Коефициент b в линейна функция. Линейна функция

В 7 клас изучавахме функциите y = C, y = kx, y = kx + m, y = x 2 и в крайна сметка стигна до заключението, че уравнение с две променливи във формата y = f(x) (функция) е математически модел, удобен за това, след като е дадена конкретна стойност на независимата променлива x (аргумент), да се изчисли съответната

съответната стойност на зависимата променлива y. Например, ако е дадена функцията y = x 2, т.е. f(x) = x 2, тогава за x = 1 получаваме y = 1 2 = 1; Накратко се записва така: f(1) = 1. За x = 2 получаваме f(2) = 2 2 = 4, т.е. y = 4; за x = - 3 получаваме f(- 3) = (- 3) 2 = 9, т.е. y = 9 и т.н.

Още в 7 клас вие и аз започнахме да разбираме, че в равенството y = f(x) дясна част, т.е. изразът f(x) не се ограничава до четирите случая, изброени по-горе (C, kx, kx + m, x 2).
Например, вече сме се сблъсквали с функции на части, т.е. функции, дефинирани с различни формули на различни интервали. Ето една такава функция:

y = f(x), където

Спомняте ли си как се чертаят такива функции? Първо трябва да построите парабола y = x 2 и да вземете нейната част при x< 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х >0 (фиг. 2). И накрая, трябва да комбинирате двете избрани части в един чертеж, т.е. да надграждате върху един координатна равнина(виж Фиг. 3).

Сега нашата задача е следната: да попълним запаса от изучавани функции. IN Истински животима процеси, описани от различни математически моделипод формата y = f(x), а не само тези, които изброихме по-горе. В този раздел ще разгледаме функцията y = kx 2, където коефициентът k е всяко ненулево число.

Всъщност функцията y = kx 2 в един случай ви е малко позната. Вижте: ако k = 1, тогава получаваме y = x 2; Учили сте тази функция в 7 клас и вероятно си спомняте, че нейната графика е парабола (фиг. 1). Нека обсъдим какво се случва при други стойности на коефициента k.
Да разгледаме две функции: y = 2x 2 и y = 0,5x 2. Нека направим таблица със стойности за първата функция y = 2x 2:

Нека построим точките (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1.5; 4.5), (-1.5; 4,5) върху координатната равнина (фиг. 4); те очертават определена линия, нека я начертаем

(фиг. 5).
Нека направим таблица със стойности за втората функция y = 0,5x 2:

Нека построим точки (0; 0), (1; 0.5), (-1; 0.5), (2; 2), (-2; 2), C; 4.5), (-3; 4.5) върху координатната равнина (фиг. 6); те очертават определена линия, нека я начертаем (фиг. 7)

.

Точките, показани на фиг. 4 и 6 понякога се наричат ​​контролни точки за графиката на съответната функция.

Сравнете фигури 1, 5 и 7. Не е ли вярно, че начертаните линии са подобни? Всяка от тях се нарича парабола; в този случай точката (0; 0) се нарича връх на параболата, а оста y е оста на симетрия на параболата. „Скоростта на движение нагоре“ на клоните на параболата зависи от стойността на коефициента k или, както се казва още,
"степен на стръмност" на парабола. Това се вижда ясно на фиг. 8, където и трите параболи, построени по-горе, са разположени в една и съща координатна равнина.

Ситуацията е абсолютно същата с всяка друга функция от формата y = kx 2, където k > 0. Нейната графика е парабола с върха в началото, клоновете на параболата са насочени нагоре и колкото по-стръмни са, толкова по-високо е коефициент k. Оста y е оста на симетрия на параболата. Между другото, за краткост математиците често казват „парабола y = kx 2“ вместо дългата фраза „парабола, служеща като графика на функцията y = kx 2“, и вместо термина „ос на симетрия на парабола” те използват термина “параболна ос”.

Забелязвате ли, че има аналогия с функцията y = kx? Ако k > 0, тогава графиката на функцията y = kx е права линия, минаваща през началото на координатите (не забравяйте, казахме накратко: права линия y = kx), и тук също „степента на стръмност“ на правата зависи от стойността на коефициента k. Това ясно се вижда на
ориз. 9, където графики на линейни функции y = kx са показани в една координатна система за три стойности на коефициента

Нека се върнем към функцията y = kx 2. Нека разберем как стоят нещата в случай на отрицателен коефициент ft. Нека построим например графика на функцията

y = - x 2 (тук k = - 1). Нека създадем таблица със стойности:

Маркирайте точките (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9) върху координатната равнина (фиг. 10); те очертават определена линия, нека я начертаем (фиг. 11). Това е парабола с връх в точката (0; 0), оста y е оста на симетрия, но за разлика от случая, когато k > 0, този път клоновете на параболата са насочени надолу. Подобно е положението и при други отрицателни стойностикоефициент k.

И така, графиката на функция е парабола с нейния връх в началото; оста y е оста на параболата; клоновете на параболата са насочени нагоре при k>0 u надолу при k<0.

Нека също така да отбележим, че параболата y = kx 2 докосва оста x в точката (0; 0), т.е. единият клон на параболата плавно преминава в другия, сякаш се притиска към оста x.
Ако начертаете графики на функциите y = x2 и y = - x2 в една и съща координатна система, тогава е лесно да забележите, че тези параболи са симетрични една спрямо друга спрямо оста x, което е ясно видимо на фиг. 12. По същия начин параболите y = 2x 2 и y = - 2x 2 са симетрични една спрямо друга спрямо оста x (не бъдете мързеливи, изградете тези
две параболи в една и съща координатна система и се уверете, че твърдението е вярно).

Като цяло графиката на функцията y = - f(x) е симетрична на графиката на функцията y = f(x) спрямо абсцисата.

Свойства на функцията y = kx 2 за k > 0

Описвайки свойствата на тази функция, ще разчитаме на нейния геометричен модел - парабола (фиг. 13).

1. Тъй като за всяка стойност на x съответната стойност на y може да бъде изчислена с помощта на формулата y = kx 2, функцията е дефинирана във всяка точка x (за всяка стойност на аргумента x). Накратко се записва така: областта на дефиниране на функцията е (-oo, +oo), т.е. цялата координатна линия.

2. y = 0 при x = 0; y > O при . Това може да се види и от графиката на функцията (тя е изцяло разположена над оста x), но може да бъде обосновано без помощта на графика: ако

Тогава kx 2 > O като произведение на две положителни числа k и x 2 .

3. y = kx 2 е непрекъсната функция. Нека припомним, че засега разглеждаме този термин като синоним на изречението „графиката на функция е плътна линия, която може да се начертае, без да се вдига моливът от хартията“. В по-горните класове ще бъде дадена по-прецизна математическа интерпретация на концепцията за непрекъснатост на функция, без да се разчита на геометрична илюстрация.

4.y/ naim = 0 (постигнато при x = 0); nai6 не съществува.

Нека си припомним, че (/max е най-малката стойност на функцията, а Unaib. е най-голямата стойност на функцията за даден интервал; ако интервалът не е посочен, тогава unaim- и y max. са съответно най-малките и най-висока стойностфункции в областта на дефиницията.

5. Функцията y = kx 2 расте при x > O и намалява при x< 0.

Нека си припомним, че в курса по алгебра за 7-ми клас се съгласихме да наричаме функция, чиято графика на разглеждания интервал върви отляво надясно, сякаш „нагоре“, нараствайки, и функция, чиято графика на разглеждания интервал върви отляво на надясно, сякаш „надолу“, - намалява. По-точно можем да кажем следното: казва се, че функцията y = f (x) нараства на интервала X, ако на този интервал съответства по-голяма стойност на аргумента
по-голяма функционална стойност; се казва, че функция y = f (x) намалява на интервал X, ако на този интервал по-голяма стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията.

В учебника по алгебра 7 нарекохме процеса на изброяване на свойствата на функция четене на графика. Процесът на четене на графика постепенно ще става по-богат и по-интересен, докато научаваме нови свойства на функциите. Обсъдихме петте свойства, изброени по-горе, в 7 клас за функциите, които изучавахме там. Нека добавим едно ново свойство.

Функция y = f(x) се нарича ограничена отдолу, ако всички стойности на функцията са по-големи от определено число. Геометрично това означава, че графиката на функцията е разположена над определена права линия, успоредна на оста x.

Сега вижте: графиката на функцията y = kx 2 се намира над правата линия y = - 1 (или y = - 2, няма значение) - показано е на фиг. 13. Следователно y - kx2 (k > 0) е функция, ограничена отдолу.

Наред с функциите, ограничени отдолу, се разглеждат и функции, ограничени отгоре. Казва се, че функция y - f(x) е ограничена отгоре, ако всички стойности на функцията са по-малки от определено число. Геометрично това означава, че графиката на функцията е разположена под някаква права линия, успоредна на оста x.
Има ли такава права за параболата y = kx 2, където k > 0? Не. Това означава, че функцията не е ограничена отгоре.

И така, имаме още едно свойство, нека го добавим към петте изброени по-горе.

6. Функцията y = kx 2 (k > 0) е ограничена отдолу и не е ограничена отгоре.

Свойства на функцията y = kx 2 за k< 0

Когато описваме свойствата на тази функция, ние разчитаме на нейния геометричен модел - парабола (фиг. 14).

1. Областта на дефиниране на функцията е (—oo, +oo).

2. y = 0 при x = 0; при< 0 при .

Z.у = kx 2 е непрекъсната функция.
4. y nai6 = 0 (постигнато при x = 0), unaim не съществува.

5. Функцията нараства с x< 0, убывает при х > 0.

6. Функцията е ограничена отгоре и не е ограничена отдолу.

Нека обясним последното свойство: има права линия, успоредна на оста x (например y = 1, тя е начертана на фиг. 14), така че цялата парабола лежи под тази права линия; това означава, че функцията е ограничена отгоре. От друга страна е невъзможно да се направи такава права линия успоредна на оста x, така че цялата парабола да е разположена над тази права линия; това означава, че функцията не е ограничена отдолу.

Редът на ходовете, използван по-горе при изброяване на свойствата на функция, не е закон, стига тя да се е развила хронологично по този начин.

Постепенно ще разработим повече или по-малко определен ред от ходове и ще го обединим в курса по алгебра за 9-ти клас.

Пример 1.Намерете най-малката и най-голямата стойност на функцията y = 2x 2 на сегмента: а) ; б) [- 2, - 1]; в) [- 1, 1,5].

Решение.
а) Да построим графика на функцията y = 2x2 и да маркираме нейната част върху отсечката (фиг. 15). Отбелязваме, че 1/им. = 0 (постигнато при x = 0) и y max = 8 (постигнато при x = 2).

б) Да построим графика на функцията y = 2x2 и да маркираме нейната част върху отсечката [- 2, - 1] (фиг. 16). Отбелязваме, че 2/max = 2 (постигнато при x = - 1) и y max = 8 (постигнато при x = - 2).

в) Да построим графика на функцията y = 2x2 и да маркираме нейната част върху отсечката [- 1, 1.5] (фиг. 17). Отбелязваме, че unanm = 0 (постигнат при x = 0), а y е най-постигнат в точката x = 1,5; Нека изчислим тази стойност: (1,5) = 2-1,5 2 = 2-2,25 = 4,5. И така, y max =4,5.

Пример 2.Решете уравнението - x 2 = 2x - 3.

Решение. В учебника „Алгебра-7“ разработихме алгоритъм за графично решаване на уравнения, нека си го припомним.

За да решите уравнението f(x) = g (x) графично, трябва:

1) разгледайте две функции y = -x 2 и y = 2x -3;
2) построете графика на функцията i/ = / (x);
3) построете графика на функцията y = g (x);
4) намиране на пресечните точки на построените графики; абсцис-
Системите на тези точки са корените на уравнението f(x) = g (x).
Нека приложим този алгоритъм към даденото уравнение.
1) Разгледайте две функции: y = - x2 и y = 2x - 3.
2) Да построим парабола - графика на функцията y = - x 2 (фиг. 18).

3) Нека построим графика на функцията y = 2x - 3. Това е права линия, за да я построим, достатъчно е да намерим произволни две точки на графиката. Ако x = 0, тогава y = - 3; ако x = 1,

тогава y = -1. И така, намерихме две точки (0; -3) и (1; -1). Правата линия, минаваща през тези две точки (графика на функцията y = 2x - 3), е изобразена в същия

чертеж (виж фиг. 18).

4) Според чертежа откриваме, че правата и параболата се пресичат в две точки A(1; -1) и B(-3; -9). Това означава, че това уравнение има два корена: 1 и - 3 - това са абсцисите на точки A и B.

Отговор: 1,-3.

Коментирайте.Разбира се, не можете да се доверявате сляпо на графичните илюстрации. Може би просто ни се струва, че точка А има координати (1; - 1) и нататък
Всъщност различни ли са например (0,98; - 1,01)?

Затова винаги е полезно да се проверявате. Така че в разглеждания пример трябва да се уверите, че точка A(1; -1) принадлежи на параболата y = - x 2 (това е лесно - просто заменете координатите на точка A във формулата y = - x 2 ; получаваме - 1 = - 1 2 - правилно числено равенство) и правата линия y = 2x - 3 (и това е лесно - просто заменете координатите на точка A във формулата y = 2x - 3; получаваме - 1 = 2-3 - правилното числово равенство). Същото трябва да се направи и за
точки 8. Тази проверка показва, че в разглежданото уравнение графичните наблюдения са довели до правилния резултат.

Пример 3.Решете система от уравнения

Решение. Нека преобразуваме първото уравнение на системата във формата y = - x 2. Графиката на тази функция е парабола, показана на фиг. 18.
Нека трансформираме второто уравнение на системата във формата y = 2x - 3. Графиката на тази функция е правата линия, показана на фиг. 18.

Параболата и правата се пресичат в точки A (1; -1) и B (- 3; - 9). Координатите на тези точки служат като решения на дадена система от уравнения.

Отговор: (1; -1), (-3; -9).

Пример 4. Дадена е функция y - f (x), където

Задължително:

а) изчислете f(-4), f(-2), f(0), f(1,5), f(2), f(3);

б) построете графика на функцията;

в) използвайте графика, за да изброите свойствата на функцията.

Решение,

а) Стойността x = - 4 удовлетворява условието - следователно f(-4) трябва да се изчисли с помощта на първия ред от дефиницията на функцията. Имаме f(x) = - 0,5x2, което означава
f(-4) = -0,5 . (-4) 2 = -8.
По същия начин намираме:

f(-2) = -0,5 . (-2) 2 =-2;
f(0) = -0,5 . 0 2 = 0.

Стойността отговаря на условието, така че трябва да се изчисли с помощта на втория ред от спецификацията на функцията. Имаме f(x) = x + 1, което означава

Стойността x = 1,5 удовлетворява условие 1< х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х 2 , значит,
f(1,5) = 2-1,5 2 = 4,5.
По същия начин получаваме
f(2)= 2 . 2 2 =8.
Стойността x = 3 не удовлетворява нито едно от трите условия за определяне на функцията и следователно f(3) в в такъв случайне може да се изчисли, точката x = 3 не принадлежи към областта на дефиниране на функцията. Задачата за изчисляване на f(3) е неправилна.

б) Ще изградим графиката „част по част“. Първо, нека да построим парабола y = -0.5x 2 и да изберем нейната част върху сегмента [-4, 0] (фиг. 19). След това построяваме правата линия y = x + 1 u. Нека изберем нейната част на полуинтервала (0, 1] (фиг. 20). След това ще построим парабола y = 2x2 и ще изберем нейната част на полуинтервала

(1, 2] (фиг. 21).

Накрая ще изобразим и трите „парчета“ в една координатна система; получаваме графика на функцията y = f(x) (фиг. 22).

в) Нека да изброим свойствата на функцията или както се разбрахме да кажем, да прочетем графиката.

1. Областта на дефиниране на функцията е отсечката [—4, 2].

2. y = 0 при x = 0; y > 0 при 0<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.

3. Функцията претърпява прекъсване при x = 0.

4. Функцията нараства на отсечката [-4, 2].

5. Функцията е ограничена както отдолу, така и отгоре.

6. y max = -8 (постигнато при x = -4); y most6 . = 8 (постигнато при x = 2).

Пример 5.Дадена е функцията y = f(x), където f(x) = 3x 2. Намирам:

f(1), f(- 2), f(а), f(2а), f(а + 1), f(-х), f(Зх), f(x - 1),
f(x + a), f(x) + 5, f(x) + b, f(x + a) + b, f(x 2), f(2x 3).

Решение. Тъй като f (x) = 3x 2, ние последователно получаваме:

f(1) =3 .1 2 = 3;
f(a) = За 2;
f(a+1) = 3(a + 1) 2 ;
f(3x) = 3.(3x) 2 = 27x 2;
f(x + a) = 3(x + a) 2 ;

f(x 2) +b = 3x 2 +b
f(x 2) = 3 . (x 2) 2

F(- 2) = Z . (-2) 2 = 12
f(2a) =З . (2a) 2 =12a 2

F(x) =З . (-x) 2 =3x 2

F(-x)+ 5 =3x 2 +5
f(x + a) + b = 3 (x + a) 2 + b;
f(2x 3) = 3 . (2x3)2

Този видео урок за курс по математика ще ви запознае със свойствата на функцията y = k/x, при условие че стойността на k е отрицателна.
В предишните ни видео уроци се запознахте с функцията y е равно на k делено на x, нейната графика, която се нарича „хипербола“, както и свойствата на графиката за положителна стойност на k. Това видео ще ви запознае със свойствата на коефициента k, когато стойността му е отрицателна, тоест по-малка от нула.

Свойствата на равенството, при което y е равно на коефициента k, делено на независимата променлива x, при условие че коефициентът е отрицателен, са представени във видеото.
Когато описват свойствата на тази функция, на първо място те разчитат на нейния геометричен модел - хипербола.

Свойство 1. Домейнът на функция се състои от всички числа, но от това следва, че x не може да е равно на 0, защото не можете да разделите на нула.
Свойство 2. y е по-голямо от нула, при условие че x е по-малко от нула; и, съответно, напротив, y е по-малко от нула при стойност, когато x е в диапазона, по-голям от нула и до безкрайност.
Свойство 3. Функцията нараства на интервали от минус безкрайност до нула и от нула до плюс безкрайност: (-∞, 0) и (0, +∞).
Свойство 4. Функцията е безкрайна, тъй като няма ограничения нито отдолу, нито отгоре.
Свойство 5. Функцията няма нито най-малки, нито най-големи стойности, тъй като е безкрайна.
Свойство 6. Функцията е непрекъсната в интервалите от минус безкрайност до нула (-∞, 0) и от нула до безкрайност (0, +∞) и трябва да се отбележи, че тя претърпява прекъсване в случай, когато x има a стойност нула.
Свойство 7. Обхватът на функциите е обединението на два отворени лъча от минус безкрайност до нула (-∞, 0) и от нула до плюс безкрайност (0, +∞).

Следващият видеоклип предоставя примери. Ще разгледаме само няколко от тях; препоръчваме да гледате останалите сами в предоставените видеоклипове.
И така, нека да разгледаме първия пример. Необходимо е да се реши следното уравнение: 4/x = 5-x.
За по-голямо удобство разделяме решението на това равенство на няколко етапа:
1) Първо, ние записваме нашето равенство под формата на две отделни уравнения: y = 4/x и y = 5-x/
2) След това, както е показано във видеото, начертаваме функцията y = 4/x, която е хипербола.
3) След това изграждаме графика на линейна функция. В този случай това е права линия, която може да бъде изградена от две точки. Графиките са представени в нашия видео материал.
4) Въз основа на самия чертеж определяме точките, в които двете ни графики се пресичат, както хиперболата, така и правата. Трябва да се отбележи, че те се пресичат в точки A (1; 4) и B (4; 1). Проверката на получените резултати показва, че те са верни. Това уравнение може да има два корена 1 и 4.

Следният пример, разгледан във видео урока, има следната задача: построете и прочетете графика на функцията y = f(x), където f(x) = -x2, ако променливата x е в диапазона от по-голямо от или равно на -2 и на по-голямо от или е равно на 1 и y = -1/x, ако x е по-голямо от едно.
Решението се извършва на няколко етапа. Първо изграждаме графика на функцията y = -x2, която се нарича "парабола", и избираме нейната част в областта от - 2 до 1. За да видите графиката, вижте видеоклипа.

Следващата стъпка е да се построи хипербола за равенството y = -1/x и да се избере частта му върху отворения лъч от единица до безкрайност. След това преместваме и двете графики в една и съща координатна система. В резултат на това получаваме графика на функцията y = f(x).
След това трябва да прочетете графиката на функцията y = f(x):
1. Областта на дефиниране на функцията е лъч в областта от -2 до +∞.
2. y е равно на нула в случая, когато x е равно на нула; y е по-малко от нула, когато x е по-голямо или равно на -2 и по-малко от нула, а също и когато x е по-голямо от нула.
3. Функцията нараства в областта от -2 до 0 и в областта от 1 до безкрайност, графиката показва намаляване на областта от нула до единица.
4. Функция със зададени параметри е ограничена както отдолу, така и отгоре.
5. Най-малката стойност на променливата y е - 4 и се постига, когато стойността на x е на ниво - 2; и също така най-голямата стойност на y е 0, което се постига, когато стойността на x е равна на нула.
6. В дадена област на дефиниция нашата функция е непрекъсната.
7. Областта на стойността на функцията се намира в интервала от -4 до 0.
8. Функцията е изпъкнала нагоре върху отсечката от -2 до 1 и върху лъча от 1 до безкрайност.
Можете да се запознаете с останалите примери, като гледате представения видеоклип.

Понятието числова функция. Методи за задаване на функция. Свойства на функциите.

Числовата функция е функция, която действа от едно числово пространство (набор) към друго числово пространство (набор).

Три основни начина за дефиниране на функция: аналитичен, табличен и графичен.

1. Аналитичен.

Методът за определяне на функция с помощта на формула се нарича аналитичен. Този метод е основният в мат. анализ, но на практика не е удобно.

2. Табличен метод за задаване на функция.

Функция може да бъде определена с помощта на таблица, съдържаща стойностите на аргументите и съответните им функционални стойности.

3. Графичен метод за задаване на функция.

Казва се, че функция y=f(x) е дадена графично, ако нейната графика е построена. Този метод за определяне на функция позволява да се определят стойностите на функцията само приблизително, тъй като конструирането на графика и намирането на стойностите на функцията върху нея е свързано с грешки.

Свойства на функция, които трябва да се вземат предвид при изграждането на нейната графика:

1) Областта на дефиниране на функцията.

Домейн на функцията,т.е. тези стойности, които аргументът x на функцията F =y (x) може да приеме.

2) Интервали на нарастващи и намаляващи функции.

Функцията се нарича нарастващавърху разглеждания интервал, ако на по-голяма стойност на аргумента съответства по-голяма стойност на функцията y(x). Това означава, че ако два произволни аргумента x 1 и x 2 са взети от разглеждания интервал и x 1 > x 2, тогава y(x 1) > y(x 2).

Функцията се нарича намаляващавърху разглеждания интервал, ако на по-голяма стойност на аргумента съответства по-малка стойност на функцията y(x). Това означава, че ако два произволни аргумента x 1 и x 2 са взети от разглеждания интервал и x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Функционални нули.

Точките, в които функцията F = y (x) пресича абсцисната ос (те се получават чрез решаване на уравнението y(x) = 0), се наричат ​​нули на функцията.

4) Четни и нечетни функции.

Функцията се нарича дори, if за всички стойности на аргументи от обхвата

y(-x) = y(x).

Графиката на четна функция е симетрична спрямо ординатата.

Функцията се нарича странна, ако за всички стойности на аргумента от домейна на дефиницията

y(-x) = -y(x).

Графиката на четна функция е симетрична спрямо началото.

Много функции не са нито четни, нито нечетни.

5) Периодичност на функцията.

Функцията се нарича периодична,ако има число P такова, че за всички стойности на аргумента от областта на дефиницията

y(x + P) = y(x).

Линейна функция, неговите свойства и графика.

Линейната функция е функция на формата y = kx + b, дефинирана върху множеството от всички реални числа.

к– наклон (реално число)

b– фиктивен термин (реално число)

х- независима променлива.

· В специалния случай, ако k = 0, получаваме постоянна функция y = b, чиято графика е права линия, успоредна на оста Ox, минаваща през точката с координати (0; b).

· Ако b = 0, тогава получаваме функцията y = kx, което е пряка пропорционалност.

о Геометрично значениекоефициентът b е дължината на сегмента, отрязан от правата линия по оста Oy, считано от началото.

o Геометричният смисъл на коефициента k е ъгълът на наклона на правата към положителната посока на оста Ox, изчислен обратно на часовниковата стрелка.

Свойства на линейна функция:

1) Областта на дефиниране на линейна функция е цялата реална ос;

2) Ако k ≠ 0, тогава диапазонът от стойности на линейната функция е цялата реална ос.

Ако k = 0, тогава диапазонът от стойности на линейната функция се състои от числото b;

3) Четността и нечетността на линейната функция зависят от стойностите на коефициентите k и b.

а) b ≠ 0, k = 0, следователно y = b – четно;

б) b = 0, k ≠ 0, следователно y = kx – нечетно;

в) b ≠ 0, k ≠ 0, следователно y = kx + b е функция от общ вид;

г) b = 0, k = 0, следователно y = 0 е едновременно четна и нечетна функция.

4) Линейната функция не притежава свойството периодичност;

5) Точки на пресичане с координатни оси:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, следователно (-b/k; 0) е пресечната точка с оста x.

Oy: y = 0k + b = b, следователно (0; b) е пресечната точка с ординатата.

Коментирайте. Ако b = 0 и k = 0, тогава функцията y = 0 изчезва за всяка стойност на променливата x. Ако b ≠ 0 и k = 0, тогава функцията y = b не изчезва за никоя стойност на променливата x.

6) Интервалите с постоянен знак зависят от коефициента k.

а) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – положително при x от (-b/k; +∞),

y = kx + b – отрицателно за x от (-∞; -b/k).

б) к< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – положително при x от (-∞; -b/k),

y = kx + b – отрицателно за x от (-b/k; +∞).

в) k = 0, b > 0; y = kx + b е положителен в цялата област на дефиниция,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Интервалите на монотонност на линейна функция зависят от коефициента k.

k > 0, следователно y = kx + b нараства в цялата област на дефиниция,

к< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Функция y = ax 2 + bx + c, нейните свойства и графика.

Функцията y = ax 2 + bx + c (a, b, c са константи, a ≠ 0) се нарича квадратнаВ най-простия случай y = ax 2 (b = c = 0) графиката е крива линия, минаваща през началото. Кривата, служеща за графика на функцията y = ax 2, е парабола. Всяка парабола има ос на симетрия, наречена оста на параболата.Точката O на пресечната точка на парабола с нейната ос се нарича върха на параболата.

Графикът може да бъде изграден според следната диаграма: 1) Намерете координатите на върха на параболата x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Построяваме още няколко точки, които принадлежат на параболата, като при конструирането можем да използваме симетриите на параболата спрямо правата x = -b/2a. 3) Свържете посочените точки с гладка линия. Пример. Начертайте графика на функцията b = x 2 + 2x - 3.Решения. Графиката на функцията е парабола, чиито клонове са насочени нагоре. Абсцисата на върха на параболата x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, нейните ординати y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. И така, върхът на параболата е точка (-1; -4). Нека съставим таблица със стойности за няколко точки, които са разположени вдясно от оста на симетрия на параболата - права линия x = -1. Функционални свойства.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост, в съответствие със закона, съдебна процедура, В пробен период, и/или въз основа на публични искания или искания от държавни агенции в Руската федерация - разкрива личната ви информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Дефиниция на линейна функция

Нека въведем дефиницията на линейна функция

Определение

Функция от вида $y=kx+b$, където $k$ не е нула, се нарича линейна функция.

Графиката на линейна функция е права линия. Числото $k$ се нарича наклон на правата.

Когато $b=0$ линейната функция се нарича функция на права пропорционалност $y=kx$.

Разгледайте фигура 1.

Ориз. 1. Геометрично значение на наклона на линия

Да разгледаме триъгълника ABC. Виждаме, че $ВС=kx_0+b$. Да намерим пресечната точка на правата $y=kx+b$ с оста $Ox$:

\ \

Така че $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Нека намерим отношението на тези страни:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

От друга страна, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Така можем да направим следния извод:

Заключение

Геометричен смисъл на коефициента $k$. Фактор на наклонаправата $k$ е равна на тангенса на ъгъла на наклона на тази права спрямо оста $Ox$.

Изследване на линейната функция $f\left(x\right)=kx+b$ и нейната графика

Първо, разгледайте функцията $f\left(x\right)=kx+b$, където $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Следователно тази функция се увеличава в цялата област на дефиниция. Няма крайни точки.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Графика (фиг. 2).

Ориз. 2. Графики на функцията $y=kx+b$, за $k > 0$.

Сега разгледайте функцията $f\left(x\right)=kx$, където $k

1. Областта на дефиниция са всички числа.
2. Диапазонът от стойности е всички числа.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функцията не е нито четна, нито нечетна.
4. За $x=0,f\left(0\right)=b$. Когато $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Пресечни точки с координатни оси: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ и $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Следователно функцията няма инфлексни точки.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Графика (фиг. 3).