Третият признак на паралелни две преки доказателства. Права

§ 1. Признаци за успоредност на две прави - Геометрия 7 клас (Атанасян Л. С.)

Кратко описание:

Ще научите какво представляват успоредните прави в този параграф. Ще получите просто определение, но в същото време малко необичайно - две прави в равнина се наричат ​​успоредни, ако не се пресичат. С други думи, ако две прави не се пресичат, те ще бъдат успоредни. Или, ако линиите нямат пресечни точки, тогава те са успоредни.
Необичайността на това определение се състои в това, че ако пред вас има две прави линии и не виждате тяхната пресечна точка, това изобщо не означава, че тя не съществува. Това означава, че може просто да не го видите.
Следователно тази дефиниция не може да се използва директно за доказване, че две прави са успоредни. В крайна сметка не можете безкрайно да следвате продължението на линиите, за да сте сигурни, че те не се пресичат.
Но това не е необходимо. Има признаци, по които може да се прецени паралелността на линиите. Те са три. В съответствие с всеки от тях се разглеждат специални ъгли или техните комбинации, които се образуват, когато тези две изследвани линии се пресичат с трета права линия - секанс. Тези ъгли се използват за преценка на паралелността на правите линии.
Доказателствата за тези признаци - теореми за успоредността на правите - се основават на теоремата, която вече разгледахте в глава 1 от учебника - две прави, перпендикулярни на трета, не се пресичат. Само че сега тази теорема изглежда различно - две прави, перпендикулярни на третата, са успоредни.

Цели на урока: В този урок ще се запознаете с понятието „успоредни прави“, ще научите как можете да проверите успоредността на правите, както и какви свойства имат ъглите, образувани от успоредни прави и напречна.

Паралелни линии

Знаете, че понятието „права линия“ е едно от така наречените неопределими понятия на геометрията.

Вече знаете, че две прави могат да съвпадат, тоест да имат всички общи точки, или да се пресичат, тоест да имат една обща точка. Правите линии се пресичат под различни ъгли, като ъгълът между правите се счита за най-малкият от образуваните от тях ъгли. Специален случай на пресичане може да се счита за случай на перпендикулярност, когато ъгълът, образуван от прави линии, е равен на 90 0.

Но две прави линии може да нямат общи точки, тоест да не се пресичат. Такива линии се наричат паралелен.

Работа с електронен образователен ресурс « ».

За да се запознаете с понятието „успоредни прави“, работете с материалите на видео урока

Така вече знаете определението за успоредни прави.

От материалите на фрагмента от видео урока, за който научихте различни видовеъгли, които се образуват, когато две прави линии се пресичат с трета.

Двойки ъгли 1 и 4; 3 и 2 се наричат вътрешни едностранни ъгли(те се намират между прави линии аИ b).

Двойки ъгли 5 и 8; 7 и 6 се наричат външни едностранни ъгли(те се намират извън линиите аИ b).

Двойки ъгли 1 и 8; 3 и 6; 5 и 4; 7 и 2 се наричат ​​едностранни ъгли под прав ъгъл аИ bи секанс ° С. Както можете да видите, от двойка съответстващи ъгли, един се намира между правия ъгъл аИ b, а другият е извън тях.

Признаци на успоредни прави

Очевидно е, че с помощта на определението е невъзможно да се заключи, че две прави са успоредни. Следователно, за да заключите, че две прави са успоредни, използвайте знаци.

Вече можете да формулирате един от тях, след като се запознаете с материалите от първата част на видео урока:

Теорема 1. Две прави, перпендикулярни на третата, не се пресичат, тоест те са успоредни.

С други признаци за успоредност на прави, основани на равенство на определени двойки ъгли, ще се запознаете, като работите с материалите от втората част на видео урока„Знаци на успоредни прави“.

По този начин трябва да знаете още три знака за успоредни прави.

Теорема 2 (първият знак за успоредни прави). Ако при напречно пресичане на две прави ъглите са равни, тогава линиите са успоредни.

Повторете още веднъж първия признак на успоредни прави, като работите с електронния образователен ресурс « ».

Така при доказване на първия признак за успоредност на прави се използва знакът за равенство на триъгълниците (от двете страни и ъгъла между тях), както и знакът за успоредност на правите като перпендикулярни на една права линия.

Упражнение 1.

Запишете формулировката на първия признак на успоредни прави и доказателството му в тетрадките си.

Теорема 3 (втори знак на успоредни прави). Ако, когато две прави се пресичат с напречна, съответните ъгли са равни, тогава правите са успоредни.

Повторете още веднъж втория знак за успоредни прави, като работите с електронния образователен ресурс « ».

При доказване на втория признак за успоредност на правите се използва свойството на вертикалните ъгли и първия признак за успоредност на правите.

Задача 2.

Запишете в тетрадките формулировката на втория критерий за успоредност на правите и неговото доказателство.

Теорема 4 (трети знак на успоредни прави). Ако, когато две прави се пресичат с напречна, сумата от едностранните ъгли е равна на 180 0, тогава правите са успоредни.

Повторете третия знак за успоредни прави още веднъж, като работите с електронния образователен ресурс « ».

Така при доказване на първия признак за успоредност на правите се използва свойството на съседните ъгли и първия признак за успоредност на правите.

Задача 3.

Запишете формулировката на третия критерий за успоредни прави и доказателството му в тетрадките си.

За да практикувате решаването на прости задачи, работете с материалите на електронния образователен ресурс « ».

Признаците за успоредност на правите се използват при решаване на задачи.

Сега разгледайте примери за решаване на задачи върху признаците на успоредни прави, работейки с материалите на видео урока„Решаване на задачи по темата „Знаци на успоредни прави“.

Сега тествайте себе си, като изпълните задачите на контролния електронен образователен ресурс « ».

Всеки, който иска да работи върху решаването на по-сложни задачи, може да работи с видеоурочните материали „Задачи върху знаците за успоредност на линиите.“

Свойства на успоредните прави

Паралелните прави имат набор от свойства.

Какви са тези свойства ще научите, като работите с материалите на видеоуроците „Свойства на успоредните прави“.

По този начин, важен фактТова, което трябва да знаете, е аксиомата за едновременност.

Аксиома на паралелизма. През точка, която не лежи на дадена права, е възможно да се начертае права, успоредна на дадената, и освен това само една.

Както научихте от видео урока, въз основа на тази аксиома могат да се формулират две следствия.

Следствие 1.Ако една права пресича една от успоредните прави, тогава тя пресича и другата успоредна права.

Следствие 2.Ако две прави са успоредни на трета, тогава те са успоредни една на друга.

Задача 4.

Запишете формулировката на посочените следствия и техните доказателства в тетрадките си.

Свойствата на ъглите, образувани от успоредни прави и напречна са теореми, които са обратни на съответните свойства.

И така, от материалите на видео урока научихте свойството на напречните ъгли.

Теорема 5 (теорема, обратна на първия критерий за успоредни прави). Когато две успоредни прави се пресичат напречно, съответните ъгли са равни.

Задача 5.

Повторете още веднъж първото свойство на успоредните прави, като работите с електронния образователен ресурс « ».

Теорема 6 (теорема, обратна на втория критерий за успоредността на правите). Когато две успоредни прави се пресичат, съответните ъгли са равни.

Задача 6.

Запишете твърдението на тази теорема и нейното доказателство в тетрадките си.

Повторете още веднъж второто свойство на успоредните прави, като работите с електронния образователен ресурс « ».

Теорема 7 (теорема, обратна на третазнак за успоредност на линиите). Когато две успоредни прави се пресичат, сумата от едностранните ъгли е 180 0.

Задача 7.

Запишете твърдението на тази теорема и нейното доказателство в тетрадките си.

Повторете още веднъж третото свойство на успоредните прави, като работите с електронния образователен ресурс « ».

Всички свойства на успоредните прави се използват и при решаване на задачи.

Разгледайте типични примери за решаване на проблеми, като работите с материалите на видеоуроците „Успоредни прави и задачи за ъглите между тях и напречната.“

В равнина правите се наричат ​​успоредни, ако нямат общи точки, тоест не се пресичат. За да посочите паралелизъм, използвайте специална икона || (успоредни прави a || b).

За правите, лежащи в пространството, изискването да няма общи точки не е достатъчно - за да са успоредни в пространството, те трябва да принадлежат на една и съща равнина (в противен случай ще се пресичат).

Не е нужно да отивате далеч за примери за успоредни линии; те ни придружават навсякъде, в стая - това са линиите на пресичане на стената с тавана и пода, на лист от тетрадка - противоположни ръбове и т.н.

Съвсем очевидно е, че имайки две успоредни прави и трета права, успоредна на една от първите две, тя също ще бъде успоредна на втората.

Паралелните прави в равнина са свързани с твърдение, което не може да бъде доказано с помощта на аксиомите на планиметрията. Приема се като факт, като аксиома: за всяка точка от равнината, която не лежи на права, има единствена права, която минава през нея, успоредна на дадената. Всеки шестокласник знае тази аксиома.

Неговото пространствено обобщение, т.е. твърдението, че за всяка точка от пространството, която не лежи на права, има единствена права, която минава през нея, успоредна на дадената, се доказва лесно с помощта на вече известната аксиома за паралелизъм на самолет.

Свойства на успоредните прави

• Ако някоя от две успоредни прави е успоредна на третата, то те са взаимно успоредни.

Това свойство имат успоредните прави както в равнината, така и в пространството.
Като пример, помислете за неговата обосновка в стереометрията.

Да приемем, че правата b и правата a са успоредни.

Случаят, когато всички прави линии лежат в една и съща равнина, ще бъде оставен на планиметрията.

Да предположим, че a и b принадлежат на бета равнината, а гама е равнината, към която принадлежат a и c (по дефиницията на паралелизъм в пространството, правите трябва да принадлежат на една и съща равнина).

Ако приемем, че бета и гама равнините са различни и маркираме определена точка B на линия b от бета равнината, тогава равнината, начертана през точка B и права c, трябва да пресича бета равнината по права линия (нека я обозначим с b1) .

Ако получената права b1 пресича гама-равнината, тогава, от една страна, пресечната точка ще трябва да лежи на a, тъй като b1 принадлежи на бета-равнината, а от друга страна, тя също трябва да принадлежи на c, тъй като b1 принадлежи към третата равнина.
Но успоредните прави a и c не трябва да се пресичат.

По този начин правата b1 трябва да принадлежи на равнината на бета и в същото време да няма общи точки с a, следователно, съгласно аксиомата за паралелизъм, тя съвпада с b.
Получихме права b1, съвпадаща с права b, която принадлежи на една и съща равнина с права c и не я пресича, тоест b и c са успоредни

• През точка, която не лежи на дадена права, може да минава само една права, успоредна на дадената права.

• Две прави, лежащи в равнина, перпендикулярна на третата, са успоредни.

• Ако равнината пресича една от двете успоредни прави, втората права също пресича същата равнина.

• Съпоставяне и кръстосано лежане вътрешни ъгли, образувани от пресичането на две успоредни прави на третата, са равни, сумата от образуваните вътрешни едностранни е равна на 180°.

Верни са и обратните твърдения, които могат да се приемат за признаци на успоредност на две прави.

Условие за успоредни прави

Свойствата и характеристиките, формулирани по-горе, представляват условията за паралелност на линиите и могат да бъдат доказани с помощта на методите на геометрията. С други думи, за да се докаже успоредността на две съществуващи прави, е достатъчно да се докаже успоредността им на трета права или равенството на ъглите, били те съответстващи или напречни и т.н.

За доказателство те използват главно метода „от противно“, тоест с предположението, че линиите не са успоредни. Въз основа на това предположение може лесно да се покаже, че в този случай посочените условия са нарушени, например вътрешните ъгли, разположени един срещу друг, се оказват неравни, което доказва неправилността на направеното предположение.

Видео урокът “Признаци за успоредност на две прави” съдържа доказателство на теореми, които описват признаците, които показват успоредността на прави. В същото време видеото описва 1) теоремата за успоредността на прави, в които равни ъгли са образувани от напречна, 2) знак, който означава успоредност на две прави - при равни образувани съответни ъгли, 3) знак това означава успоредността на две прави в случай, че при пресичането им със секуща сумата на едностранните ъгли е 180°. Целта на този видео урок е да запознае учениците със знаците, които означават успоредността на две прави, познаването на които е необходимо за решаването на много практически задачи, да представи ясно доказателството на тези теореми и да развие умения за доказване на геометрични твърдения.

Предимствата на видео урока са свързани с това, че с помощта на анимация, гласов съпровод и възможността за подчертаване с цвят предоставя висока степеняснота, може да служи като заместител за доставка на стандартен блок на нов учебен материалучител.

Видео урокът започва със заглавието, показано на екрана. Преди да опишат знаците на успоредните прави, учениците се запознават с понятието секуща. Секантът се дефинира като права, която пресича други прави. Екранът показва две прави a и b, които се пресичат с права c. Построената права c е маркирана в синьо, което подчертава факта, че тя е секуща на дадените прави a и b. За да се разгледат признаците на паралелност на линиите, е необходимо да се запознаете по-добре с зоната на пресичане на линиите. Секансът в точките на пресичане с правите образува 8 ъгъла ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, чрез анализиране на връзките на които е възможно да се изведат признаци на успоредността на тези линии. Отбелязва се, че ъглите ∠3 и ∠5, както и ∠2 и ∠4 се наричат ​​напречни. дадени подробно обяснениеизползване на анимация на напречно подреждане на лежащи ъгли като ъгли, които лежат между успоредни прави линии и прилежащи прави линии, лежащи на кръст. След това се въвежда понятието едностранни ъгли, които включват двойките ∠4 и ∠5, както и ∠3 и ∠6. Посочени са и двойки съответни ъгли, от които в построеното изображение има 4 двойки - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.

Следващата част от видео урока разглежда три признака за успоредност на всеки две прави. Първото описание се появява на екрана. Теоремата гласи, че ако напречните ъгли, образувани от напречната, са равни, дадените прави ще бъдат успоредни. Твърдението е придружено от чертеж, показващ две прави a и b и секуща AB. Отбелязва се, че ъглите ∠1 и ∠2, образувани напречно, са равни един на друг. Това твърдение изисква доказателство.

Най-лесно доказуемо специален случай- когато дадените напречни ъгли са прави. Това означава, че секансът е перпендикулярен на правите и според вече доказаната теорема, в този случай правите a и b няма да се пресичат, тоест те са успоредни. Доказателството за този конкретен случай е описано с помощта на примера на изображение, изградено до първата фигура, подчертавайки важни детайли от доказателството с помощта на анимация.

За да се докаже това в общия случай, е необходимо да се начертае допълнителен перпендикуляр от средата на отсечката AB към права линия a. След това сегмент BH 1, равен на сегмент AN, се поставя на права линия b. От получената точка H 1 се изчертава сегмент, свързващ точки O и H 1. След това разглеждаме два триъгълника ΔОНА и ΔОВН 1, чието равенство се доказва от първия критерий за равенство на два триъгълника. Страните OA и OB са равни по конструкция, тъй като точка O е отбелязана като среда на отсечката AB. Страните HA и H 1 B също са равни по конструкция, тъй като отделихме сегмент H 1 B, равен на HA. А ъглите са ∠1=∠2 според условията на задачата. Тъй като образуваните триъгълници са равни един на друг, съответните останали двойки ъгли и страни също са равни помежду си. От това следва, че сегментът OH 1 е продължение на сегмента OH, съставляващ един сегмент HH 1. Отбелязва се, че тъй като конструираният сегмент OH е перпендикулярен на права линия a, тогава съответно сегмент HH 1 е перпендикулярен на прави линии a и b. Този фактозначава, използвайки теоремата за успоредността на прави, към които е построен един перпендикуляр, че дадените прави a и b са успоредни.

Следващата теорема, която изисква доказателство, е знакът за равенството на успоредните прави чрез равенството на съответните ъгли, образувани при пресичане на напречна. Твърдението на тази теорема се показва на екрана и може да бъде предложено от учениците за запис. Доказателството започва с построяването на екрана на две успоредни прави a и b, към които се построява секущата c. Маркирано в синьо на снимката. Секансът образува съответните ъгли ∠1 и ∠2, които по условие са равни един на друг. Отбелязани са и съседните ъгли ∠3 и ∠4. ∠2 по отношение на ъгъл ∠3 е вертикален ъгъл. А вертикалните ъгли винаги са равни. Освен това ъглите ∠1 и ∠3 са напречно разположени един на друг - тяхното равенство (според вече доказаното твърдение) означава, че правите a и b са успоредни. Теоремата е доказана.

Последната част от видео урока е посветена на доказване на твърдението, че ако сумата от едностранните ъгли, които се образуват при пресичането на две прави с напречна права, е равна на 180°, то в този случай тези прави ще бъдат успоредни една на друга. Доказателството е демонстрирано с помощта на фигура, показваща прави a и b, пресичащи секанс c. Ъглите, образувани от пресичането, се отбелязват подобно на предишното доказателство. По условие сумата от ъглите ∠1 и ∠4 е равна на 180°. Освен това е известно, че сумата от ъглите ∠3 и ∠4 е равна на 180°, тъй като те са съседни. Това означава, че ъглите ∠1 и ∠3 са равни един на друг. Това заключение дава право да се твърди, че правите a и b са успоредни. Теоремата е доказана.

Видео урокът „Признаци за успоредност на две прави“ може да се използва от учителя като самостоятелен блок, демонстриращ доказателствата на тези теореми, замествайки обяснението на учителя или го придружавайки. Подробното обяснение дава възможност на студентите да използват материала за самостоятелно обучение и ще помогне при обяснението на материала по време на дистанционно обучение.