Règle de résolution de l'algorithme pour les inégalités trigonométriques simples. Résoudre des inégalités trigonométriques simples
Projet d'algèbre « Solution » inégalités trigonométriques» Réalisé par un élève de 10e année « B » Kazachkova Yulia Superviseur : professeur de mathématiques Kochakova N.N.
Objectif Consolider le matériel sur le thème «Résoudre les inégalités trigonométriques» et créer un rappel pour que les étudiants se préparent à l'examen à venir.
Objectifs : Résumer le matériel sur ce sujet. Systématiser les informations reçues. Considérer ce sujetà l'examen d'État unifié.
Pertinence La pertinence du sujet que j'ai choisi réside dans le fait que des tâches sur le thème « Résoudre les inégalités trigonométriques » sont incluses dans les tâches de l'examen d'État unifié.
Inégalités trigonométriques Une inégalité est une relation reliant deux nombres ou expressions par l'un des signes : (supérieur à) ; ≥ (supérieur ou égal à). Une inégalité trigonométrique est une inégalité contenant fonctions trigonométriques.
Inégalités trigonométriques La solution des inégalités contenant des fonctions trigonométriques se réduit, en règle générale, à la solution des inégalités les plus simples de la forme : sin x>a, sin x une, parce que x un, tg x a, ctg x
Algorithme de résolution des inégalités trigonométriques Sur l'axe correspondant à une fonction trigonométrique donnée, marquez ceci valeur numérique cette fonction. Tracez une ligne passant par le point marqué coupant le cercle unité. Sélectionnez les points d'intersection d'une droite et d'un cercle en tenant compte du signe d'inégalité stricte ou non stricte. Sélectionnez l'arc de cercle sur lequel se situent les solutions de l'inégalité. Déterminez les valeurs d'angle aux points de départ et d'arrivée de l'arc de cercle. Écrivez la solution de l'inégalité en tenant compte de la périodicité de la fonction trigonométrique donnée.
Formules pour résoudre les inégalités trigonométriques sinx >a ; x (arcsin a + 2πn ; π- arcsin a + 2πn). péché un; x (- arccos a + 2πn ; arccos a + 2πn). cosxun; x (arctg a + πn ; + πn). tgx un; x (πn ; arctan + πn). ctgx
Solution graphique des inégalités trigonométriques de base sinx >a
Solution graphique des inégalités trigonométriques de base sinx Solution graphique des inégalités trigonométriques de base cosx >a Solution graphique des inégalités trigonométriques de base cosx Solution graphique des inégalités trigonométriques de base tgx >a Solution graphique des inégalités trigonométriques de base tgx Solution graphique des inégalités trigonométriques de base ctgx >a
Lors de la résolution d'inégalités contenant des fonctions trigonométriques, elles sont réduites aux inégalités les plus simples de la forme cos(t)>a, sint(t)=a et similaires. Et déjà les inégalités les plus simples sont résolues. Examinons divers exemples de façons de résoudre des inégalités trigonométriques simples.
Exemple 1. Résolvez l’inégalité sin(t) > = -1/2.
Tracez un cercle unité. Puisque sin(t) est par définition la coordonnée y, nous marquons le point y = -1/2 sur l'axe Oy. Nous traçons une ligne droite à travers lui, parallèle à l'axe Oh. A l'intersection de la droite avec le graphique du cercle unité, marquez les points Pt1 et Pt2. On relie l'origine des coordonnées aux points Pt1 et Pt2 par deux segments.
La solution de cette inégalité sera tous les points du cercle unité situés au-dessus de ces points. En d'autres termes, la solution sera l'arc L. Il faut maintenant indiquer les conditions dans lesquelles un point arbitraire appartiendra à l'arc L.
Pt1 se situe dans le demi-cercle droit, son ordonnée est -1/2, alors t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Pour décrire le point Pt1, vous pouvez écrire la formule suivante :
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. En conséquence, nous obtenons l’inégalité suivante pour t :
Nous préservons les inégalités. Et comme la fonction sinusoïdale est périodique, cela signifie que les solutions seront répétées tous les 2*pi. Nous ajoutons cette condition à l'inégalité résultante pour t et notons la réponse.
Réponse : -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Exemple 2. Résoudre l’inégalité cos(t)<1/2.
Traçons un cercle unité. Puisque, selon la définition, cos(t) est la coordonnée x, nous marquons le point x = 1/2 sur le graphique sur l'axe Ox.
On trace une ligne droite passant par ce point parallèle à l'axe Oy. A l'intersection de la droite avec le graphique du cercle unité, marquez les points Pt1 et Pt2. On relie l'origine des coordonnées aux points Pt1 et Pt2 par deux segments.
Les solutions seront tous les points du cercle unité qui appartiennent à l'arc L. Trouvons les points t1 et t2.
t1 = arccos(1/2) = pi/3.
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.
Nous avons l’inégalité pour t : pi/3 Le cosinus étant une fonction périodique, les solutions seront répétées tous les 2*pi. Nous ajoutons cette condition à l'inégalité résultante pour t et notons la réponse. Réponse : pi/3+2*pi*n Exemple 3. Résoudre l'inégalité tg(t)< = 1. La période tangente est égale à pi. Trouvons des solutions qui appartiennent au demi-cercle droit de l'intervalle (-pi/2;pi/2). Ensuite, en utilisant la périodicité de la tangente, nous notons toutes les solutions de cette inégalité. Traçons un cercle unité et marquons dessus une ligne de tangentes. Si t est une solution de l'inégalité, alors l'ordonnée du point T = tg(t) doit être inférieure ou égale à 1. L'ensemble de ces points constituera le rayon AT. L'ensemble des points Pt qui correspondront aux points de ce rayon est l'arc l. De plus, le point P(-pi/2) n'appartient pas à cet arc. Au cours de la leçon pratique, nous répéterons les principaux types de tâches du thème « Trigonométrie », analyserons en outre des problèmes de complexité accrue et considérerons des exemples de résolution de diverses inégalités trigonométriques et de leurs systèmes. Cette leçon vous aidera à vous préparer à l'un des types de tâches B5, B7, C1 et C3. Commençons par passer en revue les principaux types de tâches que nous avons abordées dans le sujet « Trigonométrie » et résolvons plusieurs problèmes non standard. Tâche n°1. Convertir les angles en radians et degrés : a) ; b) . a) Utilisons la formule pour convertir les degrés en radians Remplaçons-y la valeur spécifiée. b) Appliquer la formule de conversion des radians en degrés Effectuons la substitution Répondre. UN) ; b) . Tâche n°2. Calculer : a) ; b) . a) Puisque l'angle dépasse largement le tableau, nous allons le réduire en soustrayant la période sinusoïdale. Parce que L'angle est indiqué en radians, on considérera alors la période comme . b)B dans ce cas la situation est similaire. Puisque l’angle est indiqué en degrés, nous considérerons la période de la tangente comme . L'angle résultant, bien que plus petit que la période, est plus grand, ce qui signifie qu'il ne se réfère plus à la partie principale, mais à la partie étendue du tableau. Afin de ne pas entraîner une nouvelle fois votre mémoire en mémorisant le tableau étendu des valeurs trigofonctionnelles, soustrayons à nouveau la période tangente : Nous avons profité de la bizarrerie de la fonction tangente. Répondre. une) 1 ; b) . Tâche n°3. Calculer Réduisons l'expression entière aux tangentes en divisant le numérateur et le dénominateur de la fraction par . En même temps, nous ne pouvons pas avoir peur, car dans ce cas, la valeur tangente n’existerait pas. Tâche n°4. Simplifiez l'expression. Les expressions spécifiées sont converties à l'aide de formules de réduction. Ils sont tout simplement inhabituellement écrits en utilisant des diplômes. La première expression représente généralement un nombre. Simplifions toutes les trigofonctions une à une : Parce que , alors la fonction se transforme en cofonction, c'est-à-dire à la cotangente, et l'angle tombe dans le deuxième quart, dans lequel la tangente d'origine a un signe négatif. Pour les mêmes raisons que dans l’expression précédente, la fonction se transforme en cofonction, c’est-à-dire à la cotangente, et l'angle tombe dans le premier quart, dans lequel la tangente d'origine a un signe positif. Remplaçons le tout par une expression simplifiée : Problème n°5. Simplifiez l'expression. Écrivons la tangente du double angle en utilisant la formule appropriée et simplifions l'expression : La dernière identité est l'une des formules universelles de remplacement du cosinus. Problème n°6. Calculer. L'essentiel est de ne pas commettre l'erreur classique de ne pas donner la réponse selon laquelle l'expression est égale à . Vous ne pouvez pas utiliser la propriété de base de l’arctangente tant qu’il y a un facteur sous la forme de deux à côté d’elle. Pour s'en débarrasser, nous écrirons l'expression selon la formule de la tangente d'un angle double, en traitant , comme un argument ordinaire. Nous pouvons maintenant appliquer la propriété de base de l’arctangente ; rappelez-vous qu’il n’y a aucune restriction sur son résultat numérique. Problème n°7. Résous l'équation. Lors de la résolution d'une équation fractionnaire égale à zéro, il est toujours indiqué que le numérateur est égal à zéro, mais pas le dénominateur, car Vous ne pouvez pas diviser par zéro. La première équation est un cas particulier de l’équation la plus simple pouvant être résolue à l’aide d’un cercle trigonométrique. Rappelez-vous vous-même cette solution. La deuxième inégalité est résolue comme l'équation la plus simple en utilisant la formule générale des racines de la tangente, mais uniquement avec le signe différent. Comme nous le voyons, une famille de racines exclut une autre famille exactement du même type de racines qui ne satisfait pas à l’équation. Ceux. il n'y a pas de racines. Répondre. Il n'y a pas de racines. Problème n°8. Résous l'équation. Notons tout de suite qu'on peut retirer le facteur commun et faisons-le : L'équation a été réduite à l'une des formes standard, où le produit de plusieurs facteurs est égal à zéro. On sait déjà que dans ce cas, soit l'un d'eux est égal à zéro, soit l'autre, soit le troisième. Écrivons cela sous la forme d'un ensemble d'équations : Les deux premières équations sont des cas particuliers des plus simples ; nous avons déjà rencontré plusieurs fois des équations similaires, nous indiquerons donc immédiatement leurs solutions. Nous réduisons la troisième équation à une fonction en utilisant la formule du sinus à double angle. Résolvons la dernière équation séparément : Cette équation n'a pas de racines, car la valeur sinusoïdale ne peut pas dépasser Ainsi, la solution n'est constituée que des deux premières familles de racines ; elles peuvent être combinées en une seule, ce qui est facile à montrer sur le cercle trigonométrique : Il s'agit d'une famille composée de toutes les moitiés, c'est-à-dire Passons à la résolution des inégalités trigonométriques. Tout d'abord, nous analyserons l'approche pour résoudre l'exemple sans utiliser de formules de solutions générales, mais en utilisant le cercle trigonométrique. Problème n°9. Résoudre les inégalités. Traçons une ligne auxiliaire sur le cercle trigonométrique correspondant à une valeur sinusoïdale égale à , et montrons la plage d'angles qui satisfont l'inégalité. Il est très important de comprendre exactement comment indiquer l'intervalle d'angles résultant, c'est-à-dire quel est son début et quelle est sa fin. Le début de l'intervalle sera l'angle correspondant au point que l'on entrera au tout début de l'intervalle si l'on se déplace dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Dans notre cas, c'est le point qui se trouve à gauche, car en nous déplaçant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et en passant par le bon point, nous quittons au contraire la plage d'angles requise. Le bon point correspondra donc à la fin de l’écart. Nous devons maintenant comprendre les angles du début et de la fin de notre intervalle de solutions à l’inégalité. Une erreur typique est d'indiquer immédiatement que le point droit correspond à l'angle, celui de gauche et de donner la réponse. Ce n'est pas vrai! Attention, nous venons d'indiquer l'intervalle correspondant à la partie supérieure du cercle, même si c'est la partie inférieure qui nous intéresse, autrement dit, nous avons confondu le début et la fin de l'intervalle de solution dont nous avons besoin. Pour que l'intervalle commence au coin du point droit et se termine au coin du point gauche, il faut que le premier angle spécifié soit inférieur au second. Pour ce faire, nous devrons mesurer l'angle du point droit dans la direction de référence négative, c'est-à-dire dans le sens des aiguilles d'une montre et ce sera égal à . Ensuite, en commençant à nous déplacer dans le sens positif des aiguilles d'une montre, nous arriverons au point droit après le point gauche et obtiendrons la valeur de l'angle correspondant. Or le début de l'intervalle des angles est inférieur à la fin, et on peut écrire l'intervalle des solutions sans tenir compte de la période : Considérant que de tels intervalles seront répétés un nombre infini de fois après tout nombre entier de rotations, on obtient une solution générale prenant en compte la période sinusoïdale : On met des parenthèses car l'inégalité est stricte, et on repère les points sur le cercle qui correspondent aux extrémités de l'intervalle. Comparez la réponse que vous recevez avec la formule de la solution générale que nous avons donnée dans le cours. Répondre. Cette méthode est utile pour comprendre d'où viennent les formules de solutions générales des inégalités trigones les plus simples. De plus, il est utile pour ceux qui sont trop paresseux d’apprendre toutes ces formules encombrantes. Cependant, la méthode elle-même n'est pas non plus facile : choisissez l'approche de solution qui vous convient le mieux. Pour résoudre les inégalités trigonométriques, vous pouvez également utiliser des graphiques de fonctions sur lesquels une ligne auxiliaire est construite, similaire à la méthode illustrée à l'aide d'un cercle unité. Si vous êtes intéressé, essayez de trouver vous-même cette approche de la solution. Dans ce qui suit, nous utiliserons des formules générales pour résoudre des inégalités trigonométriques simples. Problème n°10. Résoudre les inégalités. Utilisons la formule de la solution générale, en tenant compte du fait que l'inégalité n'est pas stricte : Dans notre cas nous obtenons : Répondre. Problème n°11. Résoudre les inégalités. Utilisons la formule générale de solution pour l'inégalité strictement correspondante : Répondre. Problème n°12. Résoudre les inégalités : a) ; b) . Dans ces inégalités, il n'est pas nécessaire de se précipiter pour utiliser des formules de solutions générales ou du cercle trigonométrique, il suffit de mémoriser simplement la plage de valeurs du sinus et du cosinus. a) Depuis b) Parce que de même, le sinus de tout argument satisfait toujours à l'inégalité spécifiée dans la condition. Par conséquent, toutes les valeurs réelles de l'argument satisfont à l'inégalité. Répondre. a) il n'y a pas de solutions ; b) . Problème 13. Résoudre les inégalités 1.5 Inégalités trigonométriques et méthodes pour les résoudre 1.5.1 Résolution d'inégalités trigonométriques simples La plupart des auteurs de manuels de mathématiques modernes suggèrent de commencer à examiner ce sujet en résolvant les inégalités trigonométriques les plus simples. Le principe de résolution des inégalités trigonométriques les plus simples repose sur les connaissances et les compétences nécessaires pour déterminer sur un cercle trigonométrique les valeurs non seulement des principaux angles trigonométriques, mais également d'autres valeurs. Pendant ce temps, la solution aux inégalités de la forme , , , peut être effectuée comme suit : nous trouvons d'abord un intervalle () sur lequel cette inégalité est satisfaite, puis écrivons la réponse finale en ajoutant aux extrémités de l'intervalle trouvé a nombre qui est un multiple de la période du sinus ou du cosinus : ( Depuis plusieurs années, nous utilisons avec succès des formules pour les racines des équations correspondantes afin de trouver des solutions aux inégalités trigonométriques. Nous étudions ce sujet de la manière suivante : 1. Nous construisons des graphiques et y = a, en supposant que . Ensuite, nous écrivons l'équation et sa solution. Donner n 0 ; 1; 2, on retrouve les trois racines de l'équation compilée : . Les valeurs sont les abscisses de trois points d'intersection consécutifs des graphiques et y = a. Il est évident que l'inégalité est toujours valable sur l'intervalle (), et l'inégalité est toujours valable sur l'intervalle (). En ajoutant aux extrémités de ces intervalles un nombre multiple de la période du sinus, on obtient dans le premier cas une solution de l'inégalité sous la forme : ; et dans le second cas, une solution de l'inégalité sous la forme : Contrairement au sinus de la formule, qui est une solution de l'équation, pour n = 0, nous obtenons deux racines et la troisième racine pour n = 1 sous la forme Maintenant, il n'est pas difficile d'écrire les solutions aux inégalités et . Dans le premier cas on obtient : ; et dans le second : . Résumer. Pour résoudre l'inégalité ou, vous devez créer l'équation correspondante et la résoudre. À partir de la formule résultante, trouvez les racines de et , et écrivez la réponse à l'inégalité sous la forme : . Lors de la résolution des inégalités , à partir de la formule des racines de l'équation correspondante, nous trouvons les racines et , et écrivons la réponse à l'inégalité sous la forme : . Cette technique permet d'enseigner à tous les élèves comment résoudre les inégalités trigonométriques, car Cette technique repose entièrement sur des compétences que les étudiants maîtrisent parfaitement. Ce sont les compétences nécessaires pour résoudre des problèmes simples et trouver la valeur d’une variable à l’aide d’une formule. De plus, il devient totalement inutile de résoudre soigneusement un grand nombre d'exercices sous la direction d'un enseignant afin de démontrer toutes sortes de techniques de raisonnement en fonction du signe de l'inégalité, de la valeur du module du nombre a et de son signe. . Et le processus de résolution des inégalités lui-même devient bref et, ce qui est très important, uniforme. Un autre avantage de cette méthode est qu'elle vous permet de résoudre facilement des inégalités même lorsque le côté droit n'est pas une valeur de table de sinus ou de cosinus. Montrons cela avec un exemple spécifique. Supposons que nous devions résoudre une inégalité. Créons l'équation correspondante et résolvons-la : Trouvons les valeurs de et . Quand n = 1 Quand n = 2 Nous écrivons la réponse finale à cette inégalité : Dans l'exemple considéré de résolution des inégalités trigonométriques les plus simples, il ne peut y avoir qu'un seul inconvénient : la présence d'un certain formalisme. Mais si tout est évalué uniquement à partir de ces positions, alors il sera possible d'accuser les formules des racines de l'équation quadratique, et toutes les formules de résolution d'équations trigonométriques, et bien plus encore, de formalisme. Bien que la méthode proposée occupe une place digne dans la formation de compétences en matière de résolution des inégalités trigonométriques, l'importance et les caractéristiques d'autres méthodes de résolution des inégalités trigonométriques ne peuvent être sous-estimées. Ceux-ci incluent la méthode des intervalles. Considérons son essence. Ensemble édité par A.G. Mordkovich, même s'il ne faut pas non plus ignorer le reste des manuels. § 3. Méthodologie d'enseignement du thème « Fonctions trigonométriques » au cours de l'algèbre et débuts de l'analyse Dans l'étude des fonctions trigonométriques à l'école, on peut distinguer deux étapes principales : ü Première connaissance des fonctions trigonométriques... En effectuant la recherche, les tâches suivantes ont été résolues : 1) Les manuels d'algèbre actuels et les débuts de l'analyse mathématique ont été analysés pour identifier les méthodes qui y sont présentées pour résoudre les équations et les inégalités irrationnelles. L'analyse nous permet de tirer les conclusions suivantes : ·au secondaire, une attention insuffisante est accordée aux méthodes de résolution de diverses équations irrationnelles, principalement... MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES INÉGALITÉS TRIGONOMÉTRIQUES
Pertinence.
Historiquement, les équations trigonométriques et les inégalités ont occupé une place particulière dans les programmes scolaires. On peut dire que la trigonométrie est l'une des sections les plus importantes du cours scolaire et de l'ensemble de la science mathématique en général. Les équations trigonométriques et les inégalités occupent l'une des places centrales du cours de mathématiques au secondaire, tant en termes de contenu du matériel pédagogique que de méthodes d'activité éducative et cognitive qui peuvent et doivent être formées au cours de leur étude et appliquées à la résolution d'un grand nombre. de problèmes d'ordre théorique et appliqué. La résolution d'équations et d'inégalités trigonométriques crée les conditions préalables à la systématisation des connaissances des étudiants liées à tout le matériel pédagogique en trigonométrie (par exemple, propriétés des fonctions trigonométriques, méthodes de transformation des expressions trigonométriques, etc.) et permet d'établir des liens efficaces avec le matériel étudié en algèbre (équations, équivalence d'équations, inégalités, transformations identiques d'expressions algébriques, etc.). En d'autres termes, la réflexion sur les techniques de résolution d'équations trigonométriques et d'inégalités implique une sorte de transfert de ces compétences vers de nouveaux contenus. L'importance de la théorie et ses nombreuses applications témoignent de la pertinence du sujet choisi. Cela vous permet à son tour de déterminer les buts, les objectifs et le sujet de recherche du travail de cours. But de l'étude:
généraliser les types d'inégalités trigonométriques disponibles, les méthodes de base et spéciales pour les résoudre, sélectionner un ensemble de problèmes pour résoudre les inégalités trigonométriques par les écoliers. Objectifs de recherche:
1. Sur la base d'une analyse de la littérature disponible sur le sujet de recherche, systématiser le matériel. 2. Fournir un ensemble de tâches nécessaires à la consolidation du thème « Inégalités trigonométriques ». Objet d'étude
sont des inégalités trigonométriques dans le cours de mathématiques à l'école. Sujet d'étude:
types d'inégalités trigonométriques et méthodes pour les résoudre. Signification théorique
est de systématiser le matériel. Importance pratique:
application des connaissances théoriques à la résolution de problèmes ; analyse des principales méthodes courantes de résolution des inégalités trigonométriques. Méthodes de recherche
: analyse de la littérature scientifique, synthèse et généralisation des connaissances acquises, analyse de résolution de problèmes, recherche de méthodes optimales de résolution des inégalités. §1.
Types d'inégalités trigonométriques et méthodes de base pour les résoudre
1.1. Les inégalités trigonométriques les plus simples
Deux expressions trigonométriques reliées par le signe ou > sont appelées inégalités trigonométriques. Résoudre une inégalité trigonométrique signifie trouver l'ensemble des valeurs des inconnues incluses dans l'inégalité pour lesquelles l'inégalité est satisfaite. L'essentiel des inégalités trigonométriques est résolu en les réduisant à la solution la plus simple : Il peut s'agir d'une méthode de factorisation, de changement de variable ( Les inégalités les plus simples peuvent être résolues de deux manières : en utilisant le cercle unité ou graphiquement. Laisserf(x
– une des fonctions trigonométriques de base. Pour résoudre l'inégalité Donnons un exemple d'algorithme de résolution d'inégalités Algorithme pour résoudre les inégalités 1. Formuler la définition du sinus d'un nombreX
sur le cercle unité. 3. Sur l'axe des ordonnées, marquez le point avec la coordonnéeun
.
4. Tracez une ligne parallèle à l'axe OX passant par ce point et marquez ses points d'intersection avec le cercle. 5. Sélectionnez un arc de cercle dont tous les points ont une ordonnée inférieure àun
.
6. Indiquez le sens du tour (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) et notez la réponse en ajoutant le point de la fonction aux extrémités de l'intervalle2πn
,
Algorithme pour résoudre les inégalités 1. Formuler la définition de la tangente d'un nombreX
sur le cercle unité. 2. Dessinez un cercle unité. 3. Tracez une ligne de tangentes et marquez un point avec une ordonnée dessusun
.
4. Reliez ce point à l'origine et marquez le point d'intersection du segment résultant avec le cercle unité. 5. Sélectionnez un arc de cercle dont tous les points ont une ordonnée sur la ligne tangente inférieure àun
.
6. Indiquez le sens du parcours et écrivez la réponse en tenant compte du domaine de définition de la fonction, en ajoutant un pointπn
,
L'interprétation graphique des solutions aux équations et formules les plus simples pour résoudre les inégalités sous forme générale est indiquée en annexe (Annexes 1 et 2). Exemple 1.
Résoudre l'inégalité Tracez une ligne droite sur le cercle unité Toutes les significationsoui
sur l'intervalle NM est plus grand
, tous les points de l'arc AMB satisfont à cette inégalité. À tous les angles de rotation, grand Fig. 1 Ainsi, la solution de l'inégalité sera toutes les valeurs de l'intervalle ceux. Répondre: 1.2. Méthode graphique
En pratique, la méthode graphique de résolution des inégalités trigonométriques s'avère souvent utile. Considérons l'essence de la méthode en utilisant l'exemple de l'inégalité 1. Si l’argument est complexe (différent deX
), puis remplacez-le part
.
2. Nous construisons dans un seul plan de coordonnéesjouet
graphiques de fonctions 3. Nous trouvons teldeux points adjacents d'intersection de graphiques, entre lesquelsonde sinusoïdalesituéplus haut
droit 4. Écrivez une double inégalité pour l'argumentt
, en tenant compte de la période cosinus (t
sera entre les abscisses trouvées). 5. Effectuez une substitution inverse (retour à l'argument d'origine) et exprimez la valeurX
à partir de la double inégalité, on écrit la réponse sous la forme d'un intervalle numérique. Exemple 2.
Résoudre l'inégalité : . Lors de la résolution d'inégalités à l'aide de la méthode graphique, il est nécessaire de construire des graphiques de fonctions aussi précisément que possible. Transformons l'inégalité sous la forme : Construisons des graphiques de fonctions dans un système de coordonnées Figure 2 Les graphiques des fonctions se croisent au pointUN
avec coordonnées Répondre: 1.3. Méthode algébrique
Très souvent, l’inégalité trigonométrique originale peut être réduite à une inégalité algébrique (rationnelle ou irrationnelle) grâce à une substitution bien choisie. Cette méthode consiste à transformer une inégalité, à introduire une substitution ou à remplacer une variable. Examinons des exemples spécifiques d'application de cette méthode. Exemple 3.
Réduction à la forme la plus simple Figure 3 Répondre: Exemple 4.
Résoudre les inégalités : ODZ : Utiliser des formules : Écrivons l'inégalité sous la forme : Ou, croyant En résolvant la dernière inéquation par la méthode des intervalles, on obtient : Figure 4 Figure 5 Répondre: 1.4. Méthode d'intervalle
Schéma général de résolution des inégalités trigonométriques par la méthode des intervalles : Factoriser à l'aide de formules trigonométriques. Trouvez les points de discontinuité et les zéros de la fonction et placez-les sur le cercle. Prenez n'importe quel pointÀ
(mais introuvable plus tôt) et découvrez le signe du produit. Si le produit est positif, alors placez un point en dehors du cercle unité sur le rayon correspondant à l'angle. Sinon, placez le point à l'intérieur du cercle. Si un point apparaît un nombre pair de fois, nous l’appelons un point de multiplicité paire ; s’il se produit un nombre impair de fois, nous l’appelons un point de multiplicité impaire. Dessinez des arcs comme suit : commencez à partir d'un pointÀ
, si le point suivant est de multiplicité impaire, alors l'arc coupe le cercle en ce point, mais si le point est de multiplicité paire, alors il ne coupe pas. Les arcs derrière le cercle sont des intervalles positifs ; à l’intérieur du cercle il y a des espaces négatifs. Exemple 5.
Résoudre les inégalités Points de la première série : Points de la deuxième série : Chaque point apparaît un nombre impair de fois, c’est-à-dire que tous les points sont de multiplicité impaire. Découvrons le signe du produit sur Riz. 6 Répondre: Exemple 6
. Résoudre l'inégalité.
Solution:
Trouvons les zéros de l'expression .
Recevoiraem :
Sur les valeurs de la série du cercle unitaireX
1
représenté par des points Laissez maintenant le numéro Alors, point finalUN
doit être sélectionné sur le rayon formant l'angle Maintenant du point de vueUN
tracez une ligne continue ondulée séquentiellement vers tous les points marqués. Et à des points Figure 7 Réponse finale: Note.
Si une ligne ondulée, après avoir contourné tous les points marqués sur le cercle unité, ne peut être ramenée au pointUN
,
sans traverser le cercle à un endroit « illégal », cela signifie qu'une erreur a été commise dans la solution, à savoir qu'un nombre impair de racines a été manqué. Répondre:
.
§2. Un ensemble de problèmes pour résoudre les inégalités trigonométriques
Dans le processus de développement de la capacité des écoliers à résoudre les inégalités trigonométriques, 3 étapes peuvent également être distinguées. 1. préparatoire, 2. développer la capacité de résoudre des inégalités trigonométriques simples ; 3. introduction d'inégalités trigonométriques d'autres types. Le but de l'étape préparatoire est qu'il est nécessaire de développer chez les écoliers la capacité d'utiliser un cercle ou un graphique trigonométrique pour résoudre des inégalités, à savoir : Capacité à résoudre des inégalités simples de la forme Capacité à construire des inégalités doubles pour les arcs cercle numérique ou pour les arcs de graphes de fonctions ; Capacité à effectuer diverses transformations d'expressions trigonométriques. Il est recommandé de mettre en œuvre cette étape dans le processus de systématisation des connaissances des écoliers sur les propriétés des fonctions trigonométriques. Les principaux moyens peuvent être des tâches proposées aux étudiants et réalisées soit sous la direction d'un enseignant, soit de manière indépendante, ainsi que des compétences développées dans la résolution d'équations trigonométriques. Voici des exemples de telles tâches : 1
. Marquez un point sur le cercle unité .
2.
Dans quel quart du plan de coordonnées se trouve le point ? 3.
Marquez les points sur le cercle trigonométrique 4.
Convertir l'expression en fonctions trigonométriquesjequarts. UN) 5.
Arc MR est donné.M
- milieuje-ème quart-temps,R.
- milieuIIème trimestre. Limiter la valeur d'une variablet
pour : (faire une double inégalité) a) arc MR ; b) Arcs RM. 6.
Notez la double inégalité pour les sections sélectionnées du graphique : Riz. 1 7.
Résoudre les inégalités 8.
Convertir l'expression
.
Lors de la deuxième étape de l'apprentissage de la résolution des inégalités trigonométriques, nous pouvons proposer les recommandations suivantes liées à la méthodologie d'organisation des activités étudiantes. Dans ce cas, il est nécessaire de se concentrer sur les compétences existantes des étudiants dans le travail avec un cercle ou un graphique trigonométrique, formé lors de la résolution des équations trigonométriques les plus simples. Premièrement, on peut motiver l'opportunité d'obtenir une méthode générale de résolution des inégalités trigonométriques les plus simples en se tournant, par exemple, vers une inégalité de la forme Deuxièmement, l’enseignant doit attirer l’attention des élèves sur les différentes manières d’accomplir la tâche, donner un exemple approprié de résolution de l’inégalité à la fois graphiquement et à l’aide d’un cercle trigonométrique. Considérons les solutions suivantes à l'inégalité 1. Résoudre l’inégalité à l’aide du cercle unité. Dans la première leçon sur la résolution des inégalités trigonométriques, nous proposerons aux étudiants un algorithme de solution détaillé qui, dans une présentation étape par étape, reflète toutes les compétences de base nécessaires pour résoudre l'inégalité. Étape 1.Traçons un cercle unité et marquons un point sur l'axe des ordonnées Étape 2.Cette ligne droite divisait le cercle en deux arcs. Sélectionnons celui qui représente les nombres dont le sinus est supérieur à Riz. 2 Étape 3.Sélectionnez l'une des extrémités de l'arc marqué. Écrivons l'un des nombres représentés par ce point du cercle unité Étape 4.Afin de sélectionner le numéro correspondant à la deuxième extrémité de l'arc sélectionné, on « marche » le long de cet arc de l'extrémité nommée à l'autre. Dans le même temps, rappelez-vous qu'en vous déplaçant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, les nombres que nous traverserons augmenteront (en vous déplaçant dans la direction opposée, les nombres diminueront). Écrivons le nombre représenté sur le cercle unité à la deuxième extrémité de l'arc marqué On voit donc que l'inégalité Il convient de demander aux élèves d'examiner attentivement le dessin et de comprendre pourquoi toutes les solutions à l'inégalité Riz. 3 Il est nécessaire d'attirer l'attention des élèves sur le fait que lors de la résolution des inégalités pour la fonction cosinus, on trace une droite parallèle à l'axe des ordonnées. Méthode graphique pour résoudre les inégalités. Nous construisons des graphiques Riz. 4 Ensuite, nous écrivons l'équation (Donnantn
valeurs 0, 1, 2, on retrouve les trois racines de l'équation compilée). Valeurs Riz. 5 Résumer. Pour résoudre l'inégalité Troisièmement, le fait concernant l'ensemble des racines de l'inégalité trigonométrique correspondante est très clairement confirmé lors de sa résolution graphique. Riz. 6 Il est nécessaire de démontrer aux élèves que le tour, qui est la solution de l'inégalité, se répète sur le même intervalle, égal à la période de la fonction trigonométrique. Vous pouvez également envisager une illustration similaire pour le graphique de la fonction sinus. Quatrièmement, il convient de réaliser un travail de mise à jour des techniques des étudiants pour convertir la somme (différence) des fonctions trigonométriques en un produit, et d'attirer l'attention des étudiants sur le rôle de ces techniques dans la résolution des inégalités trigonométriques. Ce travail peut être organisé à travers l’accomplissement autonome par les élèves de tâches proposées par l’enseignant, parmi lesquelles nous soulignons les suivantes : Cinquièmement, les élèves doivent illustrer la solution de chaque inégalité trigonométrique simple à l'aide d'un graphique ou d'un cercle trigonométrique. Il faut absolument faire attention à son opportunité, notamment à l'utilisation du cercle, car lors de la résolution d'inégalités trigonométriques, l'illustration correspondante constitue un moyen très pratique d'enregistrer l'ensemble des solutions à une inégalité donnée. Il convient d'initier les étudiants aux méthodes de résolution des inégalités trigonométriques qui ne sont pas les plus simples selon le schéma suivant : se tourner vers une inégalité trigonométrique spécifique se tourner vers l'équation trigonométrique correspondante recherche conjointe (enseignant - élèves) d'une solution transfert indépendant du méthode trouvée à d’autres inégalités du même type. Afin de systématiser les connaissances des étudiants en trigonométrie, nous recommandons de sélectionner spécialement les inégalités dont la solution nécessite diverses transformations qui peuvent être mises en œuvre au cours du processus de résolution, et de concentrer l'attention des étudiants sur leurs caractéristiques. Comme telles inégalités productives, nous pouvons proposer, par exemple, ce qui suit : En conclusion, nous donnons un exemple d'un ensemble de problèmes pour résoudre des inégalités trigonométriques. 1. Résoudre les inégalités : UN) b) 5. Trouver toutes les solutions aux inégalités : UN) ;
b) ;
V) G) d) 6. Résoudre les inégalités : UN) ;
b) ;
V) ; G) d) ; e) ; et) 7. Résoudre les inégalités : UN) b) ;
V) ; G) . 8. Résoudre les inégalités : UN) ;
b) ;
V) ; G) d) e) ; et) h) . Il est conseillé de proposer les tâches 6 et 7 aux étudiants qui étudient les mathématiques à un niveau avancé, la tâche 8 aux étudiants des classes d'études avancées en mathématiques. §3. Méthodes spéciales pour résoudre les inégalités trigonométriques
Méthodes spéciales pour résoudre des équations trigonométriques - c'est-à-dire les méthodes qui ne peuvent être utilisées que pour résoudre des équations trigonométriques. Ces méthodes sont basées sur l'utilisation des propriétés des fonctions trigonométriques, ainsi que sur l'utilisation de diverses formules et identités trigonométriques. 3.1. Méthode sectorielle
Considérons la méthode sectorielle pour résoudre les inégalités trigonométriques. Résoudre les inégalités de la forme Dans la méthode des intervalles, chaque facteur linéaire du numérateur et du dénominateur de la forme Il faut retenir les éléments suivants : a) Facteurs de forme b) Facteurs de forme Exemple 1.
Résoudre les inégalités : a) 3.2. Méthode du cercle concentrique
Cette méthode est un analogue de la méthode des axes de nombres parallèles pour résoudre des systèmes d'inégalités rationnelles. Prenons un exemple de système d'inégalités. Exemple 5.
Résoudre un système d'inégalités trigonométriques simples Tout d’abord, nous résolvons chaque inégalité séparément (Figure 5). Dans le coin supérieur droit de la figure, nous indiquerons pour quel argument le cercle trigonométrique est considéré. Figure 5 Ensuite, nous construisons un système de cercles concentriques pour l’argumentX
. Nous dessinons un cercle et l'ombrons selon la solution de la première inégalité, puis nous dessinons un cercle d'un plus grand rayon et l'ombrons selon la solution de la seconde, puis nous construisons un cercle pour la troisième inégalité et un cercle de base. Nous dessinons des rayons depuis le centre du système jusqu'aux extrémités des arcs afin qu'ils coupent tous les cercles. Nous formons une solution sur le cercle de base (Figure 6). Figure 6 Répondre:
Conclusion
Tous les objectifs de la recherche du cours ont été atteints. Le matériel théorique est systématisé : les principaux types d'inégalités trigonométriques et les principales méthodes pour les résoudre sont données (graphique, algébrique, méthode des intervalles, secteurs et méthode des cercles concentriques). Un exemple de résolution d’inégalité a été donné pour chaque méthode. La partie théorique a été suivie par la partie pratique. Il contient un ensemble de tâches pour résoudre les inégalités trigonométriques. Ce cours peut être utilisé par les étudiants pour un travail indépendant. Les écoliers peuvent vérifier le niveau de maîtrise de ce sujet et s'entraîner à accomplir des tâches de complexité variable. Après avoir étudié la littérature pertinente sur cette question, nous pouvons évidemment conclure que la capacité et les compétences nécessaires pour résoudre les inégalités trigonométriques dans le cours scolaire d'algèbre et d'analyse élémentaire sont très importantes, dont le développement nécessite des efforts importants de la part du professeur de mathématiques. Ce travail sera donc utile aux professeurs de mathématiques, car il permet d'organiser efficacement la formation des étudiants sur le thème « Inégalités trigonométriques ». La recherche peut être poursuivie en l'élargissant jusqu'à un ouvrage final qualifiant.
Liste de la littérature utilisée
Bogomolov, N.V. Recueil de problèmes en mathématiques [Texte] / N.V. Bogomolov. – M. : Outarde, 2009. – 206 p. Vygodsky, M. Ya. Manuel de mathématiques élémentaires [Texte] / M.Ya. Vygodski. – M. : Outarde, 2006. – 509 p. Jourbenko, L.N. Mathématiques en exemples et problèmes [Texte] / L.N. Jourbenko. – M. : Infra-M, 2009. – 373 p. Ivanov, O.A. Mathématiques élémentaires pour écoliers, étudiants et enseignants [Texte] / O.A. Ivanov. – M. : MTsNMO, 2009. – 384 p. Karp, A.P. Travaux d'algèbre et débuts de l'analyse pour l'organisation du redoublement final et de la certification en 11e année [Texte] / A.P. Carpe. – M. : Éducation, 2005. – 79 p. Koulanine, E.D. 3000 problèmes de concours en mathématiques [Texte] / E.D. Koulanine. – M. : Iris-presse, 2007. – 624 p. Leibson, K.L. Recueil de tâches pratiques en mathématiques [Texte] / K.L. Leibson. – M. : Outarde, 2010. – 182 p. Coude, V.V. Problèmes avec les paramètres et leur solution. Trigonométrie : équations, inégalités, systèmes. 10e année [Texte] / V.V. Coude. – M. : ARKTI, 2008. – 64 p. Manova, A.N. Mathématiques. Tuteur express pour la préparation à l'examen d'État unifié : étudiant. manuel [Texte] / A.N. Manova. – Rostov-sur-le-Don : Phoenix, 2012. – 541 p. Mordkovitch, A.G. Algèbre et début de l'analyse mathématique. 10-11 années. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général [Texte] / A.G. Mordkovitch. – M. : Iris-presse, 2009. – 201 p. Novikov, A.I. Fonctions trigonométriques, équations et inégalités [Texte] / A.I. Novikov. – M. : FIZMATLIT, 2010. – 260 p. Oganesyan, V.A. Méthodes d'enseignement des mathématiques au secondaire : Méthodologie générale. Cahier de texte manuel pour les étudiants en physique - tapis. faux. péd. Inst. [Texte] / V.A. Oganesian. – M. : Éducation, 2006. – 368 p. Olehnik, S.N. Équations et inégalités. Méthodes de solution non standard [Texte] / S.N. Olehnik. – M. : Maison d'édition Factorial, 1997. – 219 p. Sevryukov, P.F. Équations et inégalités trigonométriques, exponentielles et logarithmiques [Texte] / P.F. Sevryukov. – M. : Instruction publique, 2008. – 352 p. Sergueïev, I.N. Examen d'État unifié : 1000 problèmes avec réponses et solutions en mathématiques. Toutes les tâches du groupe C [Texte] / I.N. Sergueïev. – M. : Examen, 2012. – 301 p. Sobolev, A.B. Mathématiques élémentaires [Texte] / A.B. Sobolev. – Ekaterinbourg : Établissement d'enseignement public d'enseignement professionnel supérieur USTU-UPI, 2005. – 81 p. Fenko, L.M. Méthode des intervalles dans la résolution des inégalités et l'étude des fonctions [Texte] / L.M. Fenko. – M. : Outarde, 2005. – 124 p. Friedman, L.M. Fondements théoriques des méthodes d'enseignement des mathématiques [Texte] / L.M. Friedmann. – M. : Maison du livre « LIBROKOM », 2009. – 248 p. Annexe 1 Interprétation graphique de solutions à des inégalités simples Riz. 1 Riz. 2 Figure 3 Figure 4 Figure 5 Figure 6 Figure 7 Figure 8 Annexe 2 Solutions aux inégalités simples
.
, Si .
.
.
.
, alors l’inégalité n’a pas de sens. Il n’y a donc pas de solutions.
.
). Dans ce cas, la valeur est facile à trouver, car ou . La recherche de sens repose sur l’intuition des élèves, leur capacité à remarquer l’égalité des arcs ou des segments, en profitant de la symétrie des parties individuelles du graphe sinus ou cosinus. Et cela dépasse parfois les capacités d’un assez grand nombre d’étudiants. Afin de surmonter les difficultés constatées, les manuels ont utilisé ces dernières années différentes approches pour résoudre des inégalités trigonométriques simples, mais cela n'a abouti à aucune amélioration des résultats d'apprentissage.
. Et encore, ce sont trois abscisses consécutives des points d'intersection des graphiques et . Dans l'intervalle () l'inégalité est vraie, dans l'intervalle () l'inégalité
, 
etc.), où l'inégalité habituelle est d'abord résolue, puis une inégalité de la forme 
etc., ou d'autres méthodes.
il suffit de trouver sa solution sur une période, c'est-à-dire sur tout segment dont la longueur est égale à la période de la fonctionF
X
. Alors la solution à l’inégalité initiale sera entièrement trouvéeX
, ainsi que les valeurs qui diffèrent de celles trouvées par n'importe quel nombre entier de périodes de la fonction. Dans ce cas, il est préférable d’utiliser la méthode graphique.
(
) Et 
.
(
).
.
.
(le chiffre à gauche de l'entrée est toujours inférieur au chiffre à droite).
.
, qui coupe le cercle aux points A et B.
, mais plus petit 
,
prendra des valeurs plus grandes
(mais pas plus d'un).
, c'est à dire. 
. Pour obtenir toutes les solutions de cette inégalité, il suffit d'ajouter aux extrémités de cet intervalle 
, Où 
, c'est à dire. 
,
.
Notez que les valeurs 
Et 
sont les racines de l'équation 
,
;
.
, .
:
Et 
.
. On retrouve les abscisses de ces points.
Et 
(Fig.2).
; 
. Entre 
points du graphique 
sous les points du graphique 
. Et quand les valeurs de la fonction sont les mêmes. C'est pourquoi à 
.
.
.
(Fig.3)
, 
.
, 
, 
.
, 
.
après de simples transformations on obtient
,
,
.
, respectivement 
. Puis à partir de la Fig. 4 suit 
, Où 
.
, 
.
, 
.
.
.
: . Marquons tous les points sur le cercle unité (Fig. 6) :
, 
; 
, 
; 
, 
.
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
. SérieX
2
donne des points 
. Une sérieX
3
nous obtenons deux points 
. Enfin, la sérieX
4
représentera des points 
. Traçons tous ces points sur le cercle unité, en indiquant sa multiplicité entre parenthèses à côté de chacun d'eux.
sera égal. Faisons une estimation en fonction du signe :
avec poutreOh,
en dehors du cercle unité. (Notez que le faisceau auxiliaireÀ PROPOS
UN
Il n'est pas du tout nécessaire de le représenter dans un dessin. PointUN
est choisi approximativement.)notre ligne va d'une zone à une autre : si elle était à l'extérieur du cercle unité, alors elle passe à l'intérieur de celui-ci. On approche du point 
, la droite revient à la région intérieure, puisque la multiplicité de ce point est paire. De même au point 
(avec une multiplicité égale), la ligne doit être tournée vers la région extérieure. Nous avons donc dessiné une certaine image présentée sur la Fig. 7. Cela aide à mettre en évidence les zones souhaitées sur le cercle unitaire. Ils sont marqués du signe « + ».
,
, ,
,
utiliser les propriétés des fonctions sinus et cosinus ;
, Si, Si 
équivaut à: 
, Si:
,
b) 
,
V) 
, 
, 
, 
.
.
En utilisant les connaissances et les compétences acquises au stade préparatoire, les étudiants mettront l'inégalité proposée sous la forme 
, mais peut avoir du mal à trouver un ensemble de solutions à l’inégalité qui en résulte, car Il est impossible de le résoudre uniquement en utilisant les propriétés de la fonction sinus. Cette difficulté peut être évitée en se tournant vers l'illustration appropriée (en résolvant l'équation graphiquement ou en utilisant un cercle unité)..
et tracez une ligne droite qui le traverse parallèlement à l’axe des x. Cette ligne coupera le cercle unité en deux points. Chacun de ces points représente des nombres dont le sinus est égal à .
. Naturellement, cet arc se situe au dessus de la ligne droite tracée.
.
.
satisfaire les nombres pour lesquels l'inégalité est vraie 
. Nous avons résolu l'inégalité pour les nombres situés sur la même période de la fonction sinus. Par conséquent, toutes les solutions à l’inégalité peuvent s’écrire sous la forme 
peut s'écrire sous la forme 
, 
.
Et 
, étant donné que 
.
et sa décision 
, 
, 
, trouvé à l'aide de formules 
, 
, 
.
sont trois abscisses consécutives des points d'intersection des graphiques Et . Évidemment, toujours à l'intervalle 
l’inégalité persiste 
, et sur l'intervalle 
- inégalité 
. On s'intéresse au premier cas, puis en ajoutant aux extrémités de cet intervalle un nombre multiple de la période du sinus, on obtient une solution de l'inégalité comme: 
, .
, vous devez créer l’équation correspondante et la résoudre. Trouvez les racines de la formule résultante 
Et 
, et écrivez la réponse à l’inégalité sous la forme : , .
, satisfaisant la condition 
;
, satisfaisant la condition 
.
;
;
.
;
.
;
;
;
;
, OùP.
(
X
)
EtQ
(
X
)
– les fonctions trigonométriques rationnelles (les sinus, les cosinus, les tangentes et les cotangentes y sont incluses rationnellement), similaires à la résolution d'inégalités rationnelles. Il est pratique de résoudre les inégalités rationnelles en utilisant la méthode des intervalles sur la droite numérique. Son analogue pour résoudre les inégalités trigonométriques rationnelles est la méthode des secteurs dans le cercle trigonométrique, par exemplepéché
Etcosx
(
) ou demi-cercle trigonométrique pourtgx
Etctgx
(
).
sur l'axe des nombres correspond à un point 
, et en passant par ce point change de signe. Dans la méthode sectorielle, chaque facteur de la forme 
, Où 
- une des fonctionspéché
oucosx
Et 
, dans un cercle trigonométrique correspondent deux angles 
Et 
, qui divise le cercle en deux secteurs. En passant par Et fonction change de signe.
Et 
, Où 
, conserve le signe pour toutes les valeurs 
. Ces facteurs du numérateur et du dénominateur sont écartés en changeant (si 
) à chacun de ces rejets, le signe de l'inégalité est inversé.
Et 
sont également rejetés. De plus, s'il s'agit de facteurs du dénominateur, alors des inégalités de forme s'ajoutent au système d'inégalités équivalent 
Et 
. Si ce sont des facteurs du numérateur, alors dans le système équivalent de restrictions ils correspondent aux inégalités Et dans le cas d'une inégalité initiale stricte, et l'égalité 
Et 
dans le cas d’une inégalité initiale non stricte. Lors de la suppression du multiplicateur 
ou 
le signe de l'inégalité est inversé.
, b) 
.
nous avons la fonction b) . Résoudre l'inégalité que nous avons,
, 
.
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