Ang ikatlong tanda ng magkatulad na dalawang direktang ebidensya. Tuwid na linya

§ 1. Mga palatandaan ng parallelism ng dalawang linya - Geometry grade 7 (Atanasyan L. S.)

Maikling Paglalarawan:

Matututuhan mo ang tungkol sa kung ano ang mga parallel na linya sa talatang ito. Makakakuha ka ng isang simpleng kahulugan, ngunit sa parehong oras ay medyo hindi karaniwan - dalawang linya sa isang eroplano ay tinatawag na magkatulad kung hindi sila magsalubong. Sa madaling salita, kung ang dalawang linya ay hindi magsalubong, sila ay magkatulad. O, kung ang mga linya ay walang mga intersection point, kung gayon sila ay parallel.
Ang hindi pangkaraniwan ng kahulugan na ito ay nakasalalay sa katotohanan na kung mayroong dalawang tuwid na linya sa harap mo at hindi mo nakikita ang kanilang punto ng intersection, hindi ito nangangahulugan na wala ito. Nangangahulugan ito na maaaring hindi mo ito nakikita.
Samakatuwid, ang kahulugan na ito ay hindi maaaring gamitin nang direkta upang patunayan na ang dalawang linya ay magkatulad. Pagkatapos ng lahat, hindi mo maaaring sundin nang walang hanggan ang pagpapatuloy ng mga linya upang matiyak na hindi sila magsalubong.
Ngunit ito ay hindi kinakailangan. May mga palatandaan kung saan maaaring hatulan ng isa ang paralelismo ng mga linya. Tatlo sila. Alinsunod sa bawat isa sa kanila, ang mga espesyal na anggulo o ang kanilang mga kumbinasyon ay isinasaalang-alang, na nabuo kapag ang dalawang linyang ito sa ilalim ng pag-aaral ay bumalandra sa isang ikatlong tuwid na linya - isang secant. Ang mga anggulong ito ay ginagamit upang hatulan ang paralelismo ng mga tuwid na linya.
Ang mga patunay ng mga palatandaang ito - mga theorems sa parallelism ng mga linya - ay batay sa theorem na isinasaalang-alang mo na sa Kabanata 1 ng aklat-aralin - dalawang linya na patayo sa isang pangatlo ay hindi nagsalubong. Ngayon lamang ang teorama na ito ay mukhang naiiba - dalawang linya na patayo sa pangatlo ay magkatulad.

Mga layunin ng aralin: Sa araling ito, magiging pamilyar ka sa konsepto ng "parallel lines", alamin kung paano mo mabe-verify ang parallelism ng mga linya, gayundin ang mga katangian ng mga anggulo na nabuo ng parallel lines at transversal.

Mga parallel na linya

Alam mo na ang konsepto ng "tuwid na linya" ay isa sa tinatawag na hindi matukoy na mga konsepto ng geometry.

Alam mo na na ang dalawang linya ay maaaring magkasabay, iyon ay, mayroong lahat ng mga karaniwang punto, o magsalubong, iyon ay, may isang karaniwang punto. Ang mga tuwid na linya ay bumalandra sa iba't ibang mga anggulo, at ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay itinuturing na pinakamaliit sa mga anggulo na nabuo ng mga ito. Ang isang espesyal na kaso ng intersection ay maaaring ituring na kaso ng perpendicularity, kapag ang anggulo na nabuo ng mga tuwid na linya ay katumbas ng 90 0.

Ngunit ang dalawang tuwid na linya ay maaaring walang mga karaniwang punto, iyon ay, maaaring hindi sila magsalubong. Ang mga ganitong linya ay tinatawag parallel.

Makipagtulungan sa isang elektronikong mapagkukunang pang-edukasyon « ».

Upang maging pamilyar sa konsepto ng "parallel lines", magtrabaho kasama ang mga materyales sa aralin sa video

Kaya, ngayon alam mo na ang kahulugan ng parallel lines.

Mula sa mga materyales ng fragment ng aralin sa video na iyong natutunan iba't ibang uri mga anggulo na nabubuo kapag ang dalawang tuwid na linya ay nagsalubong sa isang pangatlo.

Mga pares ng mga sulok 1 at 4; 3 at 2 ang tawag panloob na isang panig na sulok(nakahiga sila sa pagitan ng mga tuwid na linya a At b).

Mga pares ng mga anggulo 5 at 8; 7 at 6 ang tawag panlabas na isang panig na sulok(nakahiga sila sa labas ng mga linya a At b).

Mga pares ng mga anggulo 1 at 8; 3 at 6; 5 at 4; Ang 7 at 2 ay tinatawag na isang panig na anggulo sa tamang mga anggulo a At b at secant c. Tulad ng nakikita mo, sa isang pares ng kaukulang mga anggulo, ang isa ay nasa pagitan ng tamang anggulo a At b, at ang isa ay nasa labas nila.

Mga palatandaan ng magkatulad na linya

Ito ay malinaw na ang paggamit ng kahulugan ay imposible upang tapusin na ang dalawang linya ay parallel. Samakatuwid, upang mapagtanto na ang dalawang linya ay magkatulad, gamitin palatandaan.

Maaari mo nang bumalangkas ang isa sa mga ito pagkatapos na pamilyar sa mga materyales ng unang bahagi ng aralin sa video:

Teorama 1. Ang dalawang linya na patayo sa pangatlo ay hindi nagsalubong, iyon ay, sila ay parallel.

Magiging pamilyar ka sa iba pang mga palatandaan ng parallelism ng mga linya batay sa pagkakapantay-pantay ng ilang mga pares ng mga anggulo sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa mga materyales sa ikalawang bahagi ng aralin sa video."Mga palatandaan ng magkatulad na linya."

Kaya, dapat mong malaman ang tatlong higit pang mga palatandaan ng magkatulad na linya.

Theorem 2 (ang unang tanda ng magkatulad na linya). Kung, kapag ang dalawang linya ay nagsalubong sa crosswise, ang mga anggulo na kasangkot ay pantay, kung gayon ang mga linya ay parallel.

Ulitin muli ang unang tanda ng magkatulad na linya sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa elektronikong mapagkukunang pang-edukasyon « ».

Kaya, kapag pinatutunayan ang unang tanda ng paralelismo ng mga linya, ang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay ginagamit (sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila), pati na rin ang tanda ng paralelismo ng mga linya bilang patayo sa isang tuwid na linya.

Ehersisyo 1.

Isulat ang pagbabalangkas ng unang tanda ng magkatulad na linya at ang patunay nito sa iyong mga kuwaderno.

Theorem 3 (pangalawang tanda ng magkatulad na linya). Kung, kapag ang dalawang linya ay nagsalubong sa isang transversal, ang mga katumbas na anggulo ay pantay, kung gayon ang mga linya ay parallel.

Ulitin muli ang pangalawang tanda ng magkatulad na linya sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa elektronikong mapagkukunang pang-edukasyon « ».

Kapag pinatutunayan ang pangalawang tanda ng paralelismo ng mga linya, ang pag-aari ng mga patayong anggulo at ang unang tanda ng paralelismo ng mga linya ay ginagamit.

Gawain 2.

Isulat ang pagbabalangkas ng pangalawang pamantayan para sa paralelismo ng mga linya at ang patunay nito sa iyong mga kuwaderno.

Theorem 4 (ikatlong tanda ng magkatulad na linya). Kung, kapag ang dalawang linya ay nagsalubong sa isang transversal, ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay katumbas ng 180 0, kung gayon ang mga linya ay magkatulad.

Ulitin muli ang ikatlong tanda ng magkatulad na linya sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa elektronikong mapagkukunang pang-edukasyon « ».

Kaya, kapag pinatutunayan ang unang tanda ng paralelismo ng mga linya, ang pag-aari ng mga katabing anggulo at ang unang tanda ng paralelismo ng mga linya ay ginagamit.

Gawain 3.

Isulat ang pagbabalangkas ng ikatlong pamantayan para sa magkatulad na mga linya at ang patunay nito sa iyong mga kuwaderno.

Upang makapagsanay sa paglutas ng mga simpleng problema, magtrabaho kasama ang mga materyales ng elektronikong mapagkukunang pang-edukasyon « ».

Ang mga palatandaan ng paralelismo ng mga linya ay ginagamit sa paglutas ng mga problema.

Ngayon tingnan ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa mga palatandaan ng parallel na linya, nagtatrabaho sa mga materyales ng aralin sa video"Paglutas ng mga problema sa paksang "Mga palatandaan ng magkatulad na linya."

Ngayon subukan ang iyong sarili sa pamamagitan ng pagkumpleto ng mga gawain ng control electronic educational resource « ».

Ang sinumang gustong magsikap sa paglutas ng mas kumplikadong mga problema ay maaaring gumana sa mga materyales sa video tutorial "Mga gawain sa mga palatandaan ng paralelismo ng mga linya."

Mga katangian ng parallel na linya

Ang mga parallel na linya ay may isang hanay ng mga katangian.

Malalaman mo kung ano ang mga katangiang ito sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa mga materyales sa video tutorial "Properties ng parallel lines."

kaya, mahalagang katotohanan Ang bagay na dapat mong malaman ay ang concurrency axiom.

Axiom ng paralelismo. Sa pamamagitan ng isang punto na hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, posible na gumuhit ng isang linya parallel sa ibinigay na isa, at, bukod dito, isa lamang.

Tulad ng iyong natutunan mula sa video tutorial, batay sa axiom na ito, dalawang kahihinatnan ang maaaring mabuo.

Bunga 1. Kung ang isang linya ay nag-intersect sa isa sa mga parallel na linya, pagkatapos ito ay nag-intersect din sa isa pang parallel na linya.

Bunga 2. Kung ang dalawang linya ay parallel sa isang pangatlo, kung gayon sila ay parallel sa isa't isa.

Gawain 4.

Isulat sa iyong mga kuwaderno ang pormulasyon ng mga nakasaad na kaakibat at ang kanilang mga patunay.

Ang mga katangian ng mga anggulo na nabuo sa pamamagitan ng mga parallel na linya at isang transversal ay mga theorems na kabaligtaran sa mga kaukulang katangian.

Kaya, mula sa mga materyal ng aralin sa video natutunan mo ang pag-aari ng mga cross-lying na anggulo.

Theorem 5 (theorem inverse sa unang criterion para sa parallel lines). Kapag ang dalawang parallel na linya ay nagsalubong sa crosswise, ang mga anggulo na kasangkot ay pantay.

Gawain 5.

Ulitin muli ang unang pag-aari ng mga parallel na linya sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa elektronikong mapagkukunang pang-edukasyon « ».

Theorem 6 (theorem converse to the second criterion for the parallelism of lines). Kapag ang dalawang magkatulad na linya ay nagsalubong, ang mga katumbas na anggulo ay pantay.

Gawain 6.

Isulat ang pahayag ng teorama na ito at ang patunay nito sa iyong mga kuwaderno.

Ulitin muli ang pangalawang pag-aari ng mga parallel na linya sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa elektronikong mapagkukunang pang-edukasyon « ».

Teorama 7 (teorem, kabaligtaran ng pangatlo tanda ng paralelismo ng mga linya). Kapag nagsalubong ang dalawang magkatulad na linya, ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay 180 0.

Gawain 7.

Isulat ang pahayag ng teorama na ito at ang patunay nito sa iyong mga kuwaderno.

Ulitin muli ang ikatlong pag-aari ng mga parallel na linya sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa elektronikong mapagkukunang pang-edukasyon « ».

Ang lahat ng mga katangian ng parallel na linya ay ginagamit din sa paglutas ng mga problema.

Isaalang-alang ang karaniwang mga halimbawa ng paglutas ng problema sa pamamagitan ng pagtatrabaho sa mga materyal ng aralin sa video "Mga parallel na linya at problema sa mga anggulo sa pagitan nila at ng transversal."

Sa isang eroplano, ang mga linya ay tinatawag na parallel kung wala silang mga karaniwang punto, iyon ay, hindi sila nagsalubong. Para ipahiwatig ang parallelism, gumamit ng espesyal na icon || (parallel lines a || b).

Para sa mga linya na nakahiga sa kalawakan, ang pangangailangan na walang mga karaniwang punto ay hindi sapat - para sila ay parallel sa kalawakan, dapat silang kabilang sa parehong eroplano (kung hindi, sila ay magsalubong).

Hindi mo kailangang pumunta nang malayo para sa mga halimbawa ng magkatulad na linya; sinasamahan nila kami saanman, sa isang silid - ito ang mga linya ng intersection ng dingding na may kisame at sahig, sa isang notebook sheet - kabaligtaran na mga gilid, atbp.

Halatang halata na, ang pagkakaroon ng dalawang linya parallel at isang ikatlong linya parallel sa isa sa unang dalawa, ito ay magiging parallel din sa pangalawa.

Ang mga parallel na linya sa isang eroplano ay nauugnay sa isang pahayag na hindi mapapatunayan gamit ang mga axiom ng planimetry. Ito ay tinatanggap bilang isang katotohanan, bilang isang axiom: para sa anumang punto sa eroplano na hindi nakahiga sa isang linya, mayroong isang natatanging linya na dumadaan dito parallel sa ibinigay na isa. Alam ng bawat ikaanim na baitang ang axiom na ito.

Ang spatial generalization nito, iyon ay, ang pahayag na para sa anumang punto sa espasyo na hindi nakahiga sa isang linya, mayroong isang natatanging linya na dumadaan dito parallel sa ibinigay na isa, ay madaling napatunayan gamit ang alam na axiom ng parallelism sa eroplano.

Mga katangian ng parallel na linya

• Kung ang alinman sa dalawang magkatulad na linya ay parallel sa pangatlo, kung gayon sila ay magkapareho.

Ang mga parallel na linya sa eroplano at sa kalawakan ay may ganitong katangian.
Bilang halimbawa, isaalang-alang ang pagbibigay-katwiran nito sa stereometry.

Ipagpalagay natin na ang mga linya b at linya a ay magkatulad.

Ang kaso kapag ang lahat ng tuwid na linya ay nasa parehong eroplano ay iiwan sa planimetry.

Ipagpalagay na ang a at b ay nabibilang sa beta plane, at ang gamma ay ang eroplano kung saan nabibilang ang a at c (sa pamamagitan ng kahulugan ng parallelism sa espasyo, ang mga tuwid na linya ay dapat na kabilang sa parehong eroplano).

Kung ipagpalagay natin na ang mga beta at gamma plane ay magkaiba at markahan ang isang tiyak na punto B sa linya b mula sa beta plane, kung gayon ang eroplano na iginuhit sa punto B at linya c ay dapat mag-intersect sa beta plane sa isang tuwid na linya (ipahiwatig natin ito b1) .

Kung ang nagreresultang tuwid na linya b1 ay bumalandra sa gamma plane, kung gayon, sa isang banda, ang intersection point ay kailangang nasa a, dahil ang b1 ay kabilang sa beta plane, at sa kabilang banda, dapat din itong kabilang sa c, dahil b1 ay kabilang sa ikatlong eroplano.
Ngunit ang magkatulad na linya a at c ay hindi dapat magsalubong.

Kaya, ang linya b1 ay dapat na kabilang sa betta plane at sa parehong oras ay walang mga karaniwang puntos na may a, samakatuwid, ayon sa parallelism axiom, ito ay tumutugma sa b.
Nakuha namin ang isang linya b1 na tumutugma sa linya b, na kabilang sa parehong eroplano na may linya c at hindi nagsalubong dito, iyon ay, ang b at c ay magkapareho

• Sa pamamagitan ng isang punto na hindi nakahiga sa isang ibinigay na linya, isang solong tuwid na linya lamang ang maaaring dumaan parallel sa ibinigay na linya.

• Dalawang linya na nakahiga sa isang eroplano na patayo sa pangatlo ay magkatulad.

• Kung ang eroplano ay nag-intersect sa isa sa dalawang parallel na linya, ang pangalawang linya ay nag-intersect din sa parehong eroplano.

• Matching at cross lying mga panloob na sulok, na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng dalawang parallel na tuwid na linya ng pangatlo, ay pantay, ang kabuuan ng panloob na isang panig na nabuo ay katumbas ng 180°.

Ang magkasalungat na mga pahayag ay totoo rin, na maaaring kunin bilang mga palatandaan ng paralelismo ng dalawang tuwid na linya.

Kondisyon para sa mga parallel na linya

Ang mga katangian at katangiang nabalangkas sa itaas ay kumakatawan sa mga kundisyon para sa paralelismo ng mga linya, at mapapatunayan ang mga ito gamit ang mga pamamaraan ng geometry. Sa madaling salita, upang patunayan ang parallelism ng dalawang umiiral na linya, sapat na upang patunayan ang kanilang parallelism sa isang ikatlong linya o ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo, maging sila ay katumbas o crosswise, atbp.

Para sa patunay, pangunahing ginagamit nila ang pamamaraang "sa pamamagitan ng kontradiksyon", iyon ay, sa pag-aakalang ang mga linya ay hindi magkatulad. Batay sa pagpapalagay na ito, madaling maipakita na sa kasong ito ang mga tinukoy na kundisyon ay nilabag, halimbawa, ang mga panloob na anggulo na nakahiga sa bawat isa ay lumabas na hindi pantay, na nagpapatunay sa hindi tama ng pagpapalagay na ginawa.

Ang aralin sa video na "Mga Palatandaan para sa paralelismo ng dalawang linya" ay naglalaman ng patunay ng mga teorema na naglalarawan sa mga palatandaan na nagpapahiwatig ng paralelismo ng mga linya. Kasabay nito, inilalarawan ng video ang 1) ang theorem sa parallelism ng mga linya kung saan ang mga pantay na anggulo ay nilikha ng isang transversal, 2) isang senyales na nangangahulugang ang parallelism ng dalawang tuwid na linya - sa pantay na nabuo na katumbas na mga anggulo, 3) isang tanda Iyon ay nangangahulugang ang parallelism ng dalawang linya sa kaso kapag, kapag nagsalubong ang mga ito sa isang secant na isang panig na anggulo ay nagdaragdag ng hanggang 180°. Ang layunin ng araling video na ito ay upang maging pamilyar sa mga mag-aaral ang mga palatandaan na nangangahulugang paralelismo ng dalawang linya, ang kaalaman kung saan kinakailangan para sa paglutas ng maraming praktikal na problema, upang malinaw na ipakita ang patunay ng mga teorema na ito, at upang bumuo ng mga kasanayan sa pagpapatunay ng mga geometric na pahayag.

Ang mga bentahe ng aralin sa video ay nauugnay sa katotohanan na sa tulong ng animation, saliw ng boses, at kakayahang mag-highlight na may kulay, nagbibigay ito mataas na antas kalinawan, ay maaaring magsilbi bilang isang kapalit para sa pagbibigay ng isang karaniwang bloke ng isang bago materyal na pang-edukasyon guro.

Nagsisimula ang aralin sa video sa pamagat na ipinapakita sa screen. Bago ilarawan ang mga palatandaan ng magkatulad na linya, ipinakilala sa mga mag-aaral ang konsepto ng isang secant. Ang isang secant ay tinukoy bilang isang linya na nagsa-intersect sa iba pang mga linya. Ang screen ay nagpapakita ng dalawang tuwid na linya a at b, na nagsalubong sa tuwid na linya c. Ang itinayong linya c ay naka-highlight sa asul, na nagbibigay-diin sa katotohanan na ito ay isang secant ng mga ibinigay na linya a at b. Upang isaalang-alang ang mga palatandaan ng paralelismo ng mga linya, kinakailangan na maging mas pamilyar sa lugar ng intersection ng mga linya. Ang secant sa mga punto ng intersection sa mga linya ay bumubuo ng 8 anggulo ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, sa pamamagitan ng pagsusuri sa mga ugnayan kung saan posible na makakuha ng mga palatandaan ng ang paralelismo ng mga linyang ito. Napansin na ang mga anggulo ∠3 at ∠5, pati na rin ang ∠2 at ∠4 ay tinatawag na crosswise. Ibinigay detalyadong paliwanag gamit ang animation ng crosswise arrangement ng lying angles bilang mga anggulo na nasa pagitan ng parallel straight lines at adjoin straight lines, lying crosswise. Pagkatapos ay ipinakilala ang konsepto ng isang panig na anggulo, na kinabibilangan ng mga pares ∠4 at ∠5, pati na rin ang ∠3 at ∠6. Ang mga pares ng kaukulang anggulo ay ipinahiwatig din, kung saan mayroong 4 na pares sa nabuong imahe - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.

Sinusuri ng susunod na bahagi ng aralin sa video ang tatlong palatandaan ng paralelismo ng alinmang dalawang linya. Ang unang paglalarawan ay lilitaw sa screen. Ang theorem ay nagsasaad na kung ang mga crosswise na anggulo na nabuo ng transversal ay pantay, ang mga ibinigay na linya ay magiging parallel. Ang pahayag ay sinamahan ng isang guhit na nagpapakita ng dalawang tuwid na linya a at b at isang secant AB. Napansin na ang mga nakahiga na anggulo ∠1 at ∠2 na nabuo sa crosswise ay katumbas ng bawat isa. Ang pahayag na ito ay nangangailangan ng patunay.

Pinakamadaling mapatunayan espesyal na kaso- kapag ang mga ibinigay na crosswise na anggulo ay mga tamang anggulo. Nangangahulugan ito na ang secant ay patayo sa mga linya, at ayon sa teorama na napatunayan na, sa kasong ito ang mga linya a at b ay hindi magsalubong, iyon ay, sila ay parallel. Ang patunay para sa partikular na kaso na ito ay inilarawan gamit ang halimbawa ng isang imahe na binuo sa tabi ng unang figure, na nagha-highlight ng mahahalagang detalye ng patunay gamit ang animation.

Upang patunayan ito sa pangkalahatang kaso, kinakailangan na gumuhit ng karagdagang patayo mula sa gitna ng segment AB hanggang sa tuwid na linya a. Susunod, ang segment na BH 1 na katumbas ng segment na AN ay inilatag sa tuwid na linya b. Mula sa nagresultang punto H 1, ang isang segment ay iginuhit sa pagkonekta ng mga punto O at H 1. Susunod, isinasaalang-alang namin ang dalawang tatsulok ΔОНА at ΔОВН 1, ang pagkakapantay-pantay nito ay pinatunayan ng unang criterion para sa pagkakapantay-pantay ng dalawang tatsulok. Ang mga gilid na OA at OB ay pantay sa pagbuo, dahil ang punto O ay minarkahan bilang gitna ng segment na AB. Ang mga gilid HA at H 1 B ay pantay din sa pagtatayo, dahil tinanggal namin ang isang segment na H 1 B na katumbas ng HA. At ang mga anggulo ay ∠1=∠2 ayon sa mga kondisyon ng problema. Dahil ang mga nabuong tatsulok ay pantay-pantay sa isa't isa, ang katumbas na natitirang mga pares ng mga anggulo at panig ay katumbas din ng bawat isa. Kasunod nito na ang segment na OH 1 ay isang pagpapatuloy ng segment na OH, na bumubuo ng isang segment na HH 1. Napansin na dahil ang itinayong segment na OH ay patayo sa tuwid na linya a, kung gayon, ang segment na HH 1 ay patayo sa mga tuwid na linya a at b. Itong katotohanan nangangahulugang, gamit ang theorem sa parallelism ng mga linya kung saan ang isang patayo ay itinayo, na ang mga ibinigay na linya a at b ay magkatulad.

Ang susunod na theorem na nangangailangan ng patunay ay isang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga parallel na linya sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay ng mga kaukulang anggulo na nabuo kapag nagsasalubong sa isang transversal. Ang pahayag ng theorem na ito ay ipinapakita sa screen at maaaring imungkahi ng mga mag-aaral para sa pagtatala. Ang patunay ay nagsisimula sa pagbuo sa screen ng dalawang parallel na linya a at b, kung saan ang secant c ay itinayo. Naka-highlight sa asul sa larawan. Binubuo ng secant ang kaukulang mga anggulo ∠1 at ∠2, na ayon sa kondisyon ay katumbas ng bawat isa. Ang mga katabing anggulo ∠3 at ∠4 ay minarkahan din. Ang ∠2 na may kaugnayan sa anggulo ∠3 ay isang patayong anggulo. At ang mga patayong anggulo ay palaging pantay. Bilang karagdagan, ang mga anggulo ∠1 at ∠3 ay naka-crosswise na nakahiga sa pagitan ng isa't isa - ang kanilang pagkakapantay-pantay (ayon sa napatunayang pahayag) ay nangangahulugan na ang mga linya a at b ay magkatulad. Ang teorama ay napatunayan.

Ang huling bahagi ng aralin sa video ay nakatuon sa pagpapatunay sa pahayag na kung ang kabuuan ng isang panig na mga anggulo na nabuo kapag ang dalawang linya ay nagsalubong sa isang transversal na linya ay katumbas ng 180°, sa kasong ito ang mga linyang ito ay magiging parallel sa isa't isa. Ang patunay ay ipinakita gamit ang figure na nagpapakita ng mga linyang a at b na nagsasalubong sa isang secant c. Ang mga anggulo na nabuo sa pamamagitan ng intersection ay minarkahan katulad ng nakaraang patunay. Sa kondisyon, ang kabuuan ng mga anggulo ∠1 at ∠4 ay katumbas ng 180°. Bukod dito, alam na ang kabuuan ng mga anggulo ∠3 at ∠4 ay katumbas ng 180°, dahil magkatabi sila. Nangangahulugan ito na ang mga anggulo ∠1 at ∠3 ay katumbas ng bawat isa. Ang konklusyong ito ay nagbibigay ng karapatang igiit na ang mga linya a at b ay magkatulad. Ang teorama ay napatunayan.

Ang aralin sa video na "Mga palatandaan ng parallelism ng dalawang linya" ay maaaring gamitin ng guro bilang isang independiyenteng bloke na nagpapakita ng mga patunay ng mga teorema na ito, na pinapalitan ang paliwanag ng guro o kasama nito. Ang isang detalyadong paliwanag ay ginagawang posible para sa mga mag-aaral na gamitin ang materyal para sa independiyenteng pag-aaral at makakatulong sa pagpapaliwanag ng materyal sa panahon ng distance learning.