Treći znak paralelnih dva izravna dokaza. Ravna crta

§ 1. Znakovi paralelnosti dviju linija - Geometrija 7. razred (Atanasyan L. S.)

Kratki opis:

U ovom odlomku naučit ćete što su paralelne crte. Dobit ćete jednostavnu definiciju, ali u isto vrijeme pomalo neobičnu - dva pravca u ravnini nazivaju se paralelnima ako se ne sijeku. Drugim riječima, ako se dvije linije ne sijeku, one će biti paralelne. Ili, ako pravci nemaju sjecišne točke, tada su paralelni.
Neobičnost ove definicije leži u činjenici da ako su ispred vas dvije ravne linije, a ne vidite njihovu točku sjecišta, to uopće ne znači da ona ne postoji. To znači da ga možda jednostavno ne vidite.
Stoga se ova definicija ne može izravno koristiti za dokazivanje da su dva pravca paralelna. Uostalom, ne možete beskonačno pratiti nastavak linija kako biste bili sigurni da se ne sijeku.
Ali to nije potrebno. Postoje znakovi prema kojima se može procijeniti paralelnost linija. Ima ih troje. U skladu sa svakim od njih, razmatraju se posebni kutovi ili njihove kombinacije, koji nastaju kada se ove dvije proučavane linije sijeku s trećom ravnom linijom - sekantom. Ovi se kutovi koriste za procjenu paralelnosti ravnih linija.
Dokazi ovih znakova - teoremi o paralelnosti pravaca - temelje se na teoremu koji ste već razmatrali u 1. poglavlju udžbenika - dva se pravca okomita na treći ne sijeku. Samo što sada ovaj teorem izgleda drugačije - dva pravca okomita na treći su paralelna.

Ciljevi lekcije: U ovoj lekciji upoznat ćete se s pojmom “paralelni pravac”, naučiti kako možete provjeriti paralelnost pravaca, kao i koja svojstva imaju kutovi koje tvore paralelni pravci i transverzala.

Paralelne linije

Znate da je pojam “ravna crta” jedan od takozvanih neodredivih pojmova geometrije.

Već znate da se dva pravca mogu podudarati, odnosno imati sve zajedničke točke, ili se sijeći, odnosno imati jednu zajedničku točku. Ravne linije se sijeku pod različitim kutovima, a kut između ravnih linija smatra se najmanjim od kutova koje one čine. Poseban slučaj presjeka može se smatrati slučajem okomitosti, kada je kut koji čine ravne linije jednak 90 0.

Ali dvije ravne linije ne moraju imati zajedničkih točaka, odnosno ne smiju se sijeći. Takve linije nazivaju se paralelno.

Rad s elektroničkim obrazovnim resursom « ».

Da biste se upoznali s pojmom "paralelne linije", radite s materijalima video lekcije

Dakle, sada znate definiciju paralelnih pravaca.

Iz materijala fragmenta video lekcije o kojem ste naučili različite vrste kutovi koji nastaju kada se dvije ravne crte sijeku s trećom.

Parovi uglova 1 i 4; 3 i 2 se nazivaju unutarnji jednostrani kutovi(leže između ravnih linija a I b).

Parovi kutova 5 i 8; 7 i 6 se zovu vanjski jednostrani kutovi(oni leže izvan linija a I b).

Parovi kutova 1 i 8; 3 i 6; 5 i 4; 7 i 2 nazivaju se jednostrani kutovi pod pravim kutom a I b i sekante c. Kao što vidite, od para odgovarajućih kutova, jedan se nalazi između pravog kuta a I b, a drugi je izvan njih.

Znakovi paralelnih pravaca

Očito je da se pomoću definicije ne može zaključiti da su dva pravca paralelna. Stoga, da bismo zaključili da su dva pravca paralelna, upotrijebimo znakovi.

Već možete formulirati jedan od njih nakon što ste se upoznali s materijalima prvog dijela video lekcije:

Teorem 1. Dva pravca okomita na treći se ne sijeku, odnosno paralelna su.

S ostalim znakovima paralelnosti pravaca na temelju jednakosti pojedinih parova kutova upoznat ćete se radeći s materijalima u drugom dijelu video lekcije"Znakovi paralelnih pravaca."

Dakle, trebali biste znati još tri znaka paralelnih pravaca.

Teorem 2 (prvi znak paralelnih pravaca). Ako su, kada se dvije linije križaju poprečno, kutovi jednaki, tada su linije paralelne.

Ponovite prvi znak paralelnih pravaca još jednom radeći s elektroničkim obrazovnim resursom « ».

Dakle, pri dokazivanju prvog znaka paralelnosti pravaca koristi se znak jednakosti trokuta (po dvjema stranicama i kutu između njih), kao i znak paralelnosti pravaca kao okomitih na jedan pravac.

Vježba 1.

Zapišite formulaciju prvog znaka paralelnosti pravaca i njezin dokaz u svoje bilježnice.

Teorem 3 (drugi znak paralelnih pravaca). Ako su pri sijeku dva pravca transverzalom odgovarajući kutovi jednaki, tada su pravci paralelni.

Ponovite još jednom drugi znak paralelnih pravaca radeći s elektroničkim obrazovnim resursom « ».

Pri dokazivanju drugog znaka paralelnosti pravaca koristi se svojstvo okomitih kutova i prvog znaka paralelnosti pravaca.

Zadatak 2.

Zapišite formulaciju drugog kriterija paralelnosti pravaca i njegov dokaz u svoje bilježnice.

Teorem 4 (treći znak paralelnih pravaca). Ako je pri sijeku dva pravca transverzalom zbroj jednostraničkih kutova jednak 180 0, tada su pravci paralelni.

Ponovite još jednom treći znak paralelnih pravaca radeći s elektroničkim obrazovnim resursom « ».

Dakle, pri dokazivanju prvog znaka paralelnosti pravaca koristi se svojstvo susjednih kutova i prvog znaka paralelnosti pravaca.

Zadatak 3.

Zapišite formulaciju trećeg kriterija za paralelne pravce i njegov dokaz u svoje bilježnice.

Kako biste vježbali rješavanje jednostavnih problema, radite s materijalima elektroničkog obrazovnog izvora « ».

U rješavanju zadataka koriste se znakovi paralelnosti pravaca.

Sada pogledajte primjere rješavanja problema o znakovima paralelnih linija, radeći s materijalima video lekcije“Rješavanje zadataka na temu “Znakovi paralelnih pravaca.”

Sada se testirajte ispunjavanjem zadataka kontrolnog elektroničkog obrazovnog resursa « ».

Svatko tko želi raditi na rješavanju složenijih problema može raditi s materijalima video tutorijala "Zadaci o znakovima paralelnosti pravaca."

Svojstva paralelnih pravaca

Paralelne linije imaju skup svojstava.

Koja su to svojstva naučit ćete radeći s materijalima videouputa "Svojstva paralelnih pravaca."

Tako, važna činjenica Ono što biste trebali znati je aksiom konkurentnosti.

Aksiom paralelizma. Kroz točku koja ne leži na zadanom pravcu moguće je povući pravac paralelan zadanom, i to samo jedan.

Kao što ste naučili iz video tutoriala, na temelju ovog aksioma mogu se formulirati dvije posljedice.

Korolar 1. Ako pravac siječe jedan od paralelnih pravaca, tada siječe i drugi paralelni pravac.

Korolar 2. Ako su dva pravca paralelna s trećim, onda su i međusobno paralelni.

Zadatak 4.

Zapišite formulaciju navedenih korolara i njihove dokaze u svoje bilježnice.

Svojstva kutova koje tvore paralelni pravci i transverzala su teoremi koji su inverzni odgovarajućim svojstvima.

Dakle, iz materijala video lekcija naučili ste svojstvo poprečnih kutova.

Teorem 5 (teorem inverzan prvom kriteriju za paralelne pravce). Kada se dvije paralelne crte sijeku poprečno, uključeni kutovi su jednaki.

Zadatak 5.

Ponovite još jednom prvo svojstvo paralelnih pravaca radeći s elektroničkim obrazovnim resursom « ».

Teorem 6 (teorem suprotan drugom kriteriju za paralelnost pravaca). Kad se dva paralelna pravca sijeku, odgovarajući kutovi su jednaki.

Zadatak 6.

Zapišite tvrdnju ovog teorema i njegov dokaz u svoje bilježnice.

Ponovite još jednom drugo svojstvo paralelnih pravaca radeći s elektroničkim obrazovnim resursom « ».

Teorem 7 (teorem, obrnuto od terce znak paralelnosti pravaca). Kada se dva paralelna pravca sijeku, zbroj jednostraničkih kutova je 180 0.

Zadatak 7.

Zapišite tvrdnju ovog teorema i njegov dokaz u svoje bilježnice.

Ponovite još jednom treće svojstvo paralelnih pravaca radeći s elektroničkim obrazovnim resursom « ».

Sva svojstva paralelnih pravaca također se koriste u rješavanju zadataka.

Razmotrite tipične primjere rješavanja problema radeći s materijalima video lekcija “Usporedni pravci i zadaci o kutovima između njih i transverzale.”

Na ravnini se pravci nazivaju paralelnima ako nemaju zajedničkih točaka, odnosno ne sijeku se. Za označavanje paralelizma upotrijebite posebnu ikonu || (paralelni pravci a || b).

Za pravce koji leže u prostoru zahtjev da nema zajedničkih točaka nije dovoljan - da bi bili paralelni u prostoru moraju pripadati istoj ravnini (inače će se sijeći).

Za primjere paralelnih linija ne morate ići daleko; oni nas prate posvuda, u sobi - to su linije sjecišta zida sa stropom i podom, na listu bilježnice - suprotni rubovi itd.

Posve je očito da će, ako imamo dvije paralelne crte i treću crtu paralelnu s jednom od prve dvije, također biti paralelna s drugom.

Paralelni pravci na ravnini povezani su tvrdnjom koja se ne može dokazati pomoću aksioma planimetrije. Prihvaća se kao činjenica, kao aksiom: za svaku točku na ravnini koja ne leži na pravcu, postoji jedinstvena linija koja kroz nju prolazi paralelno sa zadanom. Svaki šestaš zna ovaj aksiom.

Njegovu prostornu generalizaciju, odnosno tvrdnju da za svaku točku u prostoru koja ne leži na pravoj postoji jedinstveni pravac koji kroz nju prolazi paralelno sa zadanom, lako se dokazuje pomoću već poznatog aksioma paralelizma na avion.

Svojstva paralelnih pravaca

• Ako je bilo koji od dva paralelna pravca paralelan s trećim, onda su oni međusobno paralelni.

To svojstvo imaju paralelni pravci i u ravnini i u prostoru.
Kao primjer, razmotrite njegovo opravdanje u stereometriji.

Pretpostavimo da su pravci b i pravac a paralelni.

Slučaj kada sve prave leže u istoj ravnini prepustit ćemo planimetriji.

Pretpostavimo da a i b pripadaju beta ravnini, a gama je ravnina kojoj pripadaju a i c (prema definiciji paralelnosti u prostoru, pravci moraju pripadati istoj ravnini).

Ako pretpostavimo da su beta i gama ravnina različite i označimo određenu točku B na pravcu b od beta ravnine, tada ravnina povučena kroz točku B i pravac c mora sijeći beta ravninu u ravnoj liniji (označimo je b1) .

Ako bi rezultirajuća ravna linija b1 sijekla gama ravninu, tada bi, s jedne strane, sjecišna točka morala ležati na a, budući da b1 pripada beta ravnini, a s druge strane, također bi trebala pripadati c, jer b1 pripada trećoj ravnini.
Ali paralelni pravci a i c ne bi se trebali sijeći.

Dakle, pravac b1 mora pripadati betta ravnini i istovremeno nema zajedničkih točaka s a, stoga se, prema aksiomu paralelizma, podudara s b.
Dobili smo pravac b1 koji se podudara s pravcem b, koji pripada istoj ravnini s pravcem c i ne siječe ga, odnosno b ​​i c su paralelni

• Kroz točku koja ne leži na zadanom pravcu može proći samo jedan pravac paralelan sa zadanim pravcem.

• Dva pravca koja leže na ravnini okomitoj na treći su paralelna.

• Ako ravnina siječe jedan od dva paralelna pravca, drugi pravac također siječe istu ravninu.

• Spajanje i križno ležanje unutarnji kutovi, nastalih sjecištem dviju paralelnih ravnih crta treće, jednake, zbroj unutarnjih jednostranih nastalih jednak je 180°.

Točne su i obrnute tvrdnje koje se mogu uzeti kao znakovi paralelnosti dviju ravnih linija.

Uvjet za paralelne pravce

Gore formulirana svojstva i karakteristike predstavljaju uvjete za paralelnost pravaca, a mogu se dokazati metodama geometrije. Drugim riječima, da bi se dokazala paralelnost dvaju postojećih pravaca, dovoljno je dokazati njihovu paralelnost s trećim pravcem ili jednakost kutova, bili oni odgovarajući ili poprečni, itd.

Za dokaz uglavnom koriste metodu “kontradikcijom”, odnosno uz pretpostavku da pravci nisu paralelni. Na temelju ove pretpostavke lako se može pokazati da su u ovom slučaju navedeni uvjeti prekršeni, na primjer, unutarnji kutovi koji leže jedan preko drugog ispadaju nejednaki, što dokazuje netočnost postavljene pretpostavke.

Video lekcija “Znakovi za paralelnost dvaju pravaca” sadrži dokaz teorema koji opisuju znakove koji označavaju paralelnost pravaca. Ujedno, video opisuje 1) teorem o paralelnosti pravaca kod kojih transverzala stvara jednake kutove, 2) znak koji označava paralelnost dvaju ravnih pravaca - pri jednakim formiranim odgovarajućim kutovima, 3) znak to znači paralelnost dviju pravaca u slučaju kada, kada se sijeku sa sekantom, zbroj jednostraničkih kutova iznosi 180°. Svrha ove video lekcije je upoznati učenike sa znakovima koji označavaju paralelnost dvaju pravaca, čije je poznavanje neophodno za rješavanje mnogih praktičnih problema, jasno prikazati dokaz ovih teorema, te razviti vještine dokazivanja geometrijskih tvrdnji.

Prednosti video lekcije povezane su s činjenicom da uz pomoć animacije, glasovne pratnje i mogućnosti isticanja bojom pruža visok stupanj jasnoća, može poslužiti kao zamjena za isporuku standardnog bloka novog obrazovni materijal učitelj, nastavnik, profesor.

Video lekcija počinje naslovom prikazanim na ekranu. Prije opisivanja znakova paralelnih pravaca učenici se upoznaju s pojmom sekante. Sekanta je definirana kao pravac koji siječe druge pravce. Na ekranu su prikazane dvije ravne crte a i b koje se sijeku s pravom c. Konstruirani pravac c označen je plavom bojom, čime se naglašava da je sekans zadanih pravaca a i b. Da bi se razmotrili znakovi paralelizma linija, potrebno je bolje upoznati područje sjecišta linija. Sekanta u sjecištima s pravcima tvori 8 kutova ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, analizom čijih odnosa je moguće izvesti predznake paralelizam ovih linija. Napominje se da se kutovi ∠3 i ∠5, kao i ∠2 i ∠4 nazivaju poprečnim. S obzirom detaljno objašnjenje koristeći animaciju unakrsnog rasporeda ležećih kutova kao kutova koji leže između paralelnih ravnih linija i susjednih ravnih linija, koje leže unakrsno. Zatim se uvodi pojam jednostraničkih kutova koji uključuju parove ∠4 i ∠5, kao i ∠3 i ∠6. Navedeni su i parovi odgovarajućih kutova, kojih na izgrađenoj slici ima 4 para - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.

Sljedeći dio video lekcije ispituje tri znaka paralelnosti bilo koja dva pravca. Na ekranu se pojavljuje prvi opis. Teorem kaže da ako su poprečni kutovi koje tvori transverzala jednaki, dani pravci će biti paralelni. Iskaz je popraćen crtežom na kojem su prikazane dvije prave a i b i sekanta AB. Primjećuje se da su poprijeko oblikovani kutovi ∠1 i ∠2 međusobno jednaki. Ova izjava zahtijeva dokaz.

Najlakše dokazivo poseban slučaj- kada su zadani poprečni kutovi pravi kutovi. To znači da je sekanta okomita na pravce, a prema već dokazanom teoremu u tom slučaju se pravci a i b neće sijeći, odnosno paralelni su. Dokaz za ovaj konkretan slučaj opisan je na primjeru slike konstruirane uz prvu sliku, ističući važne detalje dokaza pomoću animacije.

Da bismo to dokazali u općem slučaju, potrebno je povući dodatnu okomicu iz sredine segmenta AB na ravnu liniju a. Zatim, segment BH 1 jednak segmentu AN položen je na ravnu liniju b. Iz dobivene točke H 1 povlači se segment koji povezuje točke O i H 1. Zatim razmatramo dva trokuta ΔONA i ΔOVN 1 čija se jednakost dokazuje prvim kriterijem jednakosti dvaju trokuta. Stranice OA i OB konstrukcijski su jednake jer je točka O označena kao sredina dužine AB. Stranice HA i H 1 B također su konstrukcijski jednake, jer smo odložili segment H 1 B jednak HA. A kutovi su ∠1=∠2 prema uvjetima zadatka. Kako su formirani trokuti međusobno jednaki, to su i odgovarajući preostali parovi kutova i stranica međusobno jednaki. Iz ovoga slijedi da je segment OH 1 nastavak segmenta OH, čineći jedan segment HH 1. Napominje se da budući da je konstruirani segment OH okomit na ravnu liniju a, tada je, prema tome, segment HH 1 okomit na prave linije a i b. Ova činjenica znači, korištenjem teorema o paralelnosti pravaca na koje je konstruirana jedna okomica, da su dani pravci a i b paralelni.

Sljedeći teorem koji zahtijeva dokaz je znak jednakosti paralelnih pravaca jednakošću odgovarajućih kutova nastalih pri presijecanju transverzale. Izjava ovog teorema prikazana je na ekranu i učenici je mogu predložiti za snimanje. Dokaz započinje konstrukcijom na ekranu dvaju paralelnih pravaca a i b, na koje se konstruira sekanta c. Na slici označeno plavom bojom. Sekanta tvori pripadne kutove ∠1 i ∠2 koji su po uvjetu međusobno jednaki. Označeni su i susjedni kutovi ∠3 i ∠4. ∠2 u odnosu na kut ∠3 je okomiti kut. A okomiti kutovi su uvijek jednaki. Osim toga, kutovi ∠1 i ∠3 unakrsno leže jedan između drugog - njihova jednakost (prema već dokazanoj tvrdnji) znači da su pravci a i b paralelni. Teorem je dokazan.

Posljednji dio video lekcije posvećen je dokazivanju tvrdnje da ako je zbroj jednostraničkih kutova koji nastaju kada se dva pravca sijeku s poprečnim pravcem jednak 180°, u tom će slučaju ti pravci biti međusobno paralelni. Dokaz je demonstriran pomoću slike koja prikazuje pravce a i b koji sijeku sekantu c. Kutovi formirani sjecištem označeni su slično kao u prethodnom dokazu. Prema uvjetu, zbroj kutova ∠1 i ∠4 jednak je 180°. Štoviše, poznato je da je zbroj kutova ∠3 i ∠4 jednak 180°, jer su susjedni. To znači da su kutovi ∠1 i ∠3 međusobno jednaki. Ovaj zaključak daje pravo ustvrditi da su pravci a i b paralelni. Teorem je dokazan.

Video lekciju "Znakovi paralelnosti dvaju pravaca" učitelj može koristiti kao samostalan blok koji pokazuje dokaze ovih teorema, zamjenjujući učiteljevo objašnjenje ili ga prateći. Detaljno objašnjenje omogućuje studentima korištenje gradiva za samostalno učenje te će pomoći u objašnjavanju gradiva tijekom nastave na daljinu.