Koliki je zbir svih uglova paralelograma. Kako pronaći oštar ugao paralelograma

27.09.2019

KVADAGONI.

§43. PARALELOGRAM.

1. Definicija paralelograma.

Ako presiječemo par paralelnih pravih sa drugim parom paralelnih pravih, dobićemo četverougao čije su suprotne strane u parovima paralelne.

U četvorouglovima ABC i EFNM (sl. 224) VD || AC i AB || CD;
EF || MN i EM || FN.

Četvorougao čije su suprotne strane paralelne u parovima naziva se paralelogram.

2. Svojstva paralelograma.

Teorema. Dijagonala paralelograma dijeli ga na dva jednaka trougla.

Neka postoji paralelogram ABC (slika 225), u kojem je AB || CD i AC || VD.

Morate dokazati da ga dijagonala dijeli na dva jednaka trougla.

Nacrtajmo dijagonalu CB u paralelogramu ABC. Dokažimo to /\ CAB= /\ SDV.

Strana NE je zajednička ovim trouglovima; / ABC = / BCD, kao unutrašnji poprečni uglovi sa paralelnim AB i CD i sekantom CB; / DIA = / SVD, takođe kao unutrašnji poprečni uglovi sa paralelnim AC i VD i sekantom CB (§ 38).

Odavde /\ CAB = /\ SDV.

Na isti način se može dokazati da će dijagonala AD podijeliti paralelogram na dva jednaka trougla ACD i ABD.

Posljedice. 1 . Suprotni uglovi paralelograma su međusobno jednaki.

/ A = / D, ovo proizilazi iz jednakosti trouglova CAB i CDB.
Isto tako / C = / IN.

2. Nasuprot strane paralelograma su jednake jedna drugoj.

AB = CD i AC = BD, jer su to stranice jednakih trouglova i leže nasuprot jednakih uglova.

Teorema 2. Dijagonale paralelograma su podijeljene na pola u tački njihovog sjecišta.

Neka su BC i AD dijagonale paralelograma ABC (slika 226). Dokažimo da je AO = OD i CO = OB.

Da biste to učinili, usporedite neki par suprotnih trokuta, na primjer /\ AOB and /\ COD.

U ovim trouglovima AB = CD, kao suprotne strane paralelograma;
/ 1 = / 2, kao unutrašnji uglovi ležeći poprečno sa paralelom AB i CD i sekantom AD;
/ 3 = / 4 iz istog razloga, pošto AB || CD i CB su njihove sekante (§ 38).

Iz toga slijedi /\ AOB = /\ COD. I unutra jednakih trouglova Jednake stranice leže nasuprot jednakih uglova. Prema tome, AO = OD i CO = OB.

Teorema 3. Zbir uglova susednih jednoj strani paralelograma je jednak 2 d .

Dokažite sami.

3. Znakovi paralelograma.

Teorema. Ako su suprotne strane četverougla u paru jednake, onda je ovaj četverokut paralelogram.

Neka je u četverokutu ABC (nacrtano 227) AB = CD i AC = BD. Dokažimo da je pod ovim uslovom AB || CD i AC || VD, odnosno četvorougao AVDC je paralelogram.
Povežimo sa segmentom neka dva suprotna vrha ovog četvorougla, na primer C i B. Četvorougao ABCD je podeljen na dva jednaka trougla: /\ CAB and /\ SDV. U stvari, imaju istu stranu CB, AB = CD i AC = BD prema uslovu. Dakle, tri strane jednog trougla su, dakle, jednake trima stranicama drugog /\ CAB = /\ SDV.

U jednakim trouglovima, jednaki uglovi leže nasuprot jednakih stranica, dakle
/ 1 = / 2 i / 3 = / 4.

Uglovi 1 i 2 su unutrašnji uglovi koji poprečno leže u preseku pravih AB i CD prave CB. Stoga AB || CD.

Na isti način, uglovi 3 i 4 su unutrašnji uglovi koji poprečno leže u preseku pravih CA i BD prave CB, dakle, CA || VD (§ 35).

Dakle, suprotne strane četvorougla ABCD su paralelne u parovima, dakle, radi se o paralelogramu, što je i trebalo dokazati.

Teorema 2. Ako su dvije suprotne strane četverougla jednake i paralelne, onda je četverokut paralelogram.

Neka je AB = CD u četvorouglu ABCD i AB || CD. Dokažimo da je pod ovim uslovima četvorougao ABC paralelogram (slika 228).

Povežimo temene C i B sa segmentom CB. Zbog paralelizma pravih AB i CD, uglovi 1 i 2, kao unutrašnji uglovi koji leže poprečno, su jednaki (§ 38).
Tada je trokut CAB jednak trokutu CDB, jer imaju zajedničku stranicu CB,
AB = CD prema uslovima teoreme i / 1 = / 2 prema dokazanim. Jednakost ovih trouglova podrazumijeva jednakost uglova 3 i 4, jer leže nasuprot jednakih strana u jednakim trouglovima.

Ali uglovi 3 i 4 su unutrašnji poprečni uglovi formirani presekom pravih AC i BD prave CB, dakle, AC || VD (§ 35), tj. četvorougao
ABC je paralelogram.

Vježbe.

1. Dokažite da ako su dijagonale četvorougla u tački njihovog međusobnog preseka podeljene na pola, onda je ovaj četvorougao paralelogram.

2. Dokazati da je četverougao čiji zbir unutrašnji uglovi susedna svakoj od dve susedne strane jednaka je 2 d, postoji paralelogram.

3. Konstruirajte paralelogram koristeći dvije stranice i ugao između njih:

a) korištenjem paralelizma suprotnih strana paralelograma;
b) koristeći jednakost suprotnih strana paralelograma.

4. Konstruirajte paralelogram koristeći dvije susjedne stranice i dijagonalu.

5. Konstruirajte paralelogram koristeći njegove dvije dijagonale i ugao između njih.

6. Konstruirajte paralelogram koristeći njegovu stranu i dvije dijagonale.

Paralelogram je četvorougao čije su suprotne strane paralelne, tj. leže na paralelnim pravima

Svojstva paralelograma:
Teorema 22. Suprotne strane paralelograma su jednake.
Dokaz. U paralelogramu ABCD nacrtamo dijagonalu AC. Trouglovi ACD i ACB su podudarni, jer imaju zajedničku stranu AC i dva para jednakih uglova. uz njega: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (kao poprečni uglovi sa paralelnim pravima AD i BC). To znači da su AB = CD i BC = AD, kao odgovarajuće stranice jednakih trouglova, itd. Iz jednakosti ovih trokuta također slijedi da su odgovarajući uglovi trokuta jednaki:
Teorema 23. Nasuprotni uglovi paralelograma su jednaki: ∠ A=∠ C i ∠ B=∠ D.
Jednakost prvog para proizilazi iz jednakosti trouglova ABD i CBD, a drugog - ABC i ACD.
Teorema 24. Susedni uglovi paralelograma, tj. uglovi susedni jednoj strani iznose do 180 stepeni.
To je tako jer su unutrašnji jednostrani uglovi.
Teorema 25. Dijagonale paralelograma dijele jedna drugu popola u mjestu njihovog presjeka.
Dokaz. Razmotrimo trouglove BOC i AOD. Prema prvom svojstvu AD=BC ∠ OAD=∠ OCB i ∠ ODA=∠ OBC ležeći poprečno za paralelne prave AD i BC. Dakle, trouglovi BOC i AOD su jednaki po strani i susednim uglovima. To znači BO=OD i AO=OS, poput odgovarajućih stranica jednakih trouglova, itd.

Znakovi paralelograma
Teorema 26. Ako su suprotne strane četverougla jednake u parovima, onda je to paralelogram.
Dokaz. Neka četvorougao ABCD ima jednake stranice AD i BC, AB i CD (slika 2). Nacrtajmo dijagonalu AC. Trouglovi ABC i ACD su jednaki na tri strane. Tada su uglovi BAC i DCA jednaki i, prema tome, AB je paralelan sa CD. Paralelizam stranica BC i AD proizlazi iz jednakosti uglova CAD i ACB.
Teorema 27. Ako suprotnim uglovimačetvorouglovi su jednaki u paru, onda je to paralelogram.
Neka je ∠ A=∠ C i ∠ B=∠ D. Jer ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, zatim ∠ A+∠ B=180 o i stranice AD i BC su paralelne (na osnovu paralelizma pravih). Također ćemo dokazati paralelizam stranica AB i CD i zaključiti da je ABCD po definiciji paralelogram.
Teorema 28. Ako su susjedni uglovi četverougla, tj. Uglovi susedni jednoj strani iznose 180 stepeni, onda je to paralelogram.
Ako unutrašnji jednostrani uglovi iznose 180 stepeni, tada su ravne linije paralelne. Dakle, AB je paralelan sa CD-om, a BC paralelan sa AD. Ispada da je četverougao po definiciji paralelogram.
Teorema 29. Ako se dijagonale četverougla međusobno sijeku u tački sjecišta, onda je četverougao paralelogram.
Dokaz. Ako je AO = OC, BO = OD, onda su trouglovi AOD i BOC jednaki, jer imaju jednake (vertikalne) uglove u vrhu O, zatvoreni između parova jednakih stranica. Iz jednakosti trouglova zaključujemo da su AD i BC jednaki. Stranice AB i CD su također jednake, a četverougao se ispostavlja kao paralelogram prema kriteriju 1.
Teorema 30. Ako četverougao ima par jednakih, paralelnih stranica, onda je to paralelogram.
Neka su stranice AB i CD četverougla ABCD paralelne i jednake. Nacrtajmo dijagonale AC i BD. Iz paralelizma ovih pravih proizilazi da su poprečni uglovi ABO = CDO i BAO = OCD jednaki. Trouglovi ABO i CDO su jednaki po strani i susednim uglovima. Stoga AO=OS, VO=OD, tj. Dijagonale su podijeljene na pola presječnom točkom i četverougao se ispostavlja kao paralelogram prema kriteriju 4.

U geometriji se razmatraju posebni slučajevi paralelograma.

Paralelogram je četvorougao čije su suprotne strane paralelne, odnosno leže na paralelnim pravima (slika 1).

Teorema 1. O svojstvima stranica i uglova paralelograma. U paralelogramu su suprotne strane jednake, suprotni uglovi jednaki, a zbir uglova susednih jednoj strani paralelograma je 180°.

Dokaz. U ovom paralelogramu ABCD nacrtamo dijagonalu AC i dobijemo dva trougla ABC i ADC (slika 2).

Ovi trouglovi su jednaki, jer je ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (unakrsni uglovi za paralelne prave), a stranica AC je zajednička. Iz jednakosti Δ ABC = Δ ADC slijedi da je AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Zbir uglova susednih jednoj strani, na primjer uglova A i D, jednak je 180° kao jednostran za paralelne prave. Teorema je dokazana.

Komentar. Jednakost suprotnih strana paralelograma znači da su segmenti paralela odsječeni paralelogramima jednaki.

Posledica 1. Ako su dve prave paralelne, onda su sve tačke na jednoj pravoj na istoj udaljenosti od druge prave.

Dokaz. Zaista, neka || b (slika 3).

Nacrtajmo okomite BA i CD na pravu a iz neke dvije tačke B i C prave b. Od AB || CD, tada je figura ABCD paralelogram, i prema tome AB = CD.

Udaljenost između dvije paralelne prave je udaljenost od proizvoljne tačke na jednoj od pravih do druge prave.

Prema onome što je dokazano, jednaka je dužini okomice povučene iz neke tačke jedne od paralelnih pravih do druge prave.

Primjer 1. Opseg paralelograma je 122 cm, jedna od njegovih stranica je 25 cm veća od druge. Pronađite stranice paralelograma.

Rješenje. Prema teoremi 1, suprotne strane paralelograma su jednake. Označimo jednu stranu paralelograma sa x, a drugu sa y. Zatim, pod uslovom $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Rješavanjem ovog sistema dobijamo x = 43, y = 18 Dakle, stranice paralelograma su 18, 43, 18 i 43 cm.

Primjer 2.

Rješenje. Neka slika 4 ispunjava uslove zadatka.

Označimo AB sa x, a BC sa y. Prema uslovu, obim paralelograma je 10 cm, odnosno 2(x + y) = 10, odnosno x + y = 5. Obim trougla ABD je 8 cm. A kako je AB + AD = x + y = 5 onda BD = 8 - 5 = 3. Dakle BD = 3 cm.

Primjer 3. Pronađite uglove paralelograma, znajući da je jedan od njih za 50° veći od drugog.

Rješenje. Neka slika 5 ispunjava uslove zadatka.

Označimo stepensku mjeru ugla A sa x. Tada je stepen stepena ugla D x + 50°.

Uglovi BAD i ADC su jednostrani unutrašnji uglovi sa paralelnim linijama AB i DC i sekantom AD. Tada će zbir ovih imenovanih uglova biti 180°, tj.
x + x + 50° = 180°, ili x = 65°. Dakle, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Primjer 4. Stranice paralelograma su 4,5 dm i 1,2 dm. Iz vrha oštrog ugla povučena je simetrala. Na koje dijelove dijeli veću stranu paralelograma?

Rješenje. Neka slika 6 ispunjava uslove zadatka.

AE je simetrala oštrog ugla paralelograma. Dakle, ∠ 1 = ∠ 2.

Problem 1. Jedan od uglova paralelograma je 65°. Pronađite preostale uglove paralelograma.

∠C =∠A = 65° kao suprotni uglovi paralelograma.

∠A +∠B = 180° kao uglovi susedni jednoj strani paralelograma.

∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.

∠D =∠B = 115° kao suprotni uglovi paralelograma.

Odgovor: ∠A =∠C = 65°; ∠B =∠D = 115°.

Zadatak 2. Zbir dva ugla paralelograma je 220°. Pronađite uglove paralelograma.

Kako paralelogram ima 2 jednaka oštra ugla i 2 jednaka tupa ugla, dat nam je zbir dva tupa ugla, tj. ∠B +∠D = 220°. Tada je ∠B =∠D = 220° : 2 = 110°.

∠A + ∠B = 180° kao uglovi susedni jednoj strani paralelograma, tako da je ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. Tada je ∠C =∠A = 70°.

Odgovor: ∠A =∠C = 70°; ∠B =∠D = 110°.

Zadatak 3. Jedan od uglova paralelograma je 3 puta veći od drugog. Pronađite uglove paralelograma.

Neka je ∠A =x. Tada je ∠B = 3x. Znajući da je zbir uglova paralelograma uz jednu od njegovih stranica 180°, napravićemo jednačinu.

x = 180 : 4;

Dobijamo: ∠A = x = 45°, i ∠B = 3x = 3 ∙ 45° = 135°.

Suprotni uglovi paralelograma su jednaki, dakle,

∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Odgovor: ∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Zadatak 4. Dokažite da ako četverougao ima dvije paralelne i jednake stranice, onda je ovaj četverougao paralelogram.

Dokaz.

Nacrtajmo dijagonalu BD i razmotrimo Δ ADB i Δ CBD.

AD = BC po uslovu. BD strana je uobičajena. ∠1 = ∠2 kao unutrašnji poprečno ležeći sa paralelnim (po uslovu) pravima AD i BC i sekantom BD. Dakle, Δ ADB = Δ CBD na dvije strane i ugao između njih (1. znak jednakosti trokuta). U podudarnim trouglovima odgovarajući uglovi su jednaki, što znači ∠3 =∠4. A ti uglovi su unutrašnji uglovi koji leže poprečno sa pravim AB i CD i sekantom BD. To implicira da su prave AB i CD paralelne. Dakle, u ovom četvorouglu ABCD suprotne strane su paralelne u parovima, pa je po definiciji ABCD paralelogram, što je trebalo dokazati.

Zadatak 5. Dvije strane paralelograma su u omjeru 2 : 5, a obim je 3,5 m. Pronađite stranice paralelograma.

∙ (AB + AD).

Označimo jedan dio sa x. tada AB = 2x, AD = 5x metara. Znajući da je perimetar paralelograma 3,5 m, kreiramo jednačinu:

2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;

2 ∙ 7x = 3,5;

x = 3,5 : 14;

Jedan dio je 0,25 m. Tada je AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 m; AD = 5 ∙ 0,25 = 1,25 m.

Ispitivanje.

Perimetar paralelograma P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (m).

Pošto su suprotne strane paralelograma jednake, onda je CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.

Odgovor: CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.

Paralelogram je četverougao kod kojeg su suprotne strane paralelne u parovima.

Paralelogram ima sva svojstva četvorougla, ali pored toga ima i svoja karakteristične karakteristike. Poznavajući ih, lako možemo pronaći i stranice i uglove paralelograma.

Svojstva paralelograma

Zbir uglova u bilo kojem paralelogramu, kao iu svakom četverokutu, je 360°.
Središnje linije paralelograma i njegove dijagonale seku se u jednoj tački i njome se dijele na pola. Ova tačka se obično naziva središtem simetrije paralelograma.
Suprotne strane paralelograma su uvijek jednake.
Također, ova figura uvijek ima jednake suprotne uglove.
Zbir uglova koji su susedni bilo kojoj strani paralelograma je uvek 180°.
Zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak je dvostrukom zbiru kvadrata njegove dvije susjedne strane. To se izražava formulom:
- d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), gdje su d 1 i d 2 dijagonale, a i b su susjedne stranice.
Kosinus tupog ugla je uvek manji od nule.

Kako pronaći uglove datog paralelograma koristeći ova svojstva u praksi? A koje nam druge formule mogu pomoći u tome? Pogledajmo konkretne zadatke koji zahtijevaju: pronaći uglove paralelograma.

Pronalaženje uglova paralelograma

Slučaj 1. Mjera tupog ugla je poznata, potrebno je pronaći oštar ugao.

Primjer: U paralelogramu ABCD, ugao A je 120°. Pronađite mjeru preostalih uglova.

Rješenje: Koristeći svojstvo br. 5, možemo pronaći mjeru ugla B pored ugla datog u zadatku. Biće jednako:

180°-120°= 60°

I sada, koristeći svojstvo br. 4, utvrđujemo da su dva preostala ugla C i D suprotna uglovima koje smo već pronašli. Ugao C je suprotan uglu A, ugao D je suprotan uglu B. Dakle, oni su jednaki u parovima.