Dinamikus rendszerek kvalitatív elemzése. A rendszer dinamikus tulajdonságainak elemzése

Automatizálás és telemechanika, L-1, 2007

RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 Yu.S. POPKOV, a műszaki tudományok doktora. Tudományok (RAS Rendszerelemző Intézet, Moszkva)

DINAMIKUS RENDSZEREK MINŐSÉGI ELEMZÉSE Vd-ENTROPIA KEZELŐVEL

Javasolunk egy módszert a szóban forgó DSEO osztály szinguláris pontjainak létezésének, egyediségének és lokalizációjának tanulmányozására. A stabilitás feltételei „kicsiben” és „nagyban” megvalósulnak. Példákat adunk a kapott feltételek alkalmazására.

1. Bemutatkozás

A dinamikus folyamatok matematikai modellezésének számos problémája megoldható az entrópiaoperátoros dinamikus rendszerek (DSEO) koncepciója alapján. A DSEO egy dinamikus rendszer, amelyben a nemlinearitást az entrópiamaximalizálás parametrikus problémája írja le. Feio-miológiailag a DSEO egy olyan makrorendszer modellje, amely „lassú” önreprodukcióval és „gyors” erőforrás-elosztással rendelkezik. A DSEO néhány tulajdonságát tanulmányozták. Ez a munka a DSEO minőségi tulajdonságainak kutatási ciklusát folytatja.

Dinamikus rendszert tekintünk a Vd-entropy operátorral:

^ = £(x,y(x)), x e En:

y(x) = a^shax(Hb(y) | Ty = q(x), y e E^) > 0.

Ezekben a kifejezésekben:

C(x,y), c(x) folytonosan differenciálható vektorfüggvények;

Entrópia

(1.2) Нв (у) = з 1п az > 0, з = Т~т;

A ^ 0 elemű T - (r x w)-mátrix teljes rangja egyenlő r-rel;

A q(x) vektorfüggvényt folytonosan differenciálhatónak tételezzük fel, a ^ ^^ ^tached q halmaz pozitív paralelepipedon

(1.3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

ahol a- és a + az E+ vektorai, a- pedig egy kis komponensű vektor.

Az entrópia operátor jól ismert reprezentációját használva a Lagrange-szorzók szempontjából. Alakítsuk át az (1.1) rendszert a következő alakra:

- = £(x,y(z)), x e Kn, y(z) e K?, g e Er+

Uz (r) = az\\ ^, 3 = 1,t-

O(x,z) = Ty(z) = d(x),

ahol rk = exp(-Ak) > 0 exponenciális Lagrange-szorzók.

Az általános formájú (1.1) DSEO-val együtt megfontoljuk az itt megadott besorolás követését.

DSEO szétválasztható áramlással:

(1-5) ^ = I(x) + Ву(r),

ahol B(n x m)-mátrix;

DSEO multiplikatív áramlással:

(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xi(z)), ab

ahol Ш egy (n x m) mátrix nemnegatív elemekkel, a egy vektor pozitív komponensekkel, ® a koordinátaszorzás előjele.

A munka célja a DSEO szinguláris pontjainak létezésének, egyediségének és lokalizációjának, valamint stabilitásuk tanulmányozása.

2. Szinguláris pontok

2.1. Létezés

Tekintsük az (1.4) rendszert. Ennek a dinamikus rendszernek a szinguláris pontjait a következő egyenletek határozzák meg:

(2.1) C^(x,y(z))=0, z=TP;

(2.2) kz (r) = a^ r^, 3 = T^:

(2.3) vk (r) = ^ az r^ = dk (x), k = 1, r.

Nézzük először a segédegyenletrendszert:

(2.4) C(d,r) = g, d e R,

ahol az R halmazt az (1.3) egyenlőség határozza meg, és C(d,r) egy vektorfüggvény komponensekkel

(2.5) Sk(d,g) = - Ok(g), a-< дк < а+, к =1,г.

A (2.4) egyenletnek minden rögzített d vektorra egyedi r* megoldása van, ami a Vd-entrópia operátor tulajdonságaiból következik (lásd).

A C(d,r) vektorfüggvény komponenseinek definíciójából egyértelmű becslés adódik:

(2.6) C(a+,r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Jelöljük az első egyenlet megoldását r+-val, a másodikat pedig r--vel. Határozzuk meg

(2.7) C(a+,z)=z, C(a

(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk

és r-dimenziós vektorok

(2.9) z (zmax, zmax), z (zmin , zmin).

Lemma 2.1. Minden q G Q (1 . 3) megoldáshoz a (2.4) egyenlet z*(q) megoldása tartozik, az 1. vektor a szakaszhoz

zmin< z*(q) < zmax,

ahol a zmin és zmax vektorokat a (2.7)-(2.9) kifejezések határozzák meg.

A tétel bizonyítása a Függelékben található. Qq

qk(x) (1.3) x G Rn esetén, akkor

Következmény 2.1. Teljesüljenek a 2.1 lemma feltételei, és a qk(x) függvények teljesítsék az (1.3) feltételeket minden ex x G Rn esetén. Ekkor minden x G Rm esetén a (2.3) egyenlet z* megoldásai a vektorszakaszhoz tartoznak

zmin< z* < zmax

Térjünk most vissza a (2.2) egyenletekhez. amelyek az y(z) vektorfüggvény összetevőit határozzák meg. A jakobi elemeinek megvan a formája

(2.10) jb aj zk JJ & > 0

minden z G R+ esetén, kivéve 0 és f. Következésképpen az y(z) vektorfüggvény szigorúan monoton növekszik. A 2.1 lemma szerint alul és felül korlátos, azaz. minden z G Rr (tehát minden x G Rn) értékei a halmazhoz tartoznak

(2.11) Y = (y: y-< y < y+},

ahol az yk, y+ vektorok összetevőit a következő kifejezések határozzák meg:

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.

(2.13) bj = Y, tsj, 3 =1,

Tekintsük a (2.1) első egyenletét, és írjuk át a következő alakba:

(2.14) L(x,y) = 0 minden y e Y C E^ esetén.

Ez az egyenlet határozza meg az x változó függőségét az Y-hez tartozó y változótól

mi (1.4) a (2.14) egyenlettel definiált implicit x(y) függvény létezésére redukálódik.

Lemma 2.2. Teljesüljenek a következő feltételek:

a) az L(x,y) vektorfüggvény folytonos a változók halmazában;

b) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

c) det J (x, y) = 0 minden ex x e Ep-re bármely rögzített y e Y esetén.

Ekkor van egy egyedi implicit x*(y) függvény, amely Y-on van definiálva. Ebben a lemmában J(x, y) egy Jacobi-féle elemekkel.

(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.

A bizonyítást a függelék tartalmazza. A fenti lemmákból az következik

Tétel 2.1. Teljesüljenek a 2.1 és 2.2 lemmák feltételei. Ezután a DSEO (1.4) és ennek megfelelően (1.1) egyedi szinguláris pontja van.

2.2. Lokalizáció

Egy szinguláris pont lokalizációjának tanulmányozása alatt azt a lehetőséget értjük, hogy meghatározzuk azt az intervallumot, amelyben elhelyezkedik. Ez a feladat nem túl egyszerű, de a DSEO egy bizonyos osztályához beállítható egy ilyen intervallum.

Térjünk át a (2.1) egyenletek első csoportjára, és ábrázoljuk őket a formában

(2.16) L(x,y)=0, y- y y y+,

ahol y- és y+ a (2.12), (2.13) egyenlőségekkel definiált.

Tétel 2.2. Legyen az L(x,y) vektorfüggvény mindkét változóban folyamatosan differenciálható és monoton növekvő, azaz.

-- > 0, -- > 0; i,l = 1, n; j = 1,m. dxi dyj

Ekkor a (2.16) rendszer megoldása az x változóra vonatkozóan a (2.17) xmin х x х xmax intervallumhoz tartozik,

a) az xmin, xmax vektorok alakja

Min = i x 1 xmax = r x t;

\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax) :

xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;

6) az alábbi egyenletek megoldásának x- és x+ - komponensei

(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+)=0

o m-vel valóban.

A tétel bizonyítása a Függelékben található.

3. A DSEO stabilitása „kicsiben”

3.1. DSEO szeparálható áramlással Térjünk át a DSEO szeparálható áramlású egyenleteire, és mutassuk be őket a következő formában:

- = /(x) + Bu(r(x)), x e Kn ab

U- (g(X)) = azP (X)U33, 3 = 1", ~ 8 = 1

0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = d(x), g e Hg,.

Itt a d(x) vektorfüggvény komponenseinek értékei a Q (1.3) halmazhoz tartoznak, a B (n x w)-mátrix teljes rangja n (n)< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Legyen a vizsgált rendszernek szinguláris x pontja. Ennek a szinguláris pontnak a stabilitásának tanulmányozásához a "kicsiben" linearizált rendszert hozunk létre

ahol A egy (n x n) mátrix, melynek elemeit az x pontban számítjuk, és a £ = x - x vektort. A (3.1) első egyenlete szerint a linearizált rendszer mátrixa rendelkezik

A = 7 (x) + BUg (g) Ikh (x), x = g (x),

| 3 = 1,w,k = 1,

I k = 1,g, I = 1,p

A (3.1)-ből meghatározzuk a Vr: DN mátrix elemeit.

"bkz P" 8=1

3, g8 x 8, 5 1, g.

A Zx mátrix elemeinek meghatározásához áttérünk a (3.1) utolsó egyenletcsoportjára. Megmutattuk, hogy ezek az egyenletek egy implicit r(x) vektorfüggvényt határoznak meg, amely folytonosan differenciálható, ha a d(x) vektorfüggvény folytonosan differenciálható. Az r(x) vektorfüggvény Jacobi Zx értékét az egyenlet határozza meg

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vg (X) = T Ug (X),

ddk, -t-, -" -- k = 1,g, I = 1,p dx\

Ebből az egyenletből (3.9) Zx(x) = в-1(z)Qx(x).

Ezt az eredményt behelyettesítve a (3.3) egyenlőségbe. kapunk:

A = 1 (x) + P (x), P (x) = ВУг (г)[ТУг (г)]-1 Qx(x).

Így a linearizált rendszer egyenlete felveszi a formát

(z.i) | = (j+p)e

Itt a J, P mátrixok elemeit a szinguláris pontban számítjuk ki. A stabilitás megfelelő feltételeit „kis” DSEO-ban (3.1) a következők határozzák meg

3.1. Tétel. A DSEO (3.1) stabil „a kis” szinguláris ponttal rendelkezik x, ha a következő feltételek teljesülnek:

a) a linearizált rendszer (3.11) J, P (3.10) mátrixainak valós és különálló sajátértékei vannak, a J mátrixnak pedig a maximális sajátértéke

Ptah = max Pg > 0,

Wmax = max Ui< 0;

Umax + Ptah<

Ebből a tételből és a (3.10) egyenlőségből az következik, hogy azokra a szinguláris pontokra, amelyekre Qx(x) = 0 és (vagy) X esetén = 0 és tkj ^ 1 minden k,j esetén nem teljesülnek a tétel elégséges feltételei.

3.2. DSEO multiplikatív áramlással Tekintsük az (1.6) egyenletet. formában mutatjuk be őket:

X® (a-x® Wy(z(x))), xeRn;

yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;

(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++.

rendszerek. Lesz:

(3.13) A = ^ [cm] - 2ХШУх (r^x(x).

Ebben a kifejezésben a diag C] egy átlós mátrix pozitív elemekkel a1,..., an, Vr, Zx - a (3.4)-(3.7) egyenlőségekkel meghatározott mátrixokkal.

Az A mátrixot ábrázoljuk a formában

(3.14) A = diag+P (x),

(3,15) P(x) = -2xWYz (z)Zx(x).

Jelöljük: maxi ai = nmax és wmax a P(x) mátrix maximális sajátértéke (3.15). Ekkor a 3.1 Tétel a DSEO-ra (1.6) is érvényes. (3.12).

4. A DSEO stabilitása "nagyon"

Térjünk rá az (1.4) DESO egyenletekre, amelyekben a q(x) vektorfüggvény összetevőinek értékei a Q (1.3) halmazhoz tartoznak. A vizsgált rendszerben van egy szinguláris Z pont, amely megfelel a z(x) = z ^ z- > 0 vektoroknak és

y(x) = y(z) = y > y- > 0.

Vezessük be a szinguláris ponttól való £, C, П eltérések vektorait: (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.

ZHEZHERUN A.A., POKROVSKY A.V. - 2009

A BIOLÓGIAI FOLYAMATOK KINETIKÁJA

Hogyan írhatjuk le a biológiai rendszerek dinamikáját? Az idő minden pillanatában egy biológiai rendszer bizonyos jellemzőkkel rendelkezik. Például egy faj populációjának megfigyelésével rögzítheti annak méretét, a terület által elfoglalt területet, a rendelkezésre álló táplálék mennyiségét, a környezeti hőmérsékletet stb. A kémiai reakció lefolyását a faj koncentrációival jellemezhetjük. az érintett anyagok, a nyomás, a hőmérséklet és a környezet savasságának mértéke. Az összes jellemző értékkészlete, amelyet a kutató a rendszer leírására választott, a rendszer állapota az adott pillanatban. A modell létrehozásakor a változók és paraméterek a megadott sokaságból kerülnek kiválasztásra. Változók azok a mennyiségek, amelyek változása elsősorban a kutatót érdekli, a paraméterek a „külső környezet” feltételei. A kiválasztott változókra olyan egyenleteket készítenek, amelyek tükrözik a rendszer időbeli változásának mintázatait. Például egy mikrobakultúra szaporodásának modelljének megalkotásakor általában annak számát használjuk változóként, szaporodási sebességét pedig paraméterként. Talán a hőmérséklet, amelyen a növekedés bekövetkezik, jelentős, akkor ez a mutató is szerepel a modellben, mint paraméter. És ha például a levegőztetés mértéke mindig elegendő, és nincs hatással a növekedési folyamatokra, akkor ez egyáltalán nem szerepel a modellben. A paraméterek általában változatlanok maradnak a kísérlet során, de érdemes megjegyezni, hogy ez nem mindig van így.

Egy biológiai rendszer dinamikája (azaz állapotának időbeli változása) diszkrét és folytonos modellekkel egyaránt leírható. A diszkrét modellek azt feltételezik, hogy az idő diszkrét mennyiség. Ez megfelel a változók értékeinek bizonyos rögzített időközönkénti rögzítésének (például óránként vagy évente egyszer). A folytonos modellekben a biológiai változó az idő folytonos függvénye, amelyet pl. x(t).

Gyakran nagy jelentőségű kezdeti feltételek modell – a vizsgált jellemző állapota a kezdeti időpillanatban, azaz. nál nél t = 0.

Amikor valamely jellemző folyamatos változását vizsgáljuk x(t) változásának mértékéről tudhatunk információkat. Ez az információ általában differenciálegyenlet formájában írható fel:

Ez a formális jelölés azt jelenti, hogy valamely vizsgált jellemző változási sebessége az idő függvénye és ennek a jellemzőnek a nagyságrendje.

Ha egy alakzatú differenciálegyenlet jobb oldala egyértelműen időfüggetlen, pl. becsületes:

akkor ezt az egyenletet nevezzük autonóm(az ilyen egyenlettel leírt rendszert ún autonóm). Az autonóm rendszerek állapotát az idő minden pillanatában egyetlen mennyiség jellemzi - a változó értéke x ebben a pillanatban t.

Tegyük fel magunknak a kérdést: legyen adott egy differenciálegyenlet x(t), meg lehet-e találni az összes funkciót x(t) kielégíti-e ezt az egyenletet? Vagy: ha ismert egy bizonyos változó kezdeti értéke (például a populáció kezdeti mérete, egy anyag koncentrációja, a környezet elektromos vezetőképessége stb.), és van információ e változó változásának természetéről , megjósolható, hogy mekkora lesz az értéke az összes későbbi időpontban? A feltett kérdésre a válasz a következő: ha a kezdeti feltételek adottak és a Cauchy-tétel feltételei teljesülnek az egyenletre (egy adott tartományban meghatározott függvény és parciális deriváltja folytonos ebben a tartományban), akkor létezik egy az egyenlet egyedi megoldása, amely kielégíti az adott kezdeti feltételeket. (Emlékezzünk vissza, hogy minden folytonos függvényt, amely kielégít egy differenciálegyenletet, az egyenlet megoldásának nevezzük.) Ez azt jelenti, hogy egy biológiai rendszer viselkedését egyedileg megjósolhatjuk, ha ismerjük a kezdeti állapotának jellemzőit, és a modellegyenlet kielégíti az egyenlet feltételeit. Cauchy-tétel.

Álló állapot. Fenntarthatóság

Vizsgáljuk meg az autonóm differenciálegyenletet

Stacionárius állapotban a rendszerben lévő változók értékei nem változnak az idő múlásával, vagyis a változók értékének változási sebessége 0: . Ha az (1.2) egyenlet bal oldala egyenlő nullával, akkor a jobb oldala is egyenlő nullával: . Ennek az algebrai egyenletnek a gyökerei a következők stacionárius állapotok differenciálegyenlet (1.2).

1.1. példa: Keresse meg az egyenlet stacionárius állapotait!

Megoldás: A deriváltot nem tartalmazó tagot tegyük az egyenlőség jobb oldalára: . Definíció szerint stacionárius állapotban a következő egyenlőség teljesül: . Ez azt jelenti, hogy az egyenlőséget ki kell elégíteni . Megoldjuk az egyenletet:

,

Tehát az egyenletnek 3 stacionárius állapota van: , .

A biológiai rendszerek folyamatosan különböző külső hatásokat és számos ingadozást tapasztalnak. Ráadásul ezek (biológiai rendszerek) rendelkeznek homeosztázissal, azaz. stabil. A matematikai nyelven ez azt jelenti, hogy a változók kis eltérésekkel térnek vissza stacionárius értékükre. A matematikai modellje tükrözi-e egy biológiai rendszer viselkedését? Stabilak-e a modell stacionárius állapotai?

Az egyensúlyi állapot az fenntartható, ha az egyensúlyi helyzettől való kellően kis eltéréssel a rendszer soha nem távolodik el a szinguláris ponttól. Az állandósult állapot a rendszer stabil működési módjának felel meg.

Egy egyenlet egyensúlyi állapota Ljapunov-stabil, ha bármelyikre mindig meg lehet találni olyat, hogy ha , akkor mindenre.

Van egy analitikai módszer az álló állapot stabilitásának tanulmányozására - a Lyapunov-módszer. Ennek igazolására emlékezzünk vissza Taylor képlete.

Lazán szólva, Taylor képlete egy függvény viselkedését mutatja egy bizonyos pont közelében. Legyen a függvénynek minden rendjének deriváltja ig n- th bezárólag. Ekkor érvényes a Taylor-képlet:

Ha elvetjük a maradék tagot, amely önmagát magasabb rendű végtelen kicsinek mutatja, mint , megkapjuk a hozzávetőleges Taylor-képletet:

A közelítő képlet jobb oldalát ún Taylor polinom függvények, jelölése .

1.2. példa: Bővítse ki a függvényt egy Taylor-sorozattá egy pont közelében 4. rendig.

Megoldás:Írjuk fel a Taylor sorozatot a 4. rendig általános formában:

Keressük meg az adott függvény deriváltjait a pontban:

,

Helyettesítsük be a kapott értékeket az eredeti képletbe:

Analitikai módszer álló állapot stabilitásának vizsgálatára ( Ljapunov módszer) az alábbiak. Legyen az egyenlet stacionárius állapota. Állítsunk be egy kis eltérést a változóban x stacionárius értékéből: , ahol . Helyettesítsük a kifejezést a pontra x az eredeti egyenletbe: . Az egyenlet bal oldala a következő formában jelenik meg: , hiszen stacionárius állapotban a változó értékének változási sebessége nulla: . Bővítsük ki a jobb oldalt Taylor-sorozattá az stacionárius állapot környezetében, figyelembe véve, hogy az egyenlet jobb oldalán csak a lineáris tagot hagyjuk meg:

Kapott linearizált egyenlet vagy első közelítési egyenlet. A mennyiség valamilyen állandó érték, jelöljük a: . A linearizált egyenlet általános megoldásának alakja: . Ez a kifejezés azt a törvényt írja le, amely szerint az általunk megadott eltérés az álló állapottól idővel változik. Az eltérés idővel elhalványul, pl. at , ha a kitevőben a kitevő negatív, azaz. . Értelemszerűen az állandósult állapot lesz fenntartható. Ha , akkor az idő növekedésével az eltérés csak nő, a stacionárius állapot az instabil. Abban az esetben, ha az első közelítés egyenlete nem tud választ adni a stacionárius állapot stabilitásának kérdésére. A Taylor sorozat bővítésekor figyelembe kell venni a magasabb rendű feltételeket.

Az álló állapot stabilitásának vizsgálatára szolgáló analitikai módszer mellett létezik egy grafikus módszer is.

1.3. példa. Hadd . Keresse meg az egyenlet stacionárius állapotait, és határozza meg a stabilitás típusát a függvény grafikonja segítségével! .

Megoldás: Keressünk különleges pontokat:

,

,

Megszerkesztjük a függvény grafikonját (1.1. ábra).

Rizs. 1.1. Egy függvény grafikonja (1.3. példa).

Határozzuk meg a gráfból, hogy a talált stacionárius állapotok mindegyike stabil-e. Állítsuk be a reprezentációs pont enyhe eltérését a szinguláris ponttól balra: . A koordinátával rendelkező pontban a függvény pozitív értéket vesz fel: vagy . Az utolsó egyenlőtlenség azt jelenti, hogy idővel a koordinátának növekednie kell, vagyis a reprezentáló pontnak vissza kell térnie a pontba. Most állítsuk be a reprezentációs pont enyhe eltérését a szinguláris ponttól jobbra: . Ebben a tartományban a függvény megtartja a pozitív értéket, ezért idővel a koordináta x is növekszik, vagyis a reprezentáló pont eltávolodik a ponttól. Így egy kis eltérés kiveszi a rendszert az álló állapotból, ezért definíció szerint egy szinguláris pont instabil. Hasonló érvelés ahhoz a tényhez vezet, hogy a szinguláris ponttól való bármilyen eltérés idővel elhalványul, és az álló állapot stabil. A reprezentációs pont bármely irányú eltérése az álló állapottól a pontból való eltávolításához vezet, ez egy instabil stacionárius állapot.

Lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldása

Térjünk át az egyenletrendszerek tanulmányozására, először lineárisan. Általában egy lineáris differenciálegyenlet-rendszer a következőképpen ábrázolható:

Egy egyenletrendszer elemzése a stacionárius állapotok megtalálásával kezdődik. Az (1.3) típusú rendszereknek egyedi szinguláris pontjuk van, koordinátái (0,0). A kivétel a degenerált eset, amikor az egyenletek a következőképpen ábrázolhatók:

(1.3*)

Ebben az esetben az összefüggést kielégítő összes pár az (1.3*) rendszer stacionárius pontja. Konkrétan a (0,0) pont az (1.3*) rendszernél is stacioner. A fázissíkon ebben az esetben a koordináták origóján átmenő meredekségi együtthatójú egyenest kapunk, amelynek minden pontja a rendszer szinguláris pontja (1.3*) (lásd 1.1. táblázat, 6. bekezdés).

A fő kérdés, amelyre egy egyenletrendszer tanulmányozásának meg kell válaszolnia: stabil-e a rendszer stacionárius állapota, és milyen karakterű ez a megoldás (monoton vagy nem monoton).

Közös döntés egy két lineáris egyenletrendszer alakja:

Jellemző számok a következőképpen fejezhető ki a lineáris egyenletek együtthatóival:

A karakterisztikus számok lehetnek 1) különböző előjelű valós, 2) azonos előjelű valós, 3) összetett konjugált, és degenerált esetekben 4) tisztán képzeletbeli, 5) valós egybeeső, 6) valós, amelyek közül az egyik (ill. mindkettő) egyenlő nullával. Ezek az esetek határozzák meg egy közönséges differenciálegyenlet-rendszer megoldásának viselkedését. A megfelelő fázisportrék az 1.1. táblázatban láthatók.

1.1. táblázat. Két lineáris differenciálegyenletből álló rendszer stacionárius állapotainak típusai és a megfelelő fázisportrék. A nyilak a reprezentáló pont mozgási irányát mutatják

Két lineáris differenciálegyenlet-rendszer fázis- és kinetikus portréinak megalkotása

Fázissík koordinátatengelyekkel rendelkező síknak nevezzük, amelyen a változók értékei vannak ábrázolva xÉs y, a sík minden pontja a rendszer egy bizonyos állapotának felel meg. A fázissíkon azon pontok halmazát, amelyek helyzete megfelel a rendszer állapotainak a változók időbeli változásának folyamatában, a vizsgált rendszer adott egyenletei szerint, ún. fázispályája. A változók különböző kezdeti értékéhez tartozó fázispályák halmaza portrét ad a rendszerről. Építkezés fázis portré lehetővé teszi, hogy következtetéseket vonjon le a változók változásának természetéről xÉs y az eredeti egyenletrendszer analitikus megoldásainak ismerete nélkül.

Tekintsünk egy lineáris differenciálegyenlet-rendszert:

A fázisportré elkészítését a megépítéssel kezdjük fő izoklinok(az izoklin egy olyan egyenes, amelynek teljes hosszában az egyenlet által meghatározott fázisgörbe (pályapálya) meredeksége állandó marad). Két lineáris differenciálegyenletből álló rendszer esetén ezek mindig a koordináták origóján átmenő egyenesek. Az egyenlet vízszintes érintők izoklinusai: . Függőleges érintők izoklinének egyenlete: . A fázisportré további megszerkesztéséhez célszerű egy szögben átmenő érintők izoklinját megszerkeszteni. A megfelelő izoklin egyenlet megtalálásához meg kell oldani az egyenletet . Más szögek érintőinek izoklineit is megtalálhatja a szögek érintőinek hozzávetőleges értékeivel. A fázisportré készítésénél segítséget nyújthat annak a kérdésnek a megválaszolása is, hogy a fázispályák milyen szögben metsszék a koordinátatengelyeket. Ehhez az izoklin egyenletet behelyettesítjük a megfelelő egyenlőségeket (az OY tengellyel való metszésszög meghatározásához) és (az OX tengellyel való metszésszög meghatározásához).

1.4. példa. Határozza meg a lineáris egyenletrendszer szinguláris pontjának típusát:

Készítse el a rendszer fázis- és kinetikai portréját.

Megoldás: A szinguláris pont koordinátái (0,0). A lineáris egyenletek együtthatói: , , , . Határozzuk meg az álló állapot típusát (lásd a jellemző számokról szóló részt):

A karakterisztikus gyökerek tehát képzeletbeliek: ezért a vizsgált lineáris rendszer szinguláris pontja középpont típusú (1.2a. ábra).

Vízszintes érintők izoklinének egyenlete: , függőleges érintők izoklinének egyenlete: . 45°-os szögben a rendszer pályái egy egyenest metszenek .

A fázisportré elkészítése után meg kell határozni a mozgás irányát a talált pályák mentén. Ez a következőképpen tehető meg. Vegyünk egy tetszőleges pontot bármely pályán. Például a vízszintes érintők izoklinjén (1,1). Helyettesítsük be ennek a pontnak a koordinátáit az egyenletrendszerbe. Kapjunk kifejezéseket a változók változási sebességére x,y ezen a ponton:

A kapott értékek azt mutatják, hogy a változó változási sebessége x– negatív, azaz értékének csökkennie kell, és a változó y nem változik. A kapott irányt nyíllal jelöljük. Így a vizsgált példában a fázispályák mentén történő mozgás az óramutató járásával ellentétes irányban történik. Különböző pontok koordinátáit a rendszerbe behelyettesítve kaphatunk egy „térképet” a sebességi irányokról, az ún. vektor mező.

1.2. ábra. A rendszer (a) és kinetikai (b) portréja, 1.4. példa

Figyeljük meg, hogy a vízszintes érintők izoklinjén a változó y egy adott pályán eléri maximális vagy minimális értékét. Éppen ellenkezőleg, a függőleges érintők izoklinjén a változó eléri a maximális abszolút értékét a kiválasztott pályán x.

Egy rendszer kinetikus portréjának megalkotása azt jelenti, hogy grafikonokat készítünk a változók értékeinek függőségéről x,y időről. A fázisportré segítségével kinetikus portrét készíthet, és fordítva. Egy fázispálya egy pár kinetikai görbének felel meg. Válasszunk ki egy tetszőleges pontot a fázisportré tetszőleges fázispályáján. Ez az időpillanatnak megfelelő kiindulási pont. A vizsgált rendszer mozgásirányától függően a változók értékei x,y vagy csökken, vagy nő. Legyenek a kezdőpont koordinátái (1,1). A megszerkesztett fázisportré szerint ebből a pontból kiindulva az óramutató járásával ellentétes irányba kell haladnunk, koordináták xÉs y ugyanakkor csökkenni fog. Idővel a koordináta xátmegy 0, értéken y azonban pozitív marad. További koordináták xÉs y tovább csökken, koordinál yátmegy a 0-n (érték x bármilyen negatív is). Nagyságrend x eléri a minimális értéket a függőleges érintők izoklinjén, majd növekedni kezd. Nagyságrend y a vízszintes érintők izoklinjén éri el minimális értékét (érték x negatív ebben az időpontban). Továbbá a nagyságrend x, és nagysága y növekszik, visszatérve a kezdeti értékekhez (1.2b ábra).

Másodrendű nemlineáris rendszerek stacionárius állapotainak stabilitásának vizsgálata

Leírjunk egy biológiai rendszert két autonóm másodrendű általános formájú differenciálegyenlet rendszerével:

A rendszerváltozók stacionárius értékeit algebrai egyenletekből határozzuk meg:

Az egyes stacionárius állapotok szomszédságában figyelembe vehetjük első közelítő rendszer(linearizált rendszer), amelynek tanulmányozása választ adhat arra a kérdésre, hogy egy szinguláris pont stabilitása és a kis szomszédságában lévő fázispályák milyenek.

Kívül

Nekünk van ... speciális pont durva. Az első közelítő rendszer karakterisztikus gyökei egyenlők -val, mindkettő valós és negatív, ezért a nulla szinguláris pont közelében a rendszer fázispályáinak viselkedése megfelel a stabil csomópont típusának.

Bevezetés

Mivel a nemlineáris dinamikus rendszer fogalma elég gazdag ahhoz, hogy lefedje a folyamatok rendkívül széles körét, amelyekben a rendszer jövőbeli viselkedését a múlt határozza meg, az ezen a területen kifejlesztett elemzési módszerek nagyon sokféle összefüggésben hasznosak.

A nemlineáris dinamika legalább három módon kerül be az irodalomba. Először is, vannak olyan esetek, amikor egy vagy több mennyiség időbeli lefolyásáról kísérleti adatokat gyűjtenek és elemeznek nemlineáris dinamikai elméleten alapuló technikák segítségével, minimális feltételezések mellett az adatokat előállító folyamatot szabályozó mögöttes egyenletekre vonatkozóan. Ez egy olyan eset, amikor az adatokban olyan összefüggéseket keresünk, amelyek irányíthatják a matematikai modell kidolgozását, ahelyett, hogy először kitalálnák a modellt, majd összehasonlítanák az adatokkal.

Másodszor, vannak olyan esetek, amikor a nemlineáris dinamikai elmélet felhasználható annak érvelésére, hogy néhány egyszerűsített modellnek meg kell mutatnia egy adott rendszer fontos jellemzőit, ami azt jelenti, hogy egy leíró modell megszerkeszthető és a paraméterek széles skáláján tanulmányozható. Ez gyakran olyan modelleket eredményez, amelyek minőségileg eltérően viselkednek különböző paraméterek mellett, és azt mutatják, hogy egy régió a valós rendszerben megfigyelthez nagyon hasonló viselkedést mutat. Sok esetben a modell viselkedése meglehetősen érzékeny a paraméterek változásaira, így ha a modell paraméterei mérhetők egy valós rendszerben, akkor a modell reális viselkedést mutat ezeken az értékeken, és biztos lehet benne, hogy a modell rögzítette a rendszer lényeges tulajdonságait.

Harmadszor, vannak olyan esetek, amikor a modellegyenleteket az ismert fizika részletes leírása alapján állítják össze. A numerikus kísérletek ezután információkat szolgáltathatnak olyan változókról, amelyek nem állnak rendelkezésre a fizikai kísérletek számára.

A második út alapján ez a munka az „Interdependent industries nemlineáris dinamikus modellje” című korábbi munkám, valamint más munkáim kiterjesztése (Dmitriev, 2015).

Minden szükséges definíció és egyéb, a munkában megkívánt elméleti információ szükség szerint az első fejezetben megjelenik. Itt két olyan definíciót adunk meg, amelyek a kutatási téma feltárásához szükségesek.

Először is határozzuk meg a rendszerdinamikát. Az egyik definíció szerint a rendszerdinamika egy szimulációs modellezési megközelítés, amely módszereinek és eszközeinek köszönhetően segít a komplex rendszerek szerkezetének és dinamikájának értékelésében (Shterman). Érdemes hozzátenni, hogy a rendszerdinamika egyben egy olyan modellezési módszer is, amellyel a komplex rendszerekre alkalmas (pontossági szempontból) helyes számítógépes modelleket állítanak elő azok jövőbeni felhasználása érdekében, egy hatékonyabb vállalat/szervezet létrehozása, valamint a módszerek fejlesztése érdekében. interakció ezzel a rendszerrel. A rendszerdinamika igénye elsősorban hosszú távú, stratégiai modellekkel szembesülve merül fel, és azt is érdemes megjegyezni, hogy meglehetősen elvont.

Ha nemlineáris differenciáldinamikáról beszélünk, akkor egy nemlineáris rendszert veszünk figyelembe, amely definíció szerint olyan rendszer, amelyben a kimenet változása nem arányos a bemeneti paraméterek változásával, és amelyben a függvény leírja a változás függőségét. idő és egy pont helyzete a térben (Boeing, 2016).

A fenti definíciók alapján világossá válik, hogy ez a munka a vállalatok interakcióját leíró különféle nemlineáris differenciálrendszereket, valamint az ezekre épülő szimulációs modelleket vizsgálja. Ez alapján kerül meghatározásra a munka célja.

A munka célja tehát a vállalatok interakcióját leíró dinamikus rendszerek kvalitatív elemzése első közelítéssel, és ezek alapján szimulációs modell felépítése.

E cél elérése érdekében a következő feladatokat határozták meg:

A rendszer stabilitásának meghatározása.

Fázisportrék készítése.

Rendszerek integrálpályáinak megtalálása.

Szimulációs modellek felépítése.

E feladatok mindegyikét a munka egyes fejezeteinek egy-egy szakaszának szentelik.

A gyakorlat alapján a különböző fizikai rendszerekben és folyamatokban a dinamikát hatékonyan modellező alapvető matematikai struktúrák felépítése azt jelzi, hogy a megfelelő matematikai modell bizonyos mértékig tükrözi a vizsgált eredetihez való közelséget, amikor annak jellemző vonásai a tulajdonságokból, ill. struktúrák a rendszer dinamikáját formáló mozgástípusból. Ma a közgazdaságtudomány fejlődésének azon szakaszában van, amelyben különösen hatékonyan alkalmazza a gazdasági folyamatok fizikai és matematikai modellezésének új, sok esetben nem szabványos módszereit és módszereit. Innen következik a következtetés a gazdasági helyzetet valamilyen módon leírható modellek létrehozásának, tanulmányozásának és megalkotásának szükségességéről.

A kvantitatív helyett a kvalitatív elemzés okát illetően érdemes megjegyezni, hogy az esetek túlnyomó többségében a dinamikus rendszerek kvalitatív elemzéséből származó eredmények és következtetések jelentősebbek, mint a kvantitatív elemzésük eredményei. Ilyen helyzetben célszerű rámutatni V.P. Milovanov, amelyben azt állítja, hogy hagyományosan úgy gondolják, hogy a valós objektumok elemzésére szolgáló matematikai módszerek alkalmazásakor elvárt eredményeket numerikus eredményre kell redukálni. Ebben az értelemben a kvalitatív módszereknek némileg más a feladata. A rendszer minőségét leíró eredmény elérésére, az összes jelenség egészére jellemző jellemzők felkutatására és az előrejelzésre összpontosít. Természetesen fontos megérteni, hogyan változik a kereslet, amikor egy bizonyos típusú áru ára változik, de nem szabad elfelejteni, hogy sokkal fontosabb annak megértése, hogy ilyen körülmények között hiány vagy többlet lesz-e ezekből az árukból ( Dmitriev, 2016).

A tanulmány tárgya a nemlineáris differenciál- és rendszerdinamika.

Ebben az esetben a tanulmány tárgya a vállalatok közötti interakció folyamatának leírása nemlineáris differenciál- és rendszerdinamikán keresztül.

A kutatás gyakorlati alkalmazásáról szólva érdemes azonnal két részre osztani. Nevezetesen az elméleti, azaz a rendszerek kvalitatív elemzése, valamint a gyakorlati, amely szimulációs modellek felépítését fogja vizsgálni.

A tanulmány elméleti része alapvető fogalmakat és jelenségeket tartalmaz. Figyelembe veszi az egyszerű differenciálrendszereket, mint sok más szerző munkáiban (Teschl, 2012; Nolte, 2015), ugyanakkor lehetővé teszi a vállalatok közötti interakció leírását. Ez alapján a jövőben lehetőség nyílik elmélyültebb kutatásokra, illetve elkezdeni az ismerkedést azzal, hogy mi is a minőségi rendszerek elemzése.

A munka gyakorlati része döntéstámogató rendszer kialakítására használható. A döntéstámogató rendszer egy automatizált információs rendszer, amelynek célja az üzleti vagy szervezeti döntéshozatal támogatása azáltal, hogy lehetővé teszi a választást számos különböző alternatíva között (Keen, 1980). Lehet, hogy a modellek jelenleg nem túl pontosak, de egy adott cégre cserélve pontosabb eredményeket érhet el. Így a piacon felmerülő különféle paraméterek és feltételek megváltoztatásakor egy bizonyos előrejelzést kaphat a jövőre vonatkozóan, és előre jövedelmezőbb döntést hozhat.

1. Vállalatok interakciója a kölcsönösség feltételei között

A munka olyan kétdimenziós rendszereket fog bemutatni, amelyek a magasabb rendű rendszerekhez képest meglehetősen egyszerűek, ugyanakkor lehetővé teszik számunkra, hogy bemutatjuk a szervezetek közötti kapcsolatokat, amelyekre szükségünk van.

Érdemes a későbbiekben ismertetésre kerülő interakció típusának kiválasztásával kezdeni a munkát, hiszen az egyes típusoknál az azokat leíró rendszerek, bár kissé eltérőek. Az 1.1. ábra Yujima Odum besorolását mutatja a gazdasági interakcióra módosított populációk interakciójára (Odum, 1968), amely alapján tovább fogjuk vizsgálni a vállalatok interakcióját.

1.1. ábra. A vállalkozások közötti interakció típusai

Az 1.1. ábra alapján 4 típusú interakciót emelünk ki, és mindegyikhez bemutatunk egy ezeket leíró egyenletrendszert a Malthus-modell alapján (Malthus, 1798). Eszerint a növekedési ütem arányos a fajok aktuális abundanciájával, vagyis a következő differenciálegyenlettel írható le:

ahol a egy bizonyos paraméter a természetes népességnövekedéstől függően. Azt is érdemes hozzátenni, hogy az alább vizsgált rendszerekben minden paraméter, valamint a változók nem negatív értéket vesznek fel.

Nyersanyag előállítás - termékek előállítása, ami hasonló a ragadozó-zsákmány modellhez. A ragadozó-zsákmány modell, más néven Lotka-Volterra modell, egy pár elsőrendű nemlineáris differenciálegyenlet, amely leírja egy biológiai rendszer dinamikáját két fajjal, amelyek közül az egyik a ragadozó, a másik a zsákmány (Llibre, 2007). ). E fajok egyedszámának változását a következő egyenletrendszer írja le:

(1.2)

ahol - az első vállalkozás termelésnövekedését jellemzi a második befolyása nélkül (a ragadozó-zsákmány modell esetében a zsákmánypopuláció ragadozók nélküli növekedését),

A második vállalkozás termelésének növekedését jellemzi az első hatása nélkül (a ragadozók populációjának növekedése áldozatok nélkül),

Jellemzi az első vállalkozás termelésének növekedését, figyelembe véve a második rá gyakorolt ​​hatását (az áldozatok számának növekedése a ragadozókkal való interakció során),

A második vállalkozás termelésének növekedését jellemzi, figyelembe véve az első rá gyakorolt ​​hatását (a ragadozók számának növekedése a prédával való interakció során).

Egyrészt a ragadozó, amint az a rendszerből és az Odum-féle besorolásból is látható, kölcsönhatásuk jótékony hatású. Másnak kedvezőtlen. Ha a gazdasági valóságban vesszük figyelembe, akkor, amint az ábrán látható, a legegyszerűbb analóg a gyártó és az erőforrás-beszállító, amely megfelel a ragadozónak, illetve a zsákmánynak. Így nyersanyag hiányában a kibocsátás exponenciálisan csökken.

A versengés két vagy több (esetünkben kétdimenziós rendszerről van szó, tehát két faj versenyét vesszük) faj, területekért, korlátozott erőforrásokért vagy egyéb értékekért gazdasági csoportok versengése (Elton, 1968). A fajok számának vagy esetünkben a termelés mennyiségének változásait az alábbi rendszer írja le:

(1.3)

Ebben az esetben az egy terméket előállító fajok vagy cégek hátrányosan hatnak egymásra. Vagyis versenytárs hiányában a terméknövekedés exponenciálisan növekszik.

Most térjünk át egy szimbiotikus kapcsolatra, amelyben mindkét vállalkozás pozitív hatással van egymásra. Először is nézzük a kölcsönösséget. A mutualizmus egyfajta kapcsolat a különböző fajok között, amelyben mindegyikük hasznot húz a másik tetteiből, és érdemes megjegyezni, hogy a partner jelenléte a létezés szükséges feltétele (Thompson, 2005). Az ilyen típusú kapcsolatot a rendszer írja le:

(1.4)

Mivel létezésükhöz szükség van a vállalatok közötti interakcióra, az egyik cég termékének hiányában a másik vállalat termékeinek kibocsátása exponenciálisan csökken. Ez akkor lehetséges, ha a vállalatoknak egyszerűen nincs más beszerzési alternatívája.

Nézzük a szimbiotikus kölcsönhatás egy másik típusát, a protokooperációt. A proto-együttműködés hasonló a kölcsönösséghez, azzal az egyetlen kivétellel, hogy nincs szükség partner létezésére, hiszen például vannak más alternatívák is. Mivel hasonlóak, rendszereik szinte hasonlítanak egymásra:

(1.5)

Így az egyik cég termékének hiánya nem akadályozza a másik termékének növekedését.

Természetesen a 3. és 4. pontban felsoroltakon kívül más típusú szimbiotikus kapcsolatok is megjegyezhetők: a kommenzalizmus és az amenzalizmus (Hanski, 1999). De nem fogjuk tovább emlegetni őket, mivel a kommenzalizmusban az egyik partner közömbös a másikkal való interakció iránt, és továbbra is figyelembe vesszük azokat az eseteket, ahol van befolyás. De az amenzalizmust nem veszik figyelembe, mert gazdasági szempontból az ilyen kapcsolatok, amikor kölcsönhatásuk árt az egyiknek, és közömbös a másik számára, egyszerűen nem létezhetnek.

A vállalatok egymásra gyakorolt ​​hatása alapján, vagyis, hogy a szimbiotikus kapcsolatok a vállalatok fenntartható együttéléséhez vezetnek, ez a munka csak a kölcsönösség és a proto-kooperáció eseteit veszi figyelembe, hiszen mindkét esetben az interakció mindenki számára előnyös.

Ez a fejezet a vállalatok interakciójával foglalkozik a kölcsönösség feltételei között. Két olyan rendszert fog megvizsgálni, amelyek a Malthus-modellre épülő rendszerek továbbfejlesztései, nevezetesen a termelés növelésére vonatkozó korlátozásokkal rendelkező rendszereket.

A kölcsönös kapcsolat által összekötött pár dinamikája, amint azt fentebb említettük, első közelítéssel leírható a rendszerrel:

(1.6)

Megállapítható, hogy nagy kezdeti termelési mennyiség esetén a rendszer korlátlanul növekszik, kis mennyiség esetén pedig csökken a termelés. Ez a kölcsönösség során fellépő hatás bilineáris leírásának helytelensége. A kép korrigálása érdekében bevezetünk egy olyan tényezőt, amely a ragadozó telítettségére emlékeztet, vagyis egy olyan tényezőt, amely csökkenti a termelés növekedési ütemét, ha feleslegben van. Ebben az esetben a következő rendszerhez jutunk:

(1.7)

hol van az első vállalat termékének termelésének növekedése a második vállalattal való interakció során, figyelembe véve a telítettséget,

A második vállalat termékének termelésének növekedése az elsővel való interakció során, figyelembe véve a telítettséget,

Telítettségi együtthatók.

Így két rendszert kaptunk: a malthusi növekedési modellt telítéssel és anélkül.

1.1 A rendszerek stabilitása első közelítésként

A rendszerek stabilitását első közelítésként számos külföldi (Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogatz, 2001 és mások) és orosz nyelvű mű (Akhromeeva, 1992; Bellman, 1954; Demidovich, 1967; 1967; Krasovsky, 1959 és mások), meghatározása pedig alapvető lépés a rendszerben lezajló folyamatok elemzéséhez. Ehhez a következő szükséges lépéseket hajtjuk végre:

Keressük az egyensúlyi pontokat.

Keressük meg a rendszer Jacobi-mátrixát.

Keressük meg a Jacobi-mátrix sajátértékeit.

Az egyensúlyi pontokat a Ljapunov-tétel segítségével osztályozzuk.

A lépések áttekintése után érdemes közelebbről megvizsgálni azok magyarázatát, ezért definíciókat adok és leírom azokat a módszereket, amelyeket ezekben a lépésekben fogunk használni.

Az első lépés az egyensúlyi pontok megtalálása. Ezek megtalálásához minden függvényt nullával egyenlővé teszünk. Vagyis megoldjuk a rendszert:

ahol a és b az egyenlet összes paraméterét jelenti.

A következő lépés a jakobi mátrix keresése. A mi esetünkben ez egy 2x2-es mátrix lesz, amely egy bizonyos ponton az első deriváltokkal rendelkezik, az alábbiak szerint:

Az első két lépés elvégzése után keressük meg a következő jellemző egyenlet gyökereit:

Ahol a pont megfelel az első lépésben talált egyensúlyi pontoknak.

A és megtalálása után továbblépünk a negyedik lépésre, és a következő Ljapunov-tételeket használjuk (Parks, 1992):

1. Tétel: Ha a karakterisztikus egyenlet minden gyökének negatív valós része van, akkor az eredeti és a linearizált rendszernek megfelelő egyensúlyi pont aszimptotikusan stabil.

2. Tétel: Ha a karakterisztikus egyenlet legalább egyik gyökének pozitív valós része van, akkor az eredeti és a linearizált rendszernek megfelelő egyensúlyi pont aszimptotikusan instabil.

Valamint az 1.2. ábrán látható felosztás alapján a stabilitás típusát is pontosabban meg lehet határozni (Lamar Egyetem).

1.2. ábra. Az egyensúlyi pontok stabilitásának típusai

A szükséges elméleti információk átgondolása után térjünk át a rendszerek elemzésére.

Tekintsünk egy telítettség nélküli rendszert:

Nagyon egyszerű és nem alkalmas gyakorlati használatra, mert nincsenek korlátai. A rendszerelemzés első példájaként azonban megfontolásra alkalmas.

Először is keressük meg az egyensúlyi pontokat úgy, hogy az egyenletek jobb oldalát nullával egyenlővé tesszük. Így két egyensúlyi pontot találunk, nevezzük őket A-nak és B-nek: .

Kössük össze a lépést a Jacobi mátrix, a karakterisztikus egyenlet gyökereinek megkeresésével és a stabilitás típusának meghatározásával. Mivel elemiek, azonnal megkapjuk a választ:

1. A , pontban van egy stabil csomópont.

Azon a ponton: nyereg.

Mint már írtam, ez a rendszer túl triviális, ezért nem volt szükség magyarázatra.

Most elemezzük a rendszert a telítettségből:

(1.9)

A vállalkozások közötti termékek kölcsönös telítettségére vonatkozó korlátozások megjelenése közelebb visz a valós képhez a történésekről, és kissé bonyolítja a rendszert.

Mint korábban, a rendszer jobb oldalait nullával egyenlővé tesszük, és megoldjuk a kapott rendszert. A pont változatlan maradt, de a másik pont ebben az esetben több paramétert tartalmaz, mint korábban: .

Ebben az esetben a Jacobi mátrix a következő alakot ölti:

Vonjuk ki belőle az identitásmátrixot szorozva, és a kapott mátrix A és B pontban lévő determinánsát egyenlősítsük nullával.

Az előző képhez hasonló ponton:

Stabil csomópont.

De a ponton minden valamivel bonyolultabb, és bár a matematika még mindig meglehetősen egyszerű, az összetettség kényelmetlenné teszi a hosszú betűs kifejezésekkel való munkát. Mivel az értékek meglehetősen hosszúnak és nehézkesnek bizonyulnak, nem adják meg, elég csak annyit mondani, hogy ebben az esetben, mint az előző rendszerben, a kapott stabilitás egy nyereg.

2 Rendszerek fázisportréi

A nemlineáris dinamikus modellek túlnyomó többsége összetett differenciálegyenlet, amelyet vagy nem, vagy kissé nehéz megoldani. Példa erre az előző szakasz rendszere. A látszólagos egyszerűsége ellenére a fenntarthatóság típusának megtalálása a második egyensúlyi ponton nem volt könnyű (még ha nem is matematikai szempontból), és a paraméterek, megszorítások és egyenletek növekedésével a kölcsönhatásban lévő vállalkozások számának növelése érdekében a komplexitás csak növekedés. Természetesen, ha a paraméterek numerikus kifejezések, akkor minden hihetetlenül egyszerűvé válik, de akkor az elemzés valamilyen módon elveszti értelmét, mert a végén csak egyensúlyi pontokat találunk, és csak ezek stabilitási típusát tudjuk megtudni. egy konkrét esetre, és nem az általános esetre.

Ilyenkor érdemes megjegyezni a fázissíkot és a fázisportrékat. Az alkalmazott matematikában, különösen a nemlineáris rendszerelemzés kontextusában, a fázissík bizonyos típusú differenciálegyenletek bizonyos jellemzőinek vizuális megjelenítése (Nolte, 2015). A rendszer állapotát jellemző változópárok értéktengelyeivel rendelkező koordinátasík egy általános n-dimenziós fázistér kétdimenziós esete.

A fázissíknak köszönhetően lehetőség nyílik a határciklusok grafikus meghatározására egy differenciálegyenlet megoldásaiban.

A differenciálegyenlet megoldásai függvénycsaládot alkotnak. Grafikusan ezt a fázissíkban kétdimenziós vektormezőként ábrázolhatjuk. A síkon vektorokat rajzolunk, amelyek deriváltokat reprezentálnak valamely paraméter, esetünkben az idő, azaz (() jellemző pontjain. Ha egy területen elegendő ilyen nyilak találhatók, akkor a rendszer viselkedése megjeleníthető, és a határciklusok könnyen azonosíthatók (Boeing, 2016).

A vektormező egy fázisportré; egy adott út egy fluxusvonal mentén (vagyis a vektorokat mindig érintő út) egy fázisút. A vektormezőben lévő fluxusok a rendszer időbeli változását jelzik, differenciálegyenlettel leírva (Jordan, 2007).

Érdemes megjegyezni, hogy fázisportrét differenciálegyenlet megoldása nélkül is meg lehet alkotni, ugyanakkor a jó vizualizáció sok hasznos információval szolgálhat. Ezen kívül manapság számos olyan program létezik, amely segíthet a fázisdiagramok elkészítésében.

Így a fázissíkok hasznosak a fizikai rendszerek viselkedésének megjelenítésére. Különösen az oszcillációs rendszerek, mint például a fentebb már említett ragadozó-zsákmány modell. Ezekben a modellekben a fázispályák "pöröghetnek" a nulla felé, "spirálozhatnak" a végtelen felé, vagy elérhetnek egy semleges, stabil helyzetet, amelyet központoknak neveznek. Ez hasznos annak meghatározásában, hogy a dinamika stabil-e vagy sem (Jordan, 2007).

Az ebben a részben bemutatott fázisportrék WolframAlpha eszközökkel készülnek, vagy más forrásokból származnak. Malthusi növekedési modell telítettség nélkül.

Szerkesszük meg az első rendszer fázisportréját három paraméterkészlettel, hogy összehasonlítsuk viselkedésüket. Az A halmaz ((1,1), (1,1)), amelyet a továbbiakban egységhalmaznak nevezünk, B halmaz ((10,0.1), (2,2)), ha ezt választjuk, a termelés meredek csökkenése következik be. rendszerben megfigyelhető, és C halmaz ((1,10), (1,10)), amelyben éppen ellenkezőleg, éles és korlátlan növekedés következik be. Érdemes megjegyezni, hogy a tengelyek mentén az értékek minden esetben azonos intervallumokban lesznek -10 és 10 között, a fázisdiagramok egymással való összehasonlításának megkönnyítése érdekében. Természetesen ez nem vonatkozik egy olyan rendszer jó minőségű portréjára, amelynek tengelyei mérettelenek.

1.3. ábra Fázisportré A paraméterekkel

kölcsönösség differenciál határegyenlet

A fent bemutatott 1.3. ábra a rendszer fázisportréit mutatja be a három megadott paraméterkészlethez, valamint egy fázisportrét, amely leírja a rendszer minőségi viselkedését. Ne felejtsük el, hogy gyakorlati szempontból a legfontosabb az első negyedév, hiszen a termelés mennyisége, ami csak nem lehet negatív, a mi tengelyünk.

Mindegyik ábrán jól látható a stabilitás az egyensúlyi ponton (0,0). Az első ábrán pedig az (1,1) pontban is észrevehető egy „nyereg”, vagyis ha egy paraméterkészlet értékeit behelyettesítjük a rendszerbe, akkor a B egyensúlyi pontban. A modell határai megváltoznak, a nyeregpont más fázisportrékon is megtalálható.

A telítettségből származó növekedés malthusi modellje.

Készítsünk fázisdiagramokat a második rendszerhez, amelyben telítés van, három új paraméterérték-készlettel. A, ((0,1,15,100), (0,1,15,100)), B készlet ((1,1,0,5), (1, 1,0,5)) és C készlet ((20,1,100), (20,1,100) )).

1.4. ábra. Fázisportré A paraméterekkel

Mint látható, bármely paraméterhalmaznál a (0,0) pont egy egyensúlyi pont, és egyben stabil is. Néhány képen egy nyereghegy is látható.

Ebben az esetben különböző skálákat vettünk figyelembe annak érdekében, hogy egyértelműbben igazoljuk, hogy még ha telítési tényezőt is hozzáadunk a rendszerhez, a minőségi kép nem változik, vagyis a telítettség önmagában nem elegendő. Figyelembe kell venni, hogy a gyakorlatban a vállalatoknak stabilitásra van szükségük, vagyis ha nemlineáris differenciálegyenleteket vesszük figyelembe, akkor minket leginkább a stabil egyensúlyi pontok érdekelnek, és ezekben a rendszerekben az ilyen pontok csak nullák, ami azt jelenti, hogy a matematikai modellek nyilvánvalóan nem alkalmasak a vállalkozások számára. Ez ugyanis azt jelenti, hogy csak nulla termelés mellett fenntarthatók a vállalatok, ami egyértelműen eltér a valós világképtől.

A matematikában az integrálgörbe olyan parametrikus görbe, amely egy közönséges differenciálegyenlet vagy egyenletrendszer konkrét megoldását jelenti (Lang, 1972). Ha egy differenciálegyenletet vektormezőként ábrázolunk, akkor a megfelelő integrálgörbék minden pontban érintik a mezőt.

Az integrálgörbék más néven is ismertek, a differenciálegyenlet vagy vektormező természetétől és értelmezésétől függően. A fizikában az elektromos vagy mágneses mező integrálgörbéit erővonalnak, a folyadéksebességmező integrálgörbéit áramvonalnak nevezik. A dinamikus rendszerekben a differenciálegyenlet integrálgörbéit trajektóriáknak nevezzük.

1.5. ábra. Integrálgörbék

Bármelyik rendszer megoldása integrálgörbe egyenletének is tekinthető. Nyilvánvaló, hogy minden fázispálya valamilyen integrálgörbe x, y, t térbeli vetülete a fázissíkra.

Integrálgörbék készítésére többféle módszer létezik.

Az egyik ilyen az izoklin módszer. Az izoklinusz olyan pontokon áthaladó görbe, ahol a kérdéses függvény meredeksége mindig azonos lesz, függetlenül a kezdeti feltételektől (Hanski, 1999).

Gyakran használják grafikus módszerként közönséges differenciálegyenletek megoldására. Például egy y"= f(x, y) formájú egyenletben az izoklinok az (x, y) síkon lévő egyenesek, amelyeket úgy kapunk, hogy f (x, y) egyenletet adunk egy konstanshoz. Ez egy sor sorozatot ad ( különböző konstansokra), amelyek mentén a görbék azonos gradienssel rendelkeznek az oldatok. Ennek a gradiensnek az egyes izoklinokra történő kiszámításával a lejtős mező láthatóvá válik, így viszonylag könnyen rajzolhatunk hozzávetőleges megoldási görbéket. Az alábbi ábra példát mutat a az izoklin módszer.

1.6. ábra. Isocline módszer

Ez a módszer nem igényel számítógépes számításokat, és korábban nagyon népszerű volt. Ma már léteznek olyan szoftvermegoldások, amelyek rendkívül pontosan és gyorsan képesek integrálgörbéket felépíteni a számítógépeken. Az izoklin módszer azonban még így is jól bevált eszközként a megoldások viselkedésének vizsgálatára, mivel lehetővé teszi az integrálgörbék tipikus viselkedési területeinek megjelenítését.

Malthusi növekedési modell telítettség nélkül.

Kezdjük azzal, hogy a különböző szerkesztési módok ellenére egy egyenletrendszer integrálgörbéinek bemutatása nem olyan egyszerű. A korábban említett izoklin módszer nem alkalmas, mert elsőrendű differenciálegyenleteknél működik. De olyan szoftvereszközök, amelyek képesek ilyen görbék készítésére, nem elérhetők nyilvánosan. Például az erre képes Wolfram Mathematica fizetős. Ezért igyekszünk a lehető legtöbbet kihozni a Wolfram Alpha képességeiből, amelynek munkáját különböző cikkek és munkák ismertetik (Orca, 2009). Annak ellenére, hogy a kép nyilvánvalóan nem lesz teljesen megbízható, legalább lehetővé teszi a függőség (x,t), (y,t) síkbeli megjelenítését. Először is oldjuk meg a t egyenleteit. Vagyis az egyes változók időbeli függőségét levezetjük. Ehhez a rendszerhez a következőket kapjuk:

(1.10)

(1.11)

Az egyenletek szimmetrikusak, ezért csak egyet fogunk figyelembe venni, mégpedig x(t)-t. Legyen az állandó egyenlő 1-gyel. Ebben az esetben a grafikus függvényt fogjuk használni.

1.7. ábra. Háromdimenziós modell az (1.10) egyenlethez

A telítettségből származó növekedés malthusi modellje.

Tegyünk hasonló lépéseket a másik modellnél is. Végül két egyenletet kapunk, amelyek bemutatják a változók időfüggőségét.

(1.12)

(1.13)

Építsünk háromdimenziós modellt és ismételjük a szintvonalakat.

1.8. ábra. Háromdimenziós modell az (1.12) egyenlethez

Mivel a változók értéke nem negatív, akkor a kitevővel rendelkező törtben negatív számot kapunk. Így idővel az integrálgörbe csökken.

Korábban a rendszerdinamika definícióját adták a munka lényegének megértéséhez, de most részletesebben foglalkozunk ezzel.

A rendszerdinamika a matematikai modellezés módszertana és módszere összetett problémák kialakítására, megértésére és megvitatására, amelyet eredetileg az 1950-es években fejlesztett ki Jay Forrester, és amelyet munkájában ír le (Forrester, 1961).

A rendszerdinamika a rendszerelmélet egyik aspektusa, mint komplex rendszerek dinamikus viselkedésének megértésére szolgáló módszer. A módszer alapja az a felismerés, hogy bármely rendszer szerkezete számos olyan kapcsolatból áll össze a komponensei között, amelyek gyakran ugyanolyan fontosak viselkedésének meghatározásában, mint maguk az egyes komponensek. Példa erre a káoszelmélet és a társadalmi dinamika, amelyeket különféle szerzők írnak le (Grebogi, 1987; Sontag, 1998; Kuznetsov, 2001; Tabor, 2001). Az is érvel, hogy mivel az egész tulajdonságait gyakran nem találjuk meg az elemek tulajdonságaiban, bizonyos esetekben az egész viselkedése nem magyarázható a részek viselkedésével.

A szimuláció valóban megmutatja egy dinamikus rendszer gyakorlati jelentőségét. Bár ez lehetséges táblázatokban, sok olyan szoftvercsomag létezik, amelyet kifejezetten erre a célra optimalizáltak.

Maga a szimuláció egy fizikai modell prototípusának létrehozásának és elemzésének folyamata annak érdekében, hogy előre jelezze a valós világban való teljesítményét. A szimulációs modellezés segít a tervezőknek és mérnököknek megérteni, hogy egy folyamat milyen körülmények között és mikor fog meghibásodni, és milyen terheléseket tud ellenállni (Hemdi, 2007). A modellezés segíthet a folyadékáramlások és más fizikai jelenségek viselkedésének előrejelzésében is. A modell közelítő üzemi körülményeket elemzi szimulációs szoftver segítségével (Strogalev, 2008).

A szimulációs képességek korlátainak közös oka van. Egy egzakt modell felépítése és numerikus számítása csak azokon a területeken garantálja a sikert, ahol létezik egzakt mennyiségi elmélet, vagyis ha ismertek az egyes jelenségeket leíró egyenletek, és ezeknek az egyenleteknek a szükséges pontosságú megoldása a feladat. Azokon a területeken, ahol nem létezik kvantitatív elmélet, a pontos modell felépítése korlátozott értékű (Bazykin, 2003).

A modellezési lehetőségek azonban nem korlátlanok. Ez mindenekelőtt abból adódik, hogy nehéz felmérni egy szimulációs modell alkalmazhatósági körét, különösen azt az időtartamot, amelyre az előrejelzés a szükséges pontossággal készíthető (Law, 2006). Ráadásul a szimulációs modell természeténél fogva egy adott objektumhoz van kötve, és amikor egy másik, akár hasonló objektumra próbáljuk alkalmazni, gyökeres módosításokat vagy legalábbis jelentős módosításokat igényel.

A szimulációs modellezés korlátozásának általános oka van. Egy „pontos” modell felépítése és numerikus számítása csak akkor sikeres, ha létezik kvantitatív elmélet, vagyis csak akkor, ha az összes egyenlet ismert, és a probléma csak ezen egyenletek bizonyos pontosságú megoldására redukálódik (Bazykin, 2003). .

De ennek ellenére a szimulációs modellezés kiváló eszköz a dinamikus folyamatok vizualizálására, lehetővé téve, hogy többé-kevésbé helyes modellel az eredményei alapján döntéseket hozzunk.

Ebben a munkában rendszermodellek készülnek az AnyLogic program által kínált rendszerdinamikai eszközökkel.

Malthusi növekedési modell telítettség nélkül/

A modell felépítése előtt át kell gondolni a rendszerdinamikai elemeket, amelyeket használni fogunk, és ezeket a rendszerünkhöz kapcsolni. A következő definíciók az AnyLogic súgóból származnak.

Az akkumulátor a rendszerdinamikai diagramok fő eleme. Valós objektumok ábrázolására szolgálnak, amelyekben bizonyos erőforrások halmozódnak fel: pénz, anyagok, embercsoportok száma, bizonyos anyagi tárgyak stb. Az akkumulátorok a szimulált rendszer statikus állapotát tükrözik, és értékeik idővel változnak a rendszerben meglévő áramlásoknak megfelelően. Ebből következik, hogy a rendszer dinamikáját az áramlások határozzák meg. Az akkumulátorba be- és kiáramlások növelik vagy csökkentik az akkumulátor értékeit.

Az áramlás, valamint a fent említett tárolóeszköz a rendszerdinamikai diagramok fő eleme.

Míg az akkumulátorok a rendszer statikus részét határozzák meg, a szálak határozzák meg az akkuértékek változásának sebességét, vagyis azt, hogy a készletek időbeli változásai hogyan történnek, és ezáltal meghatározzák a rendszer dinamikáját.

Az ügynök változókat tartalmazhat. A változókat általában egy ügynök változó jellemzőinek modellezésére vagy egy modell kimenetének tárolására használják. A dinamikus változók jellemzően gyűjtőfüggvényekből állnak.

Egy ügynöknek lehetnek paraméterei. A paramétereket gyakran használják a modellezett objektum egyes jellemzőinek megjelenítésére. Akkor hasznosak, ha az objektumpéldányok viselkedése megegyezik az osztályban leírtakkal, de bizonyos paraméterértékekben különböznek. Egyértelmű különbség van a változók és a paraméterek között. A változó a modell állapotát reprezentálja, és a szimuláció során változhat. A paramétert általában objektumok statikus leírására használják. A modell egy „futása” során a paraméter általában egy állandó, és csak akkor változik, ha a modell viselkedését újra kell konfigurálni.

A kapcsolat a rendszerdinamika egy olyan eleme, amely a folyamat- és a hajtásdiagram elemei közötti függőség meghatározására szolgál, és nem hoz létre automatikusan kapcsolatokat, hanem arra kényszeríti a felhasználót, hogy azokat egy grafikus szerkesztőben kifejezetten megrajzolja (de érdemes megjegyezni, hogy Az AnyLogic egy mechanizmust is támogat a hiányzó kapcsolatok gyors létrehozására). Például, ha bármelyik A elem szerepel a B elem egyenletében vagy kezdőértékében, akkor ezeket az elemeket először össze kell kapcsolni egy A-ból B-be tartó hivatkozással, és csak ezután kell beírni a kifejezést a B tulajdonságai közé.

A rendszerdinamikának vannak más elemei is, de ezeket a munka során nem használjuk fel, ezért ezeket elhagyjuk.

Először nézzük meg, miből fog állni az (1.4) rendszermodell.

Először azonnal megjelölünk két meghajtót, amelyek az egyes vállalkozások termékmennyiségének értékeit tartalmazzák.

Másodszor, mivel minden egyenletben két tag van, minden meghajtóhoz két folyamot kapunk, az egyik bejövő, a másik kimenő.

Harmadszor, térjünk át a változókra és paraméterekre. Csak két változó van. X és Y, a terméknövekedésért felelősek. Négy paraméterünk is van.

Negyedszer, ami a kapcsolatokat illeti, mindegyik áramlást hozzá kell rendelni az áramlási egyenletben szereplő változókhoz és paraméterekhez, és mindkét változónak kapcsolódnia kell akkumulátorokhoz, hogy az értéket időben változtassa.

Meghagyjuk a modell felépítésének részletes leírását, példaként az AnyLogic modellező környezetben való munkavégzésre a következő rendszernél, mivel az valamivel bonyolultabb és több paramétert használ, és azonnal áttérünk a kész verzióra. a rendszer.

Az 1.9. ábrán a felépített modell látható:

1.9. ábra. Rendszerdinamikai modell a rendszerhez (1.4)

A rendszerdinamika minden eleme megfelel a fent leírtaknak, azaz. két meghajtó, négy stream (kettő be, kettő ki), négy paraméter, két dinamikus változó és a szükséges kapcsolatok.

Az ábra azt mutatja, hogy minél több termék, annál erősebb a növekedése, ami az áruk számának meredek növekedéséhez vezet, ami megfelel a rendszerünknek. De ahogy korábban elhangzott, a növekedés korlátozásának hiánya nem teszi lehetővé ennek a modellnek a gyakorlati alkalmazását.

A telítettségből eredő növekedés malthusi modellje/

Ezt a rendszert tekintve részletesebben foglalkozunk a modell felépítésével.

Az első lépés két meghajtó hozzáadása, nevezzük őket X_stock-nak és Y_stock-nak. Adjunk mindegyikhez egy kezdeti értéket 1. Vegyük észre, hogy szálak hiányában a klasszikusan definiált akkumulátoregyenletben nincs semmi.

1.10. ábra. Rendszermodell felépítése (1.9)

A következő lépés a szálak hozzáadása. Egy grafikus szerkesztő segítségével építsünk fel minden meghajtóhoz egy bejövő és kimenő folyamot. Nem szabad megfeledkeznünk arról, hogy a folyam egyik szélének a meghajtóban kell lennie, különben nem kapcsolódnak össze.

Látható, hogy a meghajtó egyenlete automatikusan lett beállítva, természetesen a felhasználó saját maga is megírhatja a „szabad” egyenletmód kiválasztásával, de a legegyszerűbb, ha ezt a műveletet a programra bízzuk.

Harmadik lépésünk hat paraméter és két dinamikus változó hozzáadása. Adjunk nevet minden elemnek a rendszerben lévő szó szerinti kifejezésének megfelelően, és állítsuk be a paraméterek kezdeti értékeit is a következőképpen: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0,2.

Az egyenletek minden eleme jelen van, már csak az áramlások egyenleteit kell felírni, de ehhez először kapcsolatokat kell hozzáadni az elemek között. Például a kifejezésért felelős kimenő folyamot e1-hez és x-hez kell társítani. És minden dinamikus változóhoz hozzá kell rendelni a megfelelő tárolót (X_stock x, Y_stock y). A kapcsolatok létrehozása hasonló a szálak hozzáadásához.

A szükséges kapcsolatok létrehozása után folytathatja az áramlások egyenleteinek írását, amit a jobb oldali ábra szemléltet. Természetesen lehet menni fordított sorrendben is, de ha vannak összefüggések, akkor egyenletírás közben tippek jelennek meg a szükséges paraméterek/változók helyettesítésére, ami megkönnyíti a feladatot összetett modellekben.

Az összes lépés elvégzése után futtathatja a szimulációs modellt, és megnézheti annak eredményét.

Ha nemlineáris differenciálegyenletrendszereket vizsgálunk a vállalatok közötti interakcióra a kölcsönösség feltételei között, több következtetés is levonható.

A rendszernek két állapota van: éles korlátlan növekedés, vagy a termelés mennyiségének nullára való hajlása. A paraméterektől függ, hogy a két állapot közül melyiket veszi fel a rendszer.

A nem nullától eltérő stabil pozíció hiánya, valamint az (1) bekezdésben leírt okok miatt a javasolt modellek egyike sem, így a telítettségeket figyelembe vevő modell sem alkalmas gyakorlati használatra.

Ha ezt a fajta szimbiotikus kölcsönhatást próbáljuk tovább vizsgálni, hogy a vállalatok számára a gyakorlatban is alkalmazható modellt alkossunk, akkor a rendszer további bonyolítása és új paraméterek bevezetése szükséges. Például Bazykin könyvében példát ad két kölcsönös populáció dinamikájára egy további intraspecifikus versenytényező bevezetésével. Ennek köszönhetően a rendszer a következő formát ölti:

(1.15)

Ilyenkor pedig megjelenik a rendszer nullától eltérő stabil helyzete, amelyet a nullától egy „nyereg” választ el, ami közelebb viszi a történések valós képéhez.

2. Vállalatok interakciója a proto-együttműködés feltételei között

Minden alapvető elméleti információt bemutattunk az előző fejezetben, így az ebben a fejezetben tárgyalt modellek elemzésekor az elmélet nagyrészt kimarad, néhány pont kivételével, amelyekkel az előző fejezetben nem találkoztunk, és előfordulhat, hogy gyorsbillentyűk lehetnek a számításokban. Az ebben a fejezetben vizsgált szervezetek közötti interakció modellje a proto-együttműködés feltételei között, amely két egyenletrendszerből áll a malthusi modell alapján, az (1.5) rendszernek tűnik. Az előző fejezetben elemzett rendszerek azt mutatták, hogy ahhoz, hogy minél közelebb kerüljenek a meglévő modellekhez, szükséges a rendszerek komplexitásának növelése. Ezen következtetések alapján azonnal növekedési korlátozással egészítjük ki a modellt. Ellentétben az előző típusú interakciókkal, amikor egy másik cégtől független növekedés negatív, ebben az esetben minden előjel pozitív, ami azt jelenti, hogy folyamatos növekedést tapasztalunk. A korábban ismertetett hiányosságok elkerülése érdekében megpróbáljuk a logisztikai egyenletre korlátozni, más néven Verhulst-egyenletre (Gershenfeld, 1999), amelynek a következő formája van:

, (2.1)

ahol P a populáció mérete, r a növekedési ütemet mutató paraméter, K pedig a populáció maximális lehetséges méretéért felelős paraméter. Ez azt jelenti, hogy idővel a populáció mérete (esetünkben a termelés) egy bizonyos K paraméterre hajlik.

Ez az egyenlet segít megfékezni a korábban tapasztalt burjánzó terméknövekedést. Így a rendszer a következő formát ölti:

(2.2)

Ne felejtsük el, hogy a raktárban tárolt áruk mennyisége cégenként eltérő, így a növekedést korlátozó paraméterek is eltérőek. Nevezzük ezt a rendszert "", és a jövőben ezt a nevet fogjuk használni, amikor meggondoljuk.

A második rendszer, amelyet megvizsgálunk, a modell továbbfejlesztése Verhulst-megszorítással. Az előző fejezethez hasonlóan bevezetünk egy korlátozást a telítettségre, ekkor a rendszer a következő formában jelenik meg:

(2.3)

Most mindegyik kifejezésnek megvan a maga korlátja, így további elemzés nélkül láthatja, hogy nem lesz korlátlan növekedés, mint az előző fejezet modelljeinél. És mivel mindegyik kifejezés pozitív növekedést mutat, a termelés mennyisége nem csökken nullára. Nevezzük ezt a modellt „proto-együttműködési modellnek, két korlátozással”.

Ezt a két modellt különféle források tárgyalják a biológiai populációkkal kapcsolatban. Most megpróbáljuk valamelyest bővíteni a rendszereket. Ehhez vegye figyelembe a következő ábrát.

Az ábra két vállalat folyamatára mutat példát: az acél- és a szénipar. Mindkét üzletág terméknövekedése független a másiktól, és van olyan terméknövekedés is, amely az együttműködésük eredménye. Ezt már a korábbi modelleknél is figyelembe vettük. Most érdemes megjegyezni, hogy a cégek nem csak gyártanak termékeket, hanem el is adják azokat például a piacnak vagy a vele kapcsolatba kerülő cégnek. Azok. A logikus következtetések alapján szükség van a vállalatok negatív növekedésére a termékek értékesítése révén (az ábrán a β1 és β2 paraméterek felelősek), valamint a termelés egy részének másik vállalkozáshoz való átadása révén. Korábban ezt csak egy másik cég pozitív előjelével vettük figyelembe, de nem vettük figyelembe, hogy az első vállalkozás termékátadáskor csökkenti a mennyiségét. Ebben az esetben a következő rendszert kapjuk:

(2.4)

És ha a kifejezésről azt mondhatjuk, hogy ha a korábbi modellekben azt jelezték, hogy , jellemzi a természetes növekedést, és a paraméter negatív is lehet, akkor gyakorlatilag nincs különbség, akkor a kifejezésről ezt nem lehet elmondani. Ezenkívül a jövőben, amikor egy ilyen rendszert fontolóra veszünk egy korlátozással, helyesebb a pozitív és negatív növekedés fogalmát használni, mivel ebben az esetben különféle korlátozások vonatkozhatnak rájuk, ami a természetes számára lehetetlen. növekedés. Nevezzük „kibővített proto-együttműködési modellnek”.

Végül a negyedik vizsgált modell a kiterjesztett proto-együttműködési modell, a növekedés korábban említett logisztikai korlátjával. Ennek a modellnek a rendszere pedig a következő:

, (2.5)

hol van az első vállalkozás termelésének növekedése, függetlenül a másodiktól, figyelembe véve a logisztikai korlátot, - az első vállalat termelésének növelése a másodiktól függően, figyelembe véve a logisztikai korlátot, - a második vállalkozás termelésének növelése az elsőtől függetlenül, a logisztikai korlát figyelembevételével, - a második vállalkozás termelésének növekedése az elsőtől függően, figyelembe véve a logisztikai korlátot, - az első vállalkozás termékeinek fogyasztása, amely nem kapcsolódik a másikhoz, - a második vállalkozás termékeinek fogyasztása, amely nem kapcsolódik a egyéb, - az első iparág termékeinek fogyasztása a második iparágban, - a második iparág termékeinek fogyasztása az első iparágban.

A jövőben erre a modellre „logisztikai korlátokkal rendelkező kiterjesztett proto-működési modellként” fog hivatkozni.

1 A rendszerek stabilitása első közelítésként

Protokooperációs modell Verhulst-korlátozással

A rendszerstabilitás elemzésére szolgáló módszereket az előző fejezet hasonló szakaszában mutattuk be. Először is megtaláljuk az egyensúlyi pontokat. Az egyik, mint mindig, nulla. A másik egy pont koordinátákkal.

A λ1 = , λ2 = nullpontra, mivel mindkét paraméter nem negatív, instabil csomópontot kapunk.

Mivel a második ponttal dolgozni nem teljesen kényelmes, a kifejezés lerövidítésének lehetőségének hiánya miatt a stabilitás típusának meghatározását a fázisdiagramokra hagyjuk, mivel ezek egyértelműen megmutatják, hogy az egyensúlyi pont stabil-e vagy sem.

Ennek a rendszernek az elemzése bonyolultabb, mint az előzőnél, mivel egy telítési tényező hozzáadásával új paraméterek jelennek meg, és az egyensúlyi pontok megtalálásakor nem lineáris, hanem bilineáris egyenletet kell megoldani, mivel a változó a nevezőben. Ezért az előző esethez hasonlóan a stabilitás típusának meghatározását a fázisdiagramokra bízzuk.

Az új paraméterek megjelenése ellenére a nullapontban lévő Jacobianus, valamint a karakterisztikus egyenlet gyökerei az előző modellhez hasonlítanak. Így a nulla pontban van egy instabil csomópont.

Térjünk át a fejlett modellekre. Közülük az első nem tartalmaz korlátozásokat, és a (2.4) rendszer formáját ölti.

Változtassuk meg a változókat, , És . Új rendszer:

(2.6)

Ebben az esetben két egyensúlyi pontot kapunk, az A(0,0), B() pontot. A B pont az első kvadránsban található, mivel a változók értéke nem negatív.

Az A egyensúlyi ponthoz a következőket kapjuk:

. - instabil csomópont,

. - nyereg,

. - nyereg,

. - stabil csomópont,

A B pontban a karakterisztikus egyenlet gyökei komplex számok: λ1 = , λ2 = . Ljapunov tételei alapján nem tudjuk meghatározni a stabilitás típusát, ezért numerikus szimulációt fogunk végezni, amely nem mutatja meg az összes lehetséges állapotot, de lehetővé teszi, hogy legalább néhányat megtudjunk.

2.2. ábra. A stabilitás típusának keresésének numerikus modellezése

Ennek a modellnek a mérlegelésekor számítási nehézségekkel kell szembenéznie, mivel számos különböző paraméterrel, valamint két korláttal rendelkezik.

A számítások részletezése nélkül a következő egyensúlyi pontokhoz jutunk el. Az A(0,0) pont és a B pont a következő koordinátákkal:

(), ahol a =

Az A pont esetében a stabilitás típusának meghatározása triviális feladat. A karakterisztikus egyenlet gyöke: λ1 = , λ2 = . Ez négy lehetőséget ad nekünk:

1. λ1 > 0, λ2 > 0 - instabil csomópont.

2. λ1< 0, λ2 >0 - nyereg.

3. λ1> 0, λ2< 0 - седло.

4. λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

Ha a B pontról beszélünk, érdemes egyetérteni abban, hogy a kifejezésben rövidítések behelyettesítése megnehezíti a Jacobi-val való munkát és a karakterisztikus egyenlet gyökereinek megtalálását. Például, miután megpróbáltuk megtalálni őket a WolframAlpha számítástechnikai eszközökkel, a gyökérértékek kimenete körülbelül öt sort vett igénybe, ami nem teszi lehetővé a szó szerinti munkát. Természetesen, ha már megvannak a meglévő paraméterek, akkor lehetségesnek tűnik gyorsan megtalálni az egyensúlyi pontot, de ez egy speciális eset, mivel az egyensúlyi állapotot, ha létezik, csak ezekre a paraméterekre találjuk meg, ami nem alkalmas az a döntéstámogató rendszer, amelyhez a modellt tervezik létrehozni.

A karakterisztikus egyenlet gyökeivel való munka bonyolultsága miatt a nullizoklinok relatív helyzetét a Bazykin munkájában elemzett rendszer analógiájával fogjuk megszerkeszteni (Bazykin, 2003). Ez lehetővé teszi a rendszer lehetséges állapotainak mérlegelését, és a jövőben fázisportrék készítésekor az egyensúlyi pontok és stabilitásuk típusainak kimutatását.

Néhány számítás után a null-izoklin egyenletek a következő alakot öltik:

(2.7)

Így az izoklinok parabolák formájúak.

2.3. ábra. Nulla izoklinák lehetséges helye

A parabolák közötti közös pontok száma alapján négy eset lehetséges egymás kölcsönös elrendezésének. Mindegyiknek megvan a maga paraméterkészlete, és ezért a rendszer fázisportréja.

2 Rendszerek fázisportréi

Készítsünk fázisportrét a rendszerről, feltéve, hogy az a többi paraméter pedig 1. Ebben az esetben elegendő egy változóhalmaz, mivel a minőségi nem fog változni.

Amint az alábbi ábrákból látható, a nulla pont egy instabil csomópont, a második pont pedig, ha a paraméterek számértékeit helyettesítjük, (-1,5, -1,5) nyerget kapunk.

2.4. ábra. Fázisportré a rendszerhez (2.2)

Így, mivel változásnak nem szabad bekövetkeznie, ezért ennél a rendszernél csak instabil állapotok vannak, ami nagy valószínűséggel a korlátlan növekedés lehetőségének köszönhető.

Egy proto-együttműködési modell két megkötéssel.

Ebben a rendszerben van egy további korlátozó tényező, ezért a fázisdiagramoknak el kell térniük az előző esettől, ahogy az az ábrán is látható. A nulla pont is instabil csomópont, de ebben a rendszerben megjelenik egy stabil pozíció, mégpedig egy stabil csomópont. Koordinátáinak paraméterei (5.5,5.5) ismeretében az ábrán látható.

2.5. ábra. Fázisportré a rendszerhez (2.3)

Így az egyes kifejezésekre vonatkozó korlátozás lehetővé tette a rendszer stabil pozíciójának elérését.

Kiterjesztett protokoll-együttműködési modell.

Készítsünk fázisportrékat a kiterjesztett modellhez, de azonnal a módosított formában:

Tekintsünk négy paraméterkészletet, hogy minden nulla egyensúlyi ponttal rendelkező esetet figyelembe vegyünk, és mutassuk be a numerikus szimuláció fázisdiagramjait is egy nem nulla egyensúlyi ponthoz: az A(1,0,5,0,5) halmaz megfelel az állam , B(1,0,5,-0,5) halmaz megfelel halmaz C(-1,0.5,0.5) és D(-1,0.5,-0.5) , vagyis egy stabil csomópont a nulla pontban. Az első két készlet a numerikus szimuláció során figyelembe vett paraméterek fázisportréit mutatja be.

2.6. ábra. Fázisportré a rendszerhez (2.4) A-D paraméterekkel.

Az ábrákon a (-1,2) és (1,-2) pontokra kell figyelni, bennük egy „nyereg” jelenik meg. A részletesebb nézet érdekében az ábra az ábra más léptékét mutatja nyereghegygel (1,-2). Az ábrán az (1,2) és (-1,-2) pontokon stabil középpont látható. Ami a nullapontot illeti, a fázisdiagramokon ábráról ábrára jól megkülönböztethető egy instabil csomópont, egy nyereg, egy nyereg és egy stabil csomópont.

Kibővített proto-együttműködési modell logisztikai korlátokkal.

Az előző modellhez hasonlóan most is a nullapont négy esetére mutatunk be fázisportrékat, és ezeken a diagramokon igyekszünk megjegyezni a nullától eltérő megoldásokat is. Ehhez vegye a következő paraméterkészleteket a következő sorrendben megadott paraméterekkel (): A(2,1,2,1), B(2,1,1,2), C(1,2,2, 1) és D (1,2,1,2). Az összes készlet többi paramétere a következő lesz: , .

Az alábbi ábrákon a nullapont négy egyensúlyi állapota figyelhető meg, amelyeket az előző részben leírtunk ennél a dinamikus rendszernél. És az ábrákon is van egy pont stabil pozíciója egy nem nulla koordinátával.

2.7. ábra. Fázisportré a rendszerhez (2.5) A-B paraméterekkel

3 Rendszerek integrálpályái

Protokooperációs modell Verhulst-korlátozással

Az előző fejezethez hasonlóan az egyes differenciálegyenleteket külön-külön fogjuk megoldani, és explicit módon kifejezzük a változók időparamétertől való függését.

(2.8)

(2.9)

A kapott egyenletekből jól látható, hogy az egyes változók értéke növekszik, amit az alábbi háromdimenziós modell szemléltet.

2.8. ábra. Háromdimenziós modell a (2.8) egyenlethez

Ez a fajta gráf az elején némileg emlékeztet a Malthusi modell 1. fejezetben tárgyalt telítettség nélküli háromdimenziós képére, mivel hasonló gyors növekedést mutat, de később észrevehető a növekedési ütem csökkenése az elérések miatt. a termelési mennyiség korlátja. Így az integrálgörbék végső megjelenése hasonló annak a logisztikai egyenletnek a grafikonjához, amelyet az egyik kifejezés korlátozására használtak.

Egy proto-együttműködési modell két megkötéssel.

Mindegyik egyenletet Wolfram Alpha eszközökkel oldjuk meg. Így az x(t) függvény függősége a következő alakra redukálódik:

(2.10)

A második függvénynél is hasonló a helyzet, ezért annak megoldását mellőzzük. A numerikus értékek a paraméterek bizonyos, számukra megfelelő értékekkel való helyettesítése miatt jelentek meg, ami nem befolyásolja az integrálgörbék minőségi viselkedését. Az alábbi ábrákon a növekedési korlátozások alkalmazása szembetűnő, mivel idővel az exponenciális növekedés logaritmikussá válik.

2.9. ábra. Háromdimenziós modell a (2.10) egyenlethez

Kiterjesztett protocooperációs modell

Szinte hasonló a kölcsönösség modelljéhez. Az egyetlen különbség a gyorsabb növekedés az említett modellekhez képest, amint az az alábbi egyenletekből (ha az exponenciális mértékét nézzük) és a grafikonokból is látható. Az integrálgörbének exponenciális alakot kell vennie.

(2.11)

(2.12)

Kibővített protokoll együttműködési modell logisztikai korlátokkal

Az x(t) összefüggés így néz ki:

Gráf nélkül nehéz kiértékelni egy függvény viselkedését, ezért a már ismert eszközökkel megszerkesztjük.

2.10. ábra Háromdimenziós modell az egyenlethez.

A függvény értéke a másik változó nem kis értékeire csökken, ami a negatív bilineáris tag korlátozásának hiánya miatt következik be, és ez nyilvánvaló eredmény

4 Együttműködő vállalatok rendszerdinamikája

Protokooperációs modell Verhulst-korlátozással.

Szerkesszük meg a (2.2) rendszert. Az általunk már ismert eszközökkel szimulációs modellt készítünk. Ezúttal a kölcsönös modellektől eltérően logisztikai korlát lesz a modellben.

2.11. ábra. Rendszerdinamikai modell a rendszerhez (2.2)

Futtassuk a modellt. Ebben a modellben érdemes megjegyezni azt a tényt, hogy a kapcsolatból származó növekedést semmi nem korlátozza, és a termékek növekedésének mások befolyása nélkül van egy sajátos korlátja. Ha megnézi magát a logisztikai függvény kifejezését, észreveheti, hogy abban az esetben, ha a változó (áruszám) meghaladja a maximálisan lehetséges tárolási mennyiséget, a kifejezés negatív lesz. Abban az esetben, ha csak logisztikai funkció van, ez lehetetlen, de egy további mindig pozitív növekedési tényezővel ez lehetséges. És most fontos megérteni, hogy a logisztikai funkció megbirkózik a termékek számának nem túl gyors növekedésével, például a lineáris termékekkel. Figyeljünk az alábbi képekre.

2.12. ábra. Példa a (2.2) rendszer rendszerdinamikai modelljére

A bal oldali ábra a javasolt modellnek megfelelő program 5. lépését mutatja. De jelenleg érdemes a jobb oldali képre figyelni.

Először is, az Y_stock egyik bemeneti adatfolyamának az x-hez való társítása eltávolítva, kifejezésben kifejezve. Ez azért történik, hogy a modell teljesítményének különbségét lineáris, mindig pozitív áramlással és bilineáris növekedéssel mutassuk be, amelyet X_stock esetében mutatunk be. Lineáris korlátlan áramlásoknál a K paraméter túllépése után a rendszer egy ponton egyensúlyba kerül (ebben a modellben az egyensúlyi állapot 200 ezer egységnyi áru). De sokkal korábban a bilineáris növekedés az áruk mennyiségének meredek növekedéséhez vezet, ami végtelenné válik. Ha a jobb és a bal állandóan pozitív áramlást is bilineárisnak hagyjuk, akkor már körülbelül a 20-30. lépésnél az akkumulátor értéke két végtelen különbségére jön.

A fentiek alapján bátran kijelenthetjük, hogy az ilyen modellek további alkalmazása esetén minden pozitív növekedést korlátozni kell.

Egy proto-együttműködési modell két megkötéssel.

Az előző modell hiányosságainak azonosítása és a második tag telítési tényezővel való korlátozása után új modellt építünk és indítunk el.

2.13. ábra. Rendszerdinamikai modell és példa a működésére a rendszerhez (2.3)

Ez a modell végül meghozza a régóta várt eredményeket. Sikerült korlátozni a tárolási értékek növekedését. Amint az a jobb oldali ábrán látható mindkét vállalkozás esetében, az egyensúly enyhe tárolótérfogat-többlet mellett érhető el.

Kiterjesztett protokoll-együttműködési modell.

A modell rendszerdinamikájának figyelembe vételekor az AnyLogic szoftverkörnyezet képességeit mutatjuk be a modellek színes megjelenítésére. Minden korábbi modell csak a rendszerdinamikai elemek felhasználásával készült. Emiatt maguk a modellek nem tűntek feltűnőnek, nem tették lehetővé a termékmennyiség időbeli változásának dinamikáját, illetve a program futása közben a paraméterek változását. Ezzel és a következő modellel dolgozva igyekszünk a programlehetőségek szélesebb körét kihasználni a fent említett három hátrány megváltoztatására.

Először is, a programban a „rendszerdinamika” rész mellett a program „képek” és „3D objektumok” szakaszokat is tartalmaz, amelyek lehetővé teszik a modell diverzifikálását, ami hasznos a további bemutatáshoz, mivel ez teszi a modellt. „kellemesebbnek” tűnjön.

Másodszor, a modellértékek változásának dinamikájának nyomon követésére van egy „statisztika” rész, amely lehetővé teszi diagramok és különféle adatgyűjtő eszközök hozzáadását, összekapcsolva azokat a modellel.

Harmadszor, a paraméterek és egyéb objektumok megváltoztatásához a modell végrehajtása során van egy „vezérlők” rész. Az ebben a szakaszban található objektumok lehetővé teszik a paraméterek módosítását a modell futása közben (például „csúszka”), különböző objektumállapotok kiválasztását (például „kapcsoló”), és olyan egyéb műveleteket hajthat végre, amelyek megváltoztatják az eredetileg megadott adatokat a működés során.

A modell alkalmas a vállalati termékek változásának dinamikájának oktatási megismertetésére, de a növekedési korlátozások hiánya nem teszi lehetővé gyakorlati alkalmazását.

Kibővített proto-együttműködési modell logisztikai korlátokkal.

A kész korábbi modell segítségével a logisztikai egyenletből paramétereket adunk hozzá a növekedés korlátozására.

A modell felépítését mellőzzük, mivel az ezekkel való munkavégzés minden szükséges eszközét és elvét a munkában bemutatott előző öt modellben már bemutattuk. Csak azt érdemes megjegyezni, hogy viselkedése hasonló a Verhulst-megszorítással rendelkező protocooperációs modellhez. Azok. a telítettség hiánya akadályozza a gyakorlati alkalmazását.

A modellek proto-együttműködési körülményeinek elemzése után több fő pontot fogunk meghatározni:

Az ebben a fejezetben tárgyalt modellek a gyakorlatban jobban megfelelnek a kölcsönösségi modelleknek, mivel két taggal is rendelkeznek nullától eltérő stabil egyensúlyi helyzettel. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a kölcsönösségi modellekben ezt csak egy harmadik kifejezés hozzáadásával tudtuk elérni.

A megfelelő modelleknek minden kifejezésre korlátozásokat kell tartalmazniuk, mivel ellenkező esetben a bilineáris tényezők meredek növekedése „tönkreteszi” a teljes szimulációs modellt.

A 2. pont alapján, amikor a Verhulst-korlátozással kiegészített kiterjesztett proto-együttműködési modellhez telítési tényezőt adunk, valamint alacsonyabb kritikus termelési mennyiséget adunk hozzá, a modellnek a lehető legközelebb kell állnia a valós állapothoz. De nem szabad elfelejtenünk, hogy a rendszer ilyen manipulációi megnehezítik annak elemzését.

Következtetés

A vizsgálat eredményeként hat rendszer elemzésére került sor, amelyek leírják az egymást kölcsönösen befolyásoló vállalkozások termelési dinamikáját. Ennek eredményeként az egyensúlyi pontok és stabilitásuk típusai az alábbi módok egyikén kerültek meghatározásra: analitikusan, vagy a megszerkesztett fázisportréknak köszönhetően olyan esetekben, amikor az analitikus megoldás valamilyen okból nem lehetséges. Mindegyik rendszerhez fázisdiagramokat, valamint háromdimenziós modelleket készítettek, amelyekre vetítve integrálgörbék állíthatók elő az (x,t), (y,t) síkban. Ezt követően az AnyLogic modellezőkörnyezet segítségével minden modellt felépítettek, és figyelembe vették a viselkedésükre vonatkozó lehetőségeket bizonyos paraméterek mellett.

A rendszerek elemzése és szimulációs modelljeik felépítése után nyilvánvalóvá válik, hogy ezek a modellek csak oktatómodellnek, vagy makroszkopikus rendszerek leírására tekinthetők, de egyes vállalatok döntéstámogató rendszerének nem, mivel alacsony pontosságuk és helyenként a zajló folyamatokról nincs teljesen megbízható ábrázolás. De azt sem szabad elfelejteni, hogy bármennyire is korrekt a modellt leíró dinamikus rendszer, minden vállalatnak/szervezetnek/ágazatnak megvannak a maga folyamatai és korlátai, így nem lehet általános modellt létrehozni és leírni. Minden konkrét esetben módosul: bonyolultabbá válik, vagy éppen ellenkezőleg, egyszerűsödik a további munkához.

Az egyes fejezetekre vonatkozó következtetések levonásakor érdemes arra a felismert tényre összpontosítani, hogy a korlátozások bevezetése az egyenlet minden tagjára, bár bonyolítja a rendszert, de lehetővé teszi a stabil pozíciók kimutatását is. rendszert, valamint közelebb hozzák a valóságban zajló eseményekhez. És érdemes megjegyezni, hogy a protokooperációs modellek alkalmasabbak a tanulmányozásra, mivel nem nulla stabil pozíciókkal rendelkeznek, ellentétben az általunk vizsgált két kölcsönös modellel.

Ezzel a tanulmány célja megvalósult, és a célkitűzések teljesültek. A jövőben ennek a munkának a folytatásaként a protokoll-együttműködés típusának interakciójának kibővített modellje kerül megfontolásra, három megszorítással: logisztikai, telítési tényező, alacsonyabb kritikus szám, amely lehetővé teszi számunkra, hogy egy további pontos modell a döntéstámogató rendszerhez, valamint egy modell három vállalattal. A munka kiterjesztéseként a szimbiózison kívül két másik interakciótípust is figyelembe vehetünk, amelyekről a műben szó esett.

Irodalom

1. Bhatia Nam Parshad; Szegx Giorgio P. (2002). Dinamikus rendszerek stabilitáselmélete. Springer.

2. Blanchard P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. (2006). Differenciál egyenletek. London: Thompson. pp. 96-111.

Boeing, G. (2016). Nemlineáris dinamikus rendszerek vizuális elemzése: káosz, fraktálok, önhasonlóság és az előrejelzés határai. Rendszerek. 4 (4): 37.

4. Campbell, David K. (2004). Nemlineáris fizika: friss levegő. Természet. 432 (7016): 455-456.

Elton C.S. (1968) utánnyomás. Állatökológia. Nagy-Britannia: William Clowes and Sons Ltd.

7. Forrester Jay W. (1961). Ipari dinamika. MIT Press.

8. Gandolfo, Giancarlo (1996). Economic Dynamics (harmadik kiadás). Berlin: Springer. pp. 407-428.

9. Gershenfeld Neil A. (1999). A matematikai modellezés természete. Cambridge, Egyesült Királyság: Cambridge University Press.

10. Goodman M. (1989). Tanulmányi jegyzetek a rendszerdinamikából. Pegazus.

Grebogi C, Ott E és Yorke J (1987). Káosz, furcsa vonzerők és fraktál medencehatárok a nemlineáris dinamikában. Science 238 (4827), 632-638.

12. Ernst fodrász; Nørsett Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Közönséges differenciálegyenletek megoldása I: Nem merev problémák, Berlin, New York

Hanski I. (1999) Metapopulation Ecology. Oxford University Press, Oxford, pp. 43-46.

Hughes-Hallett Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Calculus: Single and Multivariable (6 kiadás). John Wiley.

15. Llibre J., Valls C. (2007). Globális analitikai első integrálok a valódi síkbeli Lotka-Volterra rendszerhez, J. Math. Phys.

16. Jordan D.W.; Smith P. (2007). Nemlineáris közönséges differenciálegyenletek: Bevezetés tudósoknak és mérnököknek (4. kiadás). Oxford University Press.

Khalil Hassan K. (2001). Nemlineáris rendszerek. Prentice Hall.

Lamar Egyetem, Online matematikai jegyzetek – Phase Plane, P. Dawkins.

Lamar Egyetem, Online matematikai jegyzetek – Differenciálegyenletrendszerek, P. Dawkins.

Lang Serge (1972). Differenciál elosztók. Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.

Law Averill M. (2006). Szimulációs modellezés és elemzés Expertfit szoftverrel. McGraw-Hill Tudomány.

Lazard D. (2009). Harminc év polinomrendszer-megoldás, és most? Journal of Symbolic Computation. 44 (3): 222-231.

24. Lewis Mark D. (2000). A dinamikus rendszerek ígérete az emberi fejlődés integrált szemléletére. Gyermek fejlődését. 71 (1): 36-43.

25. Malthus T.R. (1798). Egy esszé a népesedés elvéről, az Oxford World's Classics újranyomásában, 61. o., VII. fejezet vége

26. Morecroft John (2007). Stratégiai modellezés és üzleti dinamika: visszacsatolási rendszerek megközelítése. John Wiley & Sons.

27. Nolte D.D. (2015), Bevezetés a modern dinamikába: káosz, hálózatok, tér és idő, Oxford University Press.

Küldje el a jó munkát a tudásbázis egyszerű. Használja az alábbi űrlapot

Diákok, végzős hallgatók, fiatal tudósok, akik a tudásbázist tanulmányaikban és munkájukban használják, nagyon hálásak lesznek Önnek.

Közzétéve: http://www.allbest.ru/

Gyakorlat

automata nyquist frekvencia szabályozása

Elemezze az 1. ábrán bemutatott blokkdiagram által meghatározott automatikus vezérlőrendszer dinamikus tulajdonságait, beleértve a következő szakaszokat:

Kutatási módszerek kiválasztása, indoklása, automata vezérlőrendszerek matematikai modelljének felépítése;

Számítási rész, beleértve az automatikus vezérlőrendszerek matematikai modellezését számítógépen;

A vezérlőobjektum és az automatikus vezérlőrendszer matematikai modelljének stabilitáselemzése;

A vezérlőobjektum és az automatikus vezérlőrendszer matematikai modelljének stabilitásának vizsgálata.

A vizsgált ACS blokkvázlata, ahol a vezérlőobjektum (OU), a működtető (AM), az érzékelő (D) és a korrekciós eszköz (CU) átviteli funkciói

A K1, K2, K3, K4, T1, T2, T3 és T4 együtthatók értékeit az 1. táblázat tartalmazza.

Lehetőség tanfolyami feladatra

	Lehetőségek

Bevezetés

Az automatizálás tervezése az egyik legösszetettebb és legfontosabb terület a mérnöki munkában, ezért az automatizálás alapjainak ismerete, a különböző technológiai folyamatok automatizálási szintjének ismerete, az alkalmazott automatizálási eszközök és a tervezés alapjai elengedhetetlen feltétele mérnökök és technológusok sikeres munkája. Bármely technológiai folyamat normál működését meghatározott paraméterértékek jellemzik, a berendezés gazdaságos és biztonságos működését pedig az üzemi paraméterek előírt határokon belüli tartása biztosítja. A berendezések normál működése, valamint a szükséges technológiai folyamatok bármilyen hőtechnikai létesítményben történő megvalósítása érdekében a tervezési fejlesztésekbe automatizálási eszközöket kell beépíteni. Jelenleg a nemzetgazdaság minden ágazatában, így a mezőgazdaságban is egyre gyakrabban alkalmazzák az automatikus vezérlőrendszereket. Ez nem meglepő, mivel a technológiai folyamatok automatizálását az emberi kezelő részleges vagy teljes helyettesítése jellemzi, speciális technikai felügyeleti és vezérlési eszközökkel. A technológiai folyamatok gépesítése, villamosítása és automatizálása biztosítja a nehéz és szakképzetlen fizikai munkaerő arányának csökkentését a mezőgazdaságban, ami a termelékenység növekedéséhez vezet.

Így nyilvánvaló a technológiai folyamatok automatizálásának igénye, és meg kell tanulni az automatikus vezérlőrendszerek (ACS) paramétereinek kiszámítását, ismereteik későbbi gyakorlati alkalmazásához.

A tantárgyi munka magában foglalja egy automatikus vezérlőrendszer adott szerkezeti diagramja dinamikus tulajdonságainak elemzését vezérlő objektumok matematikai modelljeinek összeállításával és elemzésével.

1 . Az ACS stabilitásának elemzése a Nyquist-kritérium segítségével

Az automatikus vezérlőrendszer stabilitásának megítéléséhez nincs szükség a jellemző egyenlet gyökeinek pontos értékeinek meghatározására. Ezért a rendszer karakterisztikus egyenletének teljes megoldása nyilvánvalóan szükségtelen, és korlátozhatjuk magunkat egyik vagy másik közvetett stabilitási kritérium alkalmazására. Különösen nem nehéz kimutatni, hogy egy rendszer stabilitásához szükséges (de nem elegendő), hogy a karakterisztikus egyenletének minden együtthatója azonos előjelű legyen, vagy elegendő, ha a karakterisztikus egyenlet összes gyökének valós részei negatívak. Ha a karakterisztikus egyenlet összes gyökének valós része nem negatív, akkor ennek az ACS-nek a stabilitásának meghatározásához más kritériumok alapján kell tanulmányozni, mivel ha a fenti kritérium szerinti átviteli függvény olyan instabil blokkhoz tartozik, amelyben a nevezőnek pozitív valós résszel rendelkező gyökei vannak, akkor Ha bizonyos feltételek teljesülnek, a zárt rendszer ebben az esetben is stabil lehet.

Számos folyamatirányító rendszer stabilitásának vizsgálatára a legkényelmesebb módszer a Nyquist stabilitási kritérium, amely a következőképpen alakul.

A nyitott állapotban stabil rendszer akkor is stabil marad, ha negatív visszacsatolással zárjuk, ha a CFC hodográf nyitott állapotban W(jш) nem fed le a komplex síkban lévő (-1; j0) koordinátákkal rendelkező pontot. .

A Nyquist-kritérium fenti megfogalmazásánál úgy tekintjük, hogy a CFC hodográf W(jш) „nem fedi le” a (-1; j0) pontot, ha a megadott pontból a hodográf felé húzott vektor teljes elfordulási szöge. W(jш) egyenlő nullával, ha a frekvencia у=0-ról sh > ?-ra változik.

Ha a W(jш) frekvenciamenet hodográfja egy bizonyos frekvencián, az úgynevezett kritikus frekvenciájú schk átmegy a (-1; j0) ponton, akkor a tranziens folyamat zárt rendszerben csillapítatlan oszcillációkat jelent schk frekvenciával, azaz. A rendszer a következőképpen kifejezett stabilitási határon találja magát:

Itt W(p) a nyílt hurkú automatikus vezérlőrendszer átviteli funkciója. Tegyük fel, hogy a nyílt hurkú rendszer stabil. Ekkor a zárt hurkú automatikus vezérlőrendszer stabilitásához szükséges és elegendő, hogy a nyílt hurkú rendszer W(jw) amplitúdó-fázis karakterisztikájának hodográfja (ezt a karakterisztikát a W(p)-ből kapjuk, ha kicseréljük p=jw) nem fedi le a pontot (-1, j0) koordinátákkal. Az a frekvencia, amelynél |W(jw)| = 1, vágási frekvenciának (w cf) nevezzük.

Annak felmérésére, hogy a rendszer milyen messze van a stabilitási határtól, bevezetjük a stabilitási határok fogalmát. A stabilitási határ amplitúdóban (modulusban) azt jelzi, hogy hányszor szükséges megváltoztatni az AFC hodográf sugárvektorának hosszát ahhoz, hogy a rendszer a fáziseltolódás megváltoztatása nélkül a stabilitási határhoz kerüljön. Abszolút stabil rendszerek esetén a modulo DK stabilitási ráhagyást a következő képlet alapján számítják ki:

ahol a w 0 frekvenciát az arg W(jw 0) = - 180 0 összefüggésből határozzuk meg.

A DK amplitúdó stabilitási határát a következő képlet segítségével is kiszámítjuk:

DK = 1 - K 180;

ahol K 180 az átviteli együttható értéke -180°-os fáziseltolásnál.

A fázisstabilitási ráhagyás viszont azt jelzi, hogy mennyivel kell növelni az AFC argumentum abszolút értékét ahhoz, hogy a rendszert a stabilitási határra hozzuk a modulusérték megváltoztatása nélkül.

A Dj fázisstabilitási határt a következő képlettel számítjuk ki:

Dj = 180° - j K = 1;

ahol j K=1 a fáziseltolódás értéke K = 1 átviteli együtthatónál;

A Dj = 180 0 + arg W (j; w av) érték határozza meg a fázisstabilitási határt. A Nyquist-kritériumból az következik, hogy a nyitott állapotban stabil ACS zárt állapotban is stabil lesz, ha a fáziseltolódás a vágási frekvencián nem éri el a -180°-ot. Ennek a feltételnek a teljesülése egy nyílt hurkú automata vezérlőrendszer logaritmikus frekvenciakarakterisztikájának megszerkesztésével ellenőrizhető.

2. Az ACS stabilitásának vizsgálata a Nyquist-kritérium segítségével

Stabilitás vizsgálata a Nyquist-kritérium szerint az AFC nyitott ACS-sel történő elemzésével. Ehhez megbontjuk a rendszert a vizsgált ACS blokkdiagramján látható módon:

A vizsgált önjáró fegyver blokkvázlata

Az alábbiakban a vezérlőobjektum (OU), az aktuátor (AM), az érzékelő (D) és a korrekciós eszköz (CU) átviteli funkciói láthatók:

A hozzárendelés együtthatóértékei a következők:

K1 = 1,0; K2 = 0,2; K3 = 2; K4 = 1,0; T1 = 0,4; T2 = 0,2; T3 = 0,07; T4 = 0,4.

Számítsuk ki az átviteli függvényt a rendszer megszakadása után:

W(p) = W ku (p) Ch W im (p) ChW ou (p) ChW d (p);

W(p) = H H H

A megadott együtthatókat behelyettesítve a függvénybe kapjuk:

Ezt a függvényt a matematikai modellező programban („MATLAV”) elemezve megkapjuk a nyílt hurkú ACS amplitúdó-fázis-frekvencia válaszának (APFC) hodográfját a komplex síkon, az ábrán látható módon.

Nyílt hurkú automatikus vezérlőrendszer fázis-frekvencia válaszának hodográfja összetett síkon.

Önjáró fegyverek stabilitásának vizsgálata AFFC alapján

Az átviteli együtthatót -180°-os fáziseltolódás esetén számítjuk ki, K 180 = 0,0395.

A DK amplitúdó stabilitási határa a következő képlet szerint:

DK = 1 - K 180 = 1 - 0,0395 = 0,9605; ahol K 180 = 0,0395.

Határozzuk meg a Dj fázishatárt:

A Dj fázisstabilitási határt a következő képlet határozza meg: Dj = 180° - j K=1 ; ahol j K=1 a fáziseltolódás értéke K = 1 átviteli együtthatónál. De mivel j K=1 esetünkben nem figyelhető meg (az amplitúdó mindig kisebb, mint egység), így a vizsgált rendszer stabil a fáziseltolás tetszőleges értéke (az ACS a teljes frekvenciatartományban stabil).

Önjáró fegyverek stabilitásának vizsgálata logaritmikus karakterisztikával

Nyílt hurkú automatikus vezérlőrendszer logaritmikus amplitúdó-frekvencia válasza

Nyílt hurkú automatikus vezérlőrendszer logaritmikus fázis-frekvencia karakterisztikája

A matematikai modellező program („MATLAB”) segítségével megkapjuk a vizsgált ACS logaritmikus jellemzőit, amelyeket a 4. ábra (logaritmikus amplitúdó-frekvencia karakterisztika) és az 5. ábra (logaritmikus fázis-frekvencia karakterisztika) mutat be, ahol;

L(w) = 20 lg|W (j; w) |).

Az ACS stabilitásának logaritmikus kritériuma a Nyquist-kritérium logaritmikus formában való kifejezése.

A 180°-os fáziseltolás értékének meghatározásához (5. ábra) húzzon egy vízszintes vonalat az LFCH metszéspontjához, ebből a metszéspontból húzzon egy függőleges vonalat az LFCH metszéspontjához (4. ábra). 180°-os fáziseltolódás esetén megkapjuk az átviteli együttható értékét:

20lgК 180° = -28,05862;

ebben az esetben K 180 ° = 0,0395 (DK" = 28,05862).

Az amplitúdó-stabilitási határt a függőleges vonal 20lgК 180° = 0 értékre való kiterjesztésével találjuk meg.

A fázisstabilitási határ meghatározásához egy vízszintes vonalat vezetünk a 20lgК 180 ° = 0 vonalon az LFC-vel való metszéspontig, és egy függőleges vonalat innen az LFC-vel való metszéspontig. Ebben az esetben a fáziseltolódás talált értéke és a 180°-os fáziseltolás közötti különbség lesz a fázisstabilitási ráhagyás.

Dj = 180° - j K;

Dj = 180° - 0 = 180°.

ahol: j K - a fáziseltolás talált értéke;

Mivel a vizsgált önjáró löveg LFCH értéke a 20logK 180° = 0 vonal alatt van, ezért az önjáró pisztoly fázisstabilitási ráhagyással rendelkezik a nulláról 180°-ra történő fáziseltolás bármely értékére.

Következtetés: az LFC és az LFFC elemzése után az következik, hogy a vizsgált ACS a teljes frekvenciatartományban stabil.

Következtetés

Ebben a kurzusban egy műszerkövető rendszert szintetizáltak és tanulmányoztam modern irányításelméleti módszerekkel és eszközökkel. Ebben a számítási és grafikus munkában egy zárt hurkú automatikus vezérlőrendszer átviteli függvényét találtuk meg adott szerkezeti diagram és ismert kifejezések segítségével a dinamikus kapcsolatok átviteli függvényeire.

Bibliográfia

1. I.F. Borodin, Yu.A. Sudnik. Technológiai folyamatok automatizálása. Tankönyv egyetemek számára. Moszkva. "Spike", 2004.

2. V.S. Gutnikov. Integrált elektronika a mérőeszközökben. "Energoatomizdat". Leningrádi fióktelep, 1988.

3. N.N. Ivascsenko. Automatikus szabályozás. A rendszerek elmélete és elemei. Moszkva. "Gépészet", 1978.

Közzétéve az Allbest.ru oldalon

...

Hasonló dokumentumok

Az automata vezérlőrendszer linkjeinek átviteli funkcióinak és tranziens jellemzőinek meghatározása. Amplitúdó-fázis jellemzők felépítése. Rendszerstabilitás értékelése. Korrekciós eszköz kiválasztása. Szabályozási minőségi mutatók.

tanfolyami munka, hozzáadva 2016.02.21


A motor fordulatszám-szabályozó rendszerének tanulmányozása korrekciós áramkörrel és anélkül. A rendszer stabilitásának értékelése Hurwitz, Mikhailov és Nyquist kritériumok alapján. Logaritmikus amplitúdó-frekvencia és fázis-frekvencia karakterisztika felépítése.

tanfolyami munka, hozzáadva 2015.03.22


Automatikus vezérlőrendszer villamos főmatematikai modelljének vázlatos diagramjának kidolgozása, korrekciós eszközökkel korrigálva. Az eredeti rendszer stabilitásának becslése Routh-Hurwitz módszerrel. A kívánt frekvenciaválasz szintézise.

tanfolyami munka, hozzáadva 2013.03.24


A vezérlő objektum (kazándob) jellemzői, az automata vezérlőrendszer felépítése, működése, működési diagramja. A rendszer stabilitásának elemzése Hurwitz és Nyquist kritériumok segítségével. A menedzsment minőségének értékelése átmeneti függvények alapján.

tanfolyami munka, hozzáadva 2010.09.13


Az automatikus vezérlőrendszer célja a keresztirányú előtoláshoz merülő-vágó köszörülés során. Funkcionális diagram felépítése. Átalakító, villanymotor, sebességváltó átviteli funkcióinak számítása. Stabilitás meghatározása Nyquist-kritérium segítségével.

tanfolyami munka, hozzáadva 2014.08.12


Egy rendszer stabilitásának meghatározásának módszertana algebrai (Rouse és Hurwitz kritériumok) és frekvenciastabilitási kritériumok (Mihailov és Nyquist kritériumok) segítségével, ezek eredményeinek pontosságának felmérése. Az átviteli függvény összeállításának jellemzői zárt rendszerre.

laboratóriumi munka, hozzáadva 2010.12.15


Elemi áramkör felépítése és az automata vezérlőrendszer működési elvének tanulmányozása, jelentősége az AIDS rendszer beállítási módszerének megvalósításában. A rendszer fő elemei és kapcsolatuk. Az áramkör stabilitásának és optimális frekvenciáinak elemzése.

teszt, hozzáadva: 2009.12.09


Nyílt hurkú rendszer átviteli függvényének meghatározása, rögzítésének szabványos formája és az asztatizmus mértéke. Amplitúdó-fázisú, valós és képzeletbeli frekvenciakarakterisztikák vizsgálata. Az AFFC hodográf építése. Routh és Hurwitz algebrai kritériumai.

tanfolyami munka, hozzáadva 2011.09.05


Új funkciók bevezetése, amelyek befolyásolják a szivattyús keringtető állomás működését egy acélgyárban. Ellenőrző és mérőberendezések telepítése. Mikhailov stabilitási kritériumok és amplitúdó-fázis Nyquist kritériumok. Rendszer korszerűsítése.

szakdolgozat, hozzáadva: 2017.01.19


A burgonyatároló létesítmény befújt levegő hőmérsékletének automatikus szabályozására szolgáló rendszer működési diagramja. A rendszerszabályozási törvény meghatározása. Stabilitáselemzés Hurwitz és Nyquist kritériumok alapján. Az átmeneti funkciók irányítási minősége.

Bevezetés 4

Dinamikus rendszerek a priori elemzése 5

Véletlenszerű jel átadása lineáris rendszeren 5

A 7-es rendszer fázisvektorának alakulása

A 8. rendszer fázisvektorának kovarianciamátrixának alakulása

Statisztikai linearizálás 8

Első módszer 9

Második módszer 10

Linearizációs együtthatók számítása 10

Kétértelműség a nemlineáris kapcsolatokban 14

A visszajelzéssel érintett nemlineáris link 15

Véletlenszerű folyamatok modellezése 16

Alakító szűrő 16

Fehér zaj szimuláció 17

Dinamikus rendszerek statisztikai jellemzőinek becslése Monte Carlo módszerrel 18

A becslés pontossága 18

Instabil dinamikus rendszerek 20

Helyhez kötött dinamikus rendszerek 21

A dinamikus rendszerek utólagos elemzése 22

Kálmán szűrő 22

Mozgásminta 22

Mérési modell 23

Javítás 23

Előrejelzés 23

Értékelés 23

Kálmán-szűrés használata nemlineáris feladatokban 25

A legkisebb négyzetek módszere 27

Építő becslések 27

Előrejelzés 29

A legkisebb négyzetek módszerének használata nemlineáris feladatokban 29

A Cauchy-mátrix felépítése 30

Méretszimuláció 30

Numerikus módszerek 31

Speciális funkciók 31

Valószínűségi változók modellezése 31

Egyenletes eloszlású valószínűségi változók 31

Gauss-féle valószínűségi változók 32

Véletlenszerű vektorok 33

Valószínűségi integrál 34

Csebisev-polinomok 36

Közönséges differenciálegyenletek integrálása 36

Runge-Kutta módszerek 36

A numerikus integráció eredményeinek pontossága 37

Beágyazott Dorman-Prince módszer 5(4) sorrendje 37

Többlépéses módszerek 39

Adams-módszerek 39

Egyenletek integrálása késleltetett argumentummal 40

A módszerek számítási minőségének összehasonlítása 40

Arenstorff probléma 40

Elliptikus Jacobi-függvények 41

Két testprobléma 41

Van der Pol egyenlet 42

Brusselator 42

Lagrange-egyenlet egy függő húrra 42

„Plejádok” 42

Magyarázó megjegyzés készítése 43

Címlap 43

"Bevezetés" szakasz 44

"Elmélet" szakasz 44

"Algoritmus" szakasz 44

"Program" szakasz 45

"Eredmények" szakasz 45

„Következtetések” szakasz 45

„A felhasznált források listája” szakasz 45

Pályázatok 45

Irodalom 47

Bevezetés

Ez a tankönyv módszertani utasításokat tartalmaz a „Statisztikai dinamika alapjai” tantárgy kurzus-projektfeladatainak teljesítéséhez és a gyakorlati órák levezetéséhez.

A kurzustervezés és a gyakorlati órák célja, hogy a hallgatók elsajátítsák a nemlineáris dinamikus rendszerek a priori és a posteriori elemzésének technológiáját véletlenszerű zavarok hatására.

Dinamikus rendszerek a priori elemzése

Statisztikai linearizálás

A statisztikai linearizálás lehetővé teszi az eredeti nemlineáris dinamikus rendszer átalakítását úgy, hogy elemzéséhez olyan módszereket, algoritmusokat és összefüggéseket használhasson, amelyek a lineáris rendszerekre érvényesek.

Ez a rész a statisztikai linearizálás módszerének bemutatására szolgál, a prof. AZAZ. Kazakov, amely mindazonáltal lehetővé teszi egy olyan rendszer pontosságának becslését, amely még jelentős nemlinearitást is tartalmaz nem folytonos jellemzőkkel.

A statisztikai linearizálás abból áll, hogy a bemeneti és kimeneti folyamatok közötti eredeti tehetetlenségmentes nemlineáris függést egy olyan közelítő, a központosított bemeneti véletlenszerű folyamathoz képest lineáris függőséggel helyettesítjük, amely statisztikai értelemben ekvivalens az eredetivel:

A bemeneti és kimeneti jelek között ilyen közelítő kapcsolatot mutató kapcsolatot a vizsgált nemlineáris kapcsolattal egyenértékűnek nevezzük.

Az értéket a nemlineáris és linearizált jelek matematikai elvárásainak egyenlőségének feltétele alapján választják ki, és az ekvivalens kapcsolat statisztikai átlagjellemzőjének nevezik:

,

ahol a bemeneti jel eloszlási sűrűsége.

Páratlan karakterisztikájú nemlineáris kapcsolatokhoz, pl. nál nél , célszerű a statisztikai jellemzőt a következő formában bemutatni:

– a bemeneti jel matematikai elvárása;
– az ekvivalens kapcsolat statisztikai nyeresége az átlagos komponensre.

Hogy. az ekvivalens függőség ebben az esetben a következő formában jelenik meg:

A karakterisztikát a véletlen komponens (fluktuációk) ekvivalens kapcsolatának statisztikai erősítésének nevezzük, és kétféleképpen határozható meg.

Első út

A statisztikai linearizálás első módszerével összhangban az együttható kiválasztása az eredeti és az ekvivalens jelek varianciáinak egyenlőségének feltétele alapján történik. Hogy. A számításhoz a következő összefüggést kapjuk:

,

ahol a bemeneti véletlen hatás varianciája.

A for kifejezésben szereplő előjelet az argumentum értékének közelében lévő függőség természete határozza meg. Ha nő, akkor , ha pedig csökken, akkor .

Második út

A második módszerben az értéket a linearizálás átlagos négyzetes hibájának minimalizálásának feltételéből választjuk ki:

Az együttható második módszerrel történő kiszámításának végső összefüggése:

.

Összegzésképpen megjegyezzük, hogy a fent tárgyalt két linearizációs módszer egyike sem biztosítja a nemlineáris és az ekvivalens kapcsolatok kimeneti jeleinek korrelációs függvényeinek egyenlőségét. A számítások azt mutatják, hogy egy nemlineáris jel korrelációs függvényére az első kiválasztási módszer felső, a második módszer pedig alsó becslést ad, azaz. a nemlineáris kimeneti jel korrelációs függvényének meghatározásában előforduló hibák eltérő előjelűek. Prof. AZAZ. Kazakov, az itt vázolt módszer szerzője azt javasolja, hogy az első és a második módszerrel kapott együtthatók összegének felét válasszuk eredményül kapott linearizációs együtthatóként.

Formáló szűrő

A paramétereket általában az egyenletben szereplő számláló és nevező polinomok együtthatóinak egyenlítésével határozzák meg.

azonos fokokon.

Az alakító szűrő átviteli függvényének meghatározása után a kapott véletlenszerű folyamatszimulációs séma az ábrán látható módon néz ki.

Például a modellezendő folyamat spektrális sűrűsége a következő:

,

matematikai elvárás, és az intenzitású fehérzaj modellezésére szolgál, ezért egységnyi spektrális sűrűségű.

Nyilvánvaló, hogy a kívánt átviteli függvény számlálójának és nevezőjének 1-es és 2-es rendűnek kell lennie (sőt, mivel modulo négyzet, az átviteli függvény a 2. és 4. fokú polinomok hányadosát alkotja)

Hogy. A formáló szűrő átviteli funkciója a legáltalánosabb formájában a következő:

,

és a modulusának négyzete:

Tegyük egyenlővé a kapott arányokat:

Vegyük ki a zárójelből és a jobb oldali egyenlőségeket, ezzel egyenlővé téve a nulla hatványon lévő együtthatókat:

,

ahonnan nyilvánvalóan a következő egyenlőségek következnek:

; ; ; .

Hogy. Az egységnyi spektrális sűrűségű fehér zajból adott statisztikai jellemzőkkel rendelkező véletlenszerű folyamat kialakulásának blokkdiagramja az ábrán látható módon néz ki, figyelembe véve a képző szűrő paramétereinek számított értékeit.

Fehér zaj szimuláció

Adott statisztikai jellemzőkkel rendelkező véletlenszerű folyamat modellezéséhez fehér zajt használunk véletlenszerű folyamatként az alakító szűrőbe. A fehér zaj pontos modellezése azonban nem kivitelezhető ennek a véletlenszerű folyamatnak a végtelen varianciája miatt.

Emiatt egy véletlenszerű lépéses folyamatot használnak a dinamikus rendszert befolyásoló fehér zaj helyettesítésére. Az az intervallum, amelyen keresztül egy véletlenszerű folyamat megvalósítása változatlan formában megőrzi értékét (lépésszélesség, korrelációs intervallum), egy állandó érték. Maguk a megvalósítási értékek (lépésmagasságok) egy normális törvény szerint elosztott valószínűségi változók, nulla matematikai várakozással és korlátozott szórással. A folyamatparaméterek - korrelációs intervallum és diszperzió - értékeit a fehérzaj által érintett dinamikus rendszer jellemzői határozzák meg.

A módszer ötlete bármely valódi dinamikus rendszer korlátozott sávszélességén alapul. Azok. a valós dinamikus rendszer erősítése a bemeneti jel frekvenciájának növekedésével csökken, és ezért van olyan frekvencia (a végtelennél kisebb), amelynél a rendszer erősítése olyan kicsi, hogy nullára állítható. Ez pedig azt jelenti, hogy egy állandó, de ezzel a frekvenciával korlátozott spektrális sűrűségű bemeneti jel egy ilyen rendszer esetében egyenértékű lesz a fehér zajjal (állandó és végtelen spektrális sűrűséggel).

Az ekvivalens véletlenszerű folyamat paraméterei - korrelációs intervallum és variancia - a következőképpen számíthatók ki:

ahol a dinamikus rendszer sávszélességének empirikusan meghatározott határa.

A becslések pontossága

Várakozási becslések

és variancia

Egy valószínűségi változó korlátozott mintájának feldolgozása alapján alkotott valószínűségi változók maguk is valószínűségi változók.

Nyilvánvaló, hogy minél nagyobb az implementációk mintamérete, minél pontosabb a torzítatlan becslés, annál közelebb van a becsült paraméter valódi értékéhez. Az alábbiakban a normális eloszlásuk feltételezésén alapuló hozzávetőleges képletek találhatók. A megbízhatósági valószínűségnek megfelelő becslés szimmetrikus viszonylagos konfidencia intervallumát az az érték határozza meg, amelyre az összefüggés érvényes:

,

Ahol
– egy valószínűségi változó matematikai elvárásának valós értéke,
– a valószínűségi változó szórása,
– valószínűségi integrál.

A fenti összefüggés alapján az érték a következőképpen határozható meg:

,

ahol a függvény inverze a valószínűségi integrállal.

Mivel nem ismerjük pontosan a becslés diszperziós jellemzőjét, a becslés alapján számított hozzávetőleges értékét használjuk:

Hogy. A matematikai várható becslés pontossága és a becsléshez használt minta mérete közötti végső kapcsolat a következő:

.

Ez azt jelenti, hogy a -hoz képest szimmetrikusan elhelyezkedő konfidenciaintervallum (a megbízhatósági valószínűség állandó értékével) a szórás becslésének töredékében kifejezve fordítottan arányos a minta méretének négyzetgyökével.

A varianciabecslés konfidenciaintervallumát hasonló módon határozzuk meg:

pontossággal, amely pontosabb információ hiányában az összefüggésből megközelítőleg meghatározható:

Hogy. a -hoz képest szimmetrikusan elhelyezkedő konfidenciaintervallum (a konfidenciavalószínűség állandó értékénél) részesedése fordítottan arányos az érték négyzetgyökével, ahol a minta mérete.

Pontosabb képletek a becslések konfidenciaintervallumának megalkotására a valószínűségi változó eloszlási törvényére vonatkozó pontos információk felhasználásával.

Például egy Gauss-eloszlási törvényhez a valószínűségi változó

egy bizonyos szabadságfokkal engedelmeskedik a Student eloszlási törvénynek és a valószínűségi változónak

törvény szerint elosztva szintén bizonyos szabadságfokkal.

Kálmán szűrő

Mozgásos modell

Mint ismeretes, a Kalman-szűrő egy lineáris dinamikus rendszer állapotvektorának becslésére szolgál, amelynek evolúciós modellje a következőképpen írható fel:

Ahol
– Cauchy mátrix, amely a rendszer állapotvektorának saját mozgásában (szabályozás és zajhatások nélkül) időnkénti változását határozza meg;
– a nem véletlenszerű hatások rendszerre kényszerítésének vektora (például vezérlési műveletek) egy adott pillanatban;
– egy időpillanatban kényszerítő hatások hatásának mátrixa a rendszer időpillanatbeli állapotvektorára;
– véletlenszerű, független központú befolyások vektora a rendszerre egy időpillanatban;
– az időpillanatbeli véletlenszerű hatások befolyási mátrixa a rendszer időpillanatbeli állapotvektorára.

Mérési modell

A becslés az állapotvektorhoz lineárisan kapcsolódó és egy additív torzítatlan hibával torzított mérési eredmények statisztikai feldolgozása alapján történik:

ahol egy mátrix, amely az állapot- és a mérési vektorokat ugyanabban az időpontban köti össze.

Javítás

A Kálmán-szűrő olyan korrekciós összefüggéseken alapul, amelyek a rendszerállapotvektor lineáris (a mérési vektor mentén) becslés utólagos eloszlássűrűségének kovarianciamátrixának nyomvonalának minimalizálásának eredménye:

Előrejelzés

A korrekciós összefüggések kiegészítése előrejelzési relációkkal a rendszerfejlődési modell lineáris tulajdonságai alapján:

ahol a vektor kovarianciamátrixa, megkapjuk a mérési eredmények statisztikai feldolgozása alapján a rendszerállapotvektor és annak kovarianciamátrixának becslésére szolgáló rekurrens Bayes-algoritmus képleteit.

Értékelés

Nyilvánvaló, hogy a fenti összefüggések megvalósításához az evolúciós modellből mátrixokat, a mérési modellből mátrixot, valamint minden időpillanathoz kovariancia mátrixot kell tudni készíteni.

Ezenkívül a számítási folyamat inicializálásához valamilyen módon meg kell határozni az állapotvektor és a kovarianciamátrix utólagos vagy a priori becsléseit. Az „a priori” vagy „a posteriori” kifejezés ebben az esetben csak azt a minőséget jelenti, amelyben az állapotvektor és annak kovarianciamátrixa kerül felhasználásra a számítási algoritmusban, és nem mond semmit arról, hogyan kaptuk meg.

Így a számítások megkezdésének arányának megválasztását azok az időpontok határozzák meg, amikor a kezdeti szűrési feltételeket és az első nyers mérési vektort hozzárendeljük. Ha az időpontok egybeesnek, akkor először a korrekciós összefüggéseket kell alkalmazni, lehetővé téve a kezdeti feltételek tisztázását, ha nem, akkor először a kezdeti feltételeket kell előre megjósolni az első nyers mérési vektor kötésekor.

Magyarázzuk meg egy ábra segítségével a Kálmán-szűrési algoritmust.

Az ábrán a fázisvektor több lehetséges pályája látható a koordinátatengelyekben (a mozgáscsatornában):

– a fázisvektor evolúciójának valódi pályája;
– a fázisvektor evolúciója, előrejelzett mozgásmodell és a fázisvektor időpillanathoz viszonyított a priori becslése alapján;
– a fázisvektor evolúciója, előrejelzett mozgásmodell és a fázisvektor időpillanathoz viszonyított utólagos (pontosabb) becslése alapján

A koordináta tengelyekben (a mérési csatornában) az időpillanatokban és a mérési eredményekben és a következők láthatók:

,

Ahol
– a mérési vektor valós értéke az időpillanatban;
– időpontban realizált mérési hibák vektora .

A rendszer a priori fázisvektorának korrekciójának megalkotásához a mérési eredmény és a probléma mérési modellje szerint mért érték közötti különbséget használjuk fel, ha a fázisvektor valóban az értéket venné. A korrekciós relációk a priori becslésekre történő alkalmazása következtében a rendszer fázisvektorának becslése valamivel pontosabb lesz, és értéket vesz fel, ami lehetővé teszi a pontosabb (legalábbis időközeli ) a problémás mozgásmodell segítségével előre jelezni a vizsgált dinamikus rendszer fázisvektorának viselkedését.

Az adott pillanatban az előrejelzési eredményt a priori becslésként használják a fázisvektoron áthaladó pályán ismét megszerkesztik a mérési különbséget, amiből kiszámítják az a posteriori, még pontosabb értéket stb. mindaddig, amíg vannak feldolgozandó mérési vektorok, vagy szükség van a fázisvektor viselkedésének előrejelzésére.

Legkisebb négyzet alakú módszer

Ez a rész a dinamikus rendszerek utólagos elemzésére adaptált legkisebb négyzetek módszerét mutatja be.

Becslések készítése

Az egyenlő pontosságú mérések lineáris modellje esetén:

a következő algoritmusunk van a fázisvektor becslésére:

.

Egyenlőtlen mérések esetén az átlón súlyegyütthatókat tartalmazó mátrixot veszik figyelembe. A súlyozási együtthatók figyelembevételével az előző összefüggés a következőképpen alakul:

.

Ha súlyozási mátrixként a mérési hibák kovarianciamátrixának inverzét használjuk, akkor figyelembe véve azt a tényt, hogy megkapjuk:

.

A fenti összefüggésekből következően a módszer alapja egy mátrix, amely egy adott időpontra vonatkoztatott becsült fázisvektort és a mérési vektort köti össze. Egy vektornak általában van egy blokkstruktúrája, amelyben minden blokk egy adott időponthoz van hozzárendelve, ami általában nem esik egybe a -val.

Az ábra néhány lehetséges relatív helyzetét mutatja azoknak az időpillanatoknak, amelyekhez a mérések hozzá vannak rendelve, és azt az időpillanatot, amelyhez a becsült paraméterek vektora hozzá van rendelve.

Minden vektorra a következő összefüggés érvényes:

, nál nél .

Így a kapott legkisebb négyzetek relációjában a vektor és a mátrix szerkezete a következő:

; .

Ahol
– meghatározza a rendszerre gyakorolt ​​nem véletlenszerű kényszerítő hatást;
– meghatározza a véletlenszerű hatást a rendszerre.

a Kalman-szűrő algoritmus leírásánál fentebb talált predikciós relációk használhatók:

ahol a vektor kovarianciamátrixa.

A Cauchy-mátrix felépítése

A mérések statisztikai feldolgozásának módszereit használó becslések megalkotásának problémáiban gyakran találkozunk a Cauchy-mátrix felépítésének problémájával. Ez a mátrix saját mozgásában köti össze a rendszer különböző időpillanatokhoz rendelt fázisvektorait.

Ebben a részben azokra a kérdésekre szorítkozunk, amelyek az evolúciós modell Cauchy-mátrixának felépítésével kapcsolatosak, közönséges (lineáris vagy nemlineáris) differenciálegyenlet-rendszer formájában.

ahol a következő jelölést használják a referenciapálya közelében szerkesztett arányossági mátrixokhoz,

; .

Mérési szimuláció

A probléma akkor merül fel, ha például egy módszer potenciálisan elérhető pontosságát értékeli egy bizonyos feladatban, nem rendelkezik mérési eredménnyel. Ebben az esetben a mérési eredményeket szimulálni kell. A mérési eredmények modellezésének sajátossága, hogy az erre a célra használt mozgás- és mérési modellek nem feltétlenül esnek egybe azokkal a modellekkel, amelyeket a becslések készítésekor fog használni egyik vagy másik szűrési módszerrel.

Ennek a vektornak a koordinátáinak valódi értékeit kell használni kezdeti feltételekként a dinamikus rendszer fázisvektorának modellezéséhez. Ezen a helyen kívül a rendszer fázisvektorának valódi koordinátáit sehol máshol nem szabad használni.

Numerikus módszerek

Különleges képességek

Véletlenszerű vektorok

A probléma, amelynek megoldását ebben az alfejezetben ismertetjük, az egymással korrelált Gauss-féle valószínűségi változók vektorának modellezése.

A modellezendő valószínűségi vektort a megfelelő dimenziójú standard, korrelálatlan valószínűségi változók vektorának transzformációja alapján alakítsuk ki a következőképpen: 4 számjegy pontossággal, a három intervallumra vonatkozó argumentum hatványaiban sorozatokká való bővítés alapján.

Amikor az aszimptotikus sorozat összege majdnem egyenlő 1-gyel.