Pravilo za rješavanje algoritma za jednostavne trigonometrijske nejednadžbe. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi
Algebrin projekt “Rješenje” trigonometrijske nejednakosti» Ispunila učenica 10. razreda "B" Kazachkova Yulia Voditeljica: učiteljica matematike Kochakova N.N.
Cilj Učvrstiti gradivo teme “Rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi” i izraditi podsjetnik za pripremu učenika za nadolazeći ispit.
Ciljevi: Sažeti materijal o ovoj temi. Sistematizirati primljene informacije. Smatrati ova tema na Jedinstvenom državnom ispitu.
Relevantnost Relevantnost teme koju sam odabrao leži u činjenici da su zadaci na temu "Rješavanje trigonometrijskih nejednakosti" uključeni u zadatke Jedinstvenog državnog ispita.
Trigonometrijske nejednadžbe Nejednakost je relacija koja povezuje dva broja ili izraza jednim od predznaka: (veći od); ≥ (veće ili jednako). Trigonometrijska nejednadžba je nejednadžba koja sadrži trigonometrijske funkcije.
Trigonometrijske nejednadžbe Rješavanje nejednadžbi koje sadrže trigonometrijske funkcije svodi se u pravilu na rješavanje najjednostavnijih nejednadžbi oblika: sin x>a, sin x a, cos x a, tg x a,ctg x
Algoritam za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi Na osi koja odgovara zadanoj trigonometrijskoj funkciji označite ovo numerička vrijednost ovu funkciju. Nacrtajte liniju kroz označenu točku koja siječe jediničnu kružnicu. Odaberite sjecišne točke pravca i kruga, vodeći računa o strogom ili nestrogom znaku nejednakosti. Odaberite luk kružnice na kojoj se nalaze rješenja nejednadžbe. Odredite vrijednosti kuta na početnoj i krajnjoj točki kružnog luka. Zapiši rješenje nejednadžbe vodeći računa o periodičnosti zadane trigonometrijske funkcije.
Formule za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx a; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxa; x (arctg a + πn ; + πn). tgx a; x (πn; arctan + πn). ctgx
Grafičko rješavanje osnovnih trigonometrijskih nejednadžbi sinx >a
Grafičko rješavanje osnovnih trigonometrijskih nejednadžbi sinx Grafičko rješavanje osnovnih trigonometrijskih nejednadžbi cosx >a Grafičko rješavanje osnovnih trigonometrijskih nejednadžbi cosx Grafičko rješavanje osnovnih trigonometrijskih nejednadžbi tgx >a Grafičko rješavanje osnovnih trigonometrijskih nejednadžbi tgx Grafičko rješavanje osnovnih trigonometrijskih nejednadžbi ctgx >a
Pri rješavanju nejednadžbi koje sadrže trigonometrijske funkcije one se svode na najjednostavnije nejednadžbe oblika cos(t)>a, sint(t)=a i slične. I već su najjednostavnije nejednadžbe riješene. Pogledajmo razne primjere načina rješavanja jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi.
Primjer 1. Riješite nejednadžbu sin(t) > = -1/2.
Nacrtaj jedinični krug. Budući da je sin(t) po definiciji y koordinata, označimo točku y = -1/2 na Oy osi. Povlačimo ravnu liniju kroz njega, paralelno s osi Oh. Na sjecištu pravca s grafom jedinične kružnice označimo točke Pt1 i Pt2. Ishodište koordinata s točkama Pt1 i Pt2 povezujemo s dva segmenta.
Rješenje ove nejednadžbe bit će sve točke jedinične kružnice koje se nalaze iznad tih točaka. Drugim riječima, rješenje će biti luk l. Sada je potrebno naznačiti uvjete pod kojima će proizvoljna točka pripadati luku l.
Pt1 leži u desnom polukrugu, njegova ordinata je -1/2, tada je t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Da biste opisali točku Pt1, možete napisati sljedeću formulu:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Kao rezultat, dobivamo sljedeću nejednakost za t:
Čuvamo nejednakosti. A budući da je funkcija sinusa periodična, to znači da će se rješenja ponavljati svakih 2*pi. Dodamo ovaj uvjet dobivenoj nejednakosti za t i zapišemo odgovor.
Odgovor: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Primjer 2. Riješite cos(t) nejednadžbu<1/2.
Nacrtajmo jediničnu kružnicu. Kako je prema definiciji cos(t) x koordinata, na grafu na Ox osi označimo točku x = 1/2.
Kroz ovu točku povučemo ravnu liniju paralelnu s osi Oy. Na sjecištu pravca s grafom jedinične kružnice označimo točke Pt1 i Pt2. Ishodište koordinata s točkama Pt1 i Pt2 povezujemo s dva segmenta.
Rješenja će biti sve točke jedinične kružnice koje pripadaju luku l. Nađimo točke t1 i t2.
t1 = arccos(1/2) = pi/3.
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.
Dobili smo nejednakost za t: pi/3 Budući da je kosinus periodična funkcija, rješenja će se ponavljati svakih 2*pi. Dodamo ovaj uvjet dobivenoj nejednakosti za t i zapišemo odgovor. Odgovor: pi/3+2*pi*n Primjer 3. Riješite nejednadžbu tg(t)< = 1. Period tangente jednak je pi. Pronađimo rješenja koja pripadaju intervalu (-pi/2;pi/2) desnog polukruga. Zatim, koristeći periodičnost tangente, zapisujemo sva rješenja ove nejednadžbe. Nacrtajmo jediničnu kružnicu i na njoj označimo tangente. Ako je t rješenje nejednadžbe, tada ordinata točke T = tg(t) mora biti manja ili jednaka 1. Skup takvih točaka činit će zraku AT. Skup točaka Pt koje će odgovarati točkama ove zrake je luk l. Štoviše, točka P(-pi/2) ne pripada ovom luku. Tijekom praktične nastave ponovit ćemo glavne tipove zadataka iz teme “Trigonometrija”, dodatno analizirati probleme povećane složenosti i razmotriti primjere rješavanja raznih trigonometrijskih nejednadžbi i njihovih sustava. Ova lekcija pomoći će vam da se pripremite za jednu od vrsta zadataka B5, B7, C1 i C3. Počnimo s pregledom glavnih vrsta zadataka koje smo obradili u temi "Trigonometrija" i riješimo nekoliko nestandardnih problema. Zadatak br. 1. Pretvorite kutove u radijane i stupnjeve: a) ; b) . a) Upotrijebimo formulu za pretvaranje stupnjeva u radijane Zamijenimo navedenu vrijednost u nju. b) Primijenite formulu za pretvaranje radijana u stupnjeve Izvršimo zamjenu Odgovor. A) ; b) . Zadatak br. 2. Izračunaj: a) ; b) . a) Budući da kut ide daleko izvan tablice, smanjit ćemo ga oduzimanjem sinusne periode. Jer Kut je označen u radijanima, tada ćemo razdoblje smatrati . b) B u ovom slučaju situacija je slična. Budući da je kut naznačen u stupnjevima, smatrat ćemo period tangente kao . Dobiveni kut, iako manji od periode, veći je, što znači da se više ne odnosi na glavni, već na produženi dio tablice. Kako ne biste opet vježbali svoje pamćenje pamćenjem proširene tablice vrijednosti trigofunkcije, oduzmimo opet period tangente: Iskoristili smo neparnost funkcije tangente. Odgovor. a) 1; b) . Zadatak br. 3. Izračunati Svedimo cijeli izraz na tangente tako da brojnik i nazivnik razlomka podijelimo s . U isto vrijeme, ne možemo se bojati da, jer u ovom slučaju vrijednost tangensa ne bi postojala. Zadatak br. 4. Pojednostavite izraz. Navedeni izrazi pretvaraju se pomoću redukcijskih formula. Samo su neobično napisani pomoću stupnjeva. Prvi izraz općenito predstavlja broj. Pojednostavimo sve trigofunkcije jednu po jednu: Jer , tada se funkcija mijenja u kofunkciju, tj. na kotangens, a kut pada u drugu četvrtinu, u kojoj izvorni tangens ima negativan predznak. Iz istih razloga kao u prethodnom izrazu, funkcija se mijenja u kofunkciju, tj. na kotangens, a kut pada u prvu četvrtinu, u kojoj izvorni tangens ima pozitivan predznak. Zamijenimo sve u pojednostavljeni izraz: Problem #5. Pojednostavite izraz. Zapišimo tangens dvostrukog kuta odgovarajućom formulom i pojednostavnimo izraz: Posljednji identitet jedna je od univerzalnih zamjenskih formula za kosinus. Problem #6. Izračunati. Glavna stvar je ne napraviti standardnu pogrešku i ne dati odgovor da je izraz jednak . Ne možete koristiti osnovno svojstvo arktangensa sve dok pored njega postoji faktor u obliku dva. Da bismo ga se riješili, napisat ćemo izraz prema formuli za tangens dvostrukog kuta, dok ćemo tretirati , kao običan argument. Sada možemo primijeniti osnovno svojstvo arktangensa; zapamtite da nema ograničenja na njegov numerički rezultat. Problem broj 7. Riješite jednadžbu. Kod rješavanja razlomljene jednadžbe koja je jednaka nuli, uvijek je označeno da je brojnik jednak nuli, ali nazivnik nije, jer Ne možete dijeliti s nulom. Prva jednadžba je poseban slučaj najjednostavnije jednadžbe koja se može riješiti pomoću trigonometrijske kružnice. Zapamtite i sami ovo rješenje. Druga se nejednadžba rješava kao najjednostavnija jednadžba pomoću opće formule za korijene tangente, ali samo s predznakom koji nije jednak. Kao što vidimo, jedna obitelj korijena isključuje drugu obitelj potpuno istog tipa korijena koji ne zadovoljavaju jednadžbu. Oni. nema korijena. Odgovor. Nema korijena. Problem broj 8. Riješite jednadžbu. Odmah primijetimo da možemo izvaditi zajednički faktor i učinimo to: Jednadžba je svedena na jedan od standardnih oblika, gdje je umnožak više faktora jednak nuli. Već znamo da je u ovom slučaju ili jedan od njih jednak nuli, ili drugi, ili treći. Zapišimo ovo u obliku skupa jednadžbi: Prve dvije jednadžbe su posebni slučajevi najjednostavnijih, već smo se mnogo puta susreli sa sličnim jednadžbama, pa ćemo odmah navesti njihova rješenja. Treću jednadžbu reduciramo na jednu funkciju pomoću formule sinusa dvostrukog kuta. Riješimo zasebno posljednju jednadžbu: Ova jednadžba nema korijena, jer sinusna vrijednost ne može prijeći Dakle, rješenje su samo prve dvije obitelji korijena; oni se mogu spojiti u jednu, što je lako prikazati na trigonometrijskom krugu: Ovo je obitelj svih polovica, tj. Prijeđimo na rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi. Prvo ćemo analizirati pristup rješavanju primjera bez korištenja formula za opća rješenja, već korištenjem trigonometrijske kružnice. Problem br. 9. Riješite nejednadžbu. Nacrtajmo pomoćnu liniju na trigonometrijskoj kružnici koja odgovara sinusnoj vrijednosti jednakoj i pokažimo raspon kutova koji zadovoljavaju nejednakost. Vrlo je važno razumjeti kako točno označiti rezultirajući interval kutova, tj. kakav joj je početak i kakav joj je kraj. Početak intervala bit će kut koji odgovara točki u koju ćemo ući na samom početku intervala ako se pomičemo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. U našem slučaju, to je točka koja je s lijeve strane, jer krećući se suprotno od kazaljke na satu i prolazeći desnu točku, mi, naprotiv, ostavljamo traženi raspon kutova. Desna točka će stoga odgovarati kraju praznine. Sada moramo razumjeti kutove početka i kraja našeg intervala rješenja nejednadžbe. Tipična pogreška je odmah označiti da desna točka odgovara kutu, a lijeva i dati odgovor. Ovo nije istina! Imajte na umu da smo upravo naznačili interval koji odgovara gornjem dijelu kruga, iako nas zanima donji dio, drugim riječima, pomiješali smo početak i kraj intervala rješenja koji nam je potreban. Da bi interval počeo od kuta desne točke i završio kutom lijeve točke, potrebno je da prvi navedeni kut bude manji od drugog. Da bismo to učinili, morat ćemo izmjeriti kut desne točke u negativnom referentnom smjeru, tj. u smjeru kazaljke na satu i bit će jednak . Zatim, počevši se kretati od nje u pozitivnom smjeru kazaljke na satu, doći ćemo do desne točke nakon lijeve točke i dobiti vrijednost kuta za nju. Sada je početak intervala kutova manji od kraja, te možemo napisati interval rješenja bez uzimanja u obzir perioda: Uzimajući u obzir da će se takvi intervali ponavljati beskonačan broj puta nakon bilo kojeg cijelog broja rotacija, dobivamo opće rješenje uzimajući u obzir period sinusa: Stavili smo zagrade jer je nejednakost stroga i označili smo točke na kružnici koje odgovaraju krajevima intervala. Usporedite dobiveni odgovor s formulom za opće rješenje koje smo dali na predavanju. Odgovor. Ova metoda je dobra za razumijevanje odakle dolaze formule za opća rješenja najjednostavnijih nejednadžbi trigona. Osim toga, korisno je za one koji su previše lijeni naučiti sve te glomazne formule. Međutim, sama metoda također nije laka; odaberite koji vam pristup rješenju najviše odgovara. Za rješavanje trigonometrijskih nejednakosti također možete koristiti grafove funkcija na kojima je konstruiran pomoćni pravac, slično metodi prikazanoj pomoću jedinične kružnice. Ako ste zainteresirani, pokušajte sami smisliti ovaj pristup rješenju. U nastavku ćemo koristiti općenite formule za rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi. Problem broj 10. Riješite nejednadžbu. Upotrijebimo formulu za opće rješenje, uzimajući u obzir činjenicu da nejednakost nije stroga: U našem slučaju dobivamo: Odgovor. Problem br. 11. Riješite nejednadžbu. Upotrijebimo opću formulu rješenja za odgovarajuću strogu nejednadžbu: Odgovor. Problem br. 12. Riješite nejednadžbe: a) ; b) . U ovim nejednakostima nema potrebe žuriti s korištenjem formula za opća rješenja ili trigonometrijski krug; dovoljno je jednostavno zapamtiti raspon vrijednosti sinusa i kosinusa. a) Budući da b) Jer slično, sinus bilo kojeg argumenta uvijek zadovoljava nejednakost navedenu u uvjetu. Dakle, sve stvarne vrijednosti argumenta zadovoljavaju nejednakost. Odgovor. a) nema rješenja; b) . Problem 13. Riješite nejednadžbu 1.5 Trigonometrijske nejednadžbe i metode za njihovo rješavanje 1.5.1 Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi Većina autora modernih udžbenika matematike predlaže da se ova tema počne razmatrati rješavanjem najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti. Načelo rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti temelji se na znanju i vještinama određivanja na trigonometrijskom krugu vrijednosti ne samo glavnih trigonometrijskih kutova, već i drugih vrijednosti. U međuvremenu, rješenje nejednakosti oblika , , , može se provesti na sljedeći način: prvo nađemo neki interval () na kojem je ta nejednakost zadovoljena, a zatim zapišemo konačni odgovor dodavanjem na krajeve pronađenog intervala a broj koji je višekratnik perioda sinusa ili kosinusa: ( Već niz godina prilično uspješno koristimo formule za korijene odgovarajućih jednadžbi za pronalaženje rješenja trigonometrijskih nejednadžbi. Ovu temu proučavamo na sljedeći način: 1. Gradimo grafove i y = a, pretpostavljajući da je . Zatim zapišemo jednadžbu i njezino rješenje. Davanje n 0; 1; 2, nalazimo tri korijena sastavljene jednadžbe: . Vrijednosti su apscisa triju uzastopnih točaka sjecišta grafova i y = a. Očito je da nejednakost uvijek vrijedi na intervalu (), a nejednakost uvijek vrijedi na intervalu (). Dodavanjem na krajeve ovih intervala broja koji je višekratnik perioda sinusa, u prvom slučaju dobivamo rješenje nejednadžbe u obliku: ; au drugom slučaju rješenje nejednadžbe u obliku: Samo za razliku od sinusa iz formule, koji je rješenje jednadžbe, za n = 0 dobivamo dva korijena, a treći korijen za n = 1 u obliku Sada nije teško napisati rješenja nejednadžbi i . U prvom slučaju dobivamo: ; a u drugom: . Rezimirati. Da biste riješili nejednadžbu ili, morate izraditi odgovarajuću jednadžbu i riješiti je. Iz dobivene formule pronađite korijene i , a odgovor na nejednadžbu napišite u obliku: . Pri rješavanju nejednadžbi , iz formule za korijene odgovarajuće jednadžbe nalazimo korijene i , a odgovor na nejednadžbu zapisujemo u obliku: . Ova tehnika vam omogućuje da naučite sve učenike kako rješavati trigonometrijske nejednadžbe, jer Ova tehnika se u potpunosti oslanja na vještine kojima učenici dobro vladaju. To su vještine rješavanja jednostavnih problema i pronalaženja vrijednosti varijable pomoću formule. Osim toga, postaje potpuno nepotrebno pažljivo rješavanje velikog broja vježbi pod vodstvom nastavnika kako bi se demonstrirali sve vrste tehnika zaključivanja ovisno o predznaku nejednadžbe, vrijednosti modula broja a i njegovom predznaku . I sam proces rješavanja nejednakosti postaje kratak i, što je vrlo važno, jednoličan. Još jedna prednost ove metode je ta što vam omogućuje jednostavno rješavanje nejednakosti čak i kada desna strana nije tablična vrijednost sinusa ili kosinusa. Pokažimo to konkretnim primjerom. Pretpostavimo da trebamo riješiti nejednadžbu. Kreirajmo odgovarajuću jednadžbu i riješimo je: Nađimo vrijednosti i . Kada je n = 1 Kada je n = 2 Zapisujemo konačni odgovor na ovu nejednakost: U razmatranom primjeru rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti može postojati samo jedan nedostatak - prisutnost određene količine formalizma. Ali ako se sve procjenjuje samo s ovih pozicija, tada će biti moguće optužiti formule korijena kvadratne jednadžbe, i sve formule za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi, i još mnogo toga, za formalizam. Iako predložena metoda zauzima dostojno mjesto u formiranju vještina rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi, važnost i značajke drugih metoda rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi ne mogu se podcijeniti. To uključuje metodu intervala. Razmotrimo njegovu suštinu. Postav uredio A.G. Mordkovich, iako ne biste trebali zanemariti ni ostale udžbenike. § 3. Metodika poučavanja teme “Trigonometrijske funkcije” u kolegiju algebre i počeci analize U proučavanju trigonometrijskih funkcija u školi mogu se razlikovati dvije glavne faze: ü Početno upoznavanje s trigonometrijskim funkcijama... U provođenju istraživanja riješeni su sljedeći zadaci: 1) Analizirani su sadašnji udžbenici algebre i počeci matematičke analize kako bi se identificirale u njima predstavljene metode za rješavanje iracionalnih jednadžbi i nejednadžbi. Analiza nam omogućuje da izvučemo sljedeće zaključke: ·u srednjoj školi se nedovoljno pažnje posvećuje metodama rješavanja raznih iracionalnih jednadžbi, uglavnom... METODE RJEŠAVANJA TRIGONOMETRIJSKIH NEJEDNAČBI
Relevantnost.
Povijesno gledano, trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe imale su posebno mjesto u školskom kurikulumu. Možemo reći da je trigonometrija jedan od najvažnijih dijelova školskog tečaja i cijele matematičke znanosti općenito. Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe zauzimaju jedno od središnjih mjesta u srednjoškolskom kolegiju matematike, kako u pogledu sadržaja nastavnog gradiva tako i u pogledu metoda obrazovne i spoznajne aktivnosti koje se mogu i trebaju formirati tijekom njihovog proučavanja i primijeniti na rješavanje velikog broja problema teorijske i primijenjene prirode . Rješavanjem trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi stvaraju se preduvjeti za usustavljivanje znanja učenika vezanih uz cjelokupno nastavno gradivo iz trigonometrije (primjerice, svojstva trigonometrijskih funkcija, metode transformacije trigonometrijskih izraza itd.) te omogućuje uspostavljanje učinkovitih veza s gradivom koje se uči. u algebri (jednadžbe, ekvivalentnost jednadžbi, nejednadžbe, identične transformacije algebarskih izraza itd.). Drugim riječima, razmatranje tehnika rješavanja trigonometrijskih jednadžbi i nejednadžbi uključuje svojevrsni prijenos tih vještina na nove sadržaje. Značaj teorije i njezine brojne primjene dokaz su relevantnosti odabrane teme. To vam zauzvrat omogućuje određivanje ciljeva, zadataka i predmeta istraživanja kolegija. Svrha studije:
generalizirati dostupne vrste trigonometrijskih nejednadžbi, osnovne i posebne metode za njihovo rješavanje, odabrati skup zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi od strane učenika. Ciljevi istraživanja:
1. Na temelju analize dostupne literature o temi istraživanja sistematizirati građu. 2. Osigurajte set zadataka potrebnih za učvršćivanje teme “Trigonometrijske nejednakosti.” Predmet proučavanja
su trigonometrijske nejednakosti u školskom tečaju matematike. Predmet proučavanja:
vrste trigonometrijskih nejednadžbi i metode njihova rješavanja. Teorijski značaj
je sistematizirati gradivo. Praktični značaj:
primjena teorijskih znanja u rješavanju problema; analiza glavnih uobičajenih metoda za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi. Metode istraživanja
: analiza znanstvene literature, sinteza i generalizacija stečenih znanja, analiza rješavanja problema, traženje optimalnih metoda za rješavanje nejednadžbi. §1.
Vrste trigonometrijskih nejednadžbi i osnovne metode njihova rješavanja
1.1. Najjednostavnije trigonometrijske nejednadžbe
Dva trigonometrijska izraza povezana znakom ili > nazivaju se trigonometrijskim nejednadžbama. Rješavanje trigonometrijske nejednadžbe znači pronalaženje skupa vrijednosti nepoznanica uključenih u nejednadžbu za koje je nejednakost zadovoljena. Glavni dio trigonometrijskih nejednadžbi rješava se njihovim svođenjem na najjednostavnije rješenje: Ovo može biti metoda faktorizacije, promjena varijable ( Najjednostavnije nejednadžbe mogu se riješiti na dva načina: pomoću jedinične kružnice ili grafički. Nekaf(x
– jedna od osnovnih trigonometrijskih funkcija. Za rješavanje nejednadžbe Navedimo primjer algoritma za rješavanje nejednadžbi Algoritam za rješavanje nejednadžbe 1. Formulirajte definiciju sinusa brojax
na jediničnoj kružnici. 3. Na osi ordinata označite točku s koordinatoma
.
4. Kroz tu točku povucite pravac paralelan s osi OX i kružnicom označite njegove sjecišne točke. 5. Odaberite luk kružnice čije sve točke imaju ordinatu manju oda
.
6. Označite smjer kruga (suprotno od kazaljke na satu) i zapišite odgovor dodavanjem perioda funkcije na krajeve intervala2πn
,
Algoritam za rješavanje nejednadžbe 1. Formulirajte definiciju tangensa brojax
na jediničnoj kružnici. 2. Nacrtaj jediničnu kružnicu. 3. Nacrtaj tangente i na njoj ordinatom označi točkua
.
4. Spojite ovu točku s ishodištem i označite točku presjeka dobivenog segmenta s jediničnom kružnicom. 5. Odaberite luk kružnice čije sve točke imaju ordinatu na tangenti manju oda
.
6. Označite smjer obilaženja i napišite odgovor vodeći računa o domeni definiranosti funkcije uz točkuπn
,
Grafička interpretacija rješenja najjednostavnijih jednadžbi i formula za rješavanje nejednadžbi u općem obliku prikazani su u prilogu (prilozi 1 i 2). Primjer 1.
Riješite nejednadžbu Nacrtajte ravnu liniju na jediničnoj kružnici Sva značenjag
na intervalu NM je veći
, sve točke AMB luka zadovoljavaju ovu nejednakost. U svim kutovima rotacije, veliki Sl. 1 Dakle, rješenje nejednakosti bit će sve vrijednosti u intervalu oni. Odgovor: 1.2. Grafička metoda
U praksi se često pokaže korisnom grafička metoda za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi. Razmotrimo bit metode na primjeru nejednakosti 1. Ako je argument složen (različit odx
), a zatim ga zamijenite st
.
2. Gradimo u jednoj koordinatnoj ravniniigračka
grafovi funkcija 3. Takve nalazimodvije susjedne točke presjeka grafova, između kojihsinusni valnalazi seviši
ravno 4. Napiši dvostruku nejednakost za argumentt
, uzimajući u obzir period kosinusa (t
bit će između pronađenih apscisa). 5. Napravite obrnutu zamjenu (vratite se na izvorni argument) i izrazite vrijednostx
iz dvostruke nejednadžbe zapisujemo odgovor u obliku brojčanog intervala. Primjer 2.
Riješite nejednadžbu: . Pri rješavanju nejednadžbi grafičkom metodom potrebno je što točnije konstruirati grafove funkcija. Transformirajmo nejednakost u oblik: Konstruirajmo grafove funkcija u jednom koordinatnom sustavu sl.2 Grafovi funkcija sijeku se u točkiA
s koordinatama Odgovor: 1.3. Algebarska metoda
Često se izvorna trigonometrijska nejednadžba može svesti na algebarsku (racionalnu ili iracionalnu) nejednakost dobro odabranom zamjenom. Ova metoda uključuje transformaciju nejednakosti, uvođenje supstitucije ili zamjenu varijable. Pogledajmo konkretne primjere primjene ove metode. Primjer 3.
Svođenje na najjednostavniji oblik sl.3 Odgovor: Primjer 4.
Riješite nejednadžbu: ODZ: Korištenje formula: Zapišimo nejednakost u obliku: Ili, vjerujući Rješavanjem posljednje nejednadžbe metodom intervala dobivamo: sl.4 sl.5 Odgovor: 1.4. Metoda intervala
Opća shema za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi metodom intervala: Faktoriziraj pomoću trigonometrijskih formula. Pronađite točke diskontinuiteta i nulte točke funkcije i smjestite ih na kružnicu. Uzmite bilo koju točkuDO
(ali ranije nisu pronađeni) i saznajte znak proizvoda. Ako je umnožak pozitivan, postavite točku izvan jedinične kružnice na zraku koja odgovara kutu. U suprotnom, postavite točku unutar kruga. Ako se točka pojavljuje paran broj puta, nazivamo je točkom parne višestrukosti; ako se neparan broj puta, nazivamo je točkom neparne višestrukosti. Nacrtajte lukove na sljedeći način: počnite od točkeDO
, ako je sljedeća točka neparnog višestrukosti, tada luk siječe kružnicu u ovoj točki, ali ako je točka parnog višestrukosti, tada se ne siječe. Lukovi iza kruga su pozitivni intervali; unutar kruga postoje negativni prostori. Primjer 5.
Riješite nejednadžbu Bodovi prve serije: Bodovi druge serije: Svaka točka se pojavljuje neparan broj puta, odnosno sve točke su neparnog višestrukosti. Doznajmo znak proizvoda na Riža. 6 Odgovor: Primjer 6
. Riješite nejednadžbu.
Riješenje:
Nađimo nule izraza .
primitiaem :
Na vrijednosti serije jedinične kružnicex
1
predstavljena točkama Neka sada broj Dakle, točkaA
treba odabrati na zraci koja tvori kut Sada s točkeA
nacrtajte valovitu kontinuiranu liniju uzastopno do svih označenih točaka. I to po točkama sl.7 Konačan odgovor: Bilješka.
Ako se valovita linija nakon što obiđe sve točke označene na jediničnoj kružnici ne može vratiti u točkuA
,
bez prelaska kružića na “nedopuštenom” mjestu, to znači da je u rješenju napravljena pogreška, odnosno propušten je neparan broj korijena. Odgovor:
.
§2. Skup zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi
U procesu razvijanja sposobnosti učenika za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi također se mogu razlikovati 3 faze. 1. pripremni, 2. razvijanje sposobnosti rješavanja jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi; 3. uvođenje trigonometrijskih nejednadžbi drugih vrsta. Svrha pripremne faze je da je potrebno razviti kod školaraca sposobnost korištenja trigonometrijskog kruga ili grafikona za rješavanje nejednakosti, i to: Sposobnost rješavanja jednostavnih nejednadžbi oblika Sposobnost konstruiranja dvostrukih nejednakosti za lukove brojčani krug ili za lukove grafova funkcija; Sposobnost izvođenja različitih transformacija trigonometrijskih izraza. Preporuča se provesti ovu fazu u procesu sistematiziranja znanja učenika o svojstvima trigonometrijskih funkcija. Glavno sredstvo mogu biti zadaci koji se učenicima nude i izvode pod vodstvom nastavnika ili samostalno, kao i razvijene vještine rješavanja trigonometrijskih jednadžbi. Evo primjera takvih zadataka: 1
. Označite točku na jediničnoj kružnici .
2.
U kojoj se četvrtini koordinatne ravnine nalazi točka? 3.
Označite točke na trigonometrijskoj kružnici 4.
Pretvorite izraz u trigonometrijske funkcijejačetvrtine. A) 5.
Daje se Arc MR.M
– sredinaja- tromjesečje,R
– sredinaIItromjesečje. Ograničite vrijednost varijablet
za: (napraviti dvostruku nejednadžbu) a) luk MR; b) RM lukovi. 6.
Zapišite dvostruku nejednadžbu za odabrane dijelove grafikona: Riža. 1 7.
Riješite nejednadžbe 8.
Pretvori izraz
.
U drugom stupnju učenja rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi možemo ponuditi sljedeće preporuke vezane uz metodologiju organizacije aktivnosti učenika. U ovom slučaju potrebno je usredotočiti se na postojeće vještine učenika u radu s trigonometrijskom kružnicom ili grafom, nastale tijekom rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. Prvo, može se motivirati svrhovitost dobivanja opće metode za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednadžbi okretanjem, na primjer, nejednadžbi oblika Drugo, nastavnik treba učenicima skrenuti pozornost na različite načine rješavanja zadatka, dati odgovarajući primjer rješavanja nejednadžbe kako grafički tako i pomoću trigonometrijske kružnice. Razmotrimo sljedeća rješenja nejednadžbe 1. Rješavanje nejednadžbe pomoću jedinične kružnice. U prvoj lekciji o rješavanju trigonometrijskih nejednadžbi učenicima ćemo ponuditi detaljan algoritam rješavanja koji u postupnom prikazu odražava sve osnovne vještine potrebne za rješavanje nejednadžbe. Korak 1.Nacrtajmo jediničnu kružnicu i označimo točku na ordinatnoj osi Korak 2.Ova ravna crta dijeli krug na dva luka. Izaberimo onaj koji prikazuje brojeve koji imaju sinus veći od Riža. 2 3. korakOdaberite jedan od krajeva označenog luka. Zapišimo jedan od brojeva koji je predstavljen ovom točkom jedinične kružnice Korak 4.Kako bismo odabrali broj koji odgovara drugom kraju odabranog luka, "prošetamo" po tom luku od imenovanog kraja do drugog. Pritom se prisjetimo da kada se krećemo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, brojevi kroz koje ćemo prolaziti rastu (kada se krećemo u suprotnom smjeru, brojevi bi se smanjivali). Zapišimo broj koji je na jediničnoj kružnici prikazan drugim krajem označenog luka Dakle, vidimo tu nejednakost Učenike treba zamoliti da pažljivo promotre crtež i odgonetnu zašto su sva rješenja nejednadžbe Riža. 3 Potrebno je skrenuti pozornost učenicima da kod rješavanja nejednadžbi za kosinusnu funkciju povlačimo ravnu liniju paralelnu s ordinatnom osi. Grafička metoda rješavanja nejednadžbi. Gradimo grafikone Riža. 4 Zatim napišemo jednadžbu (Davanjen
vrijednosti 0, 1, 2, nalazimo tri korijena sastavljene jednadžbe). Vrijednosti Riža. 5 Rezimirati. Za rješavanje nejednadžbe Treće, činjenica o skupu korijena odgovarajuće trigonometrijske nejednadžbe vrlo se jasno potvrđuje kada se ona grafički rješava. Riža. 6 Učenicima je potrebno pokazati da se zaokret, koji je rješenje nejednadžbe, ponavlja kroz isti interval, jednak periodu trigonometrijske funkcije. Također možete razmotriti sličnu ilustraciju za graf funkcije sinusa. Četvrto, preporučljivo je raditi na aktualizaciji učeničkih tehnika pretvaranja zbroja (razlike) trigonometrijskih funkcija u umnožak te učenicima skrenuti pozornost na ulogu ovih tehnika u rješavanju trigonometrijskih nejednadžbi. Takav rad moguće je organizirati kroz samostalno rješavanje zadataka učenika na prijedlog nastavnika, među kojima izdvajamo sljedeće: Peto, od učenika se mora tražiti da ilustriraju rješenje svake jednostavne trigonometrijske nejednadžbe pomoću grafikona ili trigonometrijske kružnice. Svakako treba obratiti pozornost na njegovu svrhovitost, posebice na korištenje kružnice, jer pri rješavanju trigonometrijskih nejednadžbi odgovarajuća ilustracija služi kao vrlo zgodno sredstvo za bilježenje skupa rješenja zadane nejednadžbe Preporučljivo je učenike upoznati s metodama rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi koje nisu najjednostavnije prema sljedećoj shemi: obraćanje određenoj trigonometrijskoj nejednadžbi obraćanje odgovarajućoj trigonometrijskoj jednadžbi zajedničko traženje (nastavnik - učenici) rješenja; samostalno prenošenje pronađenu metodu na druge nejednadžbe istog tipa. Kako bismo usustavili znanja učenika o trigonometriji, preporučamo posebno izdvojiti takve nejednadžbe, čije rješavanje zahtijeva različite transformacije koje se mogu provoditi u procesu rješavanja, te usmjeriti pozornost učenika na njihove značajke. Kao takve produktivne nejednakosti možemo predložiti, na primjer, sljedeće: U zaključku dajemo primjer skupa problema za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi. 1. Riješite nejednadžbe: A) b) 5. Pronađite sva rješenja nejednadžbi: A) ;
b) ;
V) G) d) 6. Riješite nejednadžbe: A) ;
b) ;
V) ; G) d) ; e) ; i) 7. Riješite nejednadžbe: A) b) ;
V) ; G) . 8. Riješite nejednadžbe: A) ;
b) ;
V) ; G) d) e) ; i) h) . Zadatke 6 i 7 preporučljivo je ponuditi učenicima naprednog studija matematike, zadatak 8 učenicima razreda s naprednim studijem matematike. §3. Posebne metode rješavanja trigonometrijskih nejednadžbi
Posebne metode za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi – odnosno one metode kojima se mogu rješavati samo trigonometrijske jednadžbe. Ove se metode temelje na korištenju svojstava trigonometrijskih funkcija, kao i na korištenju različitih trigonometrijskih formula i identiteta. 3.1. Sektorska metoda
Razmotrimo sektorsku metodu za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi. Rješavanje nejednadžbi oblika U metodi intervala, svaki linearni faktor brojnika i nazivnika oblika Morate imati na umu sljedeće: a) Čimbenici oblika b) Čimbenici oblika Primjer 1.
Riješite nejednadžbe: a) 3.2. Metoda koncentričnog kruga
Ova metoda je analogna metodi paralelnih brojčanih osi za rješavanje sustava racionalnih nejednadžbi. Razmotrimo primjer sustava nejednakosti. Primjer 5.
Riješite sustav jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi Prvo rješavamo svaku nejednadžbu zasebno (slika 5). U gornjem desnom kutu slike naznačit ćemo za koji argument se trigonometrijska kružnica razmatra. sl.5 Zatim gradimo sustav koncentričnih krugova za argumentx
. Nacrtamo kružnicu i osjenčamo je prema rješenju prve nejednadžbe, zatim nacrtamo kružnicu većeg polumjera i osjenčamo je prema rješenju druge, zatim konstruiramo kružnicu za treću nejednadžbu i osnovnu kružnicu. Izvlačimo zrake iz središta sustava kroz krajeve lukova tako da sijeku sve kružnice. Oblikujemo otopinu na osnovnom krugu (slika 6). sl.6 Odgovor:
Zaključak
Svi ciljevi predmetnog istraživanja su ispunjeni. Teorijski materijal je sistematiziran: dane su glavne vrste trigonometrijskih nejednadžbi i glavne metode za njihovo rješavanje (grafička, algebarska, metoda intervala, sektora i metoda koncentričnih kružnica). Za svaku metodu dan je primjer rješavanja nejednadžbe. Nakon teorijskog dijela uslijedio je praktični dio. Sadrži skup zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi. Ovaj predmet studenti mogu koristiti za samostalan rad. Učenici mogu provjeriti razinu savladanosti ove teme i vježbati rješavanje zadataka različite složenosti. Proučavajući relevantnu literaturu o ovom pitanju, očito možemo zaključiti da su sposobnost i vještine rješavanja trigonometrijskih nejednakosti u školskom tečaju algebre i elementarne analize vrlo važne, čije razvijanje zahtijeva značajan napor od strane nastavnika matematike. Stoga će ovaj rad biti koristan za nastavnike matematike, jer omogućuje učinkovito organiziranje obuke učenika na temu "Trigonometrijske nejednakosti". Istraživanje se može nastaviti proširivanjem na završni kvalifikacijski rad.
Popis korištene literature
Bogomolov, N.V. Zbirka zadataka iz matematike [Tekst] / N.V. Bogomolov. – M.: Bustard, 2009. – 206 str. Vygodsky, M.Ya. Priručnik elementarne matematike [Tekst] / M.Ya. Vigodski. – M.: Bustard, 2006. – 509 str. Zhurbenko, L.N. Matematika u primjerima i problemima [Tekst] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 str. Ivanov, O.A. Elementarna matematika za učenike, studente i nastavnike [Tekst] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 str. Karp, A.P. Zadaci iz algebre i počeci analize za organiziranje završnog ponavljanja i svjedodžbe u 11. razredu [Tekst] / A.P. Šaran. – M.: Obrazovanje, 2005. – 79 str. Kulanin, E.D. 3000 zadataka natjecanja iz matematike [Tekst] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 str. Leibson, K.L. Zbirka praktičnih zadataka iz matematike [Tekst] / K.L. Leibson. – M.: Bustard, 2010. – 182 str. Lakat, V.V. Problemi s parametrima i njihova rješenja. Trigonometrija: jednadžbe, nejednadžbe, sustavi. 10. razred [Tekst] / V.V. Lakat. – M.: ARKTI, 2008. – 64 str. Manova, A.N. Matematika. Ekspresni mentor za pripremu za jedinstveni državni ispit: student. priručnik [Tekst] / A.N. Manova. – Rostov na Donu: Phoenix, 2012. – 541 str. Mordkovich, A.G. Algebra i početak matematičke analize. 10-11 razreda. Udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova [Tekst] / A.G. Mordkovich. – M.: Iris-press, 2009. – 201 str. Novikov, A.I. Trigonometrijske funkcije, jednadžbe i nejednadžbe [Tekst] / A.I. Novikov. – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 str. Oganesyan, V.A. Metodika nastave matematike u srednjoj školi: Opća metodika. Udžbenik priručnik za studente fizike - mat. fak. ped. Inst. [Tekst] / V.A. Oganesyan. – M.: Obrazovanje, 2006. – 368 str. Olehnik, S.N. Jednadžbe i nejednadžbe. Nestandardne metode rješenja [Tekst] / S.N. Olehnik. – M.: Izdavačka kuća Factorial, 1997. – 219 str. Sevrjukov, P.F. Trigonometrijske, eksponencijalne i logaritamske jednadžbe i nejednadžbe [Tekst] / P.F. Sevrjukov. – M.: Pučko obrazovanje, 2008. – 352 str. Sergejev, I.N. Jedinstveni državni ispit: 1000 problema s odgovorima i rješenjima iz matematike. Svi zadaci grupe C [Tekst] / I.N. Sergejev. – M.: Ispit, 2012. – 301 str. Sobolev, A.B. Elementarna matematika [Tekst] / A.B. Sobolev. – Ekaterinburg: Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja USTU-UPI, 2005. – 81 str. Fenko, L.M. Metoda intervala u rješavanju nejednadžbi i proučavanju funkcija [Tekst] / L.M. Fenko. – M.: Bustard, 2005. – 124 str. Friedman, L.M. Teorijske osnove metodike nastave matematike [Tekst] / L.M. Friedman. – M.: Knjižara “LIBROKOM”, 2009. – 248 str. Prilog 1 Grafička interpretacija rješenja jednostavnih nejednadžbi Riža. 1 Riža. 2 sl.3 sl.4 sl.5 sl.6 sl.7 sl.8 Dodatak 2 Rješenja jednostavnih nejednadžbi
.
, Ako .
.
.
.
, tada nejednakost nema smisla. Stoga rješenja nema.
.
). U ovom slučaju, vrijednost je lako pronaći, jer ili . Potraga za značenjem temelji se na intuiciji učenika, njihovoj sposobnosti da uoče jednakost lukova ili segmenata, koristeći prednosti simetrije pojedinih dijelova sinusnog ili kosinusnog grafa. A to ponekad nadilazi mogućnosti prilično velikog broja učenika. Kako bi se prevladale navedene poteškoće, u udžbenicima se posljednjih godina koriste različiti pristupi rješavanju jednostavnih trigonometrijskih nejednadžbi, ali to nije rezultiralo poboljšanjem ishoda učenja.
. I opet, to su tri uzastopne apscise točaka presjeka grafova i . U intervalu () vrijedi nejednakost, u intervalu () nejednakost
, 
itd.), gdje se prvo rješava uobičajena nejednadžba, a zatim nejednadžba oblika 
itd. ili drugim metodama.
dovoljno je pronaći njegovo rješenje na jednoj periodi, tj. na bilo kojem segmentu čija je duljina jednaka periodu funkcijef
x
. Tada će se pronaći rješenje izvorne nejednakostix
, kao i one vrijednosti koje se razlikuju od onih pronađenih bilo kojim cijelim brojem perioda funkcije. U ovom slučaju prikladno je koristiti grafičku metodu.
(
) I 
.
(
).
.
.
(broj s lijeve strane unosa uvijek je manji od broja s desne strane).
.
, koja siječe krug u točkama A i B.
, ali manji 
,
poprimit će veće vrijednosti
(ali ne više od jednog).
, tj. 
. Da bismo dobili sva rješenja ove nejednadžbe, dovoljno je zbrojiti krajeve tog intervala 
, Gdje 
, tj. 
,
.
Imajte na umu da vrijednosti 
I 
su korijeni jednadžbe 
,
;
.
, .
:
I 
.
. Nađemo apscise tih točaka.
I 
(slika 2).
; 
. Između 
točke grafikona 
ispod točaka grafikona 
. I kada vrijednosti funkcije su iste. Zato na 
.
.
.
(slika 3)
, 
.
, 
, 
.
, 
.
nakon jednostavnih transformacija dobivamo
,
,
.
, odnosno 
. Zatim sa Sl. 4 slijedi 
, Gdje 
.
, 
.
, 
.
.
.
: . Označimo sve točke na jediničnoj kružnici (slika 6):
, 
; 
, 
; 
, 
.
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
. Nizx
2
daje bodove 
. Serijax
3
dobivamo dva boda 
. Konačno, serijax
4
će predstavljati bodove 
. Nacrtajmo sve te točke na jediničnu kružnicu, naznačujući njenu množinu u zagradi pored svake od njih.
bit će jednaki. Napravimo procjenu na temelju znaka:
sa gredomOh,
izvan jediničnog kruga. (Imajte na umu da je pomoćna zrakaOKO
A
Uopće nije potrebno to prikazati na slici. TočkaA
bira se približno.)naša linija ide od jednog područja do drugog: ako je bila izvan jedinične kružnice, onda ide unutar nje. Približavanje točki 
, linija se vraća u unutarnje područje, budući da je višestrukost ove točke paran. Slično u točki 
(s parnim višestrukim) linija mora biti okrenuta prema vanjskoj regiji. Dakle, nacrtali smo određenu sliku prikazanu na sl. 7. Pomaže pri isticanju željenih područja na jediničnom krugu. Označeni su znakom “+”.
,
, ,
,
korištenje svojstava funkcije sinusa i kosinusa;
, Ako, Ako 
jednako: 
, ako:
,
b) 
,
V) 
, 
, 
, 
.
.
Koristeći znanja i vještine stečene u pripremnoj fazi, učenici će predloženu nejednadžbu unijeti u obrazac 
, ali može biti teško pronaći skup rješenja rezultirajuće nejednakosti, jer Nemoguće ga je riješiti samo korištenjem svojstava sinusne funkcije. Ova se poteškoća može izbjeći okretanjem odgovarajuće ilustracije (rješavanjem jednadžbe grafički ili korištenjem jedinične kružnice)..
i kroz nju povucite ravnu liniju paralelnu s osi x. Ova linija će presijecati jediničnu kružnicu u dvije točke. Svaka od ovih točaka predstavlja brojeve čiji je sinus jednak .
. Naravno, ovaj luk se nalazi iznad nacrtane ravne linije.
.
.
zadovoljavaju brojeve za koje je nejednakost istinita 
. Riješili smo nejednadžbu za brojeve koji se nalaze na istoj periodi funkcije sinusa. Stoga se sva rješenja nejednadžbe mogu napisati u obliku 
može se napisati u obliku 
, 
.
I 
, s obzirom na to 
.
i njegovu odluku 
, 
, 
, pronađeno pomoću formula 
, 
, 
.
su tri uzastopne apscise sjecišta grafova I . Očito, uvijek u intervalu 
nejednakost vrijedi 
, i na intervalu 
– nejednakost 
. Zanima nas prvi slučaj, a zatim dodajući krajevima ovog intervala broj koji je višekratnik perioda sinusa, dobivamo rješenje nejednadžbe kao: 
, .
, trebate izraditi odgovarajuću jednadžbu i riješiti je. Pronađite korijene iz dobivene formule 
I 
, a odgovor na nejednakost zapišite u obliku: , .
, zadovoljavajući uvjet 
;
, zadovoljavajući uvjet 
.
;
;
.
;
.
;
;
;
;
, GdjeP
(
x
)
IQ
(
x
)
– racionalne trigonometrijske funkcije (sinusi, kosinusi, tangensi i kotangensi su u njih uključeni racionalno), slično rješavanju racionalnih nejednadžbi. Racionalne nejednadžbe zgodno je rješavati metodom intervala na brojevnom pravcu. Njegov analog za rješavanje racionalnih trigonometrijskih nejednakosti je metoda sektora u trigonometrijskom krugu, tj.sinx
Icosx
(
) ili trigonometrijski polukrug zatgx
Ictgx
(
).
na brojevnoj osi odgovara točka 
, i kada prolazi kroz ovu točku mijenja predznak. U sektorskoj metodi, svaki faktor oblika 
, Gdje 
- jedna od funkcijasinx
ilicosx
I 
, u trigonometrijskom krugu odgovaraju dva kuta 
I 
, koji krug dijele na dva sektora. Prilikom prolaska I funkcija mijenja predznak.
I 
, Gdje 
, zadrži znak za sve vrijednosti 
. Takvi faktori brojnika i nazivnika odbacuju se promjenom (ako 
) sa svakim takvim odbijanjem, znak nejednakosti je obrnut.
I 
također se odbacuju. Štoviše, ako su to faktori nazivnika, tada se nejednakosti oblika dodaju ekvivalentnom sustavu nejednakosti 
I 
. Ako su to faktori brojnika, onda u ekvivalentnom sustavu ograničenja odgovaraju nejednadžbama I u slučaju stroge početne nejednakosti i jednakosti 
I 
u slučaju nestroge početne nejednakosti. Pri odbacivanju množitelja 
ili 
znak nejednakosti je obrnut.
, b) 
.
imamo funkciju b) . Riješite nejednakost koju imamo,
, 
.
-
Milano Metropolitan: karta, cijene ulaznica i korisni savjeti Koliko koštaju ulaznice?
-
Naučiti čitati Jeppesenove dijagrame - Vodič Instaliranje dodataka koji će značajno poboljšati grafiku i realističnost simulatora
-
Kada i u kojim slučajevima samostalni poduzetnik treba podnijeti nultu deklaraciju?
-
Što je epitet i kako ga pronaći?
