הסימן השלישי לשתי ראיות ישירות מקבילות. קו ישר

§ 1. סימני מקבילות של שני קווים - גיאומטריה דרגה 7 (Atanasyan L. S.)

תיאור קצר:

תלמדו מהם קווים מקבילים בפסקה זו. תקבלו הגדרה פשוטה, אך יחד עם זאת קצת יוצאת דופן - שני קווים במישור נקראים מקבילים אם הם לא מצטלבים. במילים אחרות, אם שני קווים אינם מצטלבים, אז הם יהיו מקבילים. או, אם לקווים אין נקודות חיתוך, אז הם מקבילים.
חריגות ההגדרה הזו נעוצה בעובדה שאם יש לפניכם שני קווים ישרים ואתם לא רואים את נקודת ההצטלבות שלהם, זה בכלל לא אומר שהיא לא קיימת. זה אומר שאתה יכול פשוט לא לראות את זה.
לכן, לא ניתן להשתמש בהגדרה זו ישירות כדי להוכיח ששני קווים מקבילים. הרי אי אפשר לעקוב בלי סוף אחר המשך הקווים כדי לוודא שהם לא מצטלבים.
אבל זה לא הכרחי. ישנם סימנים שלפיהם ניתן לשפוט את ההקבלה של קווים. יש שלושה מהם. בהתאם לכל אחת מהן, נחשבות זוויות מיוחדות או שילוביהן, שנוצרות כאשר שני קווים אלו הנבדקים מצטלבים עם קו ישר שלישי - סקנט. זוויות אלה משמשות לשפוט את ההקבלה של קווים ישרים.
ההוכחות לסימנים הללו - משפטים על מקבילות של ישרים - מבוססות על המשפט שכבר שקלת בפרק 1 של ספר הלימוד - שני קווים מאונכים לשליש אינם מצטלבים. רק עכשיו המשפט הזה נראה אחרת - שני ישרים מאונכים לשלישי מקבילים.

מטרות השיעור: בשיעור זה תכירו את המושג "קווים מקבילים", תלמדו כיצד ניתן לאמת את ההקבלה של קווים, וכן אילו תכונות יש לזוויות שנוצרות על ידי קווים מקבילים ורוחב.

קווים מקבילים

אתה יודע שהמושג "קו ישר" הוא אחד מהמושגים הבלתי ניתנים להגדרה של גיאומטריה.

אתה כבר יודע ששני קווים יכולים לחפוף, כלומר יש להם את כל הנקודות המשותפות, או לחתוך, כלומר יש להם נקודה משותפת אחת. קווים ישרים מצטלבים בזוויות שונות, והזווית בין הקווים הישרים נחשבת לקטנה מבין הזוויות הנוצרות על ידם. מקרה מיוחד של חיתוך יכול להיחשב למקרה של ניצב, כאשר הזווית שנוצרת על ידי קווים ישרים שווה ל-90 0.

אבל ייתכן שלשני קווים ישרים אין נקודות משותפות, כלומר, ייתכן שהם לא מצטלבים. קווים כאלה נקראים מַקְבִּיל.

עבודה עם משאב חינוכי אלקטרוני « ».

כדי להכיר את המושג "קווים מקבילים", עבדו עם חומרי שיעור הווידאו

לכן, עכשיו אתה יודע את ההגדרה של קווים מקבילים.

מהחומרים של קטע שיעור הווידאו שלמדת עליו סוגים שוניםזוויות שנוצרות כאשר שני קווים ישרים מצטלבים עם שלישי.

זוגות פינות 1 ו-4; 3 ו-2 נקראים פינות פנימיות חד צדדיות(הם שוכבים בין קווים ישרים או ב).

זוגות זוויות 5 ו-8; 7 ו-6 נקראים פינות חיצוניות חד צדדיות(הם שוכבים מחוץ לקווים או ב).

זוגות זוויות 1 ו-8; 3 ו-6; 5 ו-4; 7 ו-2 נקראות זוויות חד צדדיות בזוויות ישרות או בוסיקור ג. כפי שאתה יכול לראות, מתוך זוג זוויות מתאימות, אחת נמצאת בין הזווית הישרה או ב, והשני נמצא מחוץ להם.

סימנים של קווים מקבילים

ברור שבאמצעות ההגדרה אי אפשר להסיק ששני קווים מקבילים. לכן, כדי להסיק ששני קווים מקבילים, השתמש שלטים.

אתה כבר יכול לנסח אחד מהם לאחר היכרות עם החומרים של החלק הראשון של שיעור הווידאו:

משפט 1. שני קווים מאונכים לשלישי אינם מצטלבים, כלומר הם מקבילים.

תכיר סימנים אחרים של מקבילות של קווים המבוססים על שוויון של זוגות מסויימים של זוויות על ידי עבודה עם החומרים בחלק השני של שיעור הווידאו"סימנים של קווים מקבילים."

לפיכך, אתה צריך לדעת שלושה סימנים נוספים של קווים מקבילים.

משפט 2 (הסימן הראשון של קווים מקבילים). אם, כאשר שני קווים מצטלבים לרוחב, הזוויות המעורבות שוות, אז הקווים מקבילים.

חזור על הסימן הראשון של קווים מקבילים פעם נוספת על ידי עבודה עם המשאב החינוכי האלקטרוני « ».

לפיכך, כאשר מוכיחים את הסימן הראשון להקבלת ישרים, משתמשים בסימן השוויון של משולשים (בשתי צלעות ובזווית ביניהן), וכן בסימן המקבילות של ישרים בניצב לישר אחד.

תרגיל 1.

רשום את הניסוח של הסימן הראשון של קווים מקבילים והוכחתו במחברות שלך.

משפט 3 (סימן שני של ישרים מקבילים). אם, כאשר שני קווים מצטלבים עם רוחב, הזוויות המתאימות שוות, אז הקווים מקבילים.

חזור על הסימן השני של קווים מקבילים פעם נוספת על ידי עבודה עם המשאב החינוכי האלקטרוני « ».

כאשר מוכיחים את הסימן השני להקבלת קווים, נעשה שימוש בתכונת הזוויות האנכיות והסימן הראשון להקבלת קווים.

משימה 2.

רשום את הניסוח של הקריטריון השני להקבלת קווים והוכחתו במחברות שלך.

משפט 4 (סימן שלישי של קווים מקבילים). אם, כאשר שני ישרים מצטלבים עם רוחב, סכום הזוויות החד-צדדיות שווה ל-180 0, אז הקווים מקבילים.

חזור על הסימן השלישי של קווים מקבילים פעם נוספת על ידי עבודה עם המשאב החינוכי האלקטרוני « ».

לפיכך, כאשר מוכיחים את הסימן הראשון של מקביליות של קווים, נעשה שימוש בתכונת הזוויות הסמוכות ובסימן הראשון של מקביליות של קווים.

משימה 3.

רשמו את הניסוח של הקריטריון השלישי לקווים מקבילים והוכחתו במחברות שלכם.

על מנת לתרגל פתרון בעיות פשוטות, עבדו עם החומרים של המשאב החינוכי האלקטרוני « ».

סימנים של מקבילות של קווים משמשים בפתרון בעיות.

עכשיו תסתכל על דוגמאות של פתרון בעיות על סימנים של קווים מקבילים, עבודה עם החומרים של שיעור וידאו"פתרון בעיות בנושא "סימנים של קווים מקבילים."

כעת בדוק את עצמך על ידי השלמת המשימות של המשאב החינוכי האלקטרוני לבקרה « ».

כל מי שרוצה לעבוד על פתרון בעיות מורכבות יותר יכול לעבוד עם חומרי ההדרכה של הווידאו "משימות על סימני מקבילות של קווים."

מאפיינים של קווים מקבילים

לקווים מקבילים יש קבוצה של מאפיינים.

תלמד מה הם המאפיינים האלה על ידי עבודה עם חומרי הדרכה בווידאו "מאפיינים של קווים מקבילים."

לכן, עובדה חשובההדבר שאתה צריך לדעת הוא אקסיומה במקביל.

אקסיומה של מקביליות. דרך נקודה שאינה שוכנת על קו נתון, ניתן לצייר קו מקביל לזה הנתון, ויותר מכך, רק אחד.

כפי שלמדת ממדריך הווידאו, על סמך האקסיומה הזו, ניתן לנסח שתי השלכות.

מסקנה 1.אם ישר חוצה את אחד מהקווים המקבילים, אז הוא חותך גם את הישר המקביל השני.

מסקנה 2.אם שני קווים מקבילים לשלישי, אז הם מקבילים זה לזה.

משימה 4.

רשמו במחברותיכם את ניסוח התוצאות האמורות והוכחותיהן.

המאפיינים של זוויות הנוצרות על ידי קווים מקבילים ורוחב הם משפטים הפוכים לתכונות המקבילות.

אז, מחומרי שיעור הווידאו למדת את המאפיין של זוויות מוצלבות.

משפט 5 (משפט הפוך לקריטריון הראשון לישרים מקבילים). כאשר שני קווים מקבילים מצטלבים לרוחב, הזוויות המעורבות שוות.

משימה 5.

חזור על המאפיין הראשון של קווים מקבילים פעם נוספת על ידי עבודה עם המשאב החינוכי האלקטרוני « ».

משפט 6 (משפט הפונה לקריטריון השני להקבלת ישרים). כאשר שני ישרים מקבילים מצטלבים, הזוויות המתאימות שוות.

משימה 6.

רשמו את ההצהרה של משפט זה ואת הוכחתו במחברות שלכם.

חזור על המאפיין השני של קווים מקבילים פעם נוספת על ידי עבודה עם המשאב החינוכי האלקטרוני « ».

משפט 7 (משפט, הפוך לשלישיסימן מקבילות של קווים). כאשר שני ישרים מקבילים מצטלבים, סכום הזוויות החד-צדדיות הוא 180 0.

משימה 7.

רשמו את ההצהרה של משפט זה ואת הוכחתו במחברות שלכם.

חזור על המאפיין השלישי של קווים מקבילים שוב על ידי עבודה עם המשאב החינוכי האלקטרוני « ».

כל המאפיינים של קווים מקבילים משמשים גם בפתרון בעיות.

שקול דוגמאות טיפוסיות לפתרון בעיות על ידי עבודה עם חומרי שיעור הווידאו "קווים מקבילים ובעיות בזוויות בינם לבין הרוחב."

במישור, קווים נקראים מקבילים אם אין להם נקודות משותפות, כלומר, הם לא מצטלבים. כדי לציין מקביליות, השתמש בסמל מיוחד || (קווים מקבילים א || ב).

לקווים השוכנים במרחב, לא מספיקה הדרישה שאין נקודות משותפות – כדי שיהיו מקבילים במרחב, הם חייבים להיות שייכים לאותו מישור (אחרת הם יצטלבו).

לא צריך ללכת רחוק בשביל דוגמאות של קווים מקבילים; הם מלווים אותנו לכל מקום, בחדר - אלו קווי ההצטלבות של הקיר עם התקרה והרצפה, על דף מחברת - קצוות מנוגדים וכו'.

זה די ברור שכאשר יש שני קווים מקבילים וקו שלישי מקביל לאחד מהשניים הראשונים, הוא יהיה מקביל גם לשני.

קווים מקבילים במישור קשורים במשפט שלא ניתן להוכיח באמצעות האקסיומות של הפלנימטריה. זה מקובל כעובדה, כאקסיומה: לכל נקודה במישור שאינה שוכנת על קו, יש קו ייחודי שעובר דרכה במקביל לזה הנתון. כל כיתה ו' מכיר את האקסיומה הזו.

ההכללה המרחבית שלו, כלומר, האמירה שלכל נקודה במרחב שאינה שוכנת על קו, יש קו ייחודי שעובר דרכה במקביל לזה הנתון, מוכחת בקלות באמצעות האקסיומה הידועה כבר של המקבילות על מָטוֹס.

מאפיינים של קווים מקבילים

• אם אחד משני קווים מקבילים מקביל לשלישי, אז הם מקבילים זה לזה.

לקווים מקבילים הן במישור והן בחלל יש תכונה זו.
כדוגמה, שקול את הצדקתו בסטריאומטריה.

נניח כי ישרים b וקו a מקבילים.

המקרה שבו כל הקווים הישרים נמצאים באותו מישור יוותר לפלנימטריה.

נניח ש-a ו-b שייכים למישור בטא, וגמא הוא המישור שאליו שייכים a ו-c (לפי הגדרת המקבילות במרחב, ישרים חייבים להיות שייכים לאותו מישור).

אם נניח שמישורי הבטא והגמא שונים ונסמן נקודה מסוימת B על קו b ממישור הבטא, אז המישור המצויר דרך נקודה B וקו c חייב לחתוך את מישור הבטא בקו ישר (בואו נסמן את זה b1) .

אם הקו הישר b1 יחצה את מישור הגמא, אז, מצד אחד, נקודת החיתוך הייתה צריכה להיות על a, מכיוון ש-b1 שייך למישור בטא, ומצד שני, היא צריכה להיות שייכת גם ל-c, שכן b1 שייך למישור השלישי.
אבל ישרים מקבילים a ו-c לא צריכים להצטלב.

לפיכך, קו b1 חייב להיות שייך למישור הבטא ובו בזמן לא להיות בעל נקודות משותפות עם a, ולכן, לפי אקסיומת המקביליות, הוא חופף ל-b.
קיבלנו ישר b1 החופף לישר b, ששייך לאותו מישור עם ישר c ואינו חותך אותו, כלומר b ו-c מקבילים

• דרך נקודה שאינה שוכנת על קו נתון, רק קו ישר אחד יכול לעבור במקביל לישר הנתון.

• שני קווים השוכבים על מישור מאונך לשלישי מקבילים.

• אם המישור חותך אחד משני ישרים מקבילים, גם הישר השני חותך את אותו המישור.

• התאמה ושכיבה צולבת פינות פנימיות, שנוצרו על ידי חיתוך של שני ישרים מקבילים של השלישי, שווים, סכום החד-צדדי הפנימי שנוצר שווה ל-180°.

גם ההצהרות ההפוכות נכונות, שניתן לקחת אותן כסימנים להקבלה של שני קווים ישרים.

תנאי לקווים מקבילים

המאפיינים והמאפיינים שנוסחו לעיל מייצגים את התנאים להקבלה של קווים, וניתן להוכיח אותם באמצעות שיטות הגיאומטריה. במילים אחרות, כדי להוכיח את ההקבלה של שני קווים קיימים, מספיק להוכיח את ההקבלה שלהם לישר שלישי או את שוויון הזוויות, בין אם הן מקבילות או צולבות וכו'.

לשם הוכחה הם משתמשים בעיקר בשיטה "בסתירה", כלומר בהנחה שהקווים אינם מקבילים. בהתבסס על הנחה זו, ניתן להראות בקלות שבמקרה זה התנאים שצוינו מופרים, למשל, הזוויות הפנימיות המונחות זו על פני זו מתבררות כלא שוות, מה שמוכיח את אי נכונות ההנחה שנעשתה.

שיעור הווידאו "סימנים להקבלה של שני קווים" מכיל הוכחות למשפטים המתארים את הסימנים המציינים את ההקבלה של קווים. במקביל, הסרטון מתאר 1) המשפט על הקבילות של ישרים שבהם נוצרות זוויות שוות על ידי רוחב, 2) סימן שמשמעותו הקבלה של שני ישרים - בזוויות מתאימות שנוצרו שוות, 3) סימן כלומר ההקבלה של שני קווים במקרה כאשר, כאשר הם מצטלבים עם גזירה זוויות חד-צדדיות מסתכמות ב-180°. מטרת שיעור וידאו זה היא להכיר לתלמידים את הסימנים שמשמעותם ההקבלה של שני קווים, שהכרתם נחוצה לפתרון בעיות מעשיות רבות, להציג בבירור את ההוכחה של משפטים אלו, ולפתח מיומנויות בהוכחת הצהרות גיאומטריות.

היתרונות של שיעור הווידאו קשורים בכך שבעזרת אנימציה, ליווי קולי ויכולת הדגשה בצבע הוא מספק מעלות גבוהותבהירות, יכול לשמש כתחליף לאספקת בלוק סטנדרטי של חדש חומר חינוכימוֹרֶה.

שיעור הווידאו מתחיל עם הכותרת המוצגת על המסך. לפני שמתארים את הסימנים של קווים מקבילים, התלמידים מתוודעים למושג ססקנט. סקנט מוגדר כקו החותך קווים אחרים. המסך מציג שני קווים ישרים a ו-b, המצטלבים עם ישר ג. הקו הבנוי c מודגש בכחול, ומדגיש את העובדה שהוא קטע של השורות הנתונות a ו-b. על מנת לשקול את סימני ההקבלה של קווים, יש צורך להכיר יותר את אזור ההצטלבות של קווים. הססקנט בנקודות החיתוך עם הקווים יוצר 8 זוויות ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, על ידי ניתוח הקשרים שבהם ניתן לגזור סימנים של ההקבלה של קווים אלה. יצוין כי זוויות ∠3 ו-∠5, כמו גם ∠2 ו-∠4 נקראות צולבות. נָתוּן הסבר מפורטשימוש באנימציה של סידור צולב של זוויות שכיבה כזוויות שנמצאות בין קווים ישרים מקבילים וקשרים ישרים, השוכבים לרוחב. לאחר מכן מוצג המושג של זוויות חד-צדדיות, הכוללות את הזוגות ∠4 ו-∠5, וכן ∠3 ו-∠6. כמו כן מצוינים זוגות של זוויות מתאימות, מתוכם יש 4 זוגות בתמונה הבנויה - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.

החלק הבא של שיעור הווידאו בוחן שלושה סימנים של מקבילות של כל שני קווים. התיאור הראשון מופיע על המסך. המשפט קובע שאם הזוויות הצולבות שנוצרות על ידי הרוחב שוות, הקווים הנתונים יהיו מקבילים. ההצהרה מלווה בשרטוט המציג שני קווים ישרים a ו-b וחתך AB. יצוין כי זוויות השכיבה ∠1 ו-∠2 הנוצרות בצלב שוות זו לזו. אמירה זו דורשת הוכחה.

הכי קל להוכיח מקרה מיוחד- כאשר הזוויות הצלבות הנתונות הן זוויות ישרות. זה אומר שהסקאנט מאונך לישרים, ולפי המשפט שכבר הוכח, במקרה הזה הישרים a ו-b לא יחתכו, כלומר הם מקבילים. ההוכחה למקרה הספציפי הזה מתוארת באמצעות דוגמה של תמונה שנבנתה ליד הדמות הראשונה, תוך הדגשת פרטים חשובים של ההוכחה באמצעות אנימציה.

כדי להוכיח זאת במקרה הכללי, יש צורך לצייר מאונך נוסף מאמצע הקטע AB ועד לישר a. לאחר מכן, קטע BH 1 שווה לקטע AN מונח על קו ישר b. מהנקודה H 1 המתקבלת, נמשך קטע המחבר בין נקודות O ו- H 1. לאחר מכן, נבחן שני משולשים ΔОНА ו- ΔОВН 1, שהשוויון ביניהם מוכח על ידי הקריטריון הראשון לשוויון של שני משולשים. הצלעות OA ו-OB שוות בבנייה, שכן נקודה O סומנה כאמצע הקטע AB. הצלעות HA ו-H 1 B שוות גם הן בבנייה, מכיוון שהטלנו קטע H 1 B שווה ל-HA. והזוויות הן ∠1=∠2 לפי תנאי הבעיה. מכיוון שהמשולשים שנוצרו שווים זה לזה, זוגות הזוויות והצלעות הנותרים שווים גם הם זה לזה. מכאן נובע שהקטע OH 1 הוא המשך של הקטע OH, המהווה מקטע אחד HH 1. יצוין שמכיוון שהקטע הבנוי OH מאונך לישר a, אז, בהתאם, קטע HH 1 מאונך לישרים a ו-b. העובדה הזופירושו, באמצעות המשפט על המקבילות של ישרים שאליהם בנוי מאונך אחד, שהישרים הנתונים a ו-b מקבילים.

המשפט הבא שדורש הוכחה הוא סימן לשוויון של ישרים מקבילים בשוויון של הזוויות המתאימות שנוצרות כאשר חותכים רוחב. ההצהרה של משפט זה מוצגת על המסך וניתן להציע על ידי תלמידים להקלטה. ההוכחה מתחילה בבנייה על המסך של שני קווים מקבילים a ו-b, אליהם נבנית הססקנט c. מודגש בכחול בתמונה. הסקאנט יוצר את הזוויות המתאימות ∠1 ו-∠2, אשר לפי התנאי שוות זו לזו. גם הזוויות הסמוכות ∠3 ו∠4 מסומנות. ∠2 ביחס לזווית ∠3 היא זווית אנכית. וזוויות אנכיות תמיד שוות. בנוסף, זוויות ∠1 ו-∠3 מוטלות זו בזו ברוחב - השוויון שלהן (לפי האמירה שכבר מוכחת) אומר שהקווים a ו-b מקבילים. המשפט הוכח.

החלק האחרון של שיעור הווידאו מוקדש להוכחת האמירה שאם סכום הזוויות החד-צדדיות שנוצרות כאשר שני קווים מצטלבים עם קו רוחבי שווה ל-180°, במקרה זה קווים אלו יהיו מקבילים זה לזה. ההוכחה מודגמת באמצעות איור המציגה קווים a ו-b החותכים קטע c. הזוויות שנוצרות מהצומת מסומנות בדומה להוכחה הקודמת. לפי תנאי, סכום הזוויות ∠1 ו∠4 שווה ל-180°. יתרה מכך, ידוע שסכום הזוויות ∠3 ו-∠4 שווה ל-180°, מכיוון שהן סמוכות. זה אומר שהזוויות ∠1 ו∠3 שוות זו לזו. מסקנה זו נותנת את הזכות לטעון כי הקווים a ו-b מקבילים. המשפט הוכח.

שיעור הווידאו "סימנים של מקבילות של שני קווים" יכול לשמש את המורה כבלוק עצמאי המדגים את ההוכחות של משפטים אלה, מחליף את ההסבר של המורה או מלווה אותו. הסבר מפורט מאפשר לתלמידים להשתמש בחומר ללימוד עצמאי ויסייע בהסבר החומר במהלך הלמידה מרחוק.