Négyzetgyök. Részletes elmélet példákkal

Cím: Önálló és próbamunka algebrából és geometriából 8. évfolyamra.

A kézikönyv a 8. osztályos algebra és geometria tantárgy összes fontosabb témájában önálló és próbamunkát tartalmaz.

A művek 6 lehetőségből állnak, három nehézségi fokozattal. A didaktikai anyagok a tanulók differenciált önálló munkájának megszervezésére szolgálnak.

TARTALOM
ALGEBRA 4
C-1 Racionális kifejezések. Csökkentő frakciók 4
C-2 Törtek összeadása és kivonása 5
K-1 Racionális törtek. Törtek összeadása és kivonása 7
C-3 Törtek szorzása és osztása. Tört felemelése 10 hatványára
C-4 Racionális kifejezések átalakítása 12
C-5 Fordított arányosság és grafikonja 14
K-2 Racionális törtek 16
C-6 Aritmetikai négyzetgyök 18
C-7 Egyenlet x2 = a. Függvény y = y[x 20
C-8 Egy szorzat négyzetgyöke, tört, 22 hatványa
K-3 Aritmetikai négyzetgyök és tulajdonságai 24
C-9 Szorzó összeadása és kivonása négyzetgyökben 27
C-10 Négyzetgyököt tartalmazó kifejezések konvertálása 28
K-4 A számtani négyzetgyök tulajdonságainak alkalmazása 30
S-11 Hiányos másodfokú egyenletek 32
S-12 A 33. másodfokú egyenlet gyökeinek képlete
C-13 Feladatok megoldása másodfokú egyenletekkel. Vieta tétele 34
K-5 másodfokú egyenletek 36
S-14 Törtracionális egyenletek 38
P-15 Tört racionális egyenletek alkalmazása. Problémamegoldás 39
K-6 Törtracionális egyenletek 40
C-16 Numerikus egyenlőtlenségek tulajdonságai 43
K-7 Numerikus egyenlőtlenségek és tulajdonságaik 44
S-17 Lineáris egyenlőtlenségek egy változóval 47
S-18 Lineáris egyenlőtlenségek rendszerei 48
K-8 Lineáris egyenlőtlenségek és egyenlőtlenségrendszerek egy változóval 50
C-19 fok negatív jelzővel 52
K-9 fokozat 54-es integrálpontszámmal
K-10 Éves teszt 56
GEOMETRIA (Pogorelov szerint) 58
C-1 A paralelogramma tulajdonságai és jellemzői." 58
C-2 Téglalap. Rombusz. 60. tér
K-1 62. párhuzamos
C-3 Thalész-tétel. A 63-as háromszög középvonala
S-4 Trapéz. A 66-os trapéz középvonala
K-2 Trapéz. Háromszög és trapéz középvonalai....68
C-5 70. Pitagorasz-tétel
C-6 Tétel fordítottja a Pitagorasz-tételnek. Merőleges és ferde 71
C-7 Háromszög egyenlőtlenség 73
K-3 Pitagorasz-tétel 74
C-8 Derékszögű háromszögek megoldása 76
C-9 Trigonometrikus függvények tulajdonságai 78
K-4 Derékszögű háromszög (általános teszt) 80
C-10 A szakasz közepének koordinátái. Pontok közötti távolság. 82. köregyenlet
S-11 Egy egyenes egyenlete 84
K-5 Descartes koordináták 86
S-12 Mozgás és tulajdonságai. Központi és axiális szimmetria. 88. kanyar
S-13. Párhuzamos átvitel 90
S-14 A vektor fogalma. Vektorok egyenlősége 92
C-15 Műveletek vektorokkal koordináta formában. Kollineáris vektorok 94
S-16 Műveletek geometriai formájú vektorokkal 95
C-17 Dot termék 98
K-6 vektorok 99
K-7 Éves teszt 102
GEOMETRIA (Atanasyan szerint) 104
C-1 A paralelogramma tulajdonságai és jellemzői 104
C-2 Téglalap. Rombusz. 106. tér
K-1 négyszögek 108
C-3 Egy téglalap területe, négyzet 109
C-4 Egy paralelogramma, rombusz, 111-es háromszög területe
S-5 Trapéz terület 113
C-6 Pitagorasz-tétel 114
K-2 négyzetek. Pitagorasz-tétel 116
C-7 Hasonló háromszögek meghatározása. Egy háromszög szögfelezőjének tulajdonsága 118
S-8 A háromszögek hasonlóságának jelei 120
K-3 Háromszögek hasonlósága 122
C-9 A hasonlóság alkalmazása a problémamegoldásban 124
C-10 A derékszögű háromszög oldalai és szögei közötti összefüggések 126
K-4 A hasonlóság alkalmazása a problémamegoldásban. A derékszögű háromszög oldalai és szögei közötti összefüggések 128
C-11 A 130-as kör érintője
C-12 Központi és beírt szögek 132
C-13 Tétel metsző akkordok szakaszainak szorzatáról. A háromszög figyelemre méltó pontjai 134
C-14 Beírt és körülírt körök 136
K-5 137. kör
S-15 Vektorok összeadása és kivonása 139
C-16 Vektor szorzása 141-gyel
S-17 A 142-es trapéz középvonala
K-6 vektorok. Vektorok alkalmazása problémamegoldásban 144
K-7 Éves teszt 146
VÁLASZOK 148
IRODALOM 157

ELŐSZÓ .
1. Egy viszonylag kis méretű könyv a teljes 8. osztályos algebra és geometria tanfolyam teljes tesztkészletét tartalmazza (beleértve a záróteszteket is), így elegendő osztályonként egy könyvkészletet vásárolni.
A tesztek tanórára, önálló munkára készültek - témától függően 20-35 percig. A könyv könnyebb használhatósága érdekében minden önálló és tesztmunka címe tükrözi a témáját.

2. A gyűjtemény lehetővé teszi az ismeretek differenciált ellenőrzését, mivel a feladatok három összetettségi szintre oszlanak: A, B és C. Az A szint megfelel a kötelező programkövetelményeknek, B - átlagos összetettségi szint, C szintű feladatokat szánunk. a matematika iránt fokozott érdeklődést mutató tanulók számára, valamint osztályokban, iskolákban, gimnáziumokban és líceumokban való felhasználásra a matematika elmélyült tanulmányozásával. Minden szinten 2 ekvivalens lehetőség található egymás mellett (ahogyan általában a táblára vannak írva), így elég egy könyv az asztalon a leckéhez.

Töltse le ingyenesen az e-könyvet kényelmes formátumban, nézze meg és olvassa el:
Töltse le az Önálló és próbamunka algebráról és geometriáról című könyvet a 8. osztály számára. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, gyors és ingyenes letöltés.

• Geometria önálló és próbamunka 11. évfolyamra. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004
• Önálló és próbamunka algebrából és geometriából 9. évfolyamra. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004
• Önálló és próbamunka algebrából és geometriából, 8. évfolyam, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013

Megint megnéztem a táblát... És gyerünk!

Kezdjük valami egyszerűvel:

Csak egy perc. ez azt jelenti, hogy így írhatjuk:

Megvan? Íme a következő az Ön számára:

A kapott számok gyökerei nincsenek pontosan kivonva? Nem probléma – íme néhány példa:

Mi van, ha nem kettő, hanem több szorzó van? Ugyanaz! A gyökerek szorzásának képlete számos tényezővel működik:

Most teljesen egyedül:

Válaszok: Szép munka! Egyetértek, minden nagyon egyszerű, a lényeg az, hogy ismerje a szorzótáblát!

Gyökér felosztás

A gyökök szorzását rendeztük, most térjünk át az osztás tulajdonságára.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy az általános képlet így néz ki:

Ami azt jelenti a hányados gyöke egyenlő a gyökök hányadosával.

Nos, nézzünk néhány példát:

Ennyi a tudomány. Íme egy példa:

Nem minden olyan sima, mint az első példában, de amint látja, nincs semmi bonyolult.

Mi van, ha találkozik ezzel a kifejezéssel:

Csak az ellenkező irányba kell alkalmaznia a képletet:

És itt van egy példa:

Találkozhat ezzel a kifejezéssel is:

Minden ugyanaz, csak itt emlékeznie kell a törtek fordítására (ha nem emlékszik, nézze meg a témát, és térjen vissza!). Emlékszel? Most döntsünk!

Biztos vagyok benne, hogy mindennel megbirkózott, most próbáljuk meg fokra emelni a gyökereket.

Hatványozás

Mi történik, ha a négyzetgyök négyzetes? Ez egyszerű, emlékezzen egy szám négyzetgyökének jelentésére - ez egy olyan szám, amelynek négyzetgyöke egyenlő.

Tehát, ha négyzetre emelünk egy számot, amelynek négyzetgyöke egyenlő, mit kapunk?

Hát persze!

Nézzünk példákat:

Egyszerű, igaz? Mi van, ha a gyökér más fokú? Ez rendben van!

Kövesse ugyanazt a logikát, és emlékezzen a tulajdonságokra és a lehetséges műveletekre fokokkal.

Olvassa el az elméletet a „” témában, és minden rendkívül világos lesz az Ön számára.

Például itt van egy kifejezés:

Ebben a példában a fokszám páros, de mi van, ha páratlan? Ismét alkalmazzuk a kitevők tulajdonságait, és faktoráljunk mindent:

Ezzel minden világosnak tűnik, de hogyan lehet egy szám gyökerét hatványra vonni? Itt van például ez:

Elég egyszerű, igaz? Mi van, ha a fokozat nagyobb, mint kettő? Ugyanezt a logikát követjük a fokok tulajdonságaival:

Nos, minden világos? Ezután oldja meg a példákat saját maga:

És itt vannak a válaszok:

Belépés a gyökér jele alatt

Mit nem tanultunk meg a gyökerekkel! Már csak a gyökérjel alatti szám beírását kell gyakorolni!

Ez tényleg könnyű!

Tegyük fel, hogy felírtunk egy számot

Mit tehetünk vele? Nos, persze, rejtse el a hármat a gyökér alá, ne feledje, hogy a három a négyzetgyöke!

Miért van erre szükségünk? Igen, csak hogy bővítsük a képességeinket a példák megoldása során:

Nektek hogy tetszik a gyökereknek ez a tulajdonsága? Sokkal könnyebbé teszi az életet? Számomra ez pontosan így van! Csak Emlékeznünk kell arra, hogy a négyzetgyök jel alá csak pozitív számokat írhatunk be.

Oldja meg ezt a példát saját maga -
Sikerült? Lássuk, mit érdemes venni:

Szép munka! Sikerült beírni a számot a gyökér jele alá! Térjünk át egy ugyanilyen fontos dologra – nézzük meg, hogyan lehet négyzetgyököt tartalmazó számokat összehasonlítani!

A gyökerek összehasonlítása

Miért kell megtanulnunk összehasonlítani a négyzetgyököt tartalmazó számokat?

Nagyon egyszerű. A vizsgán gyakran előforduló nagy és hosszú kifejezésekben irracionális választ kapunk (emlékszel, mi ez? Ma már beszéltünk erről!)

A kapott válaszokat el kell helyeznünk a koordináta egyenesre, például annak meghatározásához, hogy melyik intervallum alkalmas az egyenlet megoldására. És itt felmerül a probléma: nincs számológép a vizsgán, és enélkül hogyan lehet elképzelni, hogy melyik szám nagyobb és melyik kisebb? Ez az!

Például határozza meg, melyik a nagyobb: vagy?

Nem tudod azonnal megmondani. Nos, használjuk azt a disassembled tulajdonságot, hogy a gyökérjel alá írjunk be egy számot?

Akkor hajrá:

Nos, nyilván minél nagyobb szám van a gyökérjel alatt, annál nagyobb maga a gyökér!

Azok. ha akkor, .

Ebből határozottan arra következtetünk. És senki sem fog minket meggyőzni az ellenkezőjéről!

Gyökerek kinyerése nagy számból

Előtte a gyökér jele alá írtunk be egy szorzót, de hogyan lehet eltávolítani? Csak faktorokba kell számolnia, és ki kell bontania, amit kivon!

Lehetett más utat választani, és más tényezőkre is kiterjeszteni:

Nem rossz, igaz? Ezen megközelítések bármelyike ​​helyes, döntsön, ahogy akarja.

A faktorálás nagyon hasznos az ilyen nem szabványos problémák megoldásában, mint például:

Ne féljünk, hanem cselekedjünk! Bontsuk fel az egyes gyökér alatti tényezőket külön faktorokra:

Most próbálja ki Ön is (számológép nélkül! Nem lesz rajta a vizsgán):

Ez a vég? Ne álljunk meg félúton!

Ez minden, nem olyan ijesztő, igaz?

Megtörtént? Jól sikerült, így van!

Most próbálja ki ezt a példát:

De a példa kemény dió, így nem lehet azonnal kitalálni, hogyan kell megközelíteni. De persze megbírjuk.

Nos, kezdjük a faktoringot? Azonnal jegyezzük meg, hogy egy számot el lehet osztani (emlékezz az oszthatóság jeleire):

Most próbálja ki saját maga (újra, számológép nélkül!):

Nos, sikerült? Jól sikerült, így van!

Foglaljuk össze

1. A nem negatív szám négyzetgyöke (számtani négyzetgyöke) olyan nem negatív szám, amelynek négyzete egyenlő.
   .
2. Ha egyszerűen vesszük valaminek a négyzetgyökét, mindig egy nem negatív eredményt kapunk.
3. A számtani gyök tulajdonságai:
4. A négyzetgyökök összehasonlításakor emlékezni kell arra, hogy minél nagyobb a szám a gyökérjel alatt, annál nagyobb maga a gyök.

Milyen a négyzetgyök? Minden tiszta?

Megpróbáltunk minden felhajtás nélkül elmagyarázni Önnek mindazt, amit a vizsgán tudnia kell a négyzetgyökről.

Te jössz. Írd meg nekünk, hogy ez a téma nehéz-e számodra vagy sem.

Tanultál valami újat, vagy már minden világos volt?

Írd meg kommentben és sok sikert a vizsgáidhoz!

\(\sqrt(a)=b\), ha \(b^2=a\), ahol \(a≥0,b≥0\)

Példák:

\(\sqrt(49)=7\), mivel \(7^2=49\)
\(\sqrt(0,04)=0,2\), mivel \(0,2^2=0,04\)

Hogyan lehet kivonni egy szám négyzetgyökét?

Egy szám négyzetgyökének kivonásához fel kell tennünk magunknak a kérdést: melyik szám négyzetével adja meg a gyök alatti kifejezést?

Például. A gyökér kibontása: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0,001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) Milyen négyzetes szám adja a \(2500\)-t?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Milyen négyzetes szám adja a \(\frac(4)(9)\) -t?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Milyen négyzetes szám adja a \(0,0001\)-t?

\(\sqrt(0,0001)=0,01\)

d) Milyen négyzetes szám adja a \(\sqrt(1\frac(13)(36))\) értéket? A kérdés megválaszolásához át kell konvertálnia a rosszra.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Megjegyzés: Bár \(-50\), \(-\frac(2)(3)\), \(-0.01\),\(- \frac(7)(6)\), válaszoljon a kérdésekre is, de nem veszik figyelembe, mivel a négyzetgyök mindig pozitív.

A gyökér fő tulajdonsága

Mint tudják, a matematikában minden cselekvésnek megvan a fordítottja. Az összeadásnak kivonás, a szorzásnak osztása van. A négyzetre emelés inverze a négyzetgyököt veszi fel. Ezért ezek a tevékenységek kompenzálják egymást:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Ez a leggyakrabban használt gyökér fő tulajdonsága (beleértve az OGE-t is)

Példa . (az OGE megbízása). Keresse meg a \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\) kifejezés értékét

Megoldás :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Példa . (az OGE megbízása). Keresse meg a \((\sqrt(85)-1)^2\) kifejezés értékét

Megoldás:

Természetesen, ha négyzetgyökökkel dolgozik, másokat kell használnia.

Példa . (az OGE megbízása). Keresse meg a \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\) kifejezés értékét
Megoldás:

Válasz: \(220\)

4 szabály, amit az emberek mindig elfelejtenek

A gyökeret nem mindig nyerik ki

Példa: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) stb. – a szám gyökének kinyerése nem mindig lehetséges, és ez normális!

Szám gyöke, szám is

Nincs szükség a \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) speciális kezelésére. Ezek számok, de nem egész számok, igen, de a mi világunkban nem mindent egész számokban mérnek.

A gyökér csak nem negatív számokból származik

Ezért a tankönyvekben nem fog látni ilyen bejegyzéseket: \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) stb.

Ebben a cikkben megvizsgáljuk a legfontosabbakat a gyökerek tulajdonságai. Kezdjük az aritmetikai négyzetgyök tulajdonságaival, adjuk meg azok megfogalmazását és bizonyítsuk be. Ezek után az n-edik fokú számtani gyök tulajdonságaival foglalkozunk.

Oldalnavigáció.

A négyzetgyök tulajdonságai

Ebben a bekezdésben a következő alapelvekkel fogunk foglalkozni aritmetikai négyzetgyök tulajdonságai:

Mindegyik írott egyenlőségben a bal és a jobb oldal felcserélhető, például az egyenlőség átírható . Ebben a „fordított” formában az aritmetikai négyzetgyök tulajdonságait alkalmazzuk, amikor kifejezések egyszerűsítéseéppoly gyakran, mint a „közvetlen” formában.

Az első két tulajdonság bizonyítása a számtani négyzetgyök definícióján és a -n alapul. És a számtani négyzetgyök utolsó tulajdonságának igazolásához emlékeznie kell.

Kezdjük tehát azzal két nem negatív szám szorzatának számtani négyzetgyök tulajdonságának bizonyítása: . Ehhez az aritmetikai négyzetgyök definíciója szerint elég megmutatni, hogy egy nemnegatív szám, amelynek négyzete egyenlő a·b-vel. Csináljuk. Egy kifejezés értéke nem negatív, mint a nem negatív számok szorzata. A két szám szorzatának a tulajdonsága lehetővé teszi az egyenlőség felírását , és mivel a számtani négyzetgyök definíciója szerint és , akkor .

Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy k nemnegatív tényező a 1 , a 2 , ..., a k szorzatának számtani négyzetgyöke egyenlő ezen tényezők számtani négyzetgyökének szorzatával. Igazán, . Ebből az egyenlőségből az következik, hogy .

Mondjunk példákat: és.

Most bizonyítsuk be a hányados számtani négyzetgyökének tulajdonsága: . A hányados természetes fokú tulajdonsága lehetővé teszi az egyenlőség felírását , A , és van egy nem negatív szám. Ez a bizonyíték.

Például, és .

Ideje rendezni egy szám négyzetének aritmetikai négyzetgyökének tulajdonsága, egyenlőség formájában így írjuk. Ennek bizonyításához vegyünk két esetet: a≥0-ra és a-ra<0 .

Nyilvánvaló, hogy a≥0 esetén az egyenlőség igaz. Az is könnyen belátható, hogy a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 és (-a) 2 =a 2 . És így, , amit bizonyítani kellett.

Íme néhány példa: És .

A négyzetgyök bizonyított tulajdonsága lehetővé teszi a következő eredmény igazolását, ahol a bármely valós szám, m pedig bármely . Valójában az a tulajdonsága, hogy egy hatványt hatványra emelünk, lehetővé teszi, hogy az a 2 m teljesítményt az (a m) 2 kifejezéssel helyettesítsük, majd .

Például, És .

Az n-edik gyökér tulajdonságai

Először is soroljuk fel a főbbeket n-edik gyök tulajdonságai:

Minden írott egyenlőség érvényben marad, ha felcserélik a bal és a jobb oldalát. Ebben a formában is gyakran használják őket, főleg kifejezések egyszerűsítésére és átalakítására.

A gyök összes közölt tulajdonságának bizonyítása az n-edik fokú aritmetikai gyök definícióján, a fok tulajdonságain és a szám modulusának meghatározásán alapul. Fontossági sorrendben igazoljuk őket.

Kezdjük a bizonyítással a termék n-edik gyökének tulajdonságai . A nem negatív a és b esetén a kifejezés értéke szintén nem negatív, mint a nem negatív számok szorzata. Egy szorzatnak a természetes hatványhoz való tulajdonsága lehetővé teszi az egyenlőség felírását . Az n-edik fokú aritmetikai gyök definíciója szerint, és ezért . Ez bizonyítja a szóban forgó gyökér tulajdonságát.

Ez a tulajdonság hasonlóképpen bizonyított k tényező szorzatára: nemnegatív számokra a 1, a 2, …, a n, És .

Íme néhány példa a termék n-edik gyökér tulajdonságának használatára: És .

Bizonyítsuk be hányados gyökének tulajdonsága. Ha a≥0 és b>0 a feltétel teljesül, és .

Mutassunk példákat: És .

Menjünk tovább. Bizonyítsuk be szám n-edik gyökének tulajdonsága az n-edik hatványra. Vagyis ezt be fogjuk bizonyítani minden valódi a és természetes m. A≥0 esetén van és , ami bizonyítja az egyenlőséget és az egyenlőséget magától értetődően. Amikor a<0 имеем и (az utolsó átmenet a páros kitevővel rendelkező fok tulajdonsága miatt érvényes), ami az egyenlőséget bizonyítja, ill. igaz, mivel a páratlan fok gyökeréről beszélve elfogadtuk bármely nem negatív számra c.

Íme példák az elemzett root tulajdonság használatára: and .

Folytatjuk a gyökér gyökér tulajdonságának bizonyítását. Cseréljük fel a jobb és a bal oldalt, azaz igazoljuk az egyenlőség érvényességét, ami az eredeti egyenlőség érvényességét fogja jelenteni. Egy nem negatív a szám esetén az űrlap gyöke egy nem negatív szám. Felidézve a fok hatványra emelésének tulajdonságát, és a gyök definícióját felhasználva felírhatjuk az alak egyenlőségeinek láncát. . Ez bizonyítja a szóban forgó gyökér gyökének tulajdonságát.

Hasonló módon bizonyítható a gyökér gyökér tulajdonsága stb. Igazán, .

Például, És .

Bizonyítsuk be a következőket gyökérkitevő összehúzódási tulajdonsága. Ehhez a gyök definíciója értelmében elég megmutatni, hogy van egy nem negatív szám, amely n·m hatványra emelve egyenlő m-rel. Csináljuk. Nyilvánvaló, hogy ha az a szám nemnegatív, akkor az a szám n-edik gyöke nemnegatív szám. Ahol , ami befejezi a bizonyítást.

Íme egy példa az elemzett gyökér tulajdonság használatára: .

Bizonyítsuk be a következő tulajdonságot – a forma fokának gyökének tulajdonságát . Nyilvánvaló, hogy ha a≥0, akkor a fokszám egy nem negatív szám. Sőt, az n-edik hatványa egyenlő egy m-rel, sőt, . Ez bizonyítja a vizsgált végzettség tulajdonságát.

Például, .

Menjünk tovább. Bizonyítsuk be, hogy bármely a és b pozitív számra teljesül a feltétel , azaz a≥b. Ez pedig ellentmond az a feltételnek

Példaként adjuk meg a helyes egyenlőtlenséget .

Végül hátra van az n-edik gyök utolsó tulajdonságának bizonyítása. Bizonyítsuk be először ennek a tulajdonságnak az első részét, azaz bizonyítsuk be, hogy m>n és 0 esetén . Ekkor a természetes kitevővel rendelkező fok tulajdonságai miatt az egyenlőtlenség , azaz a n ≤a m . És a kapott egyenlőtlenség m>n és 0 esetén

Hasonlóképpen ellentmondásos módon bebizonyosodik, hogy m>n és a>1 esetén a feltétel teljesül.

Adjunk példákat a bizonyított gyöktulajdonság konkrét számokban történő alkalmazására. Például az egyenlőtlenségek és igazak.

Bibliográfia.