Примери за сбор от дроби с различни знаменатели. Онлайн калкулатор.Изчисляване на изрази с числови дроби

Този урок ще обхване събиране и изваждане. алгебрични дробис различни знаменатели. Вече знаем как да събираме и изваждаме обикновени дроби с различни знаменатели. За да направите това, дробите трябва да бъдат приведени до общ знаменател. Оказва се, че алгебричните дроби следват същите правила. В същото време вече знаем как да сведем алгебрични дроби до общ знаменател. Събирането и изваждането на дроби с различни знаменатели е една от най-важните и трудни теми в курса за 8. клас. При което тази темаще се появи в много теми от курса по алгебра, които ще изучавате в бъдеще. Като част от урока ще изучаваме правилата за добавяне и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели, а също така ще анализираме редица типични примери.

Нека помислим най-прост примерза обикновени дроби.

Пример 1.Добавете дроби: .

Решение:

Нека си припомним правилото за събиране на дроби. За да започнете, дробите трябва да бъдат приведени до общ знаменател. В ролята общ знаменателза обикновени дроби стои най-малко общо кратно(LCM) на оригиналните знаменатели.

Определение

Най-малкото естествено число, което се дели както на числата, така и на .

За да намерите LCM, трябва да разложите знаменателите на прости множители и след това да изберете всички прости множители, които са включени в разширението на двата знаменателя.

; . Тогава LCM на числата трябва да включва две двойки и две тройки: .

След като намерите общия знаменател, трябва да намерите допълнителен множител за всяка дроб (всъщност разделете общия знаменател на знаменателя на съответната дроб).

След това всяка фракция се умножава по получения допълнителен фактор. Получаваме дроби с същите знаменатели, събиране и изваждане, които научихме в предишните уроци.

Получаваме: .

Отговор:.

Нека сега разгледаме събирането на алгебрични дроби с различни знаменатели. Първо, нека да разгледаме дроби, чиито знаменатели са числа.

Пример 2.Добавете дроби: .

Решение:

Алгоритъмът за решение е абсолютно подобен на предишния пример. Лесно е да се намери общият знаменател на тези дроби: и допълнителни множители за всяка от тях.

.

Отговор:.

И така, нека формулираме алгоритъм за събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели:

1. Намерете най-малкия общ знаменател на дробите.

2. Намерете допълнителни множители за всяка от дробите (като разделите общия знаменател на знаменателя на дадената дроб).

3. Умножете числителите по съответните допълнителни множители.

4. Събирайте или изваждайте дроби, като използвате правилата за събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели.

Нека сега разгледаме пример с дроби, чийто знаменател съдържа буквени изрази.

Пример 3.Добавете дроби: .

Решение:

Тъй като буквените изрази в двата знаменателя са еднакви, трябва да намерите общ знаменател за числата. Крайният общ знаменател ще изглежда така: . Така решението на този пример изглежда така:.

Отговор:.

Пример 4.Извадете дроби: .

Решение:

Ако не можете да „измамите“, когато избирате общ знаменател (не можете да го разделите на множители или да използвате съкратени формули за умножение), тогава трябва да вземете произведението на знаменателите на двете дроби като общ знаменател.

Отговор:.

По принцип при решаването на подобни примери най-трудната задача е намирането на общ знаменател.

Нека да разгледаме по-сложен пример.

Пример 5.Опростете: .

Решение:

Когато намирате общ знаменател, първо трябва да се опитате да разложите знаменателите на оригиналните дроби (за да опростите общия знаменател).

В този конкретен случай:

Тогава е лесно да се определи общият знаменател: .

Определяме допълнителни фактори и решаваме този пример:

Отговор:.

Сега нека установим правилата за събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели.

Пример 6.Опростете: .

Решение:

Отговор:.

Пример 7.Опростете: .

Решение:

.

Отговор:.

Нека сега разгледаме пример, в който се добавят не две, а три дроби (в края на краищата правилата за събиране и изваждане за Повече ▼дробите остават същите).

Пример 8.Опростете: .

Намерете числителя и знаменателя.Дробта включва две числа: числото, което се намира над линията, се нарича числител, а числото, което се намира под линията, се нарича знаменател. Знаменателят означава общия брой части, на които е разделено едно цяло, а числителят е броят на разглежданите части.

• Например в дробта ½ числителят е 1, а знаменателят е 2.

Определете знаменателя.Ако две или повече дроби имат общ знаменател, тези дроби имат еднакъв номер под чертата, тоест в този случай определено цяло е разделено на същия брой части. Добавянето на дроби с общ знаменател е много лесно, тъй като знаменателят на сумираната дроб ще бъде същият като дробите, които се добавят. Например:

• Дробите 3/5 и 2/5 имат общ знаменател 5.
• Дробите 3/8, 5/8, 17/8 имат общ знаменател 8.

Определете числителите.За да съберете дроби с общ знаменател, съберете числителите им и напишете резултата над знаменателя на събираните дроби.

• Дробите 3/5 и 2/5 имат числители 3 и 2.
• Дроби 3/8, 5/8, 17/8 имат числители 3, 5, 17.

Съберете числителите.В задача 3/5 + 2/5 съберете числителите 3 + 2 = 5. В задача 3/8 + 5/8 + 17/8 съберете числителите 3 + 5 + 17 = 25.

Запишете общата дроб.Не забравяйте, че при събиране на дроби с общ знаменател, той остава непроменен - ​​добавят се само числителите.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Преобразувайте дробта, ако е необходимо.Понякога дроб може да се запише като цяло число, а не като дроб или десетичен знак. Например, дробта 5/5 лесно се преобразува в 1, тъй като всяка дроб, чийто числител е равен на знаменателя, е 1. Представете си пай, нарязан на три части. Ако изядете и трите части, ще сте изяли цялата (една) баница.

• Всяка дроб може да се преобразува в десетична; За да направите това, разделете числителя на знаменателя. Например дробта 5/8 може да се запише по следния начин: 5 ÷ 8 = 0,625.

Ако е възможно, опростете дробта.Опростена дроб е дроб, чийто числител и знаменател нямат общи множители.

• Например, разгледайте дробта 3/6. Тук и числителят, и знаменателят имат общ делител, равен на 3, тоест числителят и знаменателят се делят напълно на 3. Следователно дробта 3/6 може да бъде записана по следния начин: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

Ако е необходимо, преобразувайте неправилна дроб в смесена дроб (смесено число).Неправилната дроб има числител, по-голям от знаменателя, например 25/8 (правилната дроб има числител по-малко от знаменателя). Неправилна дроб може да се преобразува в смесена дроб, която се състои от цяло число (т.е. цяло число) и дробна част (т.е. правилна дроб). За да преобразувате неправилна дроб, като например 25/8, в смесено число, изпълнете следните стъпки:

• Разделете числителя на неправилна дроб на знаменателя й; запишете частичния коефициент (цял отговор). В нашия пример: 25 ÷ 8 = 3 плюс някакъв остатък. IN в такъв случайцелият отговор е цялата част от смесеното число.
• Намерете остатъка. В нашия пример: 8 x 3 = 24; извадете получения резултат от първоначалния числител: 25 - 24 = 1, т.е. остатъкът е 1. В този случай остатъкът е числителят на дробната част на смесеното число.
• Напишете смесена дроб. Знаменателят не се променя (т.е. равен е на знаменателя на неправилната дроб), така че 25/8 = 3 1/8.

Действия с дроби.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

И така, какво представляват дробите, видовете дроби, трансформациите - запомнихме. Да преминем към основния въпрос.

Какво можете да правите с дроби?Да, всичко е както при обикновените номера. Събиране, изваждане, умножение, деление.

Всички тези действия с десетичен знакработата с дроби не се различава от работата с цели числа. Всъщност това им е хубавото, десетичните. Единственото нещо е, че трябва да поставите запетаята правилно.

Смесени числа, както вече казах, са малко полезни за повечето действия. Те все още трябва да бъдат превърнати в обикновени дроби.

Но действията с обикновени дроби ще са по-хитри. И много по-важно! Нека ви напомня: всички действия с дробни изрази с букви, синуси, неизвестни и така нататък и така нататък не се различават от действията с обикновени дроби! Операциите с обикновени дроби са в основата на цялата алгебра. Именно поради тази причина тук ще анализираме цялата тази аритметика много подробно.

Събиране и изваждане на дроби.

Всеки може да събира (изважда) дроби с еднакви знаменатели (силно се надявам!). Е, нека напомня на тези, които са напълно забравили: при добавяне (изваждане) знаменателят не се променя. Числителите се събират (изваждат), за да се получи числителят на резултата. Тип:

Накратко, в общ изглед:

Ами ако знаменателите са различни? След това, използвайки основното свойство на дроб (тук отново ни е полезно!), правим знаменателите еднакви! Например:

Тук трябваше да направим дробта 4/10 от дробта 2/5. С единствената цел знаменателите да бъдат еднакви. Нека отбележа, за всеки случай, че 2/5 и 4/10 са същата фракция! Само 2/5 са неудобни за нас, а 4/10 са наистина добре.

Между другото, това е същността на решаването на всякакви математически задачи. Когато ние от неудобноправим изрази същото, но по-удобно за решаване.

Друг пример:

Ситуацията е подобна. Тук правим 48 от 16. Чрез просто умножениена 3. Всичко е ясно. Но попаднахме на нещо като:

Как да бъде?! Трудно е да направиш девет от седем! Но ние сме умни, знаем правилата! Да се ​​трансформираме всекидроб, така че знаменателите да са еднакви. Това се нарича „привеждане до общ знаменател“:

Еха! Как разбрах за 63? Много просто! 63 е число, което се дели на 7 и 9 едновременно. Такова число винаги може да се получи чрез умножаване на знаменателите. Ако умножим едно число по 7 например, то резултатът със сигурност ще се дели на 7!

Ако трябва да съберете (извадите) няколко дроби, няма нужда да го правите по двойки, стъпка по стъпка. Просто трябва да намерите общия знаменател за всички дроби и да намалите всяка дроб до същия знаменател. Например:

И какъв ще е общият знаменател? Можете, разбира се, да умножите 2, 4, 8 и 16. Получаваме 1024. Кошмар. По-лесно е да се прецени, че числото 16 се дели напълно на 2, 4 и 8. Следователно от тези числа е лесно да се получи 16. Това число ще бъде общият знаменател. Нека превърнем 1/2 в 8/16, 3/4 в 12/16 и т.н.

Между другото, ако вземете 1024 за общ знаменател, всичко ще се получи, накрая всичко ще се намали. Но не всеки ще стигне до този край, заради изчисленията...

Довършете примера сами. Не някакъв вид логаритъм... Трябва да е 29/16.

И така, събирането (изваждането) на дроби е ясно, надявам се? Разбира се, по-лесно е да работите в съкратен вариант, с допълнителни множители. Но това удоволствие е достъпно за тези, които са работили честно в младши класове... И не забравих нищо.

И сега ще направим същите действия, но не с дроби, а с дробни изрази. Нов рейк ще бъде разкрит тук, да...

И така, трябва да добавим два дробни израза:

Трябва да направим знаменателите еднакви. И то само с помощта умножение! Това диктува основното свойство на фракцията. Следователно не мога да добавя единица към X в първата дроб в знаменателя. (това би било хубаво!). Но ако умножите знаменателите, виждате, всичко расте заедно! Така че записваме реда на дробта, оставяме празно място отгоре, след това го добавяме и записваме произведението на знаменателите отдолу, за да не забравим:

И, разбира се, не умножаваме нищо от дясната страна, не отваряме скобите! И сега, гледайки общия знаменател от дясната страна, разбираме: за да получите знаменателя x(x+1) в първата дроб, трябва да умножите числителя и знаменателя на тази дроб по (x+1) . А във втората дроб - до х. Ето какво получавате:

Забележка! Ето ги скобите! Това е гребло, върху което стъпват много хора. Не скоби, разбира се, а липсата им. Скобите се появяват, защото умножаваме всичкочислител и всичкознаменател! А не отделните им парчета...

В числителя на дясната страна записваме сбора на числителите, всичко е като в числови дроби, след това отваряме скобите в числителя на дясната страна, т.е. Всичко умножаваме и даваме подобни. Няма нужда да отваряте скобите в знаменателите или да умножавате нещо! Като цяло, в знаменатели (всякакви) продуктът винаги е по-приятен! Получаваме:

Така че получихме отговора. Процесът изглежда дълъг и труден, но зависи от практиката. След като решите примерите, свикнете, всичко ще стане просто. Тези, които са усвоили своевременно дробите, правят всички тези операции с една лява ръка, автоматично!

И още една забележка. Много умно се справят с дроби, но се забиват в примери с цялочисла. Например: 2 + 1/2 + 3/4= ? Къде да закрепя двукомпонентния? Не е нужно да го закрепвате никъде, трябва да направите дроб от две. Не е лесно, но много просто! 2=2/1. Като този. Всяко цяло число може да бъде записано като дроб. Числителят е самото число, знаменателят е единица. 7 е 7/1, 3 е 3/1 и така нататък. Същото е и с буквите. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 и т.н. И тогава работим с тези дроби според всички правила.

Е, опресниха знанията за събиране и изваждане на дроби. Преобразуването на дроби от един вид в друг беше повторено. Можете също така да се прегледате. Да уредим ли малко?)

Изчисли:

Отговори (в безпорядък):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Умножение/деление на дроби – в следващия урок. Има и задачи за всички действия с дроби.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Калкулатор на дробипредназначен за бързо изчисляване на операции с дроби, той ще ви помогне лесно да добавяте, умножавате, разделяте или изваждате дроби.

Съвременните ученици започват да изучават дроби още в 5-ти клас и всяка година упражненията с тях стават все по-сложни. Математическите термини и величини, които учим в училище, рядко могат да ни бъдат полезни в живота. възрастен живот. Дробите обаче, за разлика от логаритмите и степените, се срещат доста често в ежедневието (измерване на разстояния, претегляне на стоки и др.). Нашият калкулатор е предназначен за бързи операции с дроби.

Първо, нека дефинираме какво представляват дробите и какви са те. Дробите са съотношението на едно число към друго; това е число, състоящо се от цяло число дроби от единица.

Видове дроби:

• Обикновен
• десетична
• Смесени

Пример обикновени дроби:

Горната стойност е числителят, долната е знаменателят. Тирето ни показва, че горното число се дели на долното число. Вместо този формат на писане, когато тирето е хоризонтално, можете да пишете различно. Можете да поставите наклонена линия, например:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Десетични знациса най-популярният вид дроби. Състоят се от цяла част и дробна част, разделени със запетая.

Пример за десетични дроби:

0,2 или 6,71 или 0,125

Състои се от цяло число и дробна част. За да разберете стойността на тази дроб, трябва да съберете цялото число и дробта.

Пример за смесени дроби:

Калкулаторът за дроби на нашия уебсайт може бързо да извършва всякакви математически операции с дроби онлайн:

• Допълнение
• Изваждане
• Умножение
• дивизия

За да извършите изчислението, трябва да въведете числа в полетата и да изберете действие. За дроби трябва да попълните числителя и знаменателя, може да не се пише цялото число (ако дробта е обикновена). Не забравяйте да кликнете върху бутона "равно".

Удобно е, че калкулаторът веднага предоставя процеса за решаване на пример с дроби, а не само готов отговор. Благодарение на подробното решение можете да използвате този материал за решаване на училищни задачи и за по-добро усвояване на преминатия материал.

Трябва да извършите примерното изчисление:

След въвеждане на индикаторите в полетата на формуляра получаваме:

За да направите своя собствена калкулация, въведете данните във формата.

Калкулатор на дроби

Въведете две дроби:

		+ - * :

Свързани раздели.

Числителят и това, което е разделено на, е знаменателят.

За да напишете дроб, първо напишете числителя, след това начертайте хоризонтална линия под числото и напишете знаменателя под чертата. Хоризонталната линия, която разделя числителя и знаменателя, се нарича дробна линия. Понякога се изобразява като наклонен "/" или "∕". В този случай числителят се записва отляво на реда, а знаменателят отдясно. Така например частта "две трети" ще бъде написана като 2/3. За по-голяма яснота числителят обикновено се записва в горната част на реда, а знаменателят в долната част, т.е. вместо 2/3 можете да намерите: ⅔.

За да изчислите произведението на дроби, първо умножете числителя на едно дробикъм числителя е различно. Запишете резултата в числителя на новия дроби. След това умножете знаменателите. Въведете общата стойност в новия дроби. Например 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

За да разделите една дроб на друга, първо умножете числителя на първата по знаменателя на втората. Направете същото с втората дроб (делител). Или, преди да извършите всички действия, първо „обърнете“ делителя, ако ви е по-удобно: знаменателят трябва да се появи на мястото на числителя. След това умножете знаменателя на дивидента по новия знаменател на делителя и умножете числителите. Например 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

източници:

• Основни задачи с дроби

Дробните числа могат да бъдат изразени в в различни форми точна стойностколичества. Можете да извършвате същите математически операции с дроби, както и с цели числа: изваждане, събиране, умножение и деление. Да се ​​научиш да решаваш дроби, трябва да запомним някои от техните характеристики. Те зависят от вида дроби, наличието на цяла част, общ знаменател. някои аритметични операциислед изпълнение изискват намаляване на дробната част от резултата.

Ще имаш нужда

• - калкулатор

Инструкции

Погледнете внимателно числата. Ако сред дробите има десетични и неправилни, понякога е по-удобно първо да извършите операции с десетични знаци и след това да ги преобразувате в неправилна форма. Можеш ли да преведеш дробив тази форма първоначално, записвайки стойността след десетичната запетая в числителя и поставяйки 10 в знаменателя. Ако е необходимо, намалете дроба, като разделите числата отгоре и отдолу на един делител. Дроби, в които цялата част е изолирана, трябва да бъдат преобразувани в грешна форма, като се умножат по знаменателя и се добави числителят към резултата. Дадена стойностще стане новият числител дроби. Да изберете цяла част от първоначално неправилна дроби, трябва да разделите числителя на знаменателя. Напишете целия резултат от дроби. И остатъкът от делението ще стане новият числител, знаменател дробине се променя. За дроби с цяла част е възможно да се извършват действия поотделно, първо за целите, а след това за дробните части. Например сумата от 1 2/3 и 2 ¾ може да се изчисли:
- Преобразуване на дроби в грешна форма:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Сумиране на поотделно цели и дробни части от термини:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Препишете ги с помощта на разделителя „:“ и продължете с нормалното деление.

За да получите крайния резултат, намалете получената дроб, като разделите числителя и знаменателя на едно цяло число, възможно най-голямото в този случай. В този случай трябва да има цели числа над и под линията.

Забележка

Не извършвайте аритметика с дроби, чиито знаменатели са различни. Изберете такова число, че когато умножите числителя и знаменателя на всяка дроб по него, резултатът да е, че знаменателите на двете дроби са равни.

Полезен съвет

При писане на дробни числа дивидентът се изписва над чертата. Това количество се обозначава като числител на дробта. Делителят или знаменателят на дробта е написан под чертата. Например един и половина килограма ориз като дроб ще бъдат написани по следния начин: 1 ½ кг ориз. Ако знаменателят на дроб е 10, дробта се нарича десетична. В този случай числителят (дивидентът) се записва вдясно от цялата част, отделена със запетая: 1,5 кг ориз. За по-лесно изчисление такава дроб винаги може да бъде написана в грешна форма: 1 2/10 кг картофи. За да опростите, можете да намалите стойностите на числителя и знаменателя, като ги разделите на едно цяло число. В този пример можете да разделите на 2. Резултатът ще бъде 1 1/5 кг картофи. Уверете се, че числата, с които ще извършвате аритметика, са представени в една и съща форма.