Maghanap ng isang partikular na solusyon sa isang differential equation; mga halimbawa ng mga solusyon. Paglutas ng pinakasimpleng differential equation ng unang order

Differential equation (DE) - ito ang equation,
kung saan ang mga independiyenteng variable, y ang function at ang mga partial derivatives.

Ordinaryong differential equation ay isang differential equation na mayroon lamang isang independent variable, .

Partial differential equation ay isang differential equation na mayroong dalawa o higit pang independent variable.

Ang mga salitang "ordinaryo" at "mga partial derivatives" ay maaaring tanggalin kung malinaw kung aling equation ang isinasaalang-alang. Sa mga sumusunod, ang mga ordinaryong differential equation ay isinasaalang-alang.

Pagkakasunud-sunod ng differential equation ay ang pagkakasunod-sunod ng pinakamataas na derivative.

Narito ang isang halimbawa ng isang first order equation:

Narito ang isang halimbawa ng isang fourth order equation:

Minsan ang isang first order differential equation ay nakasulat sa mga tuntunin ng differentials:

Sa kasong ito, ang mga variable na x at y ay pantay. Ibig sabihin, ang independent variable ay maaaring maging x o y. Sa unang kaso, ang y ay isang function ng x. Sa pangalawang kaso, ang x ay isang function ng y. Kung kinakailangan, maaari nating bawasan ang equation na ito sa isang anyo na tahasang kinabibilangan ng derivative y′.
Ang paghahati ng equation na ito sa dx ay nakukuha natin:
.
Since and , kasunod niyan
.

Paglutas ng mga differential equation

Ang mga derivatives ng elementary functions ay ipinahayag sa pamamagitan ng elementary functions. Ang mga integral ng elementary function ay madalas na hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng elementary function. Sa mga differential equation ay mas malala pa ang sitwasyon. Bilang resulta ng solusyon maaari kang makakuha ng:

• tahasang pagdepende ng isang function sa isang variable;

  Paglutas ng differential equation ay ang function na y = u (x), na kung saan ay tinukoy, n beses differentiable, at .

• implicit dependence sa anyo ng isang equation ng uri Φ (x, y) = 0 o mga sistema ng mga equation;

  Integral ng isang differential equation ay isang solusyon sa isang differential equation na may implicit na anyo.

• pag-asa na ipinahayag sa pamamagitan ng mga elementarya na function at integral mula sa kanila;

  Paglutas ng differential equation sa mga quadrature - ito ay paghahanap ng solusyon sa anyo ng kumbinasyon ng mga elementary function at integral ng mga ito.

• ang solusyon ay maaaring hindi maipahayag sa pamamagitan ng elementarya na pag-andar.

Dahil ang solusyon differential equation bumababa sa pagkalkula ng mga integral, pagkatapos ang solusyon ay kinabibilangan ng isang set ng mga constants C 1, C 2, C 3, ... C n. Ang bilang ng mga constant ay katumbas ng pagkakasunud-sunod ng equation. Bahagyang integral ng isang differential equation ay ang pangkalahatang integral para sa mga ibinigay na halaga ng mga constants C 1, C 2, C 3, ..., C n.

Mga sanggunian:
V.V. Stepanov, Kurso ng mga differential equation, "LKI", 2015.
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Koleksyon ng mga problema sa mas mataas na matematika, "Lan", 2003.

Alinman ay nalutas na may kinalaman sa derivative, o maaari silang malutas nang may kinalaman sa derivative .

Pangkalahatang solusyon ng mga differential equation ng uri sa pagitan X, na ibinigay, ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagkuha ng integral ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito.

Nakukuha namin .

Kung titingnan mo ang mga katangian hindi tiyak na integral, pagkatapos ay makikita namin ang nais na pangkalahatang solusyon:

y = F(x) + C,

saan F(x)- isa sa mga primitive na function f(x) sa gitna X, A SA- di-makatwirang pare-pareho.

Pakitandaan na sa karamihan ng mga problema ang pagitan X huwag magpahiwatig. Nangangahulugan ito na ang isang solusyon ay dapat mahanap para sa lahat. x, para sa kung saan at ang nais na function y, at ang orihinal na equation ay may katuturan.

Kung kailangan mong kalkulahin ang isang partikular na solusyon sa isang differential equation na nakakatugon paunang kondisyon y(x 0) = y 0, pagkatapos ay pagkatapos kalkulahin ang pangkalahatang integral y = F(x) + C, kailangan pa ring matukoy ang halaga ng pare-pareho C = C 0, gamit ang paunang kondisyon. Iyon ay, isang pare-pareho C = C 0 tinutukoy mula sa equation F(x 0) + C = y 0, at ang nais na bahagyang solusyon ng differential equation ay kukuha ng anyo:

y = F(x) + C 0.

Tingnan natin ang isang halimbawa:

Maghanap tayo ng pangkalahatang solusyon sa differential equation at suriin ang kawastuhan ng resulta. Maghanap tayo ng partikular na solusyon sa equation na ito na makakatugon sa paunang kondisyon.

Solusyon:

Pagkatapos naming isama ang ibinigay na differential equation, nakukuha namin ang:

.

Kunin natin ang integral na ito gamit ang paraan ng pagsasama ng mga bahagi:

yun., ay isang pangkalahatang solusyon sa differential equation.

Para masiguradong tama ang resulta, suriin natin. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang solusyon na nakita namin sa ibinigay na equation:

.

Ibig sabihin, kapag ang orihinal na equation ay nagiging isang pagkakakilanlan:

samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay natukoy nang tama.

Ang solusyon na aming nakita ay isang pangkalahatang solusyon sa differential equation para sa bawat tunay na halaga ng argumento x.

Ito ay nananatiling kalkulahin ang isang partikular na solusyon sa ODE na makakatugon sa paunang kondisyon. Sa madaling salita, kinakailangan upang kalkulahin ang halaga ng pare-pareho SA, kung saan magiging totoo ang pagkakapantay-pantay:

.

.

Tapos, nagpapalit C = 2 sa pangkalahatang solusyon ng ODE, nakakakuha tayo ng partikular na solusyon ng differential equation na nakakatugon sa paunang kondisyon:

.

Ordinaryong differential equation maaaring malutas para sa derivative sa pamamagitan ng paghahati sa 2 panig ng equation sa pamamagitan ng f(x). Ang pagbabagong ito ay magiging katumbas kung f(x) hindi nagiging zero sa anumang pagkakataon x mula sa integration interval ng differential equation X.

May mga malamang na sitwasyon kung kailan, para sa ilang mga halaga ng argumento x ∈ X mga function f(x) At g(x) sabay-sabay na nagiging zero. Para sa mga katulad na halaga x ang pangkalahatang solusyon ng isang differential equation ay anumang function y, na tinukoy sa kanila, dahil .

Kung para sa ilang mga halaga ng argumento x ∈ X ang kondisyon ay nasiyahan, na nangangahulugan na sa kasong ito ang ODE ay walang mga solusyon.

Para sa lahat x mula sa pagitan X ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay tinutukoy mula sa transformed equation.

Tingnan natin ang mga halimbawa:

Halimbawa 1.

Maghanap tayo ng pangkalahatang solusyon sa ODE: .

Solusyon.

Mula sa mga katangian ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya, malinaw na ang natural na logarithm function ay tinukoy para sa mga di-negatibong halaga ng argumento, samakatuwid ang domain ng kahulugan ng expression ln(x+3) may pagitan x > -3 . Nangangahulugan ito na ang ibinigay na differential equation ay may katuturan para sa x > -3 . Para sa mga halaga ng argumento na ito, ang expression x+3 ay hindi naglalaho, kaya maaari mong lutasin ang ODE para sa derivative sa pamamagitan ng paghahati ng 2 bahagi sa x + 3.

Nakukuha namin .

Susunod, isasama namin ang nagresultang differential equation, na nalutas nang may paggalang sa derivative: . Upang kunin ang integral na ito, ginagamit namin ang paraan ng pag-subsuming nito sa ilalim ng differential sign.

Madalas banggitin lang differential equation ginagawang hindi komportable ang mga mag-aaral. Bakit ito nangyayari? Kadalasan, dahil kapag pinag-aaralan ang mga pangunahing kaalaman ng materyal, lumilitaw ang isang puwang sa kaalaman, dahil sa kung saan ang karagdagang pag-aaral ng mga difur ay nagiging simpleng pagpapahirap. Hindi malinaw kung ano ang gagawin, paano magpasya, saan magsisimula?

Gayunpaman, susubukan naming ipakita sa iyo na ang mga difur ay hindi kasing hirap ng tila.

Mga pangunahing konsepto ng teorya ng mga differential equation

Mula sa paaralan alam natin ang pinakasimpleng mga equation kung saan kailangan nating hanapin ang hindi kilalang x. Sa totoo lang differential equation bahagyang naiiba lamang sa kanila - sa halip na isang variable X kailangan mong makahanap ng isang function sa kanila y(x) , na gagawing pagkakakilanlan ang equation.

D differential equation ay may malaking praktikal na kahalagahan. Ito ay hindi abstract mathematics na walang kaugnayan sa mundo sa paligid natin. Ang mga differential equation ay ginagamit upang ilarawan ang maraming tunay natural na proseso. Halimbawa, ang mga vibrations ng isang string, ang paggalaw ng isang harmonic oscillator, gamit ang mga differential equation sa mga problema ng mechanics, hinahanap ang bilis at acceleration ng isang katawan. Gayundin DU hanapin malawak na aplikasyon sa biology, chemistry, economics at marami pang ibang agham.

Differential equation (DU) ay isang equation na naglalaman ng mga derivatives ng function na y(x), ang function mismo, mga independent variable at iba pang mga parameter sa iba't ibang kumbinasyon.

Maraming uri ng differential equation: ordinaryong differential equation, linear at nonlinear, homogenous at inhomogeneous, first and higher order differential equation, partial differential equation, at iba pa.

Ang solusyon sa isang differential equation ay isang function na ginagawa itong isang pagkakakilanlan. Mayroong pangkalahatan at partikular na mga solusyon ng remote control.

Ang pangkalahatang solusyon sa isang differential equation ay isang pangkalahatang hanay ng mga solusyon na nagbabago sa equation sa isang pagkakakilanlan. Ang isang bahagyang solusyon ng isang differential equation ay isang solusyon na nagbibigay-kasiyahan karagdagang mga kondisyon, tinukoy sa simula.

Ang pagkakasunud-sunod ng isang differential equation ay tinutukoy ng pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng mga derivatives nito.

Ordinaryong differential equation

Ordinaryong differential equation ay mga equation na naglalaman ng isang independent variable.

Isaalang-alang natin ang pinakasimpleng ordinaryong differential equation ng unang order. Mukhang:

Ang ganitong equation ay maaaring malutas sa pamamagitan lamang ng pagsasama ng kanang bahagi nito.

Mga halimbawa ng naturang mga equation:

Pinaghihiwalay na mga equation

SA pangkalahatang pananaw ganito ang hitsura ng ganitong uri ng equation:

Narito ang isang halimbawa:

Kapag nilulutas ang naturang equation, kailangan mong paghiwalayin ang mga variable, dalhin ito sa form:

Pagkatapos nito, nananatili itong pagsamahin ang parehong bahagi at makakuha ng solusyon.

Mga linear differential equation ng unang order

Ang ganitong mga equation ay mukhang:

Narito ang p(x) at q(x) ay ilang function ng independent variable, at ang y=y(x) ay ang gustong function. Narito ang isang halimbawa ng naturang equation:

Kapag nilulutas ang naturang equation, kadalasang ginagamit nila ang paraan ng pag-iiba-iba ng arbitrary na pare-pareho o kinakatawan ang nais na function bilang isang produkto ng dalawang iba pang function y(x)=u(x)v(x).

Upang malutas ang mga naturang equation, kinakailangan ang ilang paghahanda at magiging mahirap na dalhin ang mga ito "sa isang sulyap".

Isang halimbawa ng paglutas ng differential equation na may mga separable variable

Kaya tiningnan namin ang pinakasimpleng uri ng remote control. Ngayon tingnan natin ang solusyon sa isa sa kanila. Hayaan itong maging isang equation na may mga separable variable.

Una, muling isulat natin ang derivative sa isang mas pamilyar na anyo:

Pagkatapos ay hinati namin ang mga variable, iyon ay, sa isang bahagi ng equation kinokolekta namin ang lahat ng "I's", at sa isa pa - ang "X's":

Ngayon ay nananatili itong pagsamahin ang parehong bahagi:

Kami ay nagsasama at kumuha ng pangkalahatang solusyon sa equation na ito:

Siyempre, ang paglutas ng mga differential equation ay isang uri ng sining. Kailangan mong maunawaan kung anong uri ng equation ito, at matutunan din na makita kung anong mga pagbabago ang kailangang gawin dito upang humantong sa isang anyo o iba pa, hindi banggitin lamang ang kakayahang mag-iba at magsama. At upang magtagumpay sa paglutas ng DE, kailangan mo ng pagsasanay (tulad ng lahat). At kung mayroon ka sa sandaling ito wala kang oras upang malaman kung paano nalutas ang mga differential equation, o ang problemang Cauchy ay parang buto sa iyong lalamunan, o hindi mo alam, makipag-ugnayan sa aming mga may-akda. Sa maikling panahon ay bibigyan ka namin ng isang handa na at detalyadong solusyon, ang mga detalye kung saan maaari mong maunawaan sa anumang oras na maginhawa para sa iyo. Pansamantala, iminumungkahi naming manood ng video sa paksang "Paano lutasin ang mga differential equation":

Ngayon, ang isa sa pinakamahalagang kasanayan para sa sinumang espesyalista ay ang kakayahang malutas ang mga equation ng kaugalian. Paglutas ng mga differential equation– hindi magagawa ng isang inilapat na gawain kung wala ito, maging ang pagkalkula ng anumang pisikal na parameter o ang pagmomodelo ng mga pagbabago bilang resulta ng pinagtibay na patakarang macroeconomic. Ang mga equation na ito ay mahalaga din para sa ilang iba pang mga agham, tulad ng kimika, biology, medisina, atbp. Sa ibaba ay magbibigay kami ng isang halimbawa ng paggamit ng mga differential equation sa ekonomiya, ngunit bago iyon ay maikling pag-uusapan natin ang tungkol sa mga pangunahing uri ng mga equation.

Differential equation - ang pinakasimpleng uri

Sinabi ng mga pantas na ang mga batas ng ating uniberso ay nakasulat sa wikang matematika. Siyempre, maraming mga halimbawa sa algebra iba't ibang equation, ngunit ito ay, sa karamihan, mga halimbawang pang-edukasyon na hindi naaangkop sa pagsasanay. Totoo kawili-wiling matematika nagsisimula kapag gusto nating ilarawan ang mga prosesong nagaganap sa totoong buhay. Ngunit paano natin maipapakita ang salik ng oras na namamahala sa mga tunay na proseso—inflation, output, o demographic indicator?

Alalahanin natin ang isang mahalagang depinisyon mula sa kursong matematika tungkol sa derivative ng isang function. Ang derivative ay ang rate ng pagbabago ng isang function, kaya makakatulong ito sa amin na ipakita ang time factor sa equation.

Ibig sabihin, gumawa kami ng equation na may function na naglalarawan sa indicator na interesado kami at idagdag ang derivative ng function na ito sa equation. Ito ay isang differential equation. Ngayon ay lumipat tayo sa pinakasimpleng mga mga uri ng differential equation para sa mga dummies.

Ang pinakasimpleng differential equation ay may anyo na $y'(x)=f(x)$, kung saan ang $f(x)$ ay isang tiyak na function, at $y'(x)$ ay ang derivative o rate ng pagbabago ng nais function. Maaari itong malutas sa pamamagitan ng ordinaryong pagsasama: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Ang pangalawang pinakasimpleng uri ay tinatawag na differential equation na may mga separable variable. Ganito ang hitsura ng naturang equation: $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Makikita na ang dependent variable na $y$ ay bahagi rin ng constructed function. Ang equation ay maaaring lutasin nang napakasimple - kailangan mong "paghiwalayin ang mga variable," ibig sabihin, dalhin ito sa anyong $y'(x)/g(y)=f(x)$ o $dy/g(y) =f(x)dx$. Nananatili itong pagsamahin ang magkabilang panig $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - ito ang solusyon sa differential equation ng separable type.

Ang huling simpleng uri ay isang first order linear differential equation. Mayroon itong anyong $y’+p(x)y=q(x)$. Narito ang $p(x)$ at $q(x)$ ay ilang function, at $y=y(x)$ ang kinakailangang function. Upang malutas ang naturang equation, ginagamit ang mga espesyal na pamamaraan (paraan ng pagkakaiba-iba ni Lagrange ng isang arbitrary na pare-pareho, paraan ng pagpapalit ni Bernoulli).

Mayroong mas kumplikadong mga uri ng mga equation - mga equation ng pangalawa, pangatlo at sa pangkalahatan ay arbitrary na pagkakasunud-sunod, homogenous at inhomogeneous na mga equation, pati na rin ang mga sistema ng differential equation. Ang paglutas sa mga ito ay nangangailangan ng paunang paghahanda at karanasan sa paglutas ng mga mas simpleng problema.

Ang tinatawag na partial differential equation ay may malaking kahalagahan para sa physics at, sa hindi inaasahang pagkakataon, sa pananalapi. Nangangahulugan ito na ang nais na function ay nakasalalay sa ilang mga variable sa parehong oras. Halimbawa, inilalarawan ng Black-Scholes equation mula sa larangan ng financial engineering ang halaga ng isang opsyon (type mga seguridad) depende sa kakayahang kumita nito, ang laki ng mga pagbabayad, pati na rin ang mga petsa ng pagsisimula at pagtatapos ng mga pagbabayad. Ang paglutas ng partial differential equation ay medyo kumplikado at karaniwang nangangailangan ng paggamit ng mga espesyal na programa gaya ng Matlab o Maple.

Isang halimbawa ng aplikasyon ng isang differential equation sa ekonomiya

Bigyan natin, gaya ng ipinangako, ng isang simpleng halimbawa ng paglutas ng isang differential equation. Una, itakda natin ang gawain.

Para sa ilang kumpanya, ang function ng marginal na kita mula sa pagbebenta ng mga produkto nito ay may anyo na $MR=10-0.2q$. Dito ang $MR$ ay ang marginal na kita ng kumpanya, at ang $q$ ay ang dami ng produksyon. Kailangan nating hanapin ang kabuuang kita.

Tulad ng nakikita mo mula sa problema, ito ay isang inilapat na halimbawa mula sa microeconomics. Maraming mga kumpanya at negosyo ang patuloy na nahaharap sa gayong mga kalkulasyon sa kurso ng kanilang mga aktibidad.

Magsimula tayo sa solusyon. Tulad ng nalalaman mula sa microeconomics, ang marginal na kita ay isang derivative ng kabuuang kita, at ang kita ay zero sa zero na benta.

Mula sa isang matematikal na punto ng view, ang problema ay nabawasan sa paglutas ng differential equation $R’=10-0.2q$ sa ilalim ng kondisyong $R(0)=0$.

Isama natin ang equation sa pamamagitan ng pagkuha antiderivative function mula sa parehong bahagi, nakuha namin ang pangkalahatang solusyon: $$R(q) = \int (10-0.2q)dq = 10 q-0.1q^2+C. $$

Upang mahanap ang pare-parehong $C$, alalahanin ang kundisyon na $R(0)=0$. Palitan natin ang: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Kaya ang C=0 at ang ating kabuuang function ng kita ay nasa anyo na $R(q)=10q-0.1q^2$. Ang problema ay nalutas.

Iba pang mga halimbawa ni iba't ibang uri Kinokolekta ang mga remote control sa page: