Noong una mong sinimulan ang pag-aaral tungkol sa mga square root at kung paano lutasin ang mga hindi makatwirang equation (mga pagkakapantay-pantay na kinasasangkutan ng hindi alam sa ilalim ng root sign), malamang na nakuha mo ang iyong unang lasa ng mga ito. praktikal na gamit. Ang kakayahang kunin ang square root ng mga numero ay kinakailangan din upang malutas ang mga problema gamit ang Pythagorean theorem. Ang theorem na ito ay nag-uugnay sa mga haba ng mga gilid ng anumang tamang tatsulok.

Hayaang ang mga haba ng mga binti ng isang tamang tatsulok (ang dalawang panig na nagsasalubong sa tamang mga anggulo) ay itinalaga ng mga titik at, at ang haba ng hypotenuse (ang pinakamahabang bahagi ng tatsulok na matatagpuan sa tapat ng tamang anggulo) ay itatalaga ng ang sulat. Pagkatapos ang kaukulang mga haba ay nauugnay sa sumusunod na kaugnayan:

Ang equation na ito ay nagpapahintulot sa iyo na mahanap ang haba ng isang gilid ng isang right triangle kapag ang haba ng iba pang dalawang panig nito ay kilala. Bilang karagdagan, pinapayagan ka nitong matukoy kung ang tatsulok na pinag-uusapan ay isang tamang tatsulok, sa kondisyon na ang mga haba ng lahat ng tatlong panig ay alam nang maaga.

Paglutas ng mga problema gamit ang Pythagorean theorem

Upang pagsama-samahin ang materyal, lulutasin natin ang mga sumusunod na problema gamit ang Pythagorean theorem.

Kaya, ibinigay:

1. Ang haba ng isa sa mga binti ay 48, ang hypotenuse ay 80.
2. Ang haba ng binti ay 84, ang hypotenuse ay 91.

Pumunta tayo sa solusyon:

a) Ang pagpapalit ng data sa equation sa itaas ay nagbibigay ng mga sumusunod na resulta:

48 2 + b 2 = 80 2

2304 + b 2 = 6400

b 2 = 4096

b= 64 o b = -64

Dahil ang haba ng isang gilid ng isang tatsulok ay hindi maipahayag negatibong numero, ang pangalawang opsyon ay awtomatikong itinatapon.

Sagot sa unang larawan: b = 64.

b) Ang haba ng binti ng pangalawang tatsulok ay matatagpuan sa parehong paraan:

84 2 + b 2 = 91 2

7056 + b 2 = 8281

b 2 = 1225

b= 35 o b = -35

Tulad ng sa nakaraang kaso, negatibong desisyon itinapon.

Sagot sa pangalawang larawan: b = 35

Binigyan kami ng:

1. Ang mga haba ng mas maliliit na gilid ng tatsulok ay 45 at 55, ayon sa pagkakabanggit, at ang mas malaking panig ay 75.
2. Ang mga haba ng mas maliliit na gilid ng tatsulok ay 28 at 45, ayon sa pagkakabanggit, at ang mas malaking panig ay 53.

Lutasin natin ang problema:

a) Kinakailangang suriin kung ang kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng mas maikling gilid ng isang naibigay na tatsulok ay katumbas ng parisukat ng haba ng mas malaki:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Samakatuwid, ang unang tatsulok ay hindi isang tamang tatsulok.

b) Ang parehong operasyon ay isinasagawa:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Samakatuwid, ang pangalawang tatsulok ay isang tamang tatsulok.

Una, hanapin natin ang haba ng pinakamalaking segment na nabuo ng mga puntos na may mga coordinate (-2, -3) at (5, -2). Upang gawin ito, ginagamit namin ang kilalang formula para sa paghahanap ng distansya sa pagitan ng mga punto sa isang rectangular coordinate system:

Katulad nito, nakita namin ang haba ng segment na nakapaloob sa pagitan ng mga puntos na may mga coordinate (-2, -3) at (2, 1):

Sa wakas, tinutukoy namin ang haba ng segment sa pagitan ng mga puntos na may mga coordinate (2, 1) at (5, -2):

Dahil ang pagkakapantay-pantay ay mayroong:

pagkatapos ay ang katumbas na tatsulok ay right-angled.

Kaya, maaari nating bumalangkas ang sagot sa problema: dahil ang kabuuan ng mga parisukat ng mga gilid na may pinakamaikling haba ay katumbas ng parisukat ng gilid na may pinakamahabang haba, ang mga punto ay ang mga vertices ng isang tamang tatsulok.

Ang base (matatagpuan nang mahigpit na pahalang), ang hamba (mahigpit na matatagpuan patayo) at ang cable (nakaunat nang pahilis) ay bumubuo ng isang tamang tatsulok, ayon sa pagkakabanggit, upang mahanap ang haba ng cable ang Pythagorean theorem ay maaaring gamitin:

Kaya, ang haba ng cable ay magiging humigit-kumulang 3.6 metro.

Ibinigay: ang distansya mula sa point R hanggang point P (ang binti ng triangle) ay 24, mula sa point R hanggang point Q (hypotenuse) ay 26.

Kaya, tulungan natin si Vita na malutas ang problema. Dahil ang mga gilid ng tatsulok na ipinapakita sa figure ay dapat na bumuo ng isang tamang tatsulok, maaari mong gamitin ang Pythagorean theorem upang mahanap ang haba ng ikatlong panig:

Kaya, ang lapad ng pond ay 10 metro.

Sergey Valerievich

Mga tagubilin

Kung kailangan mong kalkulahin gamit ang Pythagorean theorem, gamitin ang sumusunod na algorithm: - Tukuyin sa isang tatsulok kung aling mga gilid ang mga binti at alin ang hypotenuse. Ang dalawang panig na bumubuo ng isang anggulo ng siyamnapung degree ay ang mga binti, ang natitirang ikatlong ay ang hypotenuse. (cm) - Itaas ang bawat binti ng tatsulok na ito sa pangalawang kapangyarihan, iyon ay, i-multiply sa sarili nito. Halimbawa 1. Ipagpalagay na kailangan nating kalkulahin ang hypotenuse kung ang isang binti sa isang tatsulok ay 12 cm at ang isa ay 5 cm. Una, ang mga parisukat ng mga binti ay pantay: 12 * 12 = 144 cm at 5 * 5 = 25 cm. Susunod, tukuyin ang kabuuan ng mga parisukat na binti. Ang isang tiyak na numero ay hypotenuse, kailangan mong alisin ang pangalawang kapangyarihan ng numero upang mahanap haba bahaging ito ng tatsulok. Upang gawin ito, alisin mula sa ilalim parisukat na ugat ang halaga ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti. Halimbawa 1. 144+25=169. Ang square root ng 169 ay 13. Samakatuwid, ang haba nito hypotenuse katumbas ng 13 cm.

Ang isa pang paraan upang makalkula ang haba hypotenuse namamalagi sa terminolohiya ng sine at anggulo sa isang tatsulok. Sa pamamagitan ng kahulugan: ang sine ng anggulo alpha - ang kabaligtaran na binti sa hypotenuse. Iyon ay, sa pagtingin sa pigura, sin a = CB / AB. Kaya, hypotenuse AB = CB / sin a. Halimbawa 2. Hayaang ang anggulo ay 30 degrees, at ang kabaligtaran na bahagi ay 4 cm. Kailangan nating hanapin ang hypotenuse. Solusyon: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0.5 = 8 cm Sagot: haba hypotenuse katumbas ng 8 cm.

Ang isang katulad na paraan upang mahanap hypotenuse mula sa kahulugan ng cosine ng isang anggulo. Ang cosine ng isang anggulo ay ang ratio ng gilid na katabi nito at hypotenuse. Iyon ay, cos a = AC/AB, kaya AB = AC/cos a. Halimbawa 3. Sa tatsulok na ABC, AB ang hypotenuse, anggulo BAC ay 60 degrees, leg AC ay 2 cm. Hanapin ang AB.
Solusyon: AB = AC/cos 60 = 2/0.5 = 4 cm Sagot: Ang hypotenuse ay 4 cm ang haba.

Nakatutulong na payo

Kapag hinahanap ang halaga ng sine o cosine ng isang anggulo, gamitin ang alinman sa talahanayan ng mga sine at cosine o ang talahanayan ng Bradis.

Tip 2: Paano hanapin ang haba ng hypotenuse sa isang right triangle

Ang hypotenuse ay ang pinakamahabang bahagi sa isang tamang tatsulok, kaya hindi nakakagulat na wikang Griyego ang salitang ito ay isinalin bilang "mahigpit". Ang panig na ito ay laging nasa tapat ng 90° anggulo, at ang mga panig na bumubuo sa anggulong ito ay tinatawag na mga binti. Alam ang haba ng mga panig na ito at ang mga magnitude matutulis na sulok sa iba't ibang kumbinasyon ng mga halagang ito, maaaring kalkulahin ang haba ng hypotenuse.

Mga tagubilin

Kung ang mga haba ng parehong tatsulok (A at B) ay kilala, pagkatapos ay gamitin ang mga haba ng hypotenuse (C), marahil ang pinakatanyag na postulate sa matematika - ang Pythagorean theorem. Ito ay nagsasaad na ang parisukat ng haba ng hypotenuse ay ang kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng mga binti, kung saan sumusunod na dapat mong kalkulahin ang ugat ng kabuuan ng mga parisukat na haba ng dalawang panig: C = √ ( A² + B²). Halimbawa, kung ang haba ng isang binti ay 15 at - 10 centimeters, ang haba ng hypotenuse ay magiging humigit-kumulang 18.0277564 centimeters, dahil √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18.0277564.

Kung ang haba ng isa lamang sa mga binti (A) sa isang tamang tatsulok ay kilala, pati na rin ang halaga ng anggulo sa tapat nito (α), kung gayon ang haba ng hypotenuse (C) ay maaaring gamitin gamit ang isa sa trigonometric function - ang sine. Upang gawin ito, hatiin ang haba kilalang partido sa pamamagitan ng sine ng isang kilalang anggulo: C=A/sin(α). Halimbawa, kung ang haba ng isa sa mga binti ay 15 sentimetro, at ang anggulo sa tapat ng vertex ng tatsulok ay 30°, ang haba ng hypotenuse ay magiging katumbas ng 30 sentimetro, dahil 15/sin(30°) =15/0.5=30.

Kung sa isang kanang tatsulok ay kilala ang laki ng isa sa mga talamak na anggulo (α) at ​​ang haba ng katabing binti (B), kung gayon upang kalkulahin ang haba ng hypotenuse (C) maaari kang gumamit ng isa pa trigonometriko function- cosine. Dapat mong hatiin ang haba ng kilalang binti sa cosine ng kilalang anggulo: C=B/ cos(α). Halimbawa, kung ang haba ng binti na ito ay 15 sentimetro, at ang matinding anggulo na katabi nito ay 30°, ang haba ng hypotenuse ay magiging humigit-kumulang 17.3205081 sentimetro, dahil 15/cos(30°)=15/(0.5* √3)=30/√3≈17.3205081.

Ang haba ay karaniwang ginagamit upang tukuyin ang distansya sa pagitan ng dalawang punto sa isang segment ng linya. Maaari itong tuwid, putol o saradong linya. Maaari mong kalkulahin ang haba nang simple kung alam mo ang ilang iba pang mga tagapagpahiwatig ng segment.

Mga tagubilin

Kung kailangan mong hanapin ang haba ng gilid ng isang parisukat, hindi ito magiging , kung alam mo ang lugar nito S. Dahil sa katotohanan na ang lahat ng panig ng parisukat ay may

Isang daang porsiyentong sigurado ka na kapag tinanong kung ano ang parisukat ng hypotenuse, matapang na sasagutin ng sinumang nasa hustong gulang: "Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti." Ang teorama na ito ay matatag na nakatanim sa isipan ng bawat edukadong tao, ngunit kailangan mo lamang hilingin sa isang tao na patunayan ito, at ang mga paghihirap ay maaaring lumitaw. Kaya't ating tandaan at pag-isipan iba't ibang paraan patunay ng Pythagorean theorem.

Maikling talambuhay

Ang Pythagorean theorem ay pamilyar sa halos lahat, ngunit sa ilang kadahilanan ang talambuhay ng taong nagdala nito sa mundo ay hindi napakapopular. Maaari itong ayusin. Samakatuwid, bago tuklasin ang iba't ibang paraan upang patunayan ang teorama ni Pythagoras, kailangan mong madaling makilala ang kanyang personalidad.

Pythagoras - pilosopo, matematiko, palaisip na orihinal na mula Ngayon ay napakahirap na makilala ang kanyang talambuhay mula sa mga alamat na nabuo sa memorya ng dakilang taong ito. Ngunit tulad ng mga sumusunod mula sa mga gawa ng kanyang mga tagasunod, si Pythagoras ng Samos ay isinilang sa isla ng Samos. Ang kanyang ama ay isang ordinaryong pamutol ng bato, ngunit ang kanyang ina ay nagmula sa isang marangal na pamilya.

Sa paghusga sa alamat, ang kapanganakan ni Pythagoras ay hinulaang ng isang babaeng nagngangalang Pythia, kung saan pinangalanan ang batang lalaki. Ayon sa kanyang hula, ang ipinanganak na batang lalaki ay dapat na magdala ng maraming benepisyo at kabutihan sa sangkatauhan. Which is exactly what he did.

Kapanganakan ng teorama

Sa kanyang kabataan, lumipat si Pythagoras sa Egypt upang makilala ang mga sikat na Egyptian sages doon. Matapos makipagkita sa kanila, pinahintulutan siyang mag-aral, kung saan natutunan niya ang lahat ng magagandang tagumpay ng pilosopiya, matematika at medisina ng Egypt.

Marahil ay sa Egypt na si Pythagoras ay naging inspirasyon ng kamahalan at kagandahan ng mga pyramid at nilikha ang kanyang dakilang teorya. Maaaring mabigla ito sa mga mambabasa, ngunit naniniwala ang mga modernong istoryador na hindi pinatunayan ni Pythagoras ang kanyang teorya. Ngunit ipinasa lamang niya ang kanyang kaalaman sa kanyang mga tagasunod, na kalaunan ay natapos ang lahat ng kinakailangang mga kalkulasyon sa matematika.

Maging na ito ay maaaring, ngayon ay hindi isang paraan ng pagpapatunay ng teorama na ito ay kilala, ngunit ilang sabay-sabay. Ngayon ay maaari lamang nating hulaan kung paano eksaktong ginawa ng mga sinaunang Greeks ang kanilang mga kalkulasyon, kaya dito titingnan natin ang iba't ibang paraan upang patunayan ang Pythagorean theorem.

Pythagorean theorem

Bago ka magsimula ng anumang mga kalkulasyon, kailangan mong malaman kung anong teorya ang gusto mong patunayan. Ang Pythagorean theorem ay ganito: "Sa isang tatsulok kung saan ang isa sa mga anggulo ay 90°, ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse."

Mayroong kabuuang 15 iba't ibang paraan upang patunayan ang Pythagorean theorem. Ito ay isang medyo malaking bilang, kaya't bibigyan natin ng pansin ang pinakasikat sa kanila.

Pamamaraan isa

Una, tukuyin natin kung ano ang ibinigay sa atin. Malalapat din ang mga datos na ito sa iba pang mga paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem, kaya sulit na agad na alalahanin ang lahat ng magagamit na mga notasyon.

Ipagpalagay na binigyan tayo ng isang tamang tatsulok na may mga binti a, b at isang hypotenuse na katumbas ng c. Ang unang paraan ng patunay ay batay sa katotohanan na kailangan mong gumuhit ng isang parisukat mula sa isang tamang tatsulok.

Upang gawin ito, kailangan mong magdagdag ng isang segment sa binti ng haba a katumbas ng binti sa, at kabaliktaran. Dapat itong magresulta sa dalawang pantay na panig ng parisukat. Ang natitira lamang ay gumuhit ng dalawang magkatulad na linya, at handa na ang parisukat.

Sa loob ng nagresultang figure, kailangan mong gumuhit ng isa pang parisukat na may gilid na katumbas ng hypotenuse ng orihinal na tatsulok. Upang gawin ito, mula sa mga vertices ас at св kailangan mong gumuhit ng dalawang parallel na mga segment na katumbas ng с. Kaya, nakakakuha tayo ng tatlong panig ng parisukat, ang isa ay ang hypotenuse ng orihinal na tamang tatsulok. Ang natitira na lang ay iguhit ang ikaapat na bahagi.

Batay sa resultang figure, maaari nating tapusin na ang lugar ng panlabas na parisukat ay (a + b) 2. Kung titingnan mo ang loob ng pigura, makikita mo na bilang karagdagan sa panloob na parisukat, mayroong apat na tamang tatsulok. Ang lugar ng bawat isa ay 0.5av.

Samakatuwid, ang lugar ay katumbas ng: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2

Kaya naman (a+c) 2 =2ab+c 2

At, samakatuwid, c 2 =a 2 +b 2

Ang teorama ay napatunayan.

Paraan ng dalawa: magkatulad na tatsulok

Ang pormula na ito para sa pagpapatunay ng Pythagorean theorem ay hinango batay sa isang pahayag mula sa seksyon ng geometry tungkol sa mga katulad na tatsulok. Sinasabi nito na ang binti ng isang right triangle ay ang average na proporsyonal sa hypotenuse nito at ang segment ng hypotenuse na nagmumula sa vertex ng 90° na anggulo.

Ang paunang data ay nananatiling pareho, kaya simulan natin kaagad sa patunay. Gumuhit tayo ng isang segment na CD na patayo sa gilid ng AB. Batay sa pahayag sa itaas, ang mga gilid ng mga tatsulok ay pantay:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Upang masagot ang tanong kung paano patunayan ang Pythagorean theorem, ang patunay ay dapat kumpletuhin sa pamamagitan ng pag-square ng parehong hindi pagkakapantay-pantay.

AC 2 = AB * AD at CB 2 = AB * DV

Ngayon kailangan nating magdagdag ng mga resultang hindi pagkakapantay-pantay.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), kung saan AD + DV = AB

Lumalabas na:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

At samakatuwid:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Patunay ng Pythagorean theorem at iba't-ibang paraan ang mga solusyon nito ay nangangailangan ng multifaceted approach sa problemang ito. Gayunpaman, ang pagpipiliang ito ay isa sa pinakasimpleng.

Isa pang paraan ng pagkalkula

Ang mga paglalarawan ng iba't ibang paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem ay maaaring walang ibig sabihin hanggang sa magsimula kang magsanay nang mag-isa. Maraming mga diskarte ang nagsasangkot hindi lamang sa mga kalkulasyon ng matematika, kundi pati na rin ang pagtatayo ng mga bagong figure mula sa orihinal na tatsulok.

SA sa kasong ito Ito ay kinakailangan upang makumpleto ang isa pang kanang tatsulok na VSD mula sa gilid BC. Kaya, ngayon mayroong dalawang tatsulok na may isang karaniwang binti BC.

Alam na ang mga lugar ng magkatulad na mga figure ay may ratio bilang mga parisukat ng kanilang magkatulad na mga linear na sukat, kung gayon:

S avs * c 2 - S avd * sa 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(mula 2 - hanggang 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

mula 2 - hanggang 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Dahil sa iba't ibang paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem para sa grade 8, ang pagpipiliang ito ay halos hindi angkop, maaari mong gamitin ang sumusunod na paraan.

Ang pinakamadaling paraan upang patunayan ang Pythagorean Theorem. Mga pagsusuri

Ayon sa mga istoryador, ang pamamaraang ito ay unang ginamit upang patunayan ang teorama pabalik sinaunang Greece. Ito ang pinakasimpleng, dahil hindi ito nangangailangan ng ganap na anumang mga kalkulasyon. Kung iguguhit mo nang tama ang larawan, malinaw na makikita ang patunay ng pahayag na a 2 + b 2 = c 2.

Mga kondisyon para sa ang pamamaraang ito ay bahagyang naiiba mula sa nauna. Upang patunayan ang teorama, ipagpalagay na ang tamang tatsulok na ABC ay isosceles.

Kinukuha namin ang hypotenuse AC bilang gilid ng parisukat at iguhit ang tatlong panig nito. Bilang karagdagan, kinakailangan upang gumuhit ng dalawang diagonal na linya sa nagresultang parisukat. Upang sa loob nito ay makakuha ka ng apat na isosceles triangles.

Kailangan mo ring gumuhit ng isang parisukat sa mga binti AB at CB at gumuhit ng isang dayagonal na tuwid na linya sa bawat isa sa kanila. Gumuhit kami ng unang linya mula sa vertex A, ang pangalawa mula sa C.

Ngayon ay kailangan mong maingat na tingnan ang nagresultang pagguhit. Dahil sa hypotenuse AC mayroong apat na tatsulok na katumbas ng orihinal, at sa mga gilid mayroong dalawa, ito ay nagpapahiwatig ng katotohanan ng teorama na ito.

Sa pamamagitan ng paraan, salamat sa pamamaraang ito ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem, ipinanganak ang sikat na parirala: "Ang pantalon ng Pythagorean ay pantay sa lahat ng direksyon."

Patunay ni J. Garfield

Si James Garfield ay ang ikadalawampung Pangulo ng Estados Unidos ng Amerika. Bilang karagdagan sa paggawa ng kanyang marka sa kasaysayan bilang pinuno ng Estados Unidos, siya rin ay isang matalinong autodidact.

Sa simula ng kanyang karera siya ay isang ordinaryong guro sa isang pampublikong paaralan, ngunit sa lalong madaling panahon ay naging direktor ng isa sa pinakamataas institusyong pang-edukasyon. Ang pagnanais para sa pagpapaunlad ng sarili ay nagpapahintulot sa kanya na mag-alok bagong teorya patunay ng Pythagorean theorem. Ang teorama at isang halimbawa ng solusyon nito ay ang mga sumusunod.

Una kailangan mong gumuhit ng dalawang tamang tatsulok sa isang piraso ng papel upang ang binti ng isa sa kanila ay isang pagpapatuloy ng pangalawa. Ang mga vertice ng mga tatsulok na ito ay kailangang konektado upang sa huli ay makabuo ng isang trapezoid.

Tulad ng alam mo, ang lugar ng isang trapezoid ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base nito at taas nito.

S=a+b/2 * (a+b)

Kung isasaalang-alang natin ang nagresultang trapezoid bilang isang pigura na binubuo ng tatlong tatsulok, kung gayon ang lugar nito ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

S=av/2 *2 + s 2 /2

Ngayon ay kailangan nating i-equalize ang dalawang orihinal na expression

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

Mahigit sa isang tomo ang maaaring isulat tungkol sa Pythagorean theorem at mga pamamaraan ng pagpapatunay nito. tulong sa pagtuturo. Ngunit mayroon bang anumang punto dito kapag ang kaalamang ito ay hindi mailalapat sa pagsasanay?

Praktikal na aplikasyon ng Pythagorean theorem

Sa kasamaang palad, sa modernong mga programa sa paaralan Ang teorama na ito ay inilaan na gamitin lamang sa mga problemang geometriko. Ang mga nagtapos ay malapit nang umalis sa paaralan nang hindi alam kung paano nila magagamit ang kanilang kaalaman at kasanayan sa pagsasanay.

Sa katunayan, gamitin ang Pythagorean theorem sa iyong Araw-araw na buhay lahat ay kayang. At hindi lamang sa propesyonal na aktibidad, ngunit gayundin sa mga ordinaryong gawaing bahay. Isaalang-alang natin ang ilang mga kaso kapag ang Pythagorean theorem at mga paraan ng pagpapatunay nito ay maaaring lubhang kailangan.

Relasyon sa pagitan ng theorem at astronomy

Tila kung paano maaaring konektado ang mga bituin at tatsulok sa papel. Sa katunayan, ang astronomiya ay larangang pang-agham, na gumagawa ng malawakang paggamit ng Pythagorean theorem.

Halimbawa, isaalang-alang ang paggalaw ng isang light beam sa kalawakan. Ito ay kilala na ang ilaw ay gumagalaw sa magkabilang direksyon sa parehong bilis. Tawagan natin ang trajectory AB kung saan gumagalaw ang light ray l. At tawagin natin ang kalahati ng oras na kailangan ng liwanag upang makarating mula sa punto A hanggang sa punto B t. At ang bilis ng sinag - c. Lumalabas na: c*t=l

Kung titingnan mo ang parehong sinag mula sa isa pang eroplano, halimbawa, mula sa isang space liner na gumagalaw nang may bilis na v, kung gayon kapag nagmamasid sa mga katawan sa ganitong paraan, ang kanilang bilis ay magbabago. Sa kasong ito, kahit na ang mga nakatigil na elemento ay magsisimulang gumalaw nang may bilis na v sa tapat na direksyon.

Sabihin nating ang comic liner ay naglalayag sa kanan. Pagkatapos ang mga puntong A at B, sa pagitan ng kung saan ang sinag ay nagmamadali, ay magsisimulang lumipat sa kaliwa. Bukod dito, kapag ang sinag ay gumagalaw mula sa punto A hanggang sa punto B, ang punto A ay may oras upang lumipat at, nang naaayon, ang ilaw ay darating na sa isang bagong punto C. Upang mahanap ang kalahati ng distansya kung saan ang punto A ay lumipat, kailangan mong i-multiply ang bilis ng liner sa kalahati ng oras ng paglalakbay ng beam (t ").

At upang malaman kung gaano kalayo ang maaaring maglakbay ng isang sinag ng liwanag sa panahong ito, kailangan mong markahan ang kalahati ng landas ng isang bagong titik s at kunin ang sumusunod na expression:

Kung iniisip natin na ang mga punto ng liwanag na C at B, pati na rin ang space liner, ay ang mga vertices ng isang isosceles triangle, kung gayon ang segment mula sa point A hanggang sa liner ay hahatiin ito sa dalawang right triangles. Samakatuwid, salamat sa Pythagorean theorem, maaari mong mahanap ang distansya na maaaring maglakbay ng isang sinag ng liwanag.

Ang halimbawang ito, siyempre, ay hindi ang pinakamatagumpay, dahil iilan lamang ang maaaring mapalad na subukan ito sa pagsasanay. Samakatuwid, isaalang-alang natin ang higit pang mga makamundong aplikasyon ng teorama na ito.

Saklaw ng paghahatid ng signal ng mobile

Ang modernong buhay ay hindi na maiisip nang walang pagkakaroon ng mga smartphone. Ngunit marami ba silang pakinabang kung hindi nila maikonekta ang mga subscriber sa pamamagitan ng mga mobile na komunikasyon?!

Ang kalidad ng mga mobile na komunikasyon ay direktang nakasalalay sa taas kung saan matatagpuan ang antenna ng mobile operator. Upang makalkula kung gaano kalayo mula sa isang mobile tower ang isang telepono ay maaaring makatanggap ng signal, maaari mong ilapat ang Pythagorean theorem.

Sabihin nating kailangan mong hanapin ang tinatayang taas ng isang nakatigil na tore upang makapagpamahagi ito ng signal sa loob ng radius na 200 kilometro.

AB (taas ng tore) = x;

BC (radius ng paghahatid ng signal) = 200 km;

OS (radius ng globo) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Ang paglalapat ng Pythagorean theorem, nalaman namin na ang pinakamababang taas ng tore ay dapat na 2.3 kilometro.

Pythagorean theorem sa pang-araw-araw na buhay

Kakatwa, ang Pythagorean theorem ay maaaring maging kapaki-pakinabang kahit na sa pang-araw-araw na mga bagay, tulad ng pagtukoy sa taas ng isang wardrobe, halimbawa. Sa unang sulyap, hindi na kailangang gumamit ng gayong kumplikadong mga kalkulasyon, dahil maaari ka lamang kumuha ng mga sukat gamit ang tape measure. Ngunit maraming tao ang nagtataka kung bakit lumitaw ang ilang mga problema sa panahon ng proseso ng pagpupulong kung ang lahat ng mga sukat ay kinuha nang higit pa sa tumpak.

Ang katotohanan ay ang wardrobe ay binuo sa isang pahalang na posisyon at pagkatapos ay itinaas at naka-install laban sa dingding. Samakatuwid, sa panahon ng proseso ng pag-aangat ng istraktura, ang gilid ng cabinet ay dapat na malayang gumagalaw kapwa sa taas at pahilis ng silid.

Ipagpalagay natin na mayroong wardrobe na may lalim na 800 mm. Distansya mula sa sahig hanggang kisame - 2600 mm. Sasabihin ng isang may karanasan na gumagawa ng kasangkapan na ang taas ng cabinet ay dapat na 126 mm na mas mababa kaysa sa taas ng silid. Ngunit bakit eksaktong 126 mm? Tingnan natin ang isang halimbawa.

Sa perpektong sukat ng cabinet, suriin natin ang pagpapatakbo ng Pythagorean theorem:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - magkasya ang lahat.

Sabihin nating ang taas ng cabinet ay hindi 2474 mm, ngunit 2505 mm. Pagkatapos:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Samakatuwid, ang cabinet na ito ay hindi angkop para sa pag-install sa kuwartong ito. Dahil ang pag-angat nito sa isang patayong posisyon ay maaaring magdulot ng pinsala sa katawan nito.

Marahil, na isinasaalang-alang ang iba't ibang mga paraan ng pagpapatunay ng Pythagorean theorem ng iba't ibang mga siyentipiko, maaari nating tapusin na ito ay higit pa sa totoo. Ngayon ay maaari mong gamitin ang impormasyong natanggap sa iyong pang-araw-araw na buhay at maging ganap na tiwala na ang lahat ng mga kalkulasyon ay hindi lamang magiging kapaki-pakinabang, ngunit tama rin.

Pythagorean theorem- isa sa mga pangunahing theorems ng Euclidean geometry, na nagtatatag ng kaugnayan

sa pagitan ng mga gilid ng isang tamang tatsulok.

Ito ay pinaniniwalaan na ito ay napatunayan ng Greek mathematician na si Pythagoras, kung kanino ito pinangalanan.

Geometric formulation ng Pythagorean theorem.

Ang teorama ay orihinal na nabuo bilang mga sumusunod:

Sa isang kanang tatsulok, ang lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat,

binuo sa mga binti.

Algebraic formulation ng Pythagorean theorem.

Sa isang tamang tatsulok, ang parisukat ng haba ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng mga binti.

Iyon ay, denoting ang haba ng hypotenuse ng tatsulok sa pamamagitan ng c, at ang haba ng mga binti sa pamamagitan ng a At b:

Parehong formulations Pythagorean theorem ay katumbas, ngunit ang pangalawang pagbabalangkas ay mas elementarya, hindi

nangangailangan ng konsepto ng lugar. Ibig sabihin, mapapatunayan ang pangalawang pahayag nang hindi alam ang anumang bagay tungkol sa lugar at

sa pamamagitan ng pagsukat lamang ng mga haba ng mga gilid ng isang tamang tatsulok.

Converse Pythagorean theorem.

Kung ang parisukat ng isang gilid ng isang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig, kung gayon

kanang tatsulok.

O, sa madaling salita:

Para sa bawat triple ng mga positibong numero a, b At c, ganyan

mayroong isang kanang tatsulok na may mga binti a At b at hypotenuse c.

Pythagorean theorem para sa isang isosceles triangle.

Pythagorean theorem para sa isang equilateral triangle.

Mga patunay ng Pythagorean theorem.

Sa kasalukuyan, 367 na patunay ng teorama na ito ang naitala sa siyentipikong panitikan. Malamang ang theorem

Ang Pythagoras ay ang tanging teorama na may napakaraming mga patunay. Ang ganitong pagkakaiba-iba

maaari lamang ipaliwanag sa pamamagitan ng pangunahing kahalagahan ng theorem para sa geometry.

Siyempre, sa konsepto ang lahat ng mga ito ay maaaring nahahati sa isang maliit na bilang ng mga klase. Ang pinakasikat sa kanila:

patunay paraan ng lugar, axiomatic At kakaibang ebidensya(Halimbawa,

sa pamamagitan ng paggamit differential equation ).

1. Patunay ng Pythagorean theorem gamit ang mga katulad na triangles.

Ang sumusunod na patunay ng algebraic formulation ay ang pinakasimpleng mga patunay na binuo

direkta mula sa axioms. Sa partikular, hindi nito ginagamit ang konsepto ng lugar ng isang pigura.

Hayaan ABC may tamang tatsulok na may tamang anggulo C. Iguhit natin ang taas C at magpakilala

pundasyon nito sa pamamagitan ng H.

Tatsulok ACH katulad ng isang tatsulok AB C sa dalawang sulok. Gayundin, tatsulok CBH katulad ABC.

Sa pamamagitan ng pagpapakilala ng notasyon:

makuha namin:

,

na tumutugma sa -

Nakatupi a 2 at b 2, nakukuha namin:

o , na kung ano ang kailangang patunayan.

2. Patunay ng Pythagorean theorem gamit ang area method.

Ang mga patunay sa ibaba, sa kabila ng kanilang maliwanag na pagiging simple, ay hindi gaanong simple. Lahat sila

gumamit ng mga katangian ng lugar, ang mga patunay nito ay mas kumplikado kaysa sa patunay ng Pythagorean theorem mismo.

• Patunay sa pamamagitan ng equicomplementarity.

Ayusin natin ang apat na pantay na parihaba

tatsulok tulad ng ipinapakita sa figure

sa kanan.

Quadrangle na may mga gilid c- parisukat,

dahil ang kabuuan ng dalawang talamak na anggulo ay 90°, at

nakabukas na anggulo - 180°.

Ang lugar ng buong figure ay pantay, sa isang banda,

lugar ng isang parisukat na may gilid ( a+b), at sa kabilang banda, ang kabuuan ng mga lugar ng apat na tatsulok at

Q.E.D.

3. Patunay ng Pythagorean theorem sa pamamagitan ng infinitesimal na pamamaraan.

​

Pagtingin sa guhit na ipinapakita sa pigura at

pinapanood ang pagbabago sa gilida, kaya natin

isulat ang sumusunod na kaugnayan para sa walang hanggan

maliit mga pagtaas sa gilidSa At a(gamit ang pagkakatulad

mga tatsulok):

Gamit ang variable na paraan ng paghihiwalay, makikita natin ang:

Isang mas pangkalahatang pagpapahayag para sa pagbabago sa hypotenuse sa kaso ng mga pagtaas sa magkabilang panig:

Sa pamamagitan ng pagsasama ng equation na ito at paggamit paunang kondisyon, nakukuha natin ang:

Kaya nakarating tayo sa nais na sagot:

Gaya ng madaling makita, lumilitaw ang quadratic dependence sa huling formula dahil sa linear

proporsyonalidad sa pagitan ng mga gilid ng tatsulok at mga pagtaas, habang ang kabuuan ay nauugnay sa independyente

kontribusyon mula sa pagtaas ng iba't ibang mga binti.

Ang isang mas simpleng patunay ay maaaring makuha kung ipagpalagay natin na ang isa sa mga binti ay hindi nakakaranas ng pagtaas

(sa kasong ito ang binti b). Pagkatapos ay para sa pare-parehong pagsasama makuha namin:

(ayon sa papyrus 6619 ng Berlin Museum). Ayon kay Cantor, ang mga harpedonaptes, o “mga rope pullers,” ay gumawa ng mga tamang anggulo gamit ang mga right triangle na may mga gilid na 3, 4, at 5.

Napakadaling kopyahin ang kanilang paraan ng pagtatayo. Kumuha tayo ng lubid na 12 m ang haba at itali ang isang kulay na strip dito sa layo na 3 m mula sa isang dulo at 4 na metro mula sa kabilang dulo. Ang tamang anggulo ay nasa pagitan ng mga gilid na 3 at 4 na metro ang haba. Maaaring tutol sa mga Harpedonaptian na ang kanilang paraan ng pagtatayo ay nagiging kalabisan kung ang isa ay gagamit, halimbawa, ng isang kahoy na parisukat, na ginagamit ng lahat ng mga karpintero. Sa katunayan, ang mga guhit ng Egypt ay kilala kung saan matatagpuan ang gayong tool, halimbawa, mga guhit na naglalarawan ng isang pagawaan ng karpintero.

Medyo higit pa ang nalalaman tungkol sa Pythagorean theorem sa mga Babylonians. Sa isang teksto mula noong panahon ni Hammurabi, iyon ay, hanggang 2000 BC. e. , isang tinatayang pagkalkula ng hypotenuse ng isang right triangle ay ibinigay. Mula dito maaari nating tapusin na sa Mesopotamia ay nakapagsagawa sila ng mga kalkulasyon gamit ang mga tamang tatsulok, ayon sa kahit na sa ibang Pagkakataon. Batay, sa isang banda, sa kasalukuyang antas ng kaalaman tungkol sa Egyptian at Babylonian mathematics, at sa kabilang banda, sa isang kritikal na pag-aaral ng mga mapagkukunang Griyego, napagpasyahan ni Van der Waerden (isang Dutch mathematician) na mayroong mataas na posibilidad na ang Ang teorama sa parisukat ng hypotenuse ay kilala sa India noong mga ika-18 siglo BC. e.

Mga 400 BC. BC, ayon kay Proclus, nagbigay si Plato ng paraan para sa paghahanap ng mga triplet ng Pythagorean, pagsasama-sama ng algebra at geometry. Mga 300 BC. e. Ang pinakalumang axiomatic proof ng Pythagorean theorem ay lumitaw sa Euclid's Elements.

Mga pormulasyon

Geometric formulation:

Ang teorama ay orihinal na nabuo bilang mga sumusunod:

Algebraic formulation:

Iyon ay, tinutukoy ang haba ng hypotenuse ng tatsulok sa pamamagitan ng , at ang haba ng mga binti sa pamamagitan ng at :

Ang parehong mga pormulasyon ng teorama ay katumbas, ngunit ang pangalawang pagbabalangkas ay mas elementarya; hindi ito nangangailangan ng konsepto ng lugar. Iyon ay, ang pangalawang pahayag ay maaaring ma-verify nang hindi nalalaman ang anumang bagay tungkol sa lugar at sa pamamagitan ng pagsukat lamang ng mga haba ng mga gilid ng isang tamang tatsulok.

Converse Pythagorean theorem:

Patunay

Sa ngayon, 367 na patunay ng teorama na ito ang naitala sa siyentipikong panitikan. Malamang, ang Pythagorean theorem ay ang tanging theorem na may ganoong kahanga-hangang bilang ng mga patunay. Ang ganitong pagkakaiba-iba ay maaari lamang ipaliwanag sa pamamagitan ng pangunahing kahalagahan ng theorem para sa geometry.

Siyempre, sa konsepto ang lahat ng mga ito ay maaaring nahahati sa isang maliit na bilang ng mga klase. Ang pinakasikat sa kanila: mga patunay sa pamamagitan ng paraan ng lugar, axiomatic at exotic na mga patunay (halimbawa, gamit ang mga differential equation).

Sa pamamagitan ng mga katulad na tatsulok

Ang sumusunod na patunay ng algebraic formulation ay ang pinakasimpleng patunay, na direktang binuo mula sa mga axiom. Sa partikular, hindi nito ginagamit ang konsepto ng lugar ng isang pigura.

Hayaan ABC may tamang tatsulok na may tamang anggulo C. Iguhit natin ang taas C at tukuyin ang base nito sa pamamagitan ng H. Tatsulok ACH katulad ng isang tatsulok ABC sa dalawang sulok. Gayundin, tatsulok CBH katulad ABC. Sa pamamagitan ng pagpapakilala ng notasyon

nakukuha namin

Ano ang katumbas

Pagdaragdag nito, nakukuha natin

, na kung ano ang kailangang patunayan

Mga patunay gamit ang paraan ng lugar

Ang mga patunay sa ibaba, sa kabila ng kanilang maliwanag na pagiging simple, ay hindi gaanong simple. Lahat sila ay gumagamit ng mga katangian ng lugar, ang patunay nito ay mas kumplikado kaysa sa patunay ng Pythagorean theorem mismo.

Patunay sa pamamagitan ng equicomplementation

1. Ayusin natin ang apat na pantay na right triangle gaya ng ipinapakita sa Figure 1.
2. Quadrangle na may mga gilid c ay isang parisukat, dahil ang kabuuan ng dalawang matinding anggulo ay 90°, at ang tuwid na anggulo ay 180°.
3. Ang lugar ng buong figure ay katumbas, sa isang banda, sa lugar ng isang parisukat na may gilid (a + b), at sa kabilang banda, sa kabuuan ng mga lugar ng apat na tatsulok at ang lugar ng panloob na parisukat.

Q.E.D.

Patunay ni Euclid

Ang ideya ng patunay ni Euclid ay ang mga sumusunod: subukan nating patunayan na ang kalahati ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng kalahating lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti, at pagkatapos ay ang mga lugar ng magkapantay ang malaki at dalawang maliit na parisukat.

Tingnan natin ang guhit sa kaliwa. Dito ay nagtayo kami ng mga parisukat sa mga gilid ng isang kanang tatsulok at gumuhit ng isang ray s mula sa tuktok ng kanang anggulo C patayo sa hypotenuse AB, pinuputol nito ang parisukat na ABIK, na binuo sa hypotenuse, sa dalawang parihaba - BHJI at HAKJ, ayon sa pagkakabanggit. Lumalabas na ang mga lugar ng mga parihaba na ito ay eksaktong katumbas ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa kaukulang mga binti.

Subukan nating patunayan na ang lugar ng parisukat na DECA ay katumbas ng lugar ng rektanggulo na AHJK. Upang gawin ito, gagamit tayo ng isang pantulong na obserbasyon: Ang lugar ng isang tatsulok na may parehong taas at base bilang ang ibinigay na parihaba ay katumbas ng kalahati ng lugar ng ibinigay na parihaba. Ito ay bunga ng pagtukoy sa lugar ng isang tatsulok bilang kalahati ng produkto ng base at taas. Mula sa obserbasyon na ito ay sumusunod na ang lugar ng tatsulok na ACK ay katumbas ng lugar ng tatsulok na AHK (hindi ipinapakita sa figure), na kung saan ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parihaba AHJK.

Patunayan natin ngayon na ang area ng triangle ACK ay katumbas din ng kalahati ng area ng square DECA. Ang tanging bagay na kailangang gawin para dito ay upang patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ACK at BDA (dahil ang lugar ng tatsulok na BDA ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parisukat ayon sa pag-aari sa itaas). Ang pagkakapantay-pantay na ito ay halata: ang mga tatsulok ay pantay sa magkabilang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito. Namely - AB=AK, AD=AC - ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo na CAK at BAD ay madaling patunayan sa pamamagitan ng paraan ng paggalaw: iniikot namin ang tatsulok na CAK 90° counterclockwise, pagkatapos ay malinaw na ang kaukulang panig ng dalawang tatsulok sa ang tanong ay magkakasabay (dahil sa katotohanan na ang anggulo sa tuktok ng parisukat ay 90°).

Ang pangangatwiran para sa pagkakapantay-pantay ng mga lugar ng parisukat na BCFG at ang parihaba na BHJI ay ganap na magkatulad.

Kaya, napatunayan namin na ang lugar ng isang parisukat na itinayo sa hypotenuse ay binubuo ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti. Ang ideya sa likod ng patunay na ito ay higit na inilalarawan ng animation sa itaas.

Patunay ni Leonardo da Vinci

Ang mga pangunahing elemento ng patunay ay simetrya at paggalaw.

Isaalang-alang natin ang pagguhit, tulad ng makikita mula sa mahusay na proporsyon, pinutol ng segment ang parisukat sa dalawang magkaparehong bahagi (dahil ang mga tatsulok ay pantay sa pagtatayo).

Gamit ang 90-degree na counterclockwise na pag-ikot sa paligid ng punto, nakikita natin ang pagkakapantay-pantay ng mga may kulay na figure at.

Ngayon ay malinaw na ang lugar ng figure na na-shade namin ay katumbas ng kabuuan ng kalahati ng mga lugar ng maliit na mga parisukat (itinayo sa mga binti) at ang lugar ng orihinal na tatsulok. Sa kabilang banda, ito ay katumbas ng kalahati ng lugar ng malaking parisukat (itinayo sa hypotenuse) kasama ang lugar ng orihinal na tatsulok. Kaya, kalahati ng kabuuan ng mga lugar ng maliliit na parisukat ay katumbas ng kalahati ng lugar ng malaking parisukat, at samakatuwid ang kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti ay katumbas ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse.

Patunay sa pamamagitan ng infinitesimal na pamamaraan

Ang sumusunod na patunay gamit ang mga differential equation ay kadalasang iniuugnay sa sikat na English mathematician na si Hardy, na nabuhay noong unang kalahati ng ika-20 siglo.

Tinitingnan ang guhit na ipinapakita sa pigura at pinagmamasdan ang pagbabago sa gilid a, maaari nating isulat ang sumusunod na kaugnayan para sa infinitesimal side increments Sa At a(gamit ang pagkakatulad ng tatsulok):

Gamit ang paraan ng paghihiwalay ng mga variable, nakita namin

Isang mas pangkalahatang pagpapahayag para sa pagbabago sa hypotenuse sa kaso ng mga pagtaas sa magkabilang panig

Ang pagsasama ng equation na ito at paggamit ng mga paunang kundisyon, nakuha namin

Kaya nakarating kami sa nais na sagot

Tulad ng madaling makita, lumilitaw ang quadratic dependence sa huling formula dahil sa linear na proporsyonalidad sa pagitan ng mga gilid ng tatsulok at mga pagdaragdag, habang ang kabuuan ay nauugnay sa mga independiyenteng kontribusyon mula sa pagtaas ng iba't ibang mga binti.

Ang isang mas simpleng patunay ay maaaring makuha kung ipagpalagay natin na ang isa sa mga binti ay hindi nakakaranas ng pagtaas (sa kasong ito binti). Pagkatapos ay para sa integration constant na nakukuha namin

Mga pagkakaiba-iba at paglalahat

Magkatulad na mga geometric na hugis sa tatlong panig

Paglalahat para sa mga katulad na tatsulok, lugar ng berdeng mga hugis A + B = lugar ng asul C

Pythagorean theorem gamit ang magkatulad na right triangles

Euclid pangkalahatan ang Pythagorean teorama sa kanyang trabaho Mga simula, pagpapalawak ng mga lugar ng mga parisukat sa mga gilid sa mga lugar na magkatulad mga geometric na hugis :

Kung gagawa tayo ng mga katulad na geometric na figure (tingnan ang Euclidean geometry) sa mga gilid ng isang kanang tatsulok, kung gayon ang kabuuan ng dalawang mas maliliit na figure ay magiging katumbas ng lugar ng mas malaking figure.

Ang pangunahing ideya ng generalization na ito ay ang lugar ng naturang geometric figure ay proporsyonal sa parisukat ng alinman sa mga linear na sukat nito at, sa partikular, sa parisukat ng haba ng anumang panig. Samakatuwid, para sa mga katulad na figure na may mga lugar A, B At C binuo sa mga gilid na may haba a, b At c, meron kami:

Ngunit, ayon sa Pythagorean theorem, a 2 + b 2 = c 2 pagkatapos A + B = C.

Sa kabaligtaran, kung mapapatunayan natin iyon A + B = C para sa tatlong magkakatulad na geometric na figure nang hindi ginagamit ang Pythagorean theorem, pagkatapos ay mapapatunayan natin ang theorem mismo, na gumagalaw sa tapat na direksyon. Halimbawa, ang panimulang gitnang tatsulok ay maaaring magamit muli bilang isang tatsulok C sa hypotenuse, at dalawang magkatulad na right triangle ( A At B), na binuo sa iba pang dalawang panig, na nabuo sa pamamagitan ng paghati sa gitnang tatsulok sa taas nito. Ang kabuuan ng mga lugar ng dalawang mas maliit na tatsulok ay malinaw na katumbas ng lugar ng pangatlo, kaya A + B = C at, pagtupad sa nakaraang patunay sa baliktad na ayos, makuha natin ang Pythagorean theorem a 2 + b 2 = c 2 .

Cosine theorem

Ang Pythagorean theorem ay espesyal na kaso isang mas pangkalahatang teorama ng mga cosine, na nag-uugnay sa mga haba ng mga gilid sa isang arbitraryong tatsulok:

kung saan ang θ ay ang anggulo sa pagitan ng mga gilid a At b.

Kung ang θ ay 90 degrees kung gayon ang cos θ = 0 at ang formula ay pinapasimple sa karaniwang Pythagorean theorem.

Libreng Triangle

Sa alinmang napiling sulok ng isang arbitrary na tatsulok na may mga gilid a, b, c isulat ang isang isosceles triangle sa paraang iyon pantay na anggulo sa base nito θ ay katumbas ng napiling anggulo. Ipagpalagay natin na ang napiling anggulo θ ay matatagpuan sa tapat ng gilid na itinalaga c. Bilang isang resulta, nakuha namin ang tatsulok na ABD na may anggulo θ, na matatagpuan sa tapat ng gilid a at mga partido r. Ang pangalawang tatsulok ay nabuo sa pamamagitan ng anggulo θ, na matatagpuan sa tapat ng gilid b at mga partido Sa haba s, gaya ng ipinapakita sa larawan. Nagtalo si Thabit Ibn Qurra na ang mga panig sa tatlong tatsulok na ito ay magkakaugnay tulad ng sumusunod:

Habang papalapit ang anggulo θ sa π/2, ang base ng isosceles triangle ay nagiging mas maliit at ang dalawang panig na r at s ay nagkakapatong sa isa't isa nang paunti-unti. Kapag θ = π/2, ang ADB ay nagiging isang tamang tatsulok, r + s = c at nakuha namin ang paunang Pythagorean theorem.

Isaalang-alang natin ang isa sa mga argumento. Ang Triangle ABC ay may parehong mga anggulo tulad ng triangle ABD, ngunit sa reverse order. (Ang dalawang tatsulok ay may isang karaniwang anggulo sa vertex B, parehong may isang anggulo θ at mayroon ding parehong ikatlong anggulo, batay sa kabuuan ng mga anggulo ng tatsulok) Alinsunod dito, ang ABC ay katulad ng reflection ABD ng tatsulok na DBA, bilang ipinapakita sa ibabang pigura. Isulat natin ang ugnayan sa pagitan ng magkabilang panig at ang mga katabi ng anggulo θ,

Isang salamin din ng isa pang tatsulok,

I-multiply natin ang mga fraction at idagdag ang dalawang ratio na ito:

Q.E.D.

Generalization para sa arbitrary triangles sa pamamagitan ng parallelograms

Paglalahat para sa mga arbitrary na tatsulok,
luntiang lugar plot = lugar asul

Patunay ng thesis na sa figure sa itaas

Gumawa tayo ng karagdagang paglalahat para sa mga hindi tamang tatsulok sa pamamagitan ng paggamit ng mga paralelogram sa tatlong panig sa halip na mga parisukat. (Ang mga parisukat ay isang espesyal na kaso.) Ipinapakita ng itaas na figure na para sa isang talamak na tatsulok, ang lugar ng parallelogram sa mahabang bahagi ay katumbas ng kabuuan ng parallelograms sa iba pang dalawang panig, sa kondisyon na ang parallelogram sa mahabang side ay itinayo tulad ng ipinapakita sa figure (ang mga sukat na ipinahiwatig ng mga arrow ay pareho at tinutukoy ang mga gilid ng mas mababang paralelogram). Ang pagpapalit na ito ng mga parisukat na may parallelograms ay may malinaw na pagkakahawig sa unang teorama ng Pythagoras, na inaakalang binuo ni Pappus ng Alexandria noong 4 AD. e.

Ang ibabang pigura ay nagpapakita ng pag-unlad ng patunay. Tingnan natin ang kaliwang bahagi ng tatsulok. Ang kaliwang berdeng paralelogram ay may parehong lugar bilang kaliwang bahagi asul na paralelogram dahil pareho sila ng base b at taas h. Gayundin, ang kaliwang berdeng paralelogram ay may parehong lugar tulad ng kaliwang berdeng paralelogram sa itaas na larawan dahil sila ay magkaparehong base (itaas kaliwang bahagi tatsulok) at ang kabuuang taas na patayo sa gilid na iyon ng tatsulok. Gamit ang katulad na pangangatwiran para sa kanang bahagi ng tatsulok, papatunayan natin na ang mas mababang parallelogram ay may parehong lugar sa dalawang berdeng parallelogram.

Mga kumplikadong numero

Ang Pythagorean theorem ay ginagamit upang mahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos sa isang Cartesian coordinate system, at ang theorem na ito ay wasto para sa lahat ng tunay na coordinate: distansya s sa pagitan ng dalawang puntos ( a, b) At ( c, d) katumbas

Walang mga problema sa formula kung ang mga kumplikadong numero ay itinuturing bilang mga vector na may mga tunay na bahagi x + ako y = (x, y). . Halimbawa, distansya s sa pagitan ng 0 + 1 i at 1 + 0 i kinakalkula bilang modulus ng vector (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), o

Gayunpaman, para sa mga operasyon na may mga vector na may kumplikadong mga coordinate, kinakailangan na gumawa ng ilang mga pagpapabuti sa formula ng Pythagorean. Distansya sa pagitan ng mga puntos na may mga kumplikadong numero ( a, b) At ( c, d); a, b, c, At d lahat ng kumplikado, bumubuo kami gamit ang mga ganap na halaga. Distansya s batay sa pagkakaiba ng vector (a − c, b − d) sa sumusunod na anyo: hayaan ang pagkakaiba a − c = p+i q, Saan p- tunay na bahagi ng pagkakaiba, q ay ang haka-haka na bahagi, at i = √(−1). Gayundin, hayaan b − d = r+i s. Pagkatapos:

nasaan ang complex conjugate number para sa . Halimbawa, ang distansya sa pagitan ng mga punto (a, b) = (0, 1) At (c, d) = (i, 0) , kalkulahin natin ang pagkakaiba (a − c, b − d) = (−i, 1) at ang magiging resulta ay 0 kung hindi ginamit ang mga kumplikadong conjugates. Samakatuwid, gamit ang pinahusay na formula, nakukuha namin

Ang module ay tinukoy bilang mga sumusunod:

Stereometry

Ang isang makabuluhang generalization ng Pythagorean theorem para sa three-dimensional space ay ang theorem ni de Goy, na pinangalanang J.-P. de Gois: kung ang isang tetrahedron ay may tamang anggulo (tulad ng sa isang kubo), kung gayon ang parisukat ng lugar ng mukha sa tapat ng tamang anggulo ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga lugar ng iba pang tatlong mukha. Ang konklusyong ito ay maaaring ibuod bilang " n-dimensional na Pythagorean theorem":

Iniuugnay ng Pythagorean theorem sa three-dimensional space ang diagonal AD sa tatlong panig.

Isa pang paglalahat: Ang Pythagorean theorem ay maaaring ilapat sa stereometry sa sumusunod na anyo. Isaalang-alang ang isang parihabang parallelepiped tulad ng ipinapakita sa figure. Hanapin natin ang haba ng dayagonal na BD gamit ang Pythagorean theorem:

kung saan ang tatlong panig ay bumubuo ng isang tamang tatsulok. Ginagamit namin ang pahalang na dayagonal na BD at ang vertical na gilid AB upang mahanap ang haba ng dayagonal AD, para dito muli naming ginagamit ang Pythagorean theorem:

o, kung isusulat natin ang lahat sa isang equation:

Ang resultang ito ay isang three-dimensional na expression para sa pagtukoy ng magnitude ng vector v(diagonal AD), na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga perpendikular na bahagi nito ( v k ) (tatlong magkabilang patayo na gilid):

Ang equation na ito ay maaaring ituring bilang isang generalization ng Pythagorean theorem para sa multidimensional space. Gayunpaman, ang resulta ay talagang walang iba kundi ang paulit-ulit na aplikasyon ng Pythagorean theorem sa isang sequence ng right triangles sa sunud-sunod na perpendicular planes.

Vector space

Sa kaso ng isang orthogonal system ng mga vectors, mayroong isang pagkakapantay-pantay, na tinatawag ding Pythagorean theorem:

Kung - ito ay mga projection ng vector papunta sa mga coordinate axes, ang formula na ito ay tumutugma sa Euclidean distance - at nangangahulugan na ang haba ng vector ay katumbas ng square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga bahagi nito.

Ang pagkakatulad ng pagkakapantay-pantay na ito sa kaso ng isang walang katapusang sistema ng mga vector ay tinatawag na pagkakapantay-pantay ng Parseval.

Non-Euclidean geometry

Ang Pythagorean theorem ay nagmula sa mga axiom ng Euclidean geometry at, sa katunayan, ay hindi wasto para sa non-Euclidean geometry, sa anyo kung saan ito nakasulat sa itaas. (Iyon ay, ang Pythagorean theorem ay lumalabas na isang uri ng katumbas ng Euclid's postulate of parallelism) Sa madaling salita, sa non-Euclidean geometry ang relasyon sa pagitan ng mga gilid ng isang tatsulok ay kinakailangang nasa isang anyo na naiiba sa Pythagorean theorem. Halimbawa, sa spherical geometry, lahat ng tatlong panig ng isang right triangle (sabihin a, b At c), na naglilimita sa octant (ika-walong bahagi) ng unit sphere, ay may haba na π/2, na sumasalungat sa Pythagorean theorem, dahil a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Isaalang-alang natin dito ang dalawang kaso ng non-Euclidean geometry - spherical at hyperbolic geometry; sa parehong mga kaso, tulad ng para sa Euclidean space para sa right triangles, ang resulta, na pumapalit sa Pythagorean theorem, ay sumusunod mula sa cosine theorem.

Gayunpaman, ang Pythagorean theorem ay nananatiling wasto para sa hyperbolic at elliptic geometry kung ang pangangailangan na ang tatsulok ay hugis-parihaba ay papalitan ng kondisyon na ang kabuuan ng dalawang anggulo ng tatsulok ay dapat na katumbas ng pangatlo, sabihin nating A+B = C. Pagkatapos ay ganito ang ugnayan sa pagitan ng mga panig: ang kabuuan ng mga lugar ng mga bilog na may mga diameter a At b katumbas ng lugar ng isang bilog na may diameter c.

Spherical geometry

Para sa anumang tamang tatsulok sa isang globo na may radius R(halimbawa, kung ang anggulo γ sa isang tatsulok ay tama) na may mga gilid a, b, c Ang relasyon sa pagitan ng mga partido ay magiging ganito:

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring makuha bilang isang espesyal na kaso spherical cosine theorem, na wasto para sa lahat ng spherical triangles:

kung saan ang cosh ay ang hyperbolic cosine. Ang formula na ito ay isang espesyal na kaso ng hyperbolic cosine theorem, na wasto para sa lahat ng triangles:

kung saan ang γ ay ang anggulo na ang vertex ay nasa tapat ng gilid c.

saan g ij tinatawag na metric tensor. Maaaring ito ay isang function ng posisyon. Ang ganitong mga curved space ay kinabibilangan ng Riemannian geometry bilang pangkalahatang halimbawa. Ang pormulasyon na ito ay angkop din para sa Euclidean space kapag gumagamit ng curvilinear coordinates. Halimbawa, para sa mga polar coordinates:

Vector na likhang sining

Ang Pythagorean theorem ay nag-uugnay sa dalawang expression para sa magnitude ng isang vector product. Ang isang diskarte sa pagtukoy ng cross product ay nangangailangan na matugunan nito ang equation:

Ginagamit ng formula na ito ang produkto ng tuldok. Ang kanang bahagi ng equation ay tinatawag na Gram determinant para sa a At b, na katumbas ng lugar ng parallelogram na nabuo ng dalawang vector na ito. Batay sa pangangailangang ito, pati na rin ang pangangailangan na ang produkto ng vector ay patayo sa mga bahagi nito a At b sinusundan nito na, maliban sa mga maliit na kaso mula sa 0- at 1-dimensional na espasyo, ang cross product ay tinukoy lamang sa tatlo at pitong dimensyon. Ginagamit namin ang kahulugan ng anggulo sa n-dimensional na espasyo:

Ang pag-aari na ito ng isang cross product ay nagbibigay ng magnitude nito tulad ng sumusunod:

Sa pamamagitan ng fundamental trigonometriko pagkakakilanlan Ang Pythagoras ay nakakakuha tayo ng isa pang paraan ng pagsulat ng halaga nito:

Ang isang alternatibong diskarte sa pagtukoy ng cross product ay ang paggamit ng expression para sa magnitude nito. Pagkatapos, pangangatwiran sa reverse order, nakakakuha kami ng koneksyon sa scalar product:

Tingnan din

Mga Tala

1. Paksa sa kasaysayan: Pythagoras's theorem sa Babylonian mathematics
2. ( , p. 351) p. 351
3. ( , Tomo I, p. 144)
4. Pagtalakay makasaysayang katotohanan ibinigay sa (, p. 351) p. 351
5. Kurt Von Fritz (Abr., 1945). "The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics, Ikalawang Serye(Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
6. Lewis Carroll, "The Story with Knots", M., Mir, 1985, p. 7
7. Asger Aaboe Mga yugto mula sa unang bahagi ng kasaysayan ng matematika. - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
8. Proposisyon ng Python ni Elisha Scott Loomis
9. kay Euclid Mga elemento: Aklat VI, Proposisyon VI 31: “Sa right-angled triangles, ang figure sa gilid na subtending ang right angle ay katumbas ng katulad at katulad na inilarawan na figure sa mga gilid na naglalaman ng right angle.”
10. Lawrence S. Leff binanggit na gawain. - Barron's Educational Series. - P. 326. - ISBN 0764128922
11. Howard Whitley Eves§4.8:...generalization ng Pythagorean theorem // Mga magagandang sandali sa matematika (bago ang 1650). - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
12. Si Tâbit ibn Qorra (buong pangalan na Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 AD) ay isang manggagamot na naninirahan sa Baghdad na malawakang sumulat sa Mga Elemento ni Euclid at iba pang mga paksang matematika.
13. Aydin Sayili (Mar. 1960). Paglalahat ng Pythagorean Theorem ni "Thâbit ibn Qurra." Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
14. Judith D. Sally, Paul Sally Pagsasanay 2.10 (ii) // Binanggit na gawain. - P. 62. - ISBN 0821844032
15. Para sa mga detalye ng naturang konstruksiyon, tingnan George Jennings Figure 1.32: Ang pangkalahatang Pythagorean theorem // Modernong geometry na may mga aplikasyon: na may 150 figure. - ika-3. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy item C: Norm para sa isang arbitrary n-tuple ... // Isang panimula sa pagsusuri . - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Tingnan din ang mga pahina 47-50.
17. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Modern differential geometry ng mga curve at surface na may Mathematica. - ika-3. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia Pagsusuri ng matris. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W. Hawking binanggit na gawain. - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
20. Eric W. Weisstein CRC concise encyclopedia of mathematics. - ika-2. - 2003. - P. 2147. - ISBN 1584883472
21. Alexander R. Pruss