Ano ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo ng isang paralelogram. Paano mahanap ang talamak na anggulo ng isang paralelogram

QUADAGONS.

§43. PARALLELOGRAM.

1. Kahulugan ng paralelogram.

Kung i-intersect natin ang isang pares ng parallel na linya sa isa pang pares ng parallel na linya, makakakuha tayo ng quadrilateral na ang magkabilang gilid ay parallel sa pares.

Sa quadrilaterals ABC at EFNM (Fig. 224) ВD || AC at AB || CD;
EF || MN at EM || FN.

Ang isang may apat na gilid na ang magkabilang panig ay parallel sa mga pares ay tinatawag na parallelogram.

2. Mga katangian ng paralelogram.

Teorama. Ang dayagonal ng isang paralelogram ay hinahati ito sa dalawang pantay na tatsulok.

Hayaang magkaroon ng paralelogram ABC (Fig. 225), kung saan ang AB || CD at AC || ВD.

Kailangan mong patunayan na ang dayagonal ay nahahati ito sa dalawang pantay na tatsulok.

Iguhit natin ang dayagonal CB sa paralelogram ABC. Patunayan natin yan /\ CAB= /\ СДВ.

Ang Side NE ay karaniwan sa mga tatsulok na ito; / ABC = / BCD, bilang panloob na mga crosswise na anggulo na may parallel AB at CD at secant CB; / DIA = / СВD, tulad din ng mga panloob na crosswise na anggulo na may parallel AC at ВD at secant CB (§ 38).

Mula rito /\ CAB = /\ СДВ.

Sa parehong paraan, mapapatunayan ng isa na ang dayagonal AD ay hahatiin ang parallelogram sa dalawang pantay na tatsulok na ACD at ABD.

Mga kahihinatnan. 1 . Ang magkasalungat na mga anggulo ng isang paralelogram ay katumbas ng bawat isa.

/ A = / D, ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na CAB at CDB.
Ganun din / C = / SA.

2. Kabaligtaran mga gilid ng paralelogram ay pantay-pantay sa bawat isa.

AB = CD at AC = BD, dahil ang mga ito ay mga gilid ng pantay na tatsulok at nakahiga sa tapat ng pantay na mga anggulo.

Teorama 2. Ang mga diagonal ng isang paralelogram ay nahahati sa kalahati sa punto ng kanilang intersection.

Hayaang ang BC at AD ay ang mga dayagonal ng paralelogram na ABC (Larawan 226). Patunayan natin na ang AO = OD at CO = OB.

Upang gawin ito, ihambing ang ilang pares ng magkasalungat na tatsulok, halimbawa /\ AOB at /\ COD.

Sa mga tatsulok na ito AB = CD, tulad ng magkabilang panig ng isang paralelogram;
/ 1 = / 2, bilang panloob na mga anggulo na nakahiga crosswise na may parallel AB at CD at secant AD;
/ 3 = / 4 para sa parehong dahilan, dahil AB || Ang CD at CB ang kanilang mga secant (§ 38).

Sinusundan nito iyon /\ AOB = /\ COD. At sa pantay na tatsulok Ang mga pantay na panig ay nasa tapat ng pantay na mga anggulo. Samakatuwid, AO = OD at CO = OB.

Teorama 3. Ang kabuuan ng mga anggulo na katabi ng isang gilid ng isang paralelogram ay katumbas ng 2 d .

Patunayan mo ito sa iyong sarili.

3. Mga palatandaan ng paralelogram.

Teorama. Kung ang magkasalungat na panig ng isang may apat na gilid ay pantay sa mga pares, kung gayon ang quadrilateral na ito ay isang paralelogram.

Ilagay sa quadrilateral ABC (Drawn 227) AB = CD at AC = BD. Patunayan natin na sa ilalim ng kundisyong ito AB || CD at AC || Ang ВD, ibig sabihin, quadrilateral АВDC ay isang paralelogram.
Kumonekta tayo sa isang segment ng ilang dalawang magkasalungat na vertice ng quadrilateral na ito, halimbawa C at B. Ang quadrilateral ABCD ay nahahati sa dalawang pantay na tatsulok: /\ CAB at /\ СДВ. Sa katunayan, mayroon silang parehong side CB, AB = CD at AC = BD ayon sa kondisyon. Kaya, ang tatlong panig ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng tatlong panig ng isa pa, samakatuwid /\ CAB = /\ СДВ.

Sa pantay na tatsulok, ang mga pantay na anggulo ay nasa tapat ng magkabilang panig, kaya
/ 1 = / 2 at / 3 = / 4.

Ang mga anggulo 1 at 2 ay mga panloob na anggulo na nakahiga sa intersection ng mga tuwid na linya AB at CD ng tuwid na linya CB. Samakatuwid AB || CD.

Sa parehong paraan, ang mga anggulo 3 at 4 ay mga panloob na anggulo na nakahiga crosswise sa intersection ng mga linya CA at BD ng linya CB, samakatuwid, CA || ВD (§ 35).

Kaya, ang magkasalungat na panig ng may apat na gilid ABCD ay magkapareho sa mga pares, samakatuwid, ito ay isang paralelogram, na kung saan ay kung ano ang kailangang patunayan.

Teorama 2. Kung ang dalawang magkasalungat na gilid ng isang may apat na gilid ay pantay at parallel, kung gayon ang quadrilateral ay isang paralelogram.

Hayaan ang AB = CD sa may apat na gilid ABCD at AB || CD. Patunayan natin na sa ilalim ng mga kundisyong ito ang quadrilateral ABC ay isang paralelogram (Larawan 228).

Ikonekta natin ang mga vertices C at B sa isang segment na CB. Dahil sa parallelism ng mga tuwid na linya AB at CD, ang mga anggulo 1 at 2, bilang panloob na mga anggulo na naka-crosswise, ay pantay (§ 38).
Kung gayon ang tatsulok na CAB ay katumbas ng tatsulok na CDB, dahil mayroon silang isang karaniwang panig na CB,
AB = CD ayon sa mga kondisyon ng theorem at / 1 = / 2 ayon sa napatunayan. Ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ito ay nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay ng mga anggulo 3 at 4, dahil ang mga ito ay nasa tapat ng pantay na panig sa pantay na tatsulok.

Ngunit ang mga anggulo 3 at 4 ay panloob na mga crosswise na anggulo na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng mga tuwid na linya AC at BD ng tuwid na linya CB, samakatuwid, AC || ВD (§ 35), ibig sabihin, isang quadrilateral
Ang ABC ay isang paralelogram.

Mga ehersisyo.

1. Patunayan na kung ang mga dayagonal ng isang quadrilateral sa punto ng kanilang mutual intersection ay nahahati sa kalahati, kung gayon ang quadrilateral na ito ay isang parallelogram.

2. Patunayan na ang isang quadrilateral na ang kabuuan panloob na sulok katabi ng bawat isa sa dalawang magkatabing panig ay katumbas ng 2 d, may paralelogram.

3. Bumuo ng paralelogram gamit ang dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito:

a) gamit ang parallelism ng magkabilang panig ng isang paralelogram;
b) gamit ang pagkakapantay-pantay ng magkabilang panig ng isang paralelogram.

4. Bumuo ng paralelogram gamit ang dalawang magkatabing gilid at isang dayagonal.

5. Bumuo ng paralelogram gamit ang dalawang dayagonal nito at ang anggulo sa pagitan ng mga ito.

6. Bumuo ng paralelogram gamit ang gilid at dalawang dayagonal nito.

Ang parallelogram ay isang quadrilateral na ang magkabilang panig ay parallel, i.e. humiga sa magkatulad na linya

Mga katangian ng paralelogram:
Teorama 22. Ang magkabilang panig ng paralelogram ay pantay.
Patunay. Sa parallelogram ABCD gumuhit kami ng isang dayagonal AC. Ang mga tatsulok na ACD at ACB ay magkatugma, bilang pagkakaroon ng isang karaniwang panig na AC at dalawang pares ng magkaparehong anggulo. katabi nito: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (bilang mga crosswise angle na may parallel na linya AD at BC). Nangangahulugan ito na ang AB = CD at BC = AD, bilang mga kaukulang panig ng pantay na tatsulok, atbp. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ito ay sumusunod din na ang mga katumbas na anggulo ng mga tatsulok ay pantay-pantay:
Teorama 23. Ang magkasalungat na mga anggulo ng parallelogram ay pantay: ∠ A=∠ C at ∠ B=∠ D.
Ang pagkakapantay-pantay ng unang pares ay nagmumula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ABD at CBD, at ang pangalawa - ABC at ACD.
Teorama 24. Mga katabing anggulo ng isang paralelogram, i.e. Ang mga anggulo na katabi ng isang gilid ay nagdaragdag ng hanggang 180 degrees.
Ito ay dahil ang mga ito ay panloob na isang panig na anggulo.
Teorama 25. Ang mga diagonal ng isang paralelogram ay naghahati-hati sa bawat isa sa kanilang intersection point.
Patunay. Isaalang-alang ang mga tatsulok na BOC at AOD. Ayon sa unang ari-arian AD=BC ∠ OAD=∠ OCB at ∠ ODA=∠ OBC nakahiga crosswise para sa magkatulad na linya AD at BC. Samakatuwid, ang mga tatsulok na BOC at AOD ay pantay sa gilid at katabing mga anggulo. Nangangahulugan ito ng BO=OD at AO=OS, tulad ng mga kaukulang panig ng pantay na tatsulok, atbp.

Mga palatandaan ng paralelogram
Teorama 26. Kung ang magkasalungat na gilid ng isang quadrilateral ay pantay sa mga pares, kung gayon ito ay isang paralelogram.
Patunay. Hayaang ang may apat na gilid na ABCD ay may mga panig na AD at BC, AB at CD ayon sa pagkakabanggit pantay (Larawan 2). Iguhit natin ang dayagonal na AC. Ang mga Triangles ABC at ACD ay pantay sa tatlong panig. Pagkatapos ang mga anggulo ng BAC at DCA ay pantay at, samakatuwid, ang AB ay kahanay sa CD. Ang paralelismo ng mga panig BC at AD ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulo CAD at ACB.
Teorama 27. Kung magkasalungat na anggulo quadrilaterals ay pantay sa mga pares, pagkatapos ito ay isang paralelogram.
Hayaan ang ∠ A=∠ C at ∠ B=∠ D. Dahil ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, pagkatapos ay ∠ A+∠ B=180 o at ang mga gilid AD at BC ay parallel (batay sa parallelism ng mga tuwid na linya). Patunayan din natin ang parallelism ng mga gilid AB at CD at paghihinuha na ang ABCD ay isang paralelogram sa pamamagitan ng kahulugan.
Teorama 28. Kung ang mga katabing sulok ng isang quadrilateral, i.e. Ang mga anggulo na katabi ng isang gilid ay nagdaragdag ng hanggang 180 degrees, pagkatapos ito ay isang paralelogram.
Kung ang panloob na isang panig na anggulo ay nagdaragdag ng hanggang 180 degrees, kung gayon ang mga tuwid na linya ay magkatulad. Kaya ang AB ay parallel sa CD at BC ay parallel sa AD. Ang isang quadrilateral ay lumalabas na isang paralelogram ayon sa kahulugan.
Teorama 29. Kung ang mga dayagonal ng isang may apat na gilid ay humahati sa isa't isa sa punto ng intersection, kung gayon ang quadrilateral ay isang paralelogram.
Patunay. Kung AO = OC, BO = OD, kung gayon ang mga tatsulok na AOD at BOC ay pantay, bilang pagkakaroon ng pantay (vertical) na mga anggulo sa vertex O, na nakapaloob sa pagitan ng mga pares ng pantay na panig. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok napagpasyahan namin na ang AD at BC ay pantay. Ang mga gilid ng AB at CD ay pantay din, at ang quadrilateral ay lumalabas na isang paralelogram ayon sa criterion 1.
Teorama 30. Kung ang isang may apat na gilid ay may isang pares ng pantay, parallel na panig, kung gayon ito ay isang paralelogram.
Hayaan ang mga gilid AB at CD ng may apat na gilid ABCD ay parallel at pantay. Gumuhit tayo ng mga dayagonal na AC at BD. Mula sa parallelism ng mga linyang ito ay sumusunod na ang mga crosswise na anggulo ABO = CDO at BAO = OCD ay pantay. Ang mga tatsulok na ABO at CDO ay pantay sa gilid at katabing mga anggulo. Samakatuwid AO=OS, VO=ОD, i.e. Ang mga diagonal ay nahahati sa kalahati ng intersection point at ang quadrilateral ay lumalabas na isang parallelogram ayon sa criterion 4.

Sa geometry, ang mga espesyal na kaso ng parallelograms ay isinasaalang-alang.

Ang parallelogram ay isang quadrilateral na ang magkabilang panig ay magkatulad, iyon ay, nakahiga sila sa magkatulad na linya (Larawan 1).

Teorama 1. Sa mga katangian ng mga gilid at anggulo ng isang paralelogram. Sa isang paralelogram, ang magkasalungat na panig ay pantay, ang magkasalungat na mga anggulo ay pantay, at ang kabuuan ng mga anggulo na katabi ng isang gilid ng paralelogram ay 180°.

Patunay. Sa parallelogram ABCD na ito gumuhit kami ng isang dayagonal na AC at kumuha ng dalawang tatsulok na ABC at ADC (Larawan 2).

Ang mga tatsulok na ito ay magkapantay, dahil ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (crosswise angle para sa magkatulad na linya), at ang side AC ay karaniwan. Mula sa pagkakapantay-pantay Δ ABC = Δ ADC sumusunod na ang AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Ang kabuuan ng mga anggulo na katabi ng isang panig, halimbawa ang mga anggulo A at D, ay katumbas ng 180° bilang isang panig. para sa mga parallel na linya. Ang teorama ay napatunayan.

Magkomento. Ang pagkakapantay-pantay ng magkasalungat na gilid ng parallelogram ay nangangahulugan na ang mga segment ng parallel na pinutol ng mga parallel ay pantay.

Corollary 1. Kung ang dalawang linya ay magkatulad, ang lahat ng mga punto sa isang linya ay nasa parehong distansya mula sa kabilang linya.

Patunay. Sa katunayan, hayaan ang isang || b (Larawan 3).

Iguhit natin ang mga perpendicular BA at CD sa tuwid na linya a mula sa ilang dalawang punto B at C ng linya b. Dahil AB || CD, pagkatapos ay figure ABCD ay isang paralelogram, at samakatuwid AB = CD.

Ang distansya sa pagitan ng dalawang magkatulad na linya ay ang distansya mula sa isang arbitrary na punto sa isa sa mga linya patungo sa kabilang linya.

Ayon sa kung ano ang napatunayan, ito ay katumbas ng haba ng patayo na iginuhit mula sa isang punto ng isa sa mga parallel na linya hanggang sa kabilang linya.

Halimbawa 1. Ang perimeter ng parallelogram ay 122 cm. Ang isa sa mga gilid nito ay 25 cm na mas malaki kaysa sa isa. Hanapin ang mga gilid ng parallelogram.

Solusyon. Sa pamamagitan ng Theorem 1, ang magkabilang panig ng isang paralelogram ay pantay. Tukuyin natin ang isang panig ng paralelogram sa pamamagitan ng x at ang isa naman sa pamamagitan ng y. Pagkatapos, sa pamamagitan ng kundisyon $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Ang paglutas sa sistemang ito, makuha namin ang x = 43, y = 18 Kaya, ang mga gilid ng paralelogram ay 18, 43, 18 at 43 cm.

Halimbawa 2.

Solusyon. Hayaang matugunan ng Figure 4 ang mga kondisyon ng problema.

Tukuyin natin ang AB ng x, at BC ng y. Ayon sa kondisyon, ang perimeter ng parallelogram ay 10 cm, ibig sabihin, 2(x + y) = 10, o x + y = 5. Ang perimeter ng triangle ABD ay 8 cm. At dahil AB + AD = x + y = 5 pagkatapos ay BD = 8 - 5 = 3. Kaya BD = 3 cm.

Halimbawa 3. Hanapin ang mga anggulo ng paralelogram, alam na ang isa sa kanila ay 50° na mas malaki kaysa sa isa.

Solusyon. Hayaang matugunan ng Figure 5 ang mga kondisyon ng problema.

Tukuyin natin ang sukat ng antas ng anggulo A sa x. Pagkatapos ang sukat ng antas ng anggulo D ay x + 50°.

Ang mga anggulo na BAD at ADC ay isang panig na panloob na mga anggulo na may mga parallel na linya AB at DC at secant AD. Kung gayon ang kabuuan ng mga pinangalanang anggulong ito ay magiging 180°, i.e.
x + x + 50° = 180°, o x = 65°. Kaya, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Halimbawa 4. Ang mga gilid ng paralelogram ay 4.5 dm at 1.2 dm. Ang isang bisector ay iginuhit mula sa vertex ng isang matinding anggulo. Anong mga bahagi ang hinahati nito sa mas malaking bahagi ng paralelogram?

Solusyon. Hayaang matugunan ng Figure 6 ang mga kondisyon ng problema.

Ang AE ay ang bisector ng isang matinding anggulo ng isang paralelogram. Samakatuwid, ∠ 1 = ∠ 2.

Problema 1. Ang isa sa mga anggulo ng paralelogram ay 65°. Hanapin ang natitirang mga anggulo ng paralelogram.

∠C =∠A = 65° bilang magkasalungat na anggulo ng paralelogram.

∠A +∠B = 180° bilang mga anggulo na katabi ng isang gilid ng paralelogram.

∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.

∠D =∠B = 115° bilang magkasalungat na anggulo ng isang paralelogram.

Sagot: ∠A =∠C = 65°; ∠B =∠D = 115°.

Gawain 2. Ang kabuuan ng dalawang anggulo ng isang paralelogram ay 220°. Hanapin ang mga anggulo ng paralelogram.

Dahil ang isang parallelogram ay may 2 pantay na acute na anggulo at 2 pantay na obtuse na anggulo, binibigyan tayo ng kabuuan ng dalawang obtuse na anggulo, i.e. ∠B +∠D = 220°. Pagkatapos ∠B =∠D = 220° : 2 = 110°.

∠A + ∠B = 180° bilang mga anggulo na katabi ng isang gilid ng parallelogram, kaya ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. Pagkatapos ∠C =∠A = 70°.

Sagot: ∠A =∠C = 70°; ∠B =∠D = 110°.

Gawain 3. Ang isa sa mga anggulo ng isang paralelogram ay 3 beses na mas malaki kaysa sa isa. Hanapin ang mga anggulo ng paralelogram.

Hayaan ang ∠A =x. Pagkatapos ∠B = 3x. Alam na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang paralelogram na katabi ng isa sa mga gilid nito ay 180°, gagawa tayo ng isang equation.

x = 180 : 4;

Nakukuha namin ang: ∠A = x = 45°, at ∠B = 3x = 3 ∙ 45° = 135°.

Ang magkasalungat na mga anggulo ng isang paralelogram ay pantay, samakatuwid,

∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Sagot: ∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Gawain 4. Patunayan na kung ang isang quadrilateral ay may dalawang parallel at pantay na panig, kung gayon ang quadrilateral na ito ay isang parallelogram.

Patunay.

Iguhit natin ang dayagonal na BD at isaalang-alang ang Δ ADB at Δ CBD.

AD = BC ayon sa kondisyon. Ang BD side ay karaniwan. ∠1 = ∠2 bilang panloob na crosswise na nakahiga na may parallel (ayon sa kondisyon) na mga linya ng AD at BC at secant BD. Samakatuwid, Δ ADB = Δ CBD sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito (1st sign ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok). Sa congruent triangles, ang mga katumbas na anggulo ay pantay, na nangangahulugang ∠3 =∠4. At ang mga anggulong ito ay mga panloob na anggulo na nakahiga sa crosswise na may mga tuwid na linya AB at CD at secant BD. Ito ay nagpapahiwatig na ang mga linya ng AB at CD ay parallel. Kaya, sa may apat na gilid na ABCD na ito, ang magkabilang panig ay magkapareho sa mga pares, samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan, ang ABCD ay isang paralelogram, na kung saan ay kung ano ang kailangang mapatunayan.

Gawain 5. Ang dalawang panig ng isang paralelogram ay nasa ratio 2 : 5, at ang perimeter ay 3.5 m. Hanapin ang mga gilid ng paralelogram.

∙ (AB + AD).

Tukuyin natin ang isang bahagi ng x. pagkatapos AB = 2x, AD = 5x metro. Alam na ang perimeter ng paralelogram ay 3.5 m, nilikha namin ang equation:

2 ∙ (2x + 5x) = 3.5;

2 ∙ 7x = 3.5;

x = 3.5 : 14;

Ang isang bahagi ay 0.25 m. Pagkatapos AB = 2 ∙ 0.25 = 0.5 m; AD = 5 ∙ 0.25 = 1.25 m.

Pagsusulit.

Perimeter ng paralelogram P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1.75 = 3.5 (m).

Dahil ang magkabilang panig ng paralelogram ay pantay, kung gayon ang CD = AB = 0.25 m; BC = AD = 1.25 m.

Sagot: CD = AB = 0.25 m; BC = AD = 1.25 m.

Ang parallelogram ay isang may apat na gilid kung saan ang magkabilang panig ay magkapares.

Ang parallelogram ay may lahat ng mga katangian ng quadrilaterals, ngunit sa karagdagan ito ay mayroon ding sarili nito mga natatanging katangian. Ang pag-alam sa kanila, madali nating mahahanap ang magkabilang panig at anggulo ng isang paralelogram.

Mga katangian ng paralelogram

1. Ang kabuuan ng mga anggulo sa anumang paralelogram, tulad ng sa anumang quadrilateral, ay 360°.
2. Ang mga midline ng parallelogram at ang mga diagonal nito ay nagsalubong sa isang punto at hinahati nito. Ang puntong ito ay karaniwang tinatawag na sentro ng simetrya ng paralelogram.
3. Ang magkabilang panig ng paralelogram ay palaging pantay.
4. Gayundin, ang figure na ito ay palaging may pantay na kabaligtaran na mga anggulo.
5. Ang kabuuan ng mga anggulo na katabi ng alinman sa mga gilid ng isang paralelogram ay palaging 180°.
6. Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga dayagonal ng isang paralelogram ay katumbas ng dalawang beses ng kabuuan ng mga parisukat ng dalawang magkatabing panig nito. Ito ay ipinahayag ng formula:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), kung saan ang d 1 at d 2 ay mga dayagonal, ang a at b ay magkatabing panig.
7. Ang cosine ng isang obtuse angle ay palaging mas mababa sa zero.

Paano mahahanap ang mga anggulo ng isang ibinigay na paralelogram gamit ang mga katangiang ito sa pagsasanay? At anong iba pang mga formula ang makakatulong sa atin dito? Tingnan natin ang mga partikular na gawain na nangangailangan ng: hanapin ang mga anggulo ng isang paralelogram.

Paghahanap ng mga anggulo ng paralelogram

Kaso 1. Alam ang sukat ng obtuse angle, kailangan nating maghanap ng acute angle.

Halimbawa: Sa parallelogram ABCD, ang anggulo A ay 120°. Hanapin ang sukat ng natitirang mga anggulo.

Solusyon: Gamit ang property No. 5, mahahanap natin ang sukat ng anggulo B na katabi ng anggulo na ibinigay sa gawain. Ito ay magiging katumbas ng:

• 180°-120°= 60°

At ngayon, gamit ang property No. 4, tinutukoy namin na ang dalawang natitirang anggulo C at D ay kabaligtaran sa mga anggulo na nahanap na namin. Ang anggulo C ay kabaligtaran ng anggulo A, ang anggulo D ay kabaligtaran ng anggulo B. Samakatuwid, sila ay pantay sa mga pares.

• Sagot: B = 60°, C = 120°, D=60°

Case 2. Ang mga haba ng mga gilid at dayagonal ay kilala

Sa kasong ito, kailangan nating gamitin ang cosine theorem.

Maaari muna nating kalkulahin ang cosine ng anggulo na kailangan natin gamit ang formula, at pagkatapos ay gamitin espesyal na mesa hanapin kung ano ang katumbas ng anggulo mismo.

Para sa isang matinding anggulo ang formula ay:

• cosa = (A² + B² - d²) / (2 * A * B), kung saan
• a ay ang nais na matinding anggulo,
• Ang A at B ay ang mga gilid ng paralelogram,
• d - mas maliit na dayagonal

Para sa isang mahinang anggulo, bahagyang nagbabago ang formula:

• cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B), kung saan
• Ang ß ay isang obtuse na anggulo,
• Ang A at B ay mga panig
• D - malaking dayagonal

Halimbawa: kailangan mong makahanap ng isang matinding anggulo ng isang paralelogram na ang mga gilid ay 6 cm at 3 cm, at ang mas maliit na dayagonal ay 5.2 cm

Palitan ang mga halaga sa formula upang makahanap ng isang matinding anggulo:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) = 17.96/36 ~ 18/36 ~1/2
• cosa = 1/2. Mula sa talahanayan nalaman natin na ang nais na anggulo ay 60°.