Analiza calitativă a sistemelor dinamice. Analiza proprietăților dinamice ale sistemului

Automatizare și telemecanică, L-1, 2007

RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 Yu.S. POPKOV, doctor în inginerie. Științe (Institutul de Analiză a Sistemelor RAS, Moscova)

ANALIZA CALITATIVĂ A SISTEMELOR DINAMICE CU OPERATOR Vd-ENTROPY

Se propune o metodă de studiere a existenței, unicității și localizării punctelor singulare ale clasei considerate de DSEO. Se obțin condiții de stabilitate „în mic” și „în mare”. Sunt date exemple de aplicare a condițiilor obținute.

1. Introducere

Multe probleme de modelare matematică a proceselor dinamice pot fi rezolvate pe baza conceptului de sisteme dinamice cu operator de entropie (DSEO). DSEO este un sistem dinamic în care neliniaritatea este descrisă de problema parametrică a maximizării entropiei. Feio-miologic, DSEO este un model de macrosistem cu auto-reproducere „lentă” și distribuție „rapidă” a resurselor. Unele proprietăți ale DSEO au fost studiate în. Această lucrare continuă ciclul de cercetare a proprietăților calitative ale DSEO.

Considerăm un sistem dinamic cu operatorul Vd-entropie:

^ = £(x,y(x)), x e En:

y(x) = a^shax(Hb(y) | Ty = q(x), y e E^) > 0.

În aceste expresii:

C(x,y), c(x) sunt funcții vectoriale diferențiabile continuu;

Entropie

(1.2) Нв (у) = з 1п az > 0, з = Т~т;

T - (r x w)-matricea cu elemente ^ 0 are rang complet egal cu r;

Se presupune că funcția vectorială q(x) este diferențiabilă continuu, mulțimea ^ ^^ ^ atașată q este un paralelipiped pozitiv

(1,3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

unde a- și a + sunt vectori din E+, iar a- este un vector cu componente mici.

Folosind binecunoscuta reprezentare a operatorului de entropie în termeni de multiplicatori Lagrange. Să transformăm sistemul (1.1) în următoarea formă:

- = £(x,y(z)), x e Kn, y(z) e K?, g e Er+

Uz (r) = az\\ ^, 3 = 1,t-

O(x,z) = Ty(z) = d(x),

unde rk = exp(-Ak) > 0 sunt multiplicatori Lagrange exponențiali.

Alături de DSEO de formă generală (1.1), vom avea în vedere urmărirea clasificării date în.

DSEO cu debit separabil:

(1-5) ^ = I(x) + Ву(r),

unde B(nxm)-matrice;

DSEO cu flux multiplicativ:

(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xi(z)), ab

unde Ш este o matrice (n x m) cu elemente nenegative, a este un vector cu componente pozitive, ® ​​este semnul înmulțirii coordonatelor.

Obiectivul acestei lucrări este de a studia existența, unicitatea și localizarea punctelor singulare ale DSEO și stabilitatea acestora.

2. Puncte singulare

2.1. Existenţă

Să considerăm sistemul (1.4). Punctele singulare ale acestui sistem dinamic sunt determinate de următoarele ecuații:

(2.1) C^(x,y(z))=0, z = TP;

(2.2) kz (r) = a^ r^, 3 = T^:

(2.3) vk (r) = ^ az r^ = dk (x), k = 1, r.

Să considerăm mai întâi sistemul auxiliar de ecuații:

(2.4) C(d,r) = g, d e R,

unde mulțimea R este definită prin egalitatea (1.3) și C(d,r) este o funcție vectorială cu componente

(2.5) Sk(d,g) = - Ok(g), a-< дк < а+, к =1,г.

Ecuația (2.4) are o soluție unică r* pentru fiecare vector fix d, care rezultă din proprietățile operatorului Vd-entropie (vezi).

Din definiția componentelor funcției vectoriale C(d,r) există o estimare evidentă:

(2,6) C(a+,r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Să notăm soluția primei ecuații cu r+ și a doua cu r-. Să definim

(2.7) C (a+,z) = z, C(a

(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk

și vectori r-dimensionali

(2.9) z (zmax, zmax), z (zmin, zmin).

Lema 2.1. Pentru toate q G Q (1 . 3) soluțiile z*(q) ale ecuației (2.4) aparțin, vectorul 1 segmentului

zmin< z*(q) < zmax,

unde vectorii zmin și zmax sunt determinați prin expresiile (2.7)-(2.9).

Dovada teoremei este dată în Anexă. Qq

qk(x) (1.3) pentru x G Rn, atunci

Corolarul 2.1. Fie îndeplinite condițiile lemei 2.1 și funcțiile qk(x) satisfac condițiile (1.3) pentru toate ex x G Rn. Atunci pentru toate x G Rm soluțiile z* ale ecuației (2.3) aparțin segmentului vectorial

zmin< z* < zmax

Să revenim acum la ecuațiile (2.2). care determină componentele funcţiei vectoriale y(z). Elementele lui Jacobian au forma

(2.10) jb aj zk JJ & > 0

pentru toți z G R+ cu excepția 0 și f. În consecință, funcția vectorială y(z) crește strict monoton. Conform Lemei 2.1, este mărginit dedesubt și de deasupra, adică. pentru toți z G Rr (prin urmare, pentru toți x G Rn) valorile sale aparțin mulțimii

(2.11) Y = (y: y-< y < y+},

unde componentele vectorilor yk, y+ sunt determinate de expresiile:

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.

(2.13) bj = Y, tsj, 3 =1,

Să luăm în considerare prima ecuație din (2.1) și să o rescriem sub forma:

(2.14) L(x,y) = 0 pentru toate y e Y C E^.

Această ecuație determină dependența variabilei x de variabila y, aparținând lui Y

noi (1.4) se reduce la existența unei funcții implicite x(y) definită prin ecuația (2.14).

Lema 2.2. Să fie îndeplinite următoarele condiții:

a) funcţia vectorială L(x,y) este continuă în mulţimea variabilelor;

b) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

c) det J (x, y) = 0 pentru toate ex x e Ep pentru orice fix y e Y.

Apoi, există o funcție implicită unică x*(y) definită pe Y. În această lemă, J(x, y) este un jacobian cu elemente

(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.

Dovada este dată în Anexă. Din lemele de mai sus rezultă

Teorema 2.1. Fie îndeplinite condițiile Lemelor 2.1 și 2.2. Apoi există un punct singular unic al DSEO (1.4) și, în consecință, (1.1).

2.2. Localizare

Prin studierea localizării unui punct singular înţelegem posibilitatea stabilirii intervalului în care se află acesta. Această sarcină nu este foarte simplă, dar pentru o anumită clasă de DSEO se poate seta un astfel de interval.

Să ne întoarcem la primul grup de ecuații din (2.1) și să le reprezentăm sub forma

(2.16) L(x,y)=0, y- y y y+,

unde y- și y+ sunt definite prin egalități (2.12), (2.13).

Teorema 2.2. Fie funcția vectorială L(x,y) diferențiabilă continuu și crescătoare monotonă în ambele variabile, adică.

-- > 0, -- > 0; i,l = 1, n; j = 1,m. dxi dyj

Atunci soluția sistemului (2.16) față de variabila x aparține intervalului (2.17) xmin х x х xmax,

a) vectorii xmin, xmax au forma

Min = i x 1 xmax = r x t;

\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax):

xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;

6) x- și x+ - componente ale soluției următoarelor ecuații

(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0

cu oo m într-adevăr.

Dovada teoremei este dată în Anexă.

3. Stabilitatea DSEO „în mic”

3.1. DSEO cu flux separabil Să trecem la ecuațiile DSEO cu flux separabil, prezentându-le sub forma:

- = /(x) + Bu(r(x)), x e Kn ab

U- (g(X)) = azP (X)U33, 3 = 1,"~ 8 = 1

0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = d(x), g e Hg,.

Aici valorile componentelor funcției vectoriale d(x) aparțin mulțimii Q (1.3), matricea (n x w) B are un rang complet egal cu n (n< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Fie că sistemul în cauză are un punct singular x. Pentru a studia stabilitatea acestui punct singular „în mic” construim un sistem liniarizat

unde A este o matrice (n x n), ale cărei elemente sunt calculate în punctul x, iar vectorul £ = x - x. Conform primei ecuații din (3.1), matricea sistemului liniarizat are

A = 7 (x) + BUg (g)Ikh (x), x = g (x),

| 3 = 1,w,k = 1,

I k = 1,g, I = 1,p

Din (3.1) se determină elementele matricei Vr: DN.

"bkz P" 8=1

3, g8 x8, 5 1, g.

Pentru a determina elementele matricei Zx, ne întoarcem la ultimul grup de ecuații din (3.1). Se arată că aceste ecuații definesc o funcție vectorială implicită r(x), care este continuu derivabilă dacă funcția vectorială d(x) este continuu derivabilă. Zxul jacobian al funcției vectoriale r(x) este determinat de ecuație

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vg (X) = T Ug (X),

ddk, -t- , -" -- k = 1,g, I = 1,p dx\

Din această ecuație avem (3.9) Zx(x) = в-1(z)Qx(x).

Înlocuind acest rezultat în egalitate (3.3). primim:

A = 1 (x) + P (x), P (x) = ВУг (г)[ТУг (г)]-1 Qx(x).

Astfel, ecuația sistemului liniarizat ia forma

(z.i) | = (j+p)e

Aici elementele matricelor J, P sunt calculate la punctul singular. Condițiile suficiente pentru stabilitatea „în DSEO mic” (3.1) sunt determinate de următoarele

Teorema 3.1. DSEO (3.1) are un punct singular x stabil „la mic” dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

a) matricile J, P (3.10) ale sistemului liniarizat (3.11) au valori proprii reale si distincte, iar matricea J are valoarea proprie maxima

Ptah = max Pg > 0,

Wmax = max Ui< 0;

Umax + Ptah<

Din această teoremă și egalitate (3.10) rezultă că pentru punctele singulare pentru care Qx(x) = 0 și (sau) pentru X, = 0 și tkj ^ 1 pentru toate k,j nu sunt îndeplinite condițiile suficiente ale teoremei.

3.2. DSEO cu flux multiplicativ Considerăm ecuația (1.6). prezentându-le sub forma:

X® (a-x® Wy(z(x))), x e Rn;

yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;

(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++.

sisteme. Vom avea:

(3.13) A = ^ [cm] - 2ХШУх (r^x(x).

În această expresie, diag C] este o matrice diagonală cu elemente pozitive a1,..., an, Vr, Zx - matrice definite prin egalități (3.4)-(3.7).

Să reprezentăm matricea A sub forma

(3.14) A = diag+P (x),

(3.15) P (x) = -2xWYz (z)Zx(x).

Notăm: maxi ai = nmax și wmax este valoarea proprie maximă a matricei P(x) (3.15). Atunci Teorema 3.1 este valabilă și pentru DSEO (1.6). (3.12).

4. Stabilitatea DSEO „în mare”

Să ne întoarcem la ecuațiile DESO (1.4), în care valorile componentelor funcției vectoriale q(x) aparțin mulțimii Q (1.3). În sistemul luat în considerare există un punct singular Z, care corespunde vectorilor z(x) = z ^ z- > 0 și

y(x) = y(z) = y > y- > 0.

Să introducem vectorii abaterilor £, C, П de la punctul singular: (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.

ZHEZHERUN A.A., POKROVSKY A.V. - 2009

CINETICA PROCESELOR BIOLOGICE

Cum putem descrie dinamica sistemelor biologice? În fiecare moment al timpului, un sistem biologic are un set de anumite caracteristici. De exemplu, observând o populație a unei specii, puteți înregistra dimensiunea acesteia, suprafața ocupată de teritoriu, cantitatea de hrană disponibilă, temperatura ambiantă etc. Cursul unei reacții chimice poate fi caracterizat prin concentrațiile substanțele implicate, presiunea, temperatura și nivelul de aciditate al mediului. Setul de valori ale tuturor caracteristicilor pe care cercetătorul le-a ales pentru a descrie sistemul este starea sistemului în fiecare moment în timp. La crearea unui model, variabilele și parametrii sunt selectați din populația specificată. Variabilele sunt acele mărimi ale căror modificări sunt de interes în primul rând pentru cercetător, parametrii sunt condițiile „mediului extern”. Pentru variabilele selectate sunt întocmite ecuații care reflectă modelele de schimbare a sistemului în timp. De exemplu, atunci când se creează un model pentru creșterea unei culturi microbiene, numărul acesteia este de obicei folosit ca variabilă, iar rata de reproducere este de obicei folosită ca parametru. Poate că temperatura la care are loc creșterea este semnificativă, atunci acest indicator este inclus și în model ca parametru. Și dacă, de exemplu, nivelul de aerare este întotdeauna suficient și nu are niciun efect asupra proceselor de creștere, atunci nu este inclus deloc în model. De regulă, parametrii rămân neschimbați în timpul experimentului, cu toate acestea, este de remarcat faptul că acest lucru nu este întotdeauna cazul.

Dinamica unui sistem biologic (adică modificările stării sale în timp) poate fi descrisă folosind atât modele discrete, cât și modele continue. Modelele discrete presupun că timpul este o cantitate discretă. Aceasta corespunde înregistrării valorilor variabilelor la anumite intervale fixe (de exemplu, o dată pe oră sau o dată pe an). În modelele continue, variabila biologică este o funcție continuă a timpului, notată de ex. X(t).

Adesea de mare importanță condiții inițiale model – starea caracteristicii studiate la momentul inițial de timp, i.e. la t = 0.

Când se studiază schimbarea continuă a unei caracteristici X(t) este posibil să cunoaștem informații despre rata de modificare a acesteia. Aceste informații pot fi scrise în general sub forma unei ecuații diferențiale:

Această notație formală înseamnă că rata de schimbare a unei caracteristici studiate este o funcție de timp și de magnitudinea acestei caracteristici.

Dacă partea dreaptă a unei ecuații diferențiale a formei este în mod clar independentă de timp, i.e. echitabil:

atunci această ecuație se numește autonom(sistemul descris de o astfel de ecuație se numește autonom). Starea sistemelor autonome în fiecare moment în timp este caracterizată de o singură mărime - valoarea variabilei Xîn acest moment de timp t.

Să ne punem o întrebare: să fie dată o ecuație diferențială pentru X(t), este posibil să găsiți toate funcțiile X(t) satisfacerea acestei ecuații? Sau: dacă se cunoaște valoarea inițială a unei anumite variabile (de exemplu, dimensiunea inițială a populației, concentrația unei substanțe, conductivitatea electrică a mediului etc.) și există informații despre natura modificării acestei variabile , este posibil să prezicem care va fi valoarea sa în toate momentele ulterioare în timp? Răspunsul la întrebarea pusă este următorul: dacă sunt date condițiile inițiale și condițiile teoremei lui Cauchy sunt îndeplinite pentru ecuație (o funcție definită într-un anumit domeniu și derivata ei parțială sunt continue în acest domeniu), atunci există o soluție unică a ecuației care satisface condițiile inițiale date. (Reamintim că orice funcție continuă care satisface o ecuație diferențială se numește soluție a acelei ecuații.) Aceasta înseamnă că putem prezice în mod unic comportamentul unui sistem biologic dacă caracteristicile stării sale inițiale sunt cunoscute și ecuația model îndeplinește condițiile de teorema lui Cauchy.

Stare staționară. Durabilitate

Vom lua în considerare ecuația diferențială autonomă

Într-o stare staționară, valorile variabilelor din sistem nu se modifică în timp, adică rata de modificare a valorilor variabilelor este 0: . Dacă partea stângă a ecuației (1.2) este egală cu zero, atunci și partea dreaptă este egală cu zero: . Rădăcinile acestei ecuații algebrice sunt stări staţionare ecuația diferențială (1.2).

Exemplul 1.1: Aflați stările staționare ale ecuației.

Soluţie: Să mutăm termenul care nu conține derivata în partea dreaptă a egalității: . Prin definiție, într-o stare staționară este valabilă următoarea egalitate: . Aceasta înseamnă că egalitatea trebuie să fie satisfăcută . Rezolvam ecuatia:

,

Deci, ecuația are 3 stări staționare: , .

Sistemele biologice suferă în mod constant diverse influențe externe și numeroase fluctuații. Mai mult, ele (sistemele biologice) au homeostazie, i.e. grajd. În limbajul matematic, aceasta înseamnă că variabilele revin la valorile staționare cu mici abateri. Va reflecta modelul său matematic acest comportament al unui sistem biologic? Sunt stările staționare ale modelului stabile?

Starea de echilibru este durabil, dacă, cu o abatere suficient de mică de la poziția de echilibru, sistemul nu se deplasează niciodată departe de punctul singular. O stare staționară corespunde unui mod stabil de funcționare a sistemului.

Starea de echilibru a unei ecuații este Lyapunov stabilă dacă pentru oricare este întotdeauna posibil să se găsească astfel încât dacă , atunci pentru toate .

Există o metodă analitică pentru studierea stabilității unei stări staționare - metoda Lyapunov. Pentru a o justifica, să ne amintim formula lui Taylor.

Vorbind în mod liber, formula lui Taylor arată comportamentul unei funcții în vecinătatea unui anumit punct. Fie ca funcția să aibă derivate de toate ordinele până la n- inclusiv. Atunci formula Taylor este valabilă:

Renunțând la restul termenului , care se reprezintă ca un infinitezimal de ordin mai mare decât , obținem formula Taylor aproximativă:

Partea dreaptă a formulei aproximative se numește polinomul Taylor funcții, se notează ca .

Exemplul 1.2: Extindeți funcția într-o serie Taylor într-o vecinătate de punct până la ordinul al 4-lea.

Soluţie: Să scriem seria Taylor până la ordinul 4 în formă generală:

Să găsim derivatele funcției date în punctul:

,

Să înlocuim valorile obținute în formula originală:

Metodă analitică pentru studierea stabilității unei stări staționare ( metoda Lyapunov) este după cum urmează. Fie starea staționară a ecuației. Să setăm o mică abatere a variabilei X din valoarea sa staționară: , unde . Să înlocuim expresia punctului Xîn ecuația inițială: . Partea stângă a ecuației va lua forma: , întrucât în ​​stare staționară rata de modificare a valorii variabilei este zero: . Să extindem partea dreaptă într-o serie Taylor în vecinătatea stării staționare, ținând cont de faptul că , lăsăm doar termenul liniar în partea dreaptă a ecuației:

A primit ecuație liniarizată sau prima ecuație de aproximare. Cantitatea este o valoare constantă, să o notăm A: . Soluția generală a ecuației liniarizate are forma: . Această expresie descrie legea conform căreia abaterea pe care o specificăm de la starea staționară se va modifica în timp. Abaterea se va estompa în timp, adică. la , dacă exponentul din exponent este negativ, i.e. . Prin definiție, starea de echilibru va fi durabil. Dacă , atunci cu creșterea timpului abaterea va crește doar, starea staționară este instabil. În cazul în care ecuația primei aproximări nu poate da un răspuns la întrebarea despre stabilitatea stării staționare. Este necesar să se ia în considerare termeni de ordin superior în expansiunea seriei Taylor.

Pe lângă metoda analitică pentru studierea stabilității unei stări staționare, există și una grafică.

Exemplul 1.3. Lăsa . Găsiți stările staționare ale ecuației și determinați tipul lor de stabilitate folosind graficul funcției .

Soluţie: Să găsim puncte speciale:

,

,

Construim un grafic al funcției (Fig. 1.1).

Orez. 1.1. Graficul unei funcții (exemplul 1.3).

Să determinăm din grafic dacă fiecare dintre stările staționare găsite este stabilă. Să stabilim o uşoară abatere a punctului reprezentativ de la punctul singular la stânga: . În punctul cu coordonatele, funcția ia o valoare pozitivă: sau . Ultima inegalitate înseamnă că în timp coordonatele ar trebui să crească, adică punctul reprezentativ ar trebui să revină la punct. Acum să stabilim o ușoară abatere a punctului reprezentativ de la punctul singular la dreapta: . În această regiune, funcția păstrează o valoare pozitivă, prin urmare, în timp, coordonatele X de asemenea, crește, adică punctul reprezentativ se va îndepărta de punct. Astfel, o mică abatere scoate sistemul dintr-o stare staționară, prin urmare, prin definiție, un punct singular este instabil. Raționament similar duce la faptul că orice abatere de la punctul singular se estompează în timp, iar starea staționară este stabilă. Abaterea punctului reprezentativ în orice direcție de la starea staționară duce la îndepărtarea acestuia din punct; aceasta este o stare staționară instabilă.

Rezolvarea unui sistem de ecuații diferențiale liniare

Să trecem la studiul sistemelor de ecuații, mai întâi liniare. În general, un sistem de ecuații diferențiale liniare poate fi reprezentat astfel:

Analiza unui sistem de ecuații începe cu găsirea stărilor staționare. Sistemele de tip (1.3) au un punct singular unic, coordonatele acestuia sunt (0,0). Excepția este cazul degenerat când ecuațiile pot fi reprezentate ca:

(1.3*)

În acest caz, toate perechile care satisfac relația sunt puncte staționare ale sistemului (1.3*). În special, punctul (0,0) este de asemenea staționar pentru sistemul (1.3*). Pe planul de fază în acest caz avem o dreaptă cu un coeficient de pantă care trece prin originea coordonatelor, fiecare punct al căruia este un punct singular al sistemului (1.3*) (vezi tabelul 1.1, paragraful 6).

Principala întrebare la care ar trebui să răspundă rezultatul studierii unui sistem de ecuații este: este starea staționară a sistemului stabilă și ce caracter are această soluție (monotonă sau nemonotonă).

Decizie comună un sistem de două ecuații liniare are forma:

Numerele caracteristice poate fi exprimat prin coeficienții ecuațiilor liniare după cum urmează:

Numerele caracteristice pot fi 1) reale de semne diferite, 2) reale de același semn, 3) conjugate complexe și, de asemenea, în cazuri degenerate, 4) pur imaginare, 5) reale coincidente, 6) reale, dintre care unul (sau ambele) este egal cu zero. Aceste cazuri determină tipul de comportament al soluției unui sistem de ecuații diferențiale obișnuite. Portretele de fază corespunzătoare sunt prezentate în Tabelul 1.1.

Tabelul 1.1. Tipuri de stări staționare ale unui sistem de două ecuații diferențiale liniare și portretele de fază corespunzătoare. Săgețile arată direcția de mișcare a punctului reprezentativ

Construirea portretelor de fază și cinetice ale unui sistem de două ecuații diferențiale liniare

Planul de fază numit plan cu axe de coordonate pe care sunt trasate valorile variabilelor XȘi y, fiecărui punct al planului îi corespunde o anumită stare a sistemului. Se numește un set de puncte pe planul de fază, a căror poziție corespunde stărilor sistemului în procesul de modificare a variabilelor în timp, conform ecuațiilor date ale sistemului studiat. traiectoria fazei. Setul de traiectorii de fază pentru diferite valori inițiale ale variabilelor oferă un portret al sistemului. Constructie portret de fază vă permite să trageți concluzii despre natura modificărilor variabilelor XȘi y fără cunoașterea soluțiilor analitice ale sistemului original de ecuații.

Să considerăm un sistem de ecuații diferențiale liniare:

Începem să construim un portret de fază prin construirea izoclinele principale(izoclinul este o linie pe toată lungimea căreia panta curbei de fază (traiectorie), determinată de ecuație, rămâne constantă). Pentru un sistem de două ecuații diferențiale liniare, acestea sunt întotdeauna drepte care trec prin originea coordonatelor. Ecuația izoclinele tangentelor orizontale: . Ecuația izoclinului tangentelor verticale: . Pentru a construi în continuare portretul de fază, este util să construiți o izoclină de tangente care trec la un unghi . Pentru a găsi ecuația de izoclină corespunzătoare, este necesar să se rezolve ecuația . De asemenea, puteți găsi izocline ale tangentelor altor unghiuri folosind valori aproximative ale tangentelor unghiurilor. În construirea unui portret de fază, răspunsul la întrebarea în ce unghi ar trebui să intersecteze traiectoriile de fază cu axele de coordonate poate ajuta, de asemenea. Pentru a face acest lucru, ecuația izoclinului înlocuim egalitățile corespunzătoare (pentru a determina unghiul de intersecție cu axa OY) și (pentru a determina unghiul de intersecție cu axa OX).

Exemplul 1.4. Determinați tipul punctului singular al sistemului de ecuații liniare:

Construiți un portret de fază și cinetic al sistemului.

Soluţie: Coordonatele punctului singular sunt (0,0). Coeficienții ecuațiilor liniare sunt: ​​, , , . Să determinăm tipul de stare staționară (a se vedea secțiunea despre numerele caracteristice):

Astfel, rădăcinile caracteristice sunt imaginare: prin urmare, punctul singular al sistemului liniar luat în considerare este de tip centru (Fig. 1.2a).

Ecuația izoclinului tangentelor orizontale: , ecuația izoclinului tangentelor verticale: . La un unghi de 45°, traiectoriile sistemului intersectează o linie dreaptă .

După construirea portretului de fază, este necesar să se determine direcția de mișcare de-a lungul traiectoriilor găsite. Acest lucru se poate face după cum urmează. Să luăm un punct arbitrar pe orice traiectorie. De exemplu, pe izoclinul tangentelor orizontale (1,1). Să substituim coordonatele acestui punct în sistemul de ecuații. Să obținem expresii pentru ratele de modificare a variabilelor X,yîn acest moment:

Valorile obținute arată că rata de modificare a variabilei X– negativ, adică valoarea sa ar trebui să scadă, iar variabila y nu se schimba. Marcam direcția rezultată cu o săgeată. Astfel, în exemplul luat în considerare, mișcarea de-a lungul traiectoriilor de fază este direcționată în sens invers acelor de ceasornic. Prin înlocuirea coordonatelor diferitelor puncte în sistem, puteți obține o „hartă” a direcțiilor de viteză, așa-numita câmp vectorial.

Figura 1.2. Faza (a) și portretul cinetic (b) al sistemului, exemplu 1.4

Rețineți că pe izoclinul tangentelor orizontale variabila y atinge valoarea maximă sau minimă pe o traiectorie dată. Dimpotrivă, pe izoclinul tangentelor verticale, variabila atinge valoarea sa maximă absolută pentru traiectoria selectată X.

A construi un portret cinetic al unui sistem înseamnă a construi grafice ale dependenței valorilor variabilelor X,y din timp. Folosind portretul de fază, puteți construi unul cinetic și invers. O traiectorie de fază corespunde unei perechi de curbe cinetice. Să selectăm un punct arbitrar pe o traiectorie de fază arbitrară în portretul de fază. Acesta este punctul de plecare corespunzător momentului în timp. În funcție de direcția de mișcare în sistemul luat în considerare, valorile variabilelor X,y fie scad, fie cresc. Fie coordonatele punctului de plecare (1,1). Conform portretului de fază construit, începând din acest punct, trebuie să ne deplasăm în sens invers acelor de ceasornic, coordonate XȘi yîn același timp va scădea. În timp, coordonatele X trece prin 0, valoare y totusi ramane pozitiv. Alte coordonate XȘi y continua să scadă, coordonează y trece prin 0 (valoare X oricum negative). Magnitudinea X atinge o valoare minimă pe izoclinul tangentelor verticale, apoi începe să crească. Magnitudinea y atinge valoarea minimă pe izoclinul tangentelor orizontale (valoare X negativ în acest moment). Mai mult, amploarea X, și magnitudinea y crește, revenind la valorile inițiale (Fig. 1.2b).

Studiul stabilității stărilor staționare ale sistemelor neliniare de ordinul doi

Să fie descris un sistem biologic printr-un sistem de două ecuații diferențiale autonome de ordinul doi de formă generală:

Valorile staționare ale variabilelor de sistem sunt determinate din ecuații algebrice:

În vecinătatea fiecărei stări staționare putem lua în considerare sistem de primă aproximare(sistem liniarizat), al cărui studiu poate răspunde la întrebarea despre stabilitatea unui punct singular și natura traiectoriilor de fază în vecinătatea sa mică.

In afara

Avem ... punctul special este dur. Rădăcinile caracteristice ale primului sistem de aproximare sunt egale cu , ambele sunt reale și negative, prin urmare, în vecinătatea punctului singular zero, comportamentul traiectoriilor de fază ale sistemului va corespunde tipului de nod stabil.

Introducere

Deoarece conceptul de sistem dinamic neliniar este suficient de bogat pentru a acoperi o gamă extrem de largă de procese în care comportamentul viitor al sistemului este determinat de trecut, metodele de analiză dezvoltate în acest domeniu sunt utile într-o mare varietate de contexte.

Dinamica neliniară intră în literatură în cel puțin trei moduri. În primul rând, există cazuri în care datele experimentale despre cursul în timp a uneia sau mai multor cantități sunt colectate și analizate folosind tehnici bazate pe teoria dinamică neliniară, cu ipoteze minime despre ecuațiile subiacente care guvernează procesul care produce datele. Adică, este un caz în care se caută să găsească corelații în datele care pot ghida dezvoltarea unui model matematic, mai degrabă decât să se ghicească mai întâi modelul și apoi să-l compare cu datele.

În al doilea rând, există cazuri în care teoria dinamică neliniară poate fi folosită pentru a argumenta că un model simplificat ar trebui să demonstreze caracteristici importante ale unui sistem dat, ceea ce implică faptul că un model descriptiv poate fi construit și studiat pe o gamă largă de parametri. Acest lucru duce adesea la modele care se comportă calitativ diferit în funcție de parametri diferiți și demonstrează că o regiune prezintă un comportament destul de similar cu cel observat în sistemul real. În multe cazuri, comportamentul unui model este destul de sensibil la modificările parametrilor, așa că dacă parametrii modelului pot fi măsurați într-un sistem real, modelul prezintă un comportament realist la acele valori și se poate fi sigur că modelul a captat. caracteristicile esențiale ale sistemului.

În al treilea rând, există cazuri în care ecuațiile modelului sunt construite pe baza descrierilor detaliate ale fizicii cunoscute. Experimentele numerice pot furniza apoi informații despre variabilele care nu sunt disponibile experimentelor fizice.

Pe baza celei de-a doua căi, această lucrare este o extensie a lucrării mele anterioare „Modelul dinamic neliniar al industriilor interdependente”, precum și a altor lucrări (Dmitriev, 2015)

Toate definițiile necesare și alte informații teoretice necesare în lucrare vor apărea în primul capitol, după cum este necesar. Aici vor fi date două definiții care sunt necesare pentru a dezvălui tema de cercetare în sine.

Mai întâi, să definim dinamica sistemului. Conform unei definiții, dinamica sistemului este o abordare de modelare prin simulare care, datorită metodelor și instrumentelor sale, ajută la evaluarea structurii sistemelor complexe și a dinamicii acestora (Shterman). Merită adăugat că dinamica sistemului este, de asemenea, o metodă de modelare care este folosită pentru a recrea modele computerizate corecte (din punct de vedere al preciziei) pentru sisteme complexe pentru utilizarea lor ulterioară în scopul creării unei companii/organizații mai eficiente, precum și a îmbunătățirii metodelor de interacțiunea cu acest sistem. Nevoia de dinamică a sistemului apare în primul rând atunci când ne confruntăm cu modele strategice pe termen lung și, de asemenea, merită remarcat faptul că este destul de abstractă.

Când vorbim despre dinamica diferențială neliniară, vom lua în considerare un sistem neliniar, care prin definiție este un sistem în care modificarea ieșirii nu este proporțională cu modificarea parametrilor de intrare și în care funcția descrie dependența schimbării în timpul și poziția unui punct în spațiu (Boeing, 2016).

Pe baza definițiilor de mai sus, devine clar că această lucrare va lua în considerare diverse sisteme diferențiale neliniare care descriu interacțiunea companiilor, precum și modele de simulare construite pe baza acestora. Pe baza acesteia se va stabili scopul lucrării.

Astfel, scopul acestei lucrări este de a efectua o analiză calitativă a sistemelor dinamice care descriu interacțiunea companiilor, la o primă aproximare, și de a construi un model de simulare pe baza acestora.

Pentru atingerea acestui obiectiv au fost identificate următoarele sarcini:

Determinarea stabilității sistemului.

Construirea portretelor de fază.

Găsirea traiectoriilor integrale ale sistemelor.

Construirea modelelor de simulare.

Fiecare dintre aceste sarcini va fi dedicată uneia dintre secțiunile fiecărui capitol al lucrării.

Pe baza practicii, construirea structurilor matematice fundamentale care modelează eficient dinamica în diverse sisteme și procese fizice indică faptul că modelul matematic corespunzător reflectă într-o oarecare măsură apropierea de originalul studiat, când trăsăturile sale caracteristice pot fi derivate din proprietățile și structuri din tipul de mişcare care formează dinamica sistemului. Astăzi, știința economică se află într-o etapă de dezvoltare în care folosește în mod deosebit de eficient metode și metode noi și, în multe cazuri, nestandardizate de modelare fizică și matematică a proceselor economice. De aici rezultă concluzia despre necesitatea de a crea, studia și construi modele care pot descrie într-un fel situația economică.

În ceea ce privește motivul alegerii analizei calitative și nu cantitative, este de remarcat faptul că, în marea majoritate a cazurilor, rezultatele și concluziile din analiza calitativă a sistemelor dinamice se dovedesc a fi mai semnificative decât rezultatele analizei lor cantitative. Într-o astfel de situație, se cuvine să subliniem declarațiile lui V.P. Milovanov, în care susține că se crede în mod tradițional că rezultatele așteptate la aplicarea metodelor matematice pentru analizarea obiectelor reale ar trebui reduse la un rezultat numeric. În acest sens, metodele calitative au o sarcină ușor diferită. Se concentrează pe obținerea unui rezultat care descrie calitatea sistemului, pe căutarea trăsăturilor caracteristice ale tuturor fenomenelor în ansamblu și pe prognoză. Desigur, este important să înțelegem cum se va schimba cererea atunci când prețurile pentru un anumit tip de mărfuri se schimbă, dar nu trebuie să uităm că este mult mai important să înțelegem dacă în astfel de condiții va exista un deficit sau un surplus al acestor bunuri ( Dmitriev, 2016).

Obiectul acestui studiu este diferenţialul neliniar şi dinamica sistemului.

În acest caz, subiectul studiului este o descriere a procesului de interacțiune dintre companii prin diferențial neliniar și dinamica sistemului.

Vorbind despre aplicarea practică a cercetării, merită să o împărțim imediat în două părți. Și anume cea teoretică, adică analiza calitativă a sistemelor, și cea practică, care va avea în vedere construcția modelelor de simulare.

Partea teoretică a acestui studiu oferă concepte și fenomene de bază. Ea are în vedere sisteme diferențiale simple, ca în lucrările multor alți autori (Teschl, 2012; Nolte, 2015), dar în același timp ne permite să descriem interacțiunea dintre companii. Pe baza acestui fapt, în viitor, va fi posibil să efectuați cercetări mai aprofundate sau să vă începeți cunoștințele cu ce este analiza calitativă a sistemelor.

Partea practică a lucrării poate fi folosită pentru a crea un sistem de sprijinire a deciziilor. Un sistem de susținere a deciziilor este un sistem informatic automat care vizează sprijinirea luării deciziilor în afaceri sau organizaționale, permițând alegeri între multe alternative diferite (Keen, 1980). Este posibil ca modelele să nu fie foarte precise în acest moment, dar schimbându-le pentru o anumită companie, puteți obține rezultate mai precise. Astfel, atunci când schimbați diverși parametri și condiții care pot apărea pe piață, puteți obține o anumită prognoză pentru viitor și puteți lua în avans o decizie mai profitabilă.

1. Interacțiunea companiilor în condiții de mutualism

Lucrarea va prezenta sisteme bidimensionale care sunt destul de simple în comparație cu sistemele de ordin superior, dar în același timp ne permit să demonstrăm relațiile dintre organizații de care avem nevoie.

Merită să începeți munca prin alegerea tipului de interacțiune, care va fi descris în viitor, deoarece pentru fiecare dintre tipurile sistemele care le descriu sunt, deși ușor, diferite. Figura 1.1 prezintă clasificarea lui Yujima Odum pentru interacțiunea populațiilor modificate pentru interacțiunea economică (Odum, 1968), pe baza căreia vom analiza în continuare interacțiunea companiilor.

Figura 1.1. Tipuri de interacțiune între întreprinderi

Pe baza figurii 1.1, vom evidenția 4 tipuri de interacțiuni și vom prezenta pentru fiecare dintre ele un sistem de ecuații care le descriu, pe baza modelului Malthus (Malthus, 1798). Potrivit acesteia, rata de creștere este proporțională cu abundența actuală a speciei, cu alte cuvinte, poate fi descrisă prin următoarea ecuație diferențială:

unde a este un anumit parametru în funcție de creșterea naturală a populației. De asemenea, merită adăugat că, în sistemele considerate mai jos, toți parametrii, precum și variabilele, iau valori nenegative.

Producția de materii prime - producția de produse, care este similară cu modelul prădător-pradă. Modelul prădător-pradă, cunoscut și sub denumirea de model Lotka-Volterra, este o pereche de ecuații diferențiale neliniare de ordinul întâi care descriu dinamica unui sistem biologic cu două specii, dintre care una este prădători și cealaltă pradă (Llibre, 2007). ). Modificarea abundenței acestor specii este descrisă de următorul sistem de ecuații:

(1.2)

unde - caracterizează creșterea producției primei întreprinderi fără influența celei de-a doua (în cazul modelului prădător-pradă, creșterea populației de pradă fără prădători),

Caracterizează creșterea producției celei de-a doua întreprinderi fără influența primei (creșterea populației de prădători fără victime),

Caracterizează creșterea producției primei întreprinderi, ținând cont de influența celei de-a doua asupra acesteia (creșterea numărului de victime atunci când interacționează cu prădătorii),

Caracterizează creșterea producției celei de-a doua întreprinderi, ținând cont de influența primei asupra acesteia (o creștere a numărului de prădători în timpul interacțiunii lor cu prada).

În primul rând, prădătorul, așa cum se poate vedea din sistem, precum și din clasificarea lui Odum, interacțiunea lor are un efect benefic. Nefavorabil pentru altul. Dacă îl luăm în considerare în realitățile economice, atunci, așa cum se poate observa în figură, cel mai simplu analog este producătorul și furnizorul său de resurse, care corespund prădtorului și, respectiv, pradei. Astfel, în absența materiilor prime, producția scade exponențial.

Concurența este rivalitatea între două sau mai multe (în cazul nostru avem în vedere sisteme bidimensionale, deci luăm concurență cu două specii) specii, grupuri economice pentru teritorii, resurse limitate sau alte valori (Elton, 1968). Schimbările în numărul de specii sau cantitatea de producție în cazul nostru sunt descrise de sistemul de mai jos:

(1.3)

În acest caz, speciile sau companiile care produc un produs se afectează negativ reciproc. Adică, în absența unui concurent, creșterea produselor va crește exponențial.

Acum să trecem la o relație simbiotică în care ambele întreprinderi au o influență pozitivă una asupra celeilalte. În primul rând, să ne uităm la mutualism. Mutualismul este un tip de relație între diferite specii în care fiecare dintre ele beneficiază de acțiunile celeilalte și este de remarcat faptul că prezența unui partener este o condiție necesară pentru existență (Thompson, 2005). Acest tip de relație este descris de sistem:

(1.4)

Întrucât interacțiunea între companii este necesară pentru existența acestora, în absența unui produs de la o companie, producția de bunuri de la alta scade exponențial. Acest lucru este posibil atunci când companiile pur și simplu nu au alte alternative de achiziție.

Să luăm în considerare un alt tip de interacțiune simbiotică, protocooperarea. Proto-cooperarea este similară cu mutualismul, cu singura excepție că nu este nevoie de un partener, deoarece, de exemplu, există și alte alternative. Deoarece sunt similare, sistemele lor arată aproape similar între ele:

(1.5)

Astfel, lipsa unui produs al unei companii nu împiedică creșterea produsului alteia.

Desigur, pe lângă cele enumerate la punctele 3 și 4, pot fi remarcate și alte tipuri de relații simbiotice: comensalism și amensalism (Hanski, 1999). Dar ele nu vor fi menționate mai departe, deoarece în comensalism unul dintre parteneri este indiferent față de interacțiunea sa cu celălalt și încă luăm în considerare cazurile în care există o influență. Dar amensalismul nu este luat în considerare, deoarece din punct de vedere economic, astfel de relații, atunci când interacțiunea lor dăunează uneia și este indiferentă față de celălalt, pur și simplu nu pot exista.

Pe baza influenței companiilor unul asupra celuilalt, și anume că relațiile simbiotice duc la coexistența durabilă a companiilor, această lucrare va lua în considerare doar cazuri de mutualism și proto-cooperare, întrucât în ​​ambele cazuri interacțiunea este benefică pentru toată lumea.

Acest capitol este dedicat interacțiunii companiilor în condiții de mutualism. Se va lua în considerare două sisteme care sunt dezvoltări ulterioare ale sistemelor bazate pe modelul Malthus, și anume sisteme cu restricții impuse privind creșterea producției.

Dinamica unui cuplu conectat printr-o relație mutualistă, așa cum am menționat mai sus, poate fi descrisă într-o primă aproximare de către sistem:

(1.6)

Se poate observa că, cu o cantitate inițială mare de producție, sistemul crește fără limită, iar cu o cantitate mică, producția scade. Aceasta este incorectitudinea descrierii biliniare a efectului care apare în timpul mutualismului. Pentru a încerca să corectăm imaginea, introducem un factor care amintește de saturația unui prădător, adică un factor care va reduce rata de creștere a producției dacă există un exces al acesteia. În acest caz ajungem la următorul sistem:

(1.7)

unde este creșterea producției de produs a primei companii în timpul interacțiunii sale cu a doua, ținând cont de saturație,

Creșterea producției de produs a celei de-a doua companii în timpul interacțiunii sale cu prima, ținând cont de saturație,

Coeficienții de saturație.

Astfel, avem două sisteme: modelul de creștere malthusian cu și fără saturație.

1.1 Stabilitatea sistemelor ca primă aproximare

Stabilitatea sistemelor ca primă aproximare este considerată în multe lucrări străine (Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogatz, 2001 și alții) și în limba rusă (Akhromeeva, 1992; Bellman, 1954; Demidovich, 1967; Krasovsky, 1959 și alții), iar definirea sa este un pas de bază pentru analiza proceselor care au loc în sistem. Pentru a face acest lucru, vom efectua următorii pași necesari:

Să găsim punctele de echilibru.

Să găsim matricea jacobiană a sistemului.

Să găsim valorile proprii ale matricei Jacobi.

Clasificăm punctele de echilibru folosind teorema lui Lyapunov.

După ce am analizat pașii, merită să aruncăm o privire mai atentă la explicația lor, așa că voi da definiții și voi descrie metodele pe care le vom folosi în fiecare dintre acești pași.

Primul pas este găsirea punctelor de echilibru. Pentru a le găsi, echivalăm fiecare funcție cu zero. Adică rezolvăm sistemul:

unde a și b înseamnă toți parametrii ecuației.

Următorul pas este căutarea matricei jacobiane. În cazul nostru, va fi o matrice 2 cu 2 cu derivate prime la un moment dat, după cum se arată mai jos:

După parcurgerea primilor doi pași, trecem la găsirea rădăcinilor următoarei ecuații caracteristice:

Unde punctul corespunde punctelor de echilibru găsite în prima etapă.

După ce am găsit și , trecem la pasul al patrulea și folosim următoarele teoreme Lyapunov (Parks, 1992):

Teorema 1: Dacă toate rădăcinile ecuației caracteristice au o parte reală negativă, atunci punctul de echilibru corespunzător sistemului original și liniarizat este asimptotic stabil.

Teorema 2: Dacă cel puțin una dintre rădăcinile ecuației caracteristice are o parte reală pozitivă, atunci punctul de echilibru corespunzător sistemului original și liniarizat este asimptotic instabil.

De asemenea, uitându-se la și este posibil să se determine mai precis tipul de stabilitate, pe baza diviziunii prezentate în Figura 1.2 (Universitatea Lamar).

Figura 1.2. Tipuri de stabilitate a punctelor de echilibru

Având în vedere informațiile teoretice necesare, să trecem la analiza sistemelor.

Luați în considerare un sistem fără saturație:

Este foarte simplu și nu este potrivit pentru utilizare practică deoarece nu are limitări. Dar, ca prim exemplu de analiză a sistemului, este potrivit pentru luare în considerare.

Mai întâi, să găsim punctele de echilibru echivalând laturile din dreapta ecuațiilor cu zero. Astfel, găsim două puncte de echilibru, să le numim A și B: .

Să combinăm pasul cu căutarea matricei jacobiene, rădăcinile ecuației caracteristice și determinarea tipului de stabilitate. Deoarece sunt elementare, primim imediat răspunsul:

1. În punctul , , există un nod stabil.

La punctul: şa.

După cum am scris deja, acest sistem este prea banal, așa că nu a fost necesară nicio explicație.

Acum să analizăm sistemul din saturație:

(1.9)

Apariția restricțiilor privind saturarea reciprocă a produselor între întreprinderi ne aduce mai aproape de imaginea reală a ceea ce se întâmplă și, de asemenea, complică ușor sistemul.

Ca și înainte, echivalăm părțile din dreapta ale sistemului cu zero și rezolvăm sistemul rezultat. Punctul a rămas neschimbat, dar celălalt punct în acest caz conține mai mulți parametri decât înainte: .

În acest caz, matricea jacobiană ia următoarea formă:

Să scădem din ea matricea de identitate înmulțită cu , și să echivalăm determinantul matricei rezultate în punctele A și B la zero.

Într-un punct similar cu imaginea anterioară:

Nod stabil.

Dar la punctul totul este ceva mai complicat și, deși matematica este încă destul de simplă, complexitatea face incomod să lucrezi cu expresii cu litere lungi. Deoarece valorile se dovedesc a fi destul de lungi și dificil de scris, ele nu sunt date; este suficient să spunem că în acest caz, ca și în cazul sistemului anterior, tipul de stabilitate rezultat este o șa.

Portrete în 2 faze ale sistemelor

Marea majoritate a modelelor dinamice neliniare sunt ecuații diferențiale complexe care fie nu pot fi rezolvate, fie sunt oarecum dificil de rezolvat. Un exemplu ar fi sistemul din secțiunea anterioară. În ciuda simplității sale aparente, găsirea tipului de sustenabilitate în al doilea punct de echilibru nu a fost ușoară (chiar dacă nu din punct de vedere matematic), iar odată cu creșterea parametrilor, restricțiilor și ecuațiilor pentru creșterea numărului de întreprinderi care interacționează, complexitatea va crește. Desigur, dacă parametrii sunt expresii numerice, atunci totul va deveni incredibil de simplu, dar atunci analiza își va pierde într-un fel orice sens, pentru că în cele din urmă, vom putea găsi puncte de echilibru și vom afla doar tipurile lor de stabilitate. pentru un caz anume, nu pentru cel general.

În astfel de cazuri, merită să ne amintim planul de fază și portretele de fază. În matematica aplicată, în special în contextul analizei sistemelor neliniare, planul de fază este o reprezentare vizuală a anumitor caracteristici ale anumitor tipuri de ecuații diferențiale (Nolte, 2015). Un plan de coordonate cu axe ale valorilor oricărei perechi de variabile care caracterizează starea sistemului este un caz bidimensional al unui spațiu general de fază n-dimensional.

Datorită planului de fază, este posibilă determinarea grafică a existenței ciclurilor limită în soluțiile unei ecuații diferențiale.

Soluțiile unei ecuații diferențiale sunt o familie de funcții. Grafic, aceasta poate fi reprezentată în planul de fază ca un câmp vectorial bidimensional. Vectorii sunt desenați pe plan, reprezentând derivate în puncte caracteristice față de un parametru, în cazul nostru, timpul, adică (). Cu suficiente din aceste săgeți într-o zonă, comportamentul sistemului poate fi vizualizat și ciclurile limită pot fi ușor identificate (Boeing, 2016).

Un câmp vectorial este un portret de fază; o anumită cale de-a lungul unei linii de flux (adică o cale întotdeauna tangentă la vectori) este o cale de fază. Fluxurile dintr-un câmp vectorial indică schimbarea unui sistem în timp, descrisă de o ecuație diferențială (Iordan, 2007).

Este de remarcat faptul că un portret de fază poate fi construit chiar și fără a rezolva o ecuație diferențială și, în același timp, o bună vizualizare poate oferi o mulțime de informații utile. În plus, în zilele noastre există multe programe care pot ajuta la construirea diagramelor de fază.

Astfel, planurile de fază sunt utile pentru vizualizarea comportamentului sistemelor fizice. În special, sistemele oscilatoare, cum ar fi modelul prădător-pradă deja menționat mai sus. În aceste modele, traiectorii de fază se pot „învârti” spre zero, „să se învârtă” spre infinit sau să ajungă la o situație neutră, stabilă, numită centre. Acest lucru este util pentru a determina dacă dinamica este stabilă sau nu (Iordan, 2007).

Portretele de fază prezentate în această secțiune vor fi construite folosind instrumentele WolframAlpha sau furnizate din alte surse. Model de creștere malthusian fără saturație.

Să construim un portret de fază al primului sistem cu trei seturi de parametri pentru a le compara comportamentul. Setul A ((1,1), (1,1)), care va fi numit în continuare setul de unități, setul B ((10,0.1), (2,2)), atunci când este ales, o scădere bruscă a producției este observate în sistem și setul C ((1,10), (1,10)), în care, dimpotrivă, are loc o creștere bruscă și nelimitată. Este de remarcat faptul că valorile de-a lungul axelor în toate cazurile vor fi în aceleași intervale de la -10 la 10, pentru comoditatea comparării diagramelor de fază între ele. Desigur, acest lucru nu se aplică unui portret de înaltă calitate al unui sistem ale cărui axe sunt fără dimensiuni.

Figura 1.3 Portret de fază cu parametrii A

ecuația limită diferențială a mutualismului

Figura 1.3 prezentată mai sus demonstrează portretele de fază ale sistemului pentru cele trei seturi specificate de parametri, precum și un portret de fază care descrie comportamentul calitativ al sistemului. Nu uitați că cel mai important din punct de vedere practic este primul trimestru, deoarece cantitatea de producție, care poate fi doar nenegativă, este axele noastre.

În fiecare dintre figuri, stabilitatea la punctul de echilibru (0,0) este clar vizibilă. Și în prima figură, o „șa” este de asemenea vizibilă la punctul (1,1), cu alte cuvinte, dacă înlocuiți valorile unui set de parametri în sistem, atunci la punctul de echilibru B. Când limitele modelului sunt modificate, punctul de șa se găsește și în alte portrete de fază.

Model malthusian de creștere din saturație.

Să construim diagrame de fază pentru al doilea sistem, în care este prezentă saturația, cu trei noi seturi de valori ale parametrilor. Setul A, ((0,1,15,100), (0,1,15,100)), setul B ((1,1,0,5), (1, 1,0,5)) și setul C ((20,1,100), (20,1,100) )).

Figura 1.4. Portret de fază cu parametrii A

După cum puteți vedea, pentru orice set de parametri, punctul (0,0) este un punct de echilibru și, de asemenea, stabil. De asemenea, în unele imagini se vede un punct de șa.

În acest caz, au fost luate în considerare diferite scale pentru a demonstra mai clar că, chiar și atunci când un factor de saturație este adăugat la sistem, imaginea calitativă nu se schimbă, adică saturația singură nu este suficientă. Este necesar să se țină cont de faptul că, în practică, companiile au nevoie de stabilitate, adică dacă luăm în considerare ecuațiile diferențiale neliniare, atunci suntem cel mai interesați de punctele de echilibru stabile, iar în aceste sisteme, astfel de puncte sunt doar zero, ceea ce înseamnă că astfel de modelele matematice nu sunt în mod clar potrivite pentru întreprinderi. La urma urmei, asta înseamnă că doar cu producția zero sunt companiile sustenabile, ceea ce este clar diferit de imaginea reală a lumii.

În matematică, o curbă integrală este o curbă parametrică care reprezintă o soluție specifică a unei ecuații diferențiale obișnuite sau a unui sistem de ecuații (Lang, 1972). Dacă o ecuație diferențială este reprezentată ca un câmp vectorial, atunci curbele integrale corespunzătoare sunt tangente la câmp în fiecare punct.

Curbele integrale sunt cunoscute și sub alte denumiri, în funcție de natura și interpretarea ecuației diferențiale sau a câmpului vectorial. În fizică, curbele integrale pentru un câmp electric sau câmp magnetic sunt cunoscute sub numele de linii de câmp, iar curbele integrale pentru un câmp de viteză a fluidului sunt cunoscute sub numele de linii de curent. În sistemele dinamice, curbele integrale pentru o ecuație diferențială se numesc traiectorii.

Figura 1.5. Curbe integrale

Soluțiile oricăruia dintre sisteme pot fi considerate și ecuații ale curbelor integrale. Este evident că fiecare traiectorie de fază este o proiecție a unei curbe integrale în spațiul x, y, t pe planul de fază.

Există mai multe metode pentru a construi curbe integrale.

Una dintre ele este metoda izoclinei. Un izoclin este o curbă care trece prin puncte în care panta funcției în cauză va fi întotdeauna aceeași, indiferent de condițiile inițiale (Hanski, 1999).

Este adesea folosită ca metodă grafică pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite. De exemplu, într-o ecuație de forma y"= f(x, y), izoclinele sunt drepte pe planul (x, y) obținute prin echivalarea f (x, y) cu o constantă. Aceasta dă o serie de drepte ( pentru diferite constante) de-a lungul cărora curbele soluțiile au același gradient.Prin calculul acestui gradient pentru fiecare izoclină, se poate vizualiza câmpul pantei, făcând relativ ușor să se tragă curbe de soluție aproximative.Figura de mai jos prezintă un exemplu de utilizare a metoda izoclinului.

Figura 1.6. Metoda izoclinului

Această metodă nu necesită calcule computerizate și a fost foarte populară în trecut. Acum există soluții software care pot construi curbe integrale pe computere extrem de precis și rapid. Cu toate acestea, chiar și așa, metoda izoclinei s-a dovedit a fi un instrument pentru studierea comportării soluțiilor, deoarece permite să se arate zonele de comportare tipică a curbelor integrale.

Model de creștere malthusian fără saturație.

Să începem cu faptul că, în ciuda existenței diferitelor metode de construcție, afișarea curbelor integrale ale unui sistem de ecuații nu este atât de ușoară. Metoda izoclinei menționată mai devreme nu este potrivită deoarece funcționează pentru ecuații diferențiale de ordinul întâi. Dar instrumentele software care au capacitatea de a construi astfel de curbe nu sunt disponibile public. De exemplu, Wolfram Mathematica, care este capabil de acest lucru, este plătit. Prin urmare, vom încerca să profităm la maximum de capacitățile Wolfram Alpha, munca cu care este descrisă în diverse articole și lucrări (Orca, 2009). Chiar dacă imaginea nu va fi în mod evident pe deplin de încredere, cel puțin va face posibilă arătarea dependenței în planurile (x,t), (y,t). Mai întâi, să rezolvăm fiecare dintre ecuațiile pentru t. Adică, vom deriva dependența fiecăreia dintre variabile în raport cu timpul. Pentru acest sistem obținem:

(1.10)

(1.11)

Ecuațiile sunt simetrice, așa că vom lua în considerare doar una dintre ele și anume x(t). Fie constanta egală cu 1. În acest caz, vom folosi funcția de reprezentare grafică.

Figura 1.7. Model tridimensional pentru ecuația (1.10)

Model malthusian de creștere din saturație.

Să facem pași similari pentru celălalt model. În cele din urmă, obținem două ecuații care demonstrează dependența variabilelor de timp.

(1.12)

(1.13)

Să construim din nou un model tridimensional și linii de nivel.

Figura 1.8. Model tridimensional pentru ecuația (1.12)

Deoarece valorile variabilelor sunt nenegative, atunci în fracția cu exponent obținem un număr negativ. Astfel, în timp, curba integrală scade.

Anterior, a fost dată o definiție a dinamicii sistemului pentru a înțelege esența lucrării, dar acum ne vom opri mai detaliat asupra acestui lucru.

Dinamica sistemului este o metodologie și o metodă de modelare matematică pentru formarea, înțelegerea și discutarea problemelor complexe, dezvoltată inițial în anii 1950 de Jay Forrester și descrisă în lucrarea sa (Forrester, 1961).

Dinamica sistemului este un aspect al teoriei sistemelor ca metodă de înțelegere a comportamentului dinamic al sistemelor complexe. Baza metodei este recunoașterea faptului că structura oricărui sistem constă din numeroase relații între componentele sale, care sunt adesea la fel de importante în determinarea comportamentului său ca și componentele individuale. Exemple sunt teoria haosului și dinamica socială, descrise în lucrările diverșilor autori (Grebogi, 1987; Sontag, 1998; Kuznetsov, 2001; Tabor, 2001). Se mai susține că, deoarece proprietățile întregului nu pot fi găsite adesea în proprietățile elementelor, în unele cazuri comportamentul întregului nu poate fi explicat în termeni de comportament al părților.

Simularea poate arăta cu adevărat semnificația practică a unui sistem dinamic. Deși acest lucru este posibil în foile de calcul, există multe pachete software care au fost optimizate special pentru acest scop.

Simularea în sine este procesul de creare și analiză a unui prototip al unui model fizic pentru a prezice performanța acestuia în lumea reală. Modelarea prin simulare este folosită pentru a ajuta proiectanții și inginerii să înțeleagă în ce condiții și când un proces este probabil să eșueze și ce sarcini poate rezista (Hemdi, 2007). Modelarea poate ajuta, de asemenea, la prezicerea comportamentului fluxurilor de fluide și a altor fenomene fizice. Modelul analizează condițiile aproximative de funcționare folosind software-ul de simulare (Strogalev, 2008).

Limitările capacităților de simulare au o cauză comună. Construirea și calculul numeric al unui model exact garantează succesul doar în acele domenii în care există o teorie cantitativă exactă, adică atunci când ecuațiile care descriu anumite fenomene sunt cunoscute, iar sarcina este pur și simplu să rezolvi aceste ecuații cu acuratețea necesară. În zonele în care teoria cantitativă nu există, construirea unui model precis are o valoare limitată (Bazykin, 2003).

Cu toate acestea, posibilitățile de modelare nu sunt nelimitate. În primul rând, acest lucru se datorează faptului că este dificil să se evalueze sfera de aplicabilitate a unui model de simulare, în special, perioada de timp pentru care se poate construi o prognoză cu acuratețea necesară (Legea, 2006). În plus, prin natura sa, un model de simulare este legat de un anumit obiect, iar atunci când încearcă să-l aplice unui alt obiect, chiar similar, necesită ajustări radicale sau modificări cel puțin semnificative.

Există un motiv general pentru existența unor limitări ale modelării prin simulare. Construcția și calculul numeric al unui model „exact” are succes numai dacă există o teorie cantitativă, adică numai dacă toate ecuațiile sunt cunoscute, iar problema se reduce doar la rezolvarea acestor ecuații cu o anumită acuratețe (Bazykin, 2003) .

Dar chiar și în ciuda acestui fapt, modelarea prin simulare este un mijloc excelent de vizualizare a proceselor dinamice, permițând, cu un model mai mult sau mai puțin corect, să se ia decizii pe baza rezultatelor acestuia.

În această lucrare, modelele de sistem vor fi construite folosind instrumente de dinamică a sistemului oferite de programul AnyLogic.

Model de creștere malthusian fără saturație/

Înainte de a construi un model, este necesar să luăm în considerare elementele de dinamică a sistemului pe care le vom folosi și să le raportăm la sistemul nostru. Următoarele definiții au fost preluate din ajutorul AnyLogic.

Acumulatorul este elementul principal al diagramelor de dinamică a sistemului. Ele sunt folosite pentru a reprezenta obiecte din lumea reală în care se acumulează anumite resurse: bani, substanțe, număr de grupuri de oameni, anumite obiecte materiale etc. Acumulatoarele reflectă starea statică a sistemului simulat, iar valorile acestora se modifică în timp în funcție de fluxurile existente în sistem. Rezultă că dinamica sistemului este determinată de fluxuri. Fluxurile de intrare și de ieșire din acumulator cresc sau scad valorile acumulatorului.

Fluxul, precum și dispozitivul de stocare menționat mai sus, este elementul principal al diagramelor dinamice ale sistemului.

În timp ce acumulatorii definesc partea statică a sistemului, firele de execuție determină rata de modificare a valorilor acumulatorilor, adică modul în care se produc modificările stocurilor în timp și determină astfel dinamica sistemului.

Agentul poate conține variabile. Variabilele sunt utilizate de obicei pentru a modela caracteristicile în schimbare ale unui agent sau pentru a stoca rezultatul unui model. De obicei variabilele dinamice constau din funcții de acumulator.

Un agent poate avea parametri. Parametrii sunt adesea folosiți pentru a reprezenta unele caracteristici ale unui obiect modelat. Ele sunt utile atunci când instanțe de obiecte au același comportament descris în clasă, dar diferă în anumite valori ale parametrilor. Există o diferență clară între variabile și parametri. Variabila reprezintă starea modelului și se poate modifica în timpul simulării. Parametrul este de obicei folosit pentru a descrie static obiecte. În timpul unei „execuții” a modelului, parametrul este de obicei o constantă și este schimbat doar atunci când este necesară reconfigurarea comportamentului modelului.

O conexiune este un element de dinamică a sistemului utilizat pentru a determina dependența dintre elementele unei diagrame de flux și de unitate.Nu creează conexiuni automat, ci obligă utilizatorul să le deseneze în mod explicit într-un editor grafic (cu toate acestea, este de remarcat faptul că AnyLogic acceptă, de asemenea, un mecanism pentru stabilirea rapidă a conexiunilor lipsă). De exemplu, dacă orice element A este menționat în ecuația sau valoarea inițială a elementului B, atunci trebuie mai întâi să conectați aceste elemente cu o legătură care merge de la A la B și abia apoi introduceți expresia în proprietățile lui B.

Există și alte elemente ale dinamicii sistemului, dar ele nu vor fi utilizate în cursul acestei lucrări, așa că le vom omite.

În primul rând, să luăm în considerare în ce va consta modelul sistemului (1.4).

În primul rând, marchem imediat două unități care vor conține valorile cantității de produse ale fiecărei întreprinderi.

În al doilea rând, deoarece avem doi termeni în fiecare ecuație, obținem două fluxuri către fiecare unitate, unul de intrare, celălalt de ieșire.

În al treilea rând, să trecem la variabile și parametri. Există doar două variabile. X și Y, responsabili pentru creșterea produsului. Avem și patru parametri.

În al patrulea rând, în ceea ce privește conexiunile, fiecare dintre fluxuri trebuie să fie asociat cu variabilele și parametrii incluși în ecuația debitului, iar ambele variabile trebuie să aibă o legătură cu acumulatori pentru a modifica valoarea în timp.

Vom lăsa o descriere detaliată a construirii unui model, ca exemplu de lucru în mediul de modelare AnyLogic, pentru următorul sistem, deoarece este ceva mai complex și utilizează mai mulți parametri, și vom trece imediat la luarea în considerare a versiunii finite a sistemul.

Mai jos în Figura 1.9 este prezentat modelul construit:

Figura 1.9. Model de dinamică a sistemului pentru sistem (1.4)

Toate elementele dinamicii sistemului corespund celor descrise mai sus, i.e. două unități, patru fluxuri (două de intrare, două de ieșire), patru parametri, două variabile dinamice și conexiunile necesare.

Figura arată că cu cât mai multe produse, cu atât creșterea sa mai puternică, ceea ce duce la o creștere bruscă a numărului de mărfuri, ceea ce corespunde sistemului nostru. Dar, după cum sa spus mai devreme, lipsa restricțiilor asupra acestei creșteri nu permite aplicarea în practică a acestui model.

Model malthusian de creștere din saturație/

Având în vedere acest sistem, ne vom opri mai detaliat asupra construcției modelului.

Primul pas este să adăugați două unități, să le numim X_stock și Y_stock. Să atribuim fiecăruia dintre ele o valoare inițială de 1. Rețineți că, în absența firelor, nu există nimic în ecuația acumulatorului definită clasic.

Figura 1.10. Construirea unui model de sistem (1.9)

Următorul pas este adăugarea de fire. Să construim un flux de intrare și de ieșire pentru fiecare unitate folosind un editor grafic. Nu trebuie să uităm că una dintre marginile fluxului trebuie să fie în unitate, altfel nu vor fi conectate.

Puteți vedea că ecuația pentru unitate a fost setată automat; desigur, utilizatorul o poate scrie el însuși selectând modul de ecuație „liber”, dar cel mai simplu mod este să lăsați această acțiune în seama programului.

Al treilea pas este să adăugăm șase parametri și două variabile dinamice. Să dăm fiecărui element un nume în conformitate cu expresia sa literală în sistem și, de asemenea, să setăm valorile inițiale ale parametrilor după cum urmează: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0,2.

Toate elementele ecuațiilor sunt prezente, tot ce rămâne este să scrieți ecuațiile pentru fluxuri, dar pentru a face acest lucru, mai întâi trebuie să adăugați conexiuni între elemente. De exemplu, fluxul de ieșire responsabil pentru termen trebuie să fie asociat cu e1 și x. Și fiecare variabilă dinamică trebuie să fie asociată cu stocarea corespunzătoare (X_stock x, Y_stock y). Crearea conexiunilor este similară cu adăugarea de fire.

După crearea conexiunilor necesare, puteți trece la scrierea ecuațiilor pentru fluxuri, ceea ce este demonstrat în figura din dreapta. Desigur, puteți merge în ordine inversă, dar dacă există conexiuni, în timpul scrierii ecuațiilor, apar indicii pentru înlocuirea parametrilor/variabilelor necesare, ceea ce face sarcina mai ușoară în modelele complexe.

După finalizarea tuturor pașilor, puteți rula modelul de simulare și puteți privi rezultatul acestuia.

Având în vedere sisteme de ecuații diferențiale neliniare pentru interacțiunea între companii în condiții de mutualism, se pot trage câteva concluzii.

Există două stări ale sistemului: creștere nelimitată bruscă sau tendința cantității de producție la zero. Care dintre cele două stări va lua sistemul depinde de parametri.

Niciunul dintre modelele propuse, inclusiv modelul care ține cont de saturații, nu este potrivit pentru utilizare practică, din cauza lipsei unei poziții stabile diferite de zero, precum și din motivele descrise la paragraful 1.

Dacă încercăm să studiem în continuare acest tip de interacțiune simbiotică pentru a crea un model aplicabil companiilor în practică, este necesar să complicăm și mai mult sistemul și să introducem noi parametri. De exemplu, Bazykin în cartea sa oferă un exemplu de dinamică a două populații mutualiste cu introducerea unui factor suplimentar de competiție intraspecifică. Datorită căruia sistemul ia forma:

(1.15)

Și în acest caz, apare o poziție stabilă diferită de zero a sistemului, separată de zero printr-o „șa”, care îl apropie de imaginea reală a ceea ce se întâmplă.

2. Interacțiunea companiilor în condițiile protocooperării

Toate informațiile teoretice de bază au fost prezentate în capitolul anterior, așa că atunci când se analizează modelele discutate în acest capitol, teoria va fi în mare măsură omisă, cu excepția câtorva puncte pe care nu le-am întâlnit în capitolul anterior și pot exista și fi scurtături în calcule. Modelul de interacțiune între organizații considerat în acest capitol în condiții de proto-cooperare, constând din sisteme de două ecuații bazate pe modelul malthusian, arată ca sistemul (1.5). Sistemele analizate in capitolul anterior au aratat ca pentru a le aduce cat mai aproape de modelele existente este necesara cresterea complexitatii sistemelor. Pe baza acestor concluzii, vom adăuga imediat modelului o restricție de creștere. Spre deosebire de tipul anterior de interacțiune, când creșterea independentă de o altă companie este negativă, în acest caz toate semnele sunt pozitive, ceea ce înseamnă că avem o creștere constantă. Evitând neajunsurile descrise mai devreme, vom încerca să o limităm la ecuația logistică, cunoscută și sub numele de ecuația Verhulst (Gershenfeld, 1999), care are următoarea formă:

, (2.1)

unde P este dimensiunea populației, r este un parametru care arată rata de creștere, K este un parametru responsabil pentru dimensiunea maximă posibilă a populației. Adică, în timp, dimensiunea populației (în cazul nostru, producția) va tinde către un anumit parametru K.

Această ecuație va ajuta la limitarea creșterii vertiginoase a produselor pe care am văzut-o anterior. Astfel, sistemul ia următoarea formă:

(2.2)

Nu uitați că volumul de mărfuri depozitate în depozit este diferit pentru fiecare companie, astfel încât parametrii care limitează creșterea sunt diferiți. Să numim acest sistem „”, iar în viitor vom folosi acest nume atunci când îl vom lua în considerare.

Al doilea sistem pe care îl vom lua în considerare este o dezvoltare ulterioară a modelului cu constrângerea Verhulst. Ca și în capitolul anterior, introducem o limitare a saturației, apoi sistemul va lua forma:

(2.3)

Acum fiecare dintre termeni are propria sa limitare, așa că fără analize suplimentare puteți vedea că nu va exista o creștere nelimitată, ca în modelele capitolului anterior. Și deoarece fiecare dintre termeni prezintă o creștere pozitivă, cantitatea de producție nu va scădea la zero. Să numim acest model „modelul de proto-cooperare cu două restricții”.

Aceste două modele sunt discutate în diverse surse despre populațiile biologice. Acum vom încerca să extindem oarecum sistemele. Pentru a face acest lucru, luați în considerare următoarea figură.

Figura prezintă un exemplu de procese a două companii: industria oțelului și a cărbunelui. Ambele afaceri au o creștere a produselor care este independentă de cealaltă și există și o creștere a produselor care rezultă din interacțiunea lor. Am luat deja în considerare acest lucru în modelele anterioare. Acum este de remarcat faptul că companiile nu numai că produc produse, ci le vând și, de exemplu, pe piață sau unei companii care interacționează cu aceasta. Acestea. Pe baza concluziilor logice, este nevoie de o creștere negativă a companiilor prin vânzarea de produse (în figură, parametrii β1 și β2 sunt responsabili pentru aceasta), precum și prin transferul unei părți din producție către o altă întreprindere. Anterior, am luat în considerare acest lucru doar cu un semn pozitiv de la o altă companie, dar nu am luat în considerare faptul că prima întreprindere, la transferul produselor, își scade cantitatea. În acest caz obținem sistemul:

(2.4)

Și dacă putem spune despre termen că dacă în modelele anterioare s-a indicat că , caracterizează creșterea naturală, iar parametrul poate fi negativ, atunci practic nu există nicio diferență, atunci despre termen asta nu se poate spune. În plus, în viitor, atunci când se ia în considerare un astfel de sistem cu o restricție introdusă asupra sa, este mai corect să se utilizeze termenii de creștere pozitivă și negativă, deoarece în acest caz li se pot impune diverse restricții, ceea ce este imposibil pentru natural. creştere. Să-l numim „modelul de protocooperare extinsă”.

În cele din urmă, al patrulea model luat în considerare este modelul de proto-cooperare extins cu constrângerea logistică menționată anterior asupra creșterii. Iar sistemul pentru acest model este:

, (2.5)

unde este creșterea producției primei întreprinderi, independent de a doua, ținând cont de constrângerea logistică, - creșterea producției primei întreprinderi, în funcție de a doua, ținând cont de constrângerea logistică, - creșterea producției celei de-a doua întreprinderi, independent de prima, ținând cont de constrângerea logistică, - creșterea producției celei de-a doua întreprinderi, în funcție de prima, ținând cont de constrângerea logistică, - consumul de bunuri al primei întreprinderi, neaferente celeilalte, - consumul de bunuri al celei de-a doua întreprinderi, neaferente altele, - consumul de bunuri din prima industrie de către a doua industrie, - consumul de bunuri din a doua industrie prima industrie.

În viitor, acest model va fi denumit „un model extins de proto-operație cu o constrângere logistică”.

1 Stabilitatea sistemelor ca primă aproximare

Model de protocooperare cu constrângere Verhulst

Metodele de analiză a stabilității sistemului au fost indicate într-o secțiune similară a capitolului precedent. În primul rând, găsim punctele de echilibru. Una dintre ele, ca întotdeauna, este zero. Celălalt este un punct cu coordonate.

Pentru punctul zero λ1 = , λ2 = , deoarece ambii parametri sunt nenegativi, obținem un nod instabil.

Întrucât lucrul cu al doilea punct nu este în întregime convenabil, din cauza lipsei oportunității de a scurta expresia, vom lăsa determinarea tipului de stabilitate pe seama diagramelor de fază, deoarece acestea arată clar dacă punctul de echilibru este stabil sau nu.

Analiza acestui sistem este mai complicată decât cea precedentă datorită faptului că se adaugă un factor de saturație, astfel apar noi parametri, iar la găsirea punctelor de echilibru va trebui să rezolvi nu o ecuație liniară, ci una biliniară datorită variabilă în numitor. Prin urmare, ca și în cazul precedent, vom lăsa determinarea tipului de stabilitate pe seama diagramelor de fază.

În ciuda apariției de noi parametri, jacobianul la punctul zero, precum și rădăcinile ecuației caracteristice, arată similar cu modelul anterior. Astfel, în punctul zero există un nod instabil.

Să trecem la modele avansate. Prima dintre ele nu conține nicio restricție și ia forma sistemului (2.4)

Să facem o schimbare de variabile, , Și . Sistem nou:

(2.6)

În acest caz, obținem două puncte de echilibru, punctul A(0,0), B(). Punctul B se află în primul cadran deoarece variabilele au valori nenegative.

Pentru punctul de echilibru A obținem:

. - nod instabil,

. - șa,

. - șa,

. - nod stabil,

În punctul B, rădăcinile ecuației caracteristice sunt numere complexe: λ1 = , λ2 = . Nu putem determina tipul de stabilitate bazându-ne pe teoremele lui Lyapunov, așa că vom efectua o simulare numerică care nu va arăta toate stările posibile, dar ne va permite să aflăm cel puțin câteva dintre ele.

Figura 2.2. Modelarea numerică a căutării tipului de stabilitate

Când luați în considerare acest model, va trebui să vă confruntați cu dificultăți de calcul, deoarece are un număr mare de parametri diferiți, precum și două limitări.

Fără a intra în detalii ale calculelor, ajungem la următoarele puncte de echilibru. Punctul A(0,0) și punctul B cu următoarele coordonate:

(), unde a =

Pentru punctul A, determinarea tipului de stabilitate este o sarcină banală. Rădăcinile ecuației caracteristice sunt λ1 = , λ2 = . Acest lucru ne oferă patru opțiuni:

1. λ1 > 0, λ2 > 0 - nod instabil.

2. λ1< 0, λ2 >0 - şa.

3. λ1 ​​​​> 0, λ2< 0 - седло.

4. λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

Vorbind despre punctul B, merită să fim de acord că înlocuirea abrevierilor în expresie va complica munca cu jacobianul și găsirea rădăcinilor ecuației caracteristice. De exemplu, după ce am încercat să le găsești folosind instrumentele de calcul WolframAlpha, ieșirea valorilor rădăcinii a luat aproximativ cinci linii, ceea ce nu permite lucrul cu ele în termeni literali. Desigur, dacă avem deja parametrii existenți, pare posibil să găsim rapid punctul de echilibru, dar acesta este un caz special, deoarece vom găsi starea de echilibru, dacă există, doar pentru acești parametri, care nu este potrivit pentru sistemul suport decizional pentru care se preconizează a fi creat modelul .

Datorită complexității lucrului cu rădăcinile ecuației caracteristice, vom construi poziția relativă a izoclinelor nule prin analogie cu sistemul analizat în lucrarea lui Bazykin (Bazykin, 2003). Acest lucru ne va permite să luăm în considerare posibilele stări ale sistemului și, în viitor, atunci când construim portrete de fază, să detectăm punctele de echilibru și tipurile de stabilitate a acestora.

După unele calcule, ecuațiile de izoclină nulă iau următoarea formă:

(2.7)

Astfel, izoclinele au forma de parabole.

Figura 2.3. Posibilă locație a izoclinelor nule

Există patru cazuri posibile de aranjare reciprocă pe baza numărului de puncte comune dintre parabole. Fiecare dintre ele are propriile seturi de parametri și, prin urmare, portrete de fază ale sistemului.

Portrete în 2 faze ale sistemelor

Să construim un portret de fază al sistemului, cu condiția ca iar parametrii rămași sunt egali cu 1. În acest caz, un set de variabile este suficient, deoarece cel calitativ nu se va modifica.

După cum se poate observa din figurile de mai jos, punctul zero este un nod instabil, iar al doilea punct, dacă înlocuim valorile numerice ale parametrilor, obținem (-1,5, -1,5) - o șa.

Figura 2.4. Portret de fază pentru sistem (2.2)

Astfel, deoarece nu ar trebui să apară modificări, atunci pentru acest sistem există doar stări instabile, ceea ce se datorează cel mai probabil posibilității de creștere nelimitată.

Un model de proto-cooperare cu două constrângeri.

În acest sistem există un factor limitator suplimentar, astfel încât diagramele de fază ar trebui să difere de cazul precedent, așa cum se poate observa în figură. Punctul zero este și un nod instabil, dar în acest sistem apare o poziție stabilă și anume un nod stabil. Având în vedere parametrii coordonatelor sale (5.5,5.5), este prezentat în figură.

Figura 2.5. Portret de fază pentru sistem (2.3)

Astfel, restrângerea fiecărui termen a făcut posibilă obținerea unei poziții stabile a sistemului.

Model extins de protocooperare.

Să construim portrete de fază pentru modelul extins, dar imediat folosind forma modificată:

Să luăm în considerare patru seturi de parametri, cum ar fi să luăm în considerare toate cazurile cu un punct de echilibru zero și să demonstrăm, de asemenea, diagramele de fază ale simulării numerice utilizate pentru un punct de echilibru diferit de zero: set A(1,0.5,0.5) corespunde cu statul , setul B(1,0.5,-0.5) corespunde setați C(-1,0.5,0.5) și setați D(-1,0.5,-0.5) , adică un nod stabil la punctul zero. Primele două seturi vor demonstra portrete de fază pentru parametrii pe care i-am luat în considerare în simularea numerică.

Figura 2.6. Portret de fază pentru sistem (2.4) cu parametrii A-D.

În figuri, trebuie să acordați atenție punctelor (-1,2) și respectiv (1,-2), în ele apare o „șa”. Pentru o vedere mai detaliată, figura prezintă o scară diferită a figurii cu un punct de șa (1,-2). În figură, un centru stabil este vizibil în punctele (1,2) și (-1,-2). În ceea ce privește punctul zero, de la figură la figură pe diagramele de fază putem distinge clar un nod instabil, o șa, o șa și un nod stabil.

Model extins de proto-cooperare cu constrângere logistică.

Ca și în modelul anterior, vom demonstra portrete de fază pentru patru cazuri ale punctului zero și vom încerca, de asemenea, să notăm soluții diferite de zero în aceste diagrame. Pentru a face acest lucru, luați următoarele seturi de parametri cu parametri specificați în următoarea ordine (): A(2,1,2,1), B(2,1,1,2), C(1,2,2, 1) și D (1,2,1,2). Restul parametrilor pentru toate seturile vor fi următorii: , .

În figurile prezentate mai jos, se pot observa cele patru stări de echilibru ale punctului zero descrise în secțiunea anterioară pentru acest sistem dinamic. Și, de asemenea, în figuri există o poziție stabilă a unui punct cu o coordonată diferită de zero.

Figura 2.7. Portret de fază pentru sistem (2.5) cu parametrii A-B

3 Traiectoriile integrale ale sistemelor

Model de protocooperare cu constrângere Verhulst

Ca și în capitolul anterior, vom rezolva fiecare dintre ecuațiile diferențiale separat și vom exprima în mod explicit dependența variabilelor de parametrul timp.

(2.8)

(2.9)

Din ecuațiile rezultate este clar că valoarea fiecăreia dintre variabile este în creștere, ceea ce este demonstrat în modelul tridimensional de mai jos.

Figura 2.8. Model tridimensional pentru ecuația (2.8)

Acest tip de grafic la început amintește oarecum de imaginea tridimensională a modelului malthusian fără saturație, discutată în capitolul 1, întrucât are o creștere rapidă similară, dar ulterior se poate observa o scădere a ratei de creștere datorită atingerii limita asupra volumului de producție. Astfel, aspectul final al curbelor integrale este similar cu graficul ecuației logistice care a fost folosit pentru a constrânge unul dintre termeni.

Un model de proto-cooperare cu două constrângeri.

Rezolvăm fiecare dintre ecuații folosind instrumentele Wolfram Alpha. Astfel, dependența funcției x(t) se reduce la următoarea formă:

(2.10)

Pentru a doua funcție situația este similară, așa că vom omite soluția ei. Valorile numerice au apărut datorită înlocuirii parametrilor cu anumite valori potrivite pentru aceștia, ceea ce nu afectează comportamentul calitativ al curbelor integrale. În figurile de mai jos, utilizarea restricțiilor de creștere este vizibilă, deoarece în timp creșterea exponențială devine logaritmică.

Figura 2.9. Model tridimensional pentru ecuația (2.10)

Modelul de protocooperare extins

Aproape asemănătoare cu modelele pentru mutualism. Singura diferență este creșterea mai rapidă față de acele modele, așa cum se poate vedea din ecuațiile prezentate mai jos (dacă vă uitați la gradul exponențial) și grafice. Curba integrală ar trebui să ia forma unei exponențiale.

(2.11)

(2.12)

Model extins de cooperare protocol cu ​​constrângere logistică

Relația x(t) arată astfel:

Fără un grafic este dificil de evaluat comportamentul unei funcții, așa că folosind instrumentele deja cunoscute, o vom construi.

Figura 2.10 Model tridimensional pentru Ec.

Valoarea funcției scade pentru valorile non-mici ale celeilalte variabile, ceea ce se datorează lipsei de restricții asupra termenului biliniar negativ și este un rezultat evident

4 Dinamica sistemului a companiilor care interacționează

Model de protocooperare cu constrângere Verhulst.

Să construim sistemul (2.2). Folosind instrumente deja cunoscute de noi, construim un model de simulare. De data aceasta, spre deosebire de modelele mutualiste, va exista o constrângere logistică în model.

Figura 2.11. Modelul dinamicii sistemului pentru sistem (2.2)

Să rulăm modelul. În acest model, este de remarcat faptul că creșterea din relație nu este limitată de nimic, iar creșterea produselor fără influența altuia are o limitare specifică. Dacă te uiți la expresia funcției logistice în sine, vei observa că în cazul în care variabila (numărul de mărfuri) depășește volumul maxim de stocare posibil, termenul devine negativ. În cazul în care există doar o funcție logistică, acest lucru este imposibil, dar cu un factor suplimentar de creștere întotdeauna pozitiv, acest lucru este posibil. Și acum este important să înțelegem că funcția de logistică va face față situației de creștere nu prea rapidă a numărului de produse, de exemplu, cele liniare. Să fim atenți la imaginile de mai jos.

Figura 2.12. Un exemplu de model de dinamică a sistemului pentru sistem (2.2)

Figura din stânga arată pasul 5 al programului corespunzător modelului propus. Dar în acest moment merită să acordați atenție imaginii din dreapta.

În primul rând, unul dintre fluxurile de intrare pentru Y_stock a avut asocierea cu x, exprimată în termeni de , eliminată. Acest lucru se face pentru a arăta diferența de performanță a modelului cu o creștere liniară, întotdeauna pozitivă și biliniară, care este prezentată pentru X_stock. Cu fluxuri liniare nelimitate, după depășirea parametrului K, sistemul ajunge la un moment dat la echilibru (în acest model, starea de echilibru este de 200 de mii de unități de mărfuri). Dar mult mai devreme, creșterea biliniară duce la o creștere bruscă a cantității de bunuri, transformându-se în infinit. Dacă lăsăm ambele fluxuri pozitive din dreapta și din stânga ca biliniare, atunci deja la aproximativ pasul 20-30, valoarea acumulatorului ajunge la diferența de două infinitate.

Pe baza celor de mai sus, putem spune cu încredere că, în cazul utilizării ulterioare a unor astfel de modele, este necesar să se limiteze orice creștere pozitivă.

Un model de proto-cooperare cu două constrângeri.

După identificarea deficiențelor modelului anterior și introducând o limitare a celui de-al doilea termen prin factorul de saturație, vom construi și vom lansa un nou model.

Figura 2.13. Model de dinamică a sistemului și exemplu de funcționare a acestuia pentru sistem (2.3)

Acest model aduce în cele din urmă rezultate mult așteptate. S-a putut limita creșterea valorilor de stocare. După cum se poate observa din figura corectă pentru ambele întreprinderi, echilibrul se realizează cu un ușor exces de volum de stocare.

Model extins de protocooperare.

Luând în considerare dinamica sistemului acestui model, vor fi demonstrate capacitățile mediului software AnyLogic pentru vizualizarea colorată a modelelor. Toate modelele anterioare au fost construite folosind doar elemente ale dinamicii sistemului. Prin urmare, modelele în sine păreau discrete; nu permiteau urmărirea dinamicii modificărilor cantității de produse în timp și modificarea parametrilor în timpul rulării programului. Când lucrăm cu acest model și cu următorul model, vom încerca să profităm de o gamă mai largă de capabilități ale programului pentru a schimba cele trei dezavantaje menționate mai sus.

În primul rând, în program, împreună cu secțiunea „dinamica sistemului”, programul conține și secțiuni „imagini” și „obiecte 3D”, care vă permit să diversificați modelul, ceea ce este util pentru prezentarea lui ulterioară, deoarece face modelul arată „mai plăcut”.

În al doilea rând, pentru a urmări dinamica modificărilor valorilor modelului, există o secțiune „statistici” care vă permite să adăugați diagrame și diverse instrumente de colectare a datelor, legându-le la model.

În al treilea rând, pentru modificarea parametrilor și a altor obiecte în timpul execuției modelului, există o secțiune „Controale”. Obiectele din această secțiune vă permit să modificați parametrii în timp ce modelul rulează (de exemplu, „glisor”), să selectați diferite stări ale obiectului (de exemplu, „comutați”) și să efectuați alte acțiuni care modifică datele specificate inițial în timpul funcționării.

Modelul este potrivit pentru cunoașterea educațională cu dinamica schimbărilor în produsele întreprinderii, dar lipsa restricțiilor privind creșterea nu permite utilizarea acestuia în practică.

Model extins de proto-cooperare cu constrângere logistică.

Folosind modelul anterior gata făcut, vom adăuga parametri din ecuația logistică pentru a limita creșterea.

Vom omite construcția modelului, deoarece toate instrumentele și principiile necesare de lucru cu acestea au fost deja demonstrate în cele cinci modele anterioare prezentate în lucrare. Este de remarcat doar faptul că comportamentul său este similar cu modelul de protocooperare cu constrângerea Verhulst. Acestea. lipsa saturaţiei împiedică utilizarea sa practică.

După analizarea modelelor în condițiile proto-cooperării, vom determina câteva puncte principale:

Modelele discutate în acest capitol sunt în practică mai potrivite decât cele mutualiste, deoarece au poziții stabile de echilibru non-zero chiar și cu doi termeni. Permiteți-mi să vă reamintesc că în modelele de mutualism am putut realiza acest lucru doar adăugând un al treilea termen.

Modelele adecvate trebuie să aibă restricții la fiecare dintre termeni, deoarece, în caz contrar, o creștere bruscă a factorilor biliniari „distruge” întregul model de simulare.

Pe baza punctului 2, atunci când se adaugă un factor de saturație la modelul de proto-cooperare extins cu limitarea Verhulst, precum și se adaugă o cantitate critică mai mică de producție, modelul ar trebui să se apropie cât mai mult de starea reală a lucrurilor. Dar nu trebuie să uităm că astfel de manipulări ale sistemului îi vor complica analiza.

Concluzie

În urma studiului, a fost efectuată o analiză a șase sisteme care descriu dinamica producției de către întreprinderi care se influențează reciproc. Ca urmare, punctele de echilibru și tipurile de stabilitate a acestora au fost determinate într-unul din următoarele moduri: analitic, sau datorită portretelor de fază construite în cazurile în care o soluție analitică din anumite motive nu este posibilă. Pentru fiecare dintre sisteme s-au construit diagrame de fază, precum și modele tridimensionale, pe care, la proiectare, se pot obține curbe integrale în planurile (x,t), (y,t). Ulterior, folosind mediul de modelare AnyLogic, toate modelele au fost construite și au fost luate în considerare opțiunile pentru comportamentul lor în funcție de anumiți parametri.

După analizarea sistemelor și construirea modelelor de simulare a acestora, devine evident că aceste modele pot fi considerate doar ca modele de antrenament, sau pentru descrierea sistemelor macroscopice, dar nu și ca un sistem de sprijinire a deciziilor pentru companii individuale, din cauza preciziei lor scăzute și în unele locuri. nu există o reprezentare complet fiabilă a proceselor care au loc. Dar nu trebuie să uităm că oricât de corect este sistemul dinamic care descrie modelul, fiecare companie/organizație/industrie are propriile procese și limitări, deci nu este posibil să se creeze și să descrie un model general. În fiecare caz specific, acesta va fi modificat: devine mai complicat sau, dimpotrivă, simplificat pentru lucrări ulterioare.

Atunci când tragem o concluzie din concluziile pentru fiecare capitol, merită să ne concentrăm asupra faptului identificat că introducerea de restricții asupra fiecăruia dintre termenii ecuației, deși complică sistemul, dar face posibilă și detectarea pozițiilor stabile ale ecuației. sistem, precum și să-l apropie de ceea ce se întâmplă în realitate. Și este de remarcat faptul că modelele de protocooperare sunt mai potrivite pentru studiu, deoarece au poziții stabile diferite de zero, în contrast cu cele două modele mutualiste pe care le-am considerat.

Astfel, scopul acestui studiu a fost atins și obiectivele au fost îndeplinite. În viitor, ca o continuare a acestei lucrări, va fi luat în considerare un model extins de interacțiune a tipului de cooperare protocolară cu trei restricții impuse acestuia: logistică, factor de saturație, număr critic mai mic, care ar trebui să ne permită crearea unui model precis pentru sistemul de suport decizional, precum și un model cu trei companii. Ca o extensie a lucrării, putem lua în considerare alte două tipuri de interacțiune pe lângă simbioză, care au fost menționate în lucrare.

Literatură

1. Bhatia Nam Parshad; Szegx Giorgio P. (2002). Teoria stabilității sistemelor dinamice. Springer.

2. Blanchard P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. (2006). Ecuatii diferentiale. Londra: Thompson. pp. 96-111.

Boeing, G. (2016). Analiza vizuală a sistemelor dinamice neliniare: haos, fractali, auto-similaritate și limitele predicției. Sisteme. 4 (4): 37.

4. Campbell, David K. (2004). Fizică neliniară: Respirație proaspătă. Natură. 432 (7016): 455-456.

Elton C.S. (1968) retipărire. Ecologia animală. Marea Britanie: William Clowes and Sons Ltd.

7. Forrester Jay W. (1961). Dinamica industrială. MIT Press.

8. Gandolfo, Giancarlo (1996). Dinamica economică (ed. a treia). Berlin: Springer. pp. 407-428.

9. Gershenfeld Neil A. (1999). Natura modelării matematice. Cambridge, Marea Britanie: Cambridge University Press.

10. Goodman M. (1989). Note de studiu în dinamica sistemului. Pegasus.

Grebogi C, Ott E și Yorke J (1987). Haos, atractori ciudați și limite ale bazinului fractal în dinamica neliniară. Science 238 (4827), pp. 632-638.

12. Coafor Ernst; Nørsett Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Rezolvarea ecuațiilor diferențiale ordinare I: Probleme nonstiff, Berlin, New York

Hanski I. (1999) Metapopulation Ecology. Oxford University Press, Oxford, pp. 43-46.

Hughes-Hallett Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Calcul: Single și Multivariable (6 ed.). John Wiley.

15. Llibre J., Valls C. (2007). Primele integrale analitice globale pentru sistemul planar real Lotka-Volterra, J. Math. Fiz.

16. Jordan D.W.; Smith P. (2007). Ecuații diferențiale ordinare neliniare: Introducere pentru oameni de știință și ingineri (ed. a IV-a). Presa Universitatii Oxford.

Khalil Hassan K. (2001). Sisteme neliniare. Prentice Hall.

Universitatea Lamar, Note de matematică online - Planul de fază, P. Dawkins.

Universitatea Lamar, Note de matematică online - Sisteme de ecuații diferențiale, P. Dawkins.

Lang Serge (1972). Varietăți diferențiale. Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.

Legea Averill M. (2006). Simulare de modelare și analiză cu software-ul Expertfit. Știința McGraw-Hill.

Lazard D. (2009). Treizeci de ani de rezolvare a sistemelor polinomiale și acum? Jurnalul de calcul simbolic. 44 (3): 222-231.

24. Lewis Mark D. (2000). Promisiunea abordărilor sistemelor dinamice pentru un cont integrat al dezvoltării umane. Dezvoltarea copilului. 71 (1): 36-43.

25. Malthus T.R. (1798). An Essay on the Principle of Population, în Oxford World's Classics reprint, p. 61, sfârșitul capitolului VII

26. Morecroft John (2007). Modelarea strategică și dinamica afacerilor: o abordare a sistemelor de feedback. John Wiley & Sons.

27. Nolte D.D. (2015), Introducere în dinamica modernă: haos, rețele, spațiu și timp, Oxford University Press.

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Utilizați formularul de mai jos

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

Postat pe http://www.allbest.ru/

Exercițiu

controlează automat frecvența nyquist

Analizați proprietățile dinamice ale sistemului de control automat specificate de diagrama bloc prezentată în Figura 1, incluzând următoarele etape:

Selectarea și justificarea metodelor de cercetare, construirea unui model matematic al sistemelor de control automat;

Parte de calcul, inclusiv modelarea matematică a sistemelor automate de control pe un computer;

Analiza stabilității modelului matematic al obiectului de control și al sistemului de control automat;

Studiul stabilității modelului matematic al obiectului de control și al sistemului de control automat.

Schema bloc a ACS în studiu, unde, funcțiile de transfer ale obiectului de control (OU), actuatorului (AM), senzorului (D) și dispozitivului de corecție (CU)

Valorile coeficienților K1, K2, K3, K4, T1, T2, T3 și T4 sunt date în tabelul 1.

Opțiune pentru alocarea de cursuri

	Opțiuni

Introducere

Proiectarea automatizării este una dintre cele mai complexe și importante domenii din inginerie, prin urmare cunoașterea elementelor de bază ale automatizării, o idee despre nivelul de automatizare în diverse procese tehnologice, instrumentele de automatizare utilizate și elementele de bază ale proiectării sunt condiții necesare pentru munca de succes a inginerilor și tehnologilor. Funcționarea normală a oricărui proces tehnologic este caracterizată de anumite valori ale parametrilor, iar funcționarea economică și sigură a echipamentului este asigurată prin menținerea parametrilor de funcționare în limitele cerute. În scopul funcționării normale a echipamentelor, precum și al implementării procesului tehnologic necesar în orice instalații termice, este necesară includerea mijloacelor de automatizare în dezvoltările de proiectare. În prezent, sistemele automate de control sunt din ce în ce mai utilizate în toate sectoarele economiei naționale, inclusiv în agricultură. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece automatizarea proceselor tehnologice se caracterizează prin înlocuirea parțială sau completă a operatorului uman cu mijloace tehnice speciale de monitorizare și control. Mecanizarea, electrificarea și automatizarea proceselor tehnologice asigură o reducere a ponderii muncii fizice grele și necalificate în agricultură, ceea ce duce la creșterea productivității acesteia.

Astfel, necesitatea automatizării proceselor tehnologice este evidentă și este nevoie de a învăța cum să calculăm parametrii sistemelor automate de control (ACS) pentru aplicarea ulterioară a cunoștințelor acestora în practică.

Lucrarea de curs include o analiză a proprietăților dinamice ale unei diagrame structurale date a unui sistem de control automat cu compilarea și analiza modelelor matematice ale obiectelor de control.

1 . Analiza stabilității ACS folosind criteriul Nyquist

Pentru a judeca stabilitatea unui sistem de control automat, nu este necesar să se determine valorile exacte ale rădăcinilor ecuației sale caracteristice. Prin urmare, o soluție completă a ecuației caracteristice a sistemului este în mod clar inutilă și ne putem limita la utilizarea unuia sau altuia criteriu indirect de stabilitate. În special, nu este dificil să se arate că pentru stabilitatea unui sistem este necesar (dar nu suficient) ca toți coeficienții ecuației sale caracteristice să aibă același semn sau este suficient ca părțile reale ale tuturor rădăcinilor ecuației caracteristice. sunt negative. Dacă părțile reale ale tuturor rădăcinilor ecuației caracteristice nu sunt negative, atunci pentru a determina stabilitatea acestui ACS este necesar să se studieze folosind alte criterii, deoarece dacă funcția de transfer conform criteriului de mai sus aparține unui bloc instabil în care numitorul are rădăcini cu o parte reală pozitivă, atunci Dacă sunt îndeplinite anumite condiții, sistemul închis poate fi stabil și în acest caz.

Cea mai convenabilă metodă pentru studierea stabilității multor sisteme de control al procesului este criteriul de stabilitate Nyquist, care se formează după cum urmează.

Un sistem care este stabil în starea deschisă va rămâne stabil chiar și după ce este închis prin feedback negativ, dacă odograful CFC în starea deschisă W(jш) nu acoperă un punct cu coordonatele (-1; j0) în planul complex. .

În formularea de mai sus a criteriului Nyquist, se consideră că odograful CFC W(jш) „nu acoperă” punctul (-1; j0) dacă unghiul total de rotație al vectorului trasat de la punctul specificat la hodograf. W(jш) este egal cu zero atunci când frecvența se schimbă de la у=0 la sh > ?.

Dacă hodograful răspunsului în frecvență W(jш) la o anumită frecvență, numită frecvența critică schk, trece prin punctul (-1; j0), atunci procesul tranzitoriu într-un sistem închis reprezintă oscilații neamortizate cu o frecvență schk, adică. Sistemul se află la limita de stabilitate exprimată după cum urmează:

Aici W(p) este funcția de transfer a sistemului de control automat în buclă deschisă. Să presupunem că sistemul în buclă deschisă este stabil. Apoi, pentru stabilitatea unui sistem de control automat în buclă închisă, este necesar și suficient ca hodograful caracteristicii amplitudine-fază W(jw) a sistemului în buclă deschisă (această caracteristică se obține din W(p) prin înlocuirea p=jw) nu acoperă punctul cu coordonate (-1, j0). Frecvența la care |W(jw)| = 1, se numește frecvența de tăiere (w cf).

Pentru a evalua cât de departe este sistemul de limita de stabilitate, este introdus conceptul de marje de stabilitate. Marja de stabilitate în amplitudine (modul) indică de câte ori este necesară modificarea lungimii vectorului de rază al hodografului AFC pentru a aduce sistemul la limita de stabilitate fără modificarea defazării. Pentru sisteme absolut stabile, marja de stabilitate modulo DK se calculează folosind formula:

unde frecvența w 0 este determinată din relația arg W(jw 0) = - 180 0.

Marja de stabilitate pentru amplitudinea DK este de asemenea calculată folosind formula:

DK = 1 - K 180;

unde K 180 este valoarea coeficientului de transmisie la o defazare de -180°.

La rândul său, marja de stabilitate de fază indică cât de mult este necesară creșterea valorii absolute a argumentului AFC pentru a aduce sistemul la limita de stabilitate fără a modifica valoarea modulului.

Marja de stabilitate a fazei Dj se calculează prin formula:

Dj = 180° - j K=1 ;

unde j K=1 este valoarea defazajului la coeficientul de transmisie K = 1;

Valoarea Dj = 180 0 + arg W (j; w av) determină marja de stabilitate a fazei. Din criteriul Nyquist rezultă că un ACS care este stabil în starea deschisă va fi stabil în starea închisă dacă schimbarea de fază la frecvența de tăiere nu atinge -180°. Îndeplinirea acestei condiții poate fi verificată prin construirea caracteristicilor frecvenței logaritmice ale unui sistem de control automat în buclă deschisă.

2. Studiul stabilității ACS folosind criteriul Nyquist

Studiul stabilității conform criteriului Nyquist prin analiza AFC cu un ACS deschis. Pentru a face acest lucru, întrerupem sistemul așa cum se arată în diagrama bloc a ACS în studiu:

Schema bloc a pistolului autopropulsat în studiu

Mai jos sunt funcțiile de transfer ale obiectului de control (OU), actuatorului (AM), senzorului (D) și dispozitivului de corecție (CU):

Valorile coeficienților pentru atribuire sunt următoarele:

K1 = 1,0; K2 = 0,2; K3 = 2; K4 = 1,0; T1 = 0,4; T2 = 0,2; T3 = 0,07; T4 = 0,4.

Să calculăm funcția de transfer după ce sistemul se întrerupe:

W(p) = W ku (p) Ch W im (p) ChW ou (p) ChW d (p);

W(p) = H H H

Înlocuind coeficienții dați în funcție obținem:

Analizând această funcție în programul de modelare matematică (“MATLAV”), obținem hodograful răspunsului amplitudine-fază-frecvență (APFC) al ACS în buclă deschisă pe planul complex, prezentat în figură.

Hodograf al răspunsului fază-frecvență al unui sistem de control automat în buclă deschisă pe un plan complex.

Studiul stabilității tunurilor autopropulsate pe baza AFFC

Se calculează coeficientul de transmisie pentru o defazare de -180°, K 180 = 0,0395.

Marja de stabilitate pentru amplitudinea DK conform formulei:

DK = 1 - K 180 = 1 - 0,0395 = 0,9605; unde K 180 = 0,0395.

Să determinăm marja de fază Dj:

Marja de stabilitate a fazei Dj se determină prin formula: Dj = 180° - j K=1 ; unde j K=1 este valoarea defazajului la coeficientul de transmisie K = 1. Dar întrucât j K=1 nu se observă în cazul nostru (amplitudinea este întotdeauna mai mică decât unitatea), atunci sistemul studiat este stabil la orice valoare a defazajului (ACS este stabil pe întregul interval de frecvență).

Studiul stabilității tunurilor autopropulsate folosind caracteristici logaritmice

Răspuns logaritmic amplitudine-frecvență al unui sistem de control automat în buclă deschisă

Caracteristica fază-frecvență logaritmică a unui sistem de control automat în buclă deschisă

Folosind programul de modelare matematică (“MATLAB”), obținem caracteristicile logaritmice ale ACS studiate, care sunt prezentate în Figura 4 (caracteristica amplitudine-frecvență logaritmică) și Figura 5 (caracteristica fază-frecvență logaritmică), unde;

L(w) = 20lg|W (j; w) |).

Criteriul logaritmic pentru stabilitatea unui ACS este o expresie a criteriului Nyquist în formă logaritmică.

Pentru a găsi valoarea defazării de 180° (Figura 5), ​​trageți o linie orizontală la intersecția cu LFCH, din acest punct de intersecție trageți o linie verticală până la intersecția cu LFCH (Figura 4). Obținem valoarea coeficientului de transmisie pentru o defazare de 180°:

20lgК 180° = - 28,05862;

în acest caz K 180 ° = 0,0395 (DK" = 28,05862).

Marja de stabilitate a amplitudinii se găsește prin extinderea liniei verticale la valoarea 20lgК 180° = 0.

Pentru a găsi marja stabilității fazei, o linie orizontală este trecută de-a lungul liniei 20lgК 180 ° = 0 până la intersecția cu LFC și o linie verticală este trecută din acest punct la intersecția cu LFC. În acest caz, diferența dintre valoarea găsită a defazajului și o schimbare de fază egală cu 180° va fi marja stabilității de fază.

Dj = 180° - j K;

Dj = 180° - 0 = 180°.

unde: j K - valoarea găsită a defazajului;

Deoarece LFCH al pistolului autopropulsat studiat se află sub linia 20logK 180° = 0, prin urmare pistolul autopropulsat va avea o marjă de stabilitate de fază pentru orice valoare a defazajului de la zero la 180°.

Concluzie: analizând LFC și LFFC, rezultă că ACS studiat este stabil pe întregul interval de frecvență.

Concluzie

În cadrul acestui curs, a fost sintetizat și studiat un sistem de urmărire a instrumentelor folosind metode și instrumente moderne ale teoriei controlului. În această lucrare computațională și grafică, am găsit funcția de transfer a unui sistem de control automat în buclă închisă folosind o diagramă structurală dată și expresii cunoscute pentru funcțiile de transfer ale legăturilor dinamice.

Bibliografie

1. I.F. Borodin, Yu.A. Sudnik. Automatizarea proceselor tehnologice. Manual pentru universități. Moscova. „Spike”, 2004.

2. V.S. Gutnikov. Electronică integrată în aparatele de măsură. „Energoatomizdat”. Filiala Leningrad, 1988.

3. N.N. Ivascenko. Reglare automată. Teoria și elementele sistemelor. Moscova. „Inginerie mecanică”, 1978.

Postat pe Allbest.ru

...

Documente similare

Determinarea funcțiilor de transfer și a caracteristicilor tranzitorii ale legăturilor sistemului de control automat. Construcția caracteristicilor amplitudine-fază. Evaluarea stabilității sistemului. Selectarea unui dispozitiv de corectare. Indicatori de calitate ai reglementărilor.

lucrare de curs, adăugată 21.02.2016


Studiul sistemului de control al turației motorului cu și fără circuit de corecție. Evaluarea stabilității sistemului folosind criteriile Hurwitz, Mikhailov și Nyquist. Construirea caracteristicilor logaritmice amplitudine-frecvență și fază-frecvență.

lucrare curs, adăugată 22.03.2015


Elaborarea unei scheme schematice a unui model matematic principal electric al unui sistem de control automat, corectat prin dispozitive corective. Estimarea stabilității sistemului original prin metoda Routh-Hurwitz. Sinteza răspunsului în frecvență dorit.

lucrare curs, adaugat 24.03.2013


Caracteristicile obiectului de control (tamburul cazanului), proiectarea și funcționarea sistemului de control automat, schema funcțională a acestuia. Analiza stabilității sistemului folosind criteriile Hurwitz și Nyquist. Evaluarea calității managementului pe baza funcțiilor de tranziție.

lucrare de curs, adăugată 13.09.2010


Scopul sistemului de control automat pentru avans încrucișat în timpul șlefuirii prin tăiere cu adâncime. Construirea unei diagrame funcționale. Calculul funcțiilor de transfer ale convertorului, motorului electric, cutiei de viteze. Determinarea stabilității folosind criteriul Nyquist.

lucrare curs, adaugat 08.12.2014


Metodologie de determinare a stabilității unui sistem folosind criterii algebrice (criteriile Rouse și Hurwitz) și de stabilitate a frecvenței (criteriile Mikhailov și Nyquist), apreciind acuratețea rezultatelor acestora. Caracteristici de compilare a unei funcții de transfer pentru un sistem închis.

munca de laborator, adaugat 15.12.2010


Construirea unui circuit elementar și studiul principiului de funcționare al sistemului de control automat, semnificația acestuia în implementarea metodei de reglare a sistemului SIDA. Elementele principale ale sistemului și relația lor. Analiza stabilității circuitului și frecvențele optime ale acestuia.

test, adaugat 09.12.2009


Determinarea funcției de transfer a unui sistem în buclă deschisă, a formei standard de înregistrare a acestuia și a gradului de astatism. Studiul caracteristicilor amplitudine-fază, frecvență reală și imaginară. Construcția odografului AFFC. Criteriile algebrice ale lui Routh și Hurwitz.

lucrare de curs, adăugată 05.09.2011


Introducerea de noi funcții care afectează funcționarea unei stații de circulație a pompei într-o fabrică de oțel. Instalarea echipamentelor de control si masura. Criteriile de stabilitate Mikhailov și criteriile Nyquist amplitudine-fază. Modernizarea sistemului.

teză, adăugată 19.01.2017


Schema funcțională a sistemului de control automat al temperaturii aerului de alimentare într-un depozit de cartofi. Definirea legii de reglementare a sistemului. Analiza stabilității folosind criteriile Hurwitz și Nyquist. Calitatea managementului pentru funcțiile de tranziție.

Introducere 4

Analiza a priori a sistemelor dinamice 5

Trecerea unui semnal aleator printr-un sistem liniar 5

Evoluția vectorului de fază al sistemului 7

Evoluția matricei de covarianță a vectorului de fază al sistemului 8

Linearizarea statistică 8

Prima metodă 9

A doua metodă 10

Calculul coeficienților de liniarizare 10

Ambiguitatea în legăturile neliniare 14

Legătura neliniară acoperită de feedback 15

Modelarea proceselor aleatorii 16

Filtru de formare 16

Simularea zgomotului alb 17

Estimarea caracteristicilor statistice ale sistemelor dinamice folosind metoda Monte Carlo 18

Precizia estimării 18

Sisteme dinamice instabile 20

Sisteme dinamice staționare 21

Analiza a posteriori a sistemelor dinamice 22

filtru Kalman 22

Modelul de mișcare 22

Modelul de măsurare 23

Corecția 23

Prognoza 23

Evaluarea 23

Utilizarea filtrarii Kalman în probleme neliniare 25

Metoda celor mai mici pătrate 27

Elaborarea devizelor 27

Prognoza 29

Folosirea metodei celor mai mici pătrate în probleme neliniare 29

Construcția matricei Cauchy 30

Simularea dimensiunii 30

Metode numerice 31

Funcții speciale 31

Modelarea variabilelor aleatoare 31

Variabile aleatoare distribuite uniform 31

Variabile aleatoare gaussiene 32

Vectori aleatori 33

Integrala de probabilitate 34

Polinoamele Chebyshev 36

Integrarea ecuațiilor diferențiale ordinare 36

Metodele Runge-Kutta 36

Acuratețea rezultatelor integrării numerice 37

Metoda imbricată Dorman-Prince 5(4) ordinul 37

Metode în mai multe etape 39

Metodele Adams 39

Integrarea ecuațiilor cu argument întârziat 40

Compararea calităților de calcul ale metodelor 40

Problema Arenstorff 40

Funcții eliptice Jacobi 41

Problema cu două corpuri 41

Ecuația Van der Pol 42

Brusselator 42

Ecuația lui Lagrange pentru o sfoară suspendată 42

„Pleiade” 42

Întocmirea unei note explicative 43

Pagina de titlu 43

Secțiunea „Introducere” 44

Secțiunea „Teorie” 44

Secțiunea „Algoritm” 44

Secțiunea „Program” 45

Secțiunea „Rezultate” 45

Secțiunea „Concluzii” 45

Secțiunea „Lista surselor utilizate” 45

Aplicații 45

Literatura 47

Introducere

Acest manual conține instrucțiuni metodologice pentru finalizarea sarcinilor de proiect de curs și pentru desfășurarea orelor practice în cadrul cursului „Fundamentele dinamicii statistice”.

Scopul designului cursului și al orelor practice este ca studenții să stăpânească tehnologia analizei a priori și a posteriori a sistemelor dinamice neliniare sub influența perturbațiilor aleatorii.

Analiza a priori a sistemelor dinamice

Linearizarea statistică

Liniarizarea statistică vă permite să transformați sistemul dinamic neliniar original, astfel încât pentru analiza acestuia să puteți utiliza metode, algoritmi și relații care sunt valabile pentru sistemele liniare.

Această secțiune este dedicată prezentării metodei liniarizării statistice, bazată pe cea mai simplă abordare aproximativă propusă de prof. I.E. Kazakov, care permite totuși să construim estimări ale preciziei unui sistem care conține chiar și neliniarități semnificative cu caracteristici discontinue.

Liniarizarea statistică constă în înlocuirea dependenței neliniare fără inerție inițiale dintre procesele de intrare și ieșire cu o astfel de dependență aproximativă, liniară față de procesul aleator de intrare centrat, care este echivalentă din punct de vedere statistic cu cel original:

O legătură care are o astfel de relație aproximativă între semnalele de intrare și de ieșire este numită echivalentă cu legătura neliniară luată în considerare.

Valoarea este selectată pe baza condiției egalității așteptărilor matematice ale semnalelor neliniare și liniarizate și se numește caracteristica medie statistică a legăturii echivalente:

,

unde este densitatea de distribuție a semnalului de intrare.

Pentru legăturile neliniare cu caracteristici impare, i.e. la , este convenabil să se prezinte caracteristica statistică sub forma:

– așteptarea matematică a semnalului de intrare;
– câștig statistic al verigii echivalente pentru componenta medie.

Acea. dependența echivalentă în acest caz ia forma:

Caracteristica se numește câștig statistic al legăturii echivalente pentru componenta aleatoare (fluctuații) și se determină în două moduri.

Prima cale

În conformitate cu prima metodă de liniarizare statistică, coeficientul este selectat pe baza condiției de egalitate a variațiilor semnalelor originale și echivalente. Acea. Pentru calcul obținem următoarea relație:

,

unde este varianța efectului aleator de intrare.

Semnul din expresia pentru este determinat de natura dependenței în vecinătatea valorii argumentului. Dacă crește, atunci , iar dacă scade, atunci .

A doua cale

Valoarea din a doua metodă este selectată din condiția minimizării erorii pătratice medii a liniarizării:

Relația finală pentru calcularea coeficientului folosind a doua metodă este:

.

În concluzie, observăm că niciuna dintre cele două metode de liniarizare discutate mai sus nu asigură egalitatea funcțiilor de corelare a semnalelor de ieșire ale legăturilor neliniare și echivalente. Calculele arată că pentru funcția de corelare a unui semnal neliniar, prima metodă de selecție oferă o estimare superioară, iar a doua metodă dă o estimare mai mică, i.e. erorile în determinarea funcției de corelare a unui semnal de ieșire neliniar au semne diferite. Prof. I.E. Kazakov, autorul metodei prezentate aici, recomandă ca coeficient de liniarizare rezultat să se aleagă jumătate din suma coeficienților obținuți prin prima și a doua metodă.

Filtru de modelare

În mod obișnuit, parametrii sunt determinați prin echivalarea coeficienților polinoamelor numărătorului și numitorului din ecuație

la aceleasi grade.

După determinarea funcției de transfer a filtrului de modelare, schema de simulare ale procesului rezultată arată așa cum se arată în figură.

De exemplu, densitatea spectrală a procesului de modelat are forma:

,

așteptarea matematică, iar pentru modelarea zgomotului alb cu intensitate se utilizează, prin urmare, având densitate spectrală unitară.

Este evident că numărătorul și numitorul funcției de transfer dorite trebuie să aibă ordinele 1 și 2 (de fapt, fiind modul la pătrat, funcția de transfer formează câtul de polinoame de gradul 2 și 4)

Acea. Funcția de transfer a filtrului de modelare în forma sa cea mai generală este următoarea:

,

și pătratul modulului său:

Să echivalăm rapoartele rezultate:

Să scoatem egalitățile din paranteze și pe partea dreaptă, echivalând astfel coeficienții la puteri zero:

,

de unde rezultă în mod clar următoarele egalități:

; ; ; .

Acea. Diagrama bloc a formării unui proces aleatoriu cu caracteristici statistice date din zgomotul alb cu o densitate spectrală unitară arată așa cum se arată în figură, ținând cont de valorile calculate ale parametrilor filtrului de formare.

Simularea zgomotului alb

Pentru a modela un proces aleator cu caracteristici statistice date, zgomotul alb este utilizat ca proces aleator de intrare la filtrul de modelare. Cu toate acestea, modelarea precisă a zgomotului alb nu este fezabilă din cauza variației infinite a acestui proces aleatoriu.

Din acest motiv, un proces în etape aleatorii este utilizat ca înlocuitor pentru zgomotul alb care afectează un sistem dinamic. Intervalul peste care implementarea unui proces aleator își păstrează valoarea neschimbată (lățimea pasului, intervalul de corelare) este o valoare constantă. Însele valorile de implementare (înălțimile treptelor) sunt variabile aleatoare distribuite conform unei legi normale cu așteptări matematice zero și varianță limitată. Valorile parametrilor procesului - intervalul de corelare și dispersia - sunt determinate de caracteristicile sistemului dinamic afectat de zgomotul alb.

Ideea metodei se bazează pe lățimea de bandă limitată a oricărui sistem dinamic real. Acestea. câștigul unui sistem dinamic real scade pe măsură ce frecvența semnalului de intrare crește și, prin urmare, există o frecvență (mai puțin decât infinită) pentru care câștigul sistemului este atât de mic încât poate fi setat la zero. Și aceasta, la rândul său, înseamnă că un semnal de intrare cu o densitate spectrală constantă, dar limitată de această frecvență, pentru un astfel de sistem va fi echivalent cu zgomotul alb (cu o densitate spectrală constantă și infinită).

Parametrii procesului aleator echivalent - intervalul de corelație și varianța - se calculează după cum urmează:

unde este limita determinată empiric a lățimii de bandă a sistemului dinamic.

Acuratețea estimărilor

Estimări de așteptare

si varianta

ale unei variabile aleatoare, construite pe baza procesării unui eșantion limitat de implementări ale acesteia, sunt ele însele variabile aleatoare.

Evident, cu cât dimensiunea eșantionului de implementări este mai mare, cu atât estimarea nepărtinitoare este mai precisă, cu atât este mai aproape de valoarea reală a parametrului estimat. Mai jos sunt formule aproximative bazate pe ipoteza distribuției lor normale. Un interval de încredere relativ simetric pentru estimarea corespunzătoare probabilității de încredere este determinat de valoarea pentru care este valabilă relația:

,

Unde
– valoarea adevărată a așteptărilor matematice a unei variabile aleatoare,
– abaterea standard a variabilei aleatoare,
– integrală de probabilitate.

Pe baza relației de mai sus, valoarea poate fi determinată după cum urmează:

,

unde este funcția inversă integralei de probabilitate.

Deoarece nu cunoaștem cu exactitate caracteristica de dispersie a estimării, vom folosi valoarea ei aproximativă calculată folosind estimarea:

Acea. Relația finală dintre acuratețea estimării așteptărilor matematice și dimensiunea eșantionului utilizat pentru estimare este următoarea:

.

Aceasta înseamnă că valoarea intervalului de încredere (cu o valoare constantă a probabilității de încredere) situat simetric față de , exprimată ca o fracțiune din estimarea abaterii standard, este invers proporțională cu rădăcina pătrată a mărimii eșantionului.

Intervalul de încredere pentru estimarea varianței este determinat într-un mod similar:

cu o precizie de , care, în absența unor informații mai exacte, poate fi determinată aproximativ din relație:

Acea. valoarea intervalului de încredere (la o valoare constantă a probabilității de încredere), situată simetric față de , exprimată în cotele sale, este invers proporțională cu rădăcina pătrată a valorii, unde este dimensiunea eșantionului.

Formule mai precise pentru construirea intervalelor de încredere pentru estimări pot fi obținute folosind informații precise despre legea distribuției unei variabile aleatoare.

De exemplu, pentru o lege de distribuție gaussiană, variabila aleatoare

respectă legea distribuției Student cu un grad de libertate și variabila aleatoare

distribuite conform legii tot cu un grad de libertate.

filtru Kalman

Model de mișcare

După cum se știe, filtrul Kalman este conceput pentru a estima vectorul de stare al unui sistem dinamic liniar, al cărui model de evoluție poate fi scris ca:

Unde
– Matricea Cauchy, care determină din când în când modificarea vectorului de stare a sistemului în mișcare proprie (fără influențe de control și zgomot);
– vector de forțare a influențelor nealeatoare asupra sistemului (de exemplu, acțiuni de control) la un moment dat;
– matricea influenței influențelor de forțare la un moment dat asupra vectorului de stare al sistemului la un moment dat;
– vector de influențe aleatorii centrate independente asupra sistemului la un moment dat;
– matricea de influență a influențelor aleatorii la momentul de timp asupra vectorului de stare al sistemului la momentul de timp.

Model de măsurare

Estimarea se realizează pe baza prelucrării statistice a rezultatelor măsurătorilor legate liniar de vectorul de stare și distorsionate printr-o eroare nepărtinitoare aditivă:

unde este o matrice care conectează vectorii de stare și măsurători în același moment în timp.

Corecţie

Filtrul Kalman se bazează pe relații de corecție care sunt rezultatul minimizării urmei matricei de covarianță a densității distribuției posterioare a unei estimări liniare (de-a lungul vectorului de măsurare) a vectorului de stare a sistemului:

Prognoza

Suplimentarea relațiilor de corecție cu relații de prognoză bazate pe proprietățile liniare ale modelului de evoluție a sistemului:

unde este matricea de covarianță a vectorului, obținem formulele algoritmului bayesian recurent de estimare a vectorului de stare a sistemului și a matricei de covarianță a acestuia pe baza procesării statistice a rezultatelor măsurătorilor.

Evaluare

Evident, pentru implementarea relațiilor de mai sus, este necesar să se poată construi matrici, din modelul de evoluție, o matrice din modelul de măsurare, precum și matrici de covarianță pentru fiecare moment de timp.

În plus, pentru a inițializa procesul de calcul, este necesar să se determine cumva estimări a posteriori, sau a priori, ale vectorului de stare și ale matricei sale de covarianță. Termenul „a priori” sau „a posteriori” în acest caz înseamnă doar calitatea în care vectorul de stare și matricea sa de covarianță vor fi utilizate în algoritmul de calcul și nu spune nimic despre cum au fost obținute.

Astfel, alegerea raportului de la care să înceapă calculele este determinată de momentele de timp la care sunt atribuite condițiile inițiale de filtrare și primul vector de măsurare brut. Dacă punctele de timp coincid, atunci relațiile de corecție trebuie aplicate mai întâi, permițând clarificarea condițiilor inițiale; dacă nu, atunci condițiile inițiale ar trebui mai întâi prezise în momentul legării primului vector de măsurare brut.

Să explicăm algoritmul de filtrare Kalman folosind o figură.

Figura prezintă mai multe traiectorii posibile ale vectorului de fază în axele de coordonate (în canalul de mișcare):

– adevărata traiectorie de evoluție a vectorului de fază;
– evoluția vectorului de fază, prezisă pe baza utilizării unui model de mișcare și a unei estimări a priori a vectorului de fază raportat la momentul în timp;
– evoluția vectorului de fază, prezisă pe baza utilizării unui model de mișcare și a unei estimări a posteriori (mai precise) a vectorului de fază raportat la momentul în timp

În axele de coordonate, (în canalul de măsurare) momentele de timp și rezultatele măsurătorilor și sunt reprezentate:

,

Unde
– valoarea reală a vectorului de măsurare în momentul de timp;
– vectorul erorilor de măsurare realizate în timp .

Pentru a construi o corecție a vectorului de fază a priori al sistemului, se utilizează diferența dintre rezultatul măsurării și valoarea care ar fi măsurată conform modelului de măsurare al problemei dacă vectorul de fază a luat efectiv valoarea . Ca urmare a aplicării relațiilor de corecție la estimări a priori, estimarea vectorului de fază al sistemului va fi ceva mai precisă și va lua valoarea , ceea ce va face posibilă mai exact (cel puțin în apropierea timpului) preziceți comportamentul vectorului de fază al sistemului dinamic studiat folosind modelul de mișcare problematică.

În acest moment, rezultatul prognozei este utilizat ca estimare a priori pe traiectoria care trece prin vectorul de fază se construiește din nou diferența de măsurare din care se calculează a posteriori valoarea și mai precisă etc. atâta timp cât există vectori de măsurare de procesat sau este nevoie de a prezice comportamentul vectorului de fază.

Metoda celor mai mici pătrate

Această secțiune prezintă metoda celor mai mici pătrate adaptată pentru analiza a posteriori a sistemelor dinamice.

Construirea devizelor

Pentru cazul unui model liniar de măsurători cu precizie egală:

avem următorul algoritm pentru estimarea vectorului de fază:

.

În cazul măsurătorilor inegale, se introduce în considerare matricea care conține coeficienți de greutate pe diagonală. Luând în considerare coeficienții de ponderare, relația anterioară va lua forma:

.

Dacă folosim ca matrice de ponderare inversul matricei de covarianță a erorilor de măsurare, atunci ținând cont de faptul că obținem:

.

După cum rezultă din relațiile de mai sus, baza metodei este o matrice care conectează vectorul de fază estimat, referit la un anumit moment în timp, și vectorul de măsurare. Un vector, de regulă, are o structură de bloc, în care fiecare dintre blocuri este atribuit unui anumit moment în timp, care, în general, nu coincide cu .

Figura prezintă câteva poziții relative posibile ale momentelor de timp cărora le sunt atribuite măsurătorile și momentului de timp căruia i se atribuie vectorul parametrilor estimați.

Pentru fiecare vector este valabilă următoarea relație:

, la .

Astfel, în relația celor mai mici pătrate rezultată, vectorul și matricea au următoarea structură:

; .

Unde
– determină efectul de forțare non-aleatoriu asupra sistemului;
– determină impactul aleatoriu asupra sistemului.

relațiile de predicție întâlnite mai sus în descrierea algoritmului de filtrare Kalman pot fi utilizate:

unde este matricea de covarianță a vectorului.

Construcția matricei Cauchy

În problemele de construire a estimărilor folosind metode de prelucrare statistică a măsurătorilor, problema construirii matricei Cauchy este adesea întâlnită. Această matrice conectează vectorii de fază ai sistemului, alocați diferitelor momente de timp, în propria mișcare.

În această secțiune, ne vom limita la luarea în considerare a aspectelor legate de construcția matricei Cauchy pentru modelul de evoluție, scrisă sub forma unui sistem de ecuații diferențiale obișnuite (liniare sau neliniare).

unde se utilizează următoarea notație pentru matricele de proporționalitate construite în vecinătatea traiectoriei de referință:

; .

Simulare de măsurare

Problema apare atunci când, de exemplu, atunci când se evaluează acuratețea potențial realizabilă a unei metode într-o anumită sarcină, nu aveți niciun rezultat de măsurare. În acest caz, rezultatele măsurătorii trebuie simulate. Particularitatea modelării rezultatelor măsurătorilor este că modelele de mișcare și de măsurare utilizate în acest scop pot să nu coincidă cu modelele pe care le veți utiliza atunci când construiți estimări folosind una sau alta metodă de filtrare.

Valorile adevărate ale coordonatelor acestui vector ar trebui folosite ca condiții inițiale pentru modelarea evoluției vectorului de fază a unui sistem dinamic. În afară de acest loc, coordonatele adevărate ale vectorului de fază al sistemului nu ar trebui folosite în altă parte.

Metode numerice

Caracteristici speciale

Vectori aleatori

Problema, a cărei soluție este descrisă în această subsecțiune, constă în modelarea unui vector de variabile aleatoare gaussiene corelate între ele.

Fie ca vectorul aleator de modelat să fie format pe baza transformării unui vector de variabile aleatoare standard necorelate de dimensiunea corespunzătoare, după cum urmează: cu o precizie de 4 cifre, bazată pe expansiunea în serie în puteri ale argumentului pentru cele trei intervale ale sale.

Când suma seriei asimptotice devine aproape egală cu 1.