ניתוח איכותי של מערכות דינמיות. ניתוח המאפיינים הדינמיים של המערכת

אוטומציה וטלמכניקה, L-1, 2007

RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 יו.ס. POPKOV, דוקטור להנדסה. מדעים (המכון לניתוח מערכות RAS, מוסקבה)

ניתוח איכותי של מערכות דינמיות עם מפעיל Vd-ENTROPY

מוצעת שיטה לחקר הקיום, הייחודיות והלוקליזציה של נקודות בודדות של המעמד הנחשב של DSEO. מתקבלים תנאים ליציבות "בקטן" ו"בגדול". ניתנות דוגמאות ליישום של התנאים שהושגו.

1. הקדמה

ניתן לפתור בעיות רבות של מידול מתמטי של תהליכים דינמיים בהתבסס על הרעיון של מערכות דינמיות עם אופרטור אנטרופיה (DSEO). DSEO היא מערכת דינמית שבה אי-לינאריות מתוארת על ידי הבעיה הפרמטרית של מקסום אנטרופיה. מבחינה פיאו-מיולוגית, DSEO הוא מודל של מאקרו-סיסטם עם רבייה עצמית "איטית" והפצה "מהירה" של משאבים. כמה מאפיינים של DSEO נחקרו ב. עבודה זו ממשיכה את מעגל המחקר על המאפיינים האיכותיים של DSEO.

אנו רואים מערכת דינמית עם האופרטור Vd-entropy:

^ = £(x,y(x)), x e En:

y(x) = a^shax(Hb(y) | Ty = q(x), y e E^) > 0.

בביטויים האלה:

C(x,y), c(x) הן פונקציות וקטוריות הניתנות להבדלה מתמשכת;

אנטרופיה

(1.2) Нв (у) = з 1п az > 0, з = Т~т;

T - (r x w)-מטריקס עם אלמנטים ^ 0 יש דרגה מלאה שווה ל-r;

ההנחה היא שהפונקציה הווקטורית q(x) ניתנת להבדלה מתמשכת, הסט ^ ^^ ^מתוקשר q הוא מקבילי חיובי

(1.3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

כאשר a- ו- + הם וקטורים מ-E+, ו- a- הוא וקטור עם רכיבים קטנים.

שימוש בייצוג הידוע של אופרטור האנטרופיה במונחים של מכפילי לגראנז'. הבה נהפוך את המערכת (1.1) לצורה הבאה:

- = £(x,y(z)), x e Kn, y(z) e K?, g e Er+

Uz (r) = az\\ ^, 3 = 1,t-

O(x,z) = Ty(z) = d(x),

כאשר rk = exp(-Ak) > 0 הם מכפילי לגראנז' מעריכי.

יחד עם DSEO בצורה כללית (1.1), נשקול לעקוב אחר הסיווג המופיע ב.

DSEO עם זרימה ניתנת להפרדה:

(1-5) ^ = I(x) + Ву(r),

כאשר B(n x m)-מטריקס;

DSEO עם זרימה כפולה:

(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xi(z)), ab

כאשר Ш הוא מטריצה ​​(n x m) עם אלמנטים לא שליליים, a הוא וקטור עם רכיבים חיוביים, ® הוא הסימן לכפל קואורדינטות.

מטרת עבודה זו היא לחקור את קיומם, הייחודיות והלוקליזציה של נקודות יחידות של DSEO ואת יציבותן.

2. נקודות יחיד

2.1. קִיוּם

הבה נבחן מערכת (1.4). הנקודות הסינגולריות של מערכת דינמית זו נקבעות על ידי המשוואות הבאות:

(2.1) C^(x,y(z))=0, z = TP;

(2.2) kz (r) = a^ r^, 3 = T^:

(2.3) vk (r) = ^ az r^ = dk (x), k = 1, r.

הבה נבחן תחילה את מערכת העזר של משוואות:

(2.4) C(d,r) = g, d e R,

כאשר קבוצת R מוגדרת על ידי שוויון (1.3) ו-C(d,r) היא פונקציה וקטורית עם רכיבים

(2.5) Sk(d,g) = - Ok(g), a-< дк < а+, к =1,г.

למשוואה (2.4) יש פתרון ייחודי r* לכל וקטור d קבוע, הנובע מהמאפיינים של האופרטור Vd-entropy (ראה).

מהגדרת המרכיבים של הפונקציה הווקטורית C(d,r) יש אומדן ברור:

(2.6) C(a+,r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

הבה נסמן את פתרון המשוואה הראשונה ב-r+ והשנייה ב-r-. בואו נגדיר

(2.7) C (a+,z) = z, C(a

(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk

ווקטורים ר-ממדיים

(2.9) z (zmax, zmax), z (zmin , zmin).

Lemma 2.1. לכל q G Q (1 . 3) שייכים הפתרונות z*(q) של המשוואה (2.4), וקטור 1 לקטע

zmin< z*(q) < zmax,

כאשר הוקטורים zmin ו- zmax נקבעים על ידי ביטויים (2.7)-(2.9).

הוכחת המשפט מובאת בנספח. Qq

qk(x) (1.3) עבור x G Rn, אז

מסקנה 2.1. תנו לתנאים של Lemma 2.1 להתקיים והפונקציות qk(x) יעמדו בתנאים (1.3) עבור כל ה-ex x G Rn. אז עבור כל x G Rm הפתרונות z* של המשוואה (2.3) שייכים לקטע הווקטור

zmin< z* < zmax

נחזור כעת למשוואות (2.2). הקובעים את מרכיבי הפונקציה הוקטורית y(z). למרכיבי היעקוביאנית שלו יש את הצורה

(2.10) jb aj zk JJ & > 0

עבור כל z G R+ מלבד 0 ו-f. כתוצאה מכך, הפונקציה הוקטורית y(z) הולכת וגדלה באופן מונוטוני בהחלט. לפי הלמה 2.1 הוא מוגבל מתחת ולמעלה, כלומר. עבור כל z G Rr (ולכן, עבור כל x G Rn) הערכים שלו שייכים לסט

(2.11) Y = (y: y-< y < y+},

כאשר הרכיבים של הוקטורים yk, y+ נקבעים על ידי הביטויים:

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.

(2.13) bj = Y, tsj, 3 =1,

הבה נשקול את המשוואה הראשונה ב(2.1) ונכתוב אותה מחדש בצורה:

(2.14) L(x,y) = 0 עבור כל y e Y C E^.

משוואה זו קובעת את התלות של המשתנה x במשתנה y, השייך ל-Y

we (1.4) מצמצם לקיומה של פונקציה משתמעת x(y) המוגדרת במשוואה (2.14).

Lemma 2.2. תנו לתנאים הבאים להתקיים:

א) הפונקציה הווקטורית L(x,y) רציפה בקבוצת המשתנים;

ב) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

ג) det J (x, y) = 0 עבור כל ex x e Ep עבור כל y e Y קבוע.

אז יש פונקציה מרומזת ייחודית x*(y) המוגדרת על Y. בלמה זו, J(x, y) הוא יעקוביאני עם אלמנטים

(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.

ההוכחה ניתנת בנספח. מההלמות הנ"ל עולה

משפט 2.1. תנו לתנאים של למאס 2.1 ו-2.2 להתקיים. אז יש נקודה ייחודית של DSEO (1.4) ובהתאם, (1.1).

2.2. לוקליזציה

בלימוד הלוקליזציה של נקודה יחידה אנו מתכוונים לאפשרות לקבוע את המרווח שבו היא ממוקמת. משימה זו אינה פשוטה במיוחד, אך עבור מחלקה מסוימת של DSEO ניתן להגדיר מרווח כזה.

הבה נפנה לקבוצת המשוואות הראשונה ב(2.1) ונציג אותן בצורה

(2.16) L(x,y)=0, y- y y y+,

כאשר y- ו-y+ מוגדרים על ידי שוויון (2.12), (2.13).

משפט 2.2. תנו לפונקציה הוקטורית L(x,y) להיות ניתנת להבדלה מתמשכת ועלייה מונוטונית בשני המשתנים, כלומר.

-- > 0, -- > 0; i,l = 1, n; j = 1,מ. dxi dyj

אז הפתרון של המערכת (2.16) ביחס למשתנה x שייך למרווח (2.17) xmin х x х xmax,

א) לוקטורים xmin, xmax יש את הצורה

Min = i x 1 xmax = r x t;

\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax):

xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;

6) x- ו-x+ - מרכיבי הפתרון למשוואות הבאות

(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0

עם oo m אכן.

הוכחת המשפט מובאת בנספח.

3. יציבות של DSEO "בקטנה"

3.1. DSEO עם זרימה ניתנת להפרדה הבה נפנה למשוואות של DSEO עם זרימה ניתנת להפרדה, ונציג אותן בצורה:

- = /(x) + Bu(r(x)), x e Kn ab

U- (g(X)) = azP (X)U33, 3 = 1,"~ 8 = 1

0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = d(x), g e Hg,.

כאן הערכים של רכיבי הפונקציה הווקטורית d(x) שייכים לקבוצת Q (1.3), למטריצה ​​(n x w) B יש דרגה מלאה השווה ל-n (n)< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

תן למערכת הנבדקת לקבל נקודה יחידה x. כדי ללמוד את היציבות של נקודה יחידה זו "בקטנה" אנו בונים מערכת לינארית

כאשר A היא מטריצה ​​(n x n), שהרכיבים שלה מחושבים בנקודה x, והווקטור £ = x - x. לפי המשוואה הראשונה ב(3.1), למטריצה ​​של המערכת הלינארית יש

A = 7 (x) + BUg (g)Ikh (x), x = g (x),

| 3 = 1,w,k = 1,

I k = 1,g, I = 1,p

מתוך (3.1) נקבעים האלמנטים של המטריצה ​​Vr: DN.

"bkz P" 8=1

3, g8 x8, 5 1, g.

כדי לקבוע את המרכיבים של המטריצה ​​Zx, נפנה לקבוצת המשוואות האחרונה ב(3.1). מוצג שמשוואות אלו מגדירות פונקציה וקטורית מרומזת r(x), הניתנת להבדלה מתמשכת אם הפונקציה הוקטורית d(x) ניתנת להבדלה מתמשכת. ה-Zx היעקובי של הפונקציה הווקטורית r(x) נקבע על ידי המשוואה

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vg (X) = T Ug (X),

ddk, -t- , -" -- k = 1,g, I = 1,p dx\

מהמשוואה הזו יש לנו (3.9) Zx(x) = в-1(z)Qx(x).

החלפת תוצאה זו בשוויון (3.3). אנחנו מקבלים:

A = 1 (x) + P (x), P (x) = ВУг (г)[ТУг (г)]-1 Qx(x).

לפיכך, המשוואה של המערכת הלינארית לובשת את הצורה

(ז.י) | = (j+p)e

כאן מחושבים האלמנטים של המטריצות J, P בנקודה הסינגולרית. תנאים מספיקים ליציבות "ב-DSEO קטן" (3.1) נקבעים לפי הדברים הבאים

משפט 3.1. ל-DSEO (3.1) יש נקודת "בקטנה" יחידה x יציבה אם מתקיימים התנאים הבאים:

א) למטריצות J, P (3.10) של המערכת הלינארית (3.11) יש ערכים עצמיים אמיתיים ומובחנים, ולמטריקס J יש את הערך העצמי המקסימלי

Ptah = max Pg > 0,

Wmax = מקסימום Ui< 0;

Umax + Ptah<

ממשפט זה ומהשוויון (3.10) עולה כי עבור נקודות יחידות שעבורן Qx(x) = 0 ו-(או) עבור X, = 0 ו-tkj ^ 1 עבור כל k,j התנאים המספיקים של המשפט אינם מתקיימים.

3.2. DSEO עם זרימה כפולה שקול את המשוואה (1.6). הצגתם בצורה:

X ® (a - x ® Wy(z(x))), x e Rn;

yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;

(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++.

מערכות. יהיה:

(3.13) A = ^ [ס"מ] - 2ХШУх (r^x(x).

בביטוי זה, diag C] היא מטריצה ​​אלכסונית עם אלמנטים חיוביים a1,..., an, Vr, Zx - מטריצות המוגדרות על ידי שוויון (3.4)-(3.7).

הבה נציג את מטריצה ​​A בצורה

(3.14) A = diag+P (x),

(3.15) P (x) = -2xWYz (z)Zx(x).

נסמן: maxi ai = nmax ו-wmax הוא הערך העצמי המרבי של המטריצה ​​P(x) (3.15). אז משפט 3.1 תקף גם עבור DSEO (1.6). (3.12).

4. יציבות של DSEO "בגדול"

הבה נפנה למשוואות ה-DESO (1.4), שבהן ערכי מרכיבי הפונקציה הוקטורית q(x) שייכים לקבוצת Q (1.3). במערכת הנבדקת ישנה נקודה יחידנית Z, המתאימה לוקטורים z(x) = z ^ z- > 0 ו

y(x) = y(z) = y > y- > 0.

הבה נציג את הווקטורים של הסטיות £, C, П מהנקודה הסינגולרית: (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.

ZHEZHERUN A.A., POKROVSKY A.V. - 2009

קינטיקה של תהליכים ביולוגיים

כיצד נוכל לתאר את הדינמיקה של מערכות ביולוגיות? בכל רגע בזמן, למערכת ביולוגית יש סט של מאפיינים מסוימים. לדוגמה, על ידי התבוננות באוכלוסיה של מין, ניתן לרשום את גודלה, השטח התפוס על ידי השטח, כמות המזון הזמין, טמפרטורת הסביבה וכו'. ניתן לאפיין את מהלך התגובה הכימית על ידי ריכוזי החומרים המעורבים, לחץ, טמפרטורה ורמת החומציות של הסביבה. מערך הערכים של כל המאפיינים שהחוקר בחר לתיאור המערכת הוא מצב המערכת בכל רגע בזמן. בעת יצירת מודל, משתנים ופרמטרים נבחרים מתוך האוכלוסייה שצוינה. משתנים הם אותם כמויות שהשינויים בהם מעניינים בעיקר את החוקר, פרמטרים הם התנאים של "הסביבה החיצונית". עבור המשתנים שנבחרו נערכים משוואות המשקפות את דפוסי השינוי במערכת לאורך זמן. לדוגמה, בעת יצירת מודל לגידול של תרבית מיקרוביאלית, מספרה משמש בדרך כלל כמשתנה, וקצב ההתרבות שלה משמש בדרך כלל כפרמטר. אולי הטמפרטורה שבה מתרחשת הצמיחה היא משמעותית, אז אינדיקטור זה נכלל גם במודל כפרמטר. ואם, למשל, רמת האוורור תמיד מספקת ואין לה השפעה על תהליכי גדילה, אז היא כלל לא נכללת במודל. ככלל, הפרמטרים נשארים ללא שינוי במהלך הניסוי, אולם ראוי לציין כי זה לא תמיד כך.

ניתן לתאר את הדינמיקה של מערכת ביולוגית (כלומר, שינויים במצבה לאורך זמן) באמצעות מודלים בדידים ורציפים כאחד. מודלים בדידים מניחים שזמן הוא כמות בדידה. זה מתאים לרישום ערכי משתנים במרווחי זמן קבועים מסוימים (לדוגמה, פעם בשעה או פעם בשנה). במודלים רציפים, המשתנה הביולוגי הוא פונקציה רציפה של זמן, המסומנת למשל. איקס(ט).

לעתים קרובות יש חשיבות רבה תנאים התחלתייםמודל - מצב המאפיין הנחקר ברגע הזמן הראשוני, כלומר. בְּ- ט = 0.

כאשר לומדים את השינוי המתמשך של מאפיין כלשהו איקס(ט) ייתכן שנדע מידע על קצב השינוי שלו. מידע זה יכול להיכתב בדרך כלל בצורה של משוואה דיפרנציאלית:

סימן רשמי זה אומר שקצב השינוי של מאפיין כלשהו הנחקר הוא פונקציה של הזמן וגודל המאפיין הזה.

אם הצד הימני של משוואה דיפרנציאלית של הצורה אינו תלוי בבירור בזמן, כלומר. יריד:

ואז נקראת המשוואה הזו אוטונומי(המערכת המתוארת במשוואה כזו נקראת אוטונומי). מצבן של מערכות אוטונומיות בכל רגע בזמן מאופיין בכמות אחת בודדת - ערך המשתנה איקסברגע זה בזמן ט.

הבה נשאל את עצמנו את השאלה: תינתן עבורו משוואה דיפרנציאלית איקס(ט), האם ניתן למצוא את כל הפונקציות איקס(ט) עומדים במשוואה זו? או: אם הערך ההתחלתי של משתנה כלשהו ידוע (למשל, גודל האוכלוסייה הראשוני, ריכוז החומר, מוליכות החשמל של הסביבה וכו') ויש מידע על אופי השינוי במשתנה זה, האם ניתן לחזות מה יהיה ערכו בכל נקודות הזמן הבאות? התשובה לשאלה הנשאלת היא כדלקמן: אם ניתנים התנאים ההתחלתיים ומתקיימים התנאים של משפט קאוצ'י עבור המשוואה (פונקציה המוגדרת בתחום מסוים והנגזרת החלקית שלה הן רציפות בתחום זה), אזי ישנה פתרון ייחודי למשוואה שעונה על תנאי ההתחלה הנתונים. (נזכיר שכל פונקציה רציפה שעונה על משוואה דיפרנציאלית נקראת פתרון למשוואה זו.) פירוש הדבר שאנו יכולים לחזות באופן ייחודי את התנהגותה של מערכת ביולוגית אם המאפיינים של המצב ההתחלתי שלה ידועים ומשוואת המודל עומדת בתנאים של משפט קאוצ'י.

מצב נייח. קיימות

נשקול את המשוואה הדיפרנציאלית האוטונומית

במצב נייח, ערכי המשתנים במערכת אינם משתנים עם הזמן, כלומר קצב השינוי בערכי המשתנים הוא 0: . אם הצד השמאלי של המשוואה (1.2) שווה לאפס, אז גם הצד הימני שווה לאפס: . השורשים של המשוואה האלגברית הזו הם מצבים נייחיםמשוואת דיפרנציאלית (1.2).

דוגמה1.1:מצא את המצבים הנייחים של המשוואה.

פִּתָרוֹן: הבה נעביר את המונח שאינו מכיל את הנגזרת לצד ימין של השוויון: . בהגדרה, במצב נייח מתקיים השוויון הבא:. המשמעות היא שיש לספק את השוויון . נפתור את המשוואה:

,

אז, למשוואה יש 3 מצבים נייחים: , .

מערכות ביולוגיות חוות כל הזמן השפעות חיצוניות שונות ותנודות רבות. יתר על כן, להם (מערכות ביולוגיות) יש הומאוסטזיס, כלומר. יַצִיב. בשפה מתמטית זה אומר שמשתנים חוזרים לערכים הנייחים שלהם עם סטיות קטנות. האם המודל המתמטי שלו ישקף התנהגות זו של מערכת ביולוגית? האם המצבים הנייחים של הדגם יציבים?

המצב היציב הוא יציב, אם, עם סטייה קטנה מספיק ממיקום שיווי המשקל, המערכת לעולם לא זזה רחוק מהנקודה הסינגולרית. מצב יציב מתאים למצב פעולה יציב של המערכת.

מצב שיווי המשקל של משוואה הוא Lyapunov יציב אם עבור כל זה תמיד אפשרי למצוא כזה אם, אז עבור כולם.

קיימת שיטה אנליטית לחקר היציבות של מצב נייח - שיטת ליאפונוב. כדי להצדיק את זה, הבה נזכיר הנוסחה של טיילור.

באופן רופף, הנוסחה של טיילור מראה את ההתנהגות של פונקציה בסביבה של נקודה מסוימת. תן לפונקציה להיות נגזרות מכל הסדרים עד n-ה' כולל. אז הנוסחה של טיילור תקפה:

אם נזרוק את שאר המונח , המייצג את עצמו כאינפיניטסימלי מסדר גבוה מ- , נקבל את הנוסחה המשוערת של טיילור:

הצד הימני של הנוסחה המשוערת נקרא פולינום טיילורפונקציות, הוא מסומן כ.

דוגמה1.2:הרחב את הפונקציה לסדרת טיילור בשכונה של נקודה עד הסדר הרביעי.

פִּתָרוֹן:הבה נכתוב את סדרת טיילור עד הסדר הרביעי בצורה כללית:

בואו נמצא את הנגזרות של הפונקציה הנתונה בנקודה:

,

בואו נחליף את הערכים שהתקבלו בנוסחה המקורית:

שיטה אנליטית לחקר היציבות של מצב נייח ( שיטת ליאפונוב) הוא כדלקמן. בואו להיות המצב הנייח של המשוואה. בוא נגדיר סטייה קטנה של המשתנה איקסמערכו הנייח: , שבו . בואו נחליף את הביטוי בנקודה איקסלתוך המשוואה המקורית: . הצד השמאלי של המשוואה יקבל את הצורה: , שכן במצב נייח שיעור השינוי של ערך המשתנה הוא אפס:. הבה נרחיב את הצד הימני לסדרת טיילור בקרבת המצב הנייח, תוך התחשבות בכך , נשאיר רק את האיבר הליניארי בצד ימין של המשוואה:

יש משוואה לינאריתאוֹ משוואת הקירוב הראשונה. הכמות היא ערך קבוע כלשהו, ​​הבה נסמן אותו א: . לפתרון הכללי של המשוואה הלינארית יש את הצורה: . ביטוי זה מתאר את החוק לפיו הסטייה שאנו מציינים מהמצב הנייח תשתנה עם הזמן. הסטייה תדעך עם הזמן, כלומר. ב, אם המעריך במעריך הוא שלילי, כלומר. . בהגדרה, המצב היציב יהיה יציב. אם , אז עם הגדלת הזמן הסטייה רק ​​תגדל, המצב הנייח הוא לֹא יַצִיב. במקרה שבו משוואת הקירוב הראשון לא יכולה לתת תשובה לשאלה על יציבות המצב הנייח. יש לשקול מונחים מסדר גבוה יותר בהרחבת סדרת טיילור.

בנוסף לשיטה האנליטית לחקר היציבות של מצב נייח, ישנה גם שיטה גרפית.

דוגמה 1.3.לתת . מצא את המצבים הנייחים של המשוואה וקבע את סוג היציבות שלהם באמצעות גרף הפונקציה .

פִּתָרוֹן:בואו למצוא נקודות מיוחדות:

,

,

אנו בונים גרף של הפונקציה (איור 1.1).

אורז. 1.1. גרף של פונקציה (דוגמה 1.3).

הבה נקבע מהגרף אם כל אחד מהמצבים הנייחים שנמצאו יציב. הבה נקבע סטייה קלה של הנקודה המייצגת מהנקודה הסינגולרית שמאלה:. בנקודה עם הקואורדינטה, הפונקציה מקבלת ערך חיובי: או . אי השוויון האחרון אומר שעם הזמן הקואורדינטה צריכה לגדול, כלומר הנקודה המייצגת צריכה לחזור לנקודה. כעת בוא נגדיר סטייה קלה של הנקודה המייצגת מהנקודה הסינגולרית לימין: . באזור זה, הפונקציה שומרת על ערך חיובי, ולכן, לאורך זמן, הקואורדינטה איקסגם גדל, כלומר, הנקודה המייצגת תתרחק מהנקודה. לפיכך, סטייה קטנה מוציאה את המערכת ממצב נייח, ולכן, בהגדרה, נקודה יחידה אינה יציבה. נימוק דומה מוביל לכך שכל סטייה מהנקודה הסינגולרית דועכת עם הזמן, והמצב הנייח יציב. סטייה של הנקודה המייצגת בכל כיוון מהמצב הנייח מביאה להסרתה מהנקודה; זהו מצב נייח לא יציב.

פתרון מערכת של משוואות דיפרנציאליות לינאריות

הבה נעבור לחקר מערכות משוואות, ראשית ליניארי. באופן כללי, ניתן לייצג מערכת של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות כך:

הניתוח של מערכת משוואות מתחיל במציאת מצבים נייחים. למערכות מסוג (1.3) יש נקודה יחידה ייחודית, הקואורדינטות שלה הן (0,0). היוצא מן הכלל הוא המקרה המנוון כאשר ניתן לייצג את המשוואות כך:

(1.3*)

במקרה זה, כל הזוגות העונים על היחס הם נקודות נייחות של המערכת (1.3*). בפרט, הנקודה (0,0) היא גם נייחת עבור המערכת (1.3*). במישור הפאזה במקרה זה יש לנו קו ישר עם מקדם שיפוע העובר דרך מקור הקואורדינטות, שכל נקודה שלה היא נקודה יחידה של המערכת (1.3*) (ראה טבלה 1.1, סעיף 6).

השאלה העיקרית שהתוצאה של לימוד מערכת משוואות צריכה לענות עליה היא: האם המצב הנייח של המערכת יציב, ואיזה אופי יש לפתרון הזה (מונוטוני או לא מונוטוני).

החלטה משותפתלמערכת של שתי משוואות לינאריות יש את הצורה:

מספרים אופיינייםניתן לבטא באמצעות המקדמים של משוואות לינאריות כדלקמן:

מספרים אופייניים יכולים להיות 1) ממשי של סימנים שונים, 2) ממשי מאותו סימן, 3) מצומד מורכב, וגם, במקרים מנוונים, 4) דמיוניים בלבד, 5) ממשי חופפים, 6) ממשיים, אחד מהם (או שניהם) שווה לאפס. מקרים אלה קובעים את סוג ההתנהגות של הפתרון של מערכת של משוואות דיפרנציאליות רגילות. דיוקנאות השלב המתאימים מוצגים בטבלה 1.1.

טבלה 1.1. סוגי מצבים נייחים של מערכת של שתי משוואות דיפרנציאליות ליניאריות ודיוקנאות הפאזה המתאימים. החצים מציגים את כיוון התנועה של הנקודה המייצגת

בניית דיוקנאות פאזה וקינטית של מערכת של שתי משוואות דיפרנציאליות ליניאריות

מטוס פאזהנקרא מישור עם צירי קואורדינטות שעליו משורטים ערכי המשתנים איקסו y, כל נקודה במישור מתאימה למצב מסוים של המערכת. קבוצה של נקודות במישור הפאזה, שמיקומן תואם למצבי המערכת בתהליך של שינוי משתנים לאורך זמן, לפי המשוואות הנתונות של המערכת הנחקרת, נקראת מסלול שלב. סט מסלולי השלב עבור ערכים ראשוניים שונים של המשתנים נותן דיוקן של המערכת. בְּנִיָה דיוקן פאזהמאפשר לך להסיק מסקנות לגבי אופי השינויים במשתנים איקסו yללא ידע בפתרונות אנליטיים של מערכת המשוואות המקורית.

הבה נבחן מערכת של משוואות דיפרנציאליות לינאריות:

אנו מתחילים לבנות דיוקן פאזה על ידי בנייה איזוקינים עיקריים(איזוקלין הוא קו לכל אורכו ששיפוע עקומת הפאזה (מסלול), שנקבע על ידי המשוואה, נשאר קבוע). עבור מערכת של שתי משוואות דיפרנציאליות ליניאריות, אלו תמיד קווים ישרים העוברים דרך מוצא הקואורדינטות. המשוואה איזוקלין של משיקים אופקיים: . משוואת האיזוקלין של משיקים אנכיים: . כדי לבנות עוד יותר את דיוקן הפאזה, כדאי לבנות איזוקלינה של משיקים העוברים בזווית. כדי למצוא את משוואת האיזוקלין המתאימה, יש צורך לפתור את המשוואה . אתה יכול גם למצוא איזוקלינים של משיקים של זוויות אחרות באמצעות ערכים משוערים של משיקים של הזוויות. בבניית דיוקן פאזה, התשובה לשאלה באיזו זווית צריכים מסלולי השלב לחתוך את צירי הקואורדינטות יכולה לעזור גם כן. לשם כך, משוואת האיזוקלין אנו מחליפים את השוויון המקביל (כדי לקבוע את זווית החיתוך עם ציר OY) ו-(כדי לקבוע את זווית החיתוך עם ציר ה-OX).

דוגמה 1.4.קבע את סוג הנקודה הסינגולרית של מערכת המשוואות הלינאריות:

בניית דיוקן פאזה וקינטי של המערכת.

פִּתָרוֹן:הקואורדינטות של הנקודה הסינגולרית הן (0,0). המקדמים של משוואות ליניאריות הם: , , , . הבה נקבע את סוג המצב הנייח (ראה סעיף על מספרים אופייניים):

לפיכך, השורשים האופייניים הם דמיוניים: לכן, הנקודה הסינגולרית של המערכת הליניארית הנבדקת היא מסוג מרכז (איור 1.2א).

משוואת האיזוקלין של משיקים אופקיים: , משוואת האיזוקלין של משיקים אנכיים:. בזווית של 45°, מסלולי המערכת חותכים קו ישר .

לאחר בניית דיוקן השלב, יש צורך לקבוע את כיוון התנועה לאורך המסלולים שנמצאו. ניתן לעשות זאת באופן הבא. בואו ניקח נקודה שרירותית בכל מסלול. לדוגמה, על האיזוקלין של משיקים אופקיים (1,1). הבה נחליף את הקואורדינטות של נקודה זו במערכת המשוואות. הבה נקבל ביטויים לשיעורי השינוי של משתנים איקס,yבנקודה זו:

הערכים שהתקבלו מראים שקצב השינוי של המשתנה איקס– שלילי, כלומר הערך שלו צריך לרדת, והמשתנה yלא משתנה. אנו מסמנים את הכיוון המתקבל עם חץ. לפיכך, בדוגמה הנידונה, התנועה לאורך מסלולי השלב מכוונת נגד כיוון השעון. על ידי החלפת הקואורדינטות של נקודות שונות לתוך המערכת, אתה יכול לקבל "מפה" של כיווני מהירות, מה שנקרא שדה וקטור.

איור 1.2. דיוקן שלב (א) וקינטי (ב) של המערכת, דוגמה 1.4

שימו לב שבאיזוקלין של משיקים אופקיים המשתנה yמגיע לערך המקסימלי או המינימלי שלו במסלול נתון. להיפך, באיזוקלינה של משיקים אנכיים, המשתנה מגיע לערכו המוחלט המרבי עבור המסלול הנבחר איקס.

לבנות דיוקן קינטי של מערכת פירושו לבנות גרפים של התלות של ערכי משתנים איקס,yמזמן. באמצעות דיוקן השלב, אתה יכול לבנות אחד קינטי ולהיפך. מסלול שלב אחד מתאים לזוג אחד של עקומות קינטיות. הבה נבחר נקודה שרירותית במסלול שלב שרירותי בדיוקן הפאזה. זוהי נקודת ההתחלה המתאימה לרגע בזמן. בהתאם לכיוון התנועה במערכת הנבדקת, ערכי המשתנים איקס,yאו להקטין או להגדיל. תנו לקואורדינטות של נקודת ההתחלה להיות (1,1). לפי דיוקן הפאזה שנבנה, החל מנקודה זו, עלינו לנוע נגד כיוון השעון, קואורדינטות איקסו yבמקביל יקטן. עם הזמן, הקואורדינטה איקסעובר דרך 0, ערך yעם זאת זה נשאר חיובי. קואורדינטות נוספות איקסו yלהמשיך להקטין, לתאם yעובר דרך 0 (ערך איקסשלילי ככל שיהיה). עוצמה איקסמגיע לערך מינימלי באיזוקלינה של משיקים אנכיים, ואז מתחיל לעלות. עוצמה yמגיעה לערכו המינימלי על האיזוקלין של משיקים אופקיים (ערך איקסשלילי בנקודת זמן זו). יתר על כן, הגודל איקס, וגודל yלהגדיל, לחזור לערכים ההתחלתיים (איור 1.2b).

חקר היציבות של מצבים נייחים של מערכות לא ליניאריות מסדר שני

תנו לתאר מערכת ביולוגית על ידי מערכת של שתי משוואות דיפרנציאליות אוטונומיות מסדר שני בצורה כללית:

ערכים נייחים של משתני המערכת נקבעים מתוך משוואות אלגבריות:

בשכונה של כל מצב נייח אנחנו יכולים לשקול מערכת הקירוב הראשונה(מערכת לינארית), שהמחקר שלה יכול לענות על השאלה לגבי היציבות של נקודה יחידה ואופי מסלולי השלב בשכונה הקטנה שלה.

בחוץ

יש לנו ... נקודה מיוחדת היא גסה. השורשים האופייניים של מערכת הקירוב הראשונה שווים ל- , שניהם אמיתיים ושליליים, ולכן, בקרבת נקודת האפס הסינגולרית, התנהגות מסלולי הפאזה של המערכת תתאים לסוג הצומת היציב.

מבוא

מכיוון שהמושג של מערכת דינמית לא ליניארית עשיר מספיק כדי לכסות מגוון רחב ביותר של תהליכים שבהם התנהגות המערכת העתידית נקבעת על ידי העבר, שיטות הניתוח שפותחו בתחום זה שימושיות במגוון עצום של הקשרים

דינמיקה לא לינארית נכנסת לספרות בשלוש דרכים לפחות. ראשית, ישנם מקרים שבהם נתונים ניסיוניים על מהלך הזמן של כמות אחת או יותר נאספים ומנתחים באמצעות טכניקות המבוססות על תיאוריה דינמית לא ליניארית, עם הנחות מינימליות לגבי המשוואות הבסיסיות השולטות בתהליך שמייצר את הנתונים. כלומר, מדובר במקרה בו מבקשים למצוא מתאמים בנתונים שיכולים להנחות את הפיתוח של מודל מתמטי, במקום קודם לנחש את המודל ולאחר מכן להשוות אותו לנתונים.

שנית, ישנם מקרים שבהם ניתן להשתמש בתיאוריה דינמית לא ליניארית כדי לטעון שמודל מפושט כלשהו צריך להדגים תכונות חשובות של מערכת נתונה, מה שמרמז שניתן לבנות מודל תיאורי ולחקור אותו על פני מגוון רחב של פרמטרים. זה גורם לרוב למודלים שמתנהגים באופן איכותי תחת פרמטרים שונים ומוכיחים שאזור אחד מפגין התנהגות די דומה לזו הנצפית במערכת האמיתית. במקרים רבים, ההתנהגות של מודל רגישה למדי לשינויים בפרמטרים, כך שאם ניתן למדוד את פרמטרי המודל במערכת אמיתית, המודל מציג התנהגות מציאותית בערכים אלו וניתן להיות בטוח שהמודל תפס התכונות החיוניות של המערכת.

שלישית, ישנם מקרים שבהם משוואות מודל נבנות על סמך תיאורים מפורטים של פיזיקה ידועה. ניסויים מספריים יכולים לספק מידע על משתנים שאינם זמינים לניסויים פיזיים.

בהתבסס על הנתיב השני, עבודה זו היא הרחבה של עבודתי הקודמת "מודל דינמי לא ליניארי של תעשיות תלויות הדדיות", כמו גם עבודה אחרת (Dmitriev, 2015)

כל ההגדרות הנדרשות ומידע תיאורטי אחר הנדרש בעבודה יופיעו בפרק הראשון, לפי הצורך. כאן יינתנו שתי הגדרות הנחוצות כדי לחשוף את נושא המחקר עצמו.

ראשית, בואו נגדיר דינמיקה של המערכת. על פי אחת ההגדרות, דינמיקה של מערכת היא גישת דוגמנות סימולציה, שבזכות השיטות והכלים שלה, מסייעת להעריך את מבנה המערכות המורכבות והדינמיקה שלהן (שטרמן). ראוי להוסיף כי דינמיקת מערכת היא גם שיטת מידול המשמשת ליצירת מחדש (מבחינת הדיוק) מודלים ממוחשבים נכונים למערכות מורכבות לשימושם העתידי על מנת ליצור חברה/ארגון יעיל יותר, וכן לשפר שיטות של אינטראקציה עם מערכת זו. הצורך בדינמיקה מערכתית מתעורר בעיקר כאשר מתמודדים עם מודלים אסטרטגיים ארוכי טווח, וראוי גם לציין שזה די מופשט.

כשמדברים על דינמיקה דיפרנציאלית לא ליניארית, נתייחס למערכת לא ליניארית, שבהגדרה היא מערכת שבה השינוי בפלט אינו פרופורציונלי לשינוי בפרמטרי הקלט, ובה הפונקציה מתארת ​​את התלות של השינוי ב. זמן ומיקום נקודה בחלל (בואינג, 2016).

בהתבסס על ההגדרות לעיל, מתברר שעבודה זו תשקול מערכות דיפרנציאליות לא ליניאריות שונות המתארות את האינטראקציה של חברות, כמו גם מודלים של סימולציה שנבנו על בסיסן. על סמך זה תקבע מטרת העבודה.

לפיכך, מטרת עבודה זו היא לבצע ניתוח איכותי של מערכות דינמיות המתארות את האינטראקציה של חברות, לקירוב ראשון, ולבנות מודל סימולציה המבוסס עליהן.

כדי להשיג מטרה זו, זוהו המשימות הבאות:

קביעת יציבות המערכת.

בניית דיוקנאות פאזה.

מציאת מסלולים אינטגרליים של מערכות.

בניית דגמי סימולציה.

כל אחת מהמשימות הללו תוקדש לאחד מחלקי כל אחד מפרקי העבודה.

בהתבסס על תרגול, בניית מבנים מתמטיים בסיסיים המדגימים ביעילות את הדינמיקה במערכות ותהליכים פיזיקליים שונים מעידה על כך שהמודל המתמטי המקביל משקף במידה מסוימת את הקרבה למקור הנחקר, כאשר ניתן להפיק את המאפיינים האופייניים שלו מהמאפיינים והמאפיינים שלו. מבנים מסוג התנועה היוצרות את הדינמיקה של המערכת. כיום, מדע הכלכלה נמצא בשלב התפתחותו בו הוא משתמש ביעילות במיוחד בשיטות ובשיטות חדשות, ובמקרים רבים, לא סטנדרטיים של מידול פיזי ומתמטי של תהליכים כלכליים. מכאן מגיעה המסקנה לגבי הצורך ליצור, ללמוד ולבנות מודלים שיכולים לתאר בצורה כלשהי את המצב הכלכלי.

באשר לסיבה לבחירה בניתוח איכותי ולא כמותי, ראוי לציין כי ברוב המוחלט של המקרים, התוצאות והמסקנות מהניתוח האיכותי של מערכות דינמיות מתבררות כמשמעותיות יותר מתוצאות הניתוח הכמותי שלהן. במצב כזה, מן הראוי לציין את דבריו של V.P. מילובנוב, שבו הוא טוען שבאופן מסורתי מאמינים שיש לצמצם את התוצאות הצפויות בעת יישום שיטות מתמטיות לניתוח עצמים אמיתיים לתוצאה מספרית. במובן זה, לשיטות איכותניות יש משימה מעט שונה. היא מתמקדת בהשגת תוצאה המתארת ​​את איכות המערכת, בחיפוש אחר מאפיינים אופייניים לכל התופעות בכללותן ובחיזוי. כמובן שחשוב להבין כיצד הביקוש ישתנה כאשר המחירים לסוג מסוים של סחורה ישתנו, אך אל לנו לשכוח שחשוב הרבה יותר להבין האם בתנאים כאלה יהיה מחסור או עודף בסחורות אלו ( דמיטרייב, 2016).

מטרת מחקר זה היא דינמיקה דיפרנציאלית לא ליניארית ודינמיקה מערכתית.

במקרה זה, נושא המחקר הוא תיאור תהליך האינטראקציה בין חברות באמצעות דינמיקה דיפרנציאלית לא ליניארית ודינמיקה מערכתית.

אם כבר מדברים על היישום המעשי של המחקר, כדאי לחלק אותו מיד לשני חלקים. כלומר, התיאורטי, כלומר ניתוח איכותני של מערכות, והמעשי, אשר ישקול בניית מודלים של סימולציה.

החלק התיאורטי של מחקר זה מספק מושגים ותופעות בסיסיות. היא מחשיבה מערכות דיפרנציאליות פשוטות, כמו בעבודותיהם של מחברים רבים אחרים (Teschl, 2012; Nolte, 2015), אך במקביל מאפשרת לנו לתאר את האינטראקציה בין חברות. על בסיס זה, בעתיד ניתן יהיה לערוך מחקר מעמיק יותר, או להתחיל היכרות עם מהו ניתוח איכותני של מערכות.

החלק המעשי של העבודה יכול לשמש ליצירת מערכת תומכת החלטות. מערכת תומכת החלטות היא מערכת מידע אוטומטית שמטרתה לתמוך בקבלת החלטות עסקית או ארגונית על ידי מתן אפשרות בחירה בין חלופות רבות ושונות (Keen, 1980). הדגמים אולי אינם מדויקים במיוחד כרגע, אך על ידי שינוים עבור חברה ספציפית, ניתן להגיע לתוצאות מדויקות יותר. כך, כאשר משנים פרמטרים ותנאים שונים שעלולים לצוץ בשוק, ניתן לקבל תחזית מסוימת לעתיד ולקבל מראש החלטה משתלמת יותר.

1. אינטראקציה של חברות בתנאים של הדדיות

העבודה תציג מערכות דו-ממדיות שהן די פשוטות בהשוואה למערכות מסדר גבוה, אך יחד עם זאת יאפשרו לנו להדגים את הקשרים בין ארגונים שאנו צריכים.

כדאי להתחיל את העבודה בבחירת סוג האינטראקציה, שיתואר בעתיד, שכן עבור כל אחד מהסוגים המערכות המתארות אותן שונות, אם כי מעט. איור 1.1 מציג את הסיווג של Yujima Odum לאינטראקציה של אוכלוסיות ששונו לאינטראקציה כלכלית (Odum, 1968), שעל בסיסו נשקול עוד יותר את האינטראקציה של חברות.

איור 1.1. סוגי אינטראקציה בין ארגונים

בהתבסס על איור 1.1, נדגיש 4 סוגי אינטראקציה ונציג עבור כל אחד מהם מערכת משוואות המתארת ​​אותם, המבוססת על מודל Malthus (Malthus, 1798). לפיו, קצב הגידול הוא פרופורציונלי לשפע הנוכחי של המין, במילים אחרות, ניתן לתאר אותו באמצעות המשוואה הדיפרנציאלית הבאה:

כאשר a הוא פרמטר מסוים בהתאם לגידול האוכלוסייה הטבעי. כדאי גם להוסיף שבמערכות הנחשבות להלן, כל הפרמטרים, כמו גם המשתנים, מקבלים ערכים לא שליליים.

ייצור חומרי גלם - ייצור מוצרים, הדומה למודל הטורף-טרף. מודל הטורף-טרף, המכונה גם מודל Lotka-Volterra, הוא זוג משוואות דיפרנציאליות לא-לינאריות מסדר ראשון המתארות את הדינמיקה של מערכת ביולוגית עם שני מינים, אחד מהם טורפים והשני טרף (Llibre, 2007) ). השינוי בשפע של מינים אלה מתואר על ידי מערכת המשוואות הבאה:

(1.2)

שבו - מאפיין את גידול הייצור של המפעל הראשון ללא השפעתו של השני (במקרה של מודל טורף-טרף, גידול אוכלוסיית הטרף ללא טורפים),

מאפיין את צמיחת הייצור של המפעל השני ללא השפעתו של הראשון (גידול אוכלוסיית הטורפים ללא קורבנות),

מאפיין את צמיחת הייצור של המפעל הראשון, תוך התחשבות בהשפעת השני עליו (עלייה במספר הקורבנות בעת אינטראקציה עם טורפים),

מאפיין את צמיחת הייצור של המפעל השני, תוך התחשבות בהשפעת הראשון עליו (עלייה במספר הטורפים במהלך האינטראקציה שלהם עם טרף).

ראשית, הטורף, כפי שניתן לראות מהמערכת, כמו גם הסיווג של אודום, לאינטראקציה שלהם יש השפעה מועילה. לא נוח לאחר. אם ניקח בחשבון את זה במציאות הכלכלית, אז, כפי שניתן לראות באיור, האנלוגי הפשוט ביותר הוא היצרן וספק המשאבים שלו, התואמים את הטורף והטרף, בהתאמה. כך, בהיעדר חומרי גלם, התפוקה יורדת באופן אקספוננציאלי.

תחרות היא יריבות בין שניים או יותר (במקרה שלנו אנחנו שוקלים מערכות דו-ממדיות, אז אנחנו לוקחים תחרות דו-מינים) מינים, קבוצות כלכליות לטריטוריות, משאבים מוגבלים או ערכים אחרים (אלטון, 1968). שינויים במספר המינים, או בכמות הייצור במקרה שלנו, מתוארים על ידי המערכת להלן:

(1.3)

במקרה זה, מינים או חברות המייצרות מוצר אחד משפיעים לרעה זה על זה. כלומר, בהיעדר מתחרה, צמיחת המוצר תגדל באופן אקספוננציאלי.

כעת נעבור למערכת יחסים סימביוטית שבה לשני המפעלים יש השפעה חיובית זה על זה. ראשית, בואו נסתכל על הדדיות. הדדיות היא סוג של מערכת יחסים בין מינים שונים שבה כל אחד מהם מרוויח ממעשיו של האחר, וראוי לציין שנוכחות בן זוג היא תנאי הכרחי לקיום (Thompson, 2005). סוג זה של קשר מתואר על ידי המערכת:

(1.4)

מכיוון שאינטראקציה בין חברות הכרחית לקיומן, בהיעדר מוצר מחברה אחת, תפוקת הסחורות מחברה אחרת יורדת באופן אקספוננציאלי. זה אפשרי כאשר לחברות פשוט אין חלופות רכש אחרות.

הבה נשקול סוג אחר של אינטראקציה סימביוטית, פרוטו-שיתוף פעולה. שיתוף פעולה פרוטו דומה להדדיות עם היוצא מן הכלל היחיד שאין צורך בקיום בן זוג, שכן, למשל, יש חלופות אחרות. מכיוון שהם דומים, המערכות שלהם נראות כמעט דומות זו לזו:

(1.5)

כך, היעדר מוצר של חברה אחת אינו מעכב את הצמיחה של מוצר של חברה אחרת.

כמובן, בנוסף לאלו המפורטים בנקודות 3 ו-4, ניתן לציין סוגים נוספים של קשרים סימביוטיים: קומנסליזם ואמנסליזם (Hanski, 1999). אך לא יוזכרו עוד, שכן בקומנסליזם אחד מהשותפים אדיש לאינטראקציה שלו עם השני, ועדיין אנו שוקלים מקרים שבהם יש השפעה. אבל אמנסליזם לא נחשב, כי מנקודת מבט כלכלית, יחסים כאלה, כשהאינטראקציה ביניהם פוגעת באחד ואדישה לאחר, פשוט לא יכולה להתקיים.

בהתבסס על השפעתן של חברות זו על זו, כלומר קשרים סימביוטיים מובילים לדו קיום בר קיימא של חברות, עבודה זו תבחן רק מקרים של הדדיות ושיתוף פעולה פרוטו, שכן בשני המקרים האינטראקציה מועילה לכולם.

פרק זה מוקדש לאינטראקציה של חברות בתנאים של הדדיות. היא תבחן שתי מערכות שהן פיתוחים נוספים של מערכות המבוססות על מודל Malthus, כלומר מערכות עם הגבלות המוטלות על הגדלת הייצור.

ניתן לתאר את הדינמיקה של זוג המחובר על ידי מערכת יחסים הדדית, כפי שהוזכר לעיל, בקירוב ראשון על ידי המערכת:

(1.6)

ניתן לציין שעם כמות ייצור ראשונית גדולה המערכת צומחת ללא הגבלה ובכמות קטנה הייצור יורד. זוהי חוסר הנכונות של התיאור הבילינארי של ההשפעה המתרחשת במהלך הדדיות. כדי לנסות לתקן את התמונה, אנו מציגים גורם שמזכיר את הרוויה של טורף, כלומר גורם שיפחית את קצב הגידול של הייצור אם יהיה עודף ממנו. במקרה זה אנו מגיעים למערכת הבאה:

(1.7)

היכן הגידול בייצור המוצר של החברה הראשונה במהלך האינטראקציה שלה עם השנייה, תוך התחשבות ברוויה,

הגידול בייצור המוצר של החברה השנייה במהלך האינטראקציה שלה עם הראשונה, תוך התחשבות ברוויה,

מקדמי רוויה.

לפיכך, קיבלנו שתי מערכות: מודל הצמיחה המלטוסיאנית עם ובלי רוויה.

1.1 יציבות מערכות כקירוב ראשון

יציבותן של מערכות כקירוב ראשון נחשבת ביצירות זרות רבות (Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogatz, 2001 ואחרות) ורוסית (Akhromeeva, 1992; Bellman, 1954; Demidovich, 1967, Krasovsky, 1959 ואחרים), והגדרתו היא צעד בסיסי לניתוח התהליכים המתרחשים במערכת. לשם כך, נבצע את הצעדים הדרושים הבאים:

בואו נמצא נקודות שיווי משקל.

בואו נמצא את המטריצה ​​היעקוביאנית של המערכת.

בואו נמצא את הערכים העצמיים של מטריצת יעקבי.

אנו מסווגים נקודות שיווי משקל באמצעות משפט ליאפונוב.

לאחר שעיינתי בשלבים, כדאי להסתכל מקרוב על ההסבר שלהם, אז אתן הגדרות ואתאר את השיטות בהן נשתמש בכל אחד מהשלבים הללו.

הצעד הראשון הוא למצוא נקודות שיווי משקל. כדי למצוא אותם, נשווה כל פונקציה לאפס. כלומר, אנחנו פותרים את המערכת:

כאשר a ו-b מתכוונים לכל הפרמטרים של המשוואה.

השלב הבא הוא חיפוש המטריצה ​​היעקוביאנית. במקרה שלנו, זו תהיה מטריצה ​​של 2 על 2 עם נגזרות ראשונות בשלב מסוים, כפי שמוצג להלן:

לאחר השלמת שני השלבים הראשונים, אנו ממשיכים למצוא את השורשים של המשוואה האופיינית הבאה:

כאשר הנקודה מתאימה לנקודות שיווי המשקל שנמצאו בשלב הראשון.

לאחר שמצאנו ו, אנו עוברים לשלב הרביעי ומשתמשים במשפטי ליאפונוב הבאים (Parks, 1992):

משפט 1: אם לכל השורשים של המשוואה האופיינית יש חלק ממשי שלילי, אזי נקודת שיווי המשקל המקבילה למערכת המקורית והלינארית היא יציבה אסימפטוטית.

משפט 2: אם לפחות לאחד משורשי המשוואה האופיינית יש חלק ממשי חיובי, אזי נקודת שיווי המשקל המקבילה למערכת המקורית והלינארית אינה יציבה אסימפטוטית.

כמו כן, מסתכלים וניתן לקבוע בצורה מדויקת יותר את סוג היציבות, על סמך החלוקה המוצגת באיור 1.2 (אוניברסיטת למאר).

איור 1.2. סוגי יציבות של נקודות שיווי משקל

לאחר ששקלנו את המידע התיאורטי הדרוש, הבה נעבור לניתוח המערכות.

שקול מערכת ללא רוויה:

זה מאוד פשוט ולא מתאים לשימוש פרקטי כי אין לו מגבלות. אבל כדוגמה ראשונה לניתוח מערכת זה מתאים לשיקול.

ראשית, בואו נמצא את נקודות שיווי המשקל על ידי השוואת הצדדים הימניים של המשוואות לאפס. לפיכך, אנו מוצאים שתי נקודות שיווי משקל, בואו נקרא להן A ו-B: .

נשלב את השלב עם חיפוש המטריצה ​​היעקוביאנית, שורשי המשוואה האופיינית וקביעת סוג היציבות. מכיוון שהם יסודיים, אנו מקבלים מיד את התשובה:

1. בנקודה , , יש צומת יציב.

בנקודה: אוּכָּף.

כפי שכבר כתבתי, המערכת הזו טריוויאלית מדי, ולכן לא נדרש הסבר.

עכשיו בואו ננתח את המערכת מרוויה:

(1.9)

הופעתן של הגבלות על הרוויה ההדדית של מוצרים בין ארגונים מקרבת אותנו לתמונה האמיתית של המתרחש, וגם מסבכת מעט את המערכת.

כמו קודם, אנו משווים את הצדדים הימניים של המערכת לאפס ופותרים את המערכת המתקבלת. הנקודה נותרה ללא שינוי, אך הנקודה השנייה במקרה זה מכילה יותר פרמטרים מבעבר: .

במקרה זה, המטריצה ​​היעקוביאנית לובשת את הצורה הבאה:

הבה נחסר ממנה את מטריצת הזהות כפול , ונשווה את הקובע של המטריצה ​​המתקבלת בנקודות A ו-B לאפס.

בנקודה דומה לתמונה הקודמת:

צומת יציב.

אבל בנקודה הכל קצת יותר מסובך, ולמרות שהמתמטיקה עדיין די פשוטה, המורכבות עושה את זה לא נוח לעבוד עם ביטויי אותיות ארוכים. מכיוון שהערכים מתבררים כארוכים ומביכים למדי לכתיבה, הם לא ניתנים; די רק לומר שבמקרה זה, כמו במערכת הקודמת, סוג היציבות המתקבל הוא אוכף.

דיוקנאות דו פאזיים של מערכות

הרוב המכריע של המודלים הדינמיים הלא-לינאריים הם משוואות דיפרנציאליות מורכבות שלא ניתן לפתור או שקשה מעט לפתור אותן. דוגמה לכך תהיה המערכת מהסעיף הקודם. למרות פשטותו לכאורה, מציאת סוג הקיימות בנקודת שיווי המשקל השנייה לא הייתה קלה (גם אם לא מנקודת מבט מתמטית), ועם הגדלת הפרמטרים, ההגבלות והמשוואות להגדלת מספר המפעלים המקיימים אינטראקציה, המורכבות תהיה רק להגביר. כמובן, אם הפרמטרים הם ביטויים מספריים, אז הכל יהפוך פשוט להפליא, אבל אז הניתוח יאבד בדרך כלשהי את כל המשמעות, כי בסופו של דבר, נוכל למצוא נקודות שיווי משקל ולגלות רק את סוגי היציבות שלהן. למקרה ספציפי, ולא למקרה הכללי.

במקרים כאלה, כדאי לזכור את דיוקנאות מישור השלב והפאזה. במתמטיקה יישומית, במיוחד בהקשר של ניתוח מערכות לא ליניאריות, מישור הפאזה הוא ייצוג חזותי של מאפיינים מסוימים של סוגים מסוימים של משוואות דיפרנציאליות (Nolte, 2015). מישור קואורדינטות עם צירי ערכים של כל זוג משתנים המאפיינים את מצב המערכת הוא מקרה דו-ממדי של מרחב פאזה n-ממדי כללי.

הודות למישור הפאזה, ניתן לקבוע באופן גרפי את קיומם של מחזורי גבול בפתרונות של משוואת דיפרנציאלית.

פתרונות למשוואה דיפרנציאלית הם משפחה של פונקציות. מבחינה גרפית, ניתן לשרטט זאת במישור הפאזה כשדה וקטור דו מימדי. וקטורים מצוירים במישור, המייצגים נגזרות בנקודות אופייניות ביחס לפרמטר כלשהו, ​​במקרה שלנו, זמן, כלומר (). עם מספיק מהחצים הללו באזור אחד, ניתן להמחיש את התנהגות המערכת ולזהות בקלות את מחזורי הגבלה (בואינג, 2016).

שדה וקטור הוא דיוקן פאזה; נתיב מסוים לאורך קו שטף (כלומר, נתיב המשיק תמיד לוקטורים) הוא נתיב פאזה. שטפים בשדה וקטור מצביעים על שינוי של מערכת לאורך זמן, המתואר על ידי משוואה דיפרנציאלית (Jordan, 2007).

ראוי לציין שניתן לבנות דיוקן פאזה גם ללא פתרון משוואה דיפרנציאלית, ובמקביל, הדמיה טובה יכולה לספק מידע שימושי רב. בנוסף, כיום ישנן תוכנות רבות שיכולות לסייע בבניית דיאגרמות פאזה.

לפיכך, מישורי פאזה שימושיים להמחשת התנהגות של מערכות פיזיות. בפרט, מערכות תנודות, כמו מודל הטורף-טרף שכבר הוזכר לעיל. במודלים אלה, מסלולי פאזה יכולים "להסתובב" לכיוון האפס, "להסתחרר" לכיוון האינסוף, או להגיע למצב ניטרלי ויציב הנקרא מרכזי. זה שימושי בקביעה אם הדינמיקה יציבה או לא (Jordan, 2007).

דיוקנאות השלב המוצגים בסעיף זה ייבנו באמצעות כלי WolframAlpha, או יסופקו ממקורות אחרים. מודל צמיחה מלטוזיאני ללא רוויה.

הבה נבנה דיוקן פאזה של המערכת הראשונה עם שלוש קבוצות של פרמטרים על מנת להשוות את התנהגותם. סט A ((1,1), (1,1)), שייקרא עוד מערך היחידה, סט B ((10,0.1), (2,2)), כאשר נבחר, ירידה חדה בייצור היא נצפה במערכת , וערכה C ((1,10), (1,10)), שבה, להיפך, מתרחשת צמיחה חדה ובלתי מוגבלת. ראוי לציין כי הערכים לאורך הצירים בכל המקרים יהיו באותם מרווחים מ -10 עד 10, לנוחות השוואת דיאגרמות פאזה ביניהן. כמובן שזה לא חל על דיוקן איכותי של מערכת שציריה חסרי מימד.

איור 1.3 דיוקן שלב עם פרמטרים א'

משוואת גבול דיפרנציאלית של הדדיות

איור 1.3 המוצג לעיל מדגים את דיוקנאות הפאזה של המערכת עבור שלוש קבוצות הפרמטרים שצוינו, כמו גם דיוקן פאזה המתאר את ההתנהגות האיכותית של המערכת. אל תשכח שהחשוב ביותר מבחינה מעשית הוא הרבעון הראשון, שכן כמות הייצור, שיכולה להיות רק לא שלילית, היא הצירים שלנו.

בכל אחת מהדמויות, היציבות בנקודת שיווי המשקל (0,0) נראית בבירור. ובאיור הראשון, "אוכף" מורגש גם בנקודה (1,1), במילים אחרות, אם אתה מחליף את הערכים של קבוצת פרמטרים לתוך המערכת, אז בנקודת שיווי המשקל B. כאשר גבולות הדגם משתנים, נקודת האוכף נמצאת גם בפורטרטים פאזה אחרים.

מודל מלתוסיאני של צמיחה מרוויה.

הבה נבנה דיאגרמות פאזה עבור המערכת השנייה, שבה קיימת רוויה, עם שלוש קבוצות חדשות של ערכי פרמטרים. סט A, ((0.1,15,100), (0.1,15,100)), סט B ((1,1,0.5), (1, 1,0.5)) ו-C ((20,1,100), (20,1,100) )).

איור 1.4. דיוקן שלב עם פרמטרים A

כפי שאתה יכול לראות, עבור כל סט של פרמטרים, הנקודה (0,0) היא נקודת שיווי משקל, וגם יציבה. גם בחלק מהתמונות ניתן לראות נקודת אוכף.

במקרה זה, נבחנו סולמות שונים על מנת להדגים בצורה ברורה יותר שגם כאשר מתווסף גורם רוויה למערכת, התמונה האיכותית אינה משתנה, כלומר, רוויה לבדה אינה מספיקה. צריך לקחת בחשבון שבפועל חברות צריכות יציבות, כלומר אם ניקח בחשבון משוואות דיפרנציאליות לא ליניאריות, אז אנחנו הכי מתעניינים בנקודות שיווי משקל יציבות, ובמערכות אלו נקודות כאלה הן רק אפס, מה שאומר שכאלה ברור שמודלים מתמטיים אינם מתאימים לארגונים. אחרי הכל, זה אומר שרק עם אפס ייצור חברות בנות קיימא, מה ששונה בבירור מהתמונה האמיתית של העולם.

במתמטיקה, עקומה אינטגרלית היא עקומה פרמטרית המייצגת פתרון ספציפי למשוואה דיפרנציאלית רגילה או למערכת משוואות (Lang, 1972). אם משוואת דיפרנציאלית מיוצגת כשדה וקטור, אז העקומות האינטגרליות המתאימות משיקות לשדה בכל נקודה.

עקומות אינטגרליות ידועות גם בשמות אחרים, בהתאם לאופי ולפרשנות של המשוואה הדיפרנציאלית או השדה הווקטורי. בפיזיקה, העקומות האינטגרליות של שדה חשמלי או שדה מגנטי ידועות כקווי שדה, והעקומות האינטגרליות של שדה מהירות נוזל ידועות כקווי זרימה. במערכות דינמיות, עקומות אינטגרליות עבור משוואה דיפרנציאלית נקראות מסלולים.

איור 1.5. עקומות אינטגרליות

פתרונות של כל אחת מהמערכות יכולים להיחשב גם כמשוואות של עקומות אינטגרליות. ברור שכל מסלול שלב הוא השלכה של עקומה אינטגרלית כלשהי במרחב x, y, t על מישור הפאזה.

קיימות מספר שיטות לבניית עקומות אינטגרליות.

אחת מהן היא שיטת האיזוקלין. איזוקלין היא עקומה העוברת דרך נקודות שבהן שיפוע הפונקציה הנדונה תמיד יהיה זהה, ללא קשר לתנאי ההתחלה (Hanski, 1999).

הוא משמש לעתים קרובות כשיטה גרפית לפתרון משוואות דיפרנציאליות רגילות. לדוגמה, במשוואה בצורה y"= f(x, y), איזוקלין הם קווים במישור (x, y) המתקבלים על ידי השוואת f (x, y) לקבוע. זה נותן סדרה של קווים ( עבור קבועים שונים) שלאורכם העקומות יש לפתרונות אותו שיפוע. על ידי חישוב שיפוע זה עבור כל איזוקלינה, ניתן להמחיש את שדה השיפוע, מה שמקל יחסית לצייר עקומות פתרון משוערות. האיור שלהלן מציג דוגמה לשימוש ב שיטת האיזוקלין.

איור 1.6. שיטת איזוקלין

שיטה זו אינה דורשת חישובי מחשב, והייתה פופולרית מאוד בעבר. כעת יש פתרונות תוכנה שיכולים לבנות עקומות אינטגרליות במחשבים בצורה מדויקת ומהירה במיוחד. עם זאת, למרות זאת, שיטת האיזוקלין הוכיחה את עצמה היטב ככלי לחקר התנהגות פתרונות, שכן היא מאפשרת להראות אזורי התנהגות אופיינית של עקומות אינטגרליות.

מודל צמיחה מלטוזיאני ללא רוויה.

נתחיל עם העובדה שלמרות קיומן של שיטות בנייה שונות, הצגת העקומות האינטגרליות של מערכת משוואות אינה כל כך פשוטה. שיטת האיזוקלין שהוזכרה קודם לכן אינה מתאימה כי היא פועלת עבור משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון. אבל כלי תוכנה שיש להם את היכולת לבנות עקומות כאלה אינם זמינים לציבור. לדוגמה, Wolfram Mathematica, המסוגל לכך, מקבל תשלום. לכן, ננסה להפיק את המרב מהיכולות של וולפרם אלפא, שהעבודה איתה מתוארת במאמרים ועבודות שונות (Orca, 2009). למרות שהתמונה כמובן לא תהיה אמינה לחלוטין, היא לפחות תאפשר להראות את התלות במישורים (x,t), (y,t). ראשית, נפתור כל אחת מהמשוואות עבור t. כלומר, נגזר את התלות של כל אחד מהמשתנים ביחס לזמן. עבור מערכת זו אנו מקבלים:

(1.10)

(1.11)

המשוואות הן סימטריות, ולכן נשקול רק אחת מהן, כלומר x(t). תנו לקבוע להיות שווה ל-1. במקרה זה, נשתמש בפונקציית הגרף.

איור 1.7. מודל תלת מימדי למשוואה (1.10)

מודל מלתוסיאני של צמיחה מרוויה.

בוא נעשה שלבים דומים עבור הדגם השני. בסופו של דבר, אנו מקבלים שתי משוואות המדגימות את התלות של משתנים בזמן.

(1.12)

(1.13)

בואו נבנה שוב דגם תלת מימדי ונפלס קווים.

איור 1.8. מודל תלת מימדי למשוואה (1.12)

מכיוון שהערכים של המשתנים אינם שליליים, אז בשבר עם המעריך נקבל מספר שלילי. כך, עם הזמן, העקומה האינטגרלית פוחתת.

בעבר ניתנה הגדרה של דינמיקה מערכתית כדי להבין את מהות העבודה, אך כעת נתעכב על כך ביתר פירוט.

דינמיקת מערכת היא מתודולוגיה ושיטה של ​​מידול מתמטי ליצירת, הבנה ודיון בבעיות מורכבות, שפותחה במקור בשנות החמישים על ידי ג'יי פורסטר, ומתוארת בעבודתו (פורסטר, 1961).

דינמיקת מערכת היא היבט של תורת המערכות כשיטה להבנת ההתנהגות הדינמית של מערכות מורכבות. הבסיס של השיטה הוא ההכרה כי המבנה של כל מערכת מורכב ממספר רב של יחסים בין מרכיביה, אשר לרוב חשובים בקביעת התנהגותה כמו המרכיבים הבודדים עצמם. דוגמאות לכך הן תורת הכאוס ודינמיקה חברתית, המתוארים ביצירותיהם של מחברים שונים (Grebogi, 1987; Sontag, 1998; Kuznetsov, 2001; Tabor, 2001). כמו כן, נטען כי מאחר ולא ניתן למצוא לרוב תכונות של השלם בתכונות של יסודות, במקרים מסוימים לא ניתן להסביר את התנהגות השלם במונחים של התנהגות החלקים.

סימולציה יכולה באמת להראות את המשמעות המעשית של מערכת דינמית. למרות שזה אפשרי בגיליונות אלקטרוניים, ישנן חבילות תוכנה רבות שעברו אופטימיזציה במיוחד למטרה זו.

הסימולציה עצמה היא תהליך של יצירה וניתוח של אב טיפוס של מודל פיזי כדי לחזות את ביצועיו בעולם האמיתי. מודלים של סימולציה משמשים כדי לעזור למעצבים ומהנדסים להבין באילו תנאים ומתי תהליך צפוי להיכשל ובאילו עומסים הוא יכול לעמוד (Hemdi, 2007). מודלים יכולים גם לעזור לחזות את ההתנהגות של זרימות נוזלים ותופעות פיזיקליות אחרות. המודל מנתח תנאי הפעלה משוערים באמצעות תוכנת סימולציה (Strogalev, 2008).

למגבלות על יכולות הסימולציה יש סיבה משותפת. הבנייה והחישוב המספרי של מודל מדויק מבטיחים הצלחה רק באותם תחומים שבהם קיימת תיאוריה כמותית מדויקת, כלומר כאשר ידועות המשוואות המתארות תופעות מסוימות, והמשימה היא פשוט לפתור את המשוואות הללו בדיוק הנדרש. בתחומים שבהם לא קיימת תיאוריה כמותית, בניית מודל מדויק היא בעלת ערך מוגבל (Bazykin, 2003).

עם זאת, אפשרויות הדוגמנות אינן בלתי מוגבלות. ראשית, הדבר נובע מהעובדה שקשה להעריך את היקף הישימות של מודל סימולציה, בפרט, את פרק הזמן עבורו ניתן לבנות תחזית בדיוק הנדרש (Law, 2006). בנוסף, מטבעו, מודל סימולציה קשור לאובייקט מסוים, וכאשר מנסים ליישם אותו על אובייקט אחר, אפילו דומה, הוא מצריך התאמות רדיקליות או לפחות שינויים משמעותיים.

ישנה סיבה כללית לקיומן של מגבלות על דוגמנות סימולציה. הבנייה והחישוב המספרי של מודל "מדויק" מצליחים רק אם קיימת תיאוריה כמותית, כלומר רק אם כל המשוואות ידועות, והבעיה מצטמצמת רק לפתרון משוואות אלו בדיוק מסוים (Bazykin, 2003). .

אך למרות זאת, דוגמנות סימולציה היא אמצעי מצוין להמחשת תהליכים דינמיים, המאפשרת, במודל פחות או יותר נכון, לקבל החלטות על סמך תוצאותיו.

בעבודה זו ייבנו מודלים של מערכת באמצעות כלים דינמיים של המערכת המוצעת על ידי תוכנת AnyLogic.

מודל צמיחה מלטוזיאני ללא רוויה/

לפני בניית מודל, יש לשקול את מרכיבי הדינמיקה של המערכת שבה נשתמש ולקשר אותם למערכת שלנו. ההגדרות הבאות נלקחו מהעזרה של AnyLogic.

המצבר הוא המרכיב העיקרי של דיאגרמות דינמיקה של המערכת. הם משמשים לייצוג אובייקטים בעולם האמיתי שבהם מצטברים משאבים מסוימים: כסף, חומרים, מספר קבוצות של אנשים, אובייקטים חומריים מסוימים וכו'. מצברים משקפים את המצב הסטטי של המערכת המדומה, וערכיהם משתנים עם הזמן בהתאם לזרימות הקיימות במערכת. מכאן נובע שהדינמיקה של המערכת נקבעת על ידי זרימות. זרימות פנימה והחוצה מהמצבר מגדילות או מקטינות את ערכי המצבר.

הזרימה, כמו גם התקן האחסון שהוזכר לעיל, הוא המרכיב העיקרי של דיאגרמות דינמיות של המערכת.

בעוד מצברים מגדירים את החלק הסטטי של המערכת, חוטים קובעים את קצב השינוי של ערכי מצבר, כלומר כיצד מתרחשים שינויים במניות לאורך זמן וכך קובעים את הדינמיקה של המערכת.

הסוכן יכול להכיל משתנים. משתנים משמשים בדרך כלל למודל של מאפיינים משתנים של סוכן או לאחסון פלט של מודל. בדרך כלל משתנים דינמיים מורכבים מפונקציות מצבר.

לסוכן יכולים להיות פרמטרים. פרמטרים משמשים לעתים קרובות כדי לייצג כמה מאפיינים של אובייקט מעוצב. הם שימושיים כאשר למופעים של אובייקטים יש את אותה התנהגות המתוארת במחלקה, אך שונים בערכי פרמטר מסוימים. יש הבדל ברור בין משתנים לפרמטרים. המשתנה מייצג את מצב המודל ויכול להשתנות במהלך הסימולציה. הפרמטר משמש בדרך כלל לתיאור סטטי של אובייקטים. במהלך "הרצה" אחת של המודל, הפרמטר הוא בדרך כלל קבוע והוא משתנה רק כאשר יש צורך להגדיר מחדש את התנהגות המודל.

חיבור הוא אלמנט של דינמיקה מערכתית המשמש לקביעת התלות בין אלמנטים של דיאגרמת זרימה ודיאגרמת כונן. הוא אינו יוצר חיבורים באופן אוטומטי, אלא מאלץ את המשתמש לצייר אותם במפורש בעורך גרפי (עם זאת, ראוי לציין כי AnyLogic תומך גם במנגנון ליצירת חיבורים חסרים במהירות). כדוגמה, אם אלמנט A מוזכר במשוואה או בערך ההתחלתי של אלמנט B, אז תחילה עליך לחבר את האלמנטים הללו עם קישור העובר מ-A ל-B, ורק לאחר מכן להזין את הביטוי במאפיינים של B.

ישנם עוד כמה אלמנטים של דינמיקה של המערכת, אך הם לא ישמשו במהלך העבודה, אז נשמיט אותם.

ראשית, הבה נבחן ממה מורכב המודל של המערכת (1.4).

ראשית, אנו מסמנים מיד שני כוננים שיכילו את ערכי כמות המוצרים של כל אחד מהמפעלים.

שנית, מכיוון שיש לנו שני איברים בכל משוואה, אנו מקבלים שתי זרימות לכל אחד מהכוננים, אחד נכנס, השני יוצא.

שלישית, בואו נעבור למשתנים ופרמטרים. יש רק שני משתנים. X ו-Y, אחראים לצמיחת המוצר. יש לנו גם ארבעה פרמטרים.

רביעית, לגבי חיבורים, כל אחת מהזרימות חייבת להיות קשורה למשתנים ולפרמטרים הכלולים במשוואת הזרימה, ולשני המשתנים יש קשר עם מצברים כדי לשנות את הערך לאורך זמן.

נשאיר תיאור מפורט של בניית מודל, כדוגמה לעבודה בסביבת הדוגמנות של AnyLogic, למערכת הבאה, מכיוון שהיא מעט יותר מורכבת ומשתמשת ביותר פרמטרים, ומיד נעבור לשקול את הגרסה המוגמרת של המערכת.

להלן באיור 1.9 מוצג המודל הבנוי:

איור 1.9. מודל דינמיקה של מערכת למערכת (1.4)

כל מרכיבי הדינמיקה של המערכת תואמים לאלה שתוארו לעיל, כלומר. שני כוננים, ארבעה זרמים (שניים נכנסים, שניים יוצאים), ארבעה פרמטרים, שני משתנים דינמיים והחיבורים הדרושים.

האיור מראה שככל שיש יותר מוצרים, כך הצמיחה שלו חזקה יותר, מה שמוביל לעלייה חדה במספר הסחורות, התואם את המערכת שלנו. אך כפי שנאמר קודם לכן, היעדר ההגבלות על גידול זה אינו מאפשר ליישם את המודל הזה בפועל.

מודל מלתוסיאני של צמיחה מרוויה/

בהתחשב במערכת זו, נתעכב ביתר פירוט על בניית המודל.

הצעד הראשון הוא להוסיף שני כוננים, בואו נקרא להם X_stock ו-Y_stock. הבה נקצה לכל אחד מהם ערך התחלתי של 1. שימו לב שבהיעדר חוטים, אין שום דבר במשוואת המצבר המוגדרת קלאסית.

איור 1.10. בניית מודל מערכת (1.9)

השלב הבא הוא הוספת שרשורים. בואו נבנה זרימה נכנסת ויוצאת לכל כונן באמצעות עורך גרפי. אסור לשכוח שאחד מקצוות הזרם חייב להיות בכונן, אחרת הם לא יתחברו.

אתה יכול לראות שהמשוואה עבור הכונן נקבעה אוטומטית; כמובן, המשתמש יכול לכתוב אותה בעצמו על ידי בחירת מצב המשוואה "חינם", אבל הדרך הקלה ביותר היא להשאיר את הפעולה הזו לתוכנית.

הצעד השלישי שלנו הוא הוספת שישה פרמטרים ושני משתנים דינמיים. בואו ניתן לכל אלמנט שם בהתאם לביטוי המילולי שלו במערכת, וגם נגדיר את הערכים ההתחלתיים של הפרמטרים באופן הבא: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0.2.

כל האלמנטים של המשוואות קיימים, כל מה שנותר הוא לכתוב את המשוואות עבור הזרימות, אבל כדי לעשות זאת, צריך קודם כל להוסיף חיבורים בין האלמנטים. לדוגמה, הזרימה היוצאת האחראית למונח חייבת להיות משויכת ל-e1 ו-x. וכל משתנה דינמי חייב להיות משויך לאחסון המתאים לו (X_stock x, Y_stock y). יצירת חיבורים דומה להוספת שרשורים.

לאחר יצירת החיבורים הדרושים, אתה יכול להמשיך לכתיבת משוואות עבור הזרימות, אשר מודגם באיור הימני. כמובן שאפשר ללכת בסדר הפוך, אבל אם קיימים קשרים, בזמן כתיבת משוואות מופיעים רמזים להחלפת הפרמטרים/המשתנים הדרושים, מה שמקל על המשימה במודלים מורכבים.

לאחר השלמת כל השלבים, ניתן להפעיל את מודל הסימולציה ולהסתכל על התוצאה שלו.

לאחר ששקלנו מערכות של משוואות דיפרנציאליות לא-לינאריות לאינטראקציה בין חברות בתנאים של הדדיות, ניתן להסיק מספר מסקנות.

ישנם שני מצבים של המערכת: צמיחה חדה בלתי מוגבלת, או נטיית כמות הייצור לאפס. איזה משני המצבים המערכת תיקח תלוי בפרמטרים.

אף אחד מהדגמים המוצעים, לרבות המודל המתחשב ברוויות, אינו מתאים לשימוש מעשי, בשל היעדר מיקום יציב שאינו אפס, וכן הסיבות המתוארות בסעיף 1.

אם ננסה להמשיך ולחקור סוג זה של אינטראקציה סימביוטית כדי ליצור מודל ישים לחברות בפועל, יש צורך לסבך עוד יותר את המערכת ולהציג פרמטרים חדשים. לדוגמה, בז'קין בספרו נותן דוגמה לדינמיקה של שתי אוכלוסיות הדדיות עם הכנסת גורם נוסף של תחרות תוך-ספציפית. בשל כך המערכת לובשת את הצורה:

(1.15)

ובמקרה זה, מופיעה עמדה יציבה שאינה מאפס של המערכת, מופרדת מאפס על ידי "אוכף", מה שמקרב אותה לתמונה האמיתית של המתרחש.

2. אינטראקציה של חברות בתנאים של שיתוף פעולה פרוטו

כל המידע התיאורטי הבסיסי הוצג בפרק הקודם, ולכן בעת ​​ניתוח המודלים הנידונים בפרק זה, התיאוריה תושמט ברובה, למעט כמה נקודות שלא נתקלנו בהן בפרק הקודם, וייתכן שגם להיות קיצורי דרך בחישובים. מודל האינטראקציה בין ארגונים הנחשבים בפרק זה בתנאים של שיתוף פעולה פרוטו, המורכב ממערכות של שתי משוואות המבוססות על המודל המלטוסיאני, נראה כמו מערכת (1.5). המערכות שנותחו בפרק הקודם הראו שכדי לקרב אותן כמה שיותר למודלים קיימים, יש צורך להגביר את מורכבות המערכות. בהתבסס על מסקנות אלו, נוסיף מיד הגבלת צמיחה למודל. בניגוד לסוג האינטראקציה הקודם, כאשר צמיחה בלתי תלויה בחברה אחרת היא שלילית, במקרה זה כל הסימנים חיוביים, מה שאומר שיש לנו צמיחה מתמדת. בהימנעות מהחסרונות שתוארו קודם לכן, ננסה להגביל אותה למשוואה הלוגיסטית, המכונה גם משוואת Verhulst (Gershenfeld, 1999), בעלת הצורה הבאה:

, (2.1)

כאשר P הוא גודל האוכלוסייה, r הוא פרמטר המראה את קצב הגידול, K הוא פרמטר שאחראי לגודל האוכלוסייה המקסימלי האפשרי. כלומר, לאורך זמן, גודל האוכלוסייה (במקרה שלנו, הייצור) ישטה לפרמטר K מסוים.

המשוואה הזו תעזור לבלום את צמיחת המוצר המשתוללת שראינו בעבר. לכן המערכת לובשת את הצורה הבאה:

(2.2)

אל תשכח כי נפח הסחורה המאוחסנת במחסן שונה עבור כל חברה, ולכן הפרמטרים המגבילים את הצמיחה שונים. בואו נקרא למערכת הזו "", ובעתיד נשתמש בשם זה כשנשקול אותה.

המערכת השנייה שנשקול היא פיתוח נוסף של המודל עם אילוץ Verhulst. כמו בפרק הקודם, אנו מציגים מגבלה על רוויה, ואז המערכת תלבש את הצורה:

(2.3)

כעת לכל אחד מהמונחים יש מגבלה משלו, כך שללא ניתוח נוסף ניתן לראות שלא תהיה צמיחה בלתי מוגבלת, כמו במודלים של הפרק הקודם. ומכיוון שכל אחד מהמונחים מראה צמיחה חיובית, כמות הייצור לא תרד לאפס. בואו נקרא למודל הזה "מודל פרוטו-שיתוף פעולה עם שתי הגבלות".

שני מודלים אלו נדונים במקורות שונים על אוכלוסיות ביולוגיות. כעת ננסה להרחיב מעט את המערכות. לשם כך, שקול את האיור הבא.

האיור מציג דוגמה לתהליכים של שתי חברות: תעשיית הפלדה והפחם. לשני העסקים יש גידול מוצר שאינו תלוי באחר, ויש גם גידול מוצר הנובע מהאינטראקציה ביניהם. כבר לקחנו זאת בחשבון בדגמים קודמים. עכשיו כדאי לשים לב שחברות לא רק מייצרות מוצרים, הן גם מוכרות אותם, למשל, לשוק או לחברה המקיימת איתו אינטראקציה. הָהֵן. בהתבסס על מסקנות הגיוניות, יש צורך בצמיחה שלילית של חברות באמצעות מכירת מוצרים (באיור אחראים לכך הפרמטרים β1 ו- β2), וכן באמצעות העברת חלק מהייצור למפעל אחר. בעבר, לקחנו זאת בחשבון רק עם סימן חיובי מחברה אחרת, אך לא התחשבנו בעובדה שהמפעל הראשון, בעת העברת מוצרים, מקטין את כמותו. במקרה זה אנו מקבלים את המערכת:

(2.4)

ואם אפשר לומר על המונח שאם במודלים קודמים צוין ש, מאפיינים צמיחה טבעית, והפרמטר יכול להיות שלילי, אז אין כמעט הבדל, אז לגבי המונח אי אפשר לומר זאת. בנוסף, בעתיד, כאשר בוחנים מערכת כזו עם הגבלה שהוכנסה עליה, נכון יותר להשתמש במונחים של צמיחה חיובית ושלילית, שכן במקרה זה ניתן להטיל עליהם הגבלות שונות, דבר בלתי אפשרי עבור טבעי. צְמִיחָה. בואו נקרא לזה "מודל פרוטו-שיתוף פעולה מורחב".

לבסוף, המודל הרביעי שנחשב הוא המודל המורחב של שיתוף פעולה פרוטו עם המגבלה הלוגיסטית שהוזכרה קודם לכן על צמיחה. והמערכת עבור הדגם הזה היא:

, (2.5)

היכן הגידול בייצור של המיזם הראשון, בלתי תלוי בשני, תוך התחשבות במגבלה הלוגיסטית, - עלייה בייצור של החברה הראשונה, בהתאם לחברה, תוך התחשבות במגבלה הלוגיסטית, - עלייה בייצור של החברה השנייה, בלתי תלויה בראשון, תוך התחשבות במגבלה הלוגיסטית, - עלייה בייצור של החברה השנייה, בהתאם לחברה הראשונה, תוך התחשבות במגבלה הלוגיסטית, - צריכת סחורות של המיזם הראשון, שאינן קשורות לאחר, - צריכה של סחורות של המיזם השני, שאינן קשורות ל- אחר, - צריכת סחורות של התעשייה הראשונה על ידי התעשייה השנייה, - צריכת סחורות של התעשייה השנייה התעשייה הראשונה.

בעתיד, מודל זה ייקרא "מודל פרוטו-מבצע מורחב עם אילוץ לוגיסטי".

1 יציבות מערכות כקירוב ראשון

מודל פרוטו-שיתוף פעולה עם אילוץ Verhulst

שיטות לניתוח יציבות המערכת צוינו בחלק דומה של הפרק הקודם. קודם כל, אנו מוצאים את נקודות שיווי המשקל. אחד מהם, כמו תמיד, הוא אפס. השני הוא נקודה עם קואורדינטות.

עבור נקודת האפס λ1 = , λ2 = , מכיוון ששני הפרמטרים אינם שליליים, נקבל צומת לא יציב.

מכיוון שהעבודה עם הנקודה השנייה אינה נוחה לחלוטין, בשל היעדר הזדמנות לקצר את הביטוי, נשאיר את קביעת סוג היציבות לדיאגרמות פאזה, שכן הן מראים בבירור האם נקודת שיווי המשקל יציבה או לא.

הניתוח של מערכת זו מסובך יותר מהקודמת בשל העובדה שמתווסף גורם רוויה, ולכן מופיעים פרמטרים חדשים, וכאשר מוצאים נקודות שיווי משקל, תצטרך לפתור משוואה לא ליניארית אלא בילינארית עקב משתנה במכנה. לכן, כמו במקרה הקודם, נשאיר את קביעת סוג היציבות לדיאגרמות הפאזות.

למרות הופעתם של פרמטרים חדשים, היעקוביאן בנקודת האפס, כמו גם שורשי המשוואה האופיינית, נראה דומה לדגם הקודם. לפיכך, בנקודת האפס יש צומת לא יציב.

בואו נעבור לדגמים מתקדמים. הראשון שבהם אינו מכיל הגבלות כלשהן ולובש צורה של מערכת (2.4)

בואו נעשה שינוי של משתנים, , ו . מערכת חדשה:

(2.6)

במקרה זה, נקבל שתי נקודות שיווי משקל, נקודה A(0,0), B(). נקודה B נמצאת ברביע הראשון מכיוון שלמשתנים יש ערכים לא שליליים.

לנקודת שיווי משקל A נקבל:

. - צומת לא יציב,

. - אוכף,

. - אוכף,

. - צומת יציב,

בנקודה B, השורשים של המשוואה האופיינית הם מספרים מרוכבים: λ1 = , λ2 = . איננו יכולים לקבוע את סוג היציבות בהסתמך על משפטי ליאפונוב, ולכן נבצע סימולציה מספרית שלא תציג את כל המצבים האפשריים, אך תאפשר לנו לגלות לפחות חלק מהם.

איור 2.2. מודלים מספריים של חיפוש אחר סוג היציבות

כאשר בוחנים מודל זה, תצטרך להתמודד עם קשיים חישוביים, מכיוון שיש לו מספר רב של פרמטרים שונים, כמו גם שתי מגבלות.

מבלי להיכנס לפרטי החישובים, אנו מגיעים לנקודות שיווי המשקל הבאות. נקודה A(0,0) ונקודה B עם הקואורדינטות הבאות:

(), כאשר a =

עבור נקודה א', קביעת סוג היציבות היא משימה טריוויאלית. השורשים של המשוואה האופיינית הם λ1 = , λ2 = . זה נותן לנו ארבע אפשרויות:

1. λ1 > 0, λ2 > 0 - צומת לא יציב.

2. λ1< 0, λ2 >0 - אוכף.

3. λ1> 0, λ2< 0 - седло.

4. λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

אם כבר מדברים על נקודה ב', כדאי להסכים שהחלפת קיצורים בביטוי שלה תסבך את העבודה עם היעקוביאנית ומציאת שורשי המשוואה האופיינית. לדוגמה, לאחר שניסיתי למצוא אותם באמצעות כלי מחשוב WolframAlpha, הפלט של ערכי השורש לקח בערך חמש שורות, מה שלא מאפשר לעבוד איתם במונחים מילוליים. כמובן שאם כבר יש לנו את הפרמטרים הקיימים, נראה שניתן למצוא במהירות את נקודת שיווי המשקל, אך זהו מקרה מיוחד, שכן את מצב שיווי המשקל נמצא, אם הוא קיים, רק עבור הפרמטרים הללו, שאינו מתאים ל מערכת תומכת ההחלטות שעבורה מתוכנן ליצור המודל.

בשל המורכבות של העבודה עם שורשי המשוואה האופיינית, נבנה את המיקום היחסי של איסוקלינים אפסיים באנלוגיה למערכת שניתחה בעבודתו של Bazykin (Bazykin, 2003). זה יאפשר לנו לשקול מצבים אפשריים של המערכת, ובעתיד, בעת בניית דיוקנאות פאזה, לזהות נקודות שיווי משקל וסוגי יציבותן.

לאחר כמה חישובים, משוואות האפס-איזוקלינה לובשות את הצורה הבאה:

(2.7)

לפיכך, לאיזוקינים יש צורה של פרבולות.

איור 2.3. מיקום אפשרי של isoclines null

ישנם ארבעה מקרים אפשריים של הסדר הדדי שלהם על סמך מספר הנקודות המשותפות בין הפרבולות. לכל אחד מהם יש סטים משלו של פרמטרים, ולכן דיוקנאות שלב של המערכת.

דיוקנאות דו פאזיים של מערכות

הבה נבנה דיוקן פאזה של המערכת, בתנאי ש והפרמטרים הנותרים שווים ל-1. במקרה זה מספיקה קבוצה אחת של משתנים, שכן האיכותי לא ישתנה.

כפי שניתן לראות מהאיורים שלהלן, נקודת האפס היא צומת לא יציב, והנקודה השנייה, אם נחליף את הערכים המספריים של הפרמטרים, נקבל (-1.5, -1.5) - אוכף.

איור 2.4. דיוקן שלב למערכת (2.2)

לפיכך, מכיוון שלא אמורים להתרחש שינויים, אז עבור מערכת זו יש רק מצבים לא יציבים, אשר ככל הנראה נובע מהאפשרות של צמיחה בלתי מוגבלת.

מודל פרוטו-שיתוף פעולה עם שני אילוצים.

במערכת זו ישנו גורם מגביל נוסף, ולכן דיאגרמות הפאזות אמורות להיות שונות מהמקרה הקודם, כפי שניתן לראות באיור. נקודת האפס היא גם צומת לא יציב, אבל במערכת זו מופיע מיקום יציב, כלומר צומת יציב. בהתחשב בפרמטרים של הקואורדינטות שלו (5.5,5.5), הוא מוצג באיור.

איור 2.5. דיוקן שלב למערכת (2.3)

לפיכך, ההגבלה על כל קדנציה אפשרה להשיג עמדה יציבה של המערכת.

מודל פרוטו-שיתוף פעולה מורחב.

בואו נבנה דיוקנאות פאזה עבור הדגם המורחב, אך מיד נשתמש בצורתו השונה:

הבה ניקח בחשבון ארבע קבוצות של פרמטרים, כגון לשקול את כל המקרים עם נקודת שיווי משקל אפס, וגם להדגים את דיאגרמות השלב של הסימולציה המספרית המשמשת לנקודת שיווי משקל שאינה מאפס: קבוצה A(1,0.5,0.5) תואמת ל- המדינה , סט B(1,0.5,-0.5) מתאים הגדר C(-1,0.5,0.5) ו-D(-1,0.5,-0.5) , כלומר, צומת יציב בנקודת האפס. שתי הקבוצות הראשונות ידגימו דיוקנאות פאזה עבור הפרמטרים ששקלנו בסימולציה המספרית.

איור 2.6. דיוקן שלב למערכת (2.4) עם פרמטרים A-D.

באיורים, עליך לשים לב לנקודות (-1,2) ו- (1,-2), בהתאמה, מופיע בהן "אוכף". לתצוגה מפורטת יותר, האיור מציג קנה מידה שונה של הדמות עם נקודת אוכף (1,-2). באיור, מרכז יציב נראה בנקודות (1,2) ו-(-1,-2). באשר לנקודת האפס, מאיור לאיור בדיאגרמות הפאזות אנו יכולים להבחין בבירור בין צומת לא יציב, אוכף, אוכף וצומת יציב.

מודל פרוטו-שיתוף פעולה מורחב עם אילוץ לוגיסטי.

כמו במודל הקודם, נדגים דיוקנאות פאזה עבור ארבעה מקרים של נקודת האפס, וננסה גם לציין פתרונות שאינם אפס בתרשימים אלו. לשם כך, קח את קבוצות הפרמטרים הבאות עם פרמטרים שצוינו בסדר הבא (): A(2,1,2,1), B(2,1,1,2), C(1,2,2, 1) ו-ד (1,2,1,2). שאר הפרמטרים עבור כל הסטים יהיו כדלקמן: , .

באיורים המוצגים להלן, ניתן לצפות בארבעת מצבי שיווי המשקל של נקודת האפס שתוארו בסעיף הקודם עבור מערכת דינמית זו. וגם באיורים יש מיקום יציב של נקודה עם קואורדינטה אחת שאינה אפס.

איור 2.7. דיוקן שלב למערכת (2.5) עם פרמטרים A-B

3 מסלולים אינטגרליים של מערכות

מודל פרוטו-שיתוף פעולה עם אילוץ Verhulst

כמו בפרק הקודם, נפתור כל אחת מהמשוואות הדיפרנציאליות בנפרד ונבטא במפורש את התלות של המשתנים בפרמטר הזמן.

(2.8)

(2.9)

מהמשוואות המתקבלות ברור שהערך של כל אחד מהמשתנים עולה, מה שמודגם במודל התלת מימדי להלן.

איור 2.8. מודל תלת מימדי למשוואה (2.8)

סוג זה של גרף בהתחלה מזכיר מעט את התמונה התלת מימדית של המודל המלטוסיאני ללא רוויה, הנדונה בפרק 1, שכן יש לו צמיחה מהירה דומה, אך בהמשך ניתן להבחין בירידה בקצב הצמיחה עקב הגעה הגבלה על נפח הייצור. לפיכך, המראה הסופי של העקומות האינטגרליות דומה לגרף של המשוואה הלוגיסטית ששימש להגביל את אחד המונחים.

מודל פרוטו-שיתוף פעולה עם שני אילוצים.

אנו פותרים כל אחת מהמשוואות באמצעות כלי Wolfram Alpha. לפיכך, התלות של הפונקציה x(t) מצטמצמת לצורה הבאה:

(2.10)

עבור הפונקציה השנייה המצב דומה, ולכן נשמיט את הפתרון שלה. ערכים מספריים הופיעו עקב החלפת פרמטרים בערכים מסוימים המתאימים להם, דבר שאינו משפיע על ההתנהגות האיכותית של העקומות האינטגרליות. באיורים שלהלן מורגש השימוש בהגבלות צמיחה, שכן עם הזמן הצמיחה המעריכית הופכת ללוגריתמית.

איור 2.9. מודל תלת מימדי למשוואה (2.10)

מודל פרוטו-שיתוף פעולה מורחב

כמעט דומה למודלים של הדדיות. ההבדל היחיד הוא צמיחה מהירה יותר ביחס לאותם מודלים, כפי שניתן לראות מהמשוואות המוצגות להלן (אם מסתכלים על מידת האקספוננציאלי) והגרפים. העקומה האינטגרלית צריכה ללבוש צורה של אקספוננציאלי.

(2.11)

(2.12)

מודל שיתוף פעולה מורחב בפרוטוקול עם אילוץ לוגיסטי

הקשר x(t) נראה כך:

ללא גרף קשה להעריך התנהגות של פונקציה, ולכן באמצעות הכלים שכבר ידועים לנו, נבנה אותה.

איור 2.10 מודל תלת מימדי עבור Eq.

ערך הפונקציה יורד עבור ערכים לא קטנים של המשתנה האחר, מה שנובע מהיעדר הגבלות על המונח הביליניארי השלילי, וזו תוצאה ברורה

4 דינמיקה מערכתית של חברות מתקשרות

מודל פרוטו-שיתוף פעולה עם אילוץ Verhulst.

הבה נבנה מערכת (2.2). בעזרת כלים שכבר ידועים לנו, אנו בונים מודל סימולציה. הפעם, בניגוד למודלים הדדיים, יהיה אילוץ לוגיסטי במודל.

איור 2.11. מודל דינמיקה של מערכת למערכת (2.2)

בוא נריץ את הדגם. במודל זה, כדאי לשים לב לעובדה שצמיחה ממערכת היחסים אינה מוגבלת בשום דבר, ולצמיחה של מוצרים ללא השפעת אחר יש מגבלה ספציפית. אם תסתכל על הביטוי של הפונקציה הלוגיסטית עצמה, תבחין שבמקרה שבו המשתנה (מספר הסחורות) חורג מנפח האחסון המקסימלי האפשרי, המונח הופך לשלילי. במקרה שבו יש רק פונקציה לוגיסטית זה בלתי אפשרי, אבל עם גורם צמיחה נוסף תמיד חיובי זה אפשרי. ועכשיו חשוב להבין שהפונקציה הלוגיסטית תתמודד עם המצב של צמיחה לא מהירה מדי במספר המוצרים, למשל, ליניאריים. בואו נשים לב לתמונות למטה.

איור 2.12. דוגמה למודל הדינמיקה של המערכת עבור מערכת (2.2)

האיור השמאלי מציג את השלב החמישי של התוכנית המתאים למודל המוצע. אבל כרגע כדאי לשים לב לתמונה מימין.

ראשית, אחד מזרמי הקלט עבור Y_stock הוסר הקשר שלו עם x, מבוטא במונחים של . זה נעשה על מנת להראות את ההבדל בביצועים של המודל עם זרימה ליניארית, תמיד חיובית, וצמיחה בילינארית, המוצגת עבור X_stock. עם זרימות לינאריות בלתי מוגבלות, לאחר חריגה מפרמטר K, המערכת מגיעה בשלב מסוים לשיווי משקל (במודל זה, מצב שיווי המשקל הוא 200 אלף יחידות סחורה). אבל הרבה קודם לכן, צמיחה בילינארית מובילה לעלייה חדה בכמות הסחורות, והופכת לאינסוף. אם נשאיר גם את הזרימה החיובית הימנית וגם השמאלית כבילינארית, אז כבר בשלב ה-20-30 בערך, ערך המצבר מגיע להפרש של שני אינסוף.

בהתבסס על האמור לעיל, אנו יכולים לומר בביטחון כי במקרה של שימוש נוסף במודלים כאלה, יש צורך להגביל כל צמיחה חיובית.

מודל פרוטו-שיתוף פעולה עם שני אילוצים.

לאחר שזיהינו את החסרונות של המודל הקודם והכנסנו הגבלה לקדנציה השנייה על ידי גורם הרוויה, נבנה ונשיק מודל חדש.

איור 2.13. מודל דינמיקת מערכת ודוגמה לפעולתו עבור מערכת (2.3)

דגם זה מביא בסופו של דבר לתוצאות המיוחלות. ניתן היה להגביל את צמיחת ערכי האחסון. כפי שניתן לראות מהנתון הנכון עבור שני הארגונים, שיווי משקל מושג עם עודף קל של נפח אחסון.

מודל פרוטו-שיתוף פעולה מורחב.

כאשר בוחנים את הדינמיקה המערכתית של מודל זה, יודגמו היכולות של סביבת תוכנת AnyLogic להדמיה צבעונית של מודלים. כל הדגמים הקודמים נבנו באמצעות אלמנטים של דינמיקה מערכתית בלבד. לכן, הדגמים עצמם נראו לא בולטים, הם לא אפשרו לעקוב אחר הדינמיקה של שינויים בכמות המוצרים לאורך זמן ושינוי פרמטרים בזמן שהתוכנית פועלת. כאשר עובדים עם הדגם הזה ועם הדגם הבא, ננסה לנצל מגוון רחב יותר של יכולות תוכנית כדי לשנות את שלושת החסרונות שהוזכרו לעיל.

ראשית, בתוכנית, יחד עם הסעיף "דינמיקה מערכתית", התוכנית מכילה גם סעיפים "תמונות" ו"אובייקטים תלת מימדיים", המאפשרים לגוון את המודל, מה שמועיל להמשך הצגתו, מכיוון שהוא מייצר את המודל להיראות "נעים יותר".

שנית, כדי לעקוב אחר הדינמיקה של שינויים בערכי המודל, ישנו סעיף "סטטיסטיקה" המאפשר להוסיף תרשימים וכלים שונים לאיסוף נתונים, ולקשר אותם למודל.

שלישית, לשינוי פרמטרים ואובייקטים אחרים במהלך ביצוע המודל, יש סעיף "בקרות". אובייקטים בסעיף זה מאפשרים לך לשנות פרמטרים בזמן שהמודל פועל (לדוגמה, "מחוון"), לבחור מצבי אובייקט שונים (לדוגמה, "בורר") ולבצע פעולות אחרות שמשנות את הנתונים שצוינו בתחילה במהלך הפעולה.

המודל מתאים להיכרות חינוכית עם הדינמיקה של שינויים במוצרים ארגוניים, אך היעדר הגבלות על צמיחה אינו מאפשר שימוש בו בפועל.

מודל פרוטו-שיתוף פעולה מורחב עם אילוץ לוגיסטי.

באמצעות המודל הקודם המוכן, נוסיף פרמטרים מהמשוואה הלוגיסטית כדי להגביל את הצמיחה.

נשמיט את בניית המודל שכן כל הכלים והעקרונות הדרושים לעבודה איתם כבר הוכחו בחמשת הדגמים הקודמים שהוצגו בעבודה. ראוי רק לציין שהתנהגותו דומה למודל פרוטו-שיתוף פעולה עם אילוץ Verhulst. הָהֵן. חוסר הרוויה מונע את השימוש המעשי בו.

לאחר ניתוח המודלים בתנאים של שיתוף פעולה פרוטו, נקבע מספר נקודות עיקריות:

המודלים הנדונים בפרק זה מתאימים בפועל יותר מאלה הדדיים, שכן יש להם עמדות שיווי משקל יציבות שאינן אפס אפילו עם שני מונחים. הרשו לי להזכיר לכם שבמודלים של הדדיות הצלחנו להשיג זאת רק על ידי הוספת קדנציה שלישית.

למודלים מתאימים חייבות להיות הגבלות על כל אחד מהמונחים, שכן אחרת, עלייה חדה בגורמים בילינאריים "הורסת" את כל מודל הסימולציה.

בהתבסס על נקודה 2, כאשר מוסיפים גורם רוויה למודל הפרוטו-שיתוף פעולה המורחב עם מגבלת Verhulst, כמו גם הוספת כמות קריטית נמוכה יותר של ייצור, המודל צריך להיות קרוב ככל האפשר למצב העניינים האמיתי. אבל אל לנו לשכוח שמניפולציות כאלה של המערכת יסבך את הניתוח שלה.

סיכום

כתוצאה מהמחקר, בוצע ניתוח של שש מערכות המתארות את הדינמיקה של ייצור על ידי מפעלים המשפיעים הדדית זה על זה. כתוצאה מכך, נקודות שיווי המשקל וסוגי היציבות שלהן נקבעו באחת מהדרכים הבאות: אנליטית, או בזכות דיוקנאות הפאזה הבנויים במקרים בהם פתרון אנליטי מסיבה כלשהי אינו אפשרי. לכל אחת מהמערכות נבנו דיאגרמות פאזות וכן מודלים תלת מימדיים, שעליהם ניתן להקרין עקומות אינטגרליות במישורים (x,t), (y,t). לאחר מכן, באמצעות סביבת הדוגמנות AnyLogic, נבנו כל המודלים ונבדקו אפשרויות להתנהגותם תחת פרמטרים מסוימים.

לאחר ניתוח המערכות ובניית מודלי הסימולציה שלהן, מתברר שמודלים אלו יכולים להיחשב רק כמודלים להדרכה, או לתיאור מערכות מקרוסקופיות, אך לא כמערכת תומכת החלטות עבור חברות בודדות, בשל דיוקם הנמוך ובמקומות מסוימים. אין ייצוג אמין לחלוטין של התהליכים המתרחשים. אבל אסור גם לשכוח שלא משנה כמה נכונה המערכת הדינמית שמתארת ​​את המודל, לכל חברה/ארגון/תעשיה יש תהליכים ומגבלות משלו, ולכן לא ניתן ליצור ולתאר מודל כללי. בכל מקרה ספציפי זה ישונה: יהפוך מסובך יותר או להיפך, יפשט לעבודה נוספת.

כאשר מסיקים מסקנה מהמסקנות של כל פרק, כדאי להתמקד בעובדה שזוהתה שהכנסת הגבלות על כל אחד ממונחי המשוואה, אמנם מסבכת את המערכת, אך גם מאפשרת לזהות מיקומים יציבים של המשוואה. מערכת, כמו גם לקרב אותה למה שקורה במציאות. וראוי לציין שמודלים של פרוטוקופרציה מתאימים יותר ללימוד, מכיוון שיש להם עמדות יציבות שאינן אפס, בניגוד לשני המודלים ההדדיים שחשבנו.

לפיכך, מטרת מחקר זה הושגה והיעדים הושלמו. בעתיד, כהמשך לעבודה זו, ייבחן מודל מורחב של האינטראקציה של סוג שיתוף הפעולה בפרוטוקול עם שלוש מגבלות המוטלות עליו: לוגיסטי, גורם רוויה, מספר קריטי נמוך יותר, שאמור לאפשר לנו ליצור יותר מודל מדויק למערכת תומכת ההחלטות, וכן מודל עם שלוש חברות. כהרחבה של העבודה, נוכל לשקול שני סוגי אינטראקציה נוספים בנוסף לסימביוזה, שהוזכרו בעבודה.

סִפְרוּת

1. בהתיה נאם פרשד; Szegx Giorgio P. (2002). תורת היציבות של מערכות דינמיות. ספרינגר.

2. בלנשרד פ.; Devaney, R. L.; הול, ג.ר. (2006). משוואות דיפרנציאליות. לונדון: תומפסון. עמ. 96-111.

בואינג, ג'י (2016). ניתוח חזותי של מערכות דינמיות לא ליניאריות: כאוס, פרקטלים, דמיון עצמי וגבולות החיזוי. מערכות. 4 (4): 37.

4. קמפבל, דיוויד ק. (2004). פיזיקה לא לינארית: נשימה רעננה. טֶבַע. 432 (7016): 455-456.

אלטון סי.ס. (1968) הדפסה מחודשת. אקולוגיה של בעלי חיים. בריטניה: William Clowes and Sons Ltd.

7. Forrester Jay W. (1961). דינמיקה תעשייתית. MIT Press.

8. גנדולפו, ג'יאנקרלו (1996). דינמיקה כלכלית (מהדורה שלישית). ברלין: ספרינגר. עמ. 407-428.

9. גרשנפלד ניל א' (1999). טבעו של דוגמנות מתמטית. קיימברידג', בריטניה: הוצאת אוניברסיטת קיימברידג'.

10. גודמן מ' (1989). הערות לימוד בדינמיקת מערכת. פגסוס.

Grebogi C, Ott E, and Yorke J (1987). כאוס, מושכים מוזרים וגבולות אגן פרקטלים בדינמיקה לא ליניארית. מדע 238 (4827), עמ' 632-638.

12. שיער ארנסט; Nørsett Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), פתרון משוואות דיפרנציאליות רגילות I: Nonstiff problems, ברלין, ניו יורק

Hanski I. (1999) Metapopulation Ecology. הוצאת אוניברסיטת אוקספורד, אוקספורד, עמ'. 43-46.

יוז-הלט דבורה; מקאלום, וויליאם ג'י; גליסון, אנדרו מ. (2013). חשבון: יחיד ורב משתנים (6 מהדורות). ג'ון ווילי.

15. Llibre J., Valls C. (2007). אינטגרלים אנליטיים ראשונים גלובליים עבור מערכת Lotka-Volterra המישורית האמיתית, J. Math. פיזי.

16. ג'ורדן ד.ו.; סמית פ. (2007). משוואות דיפרנציאליות דיפרנציאליות לא-לינאריות: מבוא למדענים ומהנדסים (מהדורה רביעית). הוצאת אוניברסיטת אוקספורד.

חליל חסן ק' (2001). מערכות לא ליניאריות. פרנטיס הול.

אוניברסיטת למאר, הערות מתמטיקה מקוונות - מטוס שלב, פ. דוקינס.

אוניברסיטת למאר, הערות מתמטיקה מקוונות - מערכות משוואות דיפרנציאליות, פ' דוקינס.

לאנג סרג' (1972). סעפות דיפרנציאליות. Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.

Law Averill M. (2006). סימולציה מידול וניתוח עם תוכנת Expertfit. מדע מקגרו-היל.

לזר ד' (2009). שלושים שנה של פתרון מערכות פולינומיות, ועכשיו? Journal of Symbolic Computing. 44 (3): 222-231.

24. לואיס מארק ד' (2000). ההבטחה של גישות מערכות דינמיות לחשבון משולב של התפתחות אנושית. התפתחות הילד. 71 (1): 36-43.

25. מלתוס ת.ר. (1798). מסה על עקרון האוכלוסין, ב-Oxford World's Classics הדפסה מחודשת. עמ' 61, סוף פרק VII

26. Morecroft John (2007). מודלים אסטרטגיים ודינמיקה עסקית: גישת מערכות משוב. ג'ון ווילי ובניו.

27. נולטה ד.ד. (2015), מבוא לדינמיקה מודרנית: כאוס, רשתות, מרחב וזמן, הוצאת אוניברסיטת אוקספורד.

שלח את העבודה הטובה שלך במאגר הידע הוא פשוט. השתמש בטופס למטה

סטודנטים, סטודנטים לתארים מתקדמים, מדענים צעירים המשתמשים בבסיס הידע בלימודיהם ובעבודתם יהיו אסירי תודה לכם מאוד.

פורסם ב- http://www.allbest.ru/

תרגיל

לשלוט בתדר nyquist אוטומטי

נתח את המאפיינים הדינמיים של מערכת הבקרה האוטומטית המצוינת בתרשים הבלוק המוצג באיור 1, כולל השלבים הבאים:

בחירה והצדקה של שיטות מחקר, בניית מודל מתמטי של מערכות בקרה אוטומטיות;

חלק חישוב כולל מידול מתמטי של מערכות בקרה אוטומטיות במחשב;

ניתוח יציבות של המודל המתמטי של אובייקט הבקרה ומערכת הבקרה האוטומטית;

לימוד יציבות המודל המתמטי של אובייקט הבקרה ומערכת הבקרה האוטומטית.

דיאגרמת בלוקים של ה-ACS הנבדק, שבה, פונקציות ההעברה של אובייקט הבקרה (OU), המפעיל (AM), החיישן (D) והתקן התיקון (CU)

ערכי המקדמים K1, K2, K3, K4, T1, T2, T3 ו-T4 ניתנים בטבלה 1.

אפשרות למטלת קורסים

	אפשרויות

מבוא

תכנון אוטומציה הוא אחד התחומים המורכבים והחשובים ביותר בהנדסה, לכן ידע ביסודות האוטומציה, מושג על רמת האוטומציה בתהליכים טכנולוגיים שונים, כלי האוטומציה בהם נעשה שימוש ויסודות התכנון הם תנאים הכרחיים עבור עבודה מוצלחת של מהנדסים וטכנולוגים. הפעולה הרגילה של כל תהליך טכנולוגי מאופיינת בערכי פרמטר מסוימים, ותפעול הציוד הכלכלי והבטוח מובטח על ידי שמירה על פרמטרים תפעוליים בגבולות הנדרשים. לצורכי פעולה תקינה של הציוד, כמו גם יישום התהליך הטכנולוגי הנדרש בכל מתקנים תרמיים, יש צורך לכלול אמצעי אוטומציה בפיתוחי התכנון. כיום, מערכות בקרה אוטומטיות משמשות יותר ויותר בכל מגזרי הכלכלה הלאומית, כולל החקלאות. זה לא מפתיע, שכן אוטומציה של תהליכים טכנולוגיים מאופיינת בהחלפה חלקית או מלאה של המפעיל האנושי באמצעים טכניים מיוחדים של ניטור ובקרה. מיכון, חשמול ואוטומציה של תהליכים טכנולוגיים מבטיחים הפחתה בחלקה של העבודה הפיזית הכבדה והבלתי מיומנת בחקלאות, מה שמביא לעלייה בפריון שלה.

לפיכך, הצורך לבצע אוטומציה של תהליכים טכנולוגיים ברור וישנו צורך ללמוד כיצד לחשב את הפרמטרים של מערכות בקרה אוטומטיות (ACS) ליישום הבא של הידע שלהן בפועל.

עבודת הקורס כוללת ניתוח של המאפיינים הדינמיים של תרשים מבני נתון של מערכת בקרה אוטומטית עם הידור וניתוח של מודלים מתמטיים של אובייקטי בקרה.

1 . ניתוח יציבות ACS באמצעות קריטריון Nyquist

כדי לשפוט את היציבות של מערכת בקרה אוטומטית, אין צורך לקבוע את הערכים המדויקים של שורשי המשוואה האופיינית לה. לכן, פתרון מלא של המשוואה האופיינית למערכת מיותר בעליל ונוכל להגביל את עצמנו לשימוש בקריטריון יציבות עקיף כזה או אחר. בפרט, לא קשה להראות שלמען יציבות מערכת יש צורך (אך לא מספיק) שלכל המקדמים של המשוואה האופיינית שלה יהיה אותו סימן או שמספיק שהחלקים הממשיים של כל שורשי המשוואה האופיינית הם שליליים. אם החלקים הממשיים של כל השורשים של המשוואה האופיינית אינם שליליים, אז כדי לקבוע את היציבות של ACS זה יש צורך ללמוד באמצעות קריטריונים אחרים, שכן אם פונקציית ההעברה לפי הקריטריון לעיל שייכת לבלוק לא יציב שבו למכנה יש שורשים עם חלק אמיתי חיובי, אז אם מתקיימים תנאים מסוימים, המערכת הסגורה יכולה להיות יציבה גם במקרה זה.

השיטה הנוחה ביותר לחקר היציבות של מערכות בקרת תהליכים רבות היא קריטריון היציבות של Nyquist, אשר נוצר כדלקמן.

מערכת יציבה במצב פתוח תישאר יציבה גם לאחר סגירתה במשוב שלילי, אם ההודוגרף CFC במצב פתוח W(jш) אינו מכסה נקודה עם קואורדינטות (-1; j0) במישור המורכב. .

בניסוח לעיל של קריטריון Nyquist, נחשב כי הודוגרף CFC W(jш) "אינו מכסה" את הנקודה (-1; j0) אם זווית הסיבוב הכוללת של הווקטור הנמשכת מהנקודה שצוינה אל ההודוגרף. W(jш) שווה לאפס כאשר התדר משתנה מ-у=0 ל-sh > ?.

אם ההודוגרף של תגובת התדר W(jш) בתדר מסוים, הנקרא תדר קריטי schk, עובר דרך הנקודה (-1; j0), אז התהליך החולף במערכת סגורה מייצג תנודות בלתי משוקעות עם תדר schk, כלומר. המערכת מוצאת את עצמה על גבול היציבות המתבטא כך:

כאן W(p) היא פונקציית ההעברה של מערכת הבקרה האוטומטית בלולאה פתוחה. הבה נניח שמערכת הלולאה הפתוחה יציבה. לאחר מכן, ליציבות של מערכת בקרה אוטומטית בלולאה סגורה, יש צורך ומספיק שההודוגרף של מאפיין המשרעת-פאזה W(jw) של מערכת הלולאה הפתוחה (מאפיין זה מתקבל מ-W(p) על ידי החלפה p=jw) אינו מכסה את הנקודה בקואורדינטות (-1, j0). התדירות שבה |W(jw)| = 1, נקרא תדר החיתוך (w cf).

כדי להעריך כמה רחוקה המערכת מגבול היציבות, מוצג המושג של שולי יציבות. מרווח היציבות באמפליטודה (מודולוס) מציין כמה פעמים יש צורך לשנות את אורך וקטור הרדיוס של ההודוגרף AFC על מנת להביא את המערכת לגבול היציבות מבלי לשנות את הסטת הפאזה. עבור מערכות יציבות לחלוטין, מרווח היציבות modulo DK מחושב באמצעות הנוסחה:

כאשר התדר w 0 נקבע מהיחס arg W(jw 0) = - 180 0.

מרווח היציבות עבור משרעת DK מחושב גם באמצעות הנוסחה:

DK = 1 - K 180;

כאשר K 180 הוא הערך של מקדם ההעברה בשינוי פאזה של -180°.

בתורו, מרווח יציבות הפאזה מציין עד כמה יש צורך להגדיל את הערך המוחלט של ארגומנט ה-AFC על מנת להביא את המערכת לגבול היציבות מבלי לשנות את ערך המודול.

מרווח יציבות הפאזה Dj מחושב על ידי הנוסחה:

Dj = 180° - j K=1 ;

כאשר j K=1 הוא הערך של הסטת הפאזה במקדם ההעברה K = 1;

הערך Dj = 180 0 + arg W (j; w av) קובע את מרווח יציבות הפאזה. מקריטריון Nyquist נובע ש-ACS שיציב במצב פתוח יהיה יציב במצב סגור אם הסטת הפאזה בתדר החיתוך לא תגיע ל-180°. ניתן לאמת את קיום תנאי זה על ידי בניית מאפייני התדר הלוגריתמי של מערכת בקרה אוטומטית בלולאה פתוחה.

2. מחקר של יציבות ACS באמצעות קריטריון Nyquist

לימוד יציבות על פי קריטריון Nyquist על ידי ניתוח AFC עם ACS פתוח. כדי לעשות זאת, אנו שוברים את המערכת כפי שמוצג בתרשים הבלוק של ה-ACS הנבדק:

דיאגרמת בלוקים של האקדח המתנייע במחקר

להלן פונקציות ההעברה של אובייקט הבקרה (OU), המפעיל (AM), החיישן (D) והתקן התיקון (CU):

ערכי המקדמים עבור ההקצאה הם כדלקמן:

K1 = 1.0; K2 = 0.2; K3 = 2; K4 = 1.0; T1 = 0.4; T2 = 0.2; T3 = 0.07; T4 = 0.4.

בואו נחשב את פונקציית ההעברה לאחר הפסקת המערכת:

W(p) = W ku (p) Ch W im (p) ChW ou (p) ChW d (p);

W(p) = H H H

החלפת המקדמים הנתונים בפונקציה נקבל:

ניתוח פונקציה זו בתוכנית הדוגמנות המתמטית ("MATLAV"), אנו מקבלים את ההודוגרף של תגובת משרעת-פאזה-תדר (APFC) של ACS בלולאה פתוחה במישור המורכב, המוצג באיור.

הודוגרף של תגובת תדר פאזה של מערכת בקרה אוטומטית בלולאה פתוחה במישור מורכב.

מחקר על יציבות רובים מונעים על בסיס AFFC

אנו מחשבים את מקדם ההולכה עבור הסטת פאזה של -180°, K 180 = 0.0395.

מרווח יציבות עבור משרעת DK לפי הנוסחה:

DK = 1 - K 180 = 1 - 0.0395 = 0.9605; כאשר K 180 = 0.0395.

בואו נקבע את שולי הפאזה Dj:

שולי יציבות הפאזה Dj נקבעים על ידי הנוסחה: Dj = 180° - j K=1 ; כאשר j K=1 הוא הערך של הסטת הפאזה במקדם ההעברה K = 1. אך מכיוון ש-j K=1 אינו נצפה במקרה שלנו (המשרעת תמיד קטנה מאחד), אז המערכת הנחקרת יציבה ב- כל ערך של שינוי הפאזה (ה-ACS יציב בכל טווח התדרים).

מחקר של יציבות רובים מונעים באמצעות מאפיינים לוגריתמיים

תגובת משרעת-תדר לוגריתמית של מערכת בקרה אוטומטית בלולאה פתוחה

תדר לוגריתמי המאפיין מערכת בקרה אוטומטית בלולאה פתוחה

באמצעות תוכנית המודלים המתמטיים ("MATLAB"), אנו מקבלים את המאפיינים הלוגריתמיים של ה-ACS הנלמד, המוצגים באיור 4 (מאפיין משרעת-תדר לוגריתמי) ובאיור 5 (מאפיין תדר פאזה לוגריתמי), שבו;

L(w) = 20lg|W (j; w) |).

הקריטריון הלוגריתמי ליציבות של ACS הוא ביטוי של קריטריון Nyquist בצורה לוגריתמית.

כדי למצוא את ערך הסטת הפאזה של 180° (איור 5), צייר קו אופקי לצומת עם ה-LFCH, מנקודת חיתוך זו צייר קו אנכי אל ההצטלבות עם ה-LFCH (איור 4). אנו מקבלים את הערך של מקדם ההילוכים עבור הסטת פאזה של 180°:

20lgК 180° = - 28.05862;

במקרה זה K 180 ° = 0.0395 (DK" = 28.05862).

מרווח יציבות המשרעת נמצא על ידי הארכת הקו האנכי לערך 20lgК 180° = 0.

כדי למצוא את שולי יציבות הפאזה, מועבר קו אופקי לאורך הקו 20lgК 180° = 0 עד להצטלבות עם ה-LFC וקו אנכי מועבר מנקודה זו אל ההצטלבות עם ה-LFC. במקרה זה, ההפרש בין הערך שנמצא של הסטת הפאזה לבין הסטת הפאזה השווה ל-180° יהיה שולי יציבות הפאזה.

Dj = 180° - j K;

Dj = 180° - 0 = 180°.

כאשר: j K - ערך נמצא של הסטת הפאזה;

מכיוון שה-LFCH של התותח המתנייע הנחקר נמצא מתחת לקו 20logK 180° = 0, לכן לתותח המתנייע יהיה מרווח יציבות פאזה עבור כל ערך של הסטת פאזה מאפס ל-180°.

מסקנה: לאחר שניתח את ה-LFC וה-LFFC, יוצא שה-ACS הנבדק יציב על כל טווח התדרים.

סיכום

בעבודה בקורס זה סונתזה מערכת מעקב אחר מכשירים ונלמדה תוך שימוש בשיטות וכלים מודרניים של תורת הבקרה. בעבודה חישובית וגרפית זו, מצאנו את פונקציית ההעברה של מערכת בקרה אוטומטית בלולאה סגורה תוך שימוש בתרשים מבני נתון וביטויים ידועים עבור פונקציות ההעברה של קישורים דינמיים.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה

1. I.F. בורודין, יו.א. סודניק. אוטומציה של תהליכים טכנולוגיים. ספר לימוד לאוניברסיטאות. מוסקבה. "ספייק", 2004.

2. ו.ס. גוטניקוב. אלקטרוניקה משולבת במכשירי מדידה. "Energoatomizdat". סניף לנינגרד, 1988.

3. נ.נ. איבשצ'נקו. ויסות אוטומטי. תיאוריה ואלמנטים של מערכות. מוסקבה. "הנדסת מכונות", 1978.

פורסם ב- Allbest.ru

...

מסמכים דומים

קביעת פונקציות העברה ומאפיינים חולפים של קישורי מערכת בקרה אוטומטית. בניית מאפייני אמפליטודה-פאזה. הערכת יציבות המערכת. בחירת מכשיר תיקון. מדדי איכות רגולציה.

עבודה בקורס, נוסף 21/02/2016


לימוד מערכת בקרת מהירות המנוע עם ובלי מעגל תיקון. הערכת יציבות המערכת תוך שימוש בקריטריונים של הורביץ, מיכאילוב וניקוויסט. בניית מאפייני משרעת-תדר ותדר פאזה לוגריתמיים.

עבודה בקורס, נוסף 22/03/2015


פיתוח תרשים סכמטי של מודל מתמטי עיקרי חשמלי של מערכת בקרה אוטומטית, מתוקן על ידי מכשירים מתקינים. הערכת יציבות המערכת המקורית בשיטת רוט-הורביץ. סינתזה של תגובת התדר הרצויה.

עבודה בקורס, נוסף 24/03/2013


מאפיינים של אובייקט הבקרה (תוף הדוד), התכנון והתפעול של מערכת הבקרה האוטומטית, הדיאגרמה הפונקציונלית שלה. ניתוח יציבות המערכת תוך שימוש בקריטריונים של הורביץ וניקוויסט. הערכת איכות הניהול על סמך פונקציות מעבר.

עבודה בקורס, נוסף 13/09/2010


מטרת מערכת הבקרה האוטומטית להזנה צולבת במהלך השחזה בחיתוך צולל. בניית תרשים פונקציונלי. חישוב פונקציות העברה של הממיר, המנוע החשמלי, תיבת ההילוכים. קביעת יציבות באמצעות קריטריון Nyquist.

עבודה בקורס, נוסף 08/12/2014


מתודולוגיה לקביעת יציבות מערכת באמצעות קריטריונים אלגבריים (קריטריונים של רוז והורביץ) וקריטריונים של יציבות תדר (קריטריונים של מיכאילוב וניקוויסט), הערכת דיוק תוצאותיהם. תכונות של קומפילציה של פונקציית העברה עבור מערכת סגורה.

עבודת מעבדה, נוספה 15/12/2010


בניית מעגל אלמנטרי ולימוד עקרון הפעולה של מערכת הבקרה האוטומטית, משמעותה ביישום שיטת התאמת מערכת האיידס. המרכיבים העיקריים של המערכת והקשר ביניהם. ניתוח יציבות המעגל והתדרים האופטימליים שלו.

מבחן, נוסף 09/12/2009


קביעת פונקציית ההעברה של מערכת לולאה פתוחה, הצורה הסטנדרטית של הקלטתה ומידת האסטטיזם. חקר מאפייני תדר ממשי ודמיוני משרעת-פאזה. בניית הודוגרף AFFC. קריטריונים אלגבריים של רות והורביץ.

עבודה בקורס, נוסף 05/09/2011


הכנסת פונקציות חדשות המשפיעות על פעולת תחנת זרימת משאבות במפעל לייצור פלדה. התקנת ציוד בקרה ומדידה. קריטריוני יציבות מיכאילוב וקריטריונים של ניקוויסט שלב משרעת. מודרניזציה של המערכת.

עבודת גמר, נוספה 19/01/2017


תרשים פונקציונלי של מערכת לבקרה אוטומטית של טמפרטורת אוויר אספקה ​​במתקן אחסון תפוחי אדמה. הגדרת חוק הסדרת המערכת. ניתוח יציבות תוך שימוש בקריטריונים של הורביץ וניקוויסט. איכות ניהול לתפקידי מעבר.

מבוא 4

ניתוח אפריורי של מערכות דינמיות 5

העברת אות אקראי דרך מערכת לינארית 5

אבולוציה של וקטור הפאזה של מערכת 7

אבולוציה של מטריצת השונות של וקטור הפאזה של מערכת 8

ליניאריזציה סטטיסטית 8

שיטה ראשונה 9

שיטה שנייה 10

חישוב מקדמי לינאריזציה 10

עמימות בקישורים לא ליניאריים 14

קישור לא ליניארי מכוסה במשוב 15

מודלים של תהליכים אקראיים 16

מסנן יצירת 16

סימולציית רעש לבן 17

אומדן מאפיינים סטטיסטיים של מערכות דינמיות בשיטת מונטה קרלו 18

דיוק אומדן 18

מערכות דינמיות לא יציבות 20

מערכות דינמיות נייחות 21

ניתוח אחורי של מערכות דינמיות 22

פילטר קלמן 22

דפוס תנועה 22

מודל מדידה 23

תיקון 23

תחזית 23

הערכה 23

שימוש בסינון קלמן בבעיות לא ליניאריות 25

שיטת הריבועים הקטנים 27

בניית הערכות 27

תחזית 29

שימוש בשיטת הריבועים הקטנים בבעיות לא ליניאריות 29

בניית מטריצת Cauchy 30

סימולציית מימד 30

שיטות מספריות 31

פונקציות מיוחדות 31

מודלים של משתנים אקראיים 31

משתנים אקראיים בחלוקה אחידה 31

משתנים אקראיים גאוסים 32

וקטורים אקראיים 33

אינטגרל הסתברות 34

צ'בישב פולינומים 36

אינטגרציה של משוואות דיפרנציאליות רגילות 36

שיטות Runge-Kutta 36

דיוק של תוצאות אינטגרציה מספרית 37

Nested Dorman-Prince method 5(4) order 37

שיטות מרובות שלבים 39

שיטות אדמס 39

אינטגרציה של משוואות עם ארגומנט מפגר 40

השוואה בין איכויות חישוביות של שיטות 40

Arenstorff בעיה 40

פונקציות יעקבי אליפטיות 41

שתי בעיות גוף 41

ואן דר פול משוואה 42

Brusselator 42

משוואת לגראנז' עבור מיתר תלוי 42

"פליאדות" 42

עריכת הערת הסבר 43

עמוד השער 43

סעיף "מבוא" 44

סעיף "תיאוריה" 44

סעיף "אלגוריתם" 44

סעיף "תוכנית" 45

סעיף "תוצאות" 45

סעיף "מסקנות" 45

סעיף "רשימת מקורות בשימוש" 45

יישומים 45

ספרות 47

מבוא

ספר לימוד זה מכיל הנחיות מתודולוגיות להשלמת מטלות פרויקטים בקורס ולביצוע שיעורים מעשיים בקורס "יסודות הדינמיקה הסטטיסטית".

מטרת עיצוב הקורס והשיעורים המעשיים היא שהסטודנטים ישלטו בטכנולוגיה של ניתוח אפריורי ואחורי של מערכות דינמיות לא ליניאריות בהשפעת הפרעות אקראיות.

ניתוח אפריורי של מערכות דינמיות

לינאריזציה סטטיסטית

ליניאריזציה סטטיסטית מאפשרת לך להפוך את המערכת הדינמית הלא ליניארית המקורית כך שלניתוח שלה תוכל להשתמש בשיטות, אלגוריתמים ויחסים שתקפים עבור מערכות ליניאריות.

חלק זה מוקדש להצגת שיטת הליניאריזציה הסטטיסטית, המבוססת על הגישה המשוערת הפשוטה ביותר שהוצעה על ידי פרופ'. כְּלוֹמַר. קזקוב, אשר בכל זאת מאפשר לבנות הערכות לדיוק של מערכת המכילה אפילו אי-לינאריות משמעותיות עם מאפיינים לא רציפים.

ליניאריזציה סטטיסטית מורכבת מהחלפת התלות הלא-לינארית המקורית נטולת האינרציה בין תהליכי הקלט והפלט בתלות משוערת כזו, ליניארית ביחס לתהליך האקראי של הקלט הממורכז, שהוא שווה ערך במובן סטטיסטי ביחס לזה המקורי:

קישור שיש לו קשר משוער שכזה בין אותות הקלט והמוצא נקרא שווה ערך לקישור הלא ליניארי הנדון.

הערך נבחר על סמך תנאי השוויון של ציפיות מתמטיות של אותות לא ליניאריים ולינאריים והוא נקרא המאפיין הממוצע הסטטיסטי של הקישור המקביל:

,

היכן צפיפות ההפצה של אות הקלט.

עבור קישורים לא ליניאריים עם מאפיינים מוזרים, כלומר. בְּ- , נוח להציג את המאפיין הסטטיסטי בצורה:

- ציפייה מתמטית של אות הקלט;
– רווח סטטיסטי של הקישור המקביל עבור הרכיב הממוצע.

זֶה. התלות המקבילה במקרה זה לובשת את הצורה:

המאפיין נקרא הרווח הסטטיסטי של הקישור המקביל עבור הרכיב האקראי (תנודות) והוא נקבע בשתי דרכים.

דרך ראשונה

בהתאם לשיטה הראשונה של לינאריזציה סטטיסטית, המקדם נבחר על סמך תנאי השוויון של השונות של האותות המקוריים והשווים. זֶה. לחישוב נקבל את היחס הבא:

,

היכן השונות של אפקט הקלט האקראי.

הסימן בביטוי for נקבע על פי אופי התלות בקרבת ערך הטיעון. אם זה עולה, אז, ואם זה יורד, אז.

דרך שניה

הערך בשיטה השנייה נבחר מהתנאי של מזעור השגיאה הריבועית הממוצעת של הליניאריזציה:

הקשר הסופי לחישוב המקדם בשיטה השנייה הוא:

.

לסיכום, נציין שאף אחת משתי שיטות הליניאריזציה שנדונו לעיל לא מבטיחה שוויון של פונקציות המתאם של אותות המוצא של הקישורים הלא ליניאריים והשווים. חישובים מראים כי עבור פונקציית המתאם של אות לא ליניארי, שיטת הבחירה הראשונה נותנת אומדן עליון, והשיטה השנייה נותנת אומדן נמוך יותר, כלומר. לשגיאות בקביעת פונקציית המתאם של אות פלט לא ליניארי יש סימנים שונים. פרופ. כְּלוֹמַר. קזקוב, מחבר השיטה המתוארת כאן, ממליץ לבחור מחצית מסכום המקדמים המתקבלים בשיטה הראשונה והשנייה כמקדם הליניאריזציה המתקבל.

מסנן עיצוב

בדרך כלל, הפרמטרים נקבעים על ידי השוואת המקדמים של הפולינומים המונה והמכנה במשוואה

באותן מעלות.

לאחר קביעת פונקציית ההעברה של מסנן העיצוב, סכימת הדמיית התהליך האקראי המתקבלת נראית כפי שמוצג באיור.

לדוגמה, לצפיפות הספקטרלית של התהליך שיש לדגמן יש את הצורה:

,

ציפייה מתמטית, ומידול רעש לבן עם עוצמה משמש, לכן, בעל צפיפות ספקטרלית יחידה.

ברור שלמונה והמכנה של פונקציית ההעברה הרצויה חייבים להיות סדרים 1 ו-2 (למעשה, בהיותה מודולו בריבוע, פונקציית ההעברה יוצרת את המנה של פולינומים מהמעלה השנייה והרביעית)

זֶה. פונקציית ההעברה של מסנן העיצוב בצורתו הכללית היא כדלקמן:

,

וריבוע המודולוס שלו:

הבה נשווה את היחסים המתקבלים:

הבה נוציא את השוויון מסוגריים ובצד ימין, ובכך נשווה את המקדמים באפס חזקות:

,

מכאן ברור שהשוויון הבא:

; ; ; .

זֶה. דיאגרמת הבלוק של היווצרות תהליך אקראי עם מאפיינים סטטיסטיים נתונים מרעש לבן עם צפיפות ספקטרלית יחידה נראית כפי שמוצג באיור, תוך התחשבות בערכים המחושבים של הפרמטרים של המסנן היוצר.

הדמיית רעש לבן

למודל של תהליך אקראי עם מאפיינים סטטיסטיים נתונים, רעש לבן משמש כתהליך אקראי של קלט למסנן העיצוב. עם זאת, מידול מדויק של רעש לבן אינו בר ביצוע בשל השונות האינסופית של תהליך אקראי זה.

מסיבה זו, תהליך צעד אקראי משמש כתחליף לרעש לבן המשפיע על מערכת דינמית. המרווח שבו היישום של תהליך אקראי שומר על ערכו ללא שינוי (רוחב צעד, מרווח מתאם) הוא ערך קבוע. ערכי היישום עצמם (גבהים של מדרגות) הם משתנים אקראיים המופצים לפי חוק נורמלי עם אפס תוחלת מתמטית ושונות מוגבלת. הערכים של פרמטרי התהליך - מרווח מתאם ופיזור - נקבעים על פי המאפיינים של המערכת הדינמית המושפעת מרעש לבן.

הרעיון של השיטה מבוסס על רוחב הפס המוגבל של כל מערכת דינמית אמיתית. הָהֵן. ההגבר של מערכת דינמית אמיתית יורד ככל שתדירות אות הקלט עולה, ולכן יש תדר (פחות מאינסופי) שעבורו ההגבר של המערכת כל כך קטן שניתן להגדיר אותו לאפס. וזה, בתורו, אומר שאות כניסה עם צפיפות ספקטרלית קבועה, אך מוגבלת על ידי תדר זה, עבור מערכת כזו יהיה שווה ערך לרעש לבן (עם צפיפות ספקטרלית קבועה ואינסופית).

הפרמטרים של התהליך האקראי המקביל - מרווח מתאם ושונות - מחושבים באופן הבא:

היכן הגבול שנקבע אמפירית של רוחב הפס של המערכת הדינמית.

דיוק ההערכות

הערכות ציפיות

ושונות

של משתנה אקראי, שנבנה על בסיס עיבוד מדגם מוגבל של יישומיו, הם בעצמם משתנים אקראיים.

ברור שככל שגודל המדגם של ההטמעות גדול יותר, ככל שההערכה הבלתי מוטה מדויקת יותר, כך היא קרובה יותר לערך האמיתי של הפרמטר המשוער. להלן נוסחאות משוערות המבוססות על ההנחה של ההתפלגות הנורמלית שלהן. רווח סמך סימטרי יחסית לאומדן התואם להסתברות הביטחון נקבע לפי הערך שעבורו היחס תקף:

,

איפה
- הערך האמיתי של התוחלת המתמטית של משתנה מקרי,
- סטיית תקן של המשתנה האקראי,
– אינטגרל הסתברות.

בהתבסס על הקשר לעיל, ניתן לקבוע את הערך באופן הבא:

,

איפה הפונקציה הפוכה לאינטגרל ההסתברות.

מכיוון שאיננו יודעים בדיוק את מאפיין הפיזור של האומדן, נשתמש בערך המשוער שלו המחושב באמצעות האומדן:

זֶה. הקשר הסופי בין הדיוק של אומדן הציפיות המתמטי לבין גודל המדגם המשמש לאומדן הוא כדלקמן:

.

המשמעות היא שהערך של רווח הסמך (עם ערך קבוע של הסתברות הסמך) הממוקם באופן סימטרי ביחס ל, מבוטא כשבר של אומדן סטיית התקן, עומד ביחס הפוך לשורש הריבועי של גודל המדגם.

רווח הסמך להערכת השונות נקבע באופן דומה:

עם דיוק של , שבהיעדר מידע מדויק יותר, ניתן לקבוע בערך מהקשר:

זֶה. הערך של רווח הסמך (בערך קבוע של הסתברות הסמך), הממוקם באופן סימטרי ביחס ל, מבוטא במניותיו, עומד ביחס הפוך לשורש הריבועי של הערך, שם הוא גודל המדגם.

ניתן לקבל נוסחאות מדויקות יותר לבניית רווחי סמך לאומדנים באמצעות מידע מדויק על חוק ההתפלגות של משתנה אקראי.

לדוגמה, עבור חוק התפלגות גאוס, המשתנה האקראי

מציית לחוק חלוקת הסטודנטים במידה של חופש, ולמשתנה האקראי

מופץ על פי חוק גם במידת חופש.

פילטר קלמן

מודל תנועה

כידוע, מסנן קלמן נועד להעריך את וקטור המצב של מערכת דינמית ליניארית, שניתן לכתוב את מודל האבולוציה שלה כך:

איפה
– מטריצת Cauchy, הקובעת את השינוי בווקטור המצב של המערכת בעצמה (ללא שליטה והשפעות רעש) מעת לעת;
- וקטור של כפיית השפעות לא אקראיות על המערכת (לדוגמה, פעולות בקרה) ברגע בזמן;
- מטריצה ​​של השפעת כפיית השפעות ברגע בזמן על וקטור המצב של המערכת ברגע בזמן;
- וקטור של השפעות ממוקדות אקראיות עצמאיות על המערכת ברגע בזמן;
– מטריצת ההשפעה של השפעות אקראיות ברגע הזמן על וקטור המצב של המערכת ברגע הזמן.

מודל מדידה

האומדן מבוצע על בסיס עיבוד סטטיסטי של תוצאות המדידה הקשורות באופן ליניארי לווקטור המצב ומעוותת על ידי שגיאה לא מוטה מתווספת:

היכן היא מטריצה ​​המחברת את הווקטורים של מצב ומדידות באותה נקודת זמן.

תיקון

מסנן קלמן מבוסס על יחסי תיקון שהם תוצאה של מזעור העקבות של מטריצת הקווריאנטיות של צפיפות ההתפלגות האחורית של אומדן ליניארי (לאורך וקטור המדידה) של וקטור מצב המערכת:

תַחֲזִית

השלמת יחסי התיקון עם יחסי תחזית המבוססים על המאפיינים הליניאריים של מודל אבולוציה המערכת:

היכן היא מטריצת השונות של הווקטור, נקבל את הנוסחאות עבור האלגוריתם הבייסיאני החוזר להערכת וקטור מצב המערכת ומטריצת השונות שלו בהתבסס על עיבוד סטטיסטי של תוצאות המדידה.

הערכה

ברור, כדי ליישם את הקשרים הנ"ל, יש צורך להיות מסוגל לבנות מטריצות, ממודל האבולוציה, מטריצה ​​ממודל המדידה, כמו גם מטריצות שיתוף פעולה עבור כל רגע בזמן.

בנוסף, כדי לאתחל את התהליך החישובי, יש צורך לקבוע איכשהו אומדנים אחוריים, או אפריוריים, של וקטור המצב ומטריצת השונות שלו. המונח "אפריורי" או "אחורי" במקרה זה פירושו רק האיכות שבה וקטור המצב ומטריצת השונות שלו ישמשו באלגוריתם החישובי, ואינו אומר דבר על האופן שבו הם הושגו.

לפיכך, בחירת היחס שממנו מתחילים חישובים נקבעת על פי נקודות הזמן שבהן מוקצים תנאי הסינון הראשוניים וקטור המדידה הגולמי הראשון. אם נקודות הזמן חופפות, אזי יש ליישם תחילה את יחסי התיקון, ולאפשר להבהיר את התנאים ההתחלתיים; אם לא, יש לחזות תחילה את התנאים ההתחלתיים בזמן קשירת וקטור המדידה הגולמי הראשון.

הבה נסביר את אלגוריתם הסינון של קלמן באמצעות דמות.

האיור מציג מספר מסלולים אפשריים של וקטור הפאזה בצירי הקואורדינטות (בערוץ התנועה):

- מסלול התפתחות אמיתי של וקטור הפאזה;
– האבולוציה של וקטור הפאזה, חזויה על סמך שימוש במודל תנועה ואומדן אפריורי של וקטור הפאזה הקשור לרגע בזמן;
- אבולוציה של וקטור הפאזה, חזויה על סמך שימוש במודל תנועה ואומדן אחורית (מדויק יותר) של וקטור הפאזה הקשור לרגע בזמן

בצירי הקואורדינטות, (בערוץ המדידה) ברגעי הזמן ותוצאות המדידות ומתוארים:

,

איפה
- הערך האמיתי של וקטור המדידה ברגע הזמן;
- וקטור של שגיאות מדידה שהתממשו בזמן.

כדי לבנות תיקון לווקטור הפאזה האפריורי של המערכת, נעשה שימוש בהפרש בין תוצאת המדידה לערך שיימדד לפי מודל המדידה של הבעיה אם וקטור הפאזה אכן לקח את הערך. כתוצאה מיישום יחסי תיקון לאומדנים אפריוריים, האומדן של וקטור הפאזה של המערכת יהיה מדויק יותר ויקבל את הערך, מה שיאפשר בצורה מדויקת יותר (לפחות בסמוך לזמן) לחזות את ההתנהגות של וקטור הפאזה של המערכת הדינמית הנחקרת באמצעות מודל התנועה הבעייתית.

ברגע הזמן, תוצאת התחזית משמשת כהערכה אפריורית במסלול העובר דרך וקטור הפאזה, נבנה שוב הפרש המדידה שממנו מחושב הערך האחורי, המדויק עוד יותר וכו'. כל עוד יש וקטורי מדידה לעיבוד או שיש צורך לחזות את ההתנהגות של וקטור הפאזה.

השיטה הכי פחות ריבועית

חלק זה מציג את שיטת הריבועים הקטנים ביותר המותאמת לניתוח אחורי של מערכות דינמיות.

בניית אומדנים

במקרה של מודל ליניארי של מדידות ברמת דיוק שווה:

יש לנו את האלגוריתם הבא להערכת וקטור הפאזה:

.

במקרה של מדידות לא שוות, מביאים בחשבון את המטריצה ​​המכילה מקדמי משקל באלכסון. בהתחשב במקדמי הניפוח, הקשר הקודם יקבל את הצורה:

.

אם אנו משתמשים כמטריצת שקלול בהיפוך של מטריצת השונות של שגיאות המדידה, אז לוקחים בחשבון את העובדה שאנו מקבלים:

.

כפועל יוצא מהקשרים הנ"ל, הבסיס של השיטה הוא מטריצה ​​המחברת את וקטור הפאזה המשוער, המתייחס לנקודת זמן מסוימת, לבין וקטור המדידה. לווקטור, ככלל, יש מבנה בלוק, שבו כל אחד מהבלוקים מוקצה לנקודת זמן מסוימת, שבאופן כללי לא עולה בקנה אחד עם .

האיור מציג כמה מיקומים יחסיים אפשריים של רגעי הזמן שאליהם מוקצות המדידות והרגע בזמן שאליו מוקצה הווקטור של הפרמטרים המשוערים.

עבור כל וקטור היחס הבא תקף:

, ב .

לפיכך, ביחס הריבועים הקטנים שהתקבל, לוקטור ולמטריקס יש את המבנה הבא:

; .

איפה
- קובע את השפעת הכפייה הלא אקראית על המערכת;
- קובע את ההשפעה האקראית על המערכת.

ניתן להשתמש ביחסי החיזוי שנתקלו לעיל בתיאור אלגוריתם הסינון של קלמן:

איפה מטריצת השונות של הווקטור.

בניית מטריצת קאוצ'י

בבעיות של בניית אומדנים בשיטות של עיבוד סטטיסטי של מדידות, נתקלים לעתים קרובות בבעיה של בניית מטריצת Cauchy. מטריצה ​​זו מחברת את וקטורי הפאזה של המערכת, המוקצים לרגעי זמן שונים, בתנועה שלה.

בחלק זה, נצמצם את עצמנו לשיקולים הקשורים לבניית מטריצת קאוצ'י עבור מודל האבולוציה, הכתובה בצורה של מערכת של משוואות דיפרנציאליות רגילות (לינארית או לא ליניארית).

כאשר הסימון הבא משמש עבור מטריצות המידתיות שנבנו בקרבת מסלול הייחוס, :

; .

סימולציית מדידה

הבעיה מתעוררת כאשר, למשל, כאשר מעריכים את הדיוק האפשרי להשגה של שיטה במשימה מסוימת, אין לך תוצאות מדידה. במקרה זה, יש לדמות את תוצאות המדידה. המוזרות של מודלים של תוצאות מדידה היא שמודלי התנועה והמדידה המשמשים למטרה זו עשויים שלא להתאים למודלים שבהם תשתמש בעת בניית אומדנים בשיטת סינון כזו או אחרת.

הערכים האמיתיים של הקואורדינטות של וקטור זה צריכים לשמש כתנאים התחלתיים למידול האבולוציה של וקטור הפאזה של מערכת דינמית. מלבד המקום הזה, אין להשתמש בקואורדינטות האמיתיות של וקטור הפאזה של המערכת בשום מקום אחר.

שיטות מספריות

מאפיינים מיוחדים

וקטורים אקראיים

הבעיה, שפתרונה מתואר בתת-סעיף זה, מורכבת ממודלים של וקטור של משתנים אקראיים גאוסיים המתואמים זה עם זה.

תנו לוקטור האקראי שייווצר להיווצר בהתבסס על טרנספורמציה של וקטור של משתנים אקראיים סטנדרטיים לא מתואמים של הממד המתאים באופן הבא: עם דיוק של 4 ספרות, בהתבסס על התרחבות לסדרות בחזקות של הארגומנט עבור שלושת המרווחים שלו.

כאשר סכום הסדרה האסימפטוטית הופך כמעט שווה ל-1.