التحليل النوعي للأنظمة الديناميكية. تحليل الخصائص الديناميكية للنظام

الأتمتة والميكانيكا عن بعد، L-1، 2007

RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 يو.س. بوبكوف، دكتور في الهندسة. العلوم (معهد تحليل النظم RAS، موسكو)

التحليل النوعي للأنظمة الديناميكية باستخدام مشغل Vd-ENTROPY

تم اقتراح طريقة لدراسة وجود وتفرد وتوطين النقاط الفردية لفئة DSEO المدروسة. يتم الحصول على شروط الاستقرار "في الصغير" و"في الكبير". وترد أمثلة على تطبيق الشروط التي تم الحصول عليها.

1 المقدمة

يمكن حل العديد من مشكلات النمذجة الرياضية للعمليات الديناميكية بناءً على مفهوم الأنظمة الديناميكية ذات عامل الإنتروبيا (DSEO). DSEO هو نظام ديناميكي يتم فيه وصف اللاخطية من خلال المشكلة البارامترية لتعظيم الإنتروبيا. من الناحية العضلية، يعد DSEO نموذجًا لنظام ماكرو ذو تكاثر ذاتي "بطيء" وتوزيع "سريع" للموارد. تمت دراسة بعض خصائص DSEO في. يواصل هذا العمل دورة البحث في الخصائص النوعية لـ DSEO.

نحن نعتبر نظامًا ديناميكيًا مع عامل الإنتروبيا Vd:

^ = £(x,y(x)), x e En:

y(x) = a^shax(Hb(y) | Ty = q(x), y e E^) > 0.

في هذه التعبيرات:

C(x,y), c(x) هي دوال متجهة قابلة للتمييز بشكل مستمر؛

إنتروبيا

(1.2) Нв (у) = з 1п az > 0, з = Т~т;

T - (rxw)-مصفوفة تحتوي على عناصر ^ 0 لها رتبة كاملة تساوي r؛

من المفترض أن تكون دالة المتجه q(x) قابلة للتفاضل بشكل مستمر، والمجموعة ^ ^^ ^tached q هي متوازي سطوح موجب

(1.3) س = (ف: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

حيث a- و a + متجهان من E+، وa- متجه ذو مكونات صغيرة.

استخدام التمثيل المعروف لمشغل الإنتروبيا من حيث مضاعفات لاغرانج. ولنحول النظام (1.1) إلى الشكل التالي:

- = £(x,y(z)), x e Kn, y(z) e K?, g e Er+

عوز (ص) = أز\\ ^، 3 = 1،ت-

O(x,z) = تاي(z) = د(x),

حيث rk = exp(-Ak) > 0 هي مضاعفات لاغرانج الأسية.

إلى جانب DSEO بالشكل العام (1.1)، سننظر في اتباع التصنيف الوارد في.

DSEO مع تدفق قابل للفصل:

(1-5) ^ = أنا(س) + Ву(ص)،

حيث B(nxm)-مصفوفة؛

DSEO مع التدفق المضاعف:

(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xi(z))، ab

حيث Ш عبارة عن مصفوفة (n x m) ذات عناصر غير سالبة، وa عبارة عن متجه بمكونات موجبة، و® علامة ضرب الإحداثيات.

الهدف من هذا العمل هو دراسة وجود وتفرد وتوطين النقاط الفردية لـ DSEO واستقرارها.

2. النقاط المفردة

2.1. وجود

دعونا ننظر في النظام (1.4). يتم تحديد النقاط الفردية لهذا النظام الديناميكي بالمعادلات التالية:

(2.1) C^(x,y(z))=0, z = TP;

(2.2) كيلو هرتز (ص) = أ^ ص^، 3 = تي^:

(2.3) vk (r) = ^ az r^ = dk (x)، k = 1، r.

دعونا نفكر أولاً في نظام المعادلات المساعد:

(2.4) C(d,r) = g, d e R,

حيث يتم تعريف المجموعة R بالمساواة (1.3) وC(d,r) هي دالة متجهة ذات مكونات

(2.5) Sk(d,g) = - Ok(g), a-< дк < а+, к =1,г.

تحتوي المعادلة (2.4) على حل فريد r* لكل متجه ثابت d، والذي يتبع من خصائص عامل الإنتروبيا Vd (انظر).

من تعريف مكونات الدالة المتجهة C(d,r) هناك تقدير واضح:

(2.6) ج(أ+،ص)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

دعونا نشير إلى حل المعادلة الأولى بـ r+ والثانية بـ r-. دعونا نحدد

(2.7) ج (أ+،ض) = ض، ج(أ

(2.8) zmaX = الحد الأقصى z+، zmin = مم zk

وناقلات الأبعاد

(2.9) ض (زماكس، زماكس)، ض (زمين، زمين).

ليما 2.1. لجميع حلول q G Q (1 . 3) z*(q) للمعادلة (2.4) تنتمي، المتجه 1 إلى المقطع

zmin< z*(q) < zmax,

حيث يتم تحديد المتجهين zmin وzmax بالتعبيرات (2.7)-(2.9).

ويرد إثبات النظرية في الملحق. ف ف

qk(x) (1.3) لـ x G Rn، إذن

النتيجة الطبيعية 2.1. دع شروط Lemma 2.1 تكون مستوفاة والدالات qk(x) تستوفي الشروط (1.3) لجميع ex x G Rn. ثم لجميع x G Rm الحلول z* للمعادلة (2.3) تنتمي إلى الجزء المتجه

zmin< z* < zmax

دعونا نعود الآن إلى المعادلات (2.2). التي تحدد مكونات دالة المتجه y(z). عناصر اليعقوبي لها الشكل

(2.10) ج ب ج زك ج ج & > 0

لجميع z G R + باستثناء 0 و f. وبالتالي، فإن الدالة المتجهة y(z) تتزايد بشكل رتيب. وفقًا لـ Lemma 2.1، فهو مُحدَّد من الأسفل والأعلى، أي. لجميع z G Rr (وبالتالي لجميع x G Rn) تنتمي قيمها إلى المجموعة

(2.11) ص = (ص: ص-< y < y+},

حيث يتم تحديد مكونات المتجهات yk و y+ بواسطة التعبيرات:

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax، j = h™.

(2.13) بج = ص، تسج، 3 =1،

لنتأمل المعادلة الأولى في (2.1) ونعيد كتابتها بالصيغة:

(2.14) L(x,y) = 0 للجميع y e Y C E^.

تحدد هذه المعادلة اعتماد المتغير x على المتغير y التابع لـ Y

نحن (1.4) نختصر وجود دالة ضمنية x(y) محددة بالمعادلة (2.14).

ليما 2.2. لتتحقق الشروط التالية:

أ) دالة المتجه L(x,y) مستمرة في مجموعة المتغيرات؛

ب) ليم L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

ج) det J (x, y) = 0 لجميع ex x e Ep لأي ثابت y e Y.

ثم هناك دالة ضمنية فريدة x*(y) محددة على Y. في هذه الكلمة، J(x, y) هي دالة يعقوبية بها عناصر

(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.

ويرد دليل في الملحق. من الليما أعلاه يتبع

نظرية 2.1. دع شروط Lemmas 2.1 و 2.2 تكون مستوفاة. ثم هناك نقطة مفردة فريدة لـ DSEO (1.4) وبالتالي (1.1).

2.2. الموقع

من خلال دراسة تحديد موقع نقطة منفردة نعني إمكانية تحديد الفاصل الزمني الذي تقع فيه. هذه المهمة ليست بسيطة للغاية، ولكن بالنسبة لفئة معينة من DSEO، يمكن تعيين مثل هذا الفاصل الزمني.

لننتقل إلى المجموعة الأولى من المعادلات في (2.1) ونمثلها بالشكل

(2.16) L(x,y)=0, y- y yy+,

حيث يتم تعريف y- وy+ بالمساواة (2.12)، (2.13).

نظرية 2.2. دع وظيفة المتجه L(x,y) تكون قابلة للتمييز بشكل مستمر وتتزايد بشكل رتيب في كلا المتغيرين، أي.

--> 0, --> 0; ط، ل = 1، ن؛ ي = 1،م. dxi dyj

إذن حل النظام (2.16) بالنسبة للمتغير x ينتمي إلى المجال (2.17) xmin х x х xmax،

أ) المتجهات xmin، xmax لها الشكل

الحد الأدنى = i x 1 xmax = r x t;

\xمين: . ..،xminlxmax، . . .، ماكس):

xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;

6) x- و x+ - مكونات حل المعادلات التالية

(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0

مع س م حقا.

ويرد إثبات النظرية في الملحق.

3. استقرار DSEO "في الشركات الصغيرة"

3.1. DSEO مع تدفق قابل للفصل دعونا ننتقل إلى معادلات DSEO مع تدفق قابل للفصل، ونقدمها في النموذج:

- = /(x) + Bu(r(x))، x e Kn ab

U- (g(X)) = azP (X)U33، 3 = 1،"~ 8 = 1

0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = d(x), g e Hg,.

هنا تنتمي قيم مكونات الدالة المتجهة d(x) إلى المجموعة Q (1.3)، والمصفوفة (n x w) B لها رتبة كاملة تساوي n (n)< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

دع النظام قيد النظر له نقطة مفردة x. لدراسة استقرار هذه النقطة المفردة "في الصغيرة" قمنا ببناء نظام خطي

حيث A عبارة عن مصفوفة (n x n)، يتم حساب عناصرها عند النقطة x، والمتجه £ = x - x. ووفقا للمعادلة الأولى في (3.1)، فإن مصفوفة النظام الخطي لديها

A = 7 (x) + BUg (g)Ikh (x)، x = g (x)،

| 3 = 1،ث،ك = 1،

أنا ك = 1، ز، أنا = 1، ص

من (3.1) يتم تحديد عناصر المصفوفة Vr: DN.

"بكز ف" 8=1

3، ج8 ×8، 5 1، ز.

ولتحديد عناصر المصفوفة Zx ننتقل إلى المجموعة الأخيرة من المعادلات في (3.1). لقد تبين أن هذه المعادلات تحدد دالة متجهة ضمنية r(x)، والتي تكون قابلة للاشتقاق بشكل مستمر إذا كانت دالة المتجه d(x) قابلة للاشتقاق بشكل مستمر. يتم تحديد Jacobian Zx لدالة المتجه r(x) بالمعادلة

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vg (X) = T Ug (X)،

ddk, -t- , -" -- k = 1,g, I = 1,p dx\

من هذه المعادلة لدينا (3.9) Zx(x) = в-1(z)Qx(x).

استبدال هذه النتيجة بالمساواة (3.3). نحن نحصل:

أ = 1 (س) + ف (س)، ف (س) = ВУг (г)[ТУг (г)]-1 Qx(x).

وهكذا تأخذ معادلة النظام الخطي الشكل

(زي) | = (ي + ع)ه

هنا يتم حساب عناصر المصفوفات J، P عند نقطة المفرد. يتم تحديد الظروف الكافية للاستقرار "في DSEO الصغيرة" (3.1) على النحو التالي

نظرية 3.1. يتمتع DSEO (3.1) بنقطة مفردة ثابتة "في الصغيرة" x إذا تم استيفاء الشروط التالية:

أ) المصفوفات J، P (3.10) للنظام الخطي (3.11) لها قيم ذاتية حقيقية ومتميزة، والمصفوفة J لها القيمة الذاتية القصوى

بتاح = أقصى Pg > 0،

Wmax = الحد الأقصى لواجهة المستخدم< 0;

اوماكس + بتاح<

من هذه النظرية والمساواة (3.10) يترتب على ذلك بالنسبة للنقاط الفردية التي Qx(x) = 0 و (أو) لـ X، = 0 وtkj ^ 1 لجميع k,j أن الشروط الكافية للنظرية غير مستوفاة.

3.2. DSEO مع التدفق المضاعف خذ بعين الاعتبار المعادلة (1.6). تقديمها في النموذج:

X ® (a - x ® Wy(z(x))), x e Rn;

yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;

(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++.

أنظمة. سوف نحصل على:

(3.13) أ = ^ [سم] - 2ХШУх (ص^س(خ).

في هذا التعبير، diag C] عبارة عن مصفوفة قطرية تحتوي على عناصر موجبة a1،...، an، Vr، Zx - مصفوفات محددة بالمساواة (3.4) - (3.7).

دعونا نمثل المصفوفة A في النموذج

(3.14) أ = دياج+ف (س)،

(3.15) P (x) = -2xWYz (z)Zx(x).

نشير إلى:maxi ai = nmax وwmax هي القيمة الذاتية القصوى للمصفوفة P(x) (3.15). ثم النظرية 3.1 صالحة أيضًا لـ DSEO (1.6). (3.12).

4. استقرار DSEO "بشكل كبير"

دعنا ننتقل إلى معادلات DESO (1.4)، حيث تنتمي قيم مكونات دالة المتجه q(x) إلى المجموعة Q (1.3). يوجد في النظام قيد النظر نقطة مفردة Z، والتي تتوافق مع المتجهات z(x) = z ^ z- > 0 و

ص(س) = ص(ض) = ص > ص- > 0.

دعونا نقدم متجهات الانحرافات £، C، П من نقطة المفرد: (4.1) £ = x - x، (= y - y، n = z - z.

زيزرون أ.أ.، بوكروفسكي أ.ف. - 2009

حركية العمليات البيولوجية

كيف يمكننا وصف ديناميكيات النظم البيولوجية؟ في كل لحظة من الزمن، يتمتع النظام البيولوجي بمجموعة من الخصائص المحددة. على سبيل المثال، من خلال ملاحظة مجموعة من الأنواع، يمكنك تسجيل حجمها، والمساحة التي تشغلها المنطقة، وكمية الغذاء المتاحة، ودرجة الحرارة المحيطة، وما إلى ذلك. ويمكن وصف مسار التفاعل الكيميائي من خلال تركيزات المواد المعنية والضغط ودرجة الحرارة ومستوى حموضة البيئة. إن مجموعة قيم جميع الخصائص التي اختارها الباحث لوصف النظام هي حالة النظام في كل لحظة من الزمن. عند إنشاء نموذج، يتم تحديد المتغيرات والمعلمات من المجموعة السكانية المحددة. المتغيرات هي تلك الكميات التي تهم تغييراتها في المقام الأول الباحث، والمعلمات هي ظروف "البيئة الخارجية". بالنسبة للمتغيرات المحددة يتم وضع المعادلات التي تعكس أنماط التغيير في النظام مع مرور الوقت. على سبيل المثال، عند إنشاء نموذج لنمو ثقافة ميكروبية، عادةً ما يتم استخدام رقمه كمتغير، وعادةً ما يتم استخدام معدل تكاثره كمعلمة. ربما تكون درجة الحرارة التي يحدث فيها النمو كبيرة، ثم يتم تضمين هذا المؤشر أيضًا في النموذج كمعلمة. وإذا كان مستوى التهوية، على سبيل المثال، كافيا دائما وليس له أي تأثير على عمليات النمو، فإنه لا يتم تضمينه في النموذج على الإطلاق. وكقاعدة عامة، تظل المعلمات دون تغيير أثناء التجربة، ولكن تجدر الإشارة إلى أن هذا ليس هو الحال دائمًا.

يمكن وصف ديناميكيات النظام البيولوجي (أي التغيرات في حالته مع مرور الوقت) باستخدام نماذج منفصلة ومستمرة. تفترض النماذج المنفصلة أن الوقت هو كمية منفصلة. ويقابل ذلك تسجيل قيم المتغيرات على فترات زمنية محددة (مثلا مرة كل ساعة أو مرة واحدة في السنة). في النماذج المستمرة، يكون المتغير البيولوجي دالة مستمرة للوقت، ويُشار إليه على سبيل المثال بالزمن. س(ر).

في كثير من الأحيان ذات أهمية كبيرة الشروط الأوليةالنموذج – حالة الخاصية قيد الدراسة في اللحظة الأولى من الزمن، أي. في ر = 0.

عند دراسة التغير المستمر لبعض الخصائص س(ر) قد نعرف معلومات عن معدل تغيره. يمكن كتابة هذه المعلومات بشكل عام في شكل معادلة تفاضلية:

ويعني هذا التدوين الرسمي أن معدل التغير في بعض الخصائص قيد الدراسة هو دالة للوقت وحجم هذه الخاصية.

إذا كان الجانب الأيمن من المعادلة التفاضلية للنموذج مستقلاً بشكل واضح عن الوقت، أي. عدل:

ثم تسمى هذه المعادلة واثق من نفسه(يسمى النظام الموصوف بهذه المعادلة واثق من نفسه). تتميز حالة الأنظمة المستقلة في كل لحظة بكمية واحدة - قيمة المتغير سفي هذه اللحظة من الزمن ر.

دعونا نسأل أنفسنا السؤال: دعونا نعطي معادلة تفاضلية س(ر)، هل من الممكن العثور على جميع الوظائف س(ر) تلبية هذه المعادلة؟ أو: إذا كانت القيمة الأولية لمتغير معين معروفة (على سبيل المثال، حجم السكان الأولي، تركيز المادة، التوصيل الكهربائي للبيئة، إلخ) وتوجد معلومات عن طبيعة التغير في هذا المتغير هل من الممكن التنبؤ بقيمتها في جميع الأوقات اللاحقة؟ الجواب على السؤال المطروح هو كما يلي: إذا توافرت الشروط الأولية وتحققت شروط نظرية كوشي للمعادلة (دالة محددة في مجال معين ومشتقتها الجزئية متصلتان في هذا المجال)، فإن هناك حل فريد للمعادلة التي تحقق الشروط الأولية المحددة. (تذكر أن أي دالة متصلة تحقق معادلة تفاضلية تسمى حلاً لتلك المعادلة.) وهذا يعني أنه يمكننا التنبؤ بشكل فريد بسلوك النظام البيولوجي إذا كانت خصائص حالته الأولية معروفة وكانت المعادلة النموذجية تستوفي شروط نظرية كوشي.

الدولة الثابتة. الاستدامة

سننظر في المعادلة التفاضلية المستقلة

في الحالة الثابتة لا تتغير قيم المتغيرات في النظام مع مرور الوقت، أي أن معدل التغير في قيم المتغيرات هو 0: . إذا كان الطرف الأيسر من المعادلة (1.2) يساوي صفراً، فإن الطرف الأيمن يساوي صفراً أيضاً: . جذور هذه المعادلة الجبرية هي الدول الثابتةالمعادلة التفاضلية (1.2).

مثال 1.1:أوجد الحالات الثابتة للمعادلة.

حل: لننقل الحد الذي لا يحتوي على مشتقة إلى الجانب الأيمن من المساواة: . بحكم التعريف، في حالة ثابتة تحمل المساواة التالية: . وهذا يعني أنه يجب تحقيق المساواة . نحن نحل المعادلة:

,

إذن فإن المعادلة لها ثلاث حالات ثابتة: , .

تواجه الأنظمة البيولوجية باستمرار تأثيرات خارجية مختلفة وتقلبات عديدة. علاوة على ذلك، فهي (الأنظمة البيولوجية) لديها توازن، أي. مستقر. في اللغة الرياضية، هذا يعني أن المتغيرات تعود إلى قيمها الثابتة مع انحرافات بسيطة. هل سيعكس نموذجها الرياضي هذا السلوك للنظام البيولوجي؟ هل الحالات الثابتة للنموذج مستقرة؟

الحالة المستقرة هي مستمر، إذا، مع انحراف صغير بما فيه الكفاية عن موضع التوازن، لا يتحرك النظام أبدًا بعيدًا عن نقطة المفرد. تتوافق الحالة المستقرة مع الوضع المستقر لتشغيل النظام.

حالة توازن المعادلة هي Lyapunov مستقرة إذا كان من الممكن دائمًا العثور على مثل هذه إذا كانت للجميع.

هناك طريقة تحليلية لدراسة استقرار الحالة الثابتة - طريقة ليابونوف. لتبرير ذلك، دعونا نتذكر صيغة تايلور.

بشكل عام، توضح صيغة تايلور سلوك دالة في جوار نقطة معينة. دع الدالة تحتوي على مشتقات لجميع الطلبات حتى ن-شامل. إذن صيغة تايلور صالحة:

بتجاهل الحد المتبقي، الذي يمثل نفسه على أنه متناهية الصغر من رتبة أعلى من، نحصل على صيغة تايلور التقريبية:

يسمى الجانب الأيمن من الصيغة التقريبية تايلور متعدد الحدودالوظائف، ويشار إليها باسم .

مثال 1.2:قم بتوسيع الوظيفة إلى سلسلة تايلور في جوار نقطة تصل إلى الترتيب الرابع.

حل:دعونا نكتب متسلسلة تايلور حتى الترتيب الرابع بشكل عام:

لنجد مشتقات الدالة المعطاة عند النقطة:

,

دعنا نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في الصيغة الأصلية:

طريقة تحليلية لدراسة استقرار الحالة الثابتة ( طريقة لابونوف) على النحو التالي. اسمحوا أن تكون الحالة الثابتة للمعادلة. دعونا نحدد انحرافًا صغيرًا للمتغير سمن قيمته الثابتة : حيث . لنستبدل التعبير بالنقطة سفي المعادلة الأصلية: . سوف يأخذ الجانب الأيسر من المعادلة الشكل: لأنه في الحالة الثابتة يكون معدل تغير قيمة المتغير صفراً: . دعونا نوسع الجانب الأيمن إلى سلسلة تايلور بالقرب من الحالة الثابتة، مع الأخذ في الاعتبار أننا نترك فقط الحد الخطي على الجانب الأيمن من المعادلة:

يملك معادلة خطيةأو معادلة التقريب الأولى. والكمية هي قيمة ثابتة ما، فلنرمز إليها أ: . الحل العام للمعادلة الخطية له الشكل: . يصف هذا التعبير القانون الذي بموجبه يتغير الانحراف الذي نحدده عن الحالة الثابتة بمرور الوقت. سوف يتلاشى الانحراف مع مرور الوقت، أي. في ، إذا كان الأس في الأس سالبًا، على سبيل المثال. . بحكم التعريف، فإن الحالة المستقرة ستكون مستمر. إذا، فمع زيادة الوقت، سيزداد الانحراف فقط، وتكون الحالة الثابتة غير مستقر. في الحالة التي لا تستطيع فيها معادلة التقريب الأول الإجابة على سؤال حول استقرار الحالة الثابتة. من الضروري النظر في مصطلحات ذات ترتيب أعلى في توسيع سلسلة تايلور.

بالإضافة إلى الطريقة التحليلية لدراسة استقرار الحالة الثابتة، هناك أيضًا طريقة بيانية.

مثال 1.3.يترك . أوجد الحالات الثابتة للمعادلة وحدد نوع استقرارها باستخدام الرسم البياني للدالة .

حل:دعونا نجد نقاط خاصة:

,

,

نقوم ببناء رسم بياني للوظيفة (الشكل 1.1).

أرز. 1.1. رسم بياني للدالة (مثال 1.3).

دعونا نحدد من الرسم البياني ما إذا كانت كل حالة من الحالات الثابتة الموجودة مستقرة. دعونا نحدد انحرافًا طفيفًا للنقطة الممثلة من نقطة المفرد إلى اليسار: . عند النقطة ذات الإحداثي، تأخذ الدالة قيمة موجبة: أو . المتباينة الأخيرة تعني أنه مع مرور الوقت يجب أن يزيد الإحداثي، أي أن النقطة الممثلة يجب أن تعود إلى النقطة. لنقم الآن بتعيين انحراف طفيف للنقطة الممثلة من نقطة المفرد إلى اليمين: . في هذه المنطقة، تحتفظ الدالة بقيمة موجبة، وبالتالي، مع مرور الوقت، الإحداثيات سيزداد أيضًا، أي أن النقطة الممثلة ستبتعد عن النقطة. وبالتالي، فإن الانحراف البسيط يخرج النظام من حالة الثبات، وبالتالي، بحكم التعريف، تكون النقطة المفردة غير مستقرة. ويؤدي المنطق المماثل إلى حقيقة أن أي انحراف عن نقطة المفرد يتلاشى بمرور الوقت، وتكون الحالة الثابتة مستقرة. إن انحراف النقطة الممثلة في أي اتجاه عن الحالة الثابتة يؤدي إلى إزالتها من النقطة، وهذه حالة ثابتة غير مستقرة.

حل نظام المعادلات التفاضلية الخطية

لننتقل إلى دراسة أنظمة المعادلات الخطية أولاً. بشكل عام، يمكن تمثيل نظام المعادلات التفاضلية الخطية على النحو التالي:

يبدأ تحليل نظام المعادلات بإيجاد الحالات الثابتة. الأنظمة من النوع (1.3) لها نقطة مفردة فريدة وإحداثياتها هي (0,0). الاستثناء هو الحالة المنحلة عندما يمكن تمثيل المعادلات على النحو التالي:

(1.3*)

في هذه الحالة، جميع الأزواج التي تحقق العلاقة هي نقاط ثابتة للنظام (1.3*). على وجه الخصوص، النقطة (0,0) تكون أيضًا ثابتة للنظام (1.3*). على مستوى الطور في هذه الحالة لدينا خط مستقيم مع معامل ميل يمر عبر أصل الإحداثيات، كل نقطة منه هي نقطة فريدة للنظام (1.3*) (انظر الجدول 1.1، الفقرة 6).

السؤال الرئيسي الذي يجب أن تجيب عليه نتيجة دراسة نظام المعادلات هو: هل الحالة الثابتة للنظام مستقرة، وما هي طبيعة هذا الحل (رتيب أو غير رتيب).

قرار مشتركنظام من معادلتين خطيتين له الشكل:

أرقام مميزةيمكن التعبير عنها من خلال معاملات المعادلات الخطية على النحو التالي:

يمكن أن تكون الأرقام المميزة 1) حقيقية لعلامات مختلفة، 2) حقيقية لنفس العلامة، 3) مترافقة معقدة، وأيضًا في الحالات المنحلة، 4) خيالية بحتة، 5) متطابقة حقيقية، 6) حقيقية، واحدة منها (أو كلاهما) يساوي الصفر. تحدد هذه الحالات نوع سلوك حل نظام المعادلات التفاضلية العادية. يتم عرض صور المرحلة المقابلة في الجدول 1.1.

الجدول 1.1. أنواع الحالات الثابتة لنظام من معادلتين تفاضليتين خطيتين وصور الطور المقابلة. تظهر الأسهم اتجاه حركة النقطة الممثلة

بناء الصور الطورية والحركية لنظام من معادلتين تفاضليتين خطيتين

مستوى المرحلةيسمى المستوى ذو المحاور الإحداثية التي يتم رسم قيم المتغيرات عليها سو ذ، كل نقطة من المستوى تتوافق مع حالة معينة من النظام. تسمى مجموعة النقاط على مستوى الطور، والتي يتوافق موقعها مع حالات النظام في عملية تغيير المتغيرات بمرور الوقت، وفقًا للمعادلات المعطاة للنظام قيد الدراسة مسار المرحلة. مجموعة مسارات الطور لقيم أولية مختلفة للمتغيرات تعطي صورة للنظام. بناء صورة المرحلةيسمح لك باستخلاص استنتاجات حول طبيعة التغييرات في المتغيرات سو ذدون معرفة الحلول التحليلية لنظام المعادلات الأصلي.

لنفكر في نظام المعادلات التفاضلية الخطية:

نبدأ في بناء صورة المرحلة من خلال البناء الخطوط المتساوية الرئيسية(خط متساوي الأضلاع هو خط على كامل طوله يظل ميل منحنى الطور (المسار)، الذي تحدده المعادلة، ثابتًا). بالنسبة لنظام مكون من معادلتين تفاضليتين خطيتين، تكون هذه دائمًا خطوطًا مستقيمة تمر عبر أصل الإحداثيات. المعادلة الخطوط المتساوية للمماسات الأفقية: . معادلة الخط المتساوي للظلال العمودية: . لمزيد من بناء صورة الطور، من المفيد إنشاء خط متساوي من المماسات التي تمر بزاوية. للعثور على معادلة الخط المتساوي المقابلة، من الضروري حل المعادلة . يمكنك أيضًا العثور على الخطوط المتساوية لمماسات الزوايا الأخرى باستخدام القيم التقريبية لمماسات الزوايا. في إنشاء صورة طورية، يمكن أن تساعد أيضًا الإجابة على السؤال في أي زاوية يجب أن تتقاطع مسارات الطور مع محاور الإحداثيات. للقيام بذلك، معادلة الخط المتساوي نستبدل المعادلات المقابلة (لتحديد زاوية التقاطع مع محور OY) و (لتحديد زاوية التقاطع مع محور OX).

مثال 1.4.تحديد نوع النقطة المفردة لنظام المعادلات الخطية:

بناء صورة المرحلة والحركية للنظام.

حل:إحداثيات النقطة المفردة هي (0,0). معاملات المعادلات الخطية هي: , , , . دعونا نحدد نوع الحالة الثابتة (انظر القسم الخاص بالأرقام المميزة):

وبالتالي، فإن الجذور المميزة هي وهمية: وبالتالي، فإن نقطة المفرد للنظام الخطي قيد النظر هي من النوع المركزي (الشكل 1.2 أ).

معادلة الخط المتساوي للمماسات الأفقية: , معادلة الخط المتساوي للمماسات الرأسية: . عند زاوية 45 درجة، تتقاطع مسارات النظام في خط مستقيم .

بعد بناء صورة المرحلة، من الضروري تحديد اتجاه الحركة على طول المسارات التي تم العثور عليها. ويمكن القيام بذلك على النحو التالي. لنأخذ نقطة تعسفية على أي مسار. على سبيل المثال، على الخط المتساوي للظلال الأفقية (1،1). لنعوض بإحداثيات هذه النقطة في نظام المعادلات. دعونا نحصل على تعبيرات لمعدلات تغير المتغيرات س,ذعند هذه النقطة:

وتبين القيم التي تم الحصول عليها أن معدل تغير المتغير س- سالب، أي ينبغي أن تنخفض قيمته، والمتغير ذلم يتغير. نحتفل بالاتجاه الناتج بسهم. وهكذا، في المثال قيد النظر، يتم توجيه الحركة على طول مسارات المرحلة عكس اتجاه عقارب الساعة. ومن خلال استبدال إحداثيات نقاط مختلفة في النظام، يمكنك الحصول على "خريطة" لاتجاهات السرعة، ما يسمى حقل شعاعي.

الشكل 1.2. صورة المرحلة (أ) والحركية (ب) للنظام، مثال 1.4

لاحظ أنه على الخط المتساوي للظلال الأفقية يكون المتغير ذيصل إلى الحد الأقصى أو الأدنى لقيمته في مسار معين. على العكس من ذلك، على الخط المتساوي للمماسات الرأسية، يصل المتغير إلى أقصى قيمة مطلقة للمسار المحدد س.

إن إنشاء صورة حركية للنظام يعني إنشاء رسوم بيانية لاعتماد قيم المتغيرات س,ذمن وقت. باستخدام الصورة المرحلية، يمكنك إنشاء صورة حركية والعكس صحيح. يتوافق مسار الطور الواحد مع زوج واحد من المنحنيات الحركية. دعونا نختار نقطة تعسفية على مسار المرحلة التعسفية في صورة المرحلة. هذه هي نقطة البداية المقابلة للحظة من الزمن. اعتمادا على اتجاه الحركة في النظام قيد النظر، يتم تحديد قيم المتغيرات س,ذإما النقصان أو الزيادة. دع إحداثيات نقطة البداية هي (1،1). وفقا لصورة المرحلة التي تم إنشاؤها، بدءا من هذه النقطة، يجب أن نتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة، والإحداثيات سو ذفي نفس الوقت سوف تنخفض. مع مرور الوقت، الإحداثيات سيمر عبر 0، القيمة ذومع ذلك فإنه لا يزال إيجابيا. مزيد من الإحداثيات سو ذمواصلة الانخفاض والتنسيق ذيمر عبر 0 (القيمة سمهما كانت سلبية). ضخامة سيصل إلى الحد الأدنى من القيمة على الخط المتساوي للمماسات الرأسية، ثم يبدأ في الزيادة. ضخامة ذيصل إلى الحد الأدنى لقيمته على الخط المتساوي للمماسات الأفقية (القيمة سسلبية في هذا الوقت). علاوة على ذلك، الحجم س، وحجمها ذزيادة، والعودة إلى القيم الأولية (الشكل 1.2 ب).

دراسة استقرار الحالات الثابتة للأنظمة غير الخطية من الدرجة الثانية

دع النظام البيولوجي يوصف بنظام مكون من معادلتين تفاضليتين مستقلتين من الدرجة الثانية ذات شكل عام:

يتم تحديد القيم الثابتة لمتغيرات النظام من المعادلات الجبرية:

في جوار كل دولة ثابتة يمكننا النظر فيها نظام التقريب الأول(النظام الخطي) الذي يمكن من خلال دراسته الإجابة على السؤال المتعلق بثبات النقطة المفردة وطبيعة مسارات الطور في جوارها الصغير.

الخارج

لدينا ... نقطة خاصة خشنة. الجذور المميزة لنظام التقريب الأول تساوي، كلاهما حقيقي وسالب، وبالتالي، بالقرب من نقطة الصفر المفرد، فإن سلوك مسارات الطور للنظام سوف يتوافق مع نوع العقدة المستقرة.

مقدمة

نظرًا لأن مفهوم النظام الديناميكي غير الخطي غني بما يكفي لتغطية نطاق واسع جدًا من العمليات التي يتم فيها تحديد سلوك النظام المستقبلي من خلال الماضي، فإن طرق التحليل التي تم تطويرها في هذا المجال مفيدة في مجموعة كبيرة ومتنوعة من السياقات

تدخل الديناميكيات غير الخطية الأدبيات بثلاث طرق على الأقل. أولاً، هناك حالات يتم فيها جمع البيانات التجريبية حول المسار الزمني لكمية واحدة أو أكثر وتحليلها باستخدام تقنيات تعتمد على النظرية الديناميكية غير الخطية، مع الحد الأدنى من الافتراضات حول المعادلات الأساسية التي تحكم العملية التي تنتج البيانات. أي أنها حالة يسعى فيها المرء إلى العثور على ارتباطات في البيانات التي يمكن أن توجه تطوير نموذج رياضي، بدلا من تخمين النموذج أولا ثم مقارنته بالبيانات.

ثانيًا، هناك حالات حيث يمكن استخدام النظرية الديناميكية غير الخطية للقول بأن بعض النماذج المبسطة يجب أن توضح السمات المهمة لنظام معين، مما يعني أنه يمكن بناء نموذج وصفي ودراسته على نطاق واسع من المعلمات. يؤدي هذا غالبًا إلى نماذج تتصرف بشكل مختلف نوعيًا في ظل معايير مختلفة وتثبت أن إحدى المناطق تظهر سلوكًا مشابهًا تمامًا للسلوك الذي لوحظ في النظام الحقيقي. في كثير من الحالات، يكون سلوك النموذج حساسًا جدًا للتغيرات في المعلمات، لذلك إذا كان من الممكن قياس معلمات النموذج في نظام حقيقي، فإن النموذج يُظهر سلوكًا واقعيًا عند تلك القيم ويمكن للمرء أن يكون واثقًا من أن النموذج قد التقطها الميزات الأساسية للنظام.

ثالثًا، هناك حالات يتم فيها بناء المعادلات النموذجية بناءً على الأوصاف التفصيلية للفيزياء المعروفة. يمكن للتجارب العددية بعد ذلك توفير معلومات حول المتغيرات غير المتوفرة للتجارب الفيزيائية.

وانطلاقا من المسار الثاني فإن هذا العمل هو امتداد لعملي السابق "النموذج الديناميكي غير الخطي للصناعات المترابطة" بالإضافة إلى أعمال أخرى (دميترييف، 2015)

ستظهر جميع التعاريف الضرورية والمعلومات النظرية الأخرى المطلوبة في العمل في الفصل الأول، حسب الحاجة. سيتم هنا تقديم تعريفين ضروريين للكشف عن موضوع البحث نفسه.

أولاً، دعونا نحدد ديناميكيات النظام. وفقًا لأحد التعريفات، فإن ديناميكيات النظام هي منهج نمذجة محاكاة يساعد، بفضل أساليبه وأدواته، في تقييم بنية الأنظمة المعقدة وديناميكياتها (شترمان). تجدر الإشارة إلى أن ديناميكيات النظام هي أيضًا طريقة نمذجة تُستخدم لإنشاء نماذج حاسوبية صحيحة (من حيث الدقة) للأنظمة المعقدة لاستخدامها في المستقبل من أجل إنشاء شركة/مؤسسة أكثر كفاءة، فضلاً عن تحسين أساليب التفاعل مع هذا النظام. تنشأ الحاجة إلى ديناميكيات النظام في المقام الأول عند مواجهة نماذج استراتيجية طويلة المدى، ومن الجدير بالذكر أيضًا أنها مجردة تمامًا.

عند الحديث عن الديناميكيات التفاضلية غير الخطية، سننظر في نظام غير خطي، وهو بحكم تعريفه نظام لا يتناسب فيه التغيير في الإخراج مع التغيير في معلمات الإدخال، وتصف فيه الدالة اعتماد التغيير في الوقت وموقع نقطة في الفضاء (بوينغ، 2016).

بناءً على التعريفات المذكورة أعلاه، يصبح من الواضح أن هذا العمل سوف يأخذ في الاعتبار مختلف الأنظمة التفاضلية غير الخطية التي تصف تفاعل الشركات، بالإضافة إلى نماذج المحاكاة المبنية على أساسها. وعلى هذا الأساس سيتم تحديد الغرض من العمل.

وبالتالي، فإن الغرض من هذا العمل هو إجراء تحليل نوعي للأنظمة الديناميكية التي تصف تفاعل الشركات، بشكل تقريبي أولي، وبناء نموذج محاكاة يعتمد عليها.

ولتحقيق هذا الهدف تم تحديد المهام التالية:

تحديد استقرار النظام.

بناء صور المرحلة.

إيجاد مسارات متكاملة للأنظمة.

بناء نماذج المحاكاة.

سيتم تخصيص كل من هذه المهام لأحد أقسام كل فصل من فصول العمل.

بناءً على الممارسة، يشير بناء الهياكل الرياضية الأساسية التي تشكل بشكل فعال ديناميكيات الأنظمة والعمليات الفيزيائية المختلفة إلى أن النموذج الرياضي المقابل يعكس إلى حد ما القرب من الأصل قيد الدراسة، عندما يمكن استخلاص سماته المميزة من الخصائص والخصائص. الهياكل من نوع الحركة التي تشكل ديناميكيات النظام. اليوم، العلوم الاقتصادية في مرحلة من تطورها حيث تستخدم بشكل فعال بشكل خاص أساليب وطرق جديدة وغير قياسية للنمذجة الفيزيائية والرياضية للعمليات الاقتصادية. ومن هنا يأتي الاستنتاج حول الحاجة إلى إنشاء ودراسة وبناء نماذج يمكنها بطريقة ما وصف الوضع الاقتصادي.

أما بالنسبة لسبب اختيار التحليل النوعي بدلاً من التحليل الكمي، فمن الجدير بالذكر أنه في الغالبية العظمى من الحالات، تكون نتائج واستنتاجات التحليل النوعي للأنظمة الديناميكية أكثر أهمية من نتائج تحليلها الكمي. في مثل هذه الحالة، من المناسب الإشارة إلى تصريحات ف.ب. ميلوفانوف، حيث يجادل بأنه يُعتقد تقليديًا أن النتائج المتوقعة عند تطبيق الأساليب الرياضية لتحليل الأشياء الحقيقية يجب أن يتم اختزالها إلى نتيجة عددية. وبهذا المعنى، فإن الأساليب النوعية لها مهمة مختلفة قليلاً. وهو يركز على تحقيق نتيجة تصف جودة النظام، وعلى البحث عن السمات المميزة لجميع الظواهر ككل، وعلى التنبؤ. بالطبع، من المهم أن نفهم كيف سيتغير الطلب عندما تتغير أسعار نوع معين من السلع، لكن لا ينبغي لنا أن ننسى أنه من الأهم بكثير أن نفهم ما إذا كان سيكون هناك نقص أو فائض في هذه السلع في مثل هذه الظروف ( ديمترييف، 2016).

الهدف من هذه الدراسة هو التفاضل غير الخطي وديناميكيات النظام.

في هذه الحالة، موضوع الدراسة هو وصف لعملية التفاعل بين الشركات من خلال ديناميكيات النظام التفاضلي غير الخطي.

وبالحديث عن التطبيق العملي للبحث، يجدر تقسيمه على الفور إلى قسمين. وهي النظرية، أي التحليل النوعي للأنظمة، والعملية، والتي ستنظر في بناء نماذج المحاكاة.

ويقدم الجزء النظري من هذه الدراسة المفاهيم والظواهر الأساسية. إنه يأخذ في الاعتبار الأنظمة التفاضلية البسيطة، كما هو الحال في أعمال العديد من المؤلفين الآخرين (Teschl، 2012؛ Nolte، 2015)، ولكنه في نفس الوقت يسمح لنا بوصف التفاعل بين الشركات. بناءً على ذلك، سيكون من الممكن في المستقبل إجراء المزيد من الأبحاث المتعمقة، أو البدء في التعرف على التحليل النوعي للأنظمة.

يمكن استخدام الجزء العملي من العمل لإنشاء نظام دعم القرار. نظام دعم القرار هو نظام معلومات آلي يهدف إلى دعم اتخاذ القرارات التجارية أو التنظيمية من خلال السماح بالاختيار بين العديد من البدائل المختلفة (Keen, 1980). قد لا تكون النماذج دقيقة للغاية في الوقت الحالي، ولكن من خلال تغييرها لشركة معينة، يمكنك تحقيق نتائج أكثر دقة. وبالتالي، عند تغيير المعلمات والظروف المختلفة التي قد تنشأ في السوق، يمكنك الحصول على توقعات معينة للمستقبل واتخاذ قرار أكثر ربحية مقدمًا.

1. تفاعل الشركات في ظروف التبادلية

سيقدم العمل أنظمة ثنائية الأبعاد بسيطة جدًا مقارنة بالأنظمة ذات الترتيب الأعلى، ولكنها في الوقت نفسه تسمح لنا بإظهار العلاقات التي نحتاجها بين المنظمات.

يجدر بنا أن نبدأ العمل باختيار نوع التفاعل الذي سيتم وصفه في المستقبل، حيث أن الأنظمة التي تصفها تختلف قليلاً عن كل نوع. يوضح الشكل 1.1 تصنيف يوجيما أودوم للتفاعل بين السكان المعدلين للتفاعل الاقتصادي (Odum, 1968)، والذي على أساسه سننظر في تفاعل الشركات بشكل أكبر.

الشكل 1.1. أنواع التفاعل بين المؤسسات

بناءً على الشكل 1.1، سنسلط الضوء على 4 أنواع من التفاعل ونقدم لكل منها نظام معادلات يصفها، بناءً على نموذج مالتوس (مالتوس، 1798). ووفقاً له فإن معدل النمو يتناسب مع الوفرة الحالية للأنواع، بمعنى آخر يمكن وصفه بالمعادلة التفاضلية التالية:

حيث a هي معلمة معينة تعتمد على النمو السكاني الطبيعي. ومن الجدير بالذكر أيضًا أنه في الأنظمة المذكورة أدناه، تأخذ جميع المعلمات، وكذلك المتغيرات، قيمًا غير سالبة.

إنتاج المواد الخام - إنتاج المنتجات التي تشبه نموذج المفترس والفريسة. نموذج المفترس والفريسة، المعروف أيضًا باسم نموذج لوتكا-فولتيرا، هو زوج من المعادلات التفاضلية غير الخطية من الدرجة الأولى التي تصف ديناميكيات النظام البيولوجي مع نوعين، أحدهما مفترس والآخر فريسة (Llibre, 2007). ). يتم وصف التغير في وفرة هذه الأنواع من خلال نظام المعادلات التالي:

(1.2)

حيث - يميز نمو إنتاج المؤسسة الأولى دون تأثير الثانية (في حالة نموذج المفترس والفريسة، نمو عدد الفرائس دون الحيوانات المفترسة)،

يتميز بنمو إنتاج المشروع الثاني دون تأثير الأول (نمو أعداد الحيوانات المفترسة دون ضحايا)،

يميز نمو إنتاج المؤسسة الأولى، مع مراعاة تأثير الثانية عليها (زيادة عدد الضحايا عند التعامل مع الحيوانات المفترسة)،

يميز نمو إنتاج المؤسسة الثانية مع مراعاة تأثير الأول عليها (زيادة عدد الحيوانات المفترسة أثناء تفاعلها مع الفريسة).

أولاً، المفترس، كما يتبين من النظام، وكذلك تصنيف أودوم، فإن تفاعلهم له تأثير مفيد. غير مواتية لآخر. إذا أخذنا ذلك في الاعتبار في الواقع الاقتصادي، فكما نرى في الشكل، فإن أبسط نظير هو الشركة المصنعة وموردها للموارد، التي تتوافق مع المفترس والفريسة، على التوالي. وبالتالي، في غياب المواد الخام، ينخفض ​​الإنتاج بشكل كبير.

المنافسة هي تنافس بين اثنين أو أكثر (في حالتنا نفكر في أنظمة ثنائية الأبعاد، لذلك نأخذ منافسة نوعين) الأنواع، المجموعات الاقتصادية للأراضي، الموارد المحدودة أو القيم الأخرى (إلتون، 1968). التغيرات في عدد الأنواع، أو كمية الإنتاج في حالتنا، يوصفها النظام أدناه:

(1.3)

وفي هذه الحالة فإن الأنواع أو الشركات المنتجة لمنتج واحد تؤثر سلباً على بعضها البعض. وهذا يعني أنه في غياب المنافس، سيزداد نمو المنتج بشكل كبير.

الآن دعنا ننتقل إلى العلاقة التكافلية التي يكون فيها لكلا المؤسستين تأثير إيجابي على بعضهما البعض. أولا، دعونا ننظر إلى التبادلية. التبادلية هي نوع من العلاقة بين الأنواع المختلفة يستفيد فيها كل منهم من تصرفات الآخر، ومن الجدير بالذكر أن وجود الشريك شرط ضروري للوجود (طومسون، 2005). ويصف النظام هذا النوع من العلاقات:

(1.4)

وبما أن التفاعل بين الشركات ضروري لوجودها، ففي حالة عدم وجود منتج من شركة واحدة، ينخفض ​​إنتاج البضائع من شركة أخرى بشكل كبير. وهذا ممكن عندما لا يكون لدى الشركات ببساطة بدائل شراء أخرى.

دعونا نفكر في نوع آخر من التفاعل التكافلي، وهو التعاون الأولي. يشبه التعاون البدائي التبادلية مع الاستثناء الوحيد وهو أنه لا توجد حاجة لوجود شريك، حيث توجد، على سبيل المثال، بدائل أخرى. وبما أنها متشابهة، فإن أنظمتها تبدو متشابهة تقريبًا مع بعضها البعض:

(1.5)

وبهذه الطريقة، فإن عدم وجود منتج لشركة ما لا يعيق نمو منتج آخر.

بالطبع، بالإضافة إلى تلك المذكورة في النقطتين 3 و 4، يمكن ملاحظة أنواع أخرى من العلاقات التكافلية: التعايش والتعايش (هانسكي، 1999). لكن لن يتم ذكرها أكثر من ذلك، لأنه في التعايش يكون أحد الشركاء غير مبال بتفاعله مع الآخر، وما زلنا نعتبر الحالات التي يوجد فيها تأثير. لكن عدم التسامح لا يؤخذ في الاعتبار، لأنه من وجهة نظر اقتصادية، فإن مثل هذه العلاقات، عندما يؤدي تفاعلها إلى الإضرار بأحدها ويكون غير مبال بالآخر، لا يمكن أن توجد ببساطة.

واستنادا إلى تأثير الشركات على بعضها البعض، أي أن العلاقات التكافلية تؤدي إلى التعايش المستدام بين الشركات، فإن هذا العمل سوف ينظر فقط في حالات التبادلية والتعاون البدائي، لأن التفاعل في كلتا الحالتين مفيد للجميع.

هذا الفصل مخصص لتفاعل الشركات في ظروف التبادلية. وسوف ينظر في نظامين يمثلان تطورات إضافية للأنظمة القائمة على نموذج مالتوس، وهما الأنظمة ذات القيود المفروضة على زيادة الإنتاج.

يمكن وصف ديناميكيات الزوجين المرتبطين بعلاقة متبادلة، كما ذكرنا أعلاه، بتقريب أولي بواسطة النظام:

(1.6)

ويمكن ملاحظة أنه مع كمية أولية كبيرة من الإنتاج ينمو النظام بلا حدود، ومع كمية قليلة ينخفض ​​الإنتاج. وهذا هو الخطأ في الوصف الثنائي للتأثير الذي يحدث أثناء التبادلية. ولمحاولة تصحيح الصورة، نقدم عاملاً يذكرنا بتشبع المفترس، أي العامل الذي من شأنه أن يقلل من معدل نمو الإنتاج إذا كان هناك فائض عنه. وفي هذه الحالة نصل إلى النظام التالي:

(1.7)

حيث يتم النمو في إنتاج منتج الشركة الأولى أثناء تفاعلها مع الثانية مع مراعاة التشبع،

زيادة إنتاج منتج الشركة الثانية أثناء تفاعلها مع الأولى مع مراعاة التشبع،

معاملات التشبع.

وهكذا حصلنا على نظامين: نموذج النمو المالتوسي مع التشبع وبدونه.

1.1 استقرار الأنظمة كتقريب أولي

يتم أخذ استقرار الأنظمة كتقريب أول في الاعتبار في العديد من الأعمال الأجنبية (هيرر، 1993؛ بهاتيا، 2002؛ خليل، 2001؛ ستروجاتز، 2001 وآخرون) والأعمال باللغة الروسية (أكروميفا، 1992؛ بيلمان، 1954؛ ديميدوفيتش، 1967؛). كراسوفسكي، 1959 وآخرون)، وتعريفه هو خطوة أساسية لتحليل العمليات التي تحدث في النظام. وللقيام بذلك، سوف نقوم بالخطوات الضرورية التالية:

دعونا نجد نقاط التوازن.

دعونا نجد المصفوفة اليعقوبية للنظام.

دعونا نجد القيم الذاتية لمصفوفة جاكوبي.

نقوم بتصنيف نقاط التوازن باستخدام نظرية ليابونوف.

بعد الاطلاع على الخطوات، من المفيد إلقاء نظرة فاحصة على شرحها، لذلك سأقدم تعريفات وأصف الطرق التي سنستخدمها في كل خطوة من هذه الخطوات.

الخطوة الأولى هي العثور على نقاط التوازن. للعثور عليها، نساوي كل دالة بصفر. أي أننا نحل النظام:

حيث يعني a وb جميع معلمات المعادلة.

الخطوة التالية هي البحث عن المصفوفة اليعقوبية. في حالتنا، ستكون مصفوفة 2 × 2 مع مشتقات أولى في مرحلة ما، كما هو موضح أدناه:

بعد الانتهاء من الخطوتين الأوليين، ننتقل إلى إيجاد جذور المعادلة المميزة التالية:

حيث تتوافق النقطة مع نقاط التوازن الموجودة في الخطوة الأولى.

بعد العثور على و، ننتقل إلى الخطوة الرابعة ونستخدم نظريات لابونوف التالية (باركس، 1992):

النظرية 1: إذا كانت جميع جذور المعادلة المميزة لها جزء حقيقي سالب، فإن نقطة التوازن المقابلة للنظام الأصلي والخطي تكون مستقرة تقاربيًا.

النظرية 2: إذا كان أحد جذور المعادلة المميزة على الأقل يحتوي على جزء حقيقي موجب، فإن نقطة التوازن المقابلة للنظام الأصلي والخطي تكون غير مستقرة تقاربيًا.

وبالنظر أيضًا إلى أنه من الممكن تحديد نوع الثبات بشكل أكثر دقة، بناءً على التقسيم الموضح في الشكل 1.2 (جامعة لامار).

الشكل 1.2. أنواع استقرار نقاط التوازن

بعد النظر في المعلومات النظرية اللازمة، دعونا ننتقل إلى تحليل النظم.

خذ بعين الاعتبار نظامًا بدون تشبع:

إنه بسيط للغاية وغير مناسب للاستخدام العملي لأنه ليس له أي قيود. ولكن كمثال أول لتحليل النظام فهو مناسب للنظر فيه.

أولًا، دعونا نوجد نقاط التوازن عن طريق مساواة الأطراف اليمنى للمعادلات بالصفر. وهكذا نجد نقطتي التوازن، دعنا نسميهما A وB: .

لنجمع بين الخطوة والبحث عن المصفوفة اليعقوبية وجذور المعادلة المميزة وتحديد نوع الثبات. وبما أنها ابتدائية، فإننا نحصل على الجواب على الفور:

1. عند النقطة، توجد عقدة مستقرة.

عند النقطة: سرج.

كما كتبت بالفعل، هذا النظام تافه للغاية، لذلك لم يكن هناك حاجة إلى تفسير.

الآن دعونا نحلل النظام من التشبع:

(1.9)

إن ظهور القيود المفروضة على التشبع المتبادل للمنتجات بين المؤسسات يجعلنا أقرب إلى الصورة الحقيقية لما يحدث، كما أنه يعقد النظام قليلاً.

كما في السابق، نساوي الأطراف اليمنى من النظام بالصفر ونحل النظام الناتج. بقيت النقطة دون تغيير، لكن النقطة الأخرى في هذه الحالة تحتوي على معلمات أكثر من ذي قبل: .

في هذه الحالة، تأخذ المصفوفة اليعقوبية الشكل التالي:

دعونا نطرح منها مصفوفة الهوية مضروبة في ، ونساوي محدد المصفوفة الناتجة عند النقطتين A و B بالصفر.

في نقطة مشابهة للصورة السابقة:

عقدة مستقرة.

ولكن عند هذه النقطة كل شيء أكثر تعقيدًا إلى حد ما، وعلى الرغم من أن الرياضيات لا تزال بسيطة جدًا، إلا أن التعقيد يجعل من غير المناسب العمل مع تعبيرات الحروف الطويلة. نظرًا لأن القيم طويلة جدًا وغير ملائمة للكتابة، فلا يتم تقديمها، يكفي أن نقول فقط أنه في هذه الحالة، كما هو الحال مع النظام السابق، فإن نوع الاستقرار الناتج هو السرج.

2 صور المرحلة من الأنظمة

الغالبية العظمى من النماذج الديناميكية غير الخطية عبارة عن معادلات تفاضلية معقدة لا يمكن حلها أو يصعب حلها إلى حد ما. ومن الأمثلة على ذلك النظام من القسم السابق. وعلى الرغم من بساطته الظاهرة، إلا أن العثور على نوع الاستدامة عند نقطة التوازن الثانية لم يكن سهلا (حتى لو لم يكن من وجهة نظر رياضية)، ومع زيادة المعلمات والقيود والمعادلات لزيادة عدد المؤسسات المتفاعلة، فإن التعقيد لن يؤدي إلا إلى يزيد. بالطبع، إذا كانت المعلمات عبارة عن تعبيرات رقمية، فسيصبح كل شيء بسيطًا بشكل لا يصدق، ولكن بعد ذلك سيفقد التحليل كل المعنى بطريقة ما، لأنه في النهاية، سنكون قادرين على العثور على نقاط التوازن ومعرفة أنواع استقرارها فقط لحالة معينة، وليس للحالة العامة.

في مثل هذه الحالات، يجدر بنا أن نتذكر مستوى الطور وصور الطور. في الرياضيات التطبيقية، وخاصة في سياق تحليل الأنظمة غير الخطية، يكون مستوى الطور تمثيلًا مرئيًا لخصائص معينة لأنواع معينة من المعادلات التفاضلية (نولتي، 2015). إن المستوى الإحداثي الذي يحتوي على محاور قيم أي زوج من المتغيرات التي تميز حالة النظام هو حالة ثنائية الأبعاد لمساحة الطور العامة ذات الأبعاد n.

بفضل مستوى الطور، من الممكن تحديد وجود دورات حدية بيانياً في حلول المعادلة التفاضلية.

حلول المعادلات التفاضلية هي مجموعة من الوظائف. بيانياً، يمكن رسم ذلك في مستوى الطور كحقل متجه ثنائي الأبعاد. يتم رسم المتجهات على المستوى الذي يمثل المشتقات عند نقاط مميزة بالنسبة لبعض المعلمات، في حالتنا، الوقت، وهو (). مع وجود عدد كافٍ من هذه الأسهم في منطقة واحدة، يمكن تصور سلوك النظام ويمكن تحديد الدورات الحدية بسهولة (Boeing, 2016).

الحقل المتجه هو صورة طورية، ومسار معين على طول خط التدفق (أي مسار مماس دائمًا للمتجهات) هو مسار طور. وتشير التدفقات في حقل متجه إلى تغير النظام مع مرور الوقت، وهو موصوف بمعادلة تفاضلية (الأردن، 2007).

تجدر الإشارة إلى أنه يمكن إنشاء صورة المرحلة حتى بدون حل معادلة تفاضلية، وفي الوقت نفسه، يمكن أن يوفر التصور الجيد الكثير من المعلومات المفيدة. بالإضافة إلى ذلك، يوجد حاليًا العديد من البرامج التي يمكن أن تساعد في إنشاء المخططات المرحلية.

وبالتالي، فإن مستويات الطور مفيدة لتصور سلوك الأنظمة الفيزيائية. على وجه الخصوص، الأنظمة التذبذبية، مثل نموذج المفترس والفريسة الذي سبق ذكره أعلاه. في هذه النماذج، يمكن لمسارات الطور أن "تدور" نحو الصفر، أو "دوامة" نحو اللانهاية، أو تصل إلى وضع محايد ومستقر يسمى المراكز. وهذا مفيد في تحديد ما إذا كانت الديناميكيات مستقرة أم لا (الأردن، 2007).

سيتم إنشاء صور المرحلة المعروضة في هذا القسم باستخدام أدوات WolframAlpha، أو سيتم توفيرها من مصادر أخرى. نموذج النمو المالتوسي بدون تشبع.

دعونا نبني صورة طورية للنظام الأول بثلاث مجموعات من المعلمات لمقارنة سلوكها. المجموعة A ((1,1)، (1,1))، والتي ستُطلق عليها أيضًا مجموعة الوحدات، المجموعة B ((10,0.1)، (2,2))، عند اختيارها، يحدث انخفاض حاد في الإنتاج. لوحظ في النظام والمجموعة C ((1،10)، (1،10)) والتي، على العكس من ذلك، يحدث نمو حاد وغير محدود. ومن الجدير بالذكر أن القيم على طول المحاور في جميع الحالات ستكون في نفس الفترات من -10 إلى 10، وذلك لسهولة مقارنة مخططات الطور مع بعضها البعض. بالطبع، هذا لا ينطبق على صورة عالية الجودة لنظام تكون محاوره بلا أبعاد.

الشكل 1.3 صورة المرحلة مع المعلمات A

معادلة الحد التفاضلي التبادلية

يوضح الشكل 1.3 الموضح أعلاه صور الطور للنظام للمجموعات الثلاث المحددة من المعلمات، بالإضافة إلى صورة الطور التي تصف السلوك النوعي للنظام. لا تنس أن الأهم من الناحية العملية هو الربع الأول، حيث أن كمية الإنتاج، التي لا يمكن إلا أن تكون غير سلبية، هي محاورنا.

في كل من الأشكال، الاستقرار عند نقطة التوازن (0,0) واضح للعيان. وفي الشكل الأول، يُلاحظ أيضًا "السرج" عند النقطة (1،1)، بمعنى آخر، إذا قمت باستبدال قيم مجموعة من المعلمات في النظام، ثم عند نقطة التوازن B. عندما يكون تم تغيير حدود النموذج، كما تم العثور على نقطة السرج في صور الطور الأخرى.

النموذج المالتوسي للنمو من التشبع.

دعونا نبني مخططات الطور للنظام الثاني، الذي يوجد فيه التشبع، مع ثلاث مجموعات جديدة من قيم المعلمات. المجموعة أ، ((0.1،15،100)، (0.1،15،100)) والمجموعة ب ((1،1،0.5)، (1، 1،0.5)) والمجموعة ج ((20،1،100)، (20،1،100 )).

الشكل 1.4. صورة المرحلة مع المعلمات أ

كما ترون، بالنسبة لأي مجموعة من المعلمات، فإن النقطة (0،0) هي نقطة توازن، ومستقرة أيضًا. أيضًا في بعض الصور يمكنك رؤية نقطة السرج.

في هذه الحالة، تم أخذ مقاييس مختلفة في الاعتبار من أجل توضيح أنه حتى عند إضافة عامل التشبع إلى النظام، فإن الصورة النوعية لا تتغير، أي أن التشبع وحده لا يكفي. من الضروري أن نأخذ في الاعتبار أنه من الناحية العملية، تحتاج الشركات إلى الاستقرار، أي إذا نظرنا إلى المعادلات التفاضلية غير الخطية، فإننا مهتمون أكثر بنقاط التوازن المستقرة، وفي هذه الأنظمة تكون هذه النقاط صفرًا فقط، مما يعني أن مثل هذه النقاط ومن الواضح أن النماذج الرياضية ليست مناسبة للمؤسسات. بعد كل شيء، هذا يعني أنه فقط مع الإنتاج الصفري تكون الشركات مستدامة، وهو ما يختلف بوضوح عن الصورة الحقيقية للعالم.

في الرياضيات، المنحنى التكاملي هو منحنى حدودي يمثل حلاً محددًا لمعادلة تفاضلية عادية أو نظام معادلات (لانج، 1972). إذا تم تمثيل معادلة تفاضلية كحقل متجه، فإن منحنيات التكامل المقابلة تكون مماسة للحقل عند كل نقطة.

تُعرف المنحنيات التكاملية أيضًا بأسماء أخرى، اعتمادًا على طبيعة وتفسير المعادلة التفاضلية أو المجال المتجه. في الفيزياء، تُعرف المنحنيات المتكاملة للمجال الكهربائي أو المجال المغناطيسي بخطوط المجال، وتُعرف المنحنيات المتكاملة لحقل سرعة الموائع بالخطوط الانسيابية. في الأنظمة الديناميكية، تسمى المنحنيات المتكاملة للمعادلة التفاضلية بالمسارات.

الشكل 1.5. منحنيات متكاملة

يمكن أيضًا اعتبار حلول أي من الأنظمة بمثابة معادلات لمنحنيات متكاملة. من الواضح أن كل مسار طور هو إسقاط لمنحنى متكامل في مساحة x، y، t على مستوى الطور.

هناك عدة طرق لبناء منحنيات متكاملة.

واحدة منها هي طريقة الإيزوكلين. الخط المتساوي هو منحنى يمر عبر نقاط يكون عندها ميل الدالة المعنية هو نفسه دائمًا، بغض النظر عن الظروف الأولية (Hanski, 1999).

غالبًا ما يتم استخدامه كطريقة رسومية لحل المعادلات التفاضلية العادية. على سبيل المثال، في معادلة من الشكل y"= f(x, y)، الخطوط المتساوية هي خطوط على المستوى (x, y) يتم الحصول عليها عن طريق مساواة f (x, y) بثابت. وهذا يعطي سلسلة من الخطوط ( لثوابت مختلفة) والتي يكون للمنحنيات على طولها نفس التدرج. من خلال حساب هذا التدرج لكل خط متساوي، يمكن تصور مجال المنحدر، مما يجعل من السهل نسبيًا رسم منحنيات حل تقريبية. يوضح الشكل أدناه مثالاً لاستخدام طريقة الإيزوكلين.

الشكل 1.6. طريقة الإيزوكلين

هذه الطريقة لا تحتاج إلى حسابات حاسوبية، وكانت شائعة جدًا في الماضي. توجد الآن حلول برمجية يمكنها إنشاء منحنيات متكاملة على أجهزة الكمبيوتر بدقة وسرعة بالغة. ومع ذلك، حتى مع ذلك، أثبتت طريقة الخط المتساوي نفسها كأداة لدراسة سلوك المحاليل، لأنها تسمح للشخص بإظهار مناطق السلوك النموذجي للمنحنيات المتكاملة.

نموذج النمو المالتوسي بدون تشبع.

لنبدأ بحقيقة أنه على الرغم من وجود طرق بناء مختلفة، فإن إظهار المنحنيات المتكاملة لنظام المعادلات ليس بالأمر السهل. إن طريقة الخط المتساوي المذكورة سابقًا غير مناسبة لأنها تعمل مع المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. لكن الأدوات البرمجية التي لديها القدرة على إنشاء مثل هذه المنحنيات ليست متاحة للعامة. على سبيل المثال، يتم دفع Wolfram Mathematica، القادر على ذلك. لذلك، سنحاول الاستفادة القصوى من إمكانيات Wolfram Alpha، العمل الذي تم وصفه في المقالات والأعمال المختلفة (Orca، 2009). على الرغم من أن الصورة لن تكون موثوقة تمامًا، إلا أنها ستجعل من الممكن على الأقل إظهار الاعتماد في المستويات (x,t)، (y,t). أولا، دعونا نحل كل من المعادلات لـ t. أي أننا سوف نستنتج اعتماد كل متغير بالنسبة للوقت. لهذا النظام نحصل على:

(1.10)

(1.11)

المعادلات متماثلة، لذلك سننظر في واحدة منها فقط، وهي x(t). دع الثابت يساوي 1. في هذه الحالة، سوف نستخدم وظيفة الرسوم البيانية.

الشكل 1.7. نموذج ثلاثي الأبعاد للمعادلة (1.10)

النموذج المالتوسي للنمو من التشبع.

دعونا نفعل خطوات مماثلة للنموذج الآخر. في النهاية، حصلنا على معادلتين توضحان اعتماد المتغيرات على الوقت.

(1.12)

(1.13)

دعونا نبني نموذجًا ثلاثي الأبعاد وخطوط المستوى مرة أخرى.

الشكل 1.8. نموذج ثلاثي الأبعاد للمعادلة (1.12)

نظرًا لأن قيم المتغيرات غير سالبة، فإننا في الكسر ذو الأس نحصل على رقم سالب. وبالتالي، مع مرور الوقت، يتناقص منحنى التكامل.

في السابق، تم تقديم تعريف لديناميكيات النظام لفهم جوهر العمل، ولكن الآن سنتناول هذا الأمر بمزيد من التفصيل.

ديناميكيات النظام هي منهجية وطريقة للنمذجة الرياضية لتشكيل وفهم ومناقشة المشكلات المعقدة، وقد تم تطويرها في الأصل في الخمسينيات من قبل جاي فوريستر، وتم وصفها في عمله (فوريستر، 1961).

ديناميكيات النظام هي أحد جوانب نظرية النظم كوسيلة لفهم السلوك الديناميكي للأنظمة المعقدة. أساس هذه الطريقة هو الاعتراف بأن بنية أي نظام تتكون من علاقات عديدة بين مكوناته، والتي غالبًا ما تكون مهمة في تحديد سلوكه مثل المكونات الفردية نفسها. ومن الأمثلة على ذلك نظرية الفوضى والديناميكيات الاجتماعية، الموصوفة في أعمال العديد من المؤلفين (غريبوجي، 1987؛ سونتاغ، 1998؛ كوزنتسوف، 2001؛ تابور، 2001). ويقال أيضًا أنه نظرًا لأنه لا يمكن العثور على خصائص الكل في كثير من الأحيان في خصائص العناصر، ففي بعض الحالات لا يمكن تفسير سلوك الكل من حيث سلوك الأجزاء.

يمكن للمحاكاة أن تظهر حقًا الأهمية العملية للنظام الديناميكي. على الرغم من أن هذا ممكن في جداول البيانات، إلا أن هناك العديد من حزم البرامج التي تم تحسينها خصيصًا لهذا الغرض.

المحاكاة نفسها هي عملية إنشاء وتحليل نموذج أولي لنموذج مادي للتنبؤ بأدائه في العالم الحقيقي. تُستخدم نمذجة المحاكاة لمساعدة المصممين والمهندسين على فهم الظروف والوقت الذي من المحتمل أن تفشل فيه العملية وما هي الأحمال التي يمكن أن تتحملها (Hemdi, 2007). يمكن أن تساعد النمذجة أيضًا في التنبؤ بسلوك تدفقات السوائل والظواهر الفيزيائية الأخرى. يقوم النموذج بتحليل ظروف التشغيل التقريبية باستخدام برامج المحاكاة (ستروجاليف، 2008).

القيود المفروضة على قدرات المحاكاة لها سبب مشترك. يضمن البناء والحساب العددي لنموذج دقيق النجاح فقط في تلك المجالات التي توجد فيها نظرية كمية دقيقة، أي عندما تكون المعادلات التي تصف ظواهر معينة معروفة، وتكون المهمة ببساطة هي حل هذه المعادلات بالدقة المطلوبة. في المجالات التي لا توجد فيها نظرية كمية، يكون بناء نموذج دقيق ذا قيمة محدودة (بازيكين، 2003).

ومع ذلك، فإن إمكانيات النمذجة ليست بلا حدود. يرجع ذلك في المقام الأول إلى حقيقة أنه من الصعب تقييم نطاق تطبيق نموذج المحاكاة، ولا سيما الفترة الزمنية التي يمكن بناء التنبؤات لها بالدقة اللازمة (Law, 2006). بالإضافة إلى ذلك، يرتبط نموذج المحاكاة بطبيعته بكائن معين، وعند محاولة تطبيقه على كائن آخر، حتى ولو كان مشابهًا، فإنه يتطلب تعديلات جذرية أو على الأقل تعديلات كبيرة.

هناك سبب عام لوجود قيود على نمذجة المحاكاة. لا ينجح البناء والحساب العددي للنموذج "الدقيق" إلا في حالة وجود نظرية كمية، أي فقط إذا كانت جميع المعادلات معروفة، وتقتصر المشكلة فقط على حل هذه المعادلات بدقة معينة (بازيكين، 2003). .

ولكن على الرغم من ذلك، فإن نمذجة المحاكاة هي وسيلة ممتازة لتصور العمليات الديناميكية، مما يسمح لك باتخاذ القرارات بناء على نتائجها باستخدام نموذج أكثر أو أقل صحة.

في هذا العمل، سيتم بناء نماذج النظام باستخدام أدوات ديناميكيات النظام التي يقدمها برنامج AnyLogic.

نموذج النمو المالتوسي بدون تشبع

قبل بناء النموذج، من الضروري النظر في عناصر ديناميكيات النظام التي سنستخدمها وربطها بنظامنا. التعريفات التالية مأخوذة من مساعدة AnyLogic.

المجمع هو العنصر الرئيسي في مخططات ديناميكيات النظام. يتم استخدامها لتمثيل كائنات العالم الحقيقي التي تتراكم فيها موارد معينة: المال والمواد وأعداد مجموعات الأشخاص وأشياء مادية معينة وما إلى ذلك. تعكس المراكم الحالة الثابتة للنظام المحاكى، وتتغير قيمها بمرور الوقت وفقًا للتدفقات الموجودة في النظام. ويترتب على ذلك أن ديناميكيات النظام يتم تحديدها من خلال التدفقات. التدفقات داخل وخارج المجمع تزيد أو تقلل من قيم المجمع.

يعد التدفق، بالإضافة إلى جهاز التخزين المذكور أعلاه، العنصر الرئيسي في المخططات الديناميكية للنظام.

بينما تحدد المجمعات الجزء الثابت من النظام، تحدد الخيوط معدل تغير قيم المجمع، أي كيفية حدوث التغييرات في المخزونات بمرور الوقت وبالتالي تحديد ديناميكيات النظام.

يمكن أن يحتوي الوكيل على متغيرات. تُستخدم المتغيرات عادةً لنمذجة الخصائص المتغيرة للوكيل أو لتخزين مخرجات النموذج. تتكون المتغيرات الديناميكية عادة من وظائف المجمع.

يمكن أن يكون للوكيل معلمات. غالبًا ما تُستخدم المعلمات لتمثيل بعض خصائص كائن نموذجي. تكون مفيدة عندما يكون لمثيلات الكائنات نفس السلوك الموصوف في الفئة، ولكنها تختلف في بعض قيم المعلمات. هناك فرق واضح بين المتغيرات والمعلمات. يمثل المتغير حالة النموذج ويمكن أن يتغير أثناء المحاكاة. تُستخدم المعلمة عادةً لوصف الكائنات بشكل ثابت. أثناء "تشغيل" النموذج مرة واحدة، تكون المعلمة عادةً ثابتة ولا يتم تغييرها إلا عندما يكون من الضروري إعادة تكوين سلوك النموذج.

الاتصال هو عنصر من عناصر ديناميكيات النظام يستخدم لتحديد التبعية بين عناصر مخطط التدفق والقيادة، وهو لا ينشئ اتصالات تلقائيًا، ولكنه يجبر المستخدم على رسمها بشكل صريح في محرر رسومي (ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن AnyLogic يدعم أيضًا آلية إنشاء الاتصالات المفقودة بسرعة). على سبيل المثال، إذا تم ذكر أي عنصر A في المعادلة أو القيمة الأولية للعنصر B، فأنت بحاجة أولاً إلى ربط هذه العناصر برابط ينتقل من A إلى B، وبعد ذلك فقط أدخل التعبير في خصائص B.

هناك بعض العناصر الأخرى من ديناميكيات النظام، ولكن لن يتم استخدامها في سياق هذا العمل، لذلك سوف نحذفها.

أولا، دعونا نفكر مما سيتكون نموذج النظام (1.4).

أولاً، نقوم على الفور بوضع علامة على محركين يحتويان على قيم كمية منتجات كل مؤسسة.

ثانيًا، بما أن لدينا حدين في كل معادلة، فإننا نحصل على تدفقين لكل محرك، أحدهما وارد والآخر صادر.

ثالثا، دعنا ننتقل إلى المتغيرات والمعلمات. هناك متغيران فقط. X وY، المسؤولان عن نمو المنتج. لدينا أيضًا أربع معلمات.

رابعا، فيما يتعلق بالاتصالات، يجب أن يرتبط كل من التدفقات بالمتغيرات والمعلمات المتضمنة في معادلة التدفق، ويجب أن يكون لكلا المتغيرين اتصال بالمراكم لتتغير القيمة مع مرور الوقت.

سنترك وصفًا تفصيليًا لبناء نموذج، كمثال للعمل في بيئة نمذجة AnyLogic، للنظام التالي، نظرًا لأنه أكثر تعقيدًا إلى حد ما ويستخدم المزيد من المعلمات، وسننتقل فورًا إلى النظر في الإصدار النهائي من النظام.

أدناه في الشكل 1.9 يتم عرض النموذج المبني:

الشكل 1.9. نموذج ديناميكيات النظام للنظام (1.4)

جميع عناصر ديناميكيات النظام تتوافق مع تلك المذكورة أعلاه، أي. محركان، وأربعة تدفقات (اثنان للداخل، واثنان للخارج)، وأربعة معلمات، ومتغيرين ديناميكيين، والاتصالات الضرورية.

يوضح الشكل أنه كلما زاد عدد المنتجات، كلما كان نموها أقوى، مما يؤدي إلى زيادة حادة في عدد السلع، وهو ما يتوافق مع نظامنا. ولكن كما قلنا سابقًا، فإن عدم وجود قيود على هذا النمو لا يسمح بتطبيق هذا النموذج على أرض الواقع.

النموذج المالتوسي للنمو من التشبع/

وبالنظر إلى هذا النظام، سنتناول بمزيد من التفصيل بناء النموذج.

الخطوة الأولى هي إضافة محركين، لنسميهما X_stock وY_stock. دعونا نخصص قيمة أولية لكل منها 1. لاحظ أنه في حالة عدم وجود الخيوط، لا يوجد شيء في المعادلة المجمعة المحددة بشكل كلاسيكي.

الشكل 1.10. بناء نموذج النظام (1.9)

والخطوة التالية هي إضافة المواضيع. دعونا نبني تدفقًا واردًا وصادرًا لكل محرك أقراص باستخدام محرر رسومي. يجب ألا ننسى أن إحدى حواف الدفق يجب أن تكون في محرك الأقراص، وإلا فلن يتم توصيلها.

يمكنك أن ترى أن معادلة محرك الأقراص قد تم ضبطها تلقائيًا؛ وبطبيعة الحال، يمكن للمستخدم كتابتها بنفسه عن طريق تحديد وضع المعادلة "المجاني"، ولكن أسهل طريقة هي ترك هذا الإجراء للبرنامج.

خطوتنا الثالثة هي إضافة ستة معلمات ومتغيرين ديناميكيين. دعونا نعطي كل عنصر اسمًا وفقًا للتعبير الحرفي الخاص به في النظام، ونقوم أيضًا بتعيين القيم الأولية للمعلمات على النحو التالي: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0.2.

جميع عناصر المعادلات موجودة، كل ما تبقى هو كتابة معادلات التدفقات، ولكن للقيام بذلك، عليك أولاً إضافة اتصالات بين العناصر. على سبيل المثال، يجب أن يرتبط التدفق الصادر المسؤول عن المصطلح بـ e1 وx. ويجب أن يرتبط كل متغير ديناميكي بالتخزين المقابل له (X_stock x، Y_stock y). إنشاء الاتصالات يشبه إضافة سلاسل الرسائل.

بعد إنشاء الاتصالات اللازمة، يمكنك البدء في كتابة معادلات التدفقات، وهو ما هو موضح في الشكل الصحيح. بالطبع، يمكنك الذهاب بترتيب عكسي، ولكن في حالة وجود اتصالات، أثناء كتابة المعادلات، تظهر تلميحات لاستبدال المعلمات/المتغيرات الضرورية، مما يجعل المهمة أسهل في النماذج المعقدة.

بعد الانتهاء من جميع الخطوات، يمكنك تشغيل نموذج المحاكاة وإلقاء نظرة على نتيجته.

بعد النظر في أنظمة المعادلات التفاضلية غير الخطية للتفاعل بين الشركات في ظل ظروف التبادلية، يمكن استخلاص عدة استنتاجات.

هناك حالتان للنظام: النمو الحاد غير المحدود، أو ميل كمية الإنتاج إلى الصفر. تعتمد أي من الحالتين التي سيتخذها النظام على المعلمات.

لا يعتبر أي من النماذج المقترحة، بما في ذلك النموذج الذي يأخذ في الاعتبار حالات التشبع، مناسبًا للاستخدام العملي، وذلك بسبب عدم وجود وضع مستقر غير الصفر، وكذلك الأسباب الموضحة في الفقرة 1.

إذا حاولنا مواصلة دراسة هذا النوع من التفاعل التكافلي من أجل إنشاء نموذج قابل للتطبيق على الشركات في الممارسة العملية، فمن الضروري زيادة تعقيد النظام وإدخال معايير جديدة. على سبيل المثال، يعطي بازيكين في كتابه مثالاً على ديناميكيات مجموعتين متبادلتين مع إدخال عامل إضافي للمنافسة بين الأنواع. وبسبب ذلك يأخذ النظام الشكل:

(1.15)

وفي هذه الحالة يظهر وضع مستقر غير الصفر للنظام، يفصله عن الصفر "سرج"، مما يجعله أقرب إلى الصورة الحقيقية لما يحدث.

2. تفاعل الشركات في ظروف التعاون الأولي

تم عرض جميع المعلومات النظرية الأساسية في الفصل السابق، لذا عند تحليل النماذج التي تمت مناقشتها في هذا الفصل، سيتم حذف النظرية إلى حد كبير، باستثناء بعض النقاط التي لم نواجهها في الفصل السابق، وقد يكون هناك أيضًا تكون اختصارات في الحسابات. إن نموذج التفاعل بين المنظمات الذي تم تناوله في هذا الفصل في ظل ظروف التعاون البدائي، والذي يتكون من أنظمة من معادلتين على أساس النموذج المالتوسي، يشبه النظام (1.5). أظهرت الأنظمة التي تم تحليلها في الفصل السابق أنه من أجل تقريبها قدر الإمكان من النماذج الحالية، من الضروري زيادة تعقيد الأنظمة. وبناء على هذه الاستنتاجات، سنضيف على الفور قيود النمو إلى النموذج. على عكس النوع السابق من التفاعل، عندما يكون النمو المستقل عن شركة أخرى سلبيا، في هذه الحالة تكون جميع العلامات إيجابية، مما يعني أن لدينا نموا مستمرا. لتجنب أوجه القصور التي تم وصفها سابقًا، سنحاول قصرها على المعادلة اللوجستية، المعروفة أيضًا باسم معادلة فيرهولست (Gershenfeld, 1999)، والتي لها الشكل التالي:

, (2.1)

حيث P هو حجم السكان، r هو معلمة توضح معدل النمو، K هو معلمة مسؤولة عن الحد الأقصى لحجم السكان الممكن. وهذا يعني أنه بمرور الوقت، سيميل حجم السكان (في حالتنا، الإنتاج) إلى معلمة معينة K.

ستساعد هذه المعادلة في الحد من نمو المنتج المتفشي الذي شهدناه سابقًا. وبذلك يأخذ النظام الشكل التالي:

(2.2)

لا تنس أن حجم البضائع المخزنة في المستودع يختلف من شركة إلى أخرى، وبالتالي فإن المعلمات التي تحد من النمو مختلفة. دعونا نسمي هذا النظام ""، وفي المستقبل سوف نستخدم هذا الاسم عندما نفكر فيه.

النظام الثاني الذي سننظر فيه هو التطوير الإضافي للنموذج مع قيد Verhulst. كما في الفصل السابق، قمنا بإدخال قيود على التشبع، ثم سيأخذ النظام الشكل:

(2.3)

الآن كل مصطلح له حدوده الخاصة، لذلك بدون مزيد من التحليل يمكنك أن ترى أنه لن يكون هناك نمو غير محدود، كما هو الحال في نماذج الفصل السابق. وبما أن كل مصطلح يظهر نموًا إيجابيًا، فإن كمية الإنتاج لن تنخفض إلى الصفر. دعونا نسمي هذا النموذج "نموذج التعاون البدائي مع قيدين".

تمت مناقشة هذين النموذجين في مصادر مختلفة حول المجموعات البيولوجية. الآن سنحاول توسيع الأنظمة إلى حد ما. للقيام بذلك، النظر في الشكل التالي.

يوضح الشكل مثالاً لعمليات شركتين: صناعات الصلب والفحم. لدى كلا الشركتين نمو منتج مستقل عن الآخر، وهناك أيضًا نمو منتج ينتج عن تفاعلهما. لقد أخذنا هذا في الاعتبار بالفعل في النماذج السابقة. الآن تجدر الإشارة إلى أن الشركات لا تنتج المنتجات فحسب، بل تبيعها أيضًا، على سبيل المثال، إلى السوق أو إلى شركة تتفاعل معه. أولئك. بناء على الاستنتاجات المنطقية، هناك حاجة إلى نمو سلبي للشركات من خلال بيع المنتجات (في الشكل، المعلمات β1 و β2 مسؤولة عن ذلك)، وكذلك من خلال نقل جزء من الإنتاج إلى مؤسسة أخرى. في السابق، أخذنا ذلك في الاعتبار فقط بإشارة إيجابية من شركة أخرى، لكننا لم نأخذ في الاعتبار حقيقة أن المؤسسة الأولى عند نقل المنتجات تقلل كميتها. في هذه الحالة نحصل على النظام:

(2.4)

وإذا كان بإمكاننا أن نقول عن المصطلح أنه إذا تمت الإشارة في النماذج السابقة إلى أنه يميز النمو الطبيعي، ويمكن أن تكون المعلمة سلبية، فلا يوجد فرق عمليًا، إذن حول المصطلح هذا لا يمكن أن يقال. بالإضافة إلى ذلك، في المستقبل، عند النظر في مثل هذا النظام مع فرض قيود عليه، فمن الأصح استخدام مصطلحات النمو الإيجابي والسلبي، لأنه في هذه الحالة يمكن فرض قيود مختلفة عليهم، وهو أمر مستحيل على الطبيعي نمو. دعونا نسميه "نموذج التعاون الأولي الموسع".

وأخيرًا، النموذج الرابع الذي تم النظر فيه هو نموذج التعاون البدائي الموسع مع القيود اللوجستية المذكورة سابقًا على النمو. والنظام لهذا النموذج هو :

, (2.5)

أين الزيادة في إنتاج المؤسسة الأولى بشكل مستقل عن الثانية مع مراعاة القيد اللوجستي، - زيادة إنتاج الشركة الأولى اعتمادا على الثانية مع مراعاة القيد اللوجستي، - زيادة إنتاج المؤسسة الثانية مستقلة عن الأولى مع مراعاة القيد اللوجستي، - زيادة إنتاج الشركة الثانية اعتمادا على الأولى مع مراعاة القيد اللوجستي، - استهلاك سلع المؤسسة الأولى غير المرتبطة بالأخرى، - استهلاك سلع المؤسسة الثانية غير المرتبطة بالشركة أخرى، - استهلاك سلع الصناعة الأولى من قبل الصناعة الثانية، - استهلاك سلع الصناعة الثانية من قبل الصناعة الأولى.

وفي المستقبل، سيتم الإشارة إلى هذا النموذج على أنه "نموذج تشغيل أولي موسع مع قيود لوجستية".

1 استقرار الأنظمة كتقريب أولي

نموذج التعاون الأولي مع قيد Verhulst

تمت الإشارة إلى طرق تحليل استقرار النظام في قسم مماثل من الفصل السابق. أولًا، نوجد نقاط التوازن. واحد منهم، كما هو الحال دائما، هو صفر. والآخر هو نقطة مع الإحداثيات.

بالنسبة لنقطة الصفر α1 = , lect2 = , وبما أن كلا المعلمتين غير سالبتين، فإننا نحصل على عقدة غير مستقرة.

نظرًا لأن العمل مع النقطة الثانية ليس مناسبًا تمامًا، نظرًا لعدم وجود فرصة لتقصير التعبير، فسوف نترك تحديد نوع الاستقرار لمخططات الطور، لأنها تظهر بوضوح ما إذا كانت نقطة التوازن مستقرة أم لا.

يعد تحليل هذا النظام أكثر تعقيدًا من التحليل السابق بسبب إضافة عامل التشبع، وبالتالي تظهر معلمات جديدة، وعند العثور على نقاط التوازن، سيتعين عليك حل معادلة خطية وليس خطية بسبب متغير في المقام. لذلك، وكما في الحالة السابقة، سنترك تحديد نوع الثبات لمخططات الطور.

وعلى الرغم من ظهور معلمات جديدة، إلا أن اليعقوبي عند نقطة الصفر، وكذلك جذور المعادلة المميزة، يشبه النموذج السابق. وهكذا، عند نقطة الصفر هناك عقدة غير مستقرة.

دعنا ننتقل إلى النماذج المتقدمة. الأول منهما لا يحتوي على أي قيود ويأخذ شكل النظام (2.4)

دعونا نجعل تغيير المتغيرات، , و . نظام جديد:

(2.6)

في هذه الحالة، نحصل على نقطتي التوازن، النقطة A(0,0)، B(). تقع النقطة B في الربع الأول لأن المتغيرات لها قيم غير سالبة.

بالنسبة لنقطة التوازن A نحصل على:

. - عقدة غير مستقرة،

. - سرج،

. - سرج،

. - عقدة مستقرة،

عند النقطة B، جذور المعادلة المميزة هي أرقام مركبة: α1 = , lect2 = . لا يمكننا تحديد نوع الاستقرار بالاعتماد على نظريات ليابونوف، لذلك سنقوم بإجراء محاكاة عددية لن تظهر جميع الحالات المحتملة، ولكنها ستسمح لنا بمعرفة بعضها على الأقل.

الشكل 2.2. النمذجة العددية للبحث عن نوع الثبات

عند النظر في هذا النموذج، سيتعين عليك مواجهة صعوبات حسابية، لأنه يحتوي على عدد كبير من المعلمات المختلفة، بالإضافة إلى اثنين من القيود.

وبدون الخوض في تفاصيل الحسابات، نصل إلى نقاط التوازن التالية. النقطة A(0,0) والنقطة B بالإحداثيات التالية:

()، حيث أ =

بالنسبة للنقطة أ، تحديد نوع الاستقرار مهمة تافهة. جذور المعادلة المميزة هي 1 = , 2 = . وهذا يعطينا أربعة خيارات:

1. lect1 > 0, lect2 > 0 - عقدة غير مستقرة.

2. φ1< 0, λ2 >0 - سرج.

3. π1 > 0, π2< 0 - седло.

4. φ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

عند الحديث عن النقطة ب، تجدر الإشارة إلى أن استبدال الاختصارات في التعبير عنها سيؤدي إلى تعقيد العمل مع اليعقوبي وإيجاد جذور المعادلة المميزة. على سبيل المثال، بعد محاولة العثور عليها باستخدام أدوات الحوسبة WolframAlpha، استغرق إخراج القيم الجذرية حوالي خمسة أسطر، مما لا يسمح بالعمل معها بالمعنى الحرفي. بالطبع، إذا كانت لدينا بالفعل المعلمات الموجودة، فيبدو أنه من الممكن العثور بسرعة على نقطة التوازن، ولكن هذه حالة خاصة، لأننا سنجد حالة التوازن، إذا كانت موجودة، فقط لهذه المعلمات، وهي غير مناسبة لـ نظام دعم القرار الذي تم التخطيط لإنشاء النموذج له.

نظرًا لتعقيد العمل مع جذور المعادلة المميزة، سنقوم ببناء الموقع النسبي للخطوط المتساوية الفارغة عن طريق القياس مع النظام الذي تم تحليله في عمل بازيكين (بازيكين، 2003). سيسمح لنا ذلك بالنظر في الحالات المحتملة للنظام، وفي المستقبل، عند إنشاء صور المرحلة، اكتشاف نقاط التوازن وأنواع استقرارها.

بعد بعض الحسابات، تأخذ معادلات الخط الصفري الشكل التالي:

(2.7)

وبالتالي، الخطوط المتساوية لها شكل القطع المكافئ.

الشكل 2.3. الموقع المحتمل للخطوط المتساوية الفارغة

هناك أربع حالات محتملة لترتيبها المتبادل بناءً على عدد النقاط المشتركة بين القطع المكافئة. كل واحد منهم لديه مجموعاته الخاصة من المعلمات، وبالتالي صور المرحلة للنظام.

2 صور المرحلة من الأنظمة

دعونا نبني صورة مرحلية للنظام، بشرط ذلك والمعلمات المتبقية تساوي 1. في هذه الحالة، مجموعة واحدة من المتغيرات كافية، لأن النوعية لن تتغير.

كما يتبين من الأشكال أدناه، فإن نقطة الصفر هي عقدة غير مستقرة، والنقطة الثانية، إذا استبدلنا القيم العددية للمعلمات، نحصل على (-1.5، -1.5) - سرج.

الشكل 2.4. صورة المرحلة للنظام (2.2)

وبالتالي، بما أنه لا ينبغي أن تحدث أي تغييرات، فلا يوجد سوى حالات غير مستقرة لهذا النظام، وهو ما يرجع على الأرجح إلى إمكانية النمو غير المحدود.

نموذج تعاون أولي مع قيدين.

يوجد في هذا النظام عامل محدد إضافي، لذلك يجب أن تختلف مخططات الطور عن الحالة السابقة، كما هو واضح في الشكل. نقطة الصفر هي أيضًا عقدة غير مستقرة، ولكن في هذا النظام يظهر موضع مستقر، وهو العقدة المستقرة. بالنظر إلى معلمات إحداثياتها (5.5،5.5)، فهي موضحة في الشكل.

الشكل 2.5. صورة المرحلة للنظام (2.3)

وبالتالي، فإن القيود المفروضة على كل مصطلح جعلت من الممكن الحصول على موقف مستقر للنظام.

نموذج التعاون الأولي الموسع

دعونا نبني صورًا مرحلية للنموذج الموسع، ولكن على الفور باستخدام شكله المعدل:

دعونا نفكر في أربع مجموعات من المعلمات، مثل النظر في جميع الحالات ذات نقطة توازن صفرية، وكذلك توضيح مخططات الطور للمحاكاة العددية المستخدمة لنقطة توازن غير صفرية: المجموعة A(1,0.5,0.5) تقابل الولاية ، المجموعة B(1,0.5,-0.5) تتطابق مجموعة C(-1,0.5,0.5) ومجموعة D(-1,0.5,-0.5) أي عقدة مستقرة عند نقطة الصفر. ستوضح المجموعتان الأوليتان صور الطور للمعلمات التي أخذناها في الاعتبار في المحاكاة العددية.

الشكل 2.6. صورة الطور للنظام (2.4) مع المعلمات A-D.

في الأشكال، من الضروري الانتباه إلى النقاط (-1،2) و (1،-2)، على التوالي، يظهر "السرج" فيها. للحصول على عرض أكثر تفصيلاً، يوضح الشكل مقياسًا مختلفًا للشكل بنقطة سرج (1،-2). في الشكل يظهر مركز مستقر عند النقطتين (1،2) و (-1،-2). أما بالنسبة لنقطة الصفر، فمن شكل إلى آخر على مخططات الطور يمكننا أن نميز بوضوح العقدة غير المستقرة، والسرج، والسرج، والعقدة المستقرة.

نموذج تعاون أولي ممتد مع قيود لوجستية.

كما في النموذج السابق، سوف نعرض صور الطور لأربع حالات لنقطة الصفر، وسنحاول أيضًا ملاحظة الحلول غير الصفرية في هذه المخططات. للقيام بذلك، خذ مجموعات المعلمات التالية مع المعلمات المحددة بالترتيب التالي (): A(2,1,2,1), B(2,1,1,2), C(1,2,2, 1) ود (1،2،1،2). ستكون المعلمات المتبقية لجميع المجموعات كما يلي: , .

في الأشكال المعروضة أدناه، يمكن للمرء أن يلاحظ حالات التوازن الأربعة لنقطة الصفر الموصوفة في القسم السابق لهذا النظام الديناميكي. وأيضًا يوجد في الأشكال موضع ثابت لنقطة ذات إحداثية واحدة غير الصفر.

الشكل 2.7. صورة الطور للنظام (2.5) مع المعلمات A-B

3 مسارات متكاملة للأنظمة

نموذج التعاون الأولي مع قيد Verhulst

كما في الفصل السابق، سوف نقوم بحل كل من المعادلات التفاضلية على حدة ونعبر بشكل صريح عن اعتماد المتغيرات على معلمة الوقت.

(2.8)

(2.9)

ومن المعادلات الناتجة يتضح أن قيمة كل من المتغيرات في ازدياد، وهو ما يظهر في النموذج ثلاثي الأبعاد أدناه.

الشكل 2.8. نموذج ثلاثي الأبعاد للمعادلة (2.8)

هذا النوع من الرسم البياني في البداية يذكرنا إلى حد ما بالصورة ثلاثية الأبعاد للنموذج المالتوسي بدون تشبع، والتي تمت مناقشتها في الفصل الأول، حيث أنه يتمتع بنمو سريع مماثل، ولكن يمكنك لاحقًا ملاحظة انخفاض في معدل النمو بسبب الوصول إلى الحد الأقصى لحجم الإنتاج. وبالتالي، فإن المظهر النهائي لمنحنيات التكامل يشبه الرسم البياني للمعادلة اللوجستية التي تم استخدامها لتقييد أحد المصطلحات.

نموذج تعاون أولي مع قيدين.

نقوم بحل كل المعادلات باستخدام أدوات Wolfram Alpha. وبالتالي، يتم تقليل اعتماد الدالة x(t) إلى النموذج التالي:

(2.10)

أما بالنسبة للدالة الثانية فالوضع مشابه لذلك سنحذف حلها. ظهرت القيم العددية نتيجة لاستبدال المعلمات بقيم معينة مناسبة لها مما لا يؤثر على السلوك النوعي للمنحنيات التكاملية. في الأشكال أدناه، يمكن ملاحظة استخدام قيود النمو، حيث يصبح النمو الأسي مع مرور الوقت لوغاريتميًا.

الشكل 2.9. نموذج ثلاثي الأبعاد للمعادلة (2.10)

نموذج التعاون الأولي الموسع

تشبه تقريبا نماذج التبادلية. والفرق الوحيد هو النمو الأسرع مقارنة بتلك النماذج، كما يتبين من المعادلات المعروضة أدناه (إذا نظرت إلى الدرجة الأسية) والرسوم البيانية. يجب أن يأخذ المنحنى التكاملي شكل الأسي.

(2.11)

(2.12)

نموذج تعاون بروتوكولي ممتد مع قيود لوجستية

تبدو العلاقة x(t) كما يلي:

بدون رسم بياني، من الصعب تقييم سلوك الوظيفة، لذلك باستخدام الأدوات المعروفة لنا بالفعل، سنقوم بإنشائها.

الشكل 2.10 نموذج ثلاثي الأبعاد للمعادلة.

تتناقص قيمة الدالة بالنسبة للقيم غير الصغيرة للمتغير الآخر، وذلك لعدم وجود قيود على الحد الثنائي السالب، وهي نتيجة واضحة

4 ديناميات النظام للشركات المتفاعلة

نموذج التعاون الأولي مع قيد Verhulst.

دعونا نبني النظام (2.2). باستخدام الأدوات المعروفة لنا بالفعل، نقوم ببناء نموذج محاكاة. هذه المرة، على عكس النماذج التبادلية، سيكون هناك قيد لوجستي في النموذج.

الشكل 2.11. نموذج ديناميكيات النظام للنظام (2.2)

لنقم بتشغيل النموذج. في هذا النموذج، تجدر الإشارة إلى حقيقة أن النمو من العلاقة لا يقتصر على أي شيء، ونمو المنتجات دون تأثير آخر له قيود محددة. إذا نظرت إلى تعبير الدالة اللوجستية نفسها، فستلاحظ أنه في حالة تجاوز المتغير (عدد البضائع) الحد الأقصى لحجم التخزين الممكن، يصبح المصطلح سالبًا. في حالة وجود وظيفة لوجستية فقط، يكون هذا مستحيلًا، ولكن مع وجود عامل نمو إضافي إيجابي دائمًا، يكون ذلك ممكنًا. والآن من المهم أن نفهم أن الوظيفة اللوجستية سوف تتعامل مع حالة النمو غير السريع في عدد المنتجات، على سبيل المثال، المنتجات الخطية. دعونا ننتبه إلى الصور أدناه.

الشكل 2.12. مثال على نموذج ديناميكيات النظام للنظام (2.2)

ويوضح الشكل الأيسر الخطوة الخامسة من البرنامج المقابلة للنموذج المقترح. لكن في الوقت الحالي يجدر الانتباه إلى الصورة الموجودة على اليمين.

أولاً، تمت إزالة ارتباط أحد تدفقات الإدخال لـ Y_stock بـ x، معبرًا عنه بـ. يتم ذلك من أجل إظهار الفرق في أداء النموذج بتدفق خطي وإيجابي دائمًا ونمو ثنائي الخط، والذي يتم تقديمه لـ X_stock. مع التدفقات الخطية غير المحدودة، بعد تجاوز المعلمة K، يصل النظام في مرحلة ما إلى التوازن (في هذا النموذج، تبلغ حالة التوازن 200 ألف وحدة من البضائع). ولكن في وقت سابق بكثير، يؤدي النمو الثنائي إلى زيادة حادة في كمية البضائع، وتحول إلى ما لا نهاية. إذا تركنا التدفقات الإيجابية المستمرة من اليمين واليسار كخطين، فعند الخطوة 20 إلى 30 تقريبًا، تصل قيمة المجمع إلى فرق لا نهائيين.

وبناء على ما سبق، يمكننا القول بكل ثقة أنه في حالة الاستمرار في استخدام مثل هذه النماذج، فمن الضروري الحد من أي نمو إيجابي.

نموذج تعاون أولي مع قيدين.

بعد تحديد عيوب النموذج السابق وإدخال قيود على الحد الثاني بعامل التشبع، سنقوم ببناء وإطلاق نموذج جديد.

الشكل 2.13. نموذج ديناميكيات النظام ومثال على تشغيله للنظام (2.3)

هذا النموذج يجلب في نهاية المطاف النتائج التي طال انتظارها. كان من الممكن الحد من نمو قيم التخزين. وكما يتبين من الشكل الصحيح لكلتا المؤسستين، يتم تحقيق التوازن مع زيادة طفيفة في حجم التخزين.

نموذج التعاون الأولي الموسع

عند النظر في ديناميكيات النظام لهذا النموذج، سيتم عرض قدرات بيئة برنامج AnyLogic للتصور الملون للنماذج. تم إنشاء جميع النماذج السابقة باستخدام عناصر ديناميكيات النظام فقط. لذلك، تبدو النماذج نفسها غير واضحة، ولم تسمح بتتبع ديناميات التغييرات في كمية المنتجات مع مرور الوقت وتغيير المعلمات أثناء تشغيل البرنامج. عند العمل مع هذا النموذج والنموذج التالي، سنحاول الاستفادة من نطاق أوسع من قدرات البرنامج لتغيير العيوب الثلاثة المذكورة أعلاه.

أولاً، في البرنامج، إلى جانب قسم "ديناميكيات النظام"، يحتوي البرنامج أيضًا على أقسام "صور" و"كائنات ثلاثية الأبعاد"، مما يسمح لك بتنويع النموذج، وهو أمر مفيد لعرضه بشكل أكبر، لأنه يجعل النموذج تبدو "أكثر متعة".

ثانيًا، لتتبع ديناميكيات التغييرات في قيم النموذج، يوجد قسم "الإحصائيات" الذي يسمح لك بإضافة الرسوم البيانية وأدوات جمع البيانات المتنوعة، وربطها بالنموذج.

ثالثًا، لتغيير المعلمات والكائنات الأخرى أثناء تنفيذ النموذج، يوجد قسم "عناصر التحكم". تسمح لك الكائنات الموجودة في هذا القسم بتغيير المعلمات أثناء تشغيل النموذج (على سبيل المثال، "شريط التمرير")، وتحديد حالات كائن مختلفة (على سبيل المثال، "التبديل") وتنفيذ إجراءات أخرى تعمل على تغيير البيانات المحددة في البداية أثناء التشغيل.

النموذج مناسب للتعارف التعليمي مع ديناميكيات التغييرات في منتجات المؤسسة، ولكن عدم وجود قيود على النمو لا يسمح باستخدامه في الممارسة العملية.

نموذج تعاون أولي ممتد مع قيود لوجستية.

باستخدام النموذج السابق الجاهز، سنضيف معلمات من المعادلة اللوجستية للحد من النمو.

سوف نحذف بناء النموذج، حيث أن جميع الأدوات والمبادئ اللازمة للعمل معهم قد تم توضيحها بالفعل في النماذج الخمسة السابقة المقدمة في العمل. تجدر الإشارة فقط إلى أن سلوكه يشبه نموذج التعاون الأولي مع قيد Verhulst. أولئك. قلة التشبع تمنع استخدامه العملي.

بعد تحليل النماذج في ظروف التعاون البدائي سنحدد عدة نقاط رئيسية:

إن النماذج التي تمت مناقشتها في هذا الفصل هي من الناحية العملية أكثر ملاءمة من النماذج التبادلية، حيث أنها تتمتع بمواقف توازن مستقرة غير صفرية حتى مع وجود حدين. اسمحوا لي أن أذكركم أنه في نماذج التبادلية لم نتمكن من تحقيق ذلك إلا عن طريق إضافة حد ثالث.

يجب أن يكون للنماذج المناسبة قيود على كل مصطلح، وإلا فإن الزيادة الحادة في العوامل الثنائية "تدمر" نموذج المحاكاة بأكمله.

بناءً على النقطة 2، عند إضافة عامل التشبع إلى نموذج التعاون الأولي الموسع مع حدود Verhulst، بالإضافة إلى إضافة كمية حرجة أقل من الإنتاج، يجب أن يصبح النموذج أقرب ما يمكن إلى الوضع الحقيقي. ولكن لا ينبغي لنا أن ننسى أن مثل هذا التلاعب بالنظام من شأنه أن يؤدي إلى تعقيد تحليله.

خاتمة

ونتيجة للدراسة، تم إجراء تحليل لستة أنظمة تصف ديناميكيات الإنتاج من قبل المؤسسات التي تؤثر بشكل متبادل على بعضها البعض. ونتيجة لذلك تم تحديد نقاط التوازن وأنواع استقرارها بإحدى الطرق التالية: تحليليا، أو من خلال صور الطور المبنية في الحالات التي يكون فيها الحل التحليلي غير ممكن لسبب ما. تم إنشاء مخططات طورية لكل نظام من الأنظمة، بالإضافة إلى نماذج ثلاثية الأبعاد، والتي، عند عرضها، من الممكن الحصول على منحنيات متكاملة في المستويات (x،t)، (y،t). بعد ذلك، وباستخدام بيئة النمذجة AnyLogic، تم بناء جميع النماذج وتم أخذ خيارات سلوكها في الاعتبار ضمن معايير معينة.

بعد تحليل الأنظمة وبناء نماذج المحاكاة الخاصة بها، يصبح من الواضح أن هذه النماذج لا يمكن اعتبارها إلا نماذج تدريب، أو لوصف الأنظمة العيانية، ولكن ليس كنظام دعم قرار للشركات الفردية، وذلك بسبب دقتها المنخفضة وفي بعض الأماكن لا يوجد تمثيل موثوق تماما للعمليات التي تجري. ولكن يجب ألا ننسى أيضًا أنه بغض النظر عن مدى صحة النظام الديناميكي الذي يصف النموذج، فإن كل شركة/منظمة/صناعة لها عملياتها وقيودها الخاصة، لذلك لا يمكن إنشاء نموذج عام ووصفه. في كل حالة محددة، سيتم تعديلها: تصبح أكثر تعقيدا أو، على العكس من ذلك، مبسطة لمزيد من العمل.

عند استخلاص استنتاجات من الاستنتاجات الخاصة بكل فصل، يجدر التركيز على الحقيقة التي تم تحديدها وهي أن إدخال قيود على كل شرط من شروط المعادلة، على الرغم من أنه يعقد النظام، ولكنه يجعل من الممكن أيضًا اكتشاف المواقف المستقرة للعناصر. النظام، وكذلك تقريبه مما يحدث في الواقع. ومن الجدير بالذكر أن نماذج التعاون الأولي هي أكثر ملاءمة للدراسة، لأنها تتمتع بمواقع مستقرة غير صفرية، على عكس النموذجين المتبادلين اللذين درسناهما.

وبذلك تحقق هدف هذه الدراسة واكتملت أهدافها. في المستقبل، كاستمرار لهذا العمل، سيتم النظر في نموذج موسع لتفاعل نوع التعاون البروتوكولي مع ثلاثة قيود مفروضة عليه: اللوجستي، عامل التشبع، الرقم الحرج الأقل، والذي ينبغي أن يسمح لنا بإنشاء المزيد النموذج الدقيق لنظام دعم القرار وكذلك نموذج مع ثلاث شركات. وكامتداد للعمل، يمكننا أن نفكر في نوعين آخرين من التفاعل بالإضافة إلى التكافل، اللذين تم ذكرهما في العمل.

الأدب

1. بهاتيا نام بارشاد؛ زيجكس جورجيو ب. (2002). نظرية استقرار الأنظمة الديناميكية. سبرينغر.

2. بلانشارد ب. ديفاني، ر.ل. هول، جي آر (2006). المعادلات التفاضلية. لندن: طومسون. ص. 96-111.

بوينغ، ج. (2016). التحليل البصري للأنظمة الديناميكية غير الخطية: الفوضى والفركتلات والتشابه الذاتي وحدود التنبؤ. الأنظمة. 4 (4): 37.

4. كامبل، ديفيد ك. (2004). الفيزياء غير الخطية: استراحة جديدة. طبيعة. 432 (7016): 455-456.

إلتون سي.س. (1968) طبع. بيئة الحيوان. بريطانيا العظمى: شركة William Clowes and Sons Ltd.

7. فوريستر جاي دبليو (1961). الديناميات الصناعية. مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.

8. غاندولفو، جيانكارلو (1996). الديناميات الاقتصادية (الطبعة الثالثة). برلين: سبرينغر. ص. 407-428.

9. غيرشنفيلد نيل أ. (1999). طبيعة النمذجة الرياضية. كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج.

10. جودمان م. (1989). ملاحظات الدراسة في ديناميكيات النظام. حصان مجنح.

غريبوجي سي، أوت إي، ويورك جي (1987). الفوضى والجاذبات الغريبة وحدود الحوض الفركتلية في الديناميكيات غير الخطية. العلوم 238 (4827)، الصفحات من 632 إلى 638.

12. هيرير إرنست؛ نورسيت سيفرت بول؛ وانر، غيرهارد (1993)، حل المعادلات التفاضلية العادية الأول: مشاكل غير قاسية، برلين، نيويورك

هانسكي آي. (1999) علم البيئة الأيضية. مطبعة جامعة أكسفورد، أكسفورد، ص. 43-46.

هيوز هاليت ديبورا؛ مكالوم، وليام G.؛ جليسون، أندرو م. (2013). حساب التفاضل والتكامل: فردي ومتعدد المتغيرات (6 ed.). جون وايلي.

15. ليبري ج.، فالس سي. (2007). التكاملات التحليلية العالمية الأولى لنظام Lotka-Volterra المستوي الحقيقي، J. Math. فيز.

16. الأردن د.و. سميث ب. (2007). المعادلات التفاضلية العادية غير الخطية: مقدمة للعلماء والمهندسين (الطبعة الرابعة). مطبعة جامعة أكسفورد.

خليل حسن ك. (2001). الأنظمة غير الخطية. برنتيس هول.

جامعة لامار، ملاحظات الرياضيات عبر الإنترنت - مستوى المرحلة، بي دوكينز.

جامعة لامار، ملاحظات الرياضيات عبر الإنترنت - أنظمة المعادلات التفاضلية، بي دوكينز.

لانج سيرج (1972). المشعبات التفاضلية. ريدينغ، ماساشوستس-لندن-دون ميلز، أونتاريو: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.

لو أفريل م. (2006). نمذجة المحاكاة والتحليل باستخدام برنامج Expertfit. ماكجرو هيل العلوم.

لازارد د. (2009). ثلاثون عامًا من حل نظام متعدد الحدود، والآن؟ مجلة الحساب الرمزي. 44 (3): 222-231.

24. لويس مارك د. (2000). وعد مقاربات الأنظمة الديناميكية لحساب متكامل للتنمية البشرية. نمو الطفل. 71 (1): 36-43.

25. مالتوس ت.ر. (1798). مقالة عن مبدأ السكان، في طبعة كلاسيكيات أكسفورد العالمية، ص 61، نهاية الفصل السابع

26. موركروفت جون (2007). النمذجة الإستراتيجية وديناميكيات الأعمال: نهج أنظمة التغذية الراجعة. جون وايلي وأولاده.

27. نولتي د. (2015)، مقدمة للديناميكيات الحديثة: الفوضى والشبكات والمكان والزمان، مطبعة جامعة أكسفورد.

إرسال عملك الجيد في قاعدة المعرفة أمر بسيط. استخدم النموذج أدناه

سيكون الطلاب وطلاب الدراسات العليا والعلماء الشباب الذين يستخدمون قاعدة المعرفة في دراساتهم وعملهم ممتنين جدًا لك.

تم النشر على http://www.allbest.ru/

يمارس

التحكم التلقائي في تردد nyquist

تحليل الخصائص الديناميكية لنظام التحكم الآلي المحدد في المخطط الهيكلي الموضح في الشكل 1، بما في ذلك المراحل التالية:

اختيار وتبرير أساليب البحث، وبناء نموذج رياضي لأنظمة التحكم الآلي؛

الجزء الحسابي، بما في ذلك النمذجة الرياضية لأنظمة التحكم الآلي على الكمبيوتر؛

تحليل استقرار النموذج الرياضي لكائن التحكم ونظام التحكم الآلي؛

دراسة ثبات النموذج الرياضي لكائن التحكم ونظام التحكم الآلي.

رسم تخطيطي لـ ACS قيد الدراسة، حيث يتم نقل وظائف كائن التحكم (OU) والمشغل (AM) والمستشعر (D) وجهاز التصحيح (CU)

وترد في الجدول 1 قيم المعاملات K1 و K2 و K3 و K4 و T1 و T2 و T3 و T4.

خيار لتعيين الدورات الدراسية

	خيارات

مقدمة

يعد تصميم الأتمتة من أكثر المجالات تعقيدًا وأهمية في الهندسة، لذا فإن معرفة أساسيات الأتمتة وفكرة عن مستوى الأتمتة في العمليات التكنولوجية المختلفة وأدوات الأتمتة المستخدمة وأساسيات التصميم هي شروط ضرورية لـ العمل الناجح للمهندسين والتقنيين. يتميز التشغيل العادي لأي عملية تكنولوجية بقيم معلمات معينة، ويتم ضمان التشغيل الاقتصادي والآمن للمعدات من خلال الحفاظ على معلمات التشغيل ضمن الحدود المطلوبة. لأغراض التشغيل العادي للمعدات، وكذلك تنفيذ العملية التكنولوجية المطلوبة في أي منشآت حرارية، من الضروري تضمين وسائل الأتمتة في تطورات التصميم. حاليا، يتم استخدام أنظمة التحكم الآلي بشكل متزايد في جميع قطاعات الاقتصاد الوطني، بما في ذلك الزراعة. وهذا ليس مفاجئًا، نظرًا لأن أتمتة العمليات التكنولوجية تتميز بالاستبدال الجزئي أو الكامل للمشغل البشري بوسائل تقنية خاصة للمراقبة والتحكم. تضمن الميكنة والكهرباء وأتمتة العمليات التكنولوجية انخفاضًا في حصة العمل البدني الثقيل وغير الماهر في الزراعة، مما يؤدي إلى زيادة إنتاجيتها.

وبالتالي، فإن الحاجة إلى أتمتة العمليات التكنولوجية واضحة وهناك حاجة لمعرفة كيفية حساب معلمات أنظمة التحكم الآلي (ACS) للتطبيق اللاحق لمعارفهم في الممارسة العملية.

يتضمن عمل الدورة تحليلاً للخصائص الديناميكية لمخطط هيكلي معين لنظام التحكم الآلي مع تجميع وتحليل النماذج الرياضية لكائنات التحكم.

1 . تحليل استقرار ACS باستخدام معيار نيكويست

للحكم على استقرار نظام التحكم الآلي، ليست هناك حاجة لتحديد القيم الدقيقة لجذور معادلته المميزة. لذلك، من الواضح أن الحل الكامل للمعادلة المميزة للنظام غير ضروري ويمكننا أن نقتصر على استخدام واحد أو آخر من معايير الاستقرار غير المباشرة. على وجه الخصوص، ليس من الصعب إظهار أنه من أجل استقرار النظام، من الضروري (ولكن ليس كافيًا) أن تكون جميع معاملات المعادلة المميزة لها نفس الإشارة أو أنه يكفي أن تكون الأجزاء الحقيقية لجميع جذور المعادلة المميزة سلبية. إذا كانت الأجزاء الحقيقية لجميع جذور المعادلة المميزة ليست سلبية، فمن أجل تحديد استقرار ACS هذا، من الضروري الدراسة باستخدام معايير أخرى، لأنه إذا كانت وظيفة النقل وفقًا للمعيار أعلاه تنتمي إلى كتلة غير مستقرة تكون فيها للمقام جذور ذات جزء حقيقي موجب، فإذا تم استيفاء شروط معينة، يمكن أن يكون النظام المغلق مستقرًا في هذه الحالة أيضًا.

الطريقة الأكثر ملاءمة لدراسة استقرار العديد من أنظمة التحكم في العمليات هي معيار استقرار نيكويست، والذي يتكون على النحو التالي.

سيظل النظام المستقر في الحالة المفتوحة مستقرًا حتى بعد إغلاقه بواسطة ردود فعل سلبية، إذا كان المجسم المجسم لمركبات الكربون الكلورية فلورية في الحالة المفتوحة W(jš) لا يغطي نقطة ذات إحداثيات (-1; j0) في المستوى المعقد .

في الصيغة المذكورة أعلاه لمعيار نيكويست، يعتبر أن المجسم CFC W(jš) "لا يغطي" النقطة (-1; j0) إذا كانت الزاوية الإجمالية لدوران المتجه مرسومة من النقطة المحددة إلى المجسم W(jš) تساوي الصفر عندما يتغير التردد من у=0 إلى sh > ?.

إذا كان مخطط استجابة التردد W(jš) عند تردد معين، يسمى التردد الحرج schk، يمر عبر النقطة (-1؛ j0)، فإن العملية العابرة في نظام مغلق تمثل تذبذبات غير مخمدة بتردد schk، أي. ويجد النظام نفسه على حدود الاستقرار المعبر عنها على النحو التالي:

هنا W(p) هي وظيفة النقل لنظام التحكم الآلي ذو الحلقة المفتوحة. لنفترض أن نظام الحلقة المفتوحة مستقر. بعد ذلك، من أجل استقرار نظام التحكم الآلي ذو الحلقة المغلقة، من الضروري والكافي أن يتم رسم المجسم لخاصية طور السعة W(jw) لنظام الحلقة المفتوحة (يتم الحصول على هذه الخاصية من W(p) عن طريق استبدال p=jw) لا يغطي النقطة بالإحداثيات (-1, j0). التردد الذي |W(jw)| = 1، يسمى تردد القطع (w cf).

ولتقييم مدى بعد النظام عن حدود الاستقرار، تم تقديم مفهوم هوامش الاستقرار. يشير هامش الاستقرار في السعة (المعامل) إلى عدد المرات التي يلزم فيها تغيير طول ناقل نصف القطر لمجسم AFC من أجل إيصال النظام إلى حدود الاستقرار دون تغيير تحول الطور. بالنسبة للأنظمة المستقرة تمامًا، يتم حساب هامش الاستقرار modulo DK باستخدام الصيغة:

حيث يتم تحديد التردد w 0 من العلاقة arg W(jw 0) = - 180 0.

يتم أيضًا حساب هامش الاستقرار للسعة DK باستخدام الصيغة:

دونك = 1 - ك 180؛

حيث K 180 هي قيمة معامل النقل عند تحول الطور بمقدار -180 درجة.

بدوره، يشير هامش استقرار الطور إلى مدى ضرورة زيادة القيمة المطلقة لوسيطة AFC من أجل الوصول بالنظام إلى حد الاستقرار دون تغيير قيمة المعامل.

يتم حساب هامش استقرار الطور Dj بالصيغة:

دج = 180° - ي ك=1 ;

حيث j K=1 هي قيمة انزياح الطور عند معامل النقل K = 1؛

وتحدد القيمة Dj = 180 0 + arg W (j; w av) هامش استقرار الطور. ويترتب على معيار نيكويست أن ACS المستقر في الحالة المفتوحة سيكون مستقرًا في الحالة المغلقة إذا لم يصل تحول الطور عند تردد القطع إلى -180 درجة. يمكن التحقق من تحقيق هذا الشرط من خلال بناء خصائص التردد اللوغاريتمي لنظام التحكم الآلي مفتوح الحلقة.

2. دراسة استقرار ACS باستخدام معيار نيكويست

دراسة الثباتية وفق معيار نيكويست من خلال تحليل AFC مع ACS مفتوح. للقيام بذلك، نقوم بكسر النظام كما هو موضح في المخطط التفصيلي للـ ACS قيد الدراسة:

رسم تخطيطي للبندقية ذاتية الدفع قيد الدراسة

فيما يلي وظائف النقل لكائن التحكم (OU)، والمشغل (AM)، والمستشعر (D) وجهاز التصحيح (CU):

قيم المعاملات للمهمة هي كما يلي:

ك1 =1.0؛ ك2 = 0.2؛ ك3 = 2؛ ك4 = 1.0؛ T1 = 0.4؛ T2 = 0.2؛ T3 = 0.07؛ T4 = 0.4.

لنحسب دالة النقل بعد تعطل النظام:

W(p) = W ku (p) Ch W im (p) ChW ou (p) ChW d (p)؛

ث(ع) = ح ح ح

استبدال المعاملات المعطاة في الدالة نحصل على:

وبتحليل هذه الوظيفة في برنامج النمذجة الرياضية ("MATLAV")، حصلنا على رسم مجسم لاستجابة تردد الطور والسعة (APFC) لـ ACS ذات الحلقة المفتوحة على المستوى المعقد، كما هو موضح في الشكل.

Hodograph لاستجابة تردد الطور لنظام التحكم الآلي ذو الحلقة المفتوحة على مستوى معقد.

دراسة ثبات الأسلحة ذاتية الدفع على أساس AFFC

نحسب معامل النقل لإزاحة الطور بمقدار -180°، K 180 = 0.0395.

هامش الاستقرار للسعة DK وفقًا للصيغة:

DK = 1 - K 180 = 1 - 0.0395 = 0.9605؛ حيث ك 180 = 0.0395.

دعونا نحدد هامش المرحلة دي جي:

يتم تحديد هامش استقرار الطور Dj بالصيغة: Dj = 180° - j K=1 ; حيث j K=1 هي قيمة تحول الطور عند معامل النقل K = 1. ولكن بما أن j K=1 لم يتم ملاحظتها في حالتنا (السعة دائمًا أقل من الوحدة)، فإن النظام قيد الدراسة مستقر عند أي قيمة لتحول الطور (ACS مستقر في نطاق التردد بأكمله).

دراسة ثبات الأسلحة ذاتية الدفع باستخدام الخصائص اللوغاريتمية

استجابة السعة والتردد اللوغاريتمي لنظام التحكم الآلي ذو الحلقة المفتوحة

خاصية تردد الطور اللوغاريتمي لنظام التحكم الآلي ذو الحلقة المفتوحة

باستخدام برنامج النمذجة الرياضية ("MATLAB")، حصلنا على الخصائص اللوغاريتمية للـ ACS المدروسة، والتي تظهر في الشكل 4 (خاصية السعة اللوغاريتمية والتردد) والشكل 5 (خاصية تردد الطور اللوغاريتمي)، حيث؛

L(w) = 20lg|W (j; w) |).

المعيار اللوغاريتمي لاستقرار ACS هو تعبير عن معيار نيكويست في شكل لوغاريتمي.

للعثور على قيمة تحول الطور بمقدار 180 درجة (الشكل 5)، ارسم خطًا أفقيًا إلى التقاطع مع LFCH، ومن نقطة التقاطع هذه ارسم خطًا رأسيًا إلى التقاطع مع LFCH (الشكل 4). نحصل على قيمة معامل النقل لإزاحة الطور بمقدار 180 درجة:

20lgK 180° = - 28.05862;

في هذه الحالة K 180 ° = 0.0395 (DK" = 28.05862).

تم العثور على هامش استقرار السعة عن طريق تمديد الخط العمودي إلى القيمة 20lgK 180° = 0.

للعثور على هامش استقرار الطور، يتم تمرير خط أفقي على طول الخط 20lgК 180 ° = 0 إلى التقاطع مع LFC ويتم تمرير خط عمودي من هذه النقطة إلى التقاطع مع LFC. في هذه الحالة، فإن الفرق بين القيمة الموجودة لإزاحة الطور وإزاحة الطور التي تساوي 180 درجة سيكون هامش استقرار الطور.

دج = 180 درجة - ي ك؛

دج = 180 درجة - 0 = 180 درجة.

حيث: j K - القيمة الموجودة لتحول الطور؛

نظرًا لأن LFCH للمدفع ذاتي الدفع قيد الدراسة يقع أسفل الخط 20logK 180° = 0، فإن المدفع ذاتي الدفع سيكون له هامش استقرار طور لأي قيمة لتحول الطور من صفر إلى 180°.

الخلاصة: بعد تحليل LFC وLFFC، يترتب على ذلك أن ACS قيد الدراسة مستقر على نطاق التردد بأكمله.

خاتمة

في هذا المقرر تم تصنيع ودراسة نظام تتبع الأجهزة باستخدام الأساليب والأدوات الحديثة لنظرية التحكم. تم في هذا العمل الحسابي والرسومي إيجاد دالة النقل لنظام تحكم آلي مغلق الحلقة باستخدام مخطط هيكلي معطى والتعبيرات المعروفة لدوال النقل للارتباطات الديناميكية.

فهرس

1. آي.إف. بورودين، يو.أ. سودنيك. أتمتة العمليات التكنولوجية. كتاب مدرسي للجامعات. موسكو. "سبايك"، 2004.

2. ضد. جوتنيكوف. الالكترونيات المتكاملة في أجهزة القياس. "طاقة الطاقة". فرع لينينغراد، 1988.

3. ن.ن. إيفاششينكو. التنظيم التلقائي. نظرية وعناصر النظم. موسكو. "الهندسة الميكانيكية" 1978.

تم النشر على موقع Allbest.ru

...

وثائق مماثلة

تحديد وظائف النقل والخصائص العابرة لوصلات نظام التحكم الآلي. بناء خصائص مرحلة السعة. تقييم استقرار النظام. اختيار جهاز التصحيح. مؤشرات جودة التنظيم.

تمت إضافة الدورة التدريبية في 21/02/2016


دراسة نظام التحكم في سرعة المحرك مع وبدون دائرة تصحيح. تقييم استقرار النظام باستخدام معايير هورويتز وميخائيلوف ونيكويست. بناء السعة اللوغاريتمية للتردد وخصائص تردد الطور.

تمت إضافة الدورة التدريبية في 22/03/2015


تطوير رسم تخطيطي لنموذج رياضي رئيسي كهربائي لنظام التحكم الآلي، مصححاً بالأجهزة التصحيحية. تقدير استقرار النظام الأصلي بطريقة روث هورويتز. توليف استجابة التردد المطلوب.

تمت إضافة الدورة التدريبية في 24/03/2013


خصائص كائن التحكم (أسطوانة المرجل)، تصميم وتشغيل نظام التحكم الآلي، مخططه الوظيفي. تحليل استقرار النظام باستخدام معايير هورويتز ونيكويست. تقييم جودة الإدارة على أساس المهام الانتقالية.

تمت إضافة الدورة التدريبية في 13/09/2010


الغرض من نظام التحكم الآلي للتغذية المتقاطعة أثناء الطحن بالقطع الغاطس. بناء مخطط وظيفي. حساب وظائف النقل للمحول والمحرك الكهربائي وعلبة التروس. تحديد الاستقرار باستخدام معيار نيكويست.

تمت إضافة الدورة التدريبية في 08/12/2014


منهجية تحديد استقرار النظام باستخدام المعايير الجبرية (معايير روس وهورويتز) ومعايير استقرار التردد (معايير ميخائيلوف ونيكويست)، وتقييم دقة نتائجها. ميزات تجميع دالة النقل لنظام مغلق.

العمل المختبري، أضيفت في 15/12/2010


بناء دائرة أولية ودراسة مبدأ تشغيل نظام التحكم الآلي وأهميته في تنفيذ طريقة ضبط نظام الإيدز. العناصر الرئيسية للنظام وعلاقتها. تحليل استقرار الدائرة وتردداتها المثلى.

تمت إضافة الاختبار في 12/09/2009


تحديد وظيفة النقل لنظام الحلقة المفتوحة، والشكل القياسي لتسجيله ودرجة الاستاتية. دراسة مرحلة السعة وخصائص التردد الحقيقي والتخيلي. بناء المجسم AFFC. المعايير الجبرية لروث وهورويتز.

تمت إضافة الدورة التدريبية في 05/09/2011


إدخال وظائف جديدة تؤثر على تشغيل محطة تدوير المضخة في مصنع صناعة الصلب. تركيب أجهزة التحكم والقياس. معايير استقرار ميخائيلوف ومعايير نيكويست لمرحلة السعة. تحديث النظام.

أطروحة، أضيفت في 19/01/2017


رسم تخطيطي وظيفي لنظام التحكم الآلي في درجة حرارة هواء الإمداد في منشأة تخزين البطاطس. تعريف قانون تنظيم النظام. تحليل الاستقرار باستخدام معايير هورويتز ونيكويست. جودة الإدارة للوظائف الانتقالية.

مقدمة 4

التحليل المسبق للأنظمة الديناميكية 5

تمرير إشارة عشوائية عبر نظام خطي 5

تطور ناقل المرحلة للنظام 7

تطور مصفوفة التغاير لمتجه الطور للنظام 8

الخطية الإحصائية 8

الطريقة الأولى 9

الطريقة الثانية 10

حساب معاملات الخطية 10

14- الغموض في الروابط غير الخطية

الارتباط غير الخطي الذي تغطيه ردود الفعل 15

نمذجة العمليات العشوائية 16

مرشح التشكيل 16

محاكاة الضوضاء البيضاء 17

تقدير الخصائص الإحصائية للأنظمة الديناميكية باستخدام طريقة مونت كارلو 18

دقة التقدير 18

الأنظمة الديناميكية غير المستقرة 20

الأنظمة الديناميكية الثابتة 21

التحليل اللاحق للأنظمة الديناميكية 22

مرشح كالمان 22

نمط الحركة 22

نموذج القياس 23

تصحيح 23

توقعات 23

التقييم 23

استخدام ترشيح كالمان في المسائل غير الخطية 25

طريقة المربعات الصغرى 27

بناء التقديرات 27

التوقعات 29

استخدام طريقة المربعات الصغرى في المسائل غير الخطية 29

بناء مصفوفة كوشي 30

محاكاة البعد 30

الطرق العددية 31

وظائف خاصة 31

نمذجة المتغيرات العشوائية 31

المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل موحد 31

المتغيرات العشوائية الغوسية 32

ناقلات عشوائية 33

التكامل الاحتمالي 34

كثيرات حدود تشيبيشيف 36

تكامل المعادلات التفاضلية العادية 36

طرق رونج-كوتا 36

دقة نتائج التكامل العددي 37

طريقة دورمان-برنس المتداخلة 5(4) الأمر 37

طرق متعددة الخطوات 39

طرق ادامز 39

تكامل المعادلات ذات الوسيطة المتأخرة 40

مقارنة الصفات الحسابية للطرق 40

مشكلة أرينستورف 40

دوال جاكوبي الإهليلجية 41

مشكلة الجسمين 41

معادلة فان دير بول 42

بروسيلاتور 42

معادلة لاغرانج لسلسلة معلقة 42

"الثريا" 42

إعداد المذكرة التوضيحية 43

صفحة العنوان 43

قسم "المقدمة" 44

قسم "النظرية" 44

قسم "الخوارزمية" 44

قسم "البرنامج" 45

قسم "النتائج" 45

قسم "الاستنتاجات" 45

القسم "قائمة المصادر المستخدمة" 45

التطبيقات 45

الأدب 47

مقدمة

يحتوي هذا الكتاب المدرسي على تعليمات منهجية لاستكمال مهام مشروع الدورة ولإجراء دروس عملية في دورة "أساسيات الديناميكيات الإحصائية".

الهدف من تصميم الدورة والفصول العملية هو أن يتقن الطلاب تكنولوجيا التحليل المسبق والبعدي للأنظمة الديناميكية غير الخطية تحت تأثير الاضطرابات العشوائية.

تحليل مسبق للأنظمة الديناميكية

الخطية الإحصائية

يسمح لك الخطي الإحصائي بتحويل النظام الديناميكي غير الخطي الأصلي بحيث يمكنك استخدام الأساليب والخوارزميات والعلاقات الصالحة للأنظمة الخطية لتحليله.

هذا القسم مخصص لعرض طريقة الخطية الإحصائية، بناءً على أبسط نهج تقريبي مقترح من قبل الأستاذ. أي. كازاكوف، والذي يسمح مع ذلك ببناء تقديرات لدقة النظام الذي يحتوي حتى على عدم خطية كبيرة ذات خصائص متقطعة.

تتكون الخطية الإحصائية من استبدال الاعتماد غير الخطي الأصلي الخالي من القصور الذاتي بين عمليات الإدخال والإخراج بمثل هذا الاعتماد التقريبي، الخطي فيما يتعلق بالعملية العشوائية المركزية للإدخال، والذي يعادل بالمعنى الإحصائي فيما يتعلق بالعملية الأصلية:

يسمى الارتباط الذي يحتوي على مثل هذه العلاقة التقريبية بين إشارات الإدخال والإخراج مكافئًا للارتباط غير الخطي قيد النظر.

ويتم اختيار القيمة بناء على شرط تساوي التوقعات الرياضية للإشارات غير الخطية والخطية وتسمى الخاصية المتوسطة الإحصائية للارتباط المكافئ:

,

أين هي كثافة التوزيع لإشارة الدخل.

بالنسبة للروابط غير الخطية ذات الخصائص الفردية، أي. في ، من الملائم تقديم الخاصية الإحصائية في النموذج:

- التوقع الرياضي لإشارة الدخل؛
- الكسب الإحصائي للوصلة المكافئة للمكون المتوسط.

الذي - التي. الاعتماد المكافئ في هذه الحالة يأخذ الشكل:

تسمى الخاصية بالكسب الإحصائي للارتباط المكافئ للمكون العشوائي (التقلبات) ويتم تحديدها بطريقتين.

الطريقة الأولى

ووفقا للطريقة الأولى للخطية الإحصائية، يتم اختيار المعامل على أساس شرط تساوي تباينات الإشارات الأصلية والمكافئة. الذي - التي. وللحساب نحصل على العلاقة التالية:

,

أين هو تباين التأثير العشوائي للمدخلات.

يتم تحديد العلامة الموجودة في التعبير عن طبيعة الاعتماد على مقربة من قيمة الوسيطة. فإن زاد فهو، وإن نقص فهو.

الطريقة الثانية

يتم اختيار القيمة في الطريقة الثانية من شرط تقليل متوسط ​​مربع الخطأ للخطية:

العلاقة النهائية لحساب المعامل باستخدام الطريقة الثانية هي:

.

في الختام، نلاحظ أن أياً من طريقتي الخطية التي تمت مناقشتها أعلاه لا تضمن المساواة في وظائف الارتباط لإشارات الخرج للوصلات غير الخطية والمكافئة. تظهر الحسابات أنه بالنسبة لوظيفة الارتباط للإشارة غير الخطية، فإن طريقة الاختيار الأولى تعطي تقديرًا أعلى، والطريقة الثانية تعطي تقديرًا أقل، أي. الأخطاء في تحديد وظيفة الارتباط لإشارة الخرج غير الخطية لها علامات مختلفة. البروفيسور أي. يوصي كازاكوف، مؤلف الطريقة الموضحة هنا، باختيار نصف مجموع المعاملات التي تم الحصول عليها بالطريقتين الأولى والثانية كمعامل الخطية الناتج.

مرشح التشكيل

عادةً، يتم تحديد المعلمات عن طريق مساواة معاملات كثيرات الحدود في البسط والمقام في المعادلة

بنفس الدرجات.

بعد تحديد وظيفة النقل لمرشح التشكيل، يبدو مخطط محاكاة العملية العشوائية الناتج كما هو موضح في الشكل.

على سبيل المثال، الكثافة الطيفية للعملية المراد نمذجتها لها الشكل التالي:

,

يتم استخدام التوقع الرياضي، ولنمذجة الضوضاء البيضاء ذات الكثافة، وبالتالي، لها كثافة طيفية واحدة.

من الواضح أن البسط والمقام لوظيفة النقل المطلوبة يجب أن يكون لهما الطلبان 1 و 2 (في الواقع، كون دالة النقل تربيعية، فإنها تشكل حاصل كثيرات الحدود من الدرجة الثانية والرابعة)

الذي - التي. وظيفة النقل لمرشح التشكيل في شكله الأكثر عمومية هي كما يلي:

,

ومربع معاملها:

دعونا نساوي النسب الناتجة:

دعونا نخرج المعادلات من الأقواس ونضعها على الجانب الأيمن، وبالتالي نساوي المعاملات عند قوى صفر:

,

ومن هنا تتبع المساواة التالية بوضوح:

; ; ; .

الذي - التي. يبدو الرسم التخطيطي لتشكيل عملية عشوائية ذات خصائص إحصائية معينة من الضوضاء البيضاء مع وحدة الكثافة الطيفية كما هو موضح في الشكل، مع مراعاة القيم المحسوبة لمعلمات مرشح التشكيل.

محاكاة الضوضاء البيضاء

لنمذجة عملية عشوائية ذات خصائص إحصائية معينة، يتم استخدام الضوضاء البيضاء كعملية عشوائية مدخلة لمرشح التشكيل. ومع ذلك، فإن النمذجة الدقيقة للضوضاء البيضاء غير ممكنة بسبب التباين اللانهائي لهذه العملية العشوائية.

ولهذا السبب، يتم استخدام عملية خطوة عشوائية كبديل للضوضاء البيضاء التي تؤثر على النظام الديناميكي. الفاصل الزمني الذي يحتفظ خلاله تنفيذ العملية العشوائية بقيمته دون تغيير (عرض الخطوة، فاصل الارتباط) هو قيمة ثابتة. قيم التنفيذ نفسها (ارتفاعات الخطوة) هي متغيرات عشوائية موزعة وفق قانون عادي مع توقع رياضي صفر وتباين محدود. يتم تحديد قيم معلمات العملية - فترة الارتباط والتشتت - من خلال خصائص النظام الديناميكي المتأثر بالضوضاء البيضاء.

تعتمد فكرة الطريقة على النطاق الترددي المحدود لأي نظام ديناميكي حقيقي. أولئك. يتناقص كسب النظام الديناميكي الحقيقي مع زيادة تردد إشارة الدخل، وبالتالي، هناك تردد (أقل من لانهائي) يكون كسب النظام فيه صغيرًا جدًا بحيث يمكن ضبطه على الصفر. وهذا بدوره يعني أن إشارة الدخل ذات الكثافة الطيفية الثابتة، ولكنها محدودة بهذا التردد، لمثل هذا النظام ستكون مكافئة للضوضاء البيضاء (مع كثافة طيفية ثابتة وغير محدودة).

يتم حساب معلمات العملية العشوائية المكافئة - فترة الارتباط والتباين - على النحو التالي:

أين هو الحد المحدد تجريبيًا لعرض النطاق الترددي للنظام الديناميكي.

دقة التقديرات

تقديرات التوقعات

والتباين

لمتغير عشوائي، مبني على أساس معالجة عينة محدودة من تطبيقاته، هي في حد ذاتها متغيرات عشوائية.

ومن الواضح أنه كلما زاد حجم عينة التطبيقات، كلما كان التقدير غير المتحيز أكثر دقة، وكان أقرب إلى القيمة الحقيقية للمعلمة المقدرة. فيما يلي صيغ تقريبية تعتمد على افتراض توزيعها الطبيعي. يتم تحديد فاصل الثقة المتماثل نسبيًا للتقدير المقابل لاحتمال الثقة بالقيمة التي تكون العلاقة صالحة لها:

,

أين
- القيمة الحقيقية للتوقع الرياضي لمتغير عشوائي،
- الانحراف المعياري للمتغير العشوائي،
- تكامل الاحتمال.

وبناء على العلاقة السابقة يمكن تحديد القيمة على النحو التالي:

,

أين هي الدالة معكوسة للتكامل الاحتمالي.

وبما أننا لا نعرف بالضبط خاصية التشتت للتقدير، فسوف نستخدم قيمتها التقريبية المحسوبة باستخدام التقدير:

الذي - التي. العلاقة النهائية بين دقة تقدير التوقع الرياضي وحجم العينة المستخدمة للتقدير هي كما يلي:

.

وهذا يعني أن قيمة فاصل الثقة (مع قيمة ثابتة لاحتمال الثقة) الموجودة بشكل متناظر فيما يتعلق بـ، معبرًا عنها بكسر من تقدير الانحراف المعياري، تتناسب عكسيًا مع الجذر التربيعي لحجم العينة.

يتم تحديد فترة الثقة لتقدير التباين بطريقة مماثلة:

بدقة ، والتي، في حالة عدم وجود معلومات أكثر دقة، يمكن تحديدها تقريبًا من العلاقة:

الذي - التي. إن قيمة فاصل الثقة (بقيمة ثابتة لاحتمال الثقة)، والتي تقع بشكل متماثل بالنسبة إلى، معبرًا عنها في حصصها، تتناسب عكسيًا مع الجذر التربيعي للقيمة، حيث يكون حجم العينة.

يمكن الحصول على صيغ أكثر دقة لبناء فترات الثقة للتقديرات باستخدام معلومات دقيقة حول قانون التوزيع لمتغير عشوائي.

على سبيل المثال، بالنسبة لقانون التوزيع الغوسي، المتغير العشوائي

يطيع قانون توزيع الطلاب بدرجة الحرية والمتغير العشوائي

وتوزع وفقاً للقانون أيضاً وبقدر من الحرية.

مرشح كالمان

نموذج الحركة

كما هو معروف، تم تصميم مرشح كالمان لتقدير ناقل الحالة لنظام ديناميكي خطي، والذي يمكن كتابة نموذج تطوره على النحو التالي:

أين
- مصفوفة كوشي، التي تحدد التغير في ناقل حالة النظام أثناء حركته (دون التحكم أو تأثيرات الضوضاء) من وقت لآخر؛
- ناقل فرض التأثيرات غير العشوائية على النظام (على سبيل المثال، إجراءات التحكم) في لحظة زمنية؛
- مصفوفة تأثير فرض التأثيرات في لحظة زمنية على ناقل حالة النظام في لحظة زمنية؛
- ناقل التأثيرات العشوائية المستقلة المتمركزة على النظام في لحظة زمنية؛
- مصفوفة تأثير التأثيرات العشوائية في لحظة زمنية على ناقل حالة النظام في لحظة زمنية.

نموذج القياس

يتم إجراء التقدير على أساس المعالجة الإحصائية لنتائج القياس المرتبطة خطيًا بمتجه الحالة والمشوهة بسبب خطأ إضافي غير متحيز:

حيث توجد مصفوفة تربط متجهات الحالة والقياسات في نفس النقطة الزمنية.

تصحيح

يعتمد مرشح كالمان على علاقات التصحيح الناتجة عن تقليل أثر مصفوفة التغاير لكثافة التوزيع الخلفية لتقدير خطي (على طول متجه القياس) لمتجه حالة النظام:

تنبؤ بالمناخ

استكمال علاقات التصحيح بعلاقات التنبؤ بناءً على الخصائص الخطية لنموذج تطور النظام:

أين مصفوفة التغاير للمتجه، نحصل على صيغ خوارزمية بايزي المتكررة لتقدير ناقل حالة النظام ومصفوفة التغاير الخاصة به بناءً على المعالجة الإحصائية لنتائج القياس.

تقدير

من الواضح أنه لتنفيذ العلاقات المذكورة أعلاه، من الضروري أن تكون قادرًا على بناء مصفوفات، من نموذج التطور، ومصفوفة من نموذج القياس، وكذلك مصفوفات التغاير لكل لحظة من الزمن.

بالإضافة إلى ذلك، لتهيئة العملية الحسابية، من الضروري تحديد تقديرات لاحقة أو مسبقة بطريقة أو بأخرى لمتجه الحالة ومصفوفة التغاير الخاصة به. مصطلح "قبلي" أو "بعدي" في هذه الحالة يعني فقط الجودة التي سيتم بها استخدام ناقل الحالة ومصفوفة التغاير الخاصة به في الخوارزمية الحسابية، ولا يذكر أي شيء عن كيفية الحصول عليها.

وبالتالي، يتم تحديد اختيار النسبة التي تبدأ منها الحسابات من خلال النقاط الزمنية التي يتم فيها تعيين شروط الترشيح الأولية ومتجه القياس الأولي الأول. إذا كانت النقاط الزمنية متطابقة، فيجب تطبيق علاقات التصحيح أولاً، مما يسمح بتوضيح الشروط الأولية؛ إذا لم يكن الأمر كذلك، فيجب أولاً التنبؤ بالشروط الأولية في وقت ربط متجه القياس الأولي الأول.

دعونا نشرح خوارزمية تصفية كالمان باستخدام الشكل.

يوضح الشكل عدة مسارات محتملة لمتجه الطور في محاور الإحداثيات (في قناة الحركة):

- المسار الحقيقي لتطور ناقل الطور؛
- تطور متجه الطور، المتوقع بناءً على استخدام نموذج الحركة والتقدير المسبق لمتجه الطور المتعلق باللحظة الزمنية؛
- تطور متجه الطور، متوقع بناءً على استخدام نموذج الحركة وتقدير لاحق (أكثر دقة) لمتجه الطور المتعلق باللحظة الزمنية

في محاور الإحداثيات (في قناة القياس) في اللحظات الزمنية ونتائج القياسات ويتم تصويرها:

,

أين
- القيمة الحقيقية لمتجه القياس في اللحظة الزمنية؛
– ناقل أخطاء القياس المتحققة في الوقت المناسب .

لإنشاء تصحيح لمتجه الطور المسبق للنظام، يتم استخدام الفرق بين نتيجة القياس والقيمة التي سيتم قياسها وفقًا لنموذج قياس المشكلة إذا أخذ متجه الطور القيمة بالفعل. نتيجة لتطبيق علاقات التصحيح على التقديرات المسبقة، سيكون تقدير ناقل الطور للنظام أكثر دقة إلى حد ما وسيأخذ القيمة، مما سيجعل من الممكن أكثر دقة (على الأقل في محيط الوقت) التنبؤ بسلوك ناقل الطور للنظام الديناميكي قيد الدراسة باستخدام نموذج الحركة المشكلة.

في الوقت الحالي، يتم استخدام نتيجة التنبؤ كتقدير مسبق على المسار الذي يمر عبر ناقل الطور، يتم إنشاء فرق القياس مرة أخرى والذي يتم من خلاله حساب القيمة البعدية الأكثر دقة، وما إلى ذلك. طالما أن هناك متجهات قياس للمعالجة أو أن هناك حاجة للتنبؤ بسلوك متجه الطور.

طريقة المربع الأصغر

يعرض هذا القسم طريقة المربعات الصغرى التي تم تكييفها للتحليل اللاحق للأنظمة الديناميكية.

بناء التقديرات

بالنسبة لحالة النموذج الخطي للقياسات متساوية الدقة:

لدينا الخوارزمية التالية لتقدير ناقل الطور:

.

في حالة القياسات غير المتساوية، يتم إدخال المصفوفة التي تحتوي على معاملات الوزن على القطر في الاعتبار. وبأخذ معاملات الترجيح بعين الاعتبار فإن العلاقة السابقة تأخذ الشكل التالي:

.

إذا استخدمنا كمصفوفة ترجيح معكوس مصفوفة التغاير لأخطاء القياس، مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أننا نحصل على:

.

وكما يلي من العلاقات المذكورة أعلاه، فإن أساس الطريقة هو مصفوفة تربط بين متجه الطور المقدر، المشار إليه في نقطة زمنية معينة، ومتجه القياس. يحتوي المتجه، كقاعدة عامة، على بنية كتلة، حيث يتم تعيين كل كتلة إلى نقطة زمنية معينة، والتي لا تتطابق بشكل عام مع .

يوضح الشكل بعض المواضع النسبية المحتملة للحظات الزمنية التي تم تعيين القياسات لها واللحظة الزمنية التي تم تعيين متجه المعلمات المقدرة لها.

لكل متجه العلاقة التالية صالحة:

، في .

وبالتالي، في علاقة المربعات الصغرى الناتجة، يكون للمتجه والمصفوفة البنية التالية:

; .

أين
- يحدد تأثير التأثير غير العشوائي على النظام؛
– تحديد التأثير العشوائي على النظام.

يمكن استخدام علاقات التنبؤ التي تمت مواجهتها أعلاه في وصف خوارزمية تصفية كالمان:

أين هي مصفوفة التغاير للمتجه.

بناء مصفوفة كوشي

في مشاكل بناء التقديرات باستخدام طرق المعالجة الإحصائية للقياسات، غالبا ما تواجه مشكلة بناء مصفوفة كوشي. تربط هذه المصفوفة متجهات الطور للنظام، المخصصة للحظات مختلفة من الزمن، في حركتها الخاصة.

في هذا القسم سنقتصر على النظر في المسائل المتعلقة ببناء مصفوفة كوشي لنموذج التطور، مكتوبة على شكل نظام من المعادلات التفاضلية العادية (خطية أو غير خطية).

حيث يتم استخدام الترميز التالي لمصفوفات التناسب التي تم إنشاؤها بالقرب من المسار المرجعي:

; .

محاكاة القياس

تنشأ المشكلة عندما، على سبيل المثال، عند تقييم الدقة التي يمكن تحقيقها لطريقة ما في مهمة معينة، لا يكون لديك أي نتائج قياس. في هذه الحالة، يجب محاكاة نتائج القياس. تكمن خصوصية نتائج قياس النمذجة في أن نماذج الحركة والقياس المستخدمة لهذا الغرض قد لا تتطابق مع النماذج التي ستستخدمها عند إنشاء التقديرات باستخدام طريقة تصفية أو أخرى.

يجب استخدام القيم الحقيقية لإحداثيات هذا المتجه كشروط أولية لنمذجة تطور ناقل الطور للنظام الديناميكي. وبصرف النظر عن هذا المكان، لا ينبغي استخدام الإحداثيات الحقيقية لمتجه طور النظام في أي مكان آخر.

الطرق العددية

مميزات خاصة

ناقلات عشوائية

تتمثل المشكلة، التي تم وصف حلها في هذا القسم الفرعي، في نمذجة متجه المتغيرات العشوائية الغوسية المرتبطة ببعضها البعض.

ليتشكل المتجه العشوائي المراد نمذجته على أساس تحويل متجه للمتغيرات العشوائية القياسية غير المترابطة ذات البعد المناسب على النحو التالي: بدقة 4 أرقام، على أساس التوسع في سلسلة في قوى الوسيطة لفواصلها الثلاثة.

عندما يصبح مجموع السلسلة المقاربة يساوي 1 تقريبًا.