor és milyen esetekben kell nulla bevallást benyújtania az egyéni vállalkozónak?
-
Mi az a jelző, és hogyan lehet megtalálni?
