Kvalitativna analiza dinamičkih sustava. Analiza dinamičkih svojstava sustava

Automatika i telemehanika, L-1, 2007

RAN B 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 Yu.S. POPKOV, doktor tehničkih znanosti. znanosti (Institut za analizu sustava RAS, Moskva)

KVALITATIVNA ANALIZA DINAMIČKIH SUSTAVA S Vd-ENTROPIJSKIM OPERATOROM

Predlaže se metoda za proučavanje postojanja, jedinstvenosti i lokalizacije singularnih točaka razmatrane klase DSEO. Stječu se uvjeti za stabilnost “u malom” i “u velikom”. Dati su primjeri primjene dobivenih uvjeta.

1. Uvod

Mnogi problemi matematičkog modeliranja dinamičkih procesa mogu se riješiti na temelju koncepta dinamičkih sustava s entropijskim operatorom (DSEO). DSEO je dinamički sustav u kojem je nelinearnost opisana parametarskim problemom maksimizacije entropije. Feio-miološki, DSEO je model makrosustava sa „sporom“ samoreprodukcijom i „brzom“ distribucijom resursa. Neka svojstva DSEO proučavana su u. Ovim radom nastavlja se ciklus istraživanja kvalitativnih svojstava DSEO.

Razmatramo dinamički sustav s operatorom Vd-entropije:

^ = £(x,y(x)), x e En:

y(x) = a^shax(Hb(y) | Ty = q(x), y e E^) > 0.

U ovim izrazima:

C(x,y), c(x) su kontinuirano diferencijabilne vektorske funkcije;

Entropija

(1.2) Nv (u) = z 1p az > 0, z = T~t;

T - (r x w)-matrica s elementima ^ 0 ima puni rang jednak r;

Pretpostavlja se da je vektorska funkcija q(x) kontinuirano diferencijabilna, skup ^ ^^ ^tached q je pozitivan paralelopiped

(1.3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

gdje su a- i a + vektori iz E+, a a- je vektor s malim komponentama.

Korištenje dobro poznate reprezentacije entropijskog operatora u terminima Lagrangeovih množitelja. Pretvorimo sustav (1.1) u sljedeći oblik:

- = £(x,y(z)), x e Kn, y(z) e K?, g e Er+

Uz (r) = az\\ ^, 3 = 1,t-

O(x,z) = Ty(z) = d(x),

gdje su rk = exp(-Ak) > 0 eksponencijalni Lagrangeovi množitelji.

Uz DSEO općeg oblika (1.1), razmotrit ćemo slijedeći klasifikaciju danu u.

DSEO s odvojenim protokom:

(1-5) ^ = I(x) + Vu(r),

gdje je B(n x m)-matrica;

DSEO s multiplikativnim protokom:

(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xi(z)), ab

gdje je Š (n x m) matrica s nenegativnim elementima, a je vektor s pozitivnim komponentama, ® je znak koordinatnog množenja.

Cilj ovog rada je proučavanje postojanja, jedinstvenosti i lokalizacije singularnih točaka DSEO i njihove stabilnosti.

2. Singularne točke

2.1. Postojanje

Razmotrimo sustav (1.4). Singularne točke ovog dinamičkog sustava određene su sljedećim jednadžbama:

(2.1) C^(x,y(z))=0, z = TP;

(2.2) kz (r) = a^ r^, 3 = T^:

(2.3) vk (r) = ^ az r^ = dk (x), k = 1, r.

Razmotrimo prvo pomoćni sustav jednadžbi:

(2.4) C(d,r) = g, d e R,

gdje je skup R definiran jednakošću (1.3), a C(d,r) je vektorska funkcija s komponentama

(2.5) Sk(d,g) = - Ok(g), a-< дк < а+, к =1,г.

Jednadžba (2.4) ima jedinstveno rješenje r* za svaki fiksni vektor d, što slijedi iz svojstava operatora Vd-entropije (vidi).

Iz definicije komponenti vektorske funkcije C(d,r) očita je procjena:

(2.6) C(a+,r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Označimo rješenje prve jednadžbe s r+, a druge s r-. Idemo definirati

(2.7) C (a+,z) = z, C(a

(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk

i r-dimenzionalni vektori

(2.9) z (zmax, zmax), z (zmin , zmin).

Lema 2.1. Za sve q G Q (1 . 3) rješenja z*(q) jednadžbe (2.4) pripadaju, vektor 1 segmentu

zmin< z*(q) < zmax,

gdje su vektori zmin i zmax određeni izrazima (2.7)-(2.9).

Dokaz teorema dan je u Dodatku. Qq

qk(x) (1.3) za x G Rn, tada

Korolar 2.1. Neka su zadovoljeni uvjeti leme 2.1 i funkcije qk(x) zadovoljavaju uvjete (1.3) za sve ex x G Rn. Tada za sve x G Rm rješenja z* jednadžbe (2.3) pripadaju segmentu vektora

zmin< z* < zmax

Vratimo se sada jednadžbama (2.2). koji određuju komponente vektorske funkcije y(z). Elementi njegovog jakobijana imaju oblik

(2.10) jb aj zk JJ & > 0

za sve z G R+ osim 0 i f. Posljedično, vektorska funkcija y(z) je strogo monotono rastuća. Prema lemi 2.1, on je ograničen odozgo i odozgo, tj. za sve z G Rr (dakle, za sve x G Rn) njegove vrijednosti pripadaju skupu

(2.11) Y = (y: y-< y < y+},

gdje su komponente vektora yk, y+ određene izrazima:

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.

(2.13) bj = Y, tsj, 3 =1,

Razmotrimo prvu jednadžbu u (2.1) i prepišimo je u obliku:

(2.14) L(x,y) = 0 za sve y e Y C E^.

Ova jednadžba određuje ovisnost varijable x o varijabli y koja pripada Y

we (1.4) svodi na postojanje implicitne funkcije x(y) definirane jednadžbom (2.14).

Lema 2.2. Neka su zadovoljeni sljedeći uvjeti:

a) vektorska funkcija L(x,y) je kontinuirana u skupu varijabli;

b) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

c) det J (x, y) = 0 za sve ex x e Ep za bilo koji fiksni y e Y.

Tada postoji jedinstvena implicitna funkcija x*(y) definirana na Y. U ovoj lemi, J(x, y) je Jacobian s elementima

(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.

Dokaz je dat u Dodatku. Iz gornjih lema slijedi

Teorem 2.1. Neka su zadovoljeni uvjeti lema 2.1 i 2.2. Tada postoji jedinstvena singularna točka DSEO (1.4) i, prema tome, (1.1).

2.2. Lokalizacija

Pod proučavanjem lokalizacije singularne točke podrazumijevamo mogućnost utvrđivanja intervala u kojem se ona nalazi. Ovaj zadatak nije vrlo jednostavan, ali za određenu klasu DSEO takav se interval može postaviti.

Pogledajmo prvu skupinu jednadžbi u (2.1) i predstavimo ih u obliku

(2.16) L(x,y)=0, y- y y y+,

gdje su y- i y+ definirani jednakostima (2.12), (2.13).

Teorem 2.2. Neka je vektorska funkcija L(x,y) kontinuirano diferencijabilna i monotono rastuća u obje varijable, tj.

-- > 0, -- > 0; i,l = 1,n; j = 1,m. dxi dyj

Tada rješenje sustava (2.16) s obzirom na varijablu x pripada intervalu (2.17) xmin h x h xmax,

a) vektori xmin, xmax imaju oblik

Min = i x 1 xmax = r x t;

\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax) :

xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;

6) x- i x+ - komponente rješenja sljedećih jednadžbi

(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0

s oo m doista.

Dokaz teorema dan je u Dodatku.

3. Stabilnost DSEO “u malom”

3.1. DSEO s odvojivim protokom Pogledajmo jednadžbe DSEO s odvojivim protokom, predstavivši ih u obliku:

- = /(x) + Bu(r(x)), x e Kn ab

U- (g(X)) = azP (X)U33, 3 = 1,"~ 8 = 1

0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = d(x), g e Hg,.

Ovdje vrijednosti komponenti vektorske funkcije d(x) pripadaju skupu Q (1.3), (n x w)-matrica B ima puni rang jednak n (n< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Neka razmatrani sustav ima singularnu točku x. Za proučavanje stabilnosti ove singularne točke "u malom" konstruiramo linearizirani sustav

gdje je A (n x n) matrica, čiji su elementi izračunati u točki x, a vektor £ = x - x. Prema prvoj jednadžbi u (3.1) matrica lineariziranog sustava ima

A = 7 (x) + BUg (g)Ikh (x), x = g (x),

| 3 = 1,w,k = 1,

I k = 1,g, I = 1,p

Iz (3.1) određuju se elementi matrice Vr: DN.

"bkz P" 8=1

3, g8 x8, 5 1, g.

Da bismo odredili elemente matrice Zx, prelazimo na posljednju skupinu jednadžbi u (3.1). Pokazuje se da te jednadžbe definiraju implicitnu vektorsku funkciju r(x), koja je kontinuirano diferencijabilna ako je vektorska funkcija d(x) kontinuirano diferencijabilna. Jacobian Zx vektorske funkcije r(x) određen je jednadžbom

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vg (X) = T Ug (X),

ddk, -t- , -" -- k = 1,g, I = 1,p dx\

Iz ove jednadžbe imamo (3.9) Zx(x) = v-1(z)Qx(x).

Zamjenom ovog rezultata u jednakost (3.3). dobivamo:

A = 1 (x) + P (x), P (x) = VUg (g)[TUg (g)]-1 Qx(x).

Tako jednadžba lineariziranog sustava poprima oblik

(z.i) | = (j+p)e

Ovdje su elementi matrica J, P izračunati u singularnoj točki. Dovoljni uvjeti za stabilnost "u malom" DSEO (3.1) određeni su sljedećim

Teorem 3.1. DSEO (3.1) ima stabilnu "u maloj" singularnoj točki x ako su zadovoljeni sljedeći uvjeti:

a) matrice J, P (3.10) lineariziranog sustava (3.11) imaju stvarne i različite svojstvene vrijednosti, a matrica J ima maksimalnu svojstvenu vrijednost

Ptah = max Pg > 0,

Wmax = max Ui< 0;

Umax + Ptah<

Iz ovog teoreme i jednakosti (3.10) slijedi da za singularne točke za koje je Qx(x) = 0 i (ili) za X, = 0 i tkj ^ 1 za sve k,j dovoljni uvjeti teoreme nisu zadovoljeni.

3.2. DSEO s multiplikativnim protokom. Razmotrimo jednadžbu (1.6). predstavljajući ih u obliku:

X ® (a - x ® Wy(z(x))), x e Rn;

yj(z(x)) = aj PZs(x)]isi" j = 1,m;

(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++.

sustava. Imat će:

(3.13) A = ^ [cm] - 2HŠUh (r^x(x).

U ovom izrazu diag C] je dijagonalna matrica s pozitivnim elementima a1,..., an, Vr, Zx - matrice definirane jednakostima (3.4)-(3.7).

Predstavimo matricu A u obliku

(3.14) A = diag+P (x),

(3.15) P (x) = -2xWYz (z)Zx(x).

Označavamo: maxi ai = nmax i wmax je maksimalna svojstvena vrijednost matrice P(x) (3.15). Tada teorem 3.1 vrijedi i za DSEO (1.6). (3.12).

4. Stabilnost DSEO "u velikom"

Okrenimo se DESO jednadžbama (1.4), u kojima vrijednosti komponenti vektorske funkcije q(x) pripadaju skupu Q (1.3). U sustavu koji razmatramo postoji singularna točka Z, koja odgovara vektorima z(x) = z ^ z- > 0 i

y(x) = y(z) = y > y- > 0.

Uvedimo vektore odstupanja £, C, P od singularne točke: (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.

ZHEZHERUN A.A., POKROVSKY A.V. - 2009. (prikaz).

KINETIKA BIOLOŠKIH PROCESA

Kako možemo opisati dinamiku bioloških sustava? U svakom trenutku, biološki sustav ima skup određenih karakteristika. Na primjer, promatrajući populaciju neke vrste, možete zabilježiti njezinu veličinu, površinu koju zauzima teritorij, količinu dostupne hrane, temperaturu okoline itd. Tijek kemijske reakcije može se karakterizirati koncentracijama uključene tvari, tlak, temperatura i razina kiselosti okoliša. Skup vrijednosti svih karakteristika koje je istraživač odabrao za opisivanje sustava je stanje sustava u svakom trenutku vremena. Prilikom izrade modela, varijable i parametri se biraju iz navedene populacije. Varijable su one veličine čije su promjene prvenstveno od interesa za istraživača, parametri su uvjeti “vanjske okoline”. Za odabrane varijable sastavljaju se jednadžbe koje odražavaju obrasce promjena u sustavu tijekom vremena. Na primjer, kada se stvara model za rast mikrobne kulture, njezin se broj obično koristi kao varijabla, a stopa reprodukcije obično se koristi kao parametar. Možda je temperatura na kojoj dolazi do rasta značajna, tada je i ovaj pokazatelj uključen u model kao parametar. A ako je, primjerice, razina prozračivanja uvijek dovoljna i nema nikakvog utjecaja na procese rasta, tada uopće nije uključena u model. U pravilu, parametri ostaju nepromijenjeni tijekom eksperimenta, ali vrijedi napomenuti da to nije uvijek slučaj.

Dinamika biološkog sustava (to jest, promjene u njegovom stanju tijekom vremena) može se opisati pomoću diskretnih i kontinuiranih modela. Diskretni modeli pretpostavljaju da je vrijeme diskretna veličina. To odgovara bilježenju vrijednosti varijabli u određenim fiksnim intervalima (na primjer, jednom na sat ili jednom godišnje). U kontinuiranim modelima, biološka varijabla je kontinuirana funkcija vremena, označena npr. x(t).

Često od velike važnosti početni uvjeti model – stanje karakteristike koja se proučava u početnom trenutku vremena, tj. na t = 0.

Pri proučavanju kontinuirane promjene neke karakteristike x(t) možemo znati informacije o brzini njegove promjene. Ove informacije općenito se mogu napisati u obliku diferencijalne jednadžbe:

Ovaj formalni zapis znači da je stopa promjene neke karakteristike koja se proučava funkcija vremena i veličine te karakteristike.

Ako je desna strana diferencijalne jednadžbe oblika jasno neovisna o vremenu, tj. pravedan:

onda se ova jednadžba zove autonomna(sustav opisan takvom jednadžbom naziva se autonomna). Stanje autonomnih sustava u svakom trenutku karakterizira jedna jedina veličina - vrijednost varijable x u ovom trenutku u vremenu t.

Postavimo si pitanje: neka je dana diferencijalna jednadžba za x(t), je li moguće pronaći sve funkcije x(t) zadovoljava ovu jednadžbu? Ili: ako je poznata početna vrijednost određene varijable (primjerice, početna veličina populacije, koncentracija tvari, električna vodljivost okoliša itd.) i postoje informacije o prirodi promjene te varijable , je li moguće predvidjeti kolika će biti njegova vrijednost u svim sljedećim točkama u vremenu? Odgovor na postavljeno pitanje je sljedeći: ako su zadani početni uvjeti i ako su za jednadžbu zadovoljeni uvjeti Cauchyjeva teorema (funkcija definirana u određenoj domeni i njezina parcijalna derivacija su kontinuirane u toj domeni), tada postoji jedinstveno rješenje jednadžbe koje zadovoljava zadane početne uvjete. (Podsjetimo se da se svaka kontinuirana funkcija koja zadovoljava diferencijalnu jednadžbu naziva rješenjem te jednadžbe.) To znači da možemo jedinstveno predvidjeti ponašanje biološkog sustava ako su karakteristike njegovog početnog stanja poznate i jednadžba modela zadovoljava uvjete Cauchyjev teorem.

Stacionarno stanje. Održivost

Razmotrit ćemo autonomnu diferencijalnu jednadžbu

U stacionarnom stanju vrijednosti varijabli u sustavu se ne mijenjaju tijekom vremena, odnosno brzina promjene vrijednosti varijabli je 0: . Ako je lijeva strana jednadžbe (1.2) jednaka nuli, tada je i desna strana jednaka nuli: . Korijeni ove algebarske jednadžbe su stacionarna stanja diferencijalna jednadžba (1.2).

Primjer 1.1: Odredite stacionarna stanja jednadžbe.

Riješenje: Premjestimo član koji ne sadrži derivaciju na desnu stranu jednakosti: . Po definiciji u stacionarnom stanju vrijedi jednakost: . To znači da jednakost mora biti zadovoljena . Rješavamo jednadžbu:

,

Dakle, jednadžba ima 3 stacionarna stanja: , .

Biološki sustavi neprestano doživljavaju različite vanjske utjecaje i brojne fluktuacije. Štoviše, oni (biološki sustavi) imaju homeostazu, tj. stabilan. U matematičkom jeziku to znači da se varijable vraćaju na svoje stacionarne vrijednosti uz mala odstupanja. Hoće li njegov matematički model odražavati ovakvo ponašanje biološkog sustava? Jesu li stacionarna stanja modela stabilna?

Stacionarno stanje je održivi, ako se uz dovoljno malo odstupanje od položaja ravnoteže sustav nikada ne pomakne daleko od singularne točke. Stacionarno stanje odgovara stabilnom načinu rada sustava.

Stanje ravnoteže jednadžbe je Lyapunovljevo stabilno ako je za bilo koje uvijek moguće pronaći takvo da ako , onda za sve .

Postoji analitička metoda za proučavanje stabilnosti stacionarnog stanja - metoda Ljapunova. Da bismo to opravdali, podsjetimo Taylorova formula.

Lagano govoreći, Taylorova formula pokazuje ponašanje funkcije u blizini određene točke. Neka funkcija ima izvodnice svih redova do n- th uključivo. Tada vrijedi Taylorova formula:

Odbacivanjem člana ostatka , koji se predstavlja kao infinitezimal višeg reda od , dobivamo približnu Taylorovu formulu:

Desna strana približne formule naziva se Taylorov polinom funkcije, označava se kao .

Primjer 1.2: Proširi funkciju u Taylorov niz u okolini točke do 4. reda.

Riješenje: Napišimo Taylorov red do 4. reda u općem obliku:

Nađimo derivacije zadane funkcije u točki:

,

Zamijenimo dobivene vrijednosti u izvornu formulu:

Analitička metoda za proučavanje stabilnosti stacionarnog stanja ( Metoda Lyapunova) je kako slijedi. Neka je stacionarno stanje jednadžbe. Postavimo malo odstupanje varijable x od njegove stacionarne vrijednosti: , gdje je . Zamijenimo izraz za točku x u izvornu jednadžbu: . Lijeva strana jednadžbe će imati oblik: , budući da je u stacionarnom stanju brzina promjene vrijednosti varijable nula: . Proširimo desnu stranu u Taylorov niz u blizini stacionarnog stanja, uzimajući u obzir da , ostavljamo samo linearni član na desnoj strani jednadžbe:

dobio linearizirana jednadžba ili jednadžba prve aproksimacije. Količina je neka konstantna veličina, označimo je a: . Opće rješenje linearizirane jednadžbe ima oblik: . Ovaj izraz opisuje zakon prema kojem će se odstupanje koje odredimo od stacionarnog stanja mijenjati tijekom vremena. Odstupanje će s vremenom nestati, tj. pri , ako je eksponent u eksponentu negativan, tj. . Po definiciji, stabilno stanje će biti održivi. Ako je , tada će s povećanjem vremena odstupanje samo rasti, stacionarno stanje je nestabilan. U slučaju kada jednadžba prve aproksimacije ne može dati odgovor na pitanje o stabilnosti stacionarnog stanja. Potrebno je uzeti u obzir članove višeg reda u proširenju Taylorovog niza.

Osim analitičke metode za proučavanje stabilnosti stacionarnog stanja, postoji i grafička.

Primjer 1.3. Neka . Pronađite stacionarna stanja jednadžbe i pomoću grafa funkcije odredite njihovu vrstu stabilnosti .

Riješenje: Pronađimo posebne točke:

,

,

Gradimo graf funkcije (slika 1.1).

Riža. 1.1. Graf funkcije (primjer 1.3).

Utvrdimo iz grafa je li svako od pronađenih stacionarnih stanja stabilno. Postavimo blagi otklon prikazne točke od singularne točke ulijevo: . U točki s koordinatom funkcija dobiva pozitivnu vrijednost: ili . Posljednja nejednakost znači da se s vremenom koordinata treba povećavati, odnosno da se reprezentativna točka vraća u točku. Postavimo sada malo odstupanje prikazne točke od singularne točke udesno: . U ovom području funkcija zadržava pozitivnu vrijednost, dakle, tijekom vremena, koordinata x također raste, to jest, točka koja predstavlja će se udaljiti od točke. Dakle, mala devijacija izvodi sustav iz stacionarnog stanja, stoga je, prema definiciji, singularna točka nestabilna. Slično razmišljanje dovodi do činjenice da svako odstupanje od singularne točke s vremenom blijedi, a stacionarno stanje je stabilno. Odstupanje prikazne točke u bilo kojem smjeru od stacionarnog stanja dovodi do njenog uklanjanja iz točke; to je nestabilno stacionarno stanje.

Rješavanje sustava linearnih diferencijalnih jednadžbi

Prijeđimo na proučavanje sustava jednadžbi, prvo linearnih. Općenito, sustav linearnih diferencijalnih jednadžbi može se predstaviti kao:

Analiza sustava jednadžbi počinje pronalaskom stacionarnih stanja. Sustavi tipa (1.3) imaju jedinstvenu singularnu točku čije su koordinate (0,0). Iznimka je degenerirani slučaj kada se jednadžbe mogu prikazati kao:

(1.3*)

U ovom slučaju, svi parovi koji zadovoljavaju relaciju su stacionarne točke sustava (1.3*). Konkretno, točka (0,0) također je stacionarna za sustav (1.3*). Na faznoj ravnini u ovom slučaju imamo ravnu liniju s koeficijentom nagiba koja prolazi kroz ishodište koordinata, čija je svaka točka singularna točka sustava (1.3*) (vidi tablicu 1.1, paragraf 6).

Glavno pitanje na koje bi trebao odgovoriti rezultat proučavanja sustava jednadžbi je: je li stacionarno stanje sustava stabilno i kakvog je karaktera to rješenje (monotono ili nemonotono).

Zajednička odluka sustav dviju linearnih jednadžbi ima oblik:

Karakteristični brojevi može se izraziti kroz koeficijente linearnih jednadžbi na sljedeći način:

Karakteristični brojevi mogu biti 1) realni različitih predznaka, 2) realni istog predznaka, 3) složeni konjugirani, a također, u degeneriranim slučajevima, 4) čisto imaginarni, 5) realni podudarni, 6) realni, od kojih je jedan (ili oba) jednaka je nuli. Ovi slučajevi određuju tip ponašanja rješenja sustava običnih diferencijalnih jednadžbi. Odgovarajući fazni portreti prikazani su u tablici 1.1.

Tablica 1.1. Vrste stacionarnih stanja sustava dviju linearnih diferencijalnih jednadžbi i odgovarajući fazni portreti. Strelice pokazuju smjer kretanja prikazane točke

Konstrukcija faznog i kinetičkog portreta sustava dviju linearnih diferencijalnih jednadžbi

Fazna ravnina naziva se ravnina s koordinatnim osima na kojima su ucrtane vrijednosti varijabli x I g, svaka točka ravnine odgovara određenom stanju sustava. Skup točaka na faznoj ravnini čiji položaj odgovara stanjima sustava u procesu promjene varijabli u vremenu, prema zadanim jednadžbama proučavanog sustava, naziva se fazna putanja. Skup faznih putanja za različite početne vrijednosti varijabli daje portret sustava. Izgradnja fazni portret omogućuje izvođenje zaključaka o prirodi promjena u varijablama x I g bez poznavanja analitičkih rješenja izvornog sustava jednadžbi.

Razmotrimo sustav linearnih diferencijalnih jednadžbi:

Konstruiranjem faznog portreta počinjemo konstruiranjem glavne izokline(izoklina je linija duž koje cijelom dužinom nagib fazne krivulje (putanja), određene jednadžbom, ostaje konstantan). Za sustav dviju linearnih diferencijalnih jednadžbi, to su uvijek ravne linije koje prolaze kroz ishodište koordinata. Jednadžba izokline horizontalnih tangenti: . Jednadžba izokline vertikalnih tangenti: . Za daljnju konstrukciju faznog portreta korisno je konstruirati izoklinu tangenti koje prolaze pod kutom . Za pronalaženje odgovarajuće jednadžbe izokline potrebno je riješiti jednadžbu . Također možete pronaći izokline tangenti drugih kutova koristeći približne vrijednosti tangenti kutova. U konstruiranju faznog portreta može pomoći i odgovor na pitanje pod kojim kutom fazne putanje trebaju sijeći koordinatne osi. Da biste to učinili, jednadžba izokline zamijenimo odgovarajuće jednakosti (za određivanje kuta presjeka s osi OY) i (za određivanje kuta presjeka s osi OX).

Primjer 1.4. Odredite vrstu singularne točke sustava linearnih jednadžbi:

Konstruirajte fazni i kinetički portret sustava.

Riješenje: Koordinate singularne točke su (0,0). Koeficijenti linearnih jednadžbi su: , , , . Odredimo vrstu stacionarnog stanja (vidi odjeljak o karakterističnim brojevima):

Dakle, karakteristični korijeni su imaginarni: prema tome, singularna točka linearnog sustava koji se razmatra je tipa centra (slika 1.2a).

Jednadžba izokline horizontalnih tangenti: , jednadžba izokline vertikalnih tangenti: . Pod kutom od 45° putanje sustava sijeku ravnu liniju .

Nakon konstruiranja faznog portreta potrebno je odrediti smjer kretanja duž pronađenih putanja. To se može učiniti na sljedeći način. Uzmimo proizvoljnu točku na bilo kojoj putanji. Na primjer, na izoklini horizontalnih tangenti (1,1). Zamijenimo koordinate ove točke u sustav jednadžbi. Dobijmo izraze za brzine promjene varijabli x,g u ovom trenutku:

Dobivene vrijednosti pokazuju da je brzina promjene varijable x– negativan, odnosno njegova bi se vrijednost trebala smanjiti, a varijabla g ne mijenja. Dobiveni smjer označavamo strelicom. Dakle, u primjeru koji se razmatra, kretanje duž faznih putanja usmjereno je suprotno od kazaljke na satu. Zamjenom koordinata različitih točaka u sustav, možete dobiti “kartu” smjerova brzine, tzv. vektorsko polje.

Slika 1.2. Fazni (a) i kinetički (b) portret sustava, primjer 1.4

Primijetite da na izoklini horizontalnih tangenti varijabla g doseže svoju maksimalnu ili minimalnu vrijednost na zadanoj putanji. Naprotiv, na izoklini vertikalnih tangenti varijabla doseže svoju maksimalnu apsolutnu vrijednost za odabranu trajektoriju x.

Konstruirati kinetički portret sustava znači konstruirati grafove ovisnosti vrijednosti varijabli x,g s vremena. Pomoću faznog portreta možete konstruirati kinetički portret i obrnuto. Jedna fazna putanja odgovara jednom paru kinetičkih krivulja. Izaberimo proizvoljnu točku na proizvoljnoj faznoj putanji u faznom portretu. Ovo je početna točka koja odgovara trenutku u vremenu. Ovisno o smjeru kretanja u sustavu koji se razmatra, vrijednosti varijabli x,g ili smanjiti ili povećati. Neka su koordinate početne točke (1,1). Prema izgrađenom faznom portretu, počevši od ove točke, moramo se kretati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, koordinate x I g u isto vrijeme će se smanjiti. Tijekom vremena, koordinat x prolazi kroz 0, vrijednost g međutim ostaje pozitivan. Daljnje koordinate x I g nastaviti smanjivati, koordinirati g prolazi kroz 0 (vrijednost x koliko god negativno). Veličina x doseže minimalnu vrijednost na izoklini vertikalnih tangenti, zatim počinje rasti. Veličina g dostiže svoju minimalnu vrijednost na izoklini horizontalnih tangenti (vrijednost x negativan u ovom trenutku). Nadalje, veličina x, i veličina g povećati, vraćajući se na početne vrijednosti (Sl. 1.2b).

Proučavanje stabilnosti stacionarnih stanja nelinearnih sustava drugog reda

Neka je biološki sustav opisan sustavom dviju autonomnih diferencijalnih jednadžbi drugog reda općeg oblika:

Stacionarne vrijednosti varijabli sustava određene su iz algebarskih jednadžbi:

U susjedstvu svakog stacionarnog stanja možemo razmotriti sustav prve aproksimacije(linearizirani sustav), čije proučavanje može odgovoriti na pitanje o stabilnosti singularne točke i prirodi faznih trajektorija u njenom malom susjedstvu.

Vani

Imamo ... posebna točka je gruba. Karakteristični korijeni sustava prve aproksimacije jednaki su , oba su realna i negativna, stoga će u blizini nulte singularne točke ponašanje faznih putanja sustava odgovarati tipu stabilnog čvora.

Uvod

Budući da je koncept nelinearnog dinamičkog sustava dovoljno bogat da pokrije iznimno širok raspon procesa u kojima je buduće ponašanje sustava određeno prošlošću, metode analize razvijene u ovom području korisne su u velikom broju različitih konteksta

Nelinearna dinamika ulazi u literaturu na najmanje tri načina. Prvo, postoje slučajevi u kojima se eksperimentalni podaci o vremenskom tijeku jedne ili više veličina prikupljaju i analiziraju pomoću tehnika temeljenih na nelinearnoj dinamičkoj teoriji, s minimalnim pretpostavkama o temeljnim jednadžbama koje upravljaju procesom koji proizvodi podatke. To jest, to je slučaj u kojemu se nastoje pronaći korelacije u podacima koje mogu voditi razvoj matematičkog modela, umjesto da se prvo nagađa model, a zatim ga uspoređuje s podacima.

Drugo, postoje slučajevi u kojima se nelinearna dinamička teorija može koristiti za tvrdnju da bi neki pojednostavljeni model trebao pokazati važne značajke danog sustava, što implicira da se deskriptivni model može konstruirati i proučavati u širokom rasponu parametara. To često rezultira modelima koji se kvalitativno različito ponašaju pod različitim parametrima i pokazuju da jedna regija pokazuje ponašanje vrlo slično onom opaženom u stvarnom sustavu. U mnogim je slučajevima ponašanje modela prilično osjetljivo na promjene parametara, pa ako se parametri modela mogu mjeriti u stvarnom sustavu, model pokazuje realno ponašanje pri tim vrijednostima i može se biti uvjeren da je model uhvatio bitne značajke sustava.

Treće, postoje slučajevi u kojima se jednadžbe modela konstruiraju na temelju detaljnih opisa poznate fizike. Numerički eksperimenti tada mogu pružiti informacije o varijablama koje nisu dostupne fizičkim eksperimentima.

Na temelju drugog puta, ovaj je rad proširenje mog prethodnog rada “Nelinearni dinamički model međuzavisnih industrija”, kao i drugih radova (Dmitriev, 2015.)

Sve potrebne definicije i ostale teorijske informacije potrebne u radu pojavit će se u prvom poglavlju, prema potrebi. Ovdje će se dati dvije definicije koje su neophodne za otkrivanje same teme istraživanja.

Prvo, definirajmo dinamiku sustava. Prema jednoj definiciji, dinamika sustava je pristup simulacijskom modeliranju koji, zahvaljujući svojim metodama i alatima, pomaže u procjeni strukture složenih sustava i njihove dinamike (Shterman). Vrijedno je dodati da je dinamika sustava također metoda modeliranja koja se koristi za ponovno stvaranje točnih (u smislu točnosti) računalnih modela za složene sustave za njihovu buduću upotrebu u svrhu stvaranja učinkovitije tvrtke/organizacije, kao i poboljšanja metoda interakcija s ovim sustavom. Potreba za dinamikom sustava prvenstveno se javlja kada se suočimo s dugoročnim, strateškim modelima, a valja napomenuti i da je prilično apstraktna.

Kada govorimo o nelinearnoj diferencijalnoj dinamici, razmatrat ćemo nelinearni sustav, koji je po definiciji sustav u kojem promjena izlaza nije proporcionalna promjeni ulaznih parametara i u kojem funkcija opisuje ovisnost promjene u vrijeme i položaj točke u prostoru (Boeing, 2016).

Na temelju navedenih definicija postaje jasno da će ovaj rad razmatrati različite nelinearne diferencijalne sustave koji opisuju interakciju poduzeća, kao i simulacijske modele izgrađene na njihovoj osnovi. Na temelju toga će se odrediti svrha rada.

Stoga je svrha ovog rada provesti kvalitativnu analizu dinamičkih sustava koji u prvoj aproksimaciji opisuju interakciju poduzeća te na temelju njih izgraditi simulacijski model.

Za postizanje ovog cilja identificirani su sljedeći zadaci:

Određivanje stabilnosti sustava.

Izrada faznih portreta.

Pronalaženje integralnih putanja sustava.

Izrada simulacijskih modela.

Svaki od ovih zadataka bit će posvećen jednom od odjeljaka svakog od poglavlja rada.

Na temelju prakse, konstrukcija temeljnih matematičkih struktura koje učinkovito modeliraju dinamiku u različitim fizičkim sustavima i procesima ukazuje na to da odgovarajući matematički model u određenoj mjeri odražava blizinu izvornika koji se proučava, kada se njegove karakteristične značajke mogu izvesti iz svojstava i strukture od vrste kretanja koja tvori dinamiku sustava. Danas se ekonomska znanost nalazi u fazi svog razvoja u kojoj posebno učinkovito koristi nove, au mnogim slučajevima i nestandardne metode i metode fizičko-matematičkog modeliranja ekonomskih procesa. Odavde proizlazi zaključak o potrebi stvaranja, proučavanja i izgradnje modela koji na neki način mogu opisati gospodarsku situaciju.

Što se tiče razloga odabira kvalitativne umjesto kvantitativne analize, valja napomenuti da se u velikoj većini slučajeva rezultati i zaključci kvalitativne analize dinamičkih sustava pokazuju značajnijim od rezultata njihove kvantitativne analize. U takvoj situaciji primjereno je istaknuti izjave V.P. Milovanov, u kojem tvrdi da se tradicionalno vjeruje da rezultate koji se očekuju primjenom matematičkih metoda za analizu stvarnih objekata treba svesti na numerički rezultat. U tom smislu kvalitativne metode imaju malo drugačiju zadaću. Usmjeren je na postizanje rezultata koji opisuje kvalitetu sustava, na traženje karakteristika svih pojava u cjelini i na predviđanje. Naravno, važno je razumjeti kako će se promijeniti potražnja kada se promijene cijene za određenu vrstu robe, ali ne treba zaboraviti da je puno važnije razumjeti hoće li u takvim uvjetima doći do manjka ili viška te robe ( Dmitrijev, 2016).

Predmet ovog istraživanja je nelinearni diferencijal i dinamika sustava.

U ovom slučaju, predmet istraživanja je opis procesa interakcije između poduzeća kroz nelinearni diferencijal i dinamiku sustava.

Govoreći o praktičnoj primjeni istraživanja, vrijedi ga odmah podijeliti u dva dijela. Naime, onaj teorijski, odnosno kvalitativna analiza sustava, te onaj praktični, koji će razmatrati izgradnju simulacijskih modela.

Teorijski dio ovog rada daje osnovne pojmove i pojave. Razmatra jednostavne diferencijalne sustave, kao iu radovima mnogih drugih autora (Teschl, 2012; Nolte, 2015), ali nam istovremeno omogućuje opis interakcije između poduzeća. Na temelju toga u budućnosti će biti moguće provoditi dublja istraživanja ili započeti upoznavanje s time što je kvalitativna analiza sustava.

Praktični dio rada može poslužiti za izradu sustava za podršku odlučivanju. Sustav za podršku odlučivanju je automatizirani informacijski sustav usmjeren na podršku donošenju poslovnih ili organizacijskih odluka dopuštajući izbore između mnogo različitih alternativa (Keen, 1980.). Modeli trenutno možda nisu vrlo točni, ali mijenjajući ih za određenu tvrtku, možete postići preciznije rezultate. Dakle, mijenjajući različite parametre i uvjete koji se mogu pojaviti na tržištu, možete dobiti određenu prognozu za budućnost i donijeti isplativiju odluku unaprijed.

1. Interakcija poduzeća u uvjetima mutualizma

Rad će predstaviti dvodimenzionalne sustave koji su prilično jednostavni u usporedbi sa sustavima višeg reda, ali nam u isto vrijeme omogućuju demonstraciju odnosa između organizacija koji su nam potrebni.

Vrijedno je započeti rad odabirom vrste interakcije, koja će biti opisana u budućnosti, budući da su za svaku od vrsta sustavi koji ih opisuju, iako malo, različiti. Slika 1.1 prikazuje klasifikaciju Yujima Oduma za interakciju populacija modificiranu za ekonomsku interakciju (Odum, 1968), na temelju koje ćemo dalje razmatrati interakciju poduzeća.

Slika 1.1. Vrste interakcije između poduzeća

Na temelju slike 1.1 istaknut ćemo 4 vrste interakcija i za svaku od njih prikazati sustav jednadžbi koje ih opisuju, temeljen na Malthusovom modelu (Malthus, 1798). Prema njemu, stopa rasta proporcionalna je trenutnoj brojnosti vrste, drugim riječima, može se opisati sljedećom diferencijalnom jednadžbom:

gdje je a određeni parametar ovisan o prirodnom priraštaju stanovništva. Također je vrijedno dodati da u dolje razmatranim sustavima svi parametri, kao i varijable, imaju nenegativne vrijednosti.

Proizvodnja sirovina - proizvodnja proizvoda, koja je slična modelu grabežljivac-plijen. Model predator-plijen, poznat i kao Lotka-Volterra model, par je nelinearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje opisuju dinamiku biološkog sustava s dvije vrste, od kojih su jedna grabežljivci, a druga plijen (Llibre, 2007. ). Promjena brojnosti ovih vrsta opisuje se sljedećim sustavom jednadžbi:

(1.2)

gdje - karakterizira rast proizvodnje prvog poduzeća bez utjecaja drugog (u slučaju modela predator-plijen, rast populacije plijena bez predatora),

Karakterizira rast proizvodnje drugog poduzeća bez utjecaja prvog (rast populacije predatora bez žrtava),

Karakterizira rast proizvodnje prvog poduzeća, uzimajući u obzir utjecaj drugog na njega (povećanje broja žrtava u interakciji s predatorima),

Karakterizira rast proizvodnje drugog poduzeća, uzimajući u obzir utjecaj prvog na njega (povećanje broja grabežljivaca tijekom njihove interakcije s plijenom).

Za jednog, predatora, kao što se vidi iz sustava, kao i Odumove klasifikacije, njihova interakcija ima blagotvoran učinak. Nepovoljno za drugoga. Ako to razmotrimo u ekonomskoj stvarnosti, tada, kao što se može vidjeti na slici, najjednostavniji analog je proizvođač i njegov dobavljač resursa, koji odgovaraju grabežljivcu, odnosno plijenu. Stoga, u nedostatku sirovina, proizvodnja se eksponencijalno smanjuje.

Natjecanje je suparništvo između dvije ili više (u našem slučaju razmatramo dvodimenzionalne sustave, pa uzimamo natjecanje dviju vrsta) vrsta, ekonomskih skupina za teritorije, ograničene resurse ili druge vrijednosti (Elton, 1968). Promjene u broju vrsta, odnosno količini proizvodnje u našem slučaju, opisane su sustavom u nastavku:

(1.3)

U ovom slučaju vrste ili tvrtke koje proizvode jedan proizvod negativno utječu jedna na drugu. To jest, u odsutnosti konkurenta, rast proizvoda će eksponencijalno rasti.

Sada prijeđimo na simbiotski odnos u kojem oba poduzeća pozitivno utječu jedno na drugo. Prvo, pogledajmo uzajamnost. Mutualizam je vrsta odnosa između različitih vrsta u kojem svaka od njih ima koristi od djelovanja druge, a valja napomenuti da je prisutnost partnera nužan uvjet za postojanje (Thompson, 2005). Ovu vrstu odnosa opisuje sustav:

(1.4)

Budući da je interakcija među tvrtkama nužna za njihovu egzistenciju, u nedostatku proizvoda jedne tvrtke proizvodnja robe druge eksponencijalno opada. To je moguće kada tvrtke jednostavno nemaju druge alternative nabave.

Razmotrimo drugu vrstu simbiotske interakcije, protokooperaciju. Proto-suradnja je slična uzajamnosti s jedinom iznimkom da nema potrebe za postojanjem partnera, jer, na primjer, postoje druge alternative. Budući da su slični, njihovi sustavi izgledaju gotovo slični jedan drugome:

(1.5)

Na taj način nedostatak proizvoda jedne tvrtke ne sprječava rast proizvoda druge tvrtke.

Naravno, osim navedenih u točkama 3. i 4., mogu se uočiti i drugi tipovi simbiotskih odnosa: komenzalizam i amenzalizam (Hanski, 1999.). Ali nećemo ih dalje spominjati, budući da je u komenzalizmu jedan od partnera ravnodušan prema interakciji s drugim, a mi i dalje razmatramo slučajeve gdje postoji utjecaj. Ali amenzalizam se ne razmatra, jer s ekonomske točke gledišta, takvi odnosi, kada njihova interakcija šteti jednima, a ravnodušna je prema drugima, jednostavno ne mogu postojati.

Na temelju utjecaja poduzeća jednih na druge, odnosno da simbiotski odnosi dovode do održivog suživota poduzeća, ovaj će rad razmatrati samo slučajeve uzajamnosti i proto-suradnje, budući da je u oba slučaja interakcija korisna za sve.

Ovo poglavlje posvećeno je interakciji poduzeća u uvjetima uzajamnosti. Razmotrit će se dva sustava koji su daljnji razvoj sustava temeljenih na Malthusovom modelu, a to su sustavi s nametnutim ograničenjima povećanja proizvodnje.

Dinamika para povezanog uzajamnim odnosom, kao što je gore spomenuto, može se u prvoj aproksimaciji opisati sustavom:

(1.6)

Može se primijetiti da s velikom početnom količinom proizvodnje sustav neograničeno raste, a s malom količinom proizvodnja pada. To je neispravnost bilinearnog opisa efekta koji se javlja tijekom uzajamnosti. Kako bismo pokušali ispraviti sliku, uvodimo faktor koji podsjeća na zasićenost predatora, odnosno faktor koji će smanjiti stopu rasta proizvodnje ako je ima u višku. U ovom slučaju dolazimo do sljedećeg sustava:

(1.7)

gdje je rast proizvodnje proizvoda prve tvrtke tijekom njegove interakcije s drugom, uzimajući u obzir zasićenje,

Povećanje proizvodnje proizvoda druge tvrtke tijekom njegove interakcije s prvom, uzimajući u obzir zasićenje,

Koeficijenti zasićenja.

Tako smo dobili dva sustava: Malthusov model rasta sa i bez zasićenja.

1.1 Stabilnost sustava kao prva aproksimacija

Stabilnost sustava kao prva aproksimacija razmatra se u mnogim stranim (Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogatz, 2001 i drugi) i radovima na ruskom jeziku (Akhromeeva, 1992; Bellman, 1954; Demidovich, 1967; Krasovsky, 1959. i drugi), a njegova definicija osnovni je korak za analizu procesa koji se odvijaju u sustavu. Da bismo to učinili, izvršit ćemo sljedeće potrebne korake:

Nađimo točke ravnoteže.

Nađimo Jacobianovu matricu sustava.

Nađimo svojstvene vrijednosti Jacobijeve matrice.

Točke ravnoteže klasificiramo koristeći Lyapunovljev teorem.

Nakon što smo pogledali korake, vrijedi pobliže pogledati njihovo objašnjenje, pa ću dati definicije i opisati metode koje ćemo koristiti u svakom od ovih koraka.

Prvi korak je pronaći točke ravnoteže. Da bismo ih pronašli, svaku funkciju izjednačimo s nulom. Odnosno, rješavamo sustav:

gdje a i b znače sve parametre jednadžbe.

Sljedeći korak je traženje Jakobijeve matrice. U našem slučaju, to će biti matrica 2 sa 2 s prvim derivatima u nekom trenutku, kao što je prikazano u nastavku:

Nakon dovršetka prva dva koraka, nastavljamo s pronalaženjem korijena sljedeće karakteristične jednadžbe:

Gdje točka odgovara točkama ravnoteže nađenim u prvom koraku.

Nakon što smo pronašli i , prelazimo na četvrti korak i koristimo sljedeće Lyapunovljeve teoreme (Parks, 1992.):

Teorem 1: Ako svi korijeni karakteristične jednadžbe imaju negativan realni dio, tada je točka ravnoteže koja odgovara izvornom i lineariziranom sustavu asimptotski stabilna.

Teorem 2: Ako barem jedan od korijena karakteristične jednadžbe ima pozitivan realni dio, tada je točka ravnoteže koja odgovara izvornom i lineariziranom sustavu asimptotski nestabilna.

Također, gledajući i moguće je točnije odrediti vrstu stabilnosti, na temelju podjele prikazane na slici 1.2 (Sveučilište Lamar).

Slika 1.2. Vrste stabilnosti točaka ravnoteže

Nakon što smo razmotrili potrebne teorijske informacije, prijeđimo na analizu sustava.

Razmotrimo sustav bez zasićenja:

Vrlo je jednostavan i nije prikladan za praktičnu upotrebu jer nema ograničenja. Ali kao prvi primjer analize sustava prikladan je za razmatranje.

Najprije pronađimo točke ravnoteže izjednačavanjem desnih strana jednadžbi s nulom. Dakle, nalazimo dvije točke ravnoteže, nazovimo ih A i B: .

Spojimo korak s traženjem Jacobijeve matrice, korijena karakteristične jednadžbe i određivanjem tipa stabilnosti. Budući da su elementarni, odmah dobivamo odgovor:

1. U točki , , postoji stabilan čvor.

U točki: sedlo.

Kao što sam već napisao, ovaj sustav je previše trivijalan, pa nije bilo potrebno objašnjenje.

Sada analizirajmo sustav od zasićenja:

(1.9)

Pojava ograničenja na uzajamnu zasićenost proizvoda između poduzeća približava nas stvarnoj slici onoga što se događa, a također malo komplicira sustav.

Kao i prije, izjednačujemo desne strane sustava s nulom i rješavamo dobiveni sustav. Točka je ostala nepromijenjena, ali druga točka u ovom slučaju sadrži više parametara nego prije: .

U ovom slučaju Jacobianova matrica ima sljedeći oblik:

Oduzmimo od njega identičnu matricu pomnoženu s i izjednačimo determinantu dobivene matrice u točkama A i B s nulom.

U trenutku sličnom prethodnoj slici:

Stabilan čvor.

Ali u točki sve je nešto kompliciranije, a iako je matematika još uvijek prilično jednostavna, zbog složenosti je nezgodno raditi s dugim slovnim izrazima. Budući da se vrijednosti pokazuju prilično dugim i nespretnim za pisanje, one se ne daju; dovoljno je samo reći da je u ovom slučaju, kao i kod prethodnog sustava, rezultirajuća vrsta stabilnosti sedlo.

2 Fazni portreti sustava

Velika većina nelinearnih dinamičkih modela složene su diferencijalne jednadžbe koje se ili ne mogu riješiti ili ih je donekle teško riješiti. Primjer bi bio sustav iz prethodnog odjeljka. Unatoč prividnoj jednostavnosti, pronalaženje vrste održivosti u drugoj točki ravnoteže nije bilo lako (čak i ako ne s matematičkog gledišta), a s povećanjem parametara, ograničenja i jednadžbi za povećanje broja međusobno povezanih poduzeća, složenost će samo povećati. Naravno, ako su parametri numerički izrazi, tada će sve postati nevjerojatno jednostavno, ali tada će analiza na neki način izgubiti svaki smisao, jer ćemo na kraju samo moći pronaći ravnotežne točke i saznati njihovu vrstu stabilnosti. za konkretan slučaj, a ne za opći.

U takvim slučajevima vrijedi se sjetiti fazne ravnine i faznih portreta. U primijenjenoj matematici, posebno u kontekstu analize nelinearnih sustava, fazna ravnina je vizualni prikaz određenih karakteristika određenih tipova diferencijalnih jednadžbi (Nolte, 2015). Koordinatna ravnina s osima vrijednosti bilo kojeg para varijabli koje karakteriziraju stanje sustava je dvodimenzionalni slučaj općeg n-dimenzionalnog faznog prostora.

Zahvaljujući faznoj ravnini moguće je grafički odrediti postojanje graničnih ciklusa u rješenjima diferencijalne jednadžbe.

Rješenja diferencijalne jednadžbe su skup funkcija. Grafički, to se može iscrtati u faznoj ravnini kao dvodimenzionalno vektorsko polje. Na ravnini su nacrtani vektori koji predstavljaju derivacije u karakterističnim točkama u odnosu na neki parametar, u našem slučaju vrijeme, to jest (). S dovoljno ovih strelica u jednom području, može se vizualizirati ponašanje sustava i lako identificirati granični ciklusi (Boeing, 2016.).

Vektorsko polje je fazni portret; određena staza duž linije fluksa (to jest, staza koja uvijek tangenta na vektore) je fazna staza. Fluksevi u vektorskom polju označavaju promjenu sustava tijekom vremena, opisanu diferencijalnom jednadžbom (Jordan, 2007.).

Vrijedno je napomenuti da se fazni portret može konstruirati i bez rješavanja diferencijalne jednadžbe, au isto vrijeme dobra vizualizacija može pružiti mnogo korisnih informacija. Osim toga, danas postoje mnogi programi koji mogu pomoći u izradi faznih dijagrama.

Stoga su fazne ravnine korisne za vizualizaciju ponašanja fizičkih sustava. Konkretno, oscilatorni sustavi, kao što je već spomenuti model grabežljivac-plijen. U ovim modelima, fazne putanje se mogu "okretati" prema nuli, "spiralizirati" prema beskonačnosti ili doseći neutralnu, stabilnu situaciju koja se naziva centrima. Ovo je korisno u određivanju je li dinamika stabilna ili ne (Jordan, 2007.).

Fazni portreti predstavljeni u ovom odjeljku bit će konstruirani korištenjem alata WolframAlpha ili dobiveni iz drugih izvora. Malthusov model rasta bez zasićenja.

Konstruirajmo fazni portret prvog sustava s tri skupa parametara kako bismo usporedili njihovo ponašanje. Skup A ((1,1), (1,1)), koji će se dalje zvati jedinični skup, skup B ((10,0.1), (2,2)), kada se odabere, nagli pad proizvodnje je promatrana u sustavu , i skupu C ((1,10), (1,10)), u kojem se, naprotiv, događa nagli i neograničeni rast. Vrijedno je napomenuti da će vrijednosti duž osi u svim slučajevima biti u istim intervalima od -10 do 10, radi praktičnosti međusobnog uspoređivanja faznih dijagrama. Naravno, to se ne odnosi na kvalitetan portret sustava čije su osi bezdimenzionalne.

Slika 1.3 Fazni portret s parametrima A

mutualism diferencijalna granična jednadžba

Slika 1.3 prikazana gore prikazuje fazne portrete sustava za tri navedena skupa parametara, kao i fazni portret koji opisuje kvalitativno ponašanje sustava. Ne zaboravite da je s praktičnog gledišta najvažnije prvo tromjesečje, budući da je količina proizvodnje, koja može biti samo nenegativna, naše osi.

Na svakoj od slika jasno je vidljiva stabilnost u točki ravnoteže (0,0). I na prvoj slici, "sedlo" je također vidljivo u točki (1,1), drugim riječima, ako zamijenite vrijednosti skupa parametara u sustav, tada u točki ravnoteže B. Kada je mijenjaju se granice modela, sedlo se nalazi i na drugim faznim portretima.

Malthusov model rasta od zasićenja.

Konstruirajmo fazne dijagrame za drugi sustav, u kojem je prisutna zasićenost, s tri nova skupa vrijednosti parametara. Skup A, ((0,1,15,100), (0,1,15,100)), skup B ((1,1,0,5), (1, 1,0,5)) i skup C ((20,1,100), (20,1,100 )).

Slika 1.4. Fazni portret s parametrima A

Kao što vidite, za bilo koji skup parametara, točka (0,0) je točka ravnoteže, a također i stabilna. Također na nekim slikama možete vidjeti sedlo.

U ovom slučaju razmatrane su različite ljestvice kako bi se jasnije pokazalo da se čak i kada se sustavu doda faktor zasićenja kvalitativna slika ne mijenja, odnosno da samo zasićenje nije dovoljno. Potrebno je uzeti u obzir da je u praksi poduzećima potrebna stabilnost, odnosno, ako razmatramo nelinearne diferencijalne jednadžbe, tada su nas najviše zanimale stabilne ravnotežne točke, au tim sustavima takve točke su samo nule, što znači da takve matematički modeli očito nisu prikladni za poduzeća. Uostalom, to znači da su samo s nultom proizvodnjom tvrtke održive, što se jasno razlikuje od realne slike svijeta.

U matematici, integralna krivulja je parametarska krivulja koja predstavlja specifično rješenje obične diferencijalne jednadžbe ili sustava jednadžbi (Lang, 1972). Ako je diferencijalna jednadžba predstavljena kao vektorsko polje, tada su odgovarajuće integralne krivulje tangentne na polje u svakoj točki.

Integralne krivulje također su poznate pod drugim nazivima, ovisno o prirodi i interpretaciji diferencijalne jednadžbe ili vektorskog polja. U fizici, integralne krivulje za električno polje ili magnetsko polje poznate su kao linije polja, a integralne krivulje za polje brzine fluida poznate su kao linije strujnice. U dinamičkim sustavima, integralne krivulje za diferencijalnu jednadžbu nazivaju se putanje.

Slika 1.5. Integralne krivulje

Rješenja bilo kojeg od sustava također se mogu smatrati jednadžbama integralnih krivulja. Očito je da je svaka fazna putanja projekcija neke integralne krivulje u x, y, t prostoru na faznu ravninu.

Postoji nekoliko metoda za konstruiranje integralnih krivulja.

Jedna od njih je metoda izokline. Izoklina je krivulja koja prolazi kroz točke u kojima će nagib predmetne funkcije uvijek biti isti, bez obzira na početne uvjete (Hanski, 1999).

Često se koristi kao grafička metoda za rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi. Na primjer, u jednadžbi oblika y"= f(x, y), izokline su linije na (x, y) ravnini dobivene izjednačavanjem f (x, y) s konstantom. To daje niz linija ( za različite konstante) duž kojih krivulje rješenja imaju isti gradijent. Izračunavanjem ovog gradijenta za svaku izoklinu, polje nagiba može se vizualizirati, što čini relativno lakim crtanje približnih krivulja rješenja. Slika ispod prikazuje primjer upotrebe metoda izokline.

Slika 1.6. Izoklina metoda

Ova metoda ne zahtijeva računalne izračune, a bila je vrlo popularna u prošlosti. Sada postoje softverska rješenja koja mogu izuzetno precizno i ​​brzo izraditi integralne krivulje na računalima. No, unatoč tome, metoda izoklina se dobro pokazala kao alat za proučavanje ponašanja otopina, budući da omogućuje prikaz područja tipičnog ponašanja integralnih krivulja.

Malthusov model rasta bez zasićenja.

Počnimo s činjenicom da unatoč postojanju različitih metoda konstrukcije, prikazati integralne krivulje sustava jednadžbi nije tako jednostavno. Ranije spomenuta metoda izoklina nije prikladna jer radi za diferencijalne jednadžbe prvog reda. Ali softverski alati koji imaju mogućnost konstruiranja takvih krivulja nisu javno dostupni. Na primjer, Wolfram Mathematica, koja je to sposobna, plaća se. Stoga ćemo pokušati maksimalno iskoristiti mogućnosti Wolfram Alpha čiji je rad opisan u raznim člancima i radovima (Orca, 2009.). Iako slika očito neće biti posve pouzdana, barem će omogućiti prikaz ovisnosti u (x,t), (y,t) ravninama. Najprije riješimo svaku od jednadžbi za t. To jest, izvest ćemo ovisnost svake od varijabli u odnosu na vrijeme. Za ovaj sustav dobivamo:

(1.10)

(1.11)

Jednadžbe su simetrične, pa ćemo razmotriti samo jednu od njih, a to je x(t). Neka je konstanta jednaka 1. U ovom slučaju koristit ćemo se grafičkom funkcijom.

Slika 1.7. Trodimenzionalni model za jednadžbu (1.10)

Malthusov model rasta od zasićenja.

Učinimo slične korake za drugi model. U konačnici dobivamo dvije jednadžbe koje pokazuju ovisnost varijabli o vremenu.

(1.12)

(1.13)

Izgradimo trodimenzionalni model i ponovo poravnajmo linije.

Slika 1.8. Trodimenzionalni model za jednadžbu (1.12)

Budući da su vrijednosti varijabli nenegativne, tada u razlomku s eksponentom dobivamo negativan broj. Dakle, s vremenom se integralna krivulja smanjuje.

Prethodno je dana definicija dinamike sustava kako bi se razumjela bit rada, ali sada ćemo se detaljnije zadržati na tome.

Dinamika sustava je metodologija i metoda matematičkog modeliranja za oblikovanje, razumijevanje i raspravu o složenim problemima, koju je 1950-ih izvorno razvio Jay Forrester i opisao u svom radu (Forrester, 1961).

Dinamika sustava je aspekt teorije sustava kao metoda za razumijevanje dinamičkog ponašanja složenih sustava. Osnova metode je spoznaja da se struktura svakog sustava sastoji od brojnih odnosa između njegovih komponenti, koji su često jednako važni u određivanju njegovog ponašanja kao i same pojedinačne komponente. Primjeri su teorija kaosa i društvena dinamika, opisani u djelima raznih autora (Grebogi, 1987; Sontag, 1998; Kuznjecov, 2001; Tabor, 2001). Također se tvrdi da se, budući da se svojstva cjeline često ne mogu pronaći u svojstvima elemenata, u nekim slučajevima ponašanje cjeline ne može objasniti u smislu ponašanja dijelova.

Simulacija može uistinu pokazati praktični značaj dinamičkog sustava. Iako je to moguće u proračunskim tablicama, postoji mnogo softverskih paketa koji su optimizirani posebno za tu svrhu.

Sama simulacija je proces stvaranja i analize prototipa fizičkog modela kako bi se predvidio njegov učinak u stvarnom svijetu. Simulacijsko modeliranje koristi se kako bi se dizajnerima i inženjerima pomoglo da razumiju pod kojim uvjetima i kada proces vjerojatno neće uspjeti i koja opterećenja može izdržati (Hemdi, 2007.). Modeliranje također može pomoći u predviđanju ponašanja protoka tekućine i drugih fizičkih pojava. Model analizira približne radne uvjete pomoću softvera za simulaciju (Strogalev, 2008.).

Ograničenja mogućnosti simulacije imaju zajednički uzrok. Konstrukcija i numerički proračun egzaktnog modela jamči uspjeh samo u onim područjima gdje postoji egzaktna kvantitativna teorija, odnosno kada su poznate jednadžbe koje opisuju određene pojave, a zadatak je jednostavno riješiti te jednadžbe sa potrebnom točnošću. U područjima gdje kvantitativna teorija ne postoji, izgradnja točnog modela ograničene je vrijednosti (Bazykin, 2003).

Međutim, mogućnosti modeliranja nisu neograničene. Prije svega, to je zbog činjenice da je teško procijeniti opseg primjenjivosti simulacijskog modela, posebice vremensko razdoblje za koje se može izgraditi prognoza sa potrebnom točnošću (Law, 2006). Osim toga, simulacijski model po svojoj je prirodi vezan za određeni objekt, a kada se pokušava primijeniti na neki drugi, makar i sličan objekt, zahtijeva radikalne prilagodbe ili barem značajne modifikacije.

Postoji opći razlog za postojanje ograničenja simulacijskog modeliranja. Konstrukcija i numerički proračun “egzaktnog” modela uspješni su samo ako postoji kvantitativna teorija, odnosno samo ako su poznate sve jednadžbe, a problem se svodi samo na rješavanje tih jednadžbi s određenom točnošću (Bazykin, 2003). .

Ali čak i unatoč tome, simulacijsko modeliranje izvrsno je sredstvo za vizualizaciju dinamičkih procesa, omogućujući, s više ili manje točnim modelom, donošenje odluka na temelju njegovih rezultata.

U ovom radu, modeli sustava će se graditi pomoću alata za dinamiku sustava koje nudi program AnyLogic.

Malthusov model rasta bez zasićenja/

Prije izgradnje modela potrebno je razmotriti elemente dinamike sustava koje ćemo koristiti i povezati ih s našim sustavom. Sljedeće definicije preuzete su iz AnyLogic pomoći.

Akumulator je glavni element dijagrama dinamike sustava. Koriste se za predstavljanje objekata stvarnog svijeta u kojima se akumuliraju određeni resursi: novac, tvari, broj grupa ljudi, određeni materijalni objekti itd. Akumulatori odražavaju statičko stanje simuliranog sustava, a njihove se vrijednosti mijenjaju tijekom vremena u skladu s tokovima koji postoje u sustavu. Iz toga slijedi da je dinamika sustava određena tokovima. Protoci u i iz akumulatora povećavaju ili smanjuju vrijednosti akumulatora.

Protok, kao i spomenuti uređaj za pohranjivanje, glavni je element dinamičkih dijagrama sustava.

Dok akumulatori definiraju statički dio sustava, niti određuju brzinu promjene vrijednosti akumulatora, odnosno kako se događaju promjene zaliha tijekom vremena i time određuju dinamiku sustava.

Agent može sadržavati varijable. Varijable se obično koriste za modeliranje promjenjivih karakteristika agenta ili za pohranu izlaza modela. Tipično se dinamičke varijable sastoje od funkcija akumulatora.

Agent može imati parametre. Parametri se često koriste za predstavljanje nekih karakteristika modeliranog objekta. Korisni su kada instance objekata imaju isto ponašanje opisano u klasi, ali se razlikuju u nekim vrijednostima parametara. Postoji jasna razlika između varijabli i parametara. Varijabla predstavlja stanje modela i može se mijenjati tijekom simulacije. Parametar se obično koristi za statički opis objekata. Tijekom jednog “izvođenja” modela, parametar je obično konstanta i mijenja se samo kada je potrebno rekonfigurirati ponašanje modela.

Veza je element dinamike sustava koji se koristi za određivanje ovisnosti između elemenata dijagrama toka i pogona. Ne stvara veze automatski, već prisiljava korisnika da ih eksplicitno nacrta u grafičkom uređivaču (međutim, vrijedi napomenuti da AnyLogic također podržava mehanizam za brzo uspostavljanje veza koje nedostaju). Na primjer, ako se bilo koji element A spominje u jednadžbi ili početnoj vrijednosti elementa B, tada te elemente prvo morate povezati vezom koja ide od A do B, a tek onda unijeti izraz u svojstva B.

Postoje još neki elementi dinamike sustava, ali oni neće biti korišteni u ovom radu, pa ćemo ih izostaviti.

Prvo, razmotrimo od čega će se sastojati model sustava (1.4).

Prvo, odmah označavamo dva pogona koji će sadržavati vrijednosti količine proizvoda svakog od poduzeća.

Drugo, budući da imamo dva člana u svakoj jednadžbi, dobivamo dva toka za svaki od pogona, jedan dolazni, drugi odlazni.

Treće, prijeđimo na varijable i parametre. Postoje samo dvije varijable. X i Y, odgovorni za rast proizvoda. Također imamo četiri parametra.

Četvrto, što se tiče veza, svaki od tokova mora biti povezan s varijablama i parametrima uključenim u jednadžbu protoka, a obje varijable moraju imati vezu s akumulatorima kako bi promijenile vrijednost tijekom vremena.

Detaljan opis izrade modela, kao primjera rada u AnyLogic okruženju za modeliranje, ostavit ćemo za sljedeći sustav, budući da je nešto složeniji i koristi više parametara, a odmah ćemo prijeći na razmatranje gotove verzije sustav.

Ispod na slici 1.9 prikazan je konstruirani model:

Slika 1.9. Model dinamike sustava za sustav (1.4)

Svi elementi dinamike sustava odgovaraju gore opisanim, tj. dva pogona, četiri toka (dva ulaza, dva izlaza), četiri parametra, dvije dinamičke varijable i potrebne veze.

Slika pokazuje da što je više proizvoda, to je njegov rast jači, što dovodi do naglog povećanja broja robe, što odgovara našem sustavu. Ali kao što je ranije rečeno, nedostatak ograničenja ovog rasta ne dopušta primjenu ovog modela u praksi.

Malthusov model rasta od zasićenja/

S obzirom na ovaj sustav, detaljnije ćemo se zadržati na konstrukciji modela.

Prvi korak je dodavanje dva pogona, nazovimo ih X_stock i Y_stock. Dodijelimo svakoj od njih početnu vrijednost 1. Imajte na umu da u nedostatku niti nema ništa u klasično definiranoj jednadžbi akumulatora.

Slika 1.10. Izgradnja modela sustava (1.9)

Sljedeći korak je dodavanje niti. Izgradimo dolazni i odlazni tijek za svaki pogon pomoću grafičkog uređivača. Ne smijemo zaboraviti da jedan od rubova potoka mora biti u pogonu, inače neće biti povezani.

Vidite da je jednadžba za pogon postavljena automatski, naravno, korisnik je može sam napisati odabirom "slobodnog" načina jednadžbe, ali najjednostavnije je tu radnju prepustiti programu.

Naš treći korak je dodavanje šest parametara i dvije dinamičke varijable. Dodijelimo svakom elementu ime u skladu s njegovim doslovnim izrazom u sustavu, a također postavimo početne vrijednosti parametara na sljedeći način: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0,2.

Svi elementi jednadžbi su prisutni, preostaje samo napisati jednadžbe tokova, ali da biste to učinili, prvo morate dodati veze između elemenata. Na primjer, izlazni tok odgovoran za izraz mora biti povezan s e1 i x. I svaka dinamička varijabla mora biti povezana sa svojom odgovarajućom pohranom (X_stock x, Y_stock y). Stvaranje veza slično je dodavanju niti.

Nakon stvaranja potrebnih veza, možete nastaviti s pisanjem jednadžbi za tokove, što je prikazano na desnoj slici. Naravno, možete i obrnutim redoslijedom, ali ako veze postoje, prilikom pisanja jednadžbi pojavljuju se savjeti za zamjenu potrebnih parametara/varijabli, što olakšava zadatak u složenim modelima.

Nakon dovršetka svih koraka, možete pokrenuti simulacijski model i pogledati njegov rezultat.

Nakon razmatranja sustava nelinearnih diferencijalnih jednadžbi za interakciju između poduzeća u uvjetima uzajamnosti, može se izvući nekoliko zaključaka.

Postoje dva stanja sustava: nagli neograničeni rast ili tendencija količine proizvodnje na nulu. U koje će od ta dva stanja sustav doći ovisi o parametrima.

Nijedan od predloženih modela, uključujući model koji uzima u obzir zasićenja, nije prikladan za praktičnu upotrebu, zbog nedostatka stabilnog položaja različitog od nule, kao i razloga opisanih u stavku 1.

Ukoliko bismo pokušali dalje proučavati ovu vrstu simbiotske interakcije kako bismo kreirali model primjenjiv u tvrtkama u praksi, potrebno je dodatno zakomplicirati sustav i uvesti nove parametre. Na primjer, Bazykin u svojoj knjizi daje primjer dinamike dviju mutualističkih populacija uz uvođenje dodatnog faktora intraspecifične konkurencije. Zbog čega sustav ima oblik:

(1.15)

I u ovom slučaju pojavljuje se stabilna pozicija sustava različita od nule, odvojena od nule "sedlom", što ga približava stvarnoj slici onoga što se događa.

2. Interakcija poduzeća u uvjetima protokooperacije

Sve osnovne teorijske informacije iznesene su u prethodnom poglavlju, tako da će pri analizi modela o kojima se raspravlja u ovom poglavlju, teorija biti velikim dijelom izostavljena, s iznimkom nekoliko točaka koje nismo susreli u prethodnom poglavlju, a također može postojati biti prečaci u izračunima. Model interakcije između organizacija razmatran u ovom poglavlju u uvjetima proto-kooperacije, koji se sastoji od sustava dviju jednadžbi temeljenih na Malthusovom modelu, izgleda kao sustav (1.5). Sustavi analizirani u prethodnom poglavlju pokazali su da je za njihovo što veće približavanje postojećim modelima potrebno povećati kompleksnost sustava. Na temelju ovih zaključaka, modelu ćemo odmah dodati ograničenje rasta. Za razliku od prethodne vrste interakcije, kada je rast neovisan o drugoj tvrtki negativan, u ovom slučaju svi predznaci su pozitivni, što znači da imamo stalni rast. Izbjegavajući ranije opisane nedostatke, pokušat ćemo je ograničiti na logističku jednadžbu, također poznatu kao Verhulstova jednadžba (Gershenfeld, 1999), koja ima sljedeći oblik:

, (2.1)

gdje je P veličina populacije, r je parametar koji pokazuje stopu rasta, K je parametar odgovoran za najveću moguću veličinu populacije. Odnosno, s vremenom će veličina populacije (u našem slučaju proizvodnja) težiti određenom parametru K.

Ova jednadžba pomoći će obuzdati neobuzdani rast proizvoda koji smo vidjeli ranije. Stoga sustav ima sljedeći oblik:

(2.2)

Ne zaboravite da je količina robe pohranjene u skladištu različita za svaku tvrtku, pa su i parametri koji ograničavaju rast različiti. Nazovimo ovaj sustav "", i ubuduće ćemo koristiti ovaj naziv kada ga budemo razmatrali.

Drugi sustav koji ćemo razmotriti je daljnji razvoj modela s Verhulstovim ograničenjem. Kao iu prethodnom poglavlju, uvodimo ograničenje na zasićenje, tada će sustav imati oblik:

(2.3)

Sada svaki od pojmova ima svoje ograničenje, tako da bez daljnje analize možete vidjeti da neće biti neograničenog rasta, kao u modelima iz prethodnog poglavlja. A budući da svaki od uvjeta pokazuje pozitivan rast, količina proizvodnje neće pasti na nulu. Nazovimo ovaj model "proto-model suradnje s dva ograničenja."

Ova dva modela se raspravljaju u različitim izvorima o biološkim populacijama. Sada ćemo pokušati malo proširiti sustave. Da biste to učinili, razmotrite sljedeću sliku.

Na slici je prikazan primjer procesa dviju tvrtki: industrije čelika i industrije ugljena. Oba poduzeća imaju rast proizvoda koji je neovisan o drugom, a postoji i rast proizvoda koji je rezultat njihove interakcije. To smo već uzeli u obzir u ranijim modelima. Sada je vrijedno napomenuti da tvrtke ne samo da proizvode proizvode, već ih i prodaju, na primjer, tržištu ili tvrtki koja je s njim u interakciji. Oni. Na temelju logičnih zaključaka, postoji potreba za negativnim rastom poduzeća kroz prodaju proizvoda (na slici su za to odgovorni parametri β1 i β2), kao i kroz prijenos dijela proizvodnje na drugo poduzeće. Ranije smo to uzimali u obzir samo s pozitivnim predznakom druge tvrtke, ali nismo uzimali u obzir činjenicu da prvo poduzeće prilikom prijenosa proizvoda smanjuje svoju količinu. U ovom slučaju dobivamo sustav:

(2.4)

I ako za pojam možemo reći da ako je u prethodnim modelima naznačeno da , karakteriziraju prirodni prirast, a parametar može biti negativan, tada praktički nema razlike, onda o pojmu ovo se ne može reći. Osim toga, u budućnosti, kada se razmatra takav sustav s uvedenim ograničenjima, ispravnije je koristiti pojmove pozitivnog i negativnog rasta, budući da im se u ovom slučaju mogu nametnuti različita ograničenja, što je nemoguće prirodnim rast. Nazovimo to "modelom proširene protokolarne suradnje".

Konačno, četvrti razmatrani model je prošireni model proto-suradnje s prethodno spomenutim logističkim ograničenjem rasta. A sustav za ovaj model je:

, (2.5)

gdje je povećanje proizvodnje prvog poduzeća, neovisno o drugom, uzimajući u obzir logističko ograničenje, - povećanje proizvodnje prvog poduzeća, ovisno o drugom, uzimajući u obzir logističko ograničenje, - povećanje proizvodnje drugog poduzeća, neovisno o prvom, uzimajući u obzir logističko ograničenje, - povećanje proizvodnje drugog poduzeća, ovisno o prvom, uzimajući u obzir logističko ograničenje, - potrošnja dobara prvog poduzeća, koja nije povezana s drugim, - potrošnja dobara drugog poduzeća, koja nije povezana s ostalo, - potrošnja dobara prve industrije od strane druge industrije, - potrošnja dobara druge industrije prva industrija.

U budućnosti će se ovaj model nazivati ​​"prošireni protooperacijski model s logističkim ograničenjem".

1 Stabilnost sustava kao prva aproksimacija

Model protokola suradnje s Verhulstovim ograničenjem

Metode za analizu stabilnosti sustava navedene su u sličnom odjeljku prethodnog poglavlja. Prije svega, nalazimo točke ravnoteže. Jedan od njih je, kao i uvijek, nula. Druga je točka s koordinatama.

Za nultočku λ1 = , λ2 = , budući da su oba parametra nenegativna, dobivamo nestabilan čvor.

Budući da rad s drugom točkom nije sasvim prikladan, zbog nedostatka mogućnosti skraćivanja izraza, ostavit ćemo određivanje vrste stabilnosti faznim dijagramima, jer oni jasno pokazuju je li točka ravnoteže stabilna ili ne.

Analiza ovog sustava je kompliciranija od prethodne zbog činjenice da se dodaje faktor zasićenja, pa se pojavljuju novi parametri, a pri pronalaženju točaka ravnoteže morat ćete riješiti ne linearnu, već bilinearnu jednadžbu zbog varijabla u nazivniku. Stoga ćemo, kao i u prethodnom slučaju, određivanje vrste stabilnosti prepustiti faznim dijagramima.

Unatoč pojavi novih parametara, jakobijan u nultočki, kao i korijeni karakteristične jednadžbe, izgledaju slično prethodnom modelu. Dakle, na nultoj točki postoji nestabilan čvor.

Prijeđimo na napredne modele. Prvi od njih ne sadrži nikakva ograničenja i ima oblik sustava (2.4)

Napravimo promjenu varijabli, , I . Novi sustav:

(2.6)

U ovom slučaju dobivamo dvije ravnotežne točke, točku A(0,0), B(). Točka B nalazi se u prvom kvadrantu jer varijable imaju nenegativne vrijednosti.

Za točku ravnoteže A dobivamo:

. - nestabilan čvor,

. - sedlo,

. - sedlo,

. - stabilan čvor,

U točki B korijeni karakteristične jednadžbe su kompleksni brojevi: λ1 = , λ2 = . Ne možemo odrediti vrstu stabilnosti oslanjajući se na Ljapunovljeve teoreme, stoga ćemo provesti numeričku simulaciju koja neće pokazati sva moguća stanja, ali će nam omogućiti da saznamo barem neka od njih.

Slika 2.2. Numeričko modeliranje traženja vrste stabilnosti

Prilikom razmatranja ovog modela morat ćete se suočiti s računalnim poteškoćama budući da ima veliki broj različitih parametara, kao i dva ograničenja.

Ne ulazeći u detalje izračuna, dolazimo do sljedećih točaka ravnoteže. Točka A(0,0) i točka B sa sljedećim koordinatama:

(), gdje je a =

Za točku A, određivanje vrste stabilnosti je trivijalan zadatak. Korijeni karakteristične jednadžbe su λ1 = , λ2 = . To nam daje četiri mogućnosti:

1. λ1 > 0, λ2 > 0 - nestabilan čvor.

2. λ1< 0, λ2 >0 - sedlo.

3. λ1 ​​​​> 0, λ2< 0 - седло.

4. λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

Govoreći o točki B, vrijedi se složiti da će zamjena kratica u izraz za nju zakomplicirati rad s Jacobianom i pronalaženje korijena karakteristične jednadžbe. Na primjer, nakon pokušaja pronalaženja pomoću WolframAlpha računalnih alata, izlaz korijenskih vrijednosti uzeo je oko pet redaka, što ne dopušta rad s njima u doslovnom smislu. Naravno, ako već imamo postojeće parametre, čini se da je moguće brzo pronaći točku ravnoteže, ali ovo je poseban slučaj, jer ćemo stanje ravnoteže, ako ono postoji, naći samo za te parametre, što nije prikladno za sustav za podršku odlučivanju za koji se planira izrada modela.

Zbog složenosti rada s korijenima karakteristične jednadžbe, konstruirat ćemo relativni položaj nul-izoklina po analogiji sa sustavom analiziranim u Bazykinovom radu (Bazykin, 2003). To će nam omogućiti da razmotrimo moguća stanja sustava, au budućnosti, prilikom konstruiranja faznih portreta, otkrijemo točke ravnoteže i vrste njihove stabilnosti.

Nakon nekih izračuna, jednadžbe nulte izokline poprimaju sljedeći oblik:

(2.7)

Dakle, izokline imaju oblik parabola.

Slika 2.3. Moguće mjesto nulte izokline

Moguća su četiri slučaja njihovog međusobnog rasporeda na temelju broja zajedničkih točaka između parabola. Svaki od njih ima svoje skupove parametara, a time i fazne portrete sustava.

2 Fazni portreti sustava

Konstruirajmo fazni portret sustava, pod uvjetom da a preostali parametri su jednaki 1. U ovom slučaju dovoljan je jedan skup varijabli jer se kvalitativna neće promijeniti.

Kao što se može vidjeti na slikama ispod, nulta točka je nestabilan čvor, a druga točka, ako zamijenimo numeričke vrijednosti parametara, dobivamo (-1,5, -1,5) - sedlo.

Slika 2.4. Fazni portret za sustav (2.2)

Dakle, budući da ne bi trebalo doći do promjena, onda za ovaj sustav postoje samo nestabilna stanja, što je najvjerojatnije zbog mogućnosti neograničenog rasta.

Proto-model suradnje s dva ograničenja.

U ovom sustavu postoji dodatni ograničavajući faktor, pa bi se fazni dijagrami trebali razlikovati od prethodnog slučaja, kao što se može vidjeti na slici. Nulta točka je također nestabilan čvor, ali u ovom sustavu pojavljuje se stabilan položaj, odnosno stabilan čvor. S obzirom na parametre njegovih koordinata (5.5,5.5), prikazan je na slici.

Slika 2.5. Fazni portret za sustav (2.3)

Dakle, ograničenje na svaki termin omogućilo je postizanje stabilnog položaja sustava.

Model proširene protokolarne suradnje.

Izgradimo fazne portrete za prošireni model, ali odmah koristeći njegov modificirani oblik:

Razmotrimo četiri skupa parametara, kao da razmotrimo sve slučajeve s nultom točkom ravnoteže, i također demonstriramo fazne dijagrame numeričke simulacije koja se koristi za točku ravnoteže koja nije nula: skup A(1,0.5,0.5) odgovara država , skup B(1,0.5,-0.5) odgovara postavite C(-1,0.5,0.5) i postavite D(-1,0.5,-0.5) , odnosno stabilan čvor na nultočki. Prva dva skupa će pokazati fazne portrete za parametre koje smo razmatrali u numeričkoj simulaciji.

Slika 2.6. Fazni portret za sustav (2.4) s parametrima A-D.

Na slikama morate obratiti pozornost na točke (-1,2) i (1,-2), odnosno u njima se pojavljuje "sedlo". Za detaljniji prikaz, slika prikazuje različito mjerilo figure sa sedlom (1,-2). Na slici je vidljivo stabilno središte u točkama (1,2) i (-1,-2). Što se tiče nulte točke, od slike do slike na faznim dijagramima možemo jasno razlikovati nestabilan čvor, sedlo, sedlo i stabilan čvor.

Prošireni model proto-suradnje s logističkim ograničenjem.

Kao iu prethodnom modelu, demonstrirat ćemo fazne portrete za četiri slučaja nulte točke, a također ćemo pokušati uočiti rješenja koja nisu nula u ovim dijagramima. Da biste to učinili, uzmite sljedeće skupove parametara s parametrima navedenim u sljedećem redoslijedu (): A(2,1,2,1), B(2,1,1,2), C(1,2,2, 1) i D (1,2,1,2). Preostali parametri za sve skupove bit će sljedeći: , .

Na dolje prikazanim slikama mogu se promatrati četiri ravnotežna stanja nulte točke opisana u prethodnom odjeljku za ovaj dinamički sustav. I na slikama postoji stabilan položaj točke s jednom koordinatom različitom od nule.

Slika 2.7. Fazni portret za sustav (2.5) s parametrima A-B

3 Integralne putanje sustava

Model protokola suradnje s Verhulstovim ograničenjem

Kao iu prethodnom poglavlju, rješavat ćemo svaku od diferencijalnih jednadžbi zasebno i eksplicitno izraziti ovisnost varijabli o vremenskom parametru.

(2.8)

(2.9)

Iz dobivenih jednadžbi jasno je da vrijednost svake od varijabli raste, što je prikazano u trodimenzionalnom modelu u nastavku.

Slika 2.8. Trodimenzionalni model za jednadžbu (2.8)

Ovaj tip grafa na početku pomalo podsjeća na trodimenzionalnu sliku Malthusovog modela bez zasićenja, o kojem se govori u 1. poglavlju, budući da ima sličan brzi rast, no kasnije se može primijetiti smanjenje stope rasta zbog dostizanja ograničenje obima proizvodnje. Stoga je konačni izgled integralnih krivulja sličan grafu logističke jednadžbe koja je korištena za ograničavanje jednog od članova.

Proto-model suradnje s dva ograničenja.

Svaku od jednadžbi rješavamo pomoću Wolfram Alpha alata. Time se ovisnost funkcije x(t) svodi na sljedeći oblik:

(2.10)

Za drugu funkciju situacija je slična pa ćemo njeno rješenje izostaviti. Numeričke vrijednosti su se pojavile zbog zamjene parametara s određenim vrijednostima koje su im prikladne, što ne utječe na kvalitativno ponašanje integralnih krivulja. Na slikama ispod uočljiva je uporaba ograničenja rasta, budući da s vremenom eksponencijalni rast postaje logaritamski.

Slika 2.9. Trodimenzionalni model za jednadžbu (2.10)

Model proširene protokolarne suradnje

Gotovo sličan modelima za uzajamnost. Jedina razlika je brži rast u odnosu na te modele, kao što se može vidjeti iz dolje prikazanih jednadžbi (ako pogledate stupanj eksponencijala) i grafikona. Integralna krivulja treba imati oblik eksponencijalne.

(2.11)

(2.12)

Prošireni model suradnje protokola s logističkim ograničenjem

Odnos x(t) izgleda ovako:

Bez grafa je teško procijeniti ponašanje funkcije, pa ćemo ga pomoću već poznatih alata konstruirati.

Slika 2.10 Trodimenzionalni model za jednadžbu

Vrijednost funkcije opada za ne-male vrijednosti druge varijable, što je zbog nedostatka ograničenja na negativni bilinearni član, i očit je rezultat

4. Dinamika sustava interakcijskih poduzeća

Model protokola suradnje s Verhulstovim ograničenjem.

Konstruirajmo sustav (2.2). Koristeći nam već poznate alate, gradimo simulacijski model. Ovaj put, za razliku od uzajamnih modela, postojat će logističko ograničenje u modelu.

Slika 2.11. Model dinamike sustava za sustav (2.2)

Pokrenimo model. U ovom modelu valja istaknuti činjenicu da rast iz odnosa nije ničim ograničen, a rast proizvoda bez utjecaja drugog ima specifično ograničenje. Ako pogledate izraz same logističke funkcije, primijetit ćete da u slučaju kada varijabla (broj robe) premašuje maksimalni mogući skladišni volumen, termin postaje negativan. U slučaju da postoji samo logistička funkcija to je nemoguće, ali uz dodatni uvijek pozitivan faktor rasta to je moguće. A sada je važno razumjeti da će se logistička funkcija nositi sa situacijom ne prebrzog rasta broja proizvoda, na primjer, linearnih. Obratimo pozornost na slike ispod.

Slika 2.12. Primjer modela dinamike sustava za sustav (2.2)

Lijeva slika prikazuje 5. korak programa koji odgovara predloženom modelu. Ali trenutno je vrijedno obratiti pozornost na sliku s desne strane.

Prvo, jednom od ulaznih tokova za Y_stock uklonjena je povezanost s x, izražena u terminima . Ovo je učinjeno kako bi se pokazala razlika u izvedbi modela s linearnim, uvijek pozitivnim protokom i bilinearnim rastom, koji je predstavljen za X_stock. Kod linearnih neograničenih tokova, nakon prekoračenja K parametra, sustav u nekom trenutku dolazi u ravnotežu (u ovom modelu ravnotežno stanje je 200 tisuća jedinica robe). Ali mnogo ranije, bilinearni rast dovodi do naglog povećanja količine dobara, pretvarajući se u beskonačnost. Ako ostavimo i desnu i lijevu stalno pozitivnu struju kao bilinearnu, tada već na otprilike 20-30 koraku vrijednost akumulatora dolazi do razlike od dvije beskonačnosti.

Na temelju navedenog možemo sa sigurnošću reći da je u slučaju daljnjeg korištenja ovakvih modela potrebno ograničiti bilo kakav pozitivan rast.

Proto-model suradnje s dva ograničenja.

Utvrdivši nedostatke prethodnog modela i uvodeći ograničenje na drugi član faktorom zasićenja, izgradit ćemo i pokrenuti novi model.

Slika 2.13. Model dinamike sustava i primjer njegovog rada za sustav (2.3)

Ovaj model u konačnici donosi dugo očekivane rezultate. Bilo je moguće ograničiti rast skladišnih vrijednosti. Kao što se može vidjeti s desne slike za oba poduzeća, ravnoteža se postiže s blagim viškom skladišnog volumena.

Model proširene protokolarne suradnje.

Pri razmatranju sistemske dinamike ovog modela demonstrirat će se mogućnosti softverskog okruženja AnyLogic za živopisnu vizualizaciju modela. Svi dosadašnji modeli izgrađeni su samo koristeći elemente dinamike sustava. Stoga su sami modeli izgledali neupadljivo, nisu dopuštali praćenje dinamike promjene količine proizvoda tijekom vremena i mijenjanje parametara tijekom rada programa. U radu s ovim i sljedećim modelom pokušat ćemo iskoristiti širi raspon programskih mogućnosti kako bismo promijenili tri gore navedena nedostatka.

Prvo, u programu, uz odjeljak "dinamika sustava", program također sadrži odjeljak "slike" i "3D objekti", koji vam omogućuju diverzifikaciju modela, što je korisno za njegovu daljnju prezentaciju, jer čini model izgledaju “ugodnije”.

Drugo, za praćenje dinamike promjena u vrijednostima modela, postoji odjeljak "statistika" koji vam omogućuje dodavanje grafikona i raznih alata za prikupljanje podataka, povezujući ih s modelom.

Treće, za promjenu parametara i drugih objekata tijekom izvođenja modela, postoji odjeljak "kontrole". Objekti u ovom odjeljku omogućuju vam promjenu parametara dok je model pokrenut (na primjer, "klizač"), odabir različitih stanja objekta (na primjer, "switch") i izvođenje drugih radnji koje mijenjaju početno navedene podatke tijekom rada.

Model je prikladan za obrazovno upoznavanje s dinamikom promjena proizvoda poduzeća, ali nedostatak ograničenja rasta ne dopušta njegovu primjenu u praksi.

Prošireni model proto-suradnje s logističkim ograničenjem.

Koristeći gotov prethodni model, dodat ćemo parametre iz logističke jednadžbe kako bismo ograničili rast.

Konstrukciju modela ćemo izostaviti, jer su svi potrebni alati i principi rada s njima već demonstrirani u prethodnih pet modela prikazanih u radu. Samo je vrijedno napomenuti da je njegovo ponašanje slično modelu protokola suradnje s Verhulstovim ograničenjem. Oni. nedostatak zasićenja sprječava njegovu praktičnu upotrebu.

Nakon analize modela u uvjetima proto-suradnje, utvrdit ćemo nekoliko glavnih točaka:

Modeli o kojima se raspravlja u ovom poglavlju u praksi su prikladniji od uzajamnih, budući da imaju različite stabilne ravnotežne položaje čak i uz dva člana. Dopustite mi da vas podsjetim da smo u modelima uzajamnosti to uspjeli postići samo dodavanjem trećeg člana.

Odgovarajući modeli moraju imati ograničenja za svaki od članova, jer u suprotnom, naglo povećanje bilinearnih faktora "uništava" cijeli simulacijski model.

Na temelju točke 2., pri dodavanju faktora zasićenja proširenom proto-kooperacijskom modelu s Verhulstovim ograničenjem, kao i pri dodavanju niže kritične količine proizvodnje, model bi se trebao što više približiti stvarnom stanju stvari. Ali ne treba zaboraviti da će takve manipulacije sustavom komplicirati njegovu analizu.

Zaključak

Kao rezultat istraživanja provedena je analiza šest sustava koji opisuju dinamiku proizvodnje poduzeća koja međusobno utječu jedna na druga. Kao rezultat toga, ravnotežne točke i vrste njihove stabilnosti određene su na jedan od sljedećih načina: analitički, ili zahvaljujući izgrađenim faznim portretima u slučajevima kada analitičko rješenje iz nekog razloga nije moguće. Za svaki od sustava konstruirani su fazni dijagrami, kao i trodimenzionalni modeli, na koje je projiciranjem moguće dobiti integralne krivulje u ravninama (x,t), (y,t). Nakon toga, korištenjem okruženja za modeliranje AnyLogic, izgrađeni su svi modeli i razmotrene opcije za njihovo ponašanje pod određenim parametrima.

Nakon analize sustava i izgradnje njihovih simulacijskih modela, postaje očito da se ovi modeli mogu smatrati samo modelima za obuku, odnosno za opisivanje makroskopskih sustava, ali ne i sustavom za podršku odlučivanju za pojedinačna poduzeća, zbog njihove niske točnosti i na nekim mjestima. ne postoji potpuno pouzdan prikaz procesa koji se odvijaju. Ali isto tako ne treba zaboraviti da koliko god dinamički sustav koji opisuje model bio ispravan, svaka tvrtka/organizacija/industrija ima svoje vlastite procese i ograničenja, tako da nije moguće kreirati i opisati opći model. U svakom konkretnom slučaju, on će se modificirati: postati kompliciraniji ili, naprotiv, pojednostavljen za daljnji rad.

Prilikom izvlačenja zaključaka iz zaključaka za svako poglavlje, vrijedi se usredotočiti na utvrđenu činjenicu da uvođenje ograničenja na svaki od članova jednadžbe, iako komplicira sustav, ali također omogućuje otkrivanje stabilnih pozicija sustava, kao i približiti ga onome što se događa u stvarnosti. I vrijedno je napomenuti da su modeli protokolarne suradnje prikladniji za proučavanje, budući da imaju različite stabilne pozicije, za razliku od dva uzajamna modela koja smo razmatrali.

Time je cilj ovog istraživanja postignut i ciljevi ispunjeni. U budućnosti, kao nastavak ovog rada, razmatrat će se prošireni model interakcije vrste protokolarne suradnje s tri ograničenja koja su joj nametnuta: logistika, faktor zasićenja, niži kritični broj, što bi nam trebalo omogućiti stvaranje više precizan model za sustav podrške odlučivanju, kao i model s tri poduzeća. Kao produžetak rada možemo razmotriti još dvije vrste interakcije osim simbioze, koje su spomenute u radu.

Književnost

1. Bhatia Nam Parshad; Szegx Giorgio P. (2002). Teorija stabilnosti dinamičkih sustava. Springer.

2. Blanchard P.; Devaney, R.L.; Hall, G. R. (2006). Diferencijalne jednadžbe. London: Thompson. str. 96-111 (prikaz, ostalo).

Boeing, G. (2016). Vizualna analiza nelinearnih dinamičkih sustava: kaos, fraktali, samosličnost i granice predviđanja. Sustavi. 4 (4): 37.

4. Campbell, David K. (2004). Nelinearna fizika: svježi dah. Priroda. 432 (7016): 455-456.

Elton C.S. (1968) pretisak. Ekologija životinja. Velika Britanija: William Clowes and Sons Ltd.

7. Forrester Jay W. (1961). Industrijska dinamika. MIT Press.

8. Gandolfo, Giancarlo (1996). Ekonomska dinamika (treće izdanje). Berlin: Springer. str. 407-428 (prikaz, ostalo).

9. Gershenfeld Neil A. (1999). Priroda matematičkog modeliranja. Cambridge, UK: Cambridge University Press.

10. Goodman M. (1989). Study Notes in System Dynamics. Pegaz.

Grebogi C, Ott E i Yorke J (1987). Kaos, čudni atraktori i granice fraktalnog bazena u nelinearnoj dinamici. Science 238 (4827), str. 632-638.

12. Hairer Ernst; Nørsett Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi I: Nekruti problemi, Berlin, New York

Hanski I. (1999) Metapopulacijska ekologija. Oxford University Press, Oxford, str. 43-46 (prikaz, ostalo).

Hughes-Hallett Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Račun: jedna i više varijabli (6 izdanje). John Wiley.

15. Llibre J., Valls C. (2007). Globalni analitički prvi integrali za realni planarni Lotka-Volterra sustav, J. Math. Phys.

16. Jordan D.W.; Smith P. (2007). Nelinearne obične diferencijalne jednadžbe: Uvod za znanstvenike i inženjere (4. izdanje). Oxford University Press.

Khalil Hassan K. (2001). Nelinearni sustavi. Prentice Hall.

Sveučilište Lamar, Online matematičke bilješke - fazna ravnina, P. Dawkins.

Sveučilište Lamar, Online matematičke bilješke - Sustavi diferencijalnih jednadžbi, P. Dawkins.

Lang Serge (1972). Diferencijalni razdjelnici. Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.

Pravo Averill M. (2006). Simulacijsko modeliranje i analiza pomoću softvera Expertfit. McGraw-Hill znanost.

Lazard D. (2009). Trideset godina rješavanja polinomskih sustava, a sada? Journal of Symbolic Computation. 44 (3): 222-231.

24. Lewis Mark D. (2000). Obećanje pristupa dinamičkih sustava za integrirani prikaz ljudskog razvoja. Razvoj djeteta. 71 (1): 36-43.

25. Malthus T.R. (1798). Esej o principu populacije, u pretisku Oxford World's Classics, str. 61, kraj VII. poglavlja

26. Morecroft John (2007). Strateško modeliranje i poslovna dinamika: pristup sustavima povratnih informacija. John Wiley & sinovi.

27. Nolte D.D. (2015.), Uvod u modernu dinamiku: kaos, mreže, prostor i vrijeme, Oxford University Press.

Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja jednostavno je. Koristite obrazac u nastavku

Studenti, diplomanti, mladi znanstvenici koji koriste bazu znanja u svom studiju i radu bit će vam vrlo zahvalni.

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Vježbajte

kontrola automatske Nyquist frekvencije

Analizirajte dinamička svojstva sustava automatskog upravljanja specificirana blok dijagramom prikazanim na slici 1, uključujući sljedeće faze:

Izbor i obrazloženje istraživačkih metoda, konstrukcija matematičkog modela sustava automatskog upravljanja;

Računski dio, uključujući matematičko modeliranje sustava automatskog upravljanja na računalu;

Analiza stabilnosti matematičkog modela objekta upravljanja i sustava automatskog upravljanja;

Proučavanje stabilnosti matematičkog modela objekta upravljanja i sustava automatskog upravljanja.

Blok dijagram ACS koji se proučava, gdje su funkcije prijenosa upravljačkog objekta (OU), aktuatora (AM), senzora (D) i uređaja za korekciju (CU)

Vrijednosti koeficijenata K1, K2, K3, K4, T1, T2, T3 i T4 date su u tablici 1.

Mogućnost zadatka kolegija

	Mogućnosti

Uvod

Projektiranje automatizacije jedno je od najsloženijih i najvažnijih područja u inženjerstvu, stoga su poznavanje osnova automatizacije, predodžba o stupnju automatizacije u različitim tehnološkim procesima, alati za automatizaciju koji se koriste i osnove projektiranja nužni uvjeti za uspješan rad inženjera i tehnologa. Normalan rad svakog tehnološkog procesa karakteriziraju određene vrijednosti parametara, a ekonomičan i siguran rad opreme osigurava se održavanjem radnih parametara u potrebnim granicama. U svrhu normalnog rada opreme, kao i provedbe potrebnog tehnološkog procesa u svim toplinskim instalacijama, potrebno je uključiti sredstva automatizacije u razvoj dizajna. Trenutno se automatski sustavi upravljanja sve više koriste u svim sektorima nacionalnog gospodarstva, uključujući i poljoprivredu. To ne čudi, jer automatizaciju tehnoloških procesa karakterizira djelomična ili potpuna zamjena ljudskog operatera posebnim tehničkim sredstvima nadzora i upravljanja. Mehanizacija, elektrifikacija i automatizacija tehnoloških procesa osiguravaju smanjenje udjela teškog i nekvalificiranog fizičkog rada u poljoprivredi, što dovodi do povećanja njezine produktivnosti.

Dakle, potreba za automatizacijom tehnoloških procesa je očigledna i postoji potreba za učenjem kako izračunati parametre sustava automatskog upravljanja (ACS) za kasniju primjenu svojih znanja u praksi.

Predmetni rad uključuje analizu dinamičkih svojstava zadanog strukturnog dijagrama sustava automatskog upravljanja uz kompilaciju i analizu matematičkih modela objekata upravljanja.

1 . Analiza stabilnosti ACS pomoću Nyquistovog kriterija

Da bi se procijenila stabilnost sustava automatskog upravljanja, nema potrebe za određivanjem točnih vrijednosti korijena njegove karakteristične jednadžbe. Stoga je potpuno rješenje karakteristične jednadžbe sustava očito nepotrebno i možemo se ograničiti na korištenje jednog ili drugog neizravnog kriterija stabilnosti. Konkretno, nije teško pokazati da je za stabilnost sustava potrebno (ali ne i dovoljno) da svi koeficijenti njegove karakteristične jednadžbe imaju isti predznak ili je dovoljno da realni dijelovi svih korijena karakteristične jednadžbe su negativni. Ako stvarni dijelovi svih korijena karakteristične jednadžbe nisu negativni, tada je za određivanje stabilnosti ove ACS potrebno proučavati korištenjem drugih kriterija, jer ako prijenosna funkcija prema gornjem kriteriju pripada nestabilnom bloku u kojem nazivnik ima korijene s pozitivnim realnim dijelom, tada Ako su ispunjeni određeni uvjeti, zatvoreni sustav može biti stabilan iu ovom slučaju.

Najprikladnija metoda za proučavanje stabilnosti mnogih sustava upravljanja procesima je Nyquistov kriterij stabilnosti, koji se formira na sljedeći način.

Sustav koji je stabilan u otvorenom stanju ostat će stabilan čak i nakon što je zatvoren negativnom povratnom spregom, ako CFC hodograf u otvorenom stanju W(jš) ne pokriva točku s koordinatama (-1; j0) u kompleksnoj ravnini .

U gornjoj formulaciji Nyquistovog kriterija, smatra se da CFC hodograf W(jš) "ne pokriva" točku (-1; j0) ako je ukupni kut rotacije vektora povučenog iz navedene točke na hodograf W(jš) je jednak nuli kada se frekvencija promijeni od u=0 do sh > ?.

Ako hodograf frekvencijskog odziva W(jš) pri određenoj frekvenciji, koja se naziva kritična frekvencija schk, prolazi kroz točku (-1; j0), tada prijelazni proces u zatvorenom sustavu predstavlja neprigušene oscilacije s frekvencijom schk, tj. Sustav se nalazi na granici stabilnosti izraženoj na sljedeći način:

Ovdje je W(p) prijenosna funkcija sustava automatske regulacije s otvorenom petljom. Pretpostavimo da je sustav s otvorenom petljom stabilan. Tada je za stabilnost zatvorenog sustava automatskog upravljanja potrebno i dovoljno da hodograf amplitudno-fazne karakteristike W(jw) otvorenog sustava (ta se karakteristika dobiva iz W(p) zamjenom p=jw) ne pokriva točku s koordinatama (-1, j0). Frekvencija pri kojoj |W(jw)| = 1, naziva se granična frekvencija (w cf).

Da bi se procijenilo koliko je sustav daleko od granice stabilnosti, uvodi se koncept granica stabilnosti. Granica stabilnosti u amplitudi (modulu) pokazuje koliko je puta potrebno promijeniti duljinu radijus vektora AFC hodografa da bi se sustav doveo do granice stabilnosti bez promjene faznog pomaka. Za apsolutno stabilne sustave, granica stabilnosti modulo DK izračunava se pomoću formule:

gdje se frekvencija w 0 određuje iz relacije arg W(jw 0) = - 180 0.

Granica stabilnosti za amplitudu DK također se izračunava pomoću formule:

DK = 1 - 180 kn;

gdje je K 180 vrijednost koeficijenta prijenosa pri faznom pomaku od -180°.

Zauzvrat, margina fazne stabilnosti pokazuje koliko je potrebno povećati apsolutnu vrijednost AFC argumenta kako bi se sustav doveo do granice stabilnosti bez promjene vrijednosti modula.

Granica fazne stabilnosti Dj izračunava se formulom:

Dj = 180° - j K=1;

gdje je j K=1 vrijednost faznog pomaka pri koeficijentu prijenosa K = 1;

Vrijednost Dj = 180 0 + arg W (j; w av) određuje granicu fazne stabilnosti. Iz Nyquistovog kriterija slijedi da će ACS koji je stabilan u otvorenom stanju biti stabilan i u zatvorenom stanju ako fazni pomak na graničnoj frekvenciji ne dosegne -180°. Ispunjenje ovog uvjeta može se provjeriti konstruiranjem logaritamskih frekvencijskih karakteristika sustava automatske regulacije s otvorenom petljom.

2. Proučavanje stabilnosti ACS pomoću Nyquistovog kriterija

Studija stabilnosti prema Nyquistovom kriteriju analizom AFC-a s otvorenim ACS-om. Da bismo to učinili, razbijamo sustav kao što je prikazano na blok dijagramu ACS-a koji se proučava:

Blok dijagram samohodnog topa koji se proučava

Ispod su funkcije prijenosa kontrolnog objekta (OU), aktuatora (AM), senzora (D) i uređaja za korekciju (CU):

Vrijednosti koeficijenata za dodjelu su sljedeće:

Kl =1,0; K2 = 0,2; K3 = 2; K4 = 1,0; T1 = 0,4; T2 = 0,2; T3 = 0,07; T4 = 0,4.

Izračunajmo prijenosnu funkciju nakon raspada sustava:

W(p) = W ku (p) Ch W im (p) ChW ou (p) ChW d (p);

W(p) = H H H

Zamjenom zadanih koeficijenata u funkciju dobivamo:

Analizirajući ovu funkciju u programu za matematičko modeliranje (“MATLAV”), dobivamo hodograf amplitudno-fazno-frekvencijskog odziva (APFC) otvorenog ACS-a na kompleksnoj ravnini, prikazan na slici.

Hodograf fazno-frekvencijskog odziva otvorenog sustava automatskog upravljanja na kompleksnoj ravnini.

Studija stabilnosti samohodnih topova temeljenih na AFFC

Izračunavamo koeficijent prijenosa za fazni pomak od -180°, K 180 = 0,0395.

Granica stabilnosti za amplitudu DK prema formuli:

DK = 1 - K 180 = 1 - 0,0395 = 0,9605; gdje je K 180 = 0,0395.

Odredimo faznu marginu Dj:

Granica fazne stabilnosti Dj određena je formulom: Dj = 180° - j K=1 ; gdje je j K=1 vrijednost faznog pomaka pri koeficijentu transmisije K = 1. Ali budući da se j K=1 ne promatra u našem slučaju (amplituda je uvijek manja od jedinice), tada je sustav koji se proučava stabilan na bilo koja vrijednost faznog pomaka (ACS je stabilan u cijelom frekvencijskom području).

Proučavanje stabilnosti samohodnih topova pomoću logaritamskih karakteristika

Logaritamski amplitudno-frekvencijski odziv otvorenog sustava automatskog upravljanja

Logaritamska fazno-frekvencijska karakteristika otvorenog sustava automatskog upravljanja

Pomoću programa za matematičko modeliranje (“MATLAB”) dobivamo logaritamske karakteristike proučavane ACS, koje su prikazane na slici 4. (logaritamska amplitudno-frekvencijska karakteristika) i slici 5. (logaritamska fazno-frekvencijska karakteristika), gdje je;

L(w) = 20lg|W (j; w) |).

Logaritamski kriterij stabilnosti ACS je izraz Nyquistovog kriterija u logaritamskom obliku.

Da biste pronašli vrijednost faznog pomaka od 180° (Slika 5), ​​povucite vodoravnu crtu do sjecišta s LFCH, od te točke sjecišta povucite okomitu crtu do sjecišta s LFCH (Slika 4). Dobivamo vrijednost koeficijenta prijenosa za fazni pomak od 180°:

20lgK 180° = - 28,05862;

u ovom slučaju K 180 ° = 0,0395 (DK" = 28,05862).

Granica stabilnosti amplitude nalazi se produženjem okomite linije na vrijednost 20lgK 180° = 0.

Da bi se odredila margina fazne stabilnosti, vodi se vodoravna crta duž linije 20lgK 180 ° = 0 do sjecišta s LFC-om i okomita linija prolazi od ove točke do sjecišta s LFC-om. U ovom slučaju, razlika između pronađene vrijednosti faznog pomaka i faznog pomaka jednakog 180° bit će margina fazne stabilnosti.

Dj = 180° - jK;

Dj = 180° - 0 = 180°.

gdje je: j K - pronađena vrijednost faznog pomaka;

Budući da LFCH samohodnog topa koji se proučava leži ispod linije 20logK 180° = 0, stoga će samohodni top imati marginu fazne stabilnosti za bilo koju vrijednost faznog pomaka od nula do 180°.

Zaključak: nakon analize LFC i LFFC, slijedi da je ACS koji se proučava stabilan u cijelom frekvencijskom rasponu.

Zaključak

U ovom kolegiju sintetiziran je i proučavan sustav praćenja instrumenata korištenjem suvremenih metoda i alata teorije upravljanja. U ovom računalno-grafičkom radu pronašli smo prijenosnu funkciju zatvorenog sustava automatskog upravljanja pomoću zadanog strukturnog dijagrama i poznatih izraza za prijenosne funkcije dinamičkih veza.

Bibliografija

1. I.F. Borodin, Yu.A. Sudnik. Automatizacija tehnoloških procesa. Udžbenik za sveučilišta. Moskva. "Šiljak", 2004.

2. V.S. Gutnikov. Integrirana elektronika u mjernim uređajima. "Energoatomizdat". Lenjingradska podružnica, 1988.

3. N.N. Ivaščenko. Automatska regulacija. Teorija i elementi sustava. Moskva. "Strojarstvo", 1978.

Objavljeno na Allbest.ru

...

Slični dokumenti

Određivanje prijenosnih funkcija i prijelaznih karakteristika veza sustava automatskog upravljanja. Konstrukcija amplitudno-fazne karakteristike. Procjena stabilnosti sustava. Odabir uređaja za korekciju. Pokazatelji kvalitete regulacije.

kolegij, dodan 21.02.2016


Studija sustava upravljanja brzinom vrtnje motora sa i bez kruga korekcije. Procjena stabilnosti sustava prema Hurwitzovim, Mikhailovljevim i Nyquistovim kriterijima. Konstrukcija logaritamske amplitudno-frekvencijske i fazno-frekvencijske karakteristike.

kolegij, dodan 22.03.2015


Izrada sheme električnog principijelnog matematičkog modela sustava automatskog upravljanja, korigiranog korektivnim uređajima. Procjena stabilnosti izvornog sustava metodom Routh-Hurwitz. Sinteza željenog frekvencijskog odziva.

kolegij, dodan 24.03.2013


Karakteristike regulacijskog objekta (bubanj kotla), konstrukcija i način rada automatskog regulacijskog sustava, njegova funkcionalna shema. Analiza stabilnosti sustava prema Hurwitzovim i Nyquistovim kriterijima. Procjena kvalitete upravljanja na temelju prijelaznih funkcija.

kolegij, dodan 13.09.2010


Svrha automatskog upravljačkog sustava za poprečni pomak tijekom brušenja uranjanjem. Izrada funkcionalnog dijagrama. Proračun prijenosnih funkcija pretvarača, elektromotora, mjenjača. Određivanje stabilnosti prema Nyquistovom kriteriju.

kolegij, dodan 12.08.2014


Metodologija određivanja stabilnosti sustava korištenjem algebarskih (Rouseov i Hurwitzov kriterij) i frekvencijskog kriterija stabilnosti (Mikhailovljev i Nyquistov kriterij), procjena točnosti njihovih rezultata. Značajke sastavljanja prijenosne funkcije za zatvoreni sustav.

laboratorijski rad, dodan 15.12.2010


Konstrukcija elementarnog sklopa i proučavanje principa rada sustava automatskog upravljanja, njegovo značenje u implementaciji metode podešavanja AIDS sustava. Glavni elementi sustava i njihov odnos. Analiza stabilnosti sklopa i njegovih optimalnih frekvencija.

test, dodan 09/12/2009


Određivanje prijenosne funkcije sustava s otvorenom petljom, standardni oblik njezina snimanja i stupanj astatizma. Proučavanje amplitudno-faznih, stvarnih i imaginarnih frekvencijskih karakteristika. Konstrukcija AFFC hodografa. Routhov i Hurwitzov algebarski kriterij.

kolegij, dodan 09.05.2011


Uvođenje novih funkcija koje utječu na rad crpne cirkulacijske stanice u čeličani. Ugradnja kontrolno-mjerne opreme. Mikhailovljevi kriteriji stabilnosti i amplitudno-fazni Nyquistovi kriteriji. Modernizacija sustava.

diplomski rad, dodan 19.01.2017


Funkcionalna shema sustava za automatsku regulaciju temperature dovodnog zraka u skladištu krumpira. Definicija zakona regulacije sustava. Analiza stabilnosti prema Hurwitzovim i Nyquistovim kriterijima. Kvaliteta upravljanja za prijelazne funkcije.

Uvod 4

Apriorna analiza dinamičkih sustava 5

Prolazak slučajnog signala kroz linearni sustav 5

Evolucija faznog vektora sustava 7

Evolucija matrice kovarijance faznog vektora sustava 8

Statistička linearizacija 8

Prva metoda 9

Druga metoda 10

Izračun koeficijenata linearizacije 10

Dvosmislenost u nelinearnim vezama 14

Nelinearna veza pokrivena povratnom spregom 15

Modeliranje slučajnih procesa 16

Filter za oblikovanje 16

Simulacija bijelog šuma 17

Procjena statističkih karakteristika dinamičkih sustava Monte Carlo metodom 18

Točnost procjene 18

Neustaljeni dinamički sustavi 20

Stacionarni dinamički sustavi 21

Aposteriorna analiza dinamičkih sustava 22

Kalmanov filter 22

Obrazac kretanja 22

Mjerni model 23

Ispravak 23

Prognoza 23

Procjena 23

Korištenje Kalmanovog filtriranja u nelinearnim problemima 25

Metoda najmanjih kvadrata 27

Izrada procjena 27

Prognoza 29

Korištenje metode najmanjih kvadrata u nelinearnim problemima 29

Konstrukcija Cauchyjeve matrice 30

Simulacija dimenzije 30

Numeričke metode 31

Posebne funkcije 31

Modeliranje slučajnih varijabli 31

Jednoliko raspoređene slučajne varijable 31

Gaussove slučajne varijable 32

Slučajni vektori 33

Integral vjerojatnosti 34

Čebiševljevi polinomi 36

Integracija običnih diferencijalnih jednadžbi 36

Runge-Kutta metode 36

Točnost rezultata numeričke integracije 37

Ugniježđena Dorman-Princeova metoda 5(4) red 37

Metode u više koraka 39

Adamsove metode 39

Integracija jednadžbi s argumentom zaostajanja 40

Usporedba računalnih kvaliteta metoda 40

Arenstorffov problem 40

Eliptične Jacobijeve funkcije 41

Problem dva tijela 41

Van der Polova jednadžba 42

Brusselator 42

Lagrangeova jednadžba za viseću vrpcu 42

"Plejade" 42

Izrada obrazloženja 43

Naslovna stranica 43

Odjeljak "Uvod" 44

Odjeljak "Teorija" 44

Odjeljak "Algoritam" 44

Odjeljak "Program" 45

Odjeljak "Rezultati" 45

Odjeljak “Zaključci” 45

Rubrika “Popis korištenih izvora” 45

Prijave 45

Književnost 47

Uvod

Ovaj udžbenik sadrži metodičke upute za izradu projektnih zadataka kolegija i izvođenje vježbe iz kolegija Osnove statističke dinamike.

Cilj izrade kolegija i praktične nastave je da studenti ovladaju tehnologijom apriorne i aposteriorne analize nelinearnih dinamičkih sustava pod utjecajem slučajnih poremećaja.

Apriorna analiza dinamičkih sustava

Statistička linearizacija

Statistička linearizacija omogućuje transformaciju izvornog nelinearnog dinamičkog sustava tako da za njegovu analizu možete koristiti metode, algoritme i odnose koji vrijede za linearne sustave.

Ovaj odjeljak posvećen je prikazu metode statističke linearizacije, temeljene na najjednostavnijem aproksimativnom pristupu koji je predložio prof. tj. Kazakova, što ipak omogućuje konstruiranje procjena točnosti sustava koji sadrži čak i značajne nelinearnosti s diskontinuiranim karakteristikama.

Statistička linearizacija sastoji se od zamjene izvorne nelinearne ovisnosti između ulaznog i izlaznog procesa bez inercije s takvom približnom ovisnošću, linearnom u odnosu na centrirani ulazni slučajni proces, koja je u statističkom smislu ekvivalentna u odnosu na izvornu:

Veza koja ima takav približan odnos između ulaznog i izlaznog signala naziva se ekvivalentom nelinearne veze koja se razmatra.

Vrijednost se bira na temelju uvjeta jednakosti matematičkih očekivanja nelinearnih i lineariziranih signala i naziva se statistička prosječna karakteristika ekvivalentne veze:

,

gdje je gustoća distribucije ulaznog signala.

Za nelinearne veze s neparnim karakteristikama, tj. na , zgodno je prikazati statističku karakteristiku u obliku:

– matematičko očekivanje ulaznog signala;
– statistički dobitak ekvivalentne veze za prosječnu komponentu.

Da. ekvivalentna ovisnost u ovom slučaju ima oblik:

Karakteristika se naziva statistički dobitak ekvivalentne veze za slučajnu komponentu (fluktuacije) i određuje se na dva načina.

Prvi način

U skladu s prvom metodom statističke linearizacije, koeficijent se odabire na temelju uvjeta jednakosti varijanci izvornog i ekvivalentnog signala. Da. Za izračun dobivamo sljedeću relaciju:

,

gdje je varijanca ulaznog slučajnog učinka.

Predznak u izrazu za određen je prirodom ovisnosti u blizini vrijednosti argumenta. Ako raste, tada je , a ako se smanjuje, tada je .

Drugi način

Vrijednost u drugoj metodi odabire se iz uvjeta minimiziranja srednje kvadratne pogreške linearizacije:

Konačni odnos za izračun koeficijenta pomoću druge metode je:

.

Zaključno, napominjemo da niti jedna od dvije metode linearizacije o kojima se raspravljalo ne osigurava jednakost korelacijskih funkcija izlaznih signala nelinearne i ekvivalentne veze. Izračuni pokazuju da za korelacijsku funkciju nelinearnog signala prva metoda odabira daje gornju procjenu, a druga metoda daje donju ocjenu, tj. pogreške u određivanju korelacijske funkcije nelinearnog izlaznog signala imaju različite predznake. prof. tj. Kazakov, autor ovdje navedene metode, preporuča odabir polovice zbroja koeficijenata dobivenih prvom i drugom metodom kao rezultirajući koeficijent linearizacije.

Filtar za oblikovanje

Obično se parametri određuju izjednačavanjem koeficijenata polinoma brojnika i nazivnika u jednadžbi

na istim stupnjevima.

Nakon određivanja prijenosne funkcije filtra za oblikovanje, rezultirajuća shema simulacije slučajnog procesa izgleda kao što je prikazano na slici.

Na primjer, spektralna gustoća procesa koji se modelira ima oblik:

,

matematičko očekivanje, a za modeliranje bijelog šuma s intenzitetom koristi se, dakle, jedinična spektralna gustoća.

Očito je da brojnik i nazivnik željene prijenosne funkcije moraju imati redove 1 i 2 (zapravo, kvadrirana modulo, prijenosna funkcija čini kvocijent polinoma 2. i 4. stupnja)

Da. Prijenosna funkcija filtra za oblikovanje u svom najopćenitijem obliku je sljedeća:

,

i kvadrat njegovog modula:

Izjednačimo dobivene omjere:

Izvadimo jednakosti iz zagrada i na desnu stranu, čime ćemo izjednačiti koeficijente na nultim potencijama:

,

odakle očito slijede jednakosti:

; ; ; .

Da. Blok dijagram formiranja slučajnog procesa sa zadanim statističkim karakteristikama iz bijelog šuma s jediničnom spektralnom gustoćom izgleda kao što je prikazano na slici, uzimajući u obzir izračunate vrijednosti parametara filtera za formiranje.

Simulacija bijelog šuma

Za modeliranje slučajnog procesa sa zadanim statističkim karakteristikama, bijeli šum se koristi kao ulazni slučajni proces u filtar za oblikovanje. Međutim, točno modeliranje bijelog šuma nije izvedivo zbog beskonačne varijance ovog slučajnog procesa.

Iz tog razloga, postupak nasumičnog koraka koristi se kao zamjena za bijeli šum koji utječe na dinamički sustav. Interval tijekom kojeg implementacija slučajnog procesa zadržava nepromijenjenu vrijednost (širina koraka, interval korelacije) je konstantna vrijednost. Same vrijednosti implementacije (visine koraka) su slučajne varijable raspoređene prema normalnom zakonu s nultim matematičkim očekivanjem i ograničenom varijancom. Vrijednosti procesnih parametara - korelacijski interval i disperzija - određene su karakteristikama dinamičkog sustava na koje utječe bijeli šum.

Ideja metode temelji se na ograničenoj propusnosti bilo kojeg stvarnog dinamičkog sustava. Oni. pojačanje stvarnog dinamičkog sustava opada kako frekvencija ulaznog signala raste, pa stoga postoji frekvencija (manja od beskonačne) za koju je pojačanje sustava toliko malo da se može postaviti na nulu. A to pak znači da će ulazni signal s konstantnom, ali ovom frekvencijom ograničenom spektralnom gustoćom, za takav sustav biti ekvivalent bijelom šumu (s konstantnom i beskonačnom spektralnom gustoćom).

Parametri ekvivalentnog slučajnog procesa - korelacijski interval i varijanca - izračunavaju se na sljedeći način:

gdje je empirijski određena granica propusnosti dinamičkog sustava.

Točnost procjena

Procjene očekivanja

i varijanca

slučajne varijable, konstruirane na temelju obrade ograničenog uzorka njezinih implementacija, same su slučajne varijable.

Očito, što je veća veličina uzorka implementacija, točnija je nepristrana procjena, to je bliža stvarnoj vrijednosti procijenjenog parametra. Ispod su približne formule temeljene na pretpostavci njihove normalne distribucije. Simetrični relativni interval pouzdanosti za procjenu koja odgovara vjerojatnosti pouzdanosti određen je vrijednošću za koju odnos vrijedi:

,

Gdje
– prava vrijednost matematičkog očekivanja slučajne varijable,
– standardna devijacija slučajne varijable,
– integral vjerojatnosti.

Na temelju gornjeg odnosa, vrijednost se može odrediti na sljedeći način:

,

gdje je funkcija inverzna integralu vjerojatnosti.

Budući da ne znamo točno karakteristiku disperzije procjene, upotrijebit ćemo njezinu približnu vrijednost izračunatu korištenjem procjene:

Da. Konačni odnos između točnosti procjene matematičkog očekivanja i veličine uzorka korištenog za procjenu je sljedeći:

.

To znači da je vrijednost intervala pouzdanosti (s konstantnom vrijednošću vjerojatnosti pouzdanosti) smještena simetrično u odnosu na , izražena kao razlomak procjene standardne devijacije, obrnuto proporcionalna kvadratnom korijenu veličine uzorka.

Interval pouzdanosti za procjenu varijance određuje se na sličan način:

s točnošću od , koja se, u nedostatku točnijih informacija, može približno odrediti iz odnosa:

Da. vrijednost intervala pouzdanosti (pri konstantnoj vrijednosti vjerojatnosti pouzdanosti), smještena simetrično u odnosu na , izražena u njegovim udjelima, obrnuto je proporcionalna kvadratnom korijenu vrijednosti, gdje je veličina uzorka.

Točnije formule za konstrukciju intervala pouzdanosti za procjene mogu se dobiti korištenjem točnih informacija o zakonu distribucije slučajne varijable.

Na primjer, za Gaussov zakon distribucije, slučajna varijabla

poštuje Studentov zakon distribucije sa stupnjem slobode i slučajnu varijablu

raspoređeni prema zakonu također sa stupnjem slobode.

Kalmanov filter

Model kretanja

Kao što je poznato, Kalmanov filtar dizajniran je za procjenu vektora stanja linearnog dinamičkog sustava, čiji se evolucijski model može napisati kao:

Gdje
– Cauchyjeva matrica, koja određuje promjenu vektora stanja sustava u vlastitom gibanju (bez utjecaja upravljanja i šuma) s vremena na vrijeme;
– vektor prisiljavanja neslučajnih utjecaja na sustav (na primjer, upravljačke akcije) u trenutku vremena;
– matrica utjecaja prisilnih utjecaja u određenom trenutku na vektor stanja sustava u određenom trenutku;
– vektor slučajnih neovisnih centriranih utjecaja na sustav u određenom trenutku;
– matrica utjecaja slučajnih utjecaja u trenutku vremena na vektor stanja sustava u trenutku vremena.

Mjerni model

Procjena se provodi na temelju statističke obrade rezultata mjerenja linearno povezanih s vektorom stanja i iskrivljenih aditivnom nepristranom pogreškom:

gdje je matrica koja povezuje vektore stanja i mjerenja u istoj vremenskoj točki.

Ispravak

Kalmanov filtar temelji se na relacijama korekcije koje su rezultat minimiziranja traga matrice kovarijance posteriorne gustoće distribucije linearne (duž vektora mjerenja) procjene vektora stanja sustava:

Prognoza

Nadopunjavanje korekcijskih relacija relacijama prognoze temeljenim na linearnim svojstvima modela evolucije sustava:

gdje je kovarijancijska matrica vektora, dobivamo formule za rekurentni Bayesov algoritam za procjenu vektora stanja sustava i njegovu kovarijancijsku matricu na temelju statističke obrade rezultata mjerenja.

Procjena

Očito, za implementaciju gornjih odnosa, potrebno je moći konstruirati matrice, iz modela evolucije, matrice iz modela mjerenja, kao i matrice kovarijancije za svaki trenutak u vremenu.

Osim toga, da bi se pokrenuo računalni proces, potrebno je na neki način odrediti aposteriorne ili apriorne procjene vektora stanja i njegove matrice kovarijance. Pojam “a priori” ili “a posteriori” u ovom slučaju označava samo kvalitetu u kojoj će se vektor stanja i njegova matrica kovarijance koristiti u računskom algoritmu, a ne govori ništa o tome kako su dobiveni.

Stoga je izbor omjera od kojeg će se započeti izračuni određen vremenskim točkama u kojima se dodjeljuju početni uvjeti filtriranja i prvi neobrađeni vektor mjerenja. Ako se vremenske točke podudaraju, tada se prvo trebaju primijeniti relacije korekcije, omogućujući razjašnjenje početnih uvjeta; ako ne, tada se prvo trebaju predvidjeti početni uvjeti u trenutku vezanja prvog neobrađenog vektora mjerenja.

Objasnimo Kalmanov algoritam filtriranja pomoću slike.

Na slici je prikazano nekoliko mogućih putanja faznog vektora u koordinatnim osima (u kanalu gibanja):

– prava trajektorija evolucije faznog vektora;
– evolucija faznog vektora, predviđena na temelju upotrebe modela gibanja i apriorne procjene faznog vektora vezane uz trenutak u vremenu;
– evolucija faznog vektora, predviđena na temelju korištenja modela gibanja i aposteriorne (točnije) procjene faznog vektora vezane uz trenutak u vremenu

U koordinatnim osima (u mjernom kanalu) u trenucima vremena i rezultatima mjerenja prikazani su:

,

Gdje
– prava vrijednost mjernog vektora u trenutku vremena;
– vektor grešaka mjerenja ostvarenih u vremenu .

Za konstrukciju korekcije apriornog faznog vektora sustava koristi se razlika između rezultata mjerenja i vrijednosti koja bi bila izmjerena prema mjernom modelu problema da fazni vektor stvarno ima vrijednost . Kao rezultat primjene korekcijskih relacija na apriorne procjene, ocjena faznog vektora sustava bit će nešto preciznija i poprimit će vrijednost , što će omogućiti točnije (barem u blizini vremena ) predvidjeti ponašanje faznog vektora proučavanog dinamičkog sustava pomoću modela problemskog gibanja.

U određenom trenutku, rezultat prognoze se koristi kao apriorna procjena na putanji koja prolazi kroz fazni vektor ponovno se konstruira mjerna razlika iz koje se izračunava aposteriorna, još točnija vrijednost itd. sve dok postoje mjerni vektori za obradu ili postoji potreba za predviđanjem ponašanja faznog vektora.

Metoda najmanjeg kvadrata

Ovaj odjeljak predstavlja metodu najmanjih kvadrata prilagođenu za aposteriornu analizu dinamičkih sustava.

Izrada procjena

Za slučaj linearnog modela mjerenja jednake preciznosti:

imamo sljedeći algoritam za procjenu faznog vektora:

.

Za slučaj nejednakih mjerenja u razmatranje se uvodi matrica koja sadrži težinske koeficijente na dijagonali. Uzimajući u obzir težinske koeficijente, prethodni odnos će imati oblik:

.

Ako kao matricu ponderiranja koristimo inverznu matricu kovarijancijskih pogrešaka mjerenja, uzimajući u obzir činjenicu da dobivamo:

.

Kao što slijedi iz gornjih relacija, temelj metode je matrica koja povezuje procijenjeni fazni vektor, koji se odnosi na određenu točku u vremenu, i mjerni vektor. Vektor, u pravilu, ima blok strukturu, u kojoj je svaki od blokova dodijeljen određenoj točki u vremenu, koja se općenito ne podudara s .

Na slici su prikazani neki mogući relativni položaji trenutaka u vremenu kojima su mjerenja pridružena i trenutka u vremenu kojem je pripisan vektor procijenjenih parametara.

Za svaki vektor vrijedi sljedeća relacija:

, u .

Dakle, u rezultirajućoj relaciji najmanjih kvadrata, vektor i matrica imaju sljedeću strukturu:

; .

Gdje
– određuje neslučajni učinak prisile na sustav;
– određuje slučajni utjecaj na sustav.

mogu se koristiti relacije predviđanja na koje se susreće gore u opisu Kalmanovog algoritma filtriranja:

gdje je matrica kovarijacije vektora.

Konstrukcija Cauchyjeve matrice

U problemima konstruiranja procjena pomoću metoda statističke obrade mjerenja često se susreće problem konstruiranja Cauchyjeve matrice. Ova matrica povezuje fazne vektore sustava, dodijeljene različitim trenucima vremena, u vlastitom gibanju.

U ovom odjeljku ograničit ćemo se na razmatranje pitanja vezanih uz konstrukciju Cauchyjeve matrice za evolucijski model, napisanu u obliku sustava običnih diferencijalnih jednadžbi (linearnih ili nelinearnih).

gdje se za matrice proporcionalnosti konstruirane u blizini referentne putanje koristi sljedeća oznaka:

; .

Simulacija mjerenja

Problem nastaje kada npr. prilikom procjene potencijalno ostvarive točnosti metode u određenom zadatku nemate niti jedan rezultat mjerenja. U tom slučaju potrebno je simulirati rezultate mjerenja. Osobitost modeliranja rezultata mjerenja je u tome što se modeli kretanja i mjerenja koji se koriste u tu svrhu možda neće podudarati s modelima koje ćete koristiti pri izradi procjena pomoću jedne ili druge metode filtriranja.

Prave vrijednosti koordinata ovog vektora trebaju se koristiti kao početni uvjeti za modeliranje evolucije faznog vektora dinamičkog sustava. Osim na ovom mjestu, prave koordinate faznog vektora sustava ne bi se trebale koristiti nigdje drugdje.

Numeričke metode

Posebne značajke

Slučajni vektori

Problem, čije je rješenje opisano u ovom pododjeljku, sastoji se u modeliranju vektora Gaussovih slučajnih varijabli koje su međusobno korelirane.

Neka se slučajni vektor koji se modelira formira na temelju transformacije vektora standardnih nekoreliranih slučajnih varijabli odgovarajuće dimenzije na sljedeći način: s točnošću od 4 znamenke, na temelju proširenja u nizove u potencijama argumenta za njegova tri intervala.

Kada zbroj asimptotskog niza postane gotovo jednak 1.