Paraan ng vector matrix. Paglutas ng mga matrice
Sa unang bahagi, tiningnan namin ang ilang teoretikal na materyal, ang paraan ng pagpapalit, pati na rin ang paraan ng termino-by-term na pagdaragdag ng mga equation ng system. Inirerekomenda ko ang lahat na nag-access sa site sa pamamagitan ng pahinang ito na basahin ang unang bahagi. Marahil ay mahahanap ng ilang bisita na masyadong simple ang materyal, ngunit habang nilulutas natin ang mga system linear na equation Gumawa ako ng ilang napakahalagang komento at konklusyon tungkol sa solusyon ng mga problema sa matematika sa pangkalahatan.
Ngayon ay susuriin natin ang panuntunan ng Cramer, pati na rin ang paglutas ng isang sistema ng mga linear na equation gamit ang isang inverse matrix (matrix method). Ang lahat ng mga materyales ay ipinakita nang simple, detalyado at malinaw; halos lahat ng mga mambabasa ay matututo kung paano lutasin ang mga system gamit ang mga pamamaraan sa itaas.
Una, titingnan natin ang panuntunan ng Cramer para sa isang sistema ng dalawang linear na equation sa dalawang hindi alam. Para saan? – Pagkatapos ng lahat, ang pinakasimpleng sistema ay maaaring malutas pamamaraan ng paaralan, sa pamamagitan ng term-by-term na paraan ng pagdaragdag!
Ang katotohanan ay, kahit na kung minsan, ang ganitong gawain ay nangyayari - upang malutas ang isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam gamit ang mga formula ng Cramer. Pangalawa, ang isang mas simpleng halimbawa ay makakatulong sa iyong maunawaan kung paano gamitin ang panuntunan ng Cramer sa higit pa kumplikadong kaso– mga sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam.
Bilang karagdagan, mayroong mga sistema ng mga linear na equation na may dalawang variable, na ipinapayong lutasin gamit ang panuntunan ng Cramer!
Isaalang-alang ang sistema ng mga equation
Sa unang hakbang, kinakalkula namin ang determinant, ito ay tinatawag pangunahing determinant ng system.
Pamamaraan ng Gauss.
Kung , kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon, at upang mahanap ang mga ugat dapat nating kalkulahin ang dalawa pang determinant:
At
Sa pagsasagawa, ang mga qualifier sa itaas ay maaari ding tukuyin ng isang Latin na titik.
Nahanap namin ang mga ugat ng equation gamit ang mga formula:
,
Halimbawa 7
Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation 
Solusyon: Nakikita namin na ang mga coefficient ng equation ay medyo malaki, sa kanang bahagi ay mayroong mga decimal na may kuwit. Ang kuwit ay isang bihirang panauhin sa mga praktikal na gawain sa matematika; Kinuha ko ang sistemang ito mula sa isang problemang pang-ekonomiya.
Paano malutas ang ganitong sistema? Maaari mong subukang ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa, ngunit sa kasong ito ay malamang na mapupunta ka sa mga kakila-kilabot na magarbong mga praksyon na lubhang hindi maginhawa upang gumana, at ang disenyo ng solusyon ay magmumukhang kakila-kilabot. Maaari mong i-multiply ang pangalawang equation sa 6 at ibawas ang termino sa pamamagitan ng term, ngunit ang parehong mga fraction ay lilitaw din dito.
Anong gagawin? Sa ganitong mga kaso, ang mga formula ng Cramer ay dumating upang iligtas.
;
;
Sagot: ,
Ang parehong mga ugat ay may walang katapusang mga buntot at matatagpuan nang humigit-kumulang, na medyo katanggap-tanggap (at maging karaniwan) para sa mga problema sa ekonometrika.
Ang mga komento ay hindi kailangan dito, dahil ang gawain ay nalutas gamit ang mga yari na formula, gayunpaman, mayroong isang caveat. Kailan gagamitin ang pamamaraang ito, sapilitan Ang isang fragment ng disenyo ng gawain ay ang sumusunod na fragment: "Ito ay nangangahulugan na ang sistema ay may natatanging solusyon". Kung hindi, maaaring parusahan ka ng tagasuri dahil sa hindi paggalang sa teorama ni Cramer.
Hindi magiging kalabisan ang pagsuri, na madaling gawin sa isang calculator: pinapalitan namin ang tinatayang mga halaga sa kaliwang bahagi bawat equation ng system. Bilang resulta, na may maliit na error, dapat kang makakuha ng mga numero na nasa kanang bahagi.
Halimbawa 8
Ilahad ang sagot sa karaniwan mga hindi wastong fraction. Gumawa ng check.
Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili (isang halimbawa ng huling disenyo at ang sagot sa dulo ng aralin).
Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang panuntunan ni Cramer para sa isang sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam: 
Natagpuan namin ang pangunahing determinant ng system: 
Kung , kung gayon ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi pare-pareho (walang mga solusyon). Sa kasong ito, hindi makakatulong ang panuntunan ng Cramer; kailangan mong gamitin ang Gauss method.
Kung , kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon at upang mahanap ang mga ugat dapat nating kalkulahin ang tatlo pang determinant: 
, 
, 
At sa wakas, ang sagot ay kinakalkula gamit ang mga formula: 
Gaya ng nakikita mo, ang kaso na "tatlo sa tatlo" ay sa panimula ay hindi naiiba sa kaso na "dalawa sa dalawa"; ang hanay ng mga libreng termino ay sunud-sunod na "lumalakad" mula kaliwa hanggang kanan kasama ang mga hanay ng pangunahing determinant.
Halimbawa 9
Lutasin ang system gamit ang mga formula ng Cramer. 
Solusyon: Lutasin natin ang system gamit ang mga formula ng Cramer. 
, na nangangahulugan na ang system ay may natatanging solusyon.
Sagot: 
.
Sa totoo lang, dito muli walang espesyal na magkomento sa, dahil sa ang katunayan na ang solusyon ay sumusunod sa mga handa na pormula. Ngunit mayroong ilang mga komento.
Ito ay nangyayari na bilang isang resulta ng mga kalkulasyon, ang "masamang" hindi mababawasan na mga praksyon ay nakuha, halimbawa: .
Inirerekomenda ko ang sumusunod na algorithm ng "paggamot". Kung wala kang computer sa kamay, gawin ito:
1) Maaaring may error sa mga kalkulasyon. Sa sandaling makatagpo ka ng isang "masamang" fraction, kailangan mong suriin kaagad Ang kundisyon ba ay muling isinulat nang tama?. Kung ang kundisyon ay muling isinulat nang walang mga error, pagkatapos ay kailangan mong muling kalkulahin ang mga determinant gamit ang pagpapalawak sa isa pang hilera (column).
2) Kung walang natukoy na mga error bilang resulta ng pagsusuri, malamang na nagkaroon ng typo sa mga kondisyon ng gawain. Sa kasong ito, mahinahon at MABUTI na gawin ang gawain hanggang sa wakas, at pagkatapos siguraduhing suriin at iginuhit namin ito sa isang malinis na sheet pagkatapos ng desisyon. Siyempre, ang pagsuri sa isang fractional na sagot ay isang hindi kasiya-siyang gawain, ngunit ito ay isang disarming argument para sa guro, na talagang gustong magbigay ng minus para sa anumang kalokohan tulad ng . Ang paraan ng paghawak ng mga fraction ay inilarawan nang detalyado sa sagot sa Halimbawa 8.
Kung mayroon kang isang computer, pagkatapos ay gumamit ng isang awtomatikong programa upang suriin, na maaaring ma-download nang libre sa pinakadulo simula ng aralin. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay pinaka kumikita na gamitin ang programa kaagad (kahit na bago simulan ang solusyon); makikita mo kaagad ang intermediate na hakbang kung saan ka nagkamali! Awtomatikong kinakalkula ng parehong calculator ang solusyon sa system pamamaraan ng matrix.
Pangalawang pangungusap. Paminsan-minsan mayroong mga sistema sa mga equation kung saan nawawala ang ilang mga variable, halimbawa: 
Dito sa unang equation walang variable , sa pangalawa walang variable . Sa ganitong mga kaso, napakahalaga na isulat nang tama at MABUTI ang pangunahing determinant: 
– inilalagay ang mga zero sa lugar ng mga nawawalang variable.
Sa pamamagitan ng paraan, makatuwiran na buksan ang mga determinant na may mga zero ayon sa hilera (haligi) kung saan matatagpuan ang zero, dahil may kapansin-pansing mas kaunting mga kalkulasyon.
Halimbawa 10
Lutasin ang system gamit ang mga formula ng Cramer. 
Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon (isang sample ng huling disenyo at ang sagot sa dulo ng aralin).
Para sa kaso ng isang sistema ng 4 na equation na may 4 na hindi alam, ang mga formula ng Cramer ay isinulat ayon sa magkatulad na mga prinsipyo. Makakakita ka ng live na halimbawa sa aralin na Properties of Determinants. Pagbabawas ng pagkakasunud-sunod ng determinant - limang 4th order determinants ay medyo nalulusaw. Bagaman ang gawain ay lubos na nakapagpapaalaala sa sapatos ng isang propesor sa dibdib ng isang masuwerteng estudyante.
Paglutas ng system gamit ang isang inverse matrix
Ang inverse matrix method ay mahalagang espesyal na kaso equation ng matrix(Tingnan ang Halimbawa Blg. 3 ng tinukoy na aralin).
Upang pag-aralan ang seksyong ito, kailangan mong palawakin ang mga determinant, hanapin ang kabaligtaran ng isang matrix, at gawin ang pagpaparami ng matrix. Ibibigay ang mga nauugnay na link habang umuusad ang mga paliwanag.
Halimbawa 11
Lutasin ang system gamit ang matrix method 
Solusyon: Isulat natin ang system sa matrix form:
, Saan 
Mangyaring tingnan ang sistema ng mga equation at matrice. Sa tingin ko naiintindihan ng lahat ang prinsipyo kung saan isinusulat namin ang mga elemento sa mga matrice. Ang tanging komento: kung ang ilang mga variable ay nawawala mula sa mga equation, ang mga zero ay kailangang ilagay sa mga kaukulang lugar sa matrix.
Nahanap namin ang inverse matrix gamit ang formula:
, nasaan ang transposed matrix ng algebraic complements ng mga kaukulang elemento ng matrix.
Una, tingnan natin ang determinant:
Dito pinalawak ang determinant sa unang linya.
Pansin! Kung , kung gayon ang kabaligtaran na matrix ay hindi umiiral, at imposibleng malutas ang sistema gamit ang paraan ng matrix. Sa kasong ito, ang sistema ay malulutas sa pamamagitan ng paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam (Gauss method).
Ngayon kailangan nating kalkulahin ang 9 na menor de edad at isulat ang mga ito sa menor de edad matrix 
Sanggunian: Kapaki-pakinabang na malaman ang kahulugan ng double subscripts sa linear algebra. Ang unang digit ay ang bilang ng linya kung saan ang elementong ito. Ang pangalawang digit ay ang bilang ng column kung saan matatagpuan ang elemento: 
Ibig sabihin, ang double subscript ay nagpapahiwatig na ang elemento ay nasa unang row, ikatlong column, at, halimbawa, ang elemento ay nasa 3 row, 2 column.
Ito ay isang konsepto na nagbubuod ng lahat mga posibleng operasyon, ginawa gamit ang mga matrice. Mathematical matrix - talahanayan ng mga elemento. Tungkol sa isang table kung saan m mga linya at n column, ang matrix na ito ay sinasabing may sukat m sa n.
Pangkalahatang view ng matrix:
Para sa mga solusyon sa matrix kinakailangang maunawaan kung ano ang isang matrix at alamin ang mga pangunahing parameter nito. Mga pangunahing elemento ng matrix:
- Ang pangunahing dayagonal, na binubuo ng mga elemento isang 11, isang 22…..a mn.
- Side diagonal na binubuo ng mga elemento isang 1n , isang 2n-1 .....a m1.
Mga pangunahing uri ng matrice:
- Ang parisukat ay isang matrix kung saan ang bilang ng mga hilera = ang bilang ng mga hanay ( m=n).
- Zero - kung saan ang lahat ng elemento ng matrix = 0.
- Transposed matrix - matrix SA, na nakuha mula sa orihinal na matrix A sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga row ng mga column.
- Pagkakaisa - lahat ng elemento ng pangunahing dayagonal = 1, lahat ng iba pa = 0.
- Ang inverse matrix ay isang matrix na, kapag pinarami ng orihinal na matrix, ay nagreresulta sa isang identity matrix.
Ang matrix ay maaaring simetriko na may paggalang sa pangunahing at pangalawang diagonal. Ibig sabihin, kung a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. isang m-1n = isang mn-1, kung gayon ang matrix ay simetriko tungkol sa pangunahing dayagonal. Ang mga square matrice lamang ang maaaring simetriko.
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga matrice.
Halos lahat ng mga pamamaraan ng paglutas ng matrix binubuo sa paghahanap ng determinant nito n-ika-utos at karamihan sa kanila ay medyo mahirap. Upang mahanap ang determinant ng ika-2 at ika-3 na pagkakasunud-sunod, mayroong iba pang mas makatwirang pamamaraan.
Paghahanap ng 2nd order determinants.
Upang kalkulahin ang determinant ng isang matrix A 2nd order, kinakailangan upang ibawas ang produkto ng mga elemento ng pangalawang dayagonal mula sa produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal:
Mga pamamaraan para sa paghahanap ng 3rd order determinants.
Nasa ibaba ang mga panuntunan para sa paghahanap ng determinant ng 3rd order.
Pinasimpleng tuntunin ng tatsulok bilang isa sa mga pamamaraan ng paglutas ng matrix, ay maaaring ilarawan sa ganitong paraan:
Sa madaling salita, ang produkto ng mga elemento sa unang determinant na konektado sa pamamagitan ng mga tuwid na linya ay kinuha gamit ang isang "+" na tanda; Gayundin, para sa 2nd determinant, ang mga kaukulang produkto ay kinuha gamit ang "-" sign, iyon ay, ayon sa sumusunod na pamamaraan:
Sa paglutas ng mga matrice gamit ang panuntunan ni Sarrus, sa kanan ng determinant, idagdag ang unang 2 column at ang mga produkto ng kaukulang elemento sa pangunahing dayagonal at sa mga diagonal na kahanay nito ay kinukuha gamit ang isang "+" sign; at ang mga produkto ng kaukulang elemento ng pangalawang dayagonal at ang mga diagonal na kahanay nito, na may tanda na "-":
Nabubulok ang determinant sa isang row o column kapag nilulutas ang mga matrice.
Determinant katumbas ng kabuuan mga produkto ng mga elemento ng determinant string sa pamamagitan ng kanilang algebraic complements. Karaniwan ang row/column na naglalaman ng mga zero ay pinipili. Ang row o column kung saan isinasagawa ang agnas ay ipahiwatig ng isang arrow.
Pagbabawas ng determinant sa triangular form kapag nilulutas ang mga matrice.
Sa paglutas ng mga matrice paraan ng pagbabawas ng determinant sa isang triangular na anyo, gumagana ang mga ito tulad nito: gamit ang pinakasimpleng pagbabago sa mga hilera o haligi, ang determinant ay nagiging tatsulok sa anyo at pagkatapos ang halaga nito, alinsunod sa mga katangian ng determinant, ay magiging katumbas ng produkto ng mga elemento na nasa pangunahing dayagonal.
Laplace's theorem para sa paglutas ng mga matrice.
Kapag nilulutas ang mga matrice gamit ang theorem ni Laplace, kailangan mong malaman ang theorem mismo. Teorama ni Laplace: Hayaan Δ - ito ay isang determinant n-ika-utos. Pinipili namin ang alinman k row (o column), ibinigay k≤ n - 1. Sa kasong ito, ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng mga menor de edad k-ika-utos na nakapaloob sa napili k mga hilera (columns), sa pamamagitan ng kanilang mga algebraic complement ay magiging katumbas ng determinant.
Paglutas ng inverse matrix.
Pagkakasunod-sunod ng mga aksyon para sa kabaligtaran na mga solusyon sa matrix:
- Tukuyin kung ang isang ibinigay na matrix ay parisukat. Kung negatibo ang sagot, magiging malinaw na hindi maaaring magkaroon ng inverse matrix para dito.
- Kinakalkula namin ang algebraic complements.
- Bumubuo kami ng unyon (mutual, adjoint) matrix C.
- Binubuo namin ang inverse matrix mula sa mga algebraic na pagdaragdag: lahat ng elemento ng magkadugtong na matrix C hatiin sa determinant ng inisyal na matrix. Ang huling matrix ay ang kinakailangang inverse matrix na nauugnay sa ibinigay na isa.
- Sinusuri namin ang gawaing ginawa: i-multiply ang paunang matrix at ang resultang matrix, ang resulta ay dapat na isang identity matrix.
Paglutas ng mga sistema ng matrix.
Para sa mga solusyon ng matrix system Ang pamamaraang Gaussian ay kadalasang ginagamit.
Ang pamamaraang Gauss ay isang karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation(SLAE) at ito ay nakasalalay sa katotohanan na ang mga variable ay sunud-sunod na inaalis, ibig sabihin, sa tulong ng mga pagbabago sa elementarya, ang sistema ng mga equation ay dinadala sa isang katumbas na sistema ng triangular na anyo at mula dito, nang sunud-sunod, simula sa huli (sa pamamagitan ng numero ), ang bawat elemento ng system ay matatagpuan.
Pamamaraan ng Gauss ay ang pinaka maraming nalalaman at pinakamahusay na tool para sa paghahanap ng mga solusyon sa matrix. Kung ang isang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon o ang sistema ay hindi tugma, hindi ito malulutas gamit ang panuntunan ng Cramer at ang pamamaraan ng matrix.
Ang pamamaraang Gauss ay nagpapahiwatig din ng direktang (pagbabawas ng pinalawak na matrix sa isang hakbang-hakbang na anyo, ibig sabihin, pagkuha ng mga zero sa ilalim ng pangunahing dayagonal) at reverse (pagkuha ng mga zero sa itaas ng pangunahing dayagonal ng pinalawig na matrix) na mga paggalaw. Ang pasulong na paglipat ay ang Gauss method, ang reverse move ay ang Gauss-Jordan method. Ang Gauss-Jordan method ay naiiba sa Gauss method lamang sa pagkakasunod-sunod ng pag-aalis ng mga variable.
Ang paggamit ng mga equation ay laganap sa ating buhay. Ginagamit ang mga ito sa maraming mga kalkulasyon, pagtatayo ng mga istruktura at maging sa sports. Gumamit ang tao ng mga equation noong sinaunang panahon, at mula noon ay tumaas lamang ang kanilang paggamit. Ang pamamaraan ng matrix ay nagbibigay-daan sa iyo na makahanap ng mga solusyon sa mga SLAE (mga sistema ng linear algebraic equation) ng anumang kumplikado. Ang buong proseso ng paglutas ng mga SLAE ay bumaba sa dalawang pangunahing aksyon:
Pagpapasiya ng inverse matrix batay sa pangunahing matrix:
Pagpaparami ng resultang inverse matrix sa pamamagitan ng column vector ng mga solusyon.
Ipagpalagay na binigyan tayo ng SLAE ng sumusunod na form:
\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\]
Simulan natin ang paglutas ng equation na ito sa pamamagitan ng pagsulat ng system matrix:
kanang bahagi matrix:
Tukuyin natin ang inverse matrix. Makakahanap ka ng 2nd order matrix tulad ng sumusunod: 1 - ang matrix mismo ay dapat na hindi isahan; 2 - ang mga elemento nito na nasa pangunahing dayagonal ay pinalitan, at para sa mga elemento ng pangalawang dayagonal binabago namin ang pag-sign sa kabaligtaran, pagkatapos nito ay hinati namin ang mga nagresultang elemento sa pamamagitan ng determinant ng matrix. Nakukuha namin:
\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]
2 matrice ay itinuturing na pantay-pantay kung ang kanilang mga katumbas na elemento ay pantay. Bilang resulta, mayroon kaming sumusunod na sagot para sa solusyon ng SLAE:
Saan ko malulutas ang isang sistema ng mga equation gamit ang matrix method online?
Maaari mong lutasin ang sistema ng mga equation sa aming website. Ang libreng online solver ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang mga online na equation ng anumang kumplikado sa loob ng ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok lamang ang iyong data sa solver. Maaari mo ring malaman kung paano lutasin ang equation sa aming website. At kung mayroon ka pa ring mga katanungan, maaari mong tanungin ang mga ito sa aming VKontakte group.
Isaalang-alang natin sistema ng mga linear algebraic equation(SLAU) medyo n hindi kilala x 1 , x 2 , ..., x n :
Ang sistemang ito sa isang "collapsed" na anyo ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Alinsunod sa panuntunan ng pagpaparami ng matrix, ang itinuturing na sistema ng mga linear na equation ay maaaring isulat sa anyo ng matris Ax=b, Saan
,
,.
Matrix A, ang mga column na kung saan ay ang mga coefficient para sa kaukulang mga hindi alam, at ang mga hilera ay ang mga coefficient para sa mga hindi alam sa kaukulang equation ay tinatawag matrix ng system. Column matrix b, ang mga elemento nito ay ang kanang bahagi ng mga equation ng system, ay tinatawag na right-hand side matrix o simpleng kanang bahagi ng system. Column matrix x , na ang mga elemento ay ang mga hindi kilalang hindi alam, ay tinatawag solusyon sa sistema.
Isang sistema ng mga linear algebraic equation na nakasulat sa anyo Ax=b, ay equation ng matrix.
Kung ang system matrix hindi nabubulok, tapos meron siya baligtad na matris at pagkatapos ay ang solusyon sa sistema Ax=b ay ibinigay ng formula:
x=A -1 b.
Halimbawa Lutasin ang sistema 
pamamaraan ng matrix.
Solusyon hanapin natin ang inverse matrix para sa coefficient matrix ng system
Kalkulahin natin ang determinant sa pamamagitan ng pagpapalawak sa unang linya:
Dahil ang Δ ≠ 0 , Iyon A -1 umiiral.
Nahanap nang tama ang inverse matrix.
Maghanap tayo ng solusyon sa sistema 
Kaya naman, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Pagsusuri: 
7. Ang Kronecker-Capelli theorem sa compatibility ng isang sistema ng linear algebraic equation.
Sistema ng mga linear na equation ay may anyo:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Dito ang a i j at b i (i = ; j = ) ay ibinibigay, at ang x j ay hindi kilalang tunay na mga numero. Gamit ang konsepto ng produkto ng mga matrice, maaari nating muling isulat ang sistema (5.1) sa anyo:
kung saan ang A = (a i j) ay isang matrix na binubuo ng mga coefficient para sa mga hindi alam ng system (5.1), na tinatawag na matrix ng system, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T ay mga column vector na binubuo ayon sa pagkakasunod-sunod ng mga hindi alam na x j at mga libreng termino b i .
Nag-order ng koleksyon n tunay na mga numero (c 1, c 2,..., c n) ay tinatawag solusyon sa sistema(5.1), kung bilang resulta ng pagpapalit ng mga numerong ito sa halip na ang mga katumbas na variable x 1, x 2,..., x n, ang bawat equation ng system ay nagiging arithmetic identity; sa madaling salita, kung mayroong isang vector C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T tulad na AC B.
System (5.1) ay tinatawag pinagsamang, o nalulusaw, kung mayroon siya kahit na isang solusyon. Ang sistema ay tinatawag hindi magkatugma, o hindi malulutas, kung wala itong mga solusyon.
,
na nabuo sa pamamagitan ng pagtatalaga ng isang hanay ng mga libreng termino sa kanang bahagi ng matrix A ay tinatawag pinahabang matrix ng system.
Ang tanong ng compatibility ng system (5.1) ay malulutas ng sumusunod na theorem.
Kronecker-Capelli theorem . Ang isang sistema ng mga linear na equation ay pare-pareho kung at lamang kung ang mga ranggo ng mga matrice A atA ay nagtutugma, i.e. r(A) = r(A) = r.
Para sa set M ng mga solusyon ng system (5.1) mayroong tatlong posibilidad:
1) M = (sa kasong ito ang sistema ay hindi pare-pareho);
2) M ay binubuo ng isang elemento, i.e. ang sistema ay may natatanging solusyon (sa kasong ito ang sistema ay tinatawag na tiyak);
3) M ay binubuo ng higit sa isang elemento (pagkatapos ay tinawag ang system hindi sigurado). Sa ikatlong kaso, ang system (5.1) ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Ang sistema ay may natatanging solusyon lamang kung r(A) = n. Sa kasong ito, ang bilang ng mga equation ay hindi mas kaunting numero hindi alam (mn); kung m>n, kung gayon m-n equation ay mga kahihinatnan ng iba. Kung 0 Upang malutas ang isang di-makatwirang sistema ng mga linear na equation, kailangan mong malutas ang mga sistema kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam - ang tinatawag na Mga sistema ng uri ng cramer: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Ang mga system (5.3) ay nalutas sa isa sa mga sumusunod na paraan: 1) ang Gauss method, o ang paraan ng pag-aalis ng mga hindi alam; 2) ayon sa mga formula ni Cramer; 3) pamamaraan ng matrix. Halimbawa 2.12. Galugarin ang sistema ng mga equation at lutasin ito kung ito ay pare-pareho: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Solusyon. Isinulat namin ang pinahabang matrix ng system:
Kalkulahin natin ang ranggo ng pangunahing matrix ng system. Malinaw na, halimbawa, ang pangalawang-order na menor sa kaliwang sulok sa itaas = 7 0; ang mga third-order na menor de edad na naglalaman nito ay katumbas ng zero: Dahil dito, ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay 2, i.e. r(A) = 2. Upang kalkulahin ang ranggo ng pinalawig na matrix A, isaalang-alang ang karatig na menor nangangahulugan ito na ang ranggo ng pinalawig na matrix r(A) = 3. Dahil r(A) r(A), ang sistema ay hindi pare-pareho. Mga tagubilin. Upang makakuha ng solusyon gamit ang inverse matrix method, kailangan mong tukuyin ang dimensyon ng matrix. Susunod, sa isang bagong dialog box, punan ang matrix A at ang vector ng mga resulta B.
.
Ang desisyon ay direktang isinasagawa sa website (online) at libre. Ang mga resulta ng pagkalkula ay ipinakita sa isang ulat ng Word (tingnan ang sample na format).
Algorithm ng solusyon
Halimbawa. Maghanap ng solusyon sa system gamit ang matrix method. Isulat natin ang matrix sa form:
Algebraic na mga karagdagan. A 1,1 = (-1) 1+1 1
2
0
-2
∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2
A 1,2 = (-1) 1+2 3
2
1
-2
∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8
A 1.3 = (-1) 1+3 3
1
1
0
∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1
A 2,1 = (-1) 2+1 -2
1
0
-2
∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4
A 2,2 = (-1) 2+2 2
1
1
-2
∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5
A 2,3 = (-1) 2+3 2
-2
1
0
∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2
A 3.1 = (-1) 3+1 -2
1
1
2
∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5
·
3
-2
-1
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Pagsusuri:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
-
Milan Metropolitan: mapa, mga presyo ng tiket at kapaki-pakinabang na mga tip Magkano ang halaga ng mga tiket?
-
Pag-aaral na basahin ang mga diagram ng Jeppesen - Tutorial sa Pag-install ng mga addon na makabuluhang mapapabuti ang mga graphics at pagiging totoo ng simulator
-
Kailan at sa anong mga kaso dapat magsumite ang isang indibidwal na negosyante ng zero declaration?
-
Ano ang isang epithet at paano ito mahahanap?
