b együttható lineáris függvényben. Lineáris függvény

7. osztályban az y = C, y = kx, y = kx + m, y = x függvényeket tanultuk. 2 és végül arra a következtetésre jutott, hogy a két y = f(x) (függvény) alakú változót tartalmazó egyenlet egy matematikai modell, amely alkalmas arra, hogy az x független változó meghatározott értékének megadásával (argumentum) kiszámítsa a megfelelő értéket.

az y függő változó megfelelő értéke. Például, ha az y = x 2 függvény adott, azaz. f(x) = x 2, akkor x = 1 esetén y = 1 2 = 1; Röviden így írják: f(1) = 1. Ha x = 2, akkor f(2) = 2 2 = 4, azaz y = 4; x = - 3 esetén f(- 3) = (- 3) 2 = 9, azaz y = 9 stb.

Már a 7. osztályban kezdtük megérteni, hogy az y = f(x) egyenlőségben jobb rész, azaz az f(x) kifejezés nem korlátozódik a fent felsorolt ​​négy esetre (C, kx, kx + m, x 2).
Például már találkoztunk darabonkénti függvényekkel, azaz különböző intervallumokon különböző képletekkel meghatározott függvényekkel. Itt van egy ilyen funkció:

y = f(x), ahol

Emlékszel, hogyan kell ilyen függvényeket ábrázolni? Először meg kell alkotnia egy y = x 2 parabolát, és ki kell vennie a részét x-ből< 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х >0 (2. ábra). És végül, mindkét kiválasztott részt egy rajzban kell kombinálnia, azaz az egyikre kell építenie Koordináta sík(lásd 3. ábra).

Most a feladatunk a következő: a vizsgált funkciók állományának feltöltése. BAN BEN való élet különféle folyamatok vannak leírva matematikai modellek y = f(x) alakúak, nem csak azok, amelyeket fent felsoroltunk. Ebben a részben az y = kx 2 függvényt fogjuk megvizsgálni, ahol a k együttható bármely nullától eltérő szám.

Valójában az y = kx 2 függvény egy esetben kicsit ismerős számodra. Nézze meg: ha k = 1, akkor y = x 2; 7. osztályban tanulta ezt a függvényt, és valószínűleg emlékszik rá, hogy a grafikonja egy parabola (1. ábra). Beszéljük meg, mi történik a k együttható más értékeinél.
Tekintsünk két függvényt: y = 2x 2 és y = 0,5x 2. Készítsünk egy értéktáblázatot az első y = 2x 2 függvényhez:

Szerkesszük meg a (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5) pontokat! a koordinátasíkon (4. ábra); körvonalaznak egy bizonyos vonalat, húzzuk meg

(5. ábra).
Készítsünk egy értéktáblázatot az y = 0,5x 2 második függvényhez:

Szerkesszünk pontokat (0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), C; 4.5), (-3; 4.5) a koordinátasíkon (6. ábra); körvonalaznak egy bizonyos vonalat, húzzuk meg (7. ábra)

.

ábrán látható pontok. A 4-et és a 6-ot néha vezérlőpontoknak nevezik a megfelelő függvény grafikonjához.

Hasonlítsa össze az 1., 5. és 7. ábrát. Nem igaz, hogy a húzott vonalak hasonlóak? Mindegyiket parabolának nevezik; ebben az esetben a (0; 0) pontot a parabola csúcsának, az y tengelyt pedig a parabola szimmetriatengelyének nevezzük. A parabola ágainak „felfelé mozgásának sebessége” a k együttható értékétől függ, vagy ahogy szokták mondani,
parabola "meredekségi foka". Ez jól látható az ábrán. 8. ábra, ahol mindhárom fent megszerkesztett parabola ugyanazon a koordinátasíkon található.

Pontosan ugyanez a helyzet bármely más y = kx 2 alakú függvénnyel, ahol k > 0. A gráfja egy parabola, amelynek csúcsa az origóban van, a parabola ágai felfelé irányulnak, és minél meredekebb, annál magasabb a együttható k. Az y tengely a parabola szimmetriatengelye. Egyébként a rövidség kedvéért a matematikusok gyakran azt mondják, hogy „y parabola = kx 2” az „y = kx 2 függvény grafikonjaként szolgáló parabola” kifejezés helyett, és a „szimmetriatengely” kifejezés helyett. parabola” a „parabolatengely” kifejezést használják.

Észreveszi, hogy van analógia az y = kx függvénnyel? Ha k > 0, akkor az y = kx függvény grafikonja a koordináták origóján átmenő egyenes (ne felejtsük el, röviden mondtuk: y = kx egyenes), és itt is a „meredekség foka” az egyenes a k együttható értékétől függ. Ez jól látható rajta
rizs. 9, ahol az y = kx lineáris függvények grafikonjai egy koordinátarendszerben láthatók az együttható három értékére

Térjünk vissza az y = kx 2 függvényhez. Nézzük meg, hogyan állnak a dolgok negatív együttható ft esetén. Építsük fel például a függvény grafikonját

y = - x 2 (itt k = - 1). Készítsünk egy értéktáblázatot:

Jelölje be a pontokat (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (-3; - 9) a koordinátasíkon (10. ábra); körvonalaznak egy bizonyos vonalat, húzzuk meg (11. ábra). Ez egy parabola, amelynek csúcsa a (0; 0) pontban van, az y tengely a szimmetriatengely, de ellentétben azzal az esettel, amikor k > 0, ezúttal a parabola ágai lefelé irányulnak. Másoknál is hasonló a helyzet negatív értékeket együttható k.

Tehát egy függvény gráfja egy parabola, amelynek csúcsa az origóban van; az y tengely a parabola tengelye; a parabola ágai k>0 u-nál felfelé, k-nál lefelé irányulnak<0.

Vegyük észre azt is, hogy az y = kx 2 parabola a (0; 0) pontban érinti az x tengelyt, vagyis a parabola egyik ága simán átmegy a másikba, mintha az x tengelyhez nyomódna.
Ha az y = x2 és y = - x2 függvények grafikonjait ugyanabban a koordinátarendszerben ábrázolja, akkor könnyen észrevehető, hogy ezek a parabolák egymásra szimmetrikusak az x tengelyhez képest, ami jól látható az ábrán. 12. Ugyanígy az y = 2x 2 és y = - 2x 2 parabolák szimmetrikusak egymásra az x tengelyhez képest (ne légy lusta, építsd meg ezeket
két parabola ugyanabban a koordinátarendszerben, és győződjön meg arról, hogy az állítás igaz).

Általánosságban elmondható, hogy az y = - f(x) függvény grafikonja szimmetrikus az y = f(x) függvény grafikonjával az abszcissza függvényében.

Az y = kx 2 függvény tulajdonságai k > 0 esetén

Ennek a függvénynek a tulajdonságait leírva a geometriai modelljére – egy parabolára – támaszkodunk (13. ábra).

1. Mivel x bármely értékére az y megfelelő értéke az y = kx 2 képlettel számítható ki, a függvény bármely x pontban definiálható (az x argumentum bármely értékére). Röviden így van leírva: a függvény definíciós tartománya (-oo, +oo), azaz a teljes koordinátaegyenes.

2. y = 0, x = 0; y > O at . Ez a függvény grafikonjából is látható (teljesen az x tengely felett helyezkedik el), de grafikon segítsége nélkül is igazolható: ha

Ekkor kx 2 > O két pozitív k és x 2 szám szorzataként.

3. y = kx 2 folytonos függvény. Emlékezzünk vissza, hogy ezt a kifejezést egyelőre a „egy függvény grafikonja egy folytonos vonal, amely úgy rajzolható meg, hogy a ceruzát nem emeli le a papírról” mondat szinonimájának tekintjük. A felsőbb évfolyamokon a függvény folytonossága fogalmának pontosabb matematikai értelmezése lesz megadva, nem geometriai szemléltetésre támaszkodva.

4.y/ naim = 0 (értéke x = 0); nai6 nem létezik.

Emlékezzünk vissza, hogy (/max a függvény legkisebb értéke, az Unaib. pedig a függvény legnagyobb értéke egy adott intervallumon; ha az intervallum nincs megadva, akkor az unaim- és y max. a legkisebb és legmagasabb érték függvények a definíció tartományában.

5. Az y = kx 2 függvény növekszik x > O-val és csökken x-szel< 0.

Emlékezzünk vissza, hogy a 7. osztályos algebra kurzusban megállapodtunk abban, hogy olyan függvényt hívunk meg, amelynek a vizsgált intervallumon a grafikonja balról jobbra halad, mintha „felfelé” haladna, növekszik, és egy olyan függvényt, amelynek grafikonja a vizsgált intervallumon balról balra halad. jobbra, mintha „lefelé”, - csökkenő. Pontosabban azt mondhatjuk, hogy az y = f (x) függvény növekszik az X intervallumon, ha ezen az intervallumon az argumentum nagyobb értéke felel meg.
nagyobb funkcióérték; egy y = f (x) függvényt csökkenőnek mondunk egy X intervallumon, ha ezen az intervallumon az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

Az Algebra 7 tankönyvben gráfnak neveztük azt a folyamatot, amely során egy függvény tulajdonságait felsoroljuk. A grafikonok olvasásának folyamata fokozatosan gazdagabbá és érdekesebbé válik, ahogy a függvények új tulajdonságait ismerjük meg. A fent felsorolt ​​öt tulajdonságot a 7. osztályban megbeszéltük az ott tanult funkciókhoz. Adjunk hozzá egy új tulajdonságot.

Az y = f(x) függvényt lent korlátosnak nevezzük, ha a függvény minden értéke nagyobb egy bizonyos számnál. Geometriailag ez azt jelenti, hogy a függvény grafikonja egy bizonyos, az x tengellyel párhuzamos egyenes felett helyezkedik el.

Most nézze meg: az y = kx 2 függvény grafikonja az y = - 1 (vagy y = - 2, nem számít) egyenes felett helyezkedik el - ez az ábrán látható. 13. Ezért y - kx2 (k > 0) alulról korlátos függvény.

Az alább korlátos függvények mellett a fent korlátos függvényeket is figyelembe kell venni. Az y - f(x) függvényt felülről korlátosnak mondjuk, ha a függvény összes értéke kisebb egy bizonyos számnál. Geometriailag ez azt jelenti, hogy a függvény grafikonja valami, az x tengellyel párhuzamos egyenes alatt helyezkedik el.
Van-e olyan egyenes az y = kx 2 parabolának, ahol k > 0? Nem. Ez azt jelenti, hogy a függvény nem felső korlátos.

Tehát kaptunk még egy ingatlant, adjuk hozzá a fent felsorolt ​​öthöz.

6. Az y = kx 2 (k > 0) függvény alul korlátos, felül nem.

Az y = kx 2 függvény tulajdonságai k esetén< 0

A függvény tulajdonságainak leírásánál annak geometriai modelljére - egy parabolára - támaszkodunk (14. ábra).

1. A függvény definíciós tartománya (—oo, +oo).

2. y = 0, x = 0; nál nél< 0 при .

Z.у = kx 2 folytonos függvény.
4. y nai6 = 0 (elérve x = 0-nál), az unaim nem létezik.

5. A függvény x-szel növekszik< 0, убывает при х > 0.

6. A funkció felülről korlátozott, alulról nem.

Magyarázzuk meg az utolsó tulajdonságot: van egy párhuzamos egyenes az x tengellyel (például y = 1, ez a 14. ábrán van megrajzolva), így a teljes parabola ez alatt az egyenes alatt van; ez azt jelenti, hogy a függvény fent korlátos. Másrészt lehetetlen ilyen egyenes vonalat húzni a tengellyel párhuzamos x, hogy a teljes parabola ezen egyenes felett legyen; ez azt jelenti, hogy a függvény nincs alább korlátozva.

A függvény tulajdonságainak felsorolásánál fentebb használt lépések sorrendje nem törvényszerű, amennyiben kronologikusan így alakult.

A 9. osztályos algebra tanfolyamon fokozatosan alakítjuk ki és egységesítjük a mozgások többé-kevésbé határozott sorrendjét.

1. példa Keresse meg az y = 2x 2 függvény legkisebb és legnagyobb értékét a szakaszon: a) ; b) [- 2, - 1]; c) [- 1, 1,5].

Megoldás.
a) Építsük meg az y = 2x2 függvény grafikonját, és emeljük ki a szakaszon a részét (15. ábra). Megjegyezzük, hogy 1/név. = 0 (értéke x = 0), és y max = 8 (értéke x = 2).

b) Szerkesszük meg az y = 2x2 függvény grafikonját, és emeljük ki a részét a [- 2, - 1] szakaszon (16. ábra). Megjegyezzük, hogy 2/max = 2 (elérve x = - 1-nél), és y max = 8 (elérve x = - 2-nél).

c) Építsük meg az y = 2x2 függvény grafikonját, és emeljük ki a részét a [- 1, 1.5] szakaszon (17. ábra). Megjegyezzük, hogy unanm = 0 (az x = 0-nál érhető el), és y leginkább az x = 1,5 pontban érhető el; Számítsuk ki ezt az értéket: (1,5) = 2-1,5 2 = 2-2,25 = 4,5. Tehát y max = 4,5.

2. példa Oldja meg az - x 2 = 2x - 3 egyenletet.

Megoldás. Az „Algebra-7” tankönyvben kidolgoztunk egy algoritmust az egyenletek grafikus megoldására, idézzük fel.

Az f(x) = g (x) egyenlet grafikus megoldásához a következőkre lesz szüksége:

1) vegyünk két függvényt y = -x 2 és y = 2x -3;
2) készítse el az i/ = / (x) függvény gráfját;
3) készítse el az y = g (x) függvény gráfját;
4) keresse meg a megszerkesztett gráfok metszéspontjait; abszcisz-
Ezeknek a pontoknak a rendszere az f(x) = g (x) egyenlet gyöke.
Alkalmazzuk ezt az algoritmust az adott egyenletre.
1) Tekintsünk két függvényt: y = - x2 és y = 2x - 3.
2) Szerkesszünk egy parabolát - az y = - x 2 függvény grafikonját (18. ábra).

3) Készítsük el az y = 2x - 3 függvény grafikonját. Ez egy egyenes, felépítéséhez elegendő a gráf bármely két pontját megtalálni. Ha x = 0, akkor y = - 3; ha x = 1,

akkor y = -1. Így találtunk két pontot (0; -3) és (1; -1). Az ezen a két ponton áthaladó egyenes (az y = 2x - 3 függvény grafikonja) ugyanabban az ábrán látható.

rajz (lásd 18. ábra).

4) A rajz szerint azt találjuk, hogy az egyenes és a parabola két A(1; -1) és B(-3; -9) pontban metszi egymást. Ez azt jelenti, hogy ennek az egyenletnek két gyöke van: 1 és - 3 - ezek az A és B pontok abszcisszái.

Válasz: 1,-3.

Megjegyzés. Természetesen nem bízhatunk vakon a grafikus illusztrációkban. Talán csak nekünk tűnik úgy, hogy az A pontnak vannak koordinátái (1; - 1), és tovább
Valójában különböznek, például (0,98; - 1,01)?

Ezért mindig hasznos ellenőrizni magát. Tehát a vizsgált példában meg kell győződnie arról, hogy az A(1; -1) pont az y = - x 2 parabolához tartozik (ez egyszerű - csak helyettesítse be az A pont koordinátáit az y = - x 2 képletbe ; kapunk - 1 = - 1 2 - helyes numerikus egyenlőséget) és az y = 2x - 3 egyenest (és ez egyszerű - csak be kell cserélni az A pont koordinátáit az y = 2x - 3 képletbe; kapjuk - 1 = 2-3 - a helyes numerikus egyenlőség). Ugyanezt kell tenni azért
8. pont. Ez az ellenőrzés azt mutatja, hogy a vizsgált egyenletben grafikus megfigyelések vezettek a helyes eredményhez.

3. példa Egyenletrendszer megoldása

Megoldás. Alakítsuk át a rendszer első egyenletét y = - x 2 alakra. Ennek a függvénynek a grafikonja az ábrán látható parabola. 18.
Alakítsuk át a rendszer második egyenletét y = 2x - 3 alakra. Ennek a függvénynek a grafikonja az 1. ábrán látható egyenes. 18.

A parabola és az egyenes az A (1; -1) és B (- 3; - 9) pontokban metszi egymást. Ezen pontok koordinátái egy adott egyenletrendszer megoldásaként szolgálnak.

Válasz: (1; -1), (-3; -9).

4. példa Adott egy y - f (x) függvény, ahol

Kívánt:

a) számítsuk ki f(-4), f(-2), f(0), f(1,5), f(2), f(3);

b) megszerkeszti a függvény gráfját;

c) grafikon segítségével sorolja fel a függvény tulajdonságait.

Megoldás,

a) Az x = - 4 érték teljesíti a feltételt - ezért f(-4)-et a függvénydefiníció első sorából kell kiszámolni, f(x) = - 0,5x2, ami azt jelenti,
f(-4) = -0,5 . (-4) 2 = -8.
Hasonlóan találjuk:

f(-2) = -0,5 . (-2) 2 =-2;
f(0) = -0,5 . 0 2 = 0.

Az érték kielégíti a feltételt, ezért a függvényspecifikáció második sorával kell kiszámítani. Van f(x) = x + 1, ami azt jelenti

Az x = 1,5 érték teljesíti az 1. feltételt< х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х 2 , значит,
f(1,5) = 2-1,5 2 = 4,5.
Hasonlóan kapunk
f(2)=2 . 2 2 =8.
Az x = 3 érték nem teljesíti a függvény megadásának három feltétele egyikét sem, ezért f(3) ebben az esetben nem számítható, az x = 3 pont nem tartozik a függvény definíciós tartományába. Az f(3) számítási feladat hibás.

b) A gráfot „darabonként” építjük fel. Először konstruáljunk meg egy y = -0,5x 2 parabolát, és válasszuk ki a részét a [-4, 0] szakaszon (19. ábra). Ekkor megszerkesztjük az y = x + 1 u egyenest. Jelöljük ki a részét a félintervallumon (0, 1] (20. ábra), majd készítsünk egy y = 2x2 parabolát, és válasszuk ki a részét a félintervallumon

(1, 2) (21. ábra).

Végül mindhárom „darabot” egy koordináta-rendszerben ábrázoljuk; megkapjuk az y = f(x) függvény grafikonját (22. ábra).

c) Soroljuk fel a függvény tulajdonságait, vagy ahogy megbeszéltük, olvassuk el a grafikont.

1. A függvény definíciós tartománya a [—4, 2] szegmens.

2. y = 0, x = 0; y > 0 0-nál<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.

3. A függvény x = 0-nál szakadáson megy keresztül.

4. A függvény a [-4, 2] szakaszon növekszik.

5. A funkció alulról és felülről is korlátozott.

6. y max = -8 (értéke x = -4); y legtöbb6 . = 8 (értéke x = 2).

5. példa Adott az y = f(x) függvény, ahol f(x) = 3x 2. Megtalálja:

f(1), f(-2), f(а), f(2а), f(а + 1), f(-х), f(Зх), f(x - 1),
f(x + a), f(x) + 5, f(x) + b, f(x + a) + b, f(x 2), f(2x 3).

Megoldás. Mivel f (x) = 3x 2, következetesen a következőket kapjuk:

f(1) =3 .1 2 = 3;
f(a) = 2 esetén;
f(a+1)=3(a+1)2;
f(3x) = 3.(3x) 2 = 27x2;
f(x+a)=3(x+a)2;

f(x 2) +b = 3x 2 +b
f(x 2) = 3 . (x 2) 2

F(-2) = Z . (-2) 2 = 12
f(2a) =З . (2a) 2 = 12a 2

F(x) =З . (-x) 2 = 3x2

F(-x)+ 5 =3x2 +5
f(x + a) + b = 3 (x + a) 2 + b;
f(2x3) = 3 . (2x3)2

Ez a matematika kurzushoz készült videolecke bemutatja az y = k/x függvény tulajdonságait, feltéve, hogy k értéke negatív.
Korábbi videóleckéken megismerkedhetett az y egyenlő k osztva x-szel függvénnyel, annak grafikonjával, amelyet „hiperbolának” neveznek, valamint a gráf tulajdonságait pozitív k érték esetén. Ez a videó bemutatja a k együttható tulajdonságait, amikor értéke negatív, azaz nullánál kisebb.

Az egyenlőség tulajdonságait, amelyben y egyenlő a k együttható osztva az x független változóval, feltéve, hogy az együttható negatív, a videóban láthatók.
Ennek a függvénynek a tulajdonságainak leírásakor mindenekelőtt annak geometriai modelljére - egy hiperbolára - támaszkodnak.

Tulajdonság 1. Egy függvény tartománya minden számból áll, de ebből az következik, hogy x nem egyenlő 0-val, mert nem osztható nullával.
A 2. tulajdonság y nagyobb nullánál, feltéve, hogy x kisebb, mint nulla; és ennek megfelelően, éppen ellenkezőleg, y kisebb nullánál olyan értéknél, amikor x a nullánál nagyobb és a végtelen tartományban van.
3. tulajdonság. A függvény mínusz végtelentől nulláig és nullától plusz végtelenig növekszik: (-∞, 0) és (0, +∞).
4. tulajdonság. A függvény végtelen, mivel sem alulról, sem felülről nincs korlátozása.
5. tulajdonság. A függvénynek sem a legkisebb, sem a legnagyobb értéke nincs, mivel végtelen.
Tulajdonság 6. A függvény mínusz végtelentől nulláig (-∞, 0) és nullától végtelenig (0, +∞) folytonos, és meg kell jegyezni, hogy megszakadáson megy keresztül, ha x-nek van egy nulla értéke.
7. tulajdonság. A függvények tartománya két nyitott sugár uniója mínusz végtelentől nulláig (-∞, 0) és nullától plusz végtelenig (0, +∞).

A következő videó példákat mutat be. Csak néhányat nézünk meg közülük, javasoljuk, hogy a többit nézze meg a mellékelt videókban.
Tehát nézzük az első példát. A következő egyenletet kell megoldani: 4/x = 5-x.
A nagyobb kényelem érdekében ennek az egyenlőségnek a megoldását több szakaszra osztjuk:
1) Először is felírjuk az egyenlőségünket két külön egyenlet formájában: y = 4/x és y = 5-x/
2) Ezután a videón látható módon ábrázoljuk az y = 4/x függvényt, ami egy hiperbola.
3) Ezután elkészítjük egy lineáris függvény grafikonját. Ebben az esetben két pontból megszerkeszthető egyenesről van szó. A grafikonokat videóanyagunkban mutatjuk be.
4) Maga a rajz alapján meghatározzuk azokat a pontokat, amelyekben mindkét gráfunk metszi, mind a hiperbolát, mind az egyenest. Megjegyzendő, hogy az A (1; 4) és a B (4; 1) pontokban metszik egymást. A kapott eredmények ellenőrzése azt mutatja, hogy helyesek. Ennek az egyenletnek két gyöke lehet: 1 és 4.

A következő, a videóleckében tárgyalt példának a következő feladata van: az y = f(x) függvény grafikonjának elkészítése és beolvasása, ahol f(x) = -x2, ha az x változó nagyobb, mint vagy egyenlő -2 és nagyobb vagy egyenlő 1-gyel, és y = -1/x, ha x nagyobb egynél.
A megoldást több lépésben hajtják végre. Először elkészítjük az y = -x2 függvény grafikonját, amelyet „parabolának” nevezünk, és kiválasztjuk a részét a -2 és 1 közötti területen. A grafikon megtekintéséhez nézze meg a videót.

A következő lépés az y = -1/x egyenlőség hiperbola megalkotása, és a nyílt sugáron lévő részének kijelölése egytől a végtelenig. Ezután mindkét grafikont eltoljuk ugyanabban a koordinátarendszerben. Ennek eredményeként az y = f(x) függvény grafikonját kapjuk.
Ezután olvassa el az y = f(x) függvény grafikonját:
1. A függvény definíciós tartománya egy sugár a -2 és +∞ közötti területen.
2. y egyenlő nullával abban az esetben, ha x egyenlő nullával; y kisebb nullánál, ha x nagyobb vagy egyenlő, mint -2 és kisebb, mint nulla, valamint akkor is, ha x nagyobb nullánál.
3. A függvény a területen -2-től 0-ig, az 1-től a végtelenig terjedő területen növekszik, a grafikon a terület nulláról egyre csökkenését mutatja.
4. Adott paraméterekkel rendelkező függvény alulról és felülről is korlátos.
5. Az y változó legkisebb értéke -4, és akkor érhető el, ha x értéke -2 szinten van; és y legnagyobb értéke 0, ami akkor érhető el, ha x értéke nulla.
6. Egy adott definíciós tartományban a függvényünk folytonos.
7. A függvény értékterülete -4 és 0 közötti intervallumban található.
8. A függvény konvex felfelé a -2-től 1-ig terjedő szakaszon, a sugáron pedig 1-től a végtelenig.
A bemutatott videó megtekintésével megismerkedhet a fennmaradó példákkal.

A numerikus függvény fogalma. Funkció megadásának módszerei. A függvények tulajdonságai.

A numerikus függvény olyan függvény, amely az egyik numerikus térből (halmazból) egy másik numerikus térbe (halmazba) hat.

A függvény meghatározásának három fő módja: analitikus, táblázatos és grafikus.

1. Elemző.

A függvény képlet segítségével történő megadásának módszerét analitikusnak nevezzük. Ez a módszer a fő a szőnyegben. elemzés, de a gyakorlatban nem kényelmes.

2. Függvény megadásának táblázatos módszere.

Egy függvény megadható az argumentumértékeket és a hozzájuk tartozó függvényértékeket tartalmazó táblázat segítségével.

3. Egy függvény megadásának grafikus módszere.

Egy y=f(x) függvényt grafikusan adottnak mondunk, ha a gráfja meg van alkotva. A függvény megadásának ez a módszere csak megközelítőleg teszi lehetővé a függvényértékek meghatározását, mivel a grafikon felépítése és a rajta lévő függvényértékek megtalálása hibákkal jár.

A függvény tulajdonságai, amelyeket figyelembe kell venni a gráf felépítésénél:

1) A függvény definíciós tartománya.

A funkció tartománya, vagyis azok az értékek, amelyeket az F =y (x) függvény x argumentuma felvehet.

2) Növekvő és csökkenő függvények intervallumai.

A függvényt növelőnek nevezzük a vizsgált intervallumon, ha az argumentum nagyobb értéke az y(x) függvény nagyobb értékének felel meg. Ez azt jelenti, hogy ha két tetszőleges x 1 és x 2 argumentumot veszünk a vizsgált intervallumból, és x 1 > x 2, akkor y(x 1) > y(x 2).

A függvényt csökkenőnek nevezzük a vizsgált intervallumon, ha az argumentum nagyobb értéke az y(x) függvény kisebb értékének felel meg. Ez azt jelenti, hogy ha két tetszőleges x 1 és x 2 argumentumot veszünk a vizsgált intervallumból, és x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Funkció nullák.

Azokat a pontokat, ahol az F = y (x) függvény metszi az abszcissza tengelyt (ezeket az y(x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk meg), a függvény nulláinak nevezzük.

4) Páros és páratlan függvények.

A függvényt párosnak nevezzük, ha minden argumentumértékre a hatókörből

y(-x) = y(x).

A páros függvény grafikonja szimmetrikus az ordinátára.

A függvény neve páratlan, ha az argumentum összes értékére a definíciós tartományból

y(-x) = -y(x).

A páros függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

Sok függvény nem páros és nem páratlan.

5) A függvény periodicitása.

A függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan P szám, amely a definíciós tartományból származó argumentum összes értékére vonatkozik

y(x + P) = y(x).

Lineáris függvény, tulajdonságai és grafikonja.

A lineáris függvény az alak függvénye y = kx + b, az összes valós szám halmazán definiálva.

k– meredekség (valós szám)

b– hamis kifejezés (valós szám)

x- független változó.

· Speciális esetben, ha k = 0, egy y = b konstans függvényt kapunk, melynek grafikonja a ponton (0; b) átmenő, az Ox tengellyel párhuzamos egyenes.

· Ha b = 0, akkor az y = kx függvényt kapjuk, ami egyenes arányosság.

o Geometriai jelentés b együttható az Oy tengely mentén elhelyezkedő egyenes által levágott szakasz hossza, az origótól számítva.

o A k együttható geometriai jelentése az egyenesnek az Ox tengely pozitív irányához viszonyított dőlésszöge, az óramutató járásával ellentétes irányban számítva.

A lineáris függvény tulajdonságai:

1) A lineáris függvény definíciós tartománya a teljes valós tengely;

2) Ha k ≠ 0, akkor a lineáris függvény értéktartománya a teljes valós tengely.

Ha k = 0, akkor a lineáris függvény értéktartománya a b számból áll;

3) Egy lineáris függvény egyenletessége és páratlansága a k és b együtthatók értékétől függ.

a) b ≠ 0, k = 0, tehát y = b – páros;

b) b = 0, k ≠ 0, ezért y = kx – páratlan;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, ezért y = kx + b általános alak függvénye;

d) b = 0, k = 0, ezért y = 0 páros és páratlan függvény is.

4) A lineáris függvény nem rendelkezik periodicitás tulajdonsággal;

5) A koordinátatengelyekkel való metszéspontok:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, ezért (-b/k; 0) az x tengellyel való metszéspont.

Oy: y = 0k + b = b, ezért (0; b) az ordinátával való metszéspont.

Megjegyzés. Ha b = 0 és k = 0, akkor az y = 0 függvény az x változó bármely értékére eltűnik. Ha b ≠ 0 és k = 0, akkor az y = b függvény az x változó egyetlen értékére sem tűnik el.

6) Az állandó előjel intervallumai a k ​​együtthatótól függenek.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – pozitív x-nél (-b/k; +∞),

y = kx + b – negatív x-re (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – pozitív x-nél (-∞; -b/k),

y = kx + b – negatív x (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitív a teljes definíciós tartományban,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Egy lineáris függvény monotonitási intervallumai a k ​​együtthatótól függenek.

k > 0, ezért y = kx + b növekszik a teljes definíciós tartományban,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. y = ax 2 + bx + c függvény, tulajdonságai és grafikonja.

Az y = ax 2 + bx + c (a, b, c állandók, a ≠ 0) függvényt ún. négyzetes A legegyszerűbb esetben y = ax 2 (b = c = 0) a gráf egy görbe vonal, amely az origón halad át. Az y = ax 2 függvény grafikonjaként szolgáló görbe egy parabola. Minden parabolának van egy szimmetriatengelye, az úgynevezett a parabola tengelye. A parabola tengelyével való metszéspontjának O pontját nevezzük a parabola csúcsa.

A menetrend szerint alakítható alábbi diagram: 1) Határozzuk meg az x 0 = -b/2a parabola csúcsának koordinátáit; y 0 = y(x 0). 2) Megszerkesztünk még több, a parabolához tartozó pontot, a szerkesztés során felhasználhatjuk a parabola x = -b/2a egyeneshez viszonyított szimmetriáit. 3) Kösse össze a jelzett pontokat egy sima vonallal. Példa. Ábrázolja a b = x 2 + 2x - 3 függvényt. Megoldások. A függvény grafikonja egy parabola, melynek ágai felfelé irányulnak. Az x 0 = 2/(2 ∙1) = -1 parabola csúcsának abszcissza, ordinátái y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Tehát a parabola csúcsa a (-1; -4) pont. Állítsunk össze egy értéktáblázatot több ponthoz, amelyek a parabola szimmetriatengelyétől jobbra helyezkednek el - x = -1 egyenes. Funkció tulajdonságai.

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét Email stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Ha szükséges, a jogszabályoknak megfelelően bírósági eljárás, V próbaés/vagy nyilvános kérések vagy az Orosz Föderáció kormányzati szerveitől származó kérések alapján - fedje fel személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Lineáris függvény definíciója

Mutassuk be a lineáris függvény definícióját

Meghatározás

A $y=kx+b$ alakú függvényt, ahol $k$ nem nulla, lineáris függvénynek nevezzük.

A lineáris függvény grafikonja egy egyenes. A $k$ számot az egyenes meredekségének nevezzük.

Amikor $b=0$ a lineáris függvényt egyenes arányossági függvénynek nevezzük $y=kx$.

Tekintsük az 1. ábrát.

Rizs. 1. Egy egyenes meredekségének geometriai jelentése

Tekintsük az ABC háromszöget. Látjuk, hogy $ВС=kx_0+b$. Keressük meg a $y=kx+b$ egyenes és az $Ox$ tengely metszéspontját:

\ \

Tehát $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Határozzuk meg ezen oldalak arányát:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Másrészt $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Így a következő következtetést vonhatjuk le:

Következtetés

A $k$ együttható geometriai jelentése. Lejtési tényező a $k$ egyenes egyenlő ennek az egyenesnek az $Ox$ tengelyhez mért dőlésszögének érintőjével.

A $f\left(x\right)=kx+b$ lineáris függvény és grafikonjának tanulmányozása

Először vegyük figyelembe a $f\left(x\right)=kx+b$ függvényt, ahol $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Következésképpen ez a függvény a teljes definíciós tartományban növekszik. Nincsenek szélsőséges pontok.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafikon (2. ábra).

Rizs. 2. A $y=kx+b$ függvény grafikonjai, ha $k > 0$.

Most vegyük figyelembe a $f\left(x\right)=kx$ függvényt, ahol $k

1. A meghatározás tartománya az összes szám.
2. Az értéktartomány minden szám.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. A függvény se nem páros, se nem páratlan.
4. $x=0,f\left(0\right)=b$ esetén. Amikor $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Metszéspontok koordinátatengelyekkel: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ és $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$ Ezért a függvénynek nincsenek inflexiós pontjai.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Grafikon (3. ábra).