Qualitative analysis ng mga dynamic na system. Pagsusuri ng mga dynamic na katangian ng system

Automation at telemechanics, L-1, 2007

RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 Yu.S. POPKOV, Doctor of Engineering. Mga Agham (Institute ng System Analysis RAS, Moscow)

QUALITATIVE ANALYSIS NG DYNAMIC SYSTEMS NA MAY Vd-ENTROPY OPERATOR

Ang isang paraan para sa pag-aaral ng pagkakaroon, pagiging natatangi at lokalisasyon ng mga isahan na punto ng itinuturing na klase ng DSEO ay iminungkahi. Ang mga kondisyon para sa katatagan "sa maliit" at "sa malaki" ay nakuha. Ang mga halimbawa ng aplikasyon ng mga nakuhang kondisyon ay ibinigay.

1. Panimula

Maraming mga problema ng matematikal na pagmomodelo ng mga dinamikong proseso ang maaaring malutas batay sa konsepto ng mga dynamic na sistema na may entropy operator (DSEO). Ang DSEO ay isang dynamic na sistema kung saan ang nonlinearity ay inilalarawan ng parametric na problema ng entropy maximization. Feio-myologically, ang DSEO ay isang modelo ng isang macrosystem na may "mabagal" na pagpaparami ng sarili at "mabilis" na pamamahagi ng mga mapagkukunan. Ang ilang mga katangian ng DSEO ay pinag-aralan sa. Ipinagpapatuloy ng gawaing ito ang cycle ng pananaliksik sa mga katangian ng husay ng DSEO.

Isinasaalang-alang namin ang isang dinamikong sistema na may operator ng Vd-entropy:

^ = £(x,y(x)), x e En:

y(x) = a^shax(Hb(y) | Ty = q(x), y e E^) > 0.

Sa mga ekspresyong ito:

Ang C(x,y), c(x) ay patuloy na naiba-iba ang mga function ng vector;

Entropy

(1.2) Нв (у) = з 1п az > 0, з = Т~т;

T - (r x w)-matrix na may mga elemento ^ 0 ay may buong ranggo na katumbas ng r;

Ang vector function na q(x) ay ipinapalagay na patuloy na naiba-iba, ang set ^ ^^ ^tached q ay isang positibong parallelepiped

(1.3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

kung saan ang a- at a + ay mga vector mula sa E+, at ang a- ay isang vector na may maliliit na bahagi.

Gamit ang kilalang representasyon ng entropy operator sa mga tuntunin ng mga multiplier ng Lagrange. Ibahin natin ang sistema (1.1) sa sumusunod na anyo:

- = £(x,y(z)), x e Kn, y(z) e K?, g e Er+

Uz (r) = az\\ ^, 3 = 1,t-

O(x,z) = Ty(z) = d(x),

kung saan ang rk = exp(-Ak) > 0 ay mga exponential Lagrange multiplier.

Kasama ng DSEO ng pangkalahatang anyo (1.1), isasaalang-alang namin ang pagsunod sa pag-uuri na ibinigay sa.

DSEO na may separable flow:

(1-5) ^ = I(x) + Ву(r),

kung saan B(n x m)-matrix;

DSEO na may multiplicative flow:

(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xi(z)), ab

kung saan ang Ш ay isang (n x m) matrix na may di-negatibong elemento, ang a ay isang vector na may positibong bahagi, ® ay ang tanda ng coordinate multiplication.

Ang layunin ng gawaing ito ay pag-aralan ang pagkakaroon, pagiging natatangi at lokalisasyon ng mga singular na punto ng DSEO at ang kanilang katatagan.

2. Isahan na mga punto

2.1. Pag-iral

Isaalang-alang natin ang sistema (1.4). Ang mga isahan na punto ng dinamikong sistemang ito ay tinutukoy ng mga sumusunod na equation:

(2.1) C^(x,y(z))=0, z = TP;

(2.2) kz (r) = a^ r^, 3 = T^:

(2.3) vk (r) = ^ az r^ = dk (x), k = 1, r.

Isaalang-alang muna natin ang auxiliary system ng mga equation:

(2.4) C(d,r) = g, d e R,

kung saan ang set R ay tinukoy ng pagkakapantay-pantay (1.3) at ang C(d,r) ay isang vector function na may mga bahagi

(2.5) Sk(d,g) = - Ok(g), a-< дк < а+, к =1,г.

Ang equation (2.4) ay may natatanging solusyon r* para sa bawat fixed vector d, na sumusunod mula sa mga katangian ng Vd-entropy operator (tingnan).

Mula sa kahulugan ng mga bahagi ng vector function na C(d,r) mayroong isang malinaw na pagtatantya:

(2.6) C(a+,r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Tukuyin natin ang solusyon ng unang equation sa pamamagitan ng r+ at ang pangalawa sa pamamagitan ng r-. Tukuyin natin

(2.7) C (a+,z) = z, C(a

(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk

at r-dimensional na mga vector

(2.9) z (zmax, zmax), z (zmin , zmin).

Lemma 2.1. Para sa lahat ng q G Q (1 . 3) na mga solusyon z*(q) ng equation (2.4) ay nabibilang, vector 1 sa segment

zmin< z*(q) < zmax,

kung saan ang mga vector na zmin at zmax ay tinutukoy ng mga expression (2.7)-(2.9).

Ang patunay ng theorem ay ibinigay sa Appendix. Qq

qk(x) (1.3) para sa x G Rn, pagkatapos

Corollary 2.1. Hayaang matugunan ang mga kondisyon ng Lemma 2.1 at ang mga function na qk(x) ay tumugon sa mga kondisyon (1.3) para sa lahat ng ex x G Rn. Pagkatapos para sa lahat ng x G Rm ang mga solusyon z* ng equation (2.3) ay nabibilang sa vector segment

zmin< z* < zmax

Bumalik tayo sa mga equation (2.2). na tumutukoy sa mga bahagi ng vector function na y(z). Ang mga elemento ng Jacobian nito ay may anyo

(2.10) jb aj zk JJ & > 0

para sa lahat ng z G R+ maliban sa 0 at f. Dahil dito, ang vector function na y(z) ay mahigpit na tumataas. Ayon sa Lemma 2.1, ito ay may hangganan sa ibaba at sa itaas, i.e. para sa lahat ng z G Rr (kaya, para sa lahat ng x G Rn) ang mga halaga nito ay kabilang sa set

(2.11) Y = (y: y-< y < y+},

kung saan ang mga bahagi ng mga vectors yk, y+ ay tinutukoy ng mga expression:

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.

(2.13) bj = Y, tsj, 3 =1,

Isaalang-alang natin ang unang equation sa (2.1) at muling isulat ito sa anyo:

(2.14) L(x,y) = 0 para sa lahat y e Y C E^.

Tinutukoy ng equation na ito ang dependence ng variable x sa variable na y, na kabilang sa Y

tayo (1.4) ay bumababa sa pagkakaroon ng isang implicit function na x(y) na tinukoy ng equation (2.14).

Lemma 2.2. Hayaang matugunan ang mga sumusunod na kondisyon:

a) ang vector function na L(x,y) ay tuloy-tuloy sa hanay ng mga variable;

b) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

c) det J (x, y) = 0 para sa lahat ng ex x e Ep para sa anumang fixed y e Y.

Pagkatapos ay mayroong isang natatanging implicit function na x*(y) na tinukoy sa Y. Sa lemma na ito, ang J(x, y) ay isang Jacobian na may mga elemento

(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.

Ang patunay ay ibinigay sa Appendix. Mula sa mga lemma sa itaas ay sumusunod ito

Teorama 2.1. Hayaang matugunan ang mga kondisyon ng Lemmas 2.1 at 2.2. Pagkatapos ay mayroong isang natatanging punto ng DSEO (1.4) at, nang naaayon, (1.1).

2.2. Lokalisasyon

Sa pamamagitan ng pag-aaral ng lokalisasyon ng isang isahan na punto, ibig sabihin namin ang posibilidad ng pagtatatag ng agwat kung saan ito matatagpuan. Ang gawaing ito ay hindi masyadong simple, ngunit para sa isang tiyak na klase ng DSEO ay maaaring magtakda ng ganitong agwat.

Bumaling tayo sa unang pangkat ng mga equation sa (2.1) at katawanin ang mga ito sa anyo

(2.16) L(x,y)=0, y- y y y+,

kung saan ang y- at y+ ay tinukoy ng mga pagkakapantay-pantay (2.12), (2.13).

Teorama 2.2. Hayaang ang vector function na L(x,y) ay patuloy na naiba-iba at monotonikong tumataas sa parehong mga variable, i.e.

-- > 0, -- > 0; i,l = 1, n; j = 1,m. dxi dyj

Pagkatapos ang solusyon ng system (2.16) na may paggalang sa variable x ay kabilang sa pagitan (2.17) xmin х x х xmax,

a) mga vectors xmin, ang xmax ay may anyo

Min = i x 1 xmax = r x t;

\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax):

xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;

6) x- at x+ - mga bahagi ng solusyon ng mga sumusunod na equation

(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0

with oo m talaga.

Ang patunay ng theorem ay ibinigay sa Appendix.

3. Katatagan ng DSEO "sa maliit"

3.1. DSEO na may separable flow Let us turn to the equation of DSEO with separable flow, presenting them in the form:

- = /(x) + Bu(r(x)), x e Kn ab

U- (g(X)) = azP (X)U33, 3 = 1,"~ 8 = 1

0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = d(x), g e Hg,.

Narito ang mga halaga ng mga bahagi ng vector function na d(x) ay nabibilang sa set Q (1.3), ang (n x w)-matrix B ay may buong ranggo na katumbas ng n (n).< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Hayaan ang sistemang isinasaalang-alang na magkaroon ng isang isahan na punto x. Upang pag-aralan ang katatagan ng singular na puntong ito "sa maliit" ay bumuo kami ng isang linearized na sistema

kung saan ang A ay isang (n x n) matrix, ang mga elemento nito ay kinakalkula sa puntong x, at ang vector £ = x - x. Ayon sa unang equation sa (3.1), ang matrix ng linearized system ay may

A = 7 (x) + BUg (g)Ikh (x), x = g (x),

| 3 = 1,w,k = 1,

I k = 1,g, I = 1,p

Mula sa (3.1) ang mga elemento ng matrix Vr: DN ay tinutukoy.

"bkz P" 8=1

3, g8 x8, 5 1, g.

Upang matukoy ang mga elemento ng matrix Zx, bumaling tayo sa huling pangkat ng mga equation sa (3.1). Ipinapakita na ang mga equation na ito ay tumutukoy sa isang implicit vector function r(x), na patuloy na naiba kung ang vector function na d(x) ay patuloy na naiba. Ang Jacobian Zx ng vector function r(x) ay tinutukoy ng equation

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vg (X) = T Ug (X),

ddk, -t- , -" -- k = 1,g, I = 1,p dx\

Mula sa equation na ito mayroon tayong (3.9) Zx(x) = в-1(z)Qx(x).

Ang pagpapalit ng resultang ito sa pagkakapantay-pantay (3.3). makuha namin:

A = 1 (x) + P (x), P (x) = ВУг (г)[ТУг (г)]-1 Qx(x).

Kaya, ang equation ng linearized system ay tumatagal ng anyo

(z.i) | = (j+p)e

Dito kinakalkula ang mga elemento ng matrice J, P sa singular point. Ang sapat na mga kondisyon para sa katatagan "sa maliit" DSEO (3.1) ay tinutukoy ng mga sumusunod

Teorama 3.1. Ang DSEO (3.1) ay may stable na "sa maliit" na singular point x kung ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

a) ang mga matrice J, P (3.10) ng linearized system (3.11) ay may tunay at natatanging mga eigenvalue, at ang matrix J ay may pinakamataas na eigenvalue

Ptah = max Pg > 0,

Wmax = max Ui< 0;

Umax + Ptah<

Mula sa teorama na ito at pagkakapantay-pantay (3.10) sumusunod na para sa mga singular na puntos kung saan ang Qx(x) = 0 at (o) para sa X, = 0 at tkj ^ 1 para sa lahat ng k,j ang mga sapat na kondisyon ng theorem ay hindi natutugunan.

3.2. DSEO na may multiplicative flow Isaalang-alang ang equation (1.6). pagpapakita ng mga ito sa anyo:

X ® (a - x ® Wy(z(x))), x e Rn;

yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;

(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++.

mga sistema. Magkakaroon:

(3.13) A = ^ [cm] - 2ХШУх (r^x(x).

Sa expression na ito, ang diag C] ay isang diagonal na matrix na may positibong elemento a1,..., an, Vr, Zx - mga matrice na tinukoy ng equalities (3.4)-(3.7).

Katawanin natin ang matrix A sa anyo

(3.14) A = diag+P (x),

(3.15) P (x) = -2xWYz (z)Zx(x).

Tinutukoy namin: maxi ai = nmax at wmax ay ang pinakamataas na eigenvalue ng matrix P(x) (3.15). Pagkatapos ang Theorem 3.1 ay may bisa din para sa DSEO (1.6). (3.12).

4. Stability ng DSEO "in large"

Bumaling tayo sa mga equation ng DESO (1.4), kung saan ang mga halaga ng mga bahagi ng vector function q(x) ay nabibilang sa set Q (1.3). Sa sistemang isinasaalang-alang mayroong isang isahan na puntong Z, na tumutugma sa mga vectors z(x) = z ^ z- > 0 at

y(x) = y(z) = y > y- > 0.

Ipakilala natin ang mga vectors ng deviations £, C, П mula sa singular point: (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.

ZHEZHERUN A.A., POKROVSKY A.V. - 2009

KINETICS NG BIOLOGICAL PROCESSES

Paano natin mailalarawan ang dinamika ng mga biological system? Sa bawat sandali ng panahon, ang isang biological system ay may isang hanay ng ilang mga katangian. Halimbawa, sa pamamagitan ng pagmamasid sa isang populasyon ng isang species, maaari mong itala ang laki nito, ang lugar na inookupahan ng teritoryo, ang dami ng magagamit na pagkain, ang temperatura sa paligid, atbp. Ang kurso ng isang kemikal na reaksyon ay maaaring mailalarawan sa pamamagitan ng mga konsentrasyon ng mga sangkap na kasangkot, presyon, temperatura, at ang antas ng kaasiman ng kapaligiran. Ang hanay ng mga halaga ng lahat ng mga katangian na pinili ng mananaliksik upang ilarawan ang sistema ay ang estado ng system sa bawat sandali sa oras. Kapag lumilikha ng isang modelo, ang mga variable at parameter ay pinili mula sa tinukoy na populasyon. Ang mga variable ay ang mga dami na ang mga pagbabago ay pangunahing interesado sa mananaliksik, ang mga parameter ay ang mga kondisyon ng "panlabas na kapaligiran". Ito ay para sa mga napiling variable na ang mga equation ay iginuhit na sumasalamin sa mga pattern ng pagbabago sa system sa paglipas ng panahon. Halimbawa, kapag lumilikha ng isang modelo para sa paglago ng isang microbial culture, ang numero nito ay karaniwang ginagamit bilang isang variable, at ang rate ng pagpaparami nito ay karaniwang ginagamit bilang isang parameter. Marahil ang temperatura kung saan nangyayari ang paglago ay makabuluhan, kung gayon ang tagapagpahiwatig na ito ay kasama rin sa modelo bilang isang parameter. At kung, halimbawa, ang antas ng aeration ay palaging sapat at walang epekto sa mga proseso ng paglago, kung gayon hindi ito kasama sa modelo. Bilang isang patakaran, ang mga parameter ay nananatiling hindi nagbabago sa panahon ng eksperimento, gayunpaman ito ay nagkakahalaga ng noting na ito ay hindi palaging ang kaso.

Ang dynamics ng isang biological system (iyon ay, mga pagbabago sa estado nito sa paglipas ng panahon) ay maaaring ilarawan gamit ang parehong discrete at tuloy-tuloy na mga modelo. Ipinapalagay ng mga discrete model na ang oras ay isang discrete na dami. Ito ay tumutugma sa pagtatala ng mga halaga ng mga variable sa ilang mga nakapirming agwat (halimbawa, isang beses sa isang oras o isang beses sa isang taon). Sa tuluy-tuloy na mga modelo, ang biological variable ay isang tuluy-tuloy na pag-andar ng oras, na tinutukoy hal. x(t).

Kadalasan ay may malaking kahalagahan paunang kondisyon modelo - ang estado ng katangian sa ilalim ng pag-aaral sa unang sandali ng oras, i.e. sa t = 0.

Kapag pinag-aaralan ang patuloy na pagbabago ng ilang katangian x(t) maaari naming malaman ang impormasyon tungkol sa rate ng pagbabago nito. Ang impormasyong ito ay karaniwang maaaring isulat sa anyo ng isang differential equation:

Ang pormal na notasyong ito ay nangangahulugan na ang bilis ng pagbabago ng ilang katangiang pinag-aaralan ay isang function ng oras at ang laki ng katangiang ito.

Kung ang kanang bahagi ng isang differential equation ng form ay malinaw na independiyente sa oras, i.e. patas:

pagkatapos ang equation na ito ay tinatawag nagsasarili(ang sistemang inilarawan ng naturang equation ay tinatawag na nagsasarili). Ang estado ng mga autonomous system sa bawat sandali sa oras ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang solong dami - ang halaga ng variable x sa sandaling ito sa oras t.

Tanungin natin ang ating sarili ang tanong: hayaang magbigay ng differential equation x(t), posible bang mahanap ang lahat ng mga function x(t) na nagbibigay-kasiyahan sa equation na ito? O: kung ang paunang halaga ng ilang variable ay kilala (halimbawa, ang paunang laki ng populasyon, ang konsentrasyon ng isang substance, ang electrical conductivity ng kapaligiran, atbp.) at mayroong impormasyon tungkol sa likas na katangian ng pagbabago sa variable na ito, posible bang mahulaan kung ano ang magiging halaga nito sa lahat ng mga susunod na punto sa oras? Ang sagot sa tanong na ibinibigay ay ang mga sumusunod: kung ang mga paunang kundisyon ay ibinigay at ang mga kundisyon ng Cauchy's theorem ay nasiyahan para sa equation (isang function na tinukoy sa isang tiyak na domain at ang partial derivative nito ay tuloy-tuloy sa domain na ito), kung gayon mayroong isang natatanging solusyon sa equation na nakakatugon sa ibinigay na mga paunang kondisyon. (Alalahanin na ang anumang tuluy-tuloy na function na nakakatugon sa isang differential equation ay tinatawag na solusyon sa equation na iyon.) Nangangahulugan ito na maaari nating katangi-tanging mahulaan ang pag-uugali ng isang biological system kung ang mga katangian ng paunang estado nito ay kilala at ang modelong equation ay nakakatugon sa mga kondisyon ng Ang teorama ni Cauchy.

Nakatigil na estado. Pagpapanatili

Isasaalang-alang namin ang autonomous differential equation

Sa isang nakatigil na estado, ang mga halaga ng mga variable sa system ay hindi nagbabago sa paglipas ng panahon, iyon ay, ang rate ng pagbabago sa mga halaga ng mga variable ay 0: . Kung ang kaliwang bahagi ng equation (1.2) ay katumbas ng zero, kung gayon ang kanang bahagi ay katumbas din ng zero: . Ang mga ugat ng algebraic equation na ito ay nakatigil na estado differential equation (1.2).

Halimbawa1.1: Hanapin ang mga nakatigil na estado ng equation.

Solusyon: Ilipat natin ang terminong hindi naglalaman ng derivative sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay: . Sa pamamagitan ng kahulugan, sa isang nakatigil na estado ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan: . Nangangahulugan ito na ang pagkakapantay-pantay ay dapat masiyahan . Malutas namin ang equation:

,

Kaya, ang equation ay may 3 nakatigil na estado: , .

Ang mga biological system ay patuloy na nakakaranas ng iba't ibang panlabas na impluwensya at maraming pagbabago. Bukod dito, sila (biological system) ay may homeostasis, i.e. matatag. Sa wikang matematika, nangangahulugan ito na ang mga variable ay bumalik sa kanilang mga nakatigil na halaga na may maliit na paglihis. Ang mathematical model ba nito ay sumasalamin sa pag-uugaling ito ng isang biological system? Matatag ba ang mga nakatigil na estado ng modelo?

Ang steady state ay napapanatiling, kung, na may sapat na maliit na paglihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo, ang sistema ay hindi kailanman gumagalaw nang malayo sa singular na punto. Ang isang matatag na estado ay tumutugma sa isang matatag na mode ng pagpapatakbo ng system.

Ang estado ng ekwilibriyo ng isang equation ay Lyapunov stable kung para sa anumang ito ay palaging posible na mahanap ang tulad na kung , pagkatapos ay para sa lahat .

Mayroong isang analytical na pamamaraan para sa pag-aaral ng katatagan ng isang nakatigil na estado - ang paraan ng Lyapunov. Upang bigyang-katwiran ito, alalahanin natin Ang formula ni Taylor.

Sa madaling salita, ipinapakita ng formula ni Taylor ang pag-uugali ng isang function sa kapitbahayan ng isang tiyak na punto. Hayaan ang function na magkaroon ng mga derivatives ng lahat ng mga order hanggang sa n- ika kasama. Kung gayon ang formula ng Taylor ay wasto:

Ang pagtatapon sa natitirang termino , na kumakatawan sa sarili nito bilang isang infinitesimal ng isang mas mataas na pagkakasunud-sunod kaysa sa , nakuha namin ang tinatayang formula ng Taylor:

Ang kanang bahagi ng tinatayang formula ay tinatawag Taylor polynomial function, ito ay tinutukoy bilang .

Halimbawa1.2: Palawakin ang function sa isang serye ng Taylor sa isang kapitbahayan ng isang punto hanggang sa ika-4 na order.

Solusyon: Isulat natin ang serye ng Taylor hanggang sa ika-4 na order sa pangkalahatang anyo:

Hanapin natin ang mga derivatives ng ibinigay na function sa punto:

,

Palitan natin ang mga nakuhang halaga sa orihinal na formula:

Analytical na pamamaraan para sa pag-aaral ng katatagan ng isang nakatigil na estado ( Pamamaraan ng Lyapunov) ay ang mga sumusunod. Hayaan ang nakatigil na estado ng equation. Magtakda tayo ng isang maliit na paglihis ng variable x mula sa nakatigil na halaga nito: , where . Palitan natin ang expression para sa punto x sa orihinal na equation: . Ang kaliwang bahagi ng equation ay kukuha ng anyo: , dahil sa isang nakatigil na estado ang rate ng pagbabago ng halaga ng variable ay zero: . Palawakin natin ang kanang bahagi sa isang serye ng Taylor sa paligid ng nakatigil na estado, na isinasaalang-alang na , iniiwan lamang natin ang linear na termino sa kanang bahagi ng equation:

nakuha linearized equation o unang approximation equation. Ang dami ay ilang pare-parehong halaga, sabihin natin ito a: . Ang pangkalahatang solusyon ng linearized equation ay may anyo: . Inilalarawan ng expression na ito ang batas ayon sa kung saan ang paglihis na tinukoy namin mula sa nakatigil na estado ay magbabago sa paglipas ng panahon. Ang paglihis ay maglalaho sa paglipas ng panahon, i.e. sa , kung ang exponent sa exponent ay negatibo, i.e. . Sa pamamagitan ng kahulugan, ang steady state ay magiging napapanatiling. Kung , pagkatapos ay sa pagtaas ng oras ang paglihis ay tataas lamang, ang nakatigil na estado ay hindi matatag. Sa kaso kapag ang equation ng unang approximation ay hindi makapagbigay ng sagot sa tanong tungkol sa katatagan ng nakatigil na estado. Kinakailangang isaalang-alang ang mas mataas na pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin sa pagpapalawak ng serye ng Taylor.

Bilang karagdagan sa analytical na pamamaraan para sa pag-aaral ng katatagan ng isang nakatigil na estado, mayroon ding isang graphical.

Halimbawa 1.3. Hayaan mong . Hanapin ang mga nakatigil na estado ng equation at tukuyin ang kanilang uri ng katatagan gamit ang graph ng function .

Solusyon: Maghanap tayo ng mga espesyal na punto:

,

,

Bumubuo kami ng graph ng function (Larawan 1.1).

kanin. 1.1. Graph ng isang function (halimbawa 1.3).

Alamin natin mula sa graph kung ang bawat isa sa mga natagpuang nakatigil na estado ay matatag. Magtakda tayo ng kaunting paglihis ng kumakatawang punto mula sa singular na punto sa kaliwa: . Sa puntong may coordinate, ang function ay tumatagal ng isang positibong halaga: o . Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan na sa paglipas ng panahon ang coordinate ay dapat tumaas, iyon ay, ang kumakatawan sa punto ay dapat bumalik sa punto. Ngayon, magtakda tayo ng bahagyang paglihis ng kumakatawang punto mula sa singular na punto sa kanan: . Sa rehiyong ito, ang function ay nagpapanatili ng isang positibong halaga, samakatuwid, sa paglipas ng panahon, ang coordinate x tumataas din, iyon ay, ang kumakatawan sa punto ay lalayo sa punto. Kaya, ang isang maliit na paglihis ay nag-aalis ng sistema mula sa isang nakatigil na estado, samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan, ang isang singular na punto ay hindi matatag. Ang katulad na pangangatwiran ay humahantong sa katotohanan na ang anumang paglihis mula sa singular na punto ay kumukupas sa paglipas ng panahon, at ang nakatigil na estado ay matatag. Ang paglihis ng kumakatawan sa punto sa anumang direksyon mula sa nakatigil na estado ay humahantong sa pag-alis nito mula sa punto; ito ay isang hindi matatag na nakatigil na estado.

Paglutas ng isang sistema ng mga linear differential equation

Lumipat tayo sa pag-aaral ng mga sistema ng mga equation, unang linear. Sa pangkalahatan, ang isang sistema ng mga linear differential equation ay maaaring katawanin bilang:

Ang pagsusuri ng isang sistema ng mga equation ay nagsisimula sa paghahanap ng mga nakatigil na estado. Ang mga sistema ng uri (1.3) ay may natatanging puntong isahan, ang mga coordinate nito ay (0,0). Ang exception ay ang degenerate case kapag ang mga equation ay maaaring katawanin bilang:

(1.3*)

Sa kasong ito, ang lahat ng mga pares na nagbibigay-kasiyahan sa kaugnayan ay mga nakatigil na punto ng system (1.3*). Sa partikular, ang punto (0,0) ay nakatigil din para sa system (1.3*). Sa phase plane sa kasong ito mayroon kaming isang tuwid na linya na may isang slope coefficient na dumadaan sa pinagmulan ng mga coordinate, ang bawat punto nito ay isang singular na punto ng system (1.3*) (tingnan ang talahanayan 1.1, talata 6).

Ang pangunahing tanong na dapat sagutin ng resulta ng pag-aaral ng isang sistema ng mga equation ay: ang hindi gumagalaw na estado ng sistema ay matatag, at anong katangian mayroon ang solusyon na ito (monotonic o non-monotonic).

Karaniwang desisyon Ang isang sistema ng dalawang linear na equation ay may anyo:

Mga numero ng katangian ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng mga koepisyent ng mga linear na equation tulad ng sumusunod:

Ang mga katangiang numero ay maaaring 1) real ng iba't ibang mga palatandaan, 2) real ng parehong tanda, 3) kumplikadong conjugate, at gayundin, sa mga degenerate na kaso, 4) puro haka-haka, 5) tunay na nagtutugma, 6) tunay, isa sa mga ito (o pareho) ay katumbas ng zero. Tinutukoy ng mga kasong ito ang uri ng pag-uugali ng solusyon ng isang sistema ng mga ordinaryong differential equation. Ang kaukulang mga larawan ng yugto ay ipinakita sa Talahanayan 1.1.

Talahanayan 1.1. Mga uri ng nakatigil na estado ng isang sistema ng dalawang linear differential equation at ang kaukulang mga phase portrait. Ipinapakita ng mga arrow ang direksyon ng paggalaw ng kinakatawan na punto

Pagbuo ng mga phase at kinetic portrait ng isang sistema ng dalawang linear differential equation

Phase plane tinatawag na isang eroplano na may mga coordinate axes kung saan naka-plot ang mga halaga ng mga variable x At y, ang bawat punto ng eroplano ay tumutugma sa isang tiyak na estado ng system. Ang isang hanay ng mga puntos sa phase plane, ang posisyon kung saan tumutugma sa mga estado ng system sa proseso ng pagbabago ng mga variable sa paglipas ng panahon, ayon sa ibinigay na mga equation ng system na pinag-aaralan, ay tinatawag yugto ng tilapon. Ang hanay ng mga phase trajectories para sa iba't ibang mga paunang halaga ng mga variable ay nagbibigay ng isang larawan ng system. Konstruksyon phase portrait nagbibigay-daan sa iyo na gumawa ng mga konklusyon tungkol sa likas na katangian ng mga pagbabago sa mga variable x At y nang walang kaalaman sa mga analytical na solusyon ng orihinal na sistema ng mga equation.

Isaalang-alang natin ang isang sistema ng mga linear differential equation:

Nagsisimula kaming bumuo ng isang phase portrait sa pamamagitan ng paggawa pangunahing isocline(Ang isocline ay isang linya sa buong haba kung saan ang slope ng phase curve (trajectory), na tinutukoy ng equation, ay nananatiling pare-pareho). Para sa isang sistema ng dalawang linear differential equation, ito ay palaging mga tuwid na linya na dumadaan sa pinagmulan ng mga coordinate. Ang equation isoclines ng horizontal tangents: . Equation ng isocline ng vertical tangents: . Upang higit pang bumuo ng phase portrait, ito ay kapaki-pakinabang upang bumuo ng isang isocline ng tangents na dumadaan sa isang anggulo . Upang mahanap ang katumbas na isocline equation, kinakailangan upang malutas ang equation . Maaari ka ring makahanap ng mga isocline ng tangents ng iba pang mga anggulo gamit ang tinatayang mga halaga ng tangents ng mga anggulo. Sa pagbuo ng isang phase portrait, ang sagot sa tanong sa anong anggulo dapat magsalubong ang mga phase trajectories sa mga coordinate axes ay makakatulong din. Upang gawin ito, ang isocline equation pinapalitan natin ang mga katumbas na equalities (upang matukoy ang anggulo ng intersection sa OY axis) at (upang matukoy ang angle ng intersection sa OX axis).

Halimbawa 1.4. Tukuyin ang uri ng singular na punto ng sistema ng mga linear na equation:

Bumuo ng isang phase at kinetic portrait ng system.

Solusyon: Ang mga coordinate ng singular point ay (0,0). Ang mga coefficient ng linear equation ay: , , , . Tukuyin natin ang uri ng nakatigil na estado (tingnan ang seksyon sa mga katangiang numero):

Kaya, ang mga katangiang ugat ay haka-haka: samakatuwid, ang isahan na punto ng linear system na isinasaalang-alang ay nasa uri ng sentro (Larawan 1.2a).

Equation ng isocline ng horizontal tangents: , equation ng isocline ng vertical tangents: . Sa isang anggulo ng 45°, ang mga trajectory ng system ay bumalandra sa isang tuwid na linya .

Matapos itayo ang phase portrait, kinakailangan upang matukoy ang direksyon ng paggalaw kasama ang mga nahanap na trajectory. Ito ay maaaring gawin bilang mga sumusunod. Kumuha tayo ng isang arbitrary na punto sa anumang tilapon. Halimbawa, sa isocline ng horizontal tangents (1,1). Ipalit natin ang mga coordinate ng puntong ito sa sistema ng mga equation. Kumuha tayo ng mga expression para sa mga rate ng pagbabago ng mga variable x,y Simula ngayon:

Ang nakuha na mga halaga ay nagpapakita na ang rate ng pagbabago ng variable x– negatibo, ibig sabihin, ang halaga nito ay dapat bumaba, at ang variable y hindi nagbabago. Minarkahan namin ang nagresultang direksyon gamit ang isang arrow. Kaya, sa halimbawang isinasaalang-alang, ang paggalaw sa kahabaan ng mga yugto ng yugto ay nakadirekta nang pakaliwa. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coordinate ng iba't ibang mga punto sa system, maaari kang makakuha ng isang "mapa" ng mga direksyon ng bilis, ang tinatawag na larangan ng vector.

Larawan 1.2. Phase (a) at kinetic (b) portrait ng system, halimbawa 1.4

Tandaan na sa isocline ng horizontal tangents ang variable y umabot sa maximum o minimum na halaga nito sa isang partikular na trajectory. Sa kabaligtaran, sa isocline ng vertical tangents, naabot ng variable ang pinakamataas na ganap na halaga nito para sa napiling tilapon x.

Upang makabuo ng isang kinetic portrait ng isang system ay nangangahulugan na bumuo ng mga graph ng pag-asa ng mga halaga ng mga variable x,y mula sa panahon. Gamit ang phase portrait, maaari kang bumuo ng kinetic one at vice versa. Ang isang yugto ng tilapon ay tumutugma sa isang pares ng mga kinetic curve. Pumili tayo ng arbitrary point sa isang arbitrary phase trajectory sa phase portrait. Ito ang panimulang punto na tumutugma sa sandali sa oras. Depende sa direksyon ng paggalaw sa system na isinasaalang-alang, ang mga halaga ng mga variable x,y bumaba man o tumaas. Hayaang ang mga coordinate ng panimulang punto ay (1,1). Ayon sa constructed phase portrait, simula sa puntong ito, kailangan nating ilipat ang counterclockwise, mga coordinate x At y sabay baba. Sa paglipas ng panahon, ang coordinate x pumasa sa 0, halaga y gayunpaman ito ay nananatiling positibo. Karagdagang mga coordinate x At y patuloy na bumaba, coordinate y pumasa sa 0 (value x gayunpaman negatibo). Magnitude x umabot sa isang minimum na halaga sa isocline ng vertical tangents, pagkatapos ay nagsisimulang tumaas. Magnitude y umabot sa pinakamababang halaga nito sa isocline ng horizontal tangents (value x negatibo sa oras na ito). Dagdag pa, ang laki x, at magnitude y pagtaas, bumabalik sa mga paunang halaga (Larawan 1.2b).

Pag-aaral ng katatagan ng mga nakatigil na estado ng pangalawang-order na nonlinear system

Hayaang ilarawan ang isang biological system ng isang sistema ng dalawang autonomous second-order differential equation ng pangkalahatang anyo:

Ang mga nakatigil na halaga ng mga variable ng system ay tinutukoy mula sa mga algebraic equation:

Sa kapitbahayan ng bawat nakatigil na estado ay maaari nating isaalang-alang unang approximation system(linearized system), ang pag-aaral kung saan masasagot ang tanong tungkol sa katatagan ng isang singular na punto at ang likas na katangian ng mga phase trajectories sa maliit na kapitbahayan nito.

Sa labas

Meron kami ... ang espesyal na punto ay magaspang. Ang mga katangiang ugat ng unang sistema ng pagtatantya ay katumbas ng , pareho ay totoo at negatibo, samakatuwid, sa paligid ng zero singular point, ang pag-uugali ng mga phase trajectories ng system ay tumutugma sa uri ng stable node.

Panimula

Dahil ang konsepto ng isang nonlinear dynamical system ay sapat na mayaman upang masakop ang isang napakalawak na hanay ng mga proseso kung saan ang hinaharap na gawi ng system ay tinutukoy ng nakaraan, ang mga pamamaraan ng pagsusuri na binuo sa lugar na ito ay kapaki-pakinabang sa isang malaking iba't ibang mga konteksto

Ang nonlinear dynamics ay pumapasok sa panitikan sa hindi bababa sa tatlong paraan. Una, may mga kaso kung saan ang pang-eksperimentong data tungkol sa takbo ng oras ng isa o higit pang mga dami ay kinokolekta at sinusuri gamit ang mga diskarteng batay sa nonlinear dynamic na teorya, na may kaunting mga pagpapalagay tungkol sa pinagbabatayan na mga equation na namamahala sa prosesong gumagawa ng data. Iyon ay, ito ay isang kaso kung saan ang isang tao ay naghahangad na makahanap ng mga ugnayan sa data na maaaring gabayan ang pagbuo ng isang modelo ng matematika, sa halip na hulaan muna ang modelo at pagkatapos ay ihambing ito sa data.

Pangalawa, may mga kaso kung saan ang nonlinear dynamical theory ay maaaring gamitin upang magtaltalan na ang ilang pinasimpleng modelo ay dapat magpakita ng mahahalagang katangian ng isang partikular na sistema, na nagpapahiwatig na ang isang mapaglarawang modelo ay maaaring mabuo at mapag-aralan sa isang malawak na hanay ng mga parameter. Ito ay madalas na nagreresulta sa mga modelo na kumikilos nang naiiba sa husay sa ilalim ng iba't ibang mga parameter at nagpapakita na ang isang rehiyon ay nagpapakita ng pag-uugali na medyo katulad ng naobserbahan sa tunay na sistema. Sa maraming mga kaso, ang pag-uugali ng isang modelo ay medyo sensitibo sa mga pagbabago sa mga parameter, kaya kung ang mga parameter ng modelo ay maaaring masukat sa isang tunay na sistema, ang modelo ay nagpapakita ng makatotohanang pag-uugali sa mga halagang iyon at ang isa ay maaaring magtiwala na ang modelo ay nakuha. ang mahahalagang katangian ng system.

Pangatlo, may mga kaso kung saan ang mga equation ng modelo ay itinayo batay sa mga detalyadong paglalarawan ng kilalang pisika. Ang mga numerical na eksperimento ay maaaring magbigay ng impormasyon tungkol sa mga variable na hindi available sa mga pisikal na eksperimento.

Batay sa pangalawang landas, ang gawaing ito ay isang extension ng aking nakaraang gawain na "Nonlinear dynamic na modelo ng magkakaugnay na mga industriya", pati na rin ang iba pang gawain (Dmitriev, 2015)

Ang lahat ng kinakailangang kahulugan at iba pang teoretikal na impormasyon na kinakailangan sa gawain ay lalabas sa unang kabanata, kung kinakailangan. Dito ay bibigyan ng dalawang kahulugan na kinakailangan upang maihayag ang paksa ng pananaliksik mismo.

Una, tukuyin natin ang dynamics ng system. Ayon sa isang kahulugan, ang system dynamics ay isang simulation modeling approach na, salamat sa mga pamamaraan at tool nito, ay nakakatulong upang suriin ang istraktura ng mga kumplikadong system at ang kanilang dynamics (Shterman). Ito ay nagkakahalaga ng pagdaragdag na ang system dynamics ay isa ring paraan ng pagmomodelo na ginagamit upang lumikha ng tama (sa mga tuntunin ng katumpakan) mga modelo ng computer para sa mga kumplikadong sistema para sa kanilang paggamit sa hinaharap upang lumikha ng isang mas mahusay na kumpanya/organisasyon, pati na rin ang pagpapabuti ng mga pamamaraan ng pakikipag-ugnayan sa sistemang ito. Ang pangangailangan para sa dynamics ng system ay pangunahing lumitaw kapag nahaharap sa pangmatagalan, madiskarteng mga modelo, at nararapat ding tandaan na ito ay medyo abstract.

Kapag pinag-uusapan ang nonlinear differential dynamics, isasaalang-alang natin ang isang nonlinear system, na sa pamamagitan ng kahulugan ay isang sistema kung saan ang pagbabago sa output ay hindi proporsyonal sa pagbabago sa mga parameter ng input, at kung saan inilalarawan ng function ang dependence ng pagbabago sa oras at posisyon ng isang punto sa espasyo (Boeing, 2016).

Batay sa mga kahulugan sa itaas, nagiging malinaw na ang gawaing ito ay isasaalang-alang ang iba't ibang mga nonlinear differential system na naglalarawan sa pakikipag-ugnayan ng mga kumpanya, pati na rin ang mga modelo ng simulation na binuo sa kanilang batayan. Batay dito, matutukoy ang layunin ng gawain.

Kaya, ang layunin ng gawaing ito ay magsagawa ng isang pagsusuri ng husay ng mga dinamikong sistema na naglalarawan sa pakikipag-ugnayan ng mga kumpanya, sa isang unang pagtatantya, at upang bumuo ng isang modelo ng simulation batay sa kanila.

Upang makamit ang layuning ito, natukoy ang mga sumusunod na gawain:

Pagpapasiya ng katatagan ng system.

Konstruksyon ng mga phase portrait.

Paghahanap ng integral trajectory ng mga system.

Konstruksyon ng mga modelo ng simulation.

Ang bawat isa sa mga gawaing ito ay ilalaan sa isa sa mga seksyon ng bawat kabanata ng gawain.

Batay sa pagsasanay, ang pagbuo ng mga pangunahing istrukturang matematikal na epektibong nagmomodelo ng dinamika sa iba't ibang mga pisikal na sistema at proseso ay nagpapahiwatig na ang kaukulang modelo ng matematika sa ilang lawak ay sumasalamin sa kalapitan sa orihinal na pinag-aaralan, kapag ang mga katangiang katangian nito ay maaaring makuha mula sa mga katangian at mga istruktura mula sa uri ng paggalaw na bumubuo sa dynamics ng system. Sa ngayon, ang agham pang-ekonomiya ay nasa yugto ng pag-unlad nito kung saan lalo itong epektibong gumagamit ng bago, at sa maraming kaso, mga hindi pamantayang pamamaraan at pamamaraan ng pisikal at matematikal na pagmomodelo ng mga prosesong pang-ekonomiya. Ito ay mula dito na ang konklusyon ay sumusunod tungkol sa pangangailangan na lumikha, pag-aralan at bumuo ng mga modelo na maaaring sa ilang paraan ay naglalarawan sa sitwasyong pang-ekonomiya.

Kung tungkol sa dahilan ng pagpili ng qualitative kaysa sa quantitative analysis, nararapat na tandaan na sa karamihan ng mga kaso, ang mga resulta at konklusyon mula sa qualitative analysis ng mga dinamikong sistema ay nagiging mas makabuluhan kaysa sa mga resulta ng kanilang quantitative analysis. Sa ganitong sitwasyon, nararapat na ituro ang mga pahayag ni V.P. Milovanov, kung saan pinagtatalunan niya na tradisyonal na pinaniniwalaan na ang mga resulta na inaasahan kapag nag-aaplay ng mga pamamaraan sa matematika upang pag-aralan ang mga tunay na bagay ay dapat na bawasan sa isang numerical na resulta. Sa ganitong kahulugan, ang mga pamamaraan ng husay ay may bahagyang naiibang gawain. Nakatuon ito sa pagkamit ng resulta na naglalarawan sa kalidad ng system, sa paghahanap ng mga katangiang katangian ng lahat ng phenomena sa kabuuan, at sa pagtataya. Siyempre, mahalagang maunawaan kung paano magbabago ang demand kapag nagbabago ang mga presyo para sa isang partikular na uri ng mga kalakal, ngunit hindi natin dapat kalimutan na mas mahalaga na maunawaan kung sa ganitong mga kondisyon ay magkakaroon ng kakulangan o labis ng mga kalakal na ito ( Dmitriev, 2016).

Ang object ng pag-aaral na ito ay nonlinear differential at system dynamics.

Sa kasong ito, ang paksa ng pag-aaral ay isang paglalarawan ng proseso ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga kumpanya sa pamamagitan ng nonlinear differential at system dynamics.

Sa pagsasalita tungkol sa praktikal na aplikasyon ng pananaliksik, ito ay nagkakahalaga kaagad na hatiin ito sa dalawang bahagi. Lalo na, ang teoretikal, iyon ay, pagsusuri ng husay ng mga sistema, at ang praktikal, na isasaalang-alang ang pagtatayo ng mga modelo ng simulation.

Ang teoretikal na bahagi ng pag-aaral na ito ay nagbibigay ng mga pangunahing konsepto at phenomena. Isinasaalang-alang nito ang mga simpleng sistema ng kaugalian, tulad ng sa mga gawa ng maraming iba pang mga may-akda (Teschl, 2012; Nolte, 2015), ngunit sa parehong oras ay nagpapahintulot sa amin na ilarawan ang pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga kumpanya. Batay dito, sa hinaharap posible na magsagawa ng mas malalim na pananaliksik, o simulan ang iyong kakilala sa kung ano ang pagsusuri ng husay ng mga system.

Ang praktikal na bahagi ng trabaho ay maaaring gamitin upang lumikha ng isang sistema ng suporta sa desisyon. Ang isang sistema ng suporta sa desisyon ay isang awtomatikong sistema ng impormasyon na naglalayong suportahan ang paggawa ng desisyon sa negosyo o organisasyon sa pamamagitan ng pagpapahintulot sa mga pagpipilian sa pagitan ng maraming iba't ibang mga alternatibo (Keen, 1980). Maaaring hindi masyadong tumpak ang mga modelo sa ngayon, ngunit sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga ito para sa isang partikular na kumpanya, makakamit mo ang mas tumpak na mga resulta. Kaya, kapag binabago ang iba't ibang mga parameter at kundisyon na maaaring lumitaw sa merkado, maaari kang makakuha ng isang tiyak na pagtataya para sa hinaharap at gumawa ng isang mas kumikitang desisyon nang maaga.

1. Pakikipag-ugnayan ng mga kumpanya sa mga kondisyon ng mutualism

Ang gawain ay magpapakita ng dalawang-dimensional na mga sistema na medyo simple kung ihahambing sa mga sistemang mas mataas ang pagkakasunud-sunod, ngunit sa parehong oras ay nagbibigay-daan sa amin upang ipakita ang mga ugnayan sa pagitan ng mga organisasyon na kailangan namin.

Ito ay nagkakahalaga ng pagsisimula ng trabaho sa pamamagitan ng pagpili ng uri ng pakikipag-ugnayan, na ilalarawan sa hinaharap, dahil para sa bawat isa sa mga uri ang mga system na naglalarawan sa kanila ay, kahit na bahagyang, naiiba. Ipinapakita ng Figure 1.1 ang klasipikasyon ni Yujima Odum para sa interaksyon ng mga populasyon na binago para sa pang-ekonomiyang interaksyon (Odum, 1968), batay sa kung saan higit nating isasaalang-alang ang pakikipag-ugnayan ng mga kumpanya.

Larawan 1.1. Mga uri ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga negosyo

Batay sa Figure 1.1, iha-highlight natin ang 4 na uri ng interaksyon at ipapakita para sa bawat isa sa kanila ang isang sistema ng mga equation na naglalarawan sa kanila, batay sa modelong Malthus (Malthus, 1798). Ayon dito, ang rate ng paglago ay proporsyonal sa kasalukuyang kasaganaan ng mga species, sa madaling salita, maaari itong ilarawan ng sumusunod na equation ng kaugalian:

kung saan ang a ay isang tiyak na parameter depende sa natural na paglaki ng populasyon. Ito rin ay nagkakahalaga ng pagdaragdag na sa mga system na isinasaalang-alang sa ibaba, ang lahat ng mga parameter, pati na rin ang mga variable, ay kumukuha ng mga hindi negatibong halaga.

Produksyon ng mga hilaw na materyales - paggawa ng mga produkto, na katulad ng modelo ng predator-prey. Ang modelo ng predator-prey, na kilala rin bilang modelo ng Lotka-Volterra, ay isang pares ng mga first-order nonlinear differential equation na naglalarawan sa dynamics ng isang biological system na may dalawang species, ang isa ay mga predator at ang isa pang biktima (Llibre, 2007). ). Ang pagbabago sa kasaganaan ng mga species na ito ay inilalarawan ng sumusunod na sistema ng mga equation:

(1.2)

kung saan - nailalarawan ang paglago ng produksyon ng unang negosyo nang walang impluwensya ng pangalawa (sa kaso ng modelo ng predator-prey, ang paglaki ng populasyon ng biktima nang walang mga mandaragit),

Nailalarawan ang paglago ng produksyon ng pangalawang negosyo nang walang impluwensya ng una (paglago ng populasyon ng mga mandaragit na walang biktima),

Nailalarawan ang paglago ng produksyon ng unang negosyo, na isinasaalang-alang ang impluwensya ng pangalawa dito (pagtaas sa bilang ng mga biktima kapag nakikipag-ugnayan sa mga mandaragit),

Nailalarawan ang paglago ng produksyon ng pangalawang negosyo, na isinasaalang-alang ang impluwensya ng una dito (isang pagtaas sa bilang ng mga mandaragit sa panahon ng kanilang pakikipag-ugnayan sa biktima).

Para sa isa, ang mandaragit, tulad ng makikita mula sa sistema, pati na rin ang pag-uuri ni Odum, ang kanilang pakikipag-ugnayan ay may kapaki-pakinabang na epekto. Hindi kanais-nais para sa iba. Kung isasaalang-alang natin ito sa mga pang-ekonomiyang katotohanan, kung gayon, tulad ng makikita sa figure, ang pinakasimpleng analogue ay ang tagagawa at ang tagapagtustos nito ng mga mapagkukunan, na tumutugma sa mandaragit at biktima, ayon sa pagkakabanggit. Kaya, sa kawalan ng mga hilaw na materyales, ang output ay bumababa nang malaki.

Ang kumpetisyon ay tunggalian sa pagitan ng dalawa o higit pa (sa aming kaso ay isinasaalang-alang namin ang dalawang-dimensional na sistema, kaya kumukuha kami ng dalawang-species na kumpetisyon) mga species, mga pangkat ng ekonomiya para sa mga teritoryo, limitadong mapagkukunan o iba pang mga halaga (Elton, 1968). Ang mga pagbabago sa bilang ng mga species, o ang dami ng produksyon sa aming kaso, ay inilalarawan ng system sa ibaba:

(1.3)

Sa kasong ito, ang mga species o kumpanya na gumagawa ng isang produkto ay negatibong nakakaapekto sa isa't isa. Iyon ay, sa kawalan ng isang katunggali, ang paglago ng produkto ay tataas nang husto.

Ngayon ay lumipat tayo sa isang symbiotic na relasyon kung saan ang parehong mga negosyo ay may positibong impluwensya sa isa't isa. Una, tingnan natin ang mutualism. Ang mutualism ay isang uri ng ugnayan sa pagitan ng iba't ibang uri ng hayop kung saan ang bawat isa sa kanila ay nakikinabang sa mga aksyon ng isa, at nararapat na tandaan na ang pagkakaroon ng isang kapareha ay isang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon (Thompson, 2005). Ang ganitong uri ng relasyon ay inilalarawan ng system:

(1.4)

Dahil ang pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga kumpanya ay kinakailangan para sa kanilang pag-iral, sa kawalan ng isang produkto mula sa isang kumpanya, ang output ng mga kalakal mula sa isa pa ay bumababa nang malaki. Posible ito kapag ang mga kumpanya ay walang ibang mga alternatibo sa pagkuha.

Isaalang-alang natin ang isa pang uri ng symbiotic interaction, protocooperation. Ang proto-cooperation ay katulad ng mutualism na may tanging pagbubukod na hindi na kailangan para sa isang kasosyo na umiral, dahil, halimbawa, may iba pang mga alternatibo. Dahil magkapareho sila, halos magkapareho ang kanilang mga sistema sa isa't isa:

(1.5)

Sa ganitong paraan, ang kakulangan ng produkto ng isang kumpanya ay hindi hadlang sa paglago ng produkto ng iba.

Siyempre, bilang karagdagan sa mga nakalista sa mga puntos 3 at 4, ang iba pang mga uri ng symbiotic na relasyon ay maaaring mapansin: commensalism at amensalism (Hanski, 1999). Ngunit hindi na sila babanggitin pa, dahil sa komensalismo ang isa sa mga kasosyo ay walang malasakit sa pakikipag-ugnayan nito sa isa pa, at isinasaalang-alang pa rin namin ang mga kaso kung saan may impluwensya. Ngunit ang amensalism ay hindi isinasaalang-alang, dahil mula sa isang pang-ekonomiyang punto ng view, ang gayong mga relasyon, kapag ang kanilang pakikipag-ugnayan ay nakakapinsala sa isa at walang malasakit sa isa pa, ay hindi maaaring umiral.

Batay sa impluwensya ng mga kumpanya sa isa't isa, lalo na ang mga symbiotic na relasyon ay humahantong sa napapanatiling magkakasamang buhay ng mga kumpanya, ang gawaing ito ay isasaalang-alang lamang ang mga kaso ng mutualism at proto-kooperasyon, dahil sa parehong mga kaso ang pakikipag-ugnayan ay kapaki-pakinabang sa lahat.

Ang kabanatang ito ay nakatuon sa pakikipag-ugnayan ng mga kumpanya sa mga kondisyon ng mutualism. Isasaalang-alang nito ang dalawang sistema na karagdagang pagpapaunlad ng mga sistema batay sa modelong Malthus, katulad ng mga sistemang may ipinataw na mga paghihigpit sa pagtaas ng produksyon.

Ang dynamics ng isang mag-asawa na konektado ng isang mutualistic na relasyon, tulad ng nabanggit sa itaas, ay maaaring ilarawan sa isang unang pagtatantya ng system:

(1.6)

Mapapansin na sa isang malaking paunang dami ng produksyon, ang sistema ay lumalaki nang walang limitasyon, at sa isang maliit na dami, ang produksyon ay bumababa. Ito ang hindi tama ng bilinear na paglalarawan ng epekto na nangyayari sa panahon ng mutualism. Upang subukang iwasto ang larawan, ipinakilala namin ang isang kadahilanan na nakapagpapaalaala sa saturation ng isang mandaragit, iyon ay, isang kadahilanan na magbabawas sa rate ng paglago ng produksyon kung mayroong labis nito. Sa kasong ito, dumating tayo sa sumusunod na sistema:

(1.7)

kung saan ang paglago sa paggawa ng produkto ng unang kumpanya sa panahon ng pakikipag-ugnayan nito sa pangalawa, na isinasaalang-alang ang saturation,

Ang pagtaas sa produksyon ng produkto ng pangalawang kumpanya sa panahon ng pakikipag-ugnayan nito sa una, na isinasaalang-alang ang saturation,

Mga koepisyent ng saturation.

Kaya, nakakuha kami ng dalawang sistema: ang modelo ng paglago ng Malthusian na may at walang saturation.

1.1 Katatagan ng mga system bilang unang pagtataya

Ang katatagan ng mga sistema bilang unang pagtatantya ay isinasaalang-alang sa maraming dayuhan (Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogatz, 2001 at iba pa) at mga gawa sa wikang Ruso (Akhromeeva, 1992; Bellman, 1954; Demidovich, 1967; Krasovsky, 1959 at iba pa), at ang kahulugan nito ay isang pangunahing hakbang para sa pagsusuri ng mga prosesong nagaganap sa system. Upang gawin ito, gagawin namin ang mga sumusunod na kinakailangang hakbang:

Maghanap tayo ng mga punto ng ekwilibriyo.

Hanapin natin ang Jacobian matrix ng system.

Hanapin natin ang eigenvalues ​​ng Jacobi matrix.

Inuuri namin ang mga punto ng ekwilibriyo gamit ang theorem ni Lyapunov.

Matapos tingnan ang mga hakbang, sulit na tingnan nang mabuti ang kanilang paliwanag, kaya magbibigay ako ng mga kahulugan at ilalarawan ang mga pamamaraan na gagamitin namin sa bawat hakbang na ito.

Ang unang hakbang ay ang paghahanap ng mga punto ng ekwilibriyo. Upang mahanap ang mga ito, itinutumbas namin ang bawat function sa zero. Iyon ay, nalulutas namin ang system:

kung saan ang a at b ay nangangahulugang lahat ng mga parameter ng equation.

Ang susunod na hakbang ay ang paghahanap para sa Jacobian matrix. Sa aming kaso, ito ay magiging isang 2 by 2 matrix na may mga unang derivative sa ilang mga punto, tulad ng ipinapakita sa ibaba:

Matapos makumpleto ang unang dalawang hakbang, magpapatuloy kami sa paghahanap ng mga ugat ng sumusunod na katangiang equation:

Kung saan ang punto ay tumutugma sa mga punto ng ekwilibriyo na matatagpuan sa unang hakbang.

Sa pagkakaroon ng natagpuan at , kami ay nagpapatuloy sa ikaapat na hakbang at ginagamit ang mga sumusunod na Lyapunov theorems (Parks, 1992):

Theorem 1: Kung ang lahat ng mga ugat ng katangian na equation ay may negatibong tunay na bahagi, kung gayon ang punto ng ekwilibriyo na tumutugma sa orihinal at linearized na mga sistema ay asymptotically stable.

Theorem 2: Kung kahit isa sa mga ugat ng katangian equation ay may positibong tunay na bahagi, kung gayon ang punto ng equilibrium na tumutugma sa orihinal at linearized na mga sistema ay asymptotically hindi matatag.

Gayundin, ang pagtingin sa at posible na mas tumpak na matukoy ang uri ng katatagan, batay sa dibisyon na ipinapakita sa Figure 1.2 (Lamar University).

Larawan 1.2. Mga uri ng katatagan ng mga punto ng ekwilibriyo

Ang pagkakaroon ng pagsasaalang-alang sa kinakailangang teoretikal na impormasyon, magpatuloy tayo sa pagsusuri ng mga system.

Isaalang-alang ang isang sistema na walang saturation:

Ito ay napaka-simple at hindi angkop para sa praktikal na paggamit dahil wala itong mga limitasyon. Ngunit bilang isang unang halimbawa ng pagsusuri ng system ito ay angkop para sa pagsasaalang-alang.

Una, hanapin natin ang mga punto ng ekwilibriyo sa pamamagitan ng pag-equate sa kanang bahagi ng mga equation sa zero. Kaya, nakahanap tayo ng dalawang punto ng ekwilibriyo, tawagin natin silang A at B: .

Pagsamahin natin ang hakbang sa paghahanap para sa Jacobian matrix, mga ugat ng katangian na equation at pagtukoy sa uri ng katatagan. Dahil elementary pa lang sila, nakuha na agad natin ang sagot:

1. Sa puntong , , mayroong isang matatag na node.

Sa puntong: saddle.

Tulad ng naisulat ko na, ang sistemang ito ay masyadong maliit, kaya walang paliwanag na kailangan.

Ngayon suriin natin ang system mula sa saturation:

(1.9)

Ang paglitaw ng mga paghihigpit sa mutual saturation ng mga produkto sa pagitan ng mga negosyo ay nagdudulot sa amin ng mas malapit sa tunay na larawan ng kung ano ang nangyayari, at bahagyang kumplikado sa sistema.

Tulad ng dati, itinutumbas natin ang kanang bahagi ng system sa zero at nilulutas ang resultang sistema. Ang punto ay nanatiling hindi nagbabago, ngunit ang isa pang punto sa kasong ito ay naglalaman ng higit pang mga parameter kaysa dati: .

Sa kasong ito, ang Jacobian matrix ay kumukuha ng sumusunod na anyo:

Ibawas natin mula dito ang identity matrix na pinarami ng , at ipantay ang determinant ng resultang matrix sa mga puntong A at B sa zero.

Sa isang punto na katulad ng naunang larawan:

Matatag na node.

Ngunit sa punto ang lahat ay medyo mas kumplikado, at kahit na ang matematika ay medyo simple pa rin, ang pagiging kumplikado ay ginagawang hindi maginhawa upang gumana sa mahabang mga expression ng titik. Dahil ang mga halaga ay lumalabas na medyo mahaba at mahirap isulat, hindi sila binibigyan; sapat na upang sabihin na sa kasong ito, tulad ng sa nakaraang sistema, ang nagresultang uri ng katatagan ay isang saddle.

2 Phase portrait ng mga system

Ang karamihan sa mga nonlinear na dynamic na modelo ay mga kumplikadong differential equation na alinman ay hindi malulutas o medyo mahirap lutasin. Ang isang halimbawa ay ang sistema mula sa nakaraang seksyon. Sa kabila ng maliwanag na pagiging simple nito, hindi naging madali ang paghahanap ng uri ng sustainability sa ikalawang punto ng equilibrium (kahit na hindi mula sa punto ng matematika), at sa pagtaas ng mga parameter, paghihigpit at equation upang madagdagan ang bilang ng mga nakikipag-ugnayan na negosyo, ang pagiging kumplikado ay magiging lamang. pagtaas. Siyempre, kung ang mga parameter ay mga numerical expression, kung gayon ang lahat ay magiging hindi kapani-paniwalang simple, ngunit pagkatapos ay ang pagsusuri sa ilang paraan ay mawawala ang lahat ng kahulugan, dahil sa huli, makakahanap tayo ng mga punto ng balanse at malalaman lamang ang kanilang mga uri ng katatagan. para sa isang partikular na kaso, at hindi para sa pangkalahatan.

Sa ganitong mga kaso, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa phase plane at phase portraits. Sa inilapat na matematika, partikular sa konteksto ng nonlinear system analysis, ang phase plane ay isang visual na representasyon ng ilang katangian ng ilang uri ng differential equation (Nolte, 2015). Ang isang coordinate plane na may mga axes ng mga halaga ng anumang pares ng mga variable na nagpapakilala sa estado ng system ay isang two-dimensional na kaso ng isang pangkalahatang n-dimensional na puwang ng phase.

Salamat sa phase plane, posibleng graphical na matukoy ang pagkakaroon ng mga limit na cycle sa mga solusyon ng isang differential equation.

Ang mga solusyon sa isang differential equation ay isang pamilya ng mga function. Sa graphically, maaari itong i-plot sa phase plane bilang isang two-dimensional vector field. Ang mga vector ay iginuhit sa eroplano, na kumakatawan sa mga derivatives sa mga katangiang punto na may paggalang sa ilang parameter, sa aming kaso, oras, iyon ay (). Sa sapat na mga arrow na ito sa isang lugar, maaaring makita ang pag-uugali ng system at madaling matukoy ang mga ikot ng limitasyon (Boeing, 2016).

Ang isang vector field ay isang phase portrait; ang isang partikular na path sa isang linya ng flux (iyon ay, isang path na palaging tangent sa mga vectors) ay isang phase path. Ang mga flux sa isang vector field ay nagpapahiwatig ng pagbabago ng isang sistema sa paglipas ng panahon, na inilarawan ng isang differential equation (Jordan, 2007).

Ito ay nagkakahalaga ng noting na ang isang phase portrait ay maaaring constructed kahit na walang paglutas ng isang kaugalian equation, at sa parehong oras, magandang visualization ay maaaring magbigay ng maraming kapaki-pakinabang na impormasyon. Bilang karagdagan, sa kasalukuyan ay maraming mga programa na makakatulong sa pagbuo ng mga phase diagram.

Kaya, ang mga phase plane ay kapaki-pakinabang para sa pagpapakita ng pag-uugali ng mga pisikal na sistema. Sa partikular, ang mga oscillatory system, tulad ng predator-prey model na nabanggit na sa itaas. Sa mga modelong ito, ang mga phase trajectory ay maaaring "spin" patungo sa zero, "spring out" patungo sa infinity, o umabot sa isang neutral, stable na sitwasyon na tinatawag na mga sentro. Ito ay kapaki-pakinabang sa pagtukoy kung ang dinamika ay matatag o hindi (Jordan, 2007).

Ang mga phase portrait na ipinakita sa seksyong ito ay gagawin gamit ang mga tool ng WolframAlpha, o ibibigay mula sa iba pang mga mapagkukunan. Modelo ng paglago ng Malthusian na walang saturation.

Bumuo tayo ng isang phase portrait ng unang system na may tatlong set ng mga parameter upang maihambing ang kanilang pag-uugali. Set A ((1,1), (1,1)), na tatawagin pang unit set, set B ((10,0.1), (2,2)), kapag pinili, ang isang matalim na pagbaba sa produksyon ay sinusunod sa system , at itakda ang C ((1,10), (1,10)), kung saan, sa kabaligtaran, nangyayari ang isang matalim at walang limitasyong paglago. Kapansin-pansin na ang mga halaga sa kahabaan ng mga axes sa lahat ng mga kaso ay nasa parehong mga pagitan mula -10 hanggang 10, para sa kaginhawahan ng paghahambing ng mga diagram ng phase sa bawat isa. Siyempre, hindi ito nalalapat sa isang de-kalidad na larawan ng isang sistema na ang mga palakol ay walang sukat.

Figure 1.3 Phase portrait na may mga parameter A

mutualism differential limit equation

Ipinapakita ng Figure 1.3 na ipinakita sa itaas ang mga phase portrait ng system para sa tatlong tinukoy na set ng mga parameter, pati na rin ang isang phase portrait na naglalarawan sa qualitative behavior ng system. Huwag kalimutan na ang pinakamahalaga mula sa isang praktikal na pananaw ay ang unang quarter, dahil ang dami ng produksyon, na maaari lamang maging di-negatibo, ay ang aming mga palakol.

Sa bawat isa sa mga figure, ang katatagan sa punto ng ekwilibriyo (0,0) ay malinaw na nakikita. At sa unang figure, ang isang "saddle" ay kapansin-pansin din sa punto (1,1), sa madaling salita, kung papalitan mo ang mga halaga ng isang set ng mga parameter sa system, pagkatapos ay sa punto ng balanse B. Kapag ang Ang mga hangganan ng modelo ay binago, ang saddle point ay matatagpuan din sa iba pang mga phase portrait.

Malthusian na modelo ng paglago mula sa saturation.

Bumuo tayo ng mga phase diagram para sa pangalawang sistema, kung saan naroroon ang saturation, na may tatlong bagong set ng mga value ng parameter. Itakda ang A, ((0.1,15,100), (0.1,15,100)), itakda ang B ((1,1,0.5), (1, 1,0.5)) at itakda ang C ((20,1,100), (20,1,100 )).

Larawan 1.4. Phase portrait na may mga parameter A

Tulad ng nakikita mo, para sa anumang hanay ng mga parameter, ang punto (0,0) ay isang punto ng ekwilibriyo, at matatag din. Gayundin sa ilang mga larawan makakakita ka ng saddle point.

Sa kasong ito, ang iba't ibang mga kaliskis ay isinasaalang-alang upang mas malinaw na ipakita na kahit na ang isang saturation factor ay idinagdag sa system, ang husay na larawan ay hindi nagbabago, iyon ay, ang saturation lamang ay hindi sapat. Kinakailangang isaalang-alang na sa pagsasagawa, ang mga kumpanya ay nangangailangan ng katatagan, iyon ay, kung isasaalang-alang natin ang mga nonlinear na equation na kaugalian, kung gayon kami ay pinaka-interesado sa mga matatag na punto ng balanse, at sa mga sistemang ito, ang mga naturang puntos ay zero lamang, na nangangahulugang Ang mga modelong matematikal ay malinaw na hindi angkop para sa mga negosyo. Pagkatapos ng lahat, nangangahulugan ito na ang mga kumpanya lamang na walang produksyon ay napapanatiling, na malinaw na naiiba sa tunay na larawan ng mundo.

Sa matematika, ang integral curve ay isang parametric curve na kumakatawan sa isang tiyak na solusyon sa isang ordinaryong differential equation o sistema ng mga equation (Lang, 1972). Kung ang isang differential equation ay kinakatawan bilang isang vector field, kung gayon ang katumbas na integral curves ay padaplis sa field sa bawat punto.

Ang mga integral na curve ay kilala rin sa iba pang mga pangalan, depende sa kalikasan at interpretasyon ng differential equation o vector field. Sa physics, ang integral curves para sa isang electric field o magnetic field ay kilala bilang field lines, at ang integral curves para sa fluid velocity field ay kilala bilang streamlines. Sa mga dynamic na sistema, ang mga integral na curve para sa isang differential equation ay tinatawag na trajectories.

Larawan 1.5. Mga integral na kurba

Ang mga solusyon ng alinman sa mga sistema ay maaari ding ituring bilang mga equation ng integral curves. Malinaw na ang bawat phase trajectory ay isang projection ng ilang integral curve sa x, y, t space papunta sa phase plane.

Mayroong ilang mga paraan para sa pagbuo ng integral curves.

Isa sa mga ito ay ang isocline method. Ang isocline ay isang curve na dumadaan sa mga punto kung saan ang slope ng function na pinag-uusapan ay palaging magiging pareho, anuman ang mga paunang kondisyon (Hanski, 1999).

Madalas itong ginagamit bilang isang graphical na paraan para sa paglutas ng mga ordinaryong differential equation. Halimbawa, sa isang equation ng anyong y"= f(x, y), ang isoclines ay mga linya sa (x, y) plane na nakuha sa pamamagitan ng pag-equate ng f (x, y) sa isang pare-pareho. Nagbibigay ito ng serye ng mga linya ( para sa iba't ibang mga constant) kung saan ang mga curve ay may parehong gradient. Sa pamamagitan ng pagkalkula ng gradient na ito para sa bawat isocline, ang slope field ay maaaring makita, na ginagawang medyo madali upang gumuhit ng tinatayang mga curve ng solusyon. Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng isang halimbawa ng paggamit ng ang isocline method.

Larawan 1.6. Isocline na pamamaraan

Ang pamamaraang ito ay hindi nangangailangan ng mga kalkulasyon sa computer, at napakapopular sa nakaraan. Ngayon ay may mga solusyon sa software na maaaring makabuo ng mga integral na curve sa mga computer nang tumpak at mabilis. Gayunpaman, kahit na gayon, ang isocline na pamamaraan ay napatunayan ang sarili bilang isang tool para sa pag-aaral ng pag-uugali ng mga solusyon, dahil pinapayagan nito ang isa na ipakita ang mga lugar ng tipikal na pag-uugali ng mga integral curve.

Modelo ng paglago ng Malthusian na walang saturation.

Magsimula tayo sa katotohanan na sa kabila ng pagkakaroon ng iba't ibang mga pamamaraan ng pagtatayo, ang pagpapakita ng mga integral na kurba ng isang sistema ng mga equation ay hindi napakadali. Ang isocline method na binanggit kanina ay hindi angkop dahil ito ay gumagana para sa first order differential equation. Ngunit ang mga tool ng software na may kakayahang gumawa ng mga naturang curve ay hindi magagamit sa publiko. Halimbawa, ang Wolfram Mathematica, na may kakayahang ito, ay binabayaran. Samakatuwid, susubukan naming sulitin ang mga kakayahan ng Wolfram Alpha, ang gawain kung saan inilarawan sa iba't ibang mga artikulo at gawa (Orca, 2009). Kahit na ang larawan ay malinaw na hindi lubos na mapagkakatiwalaan, ito ay magiging posible upang ipakita ang pag-asa sa (x,t), (y,t) na mga eroplano. Una, lutasin natin ang bawat isa sa mga equation para sa t. Iyon ay, kukunin natin ang dependence ng bawat isa sa mga variable na may kaugnayan sa oras. Para sa sistemang ito nakukuha namin ang:

(1.10)

(1.11)

Ang mga equation ay simetriko, kaya isa lamang sa kanila ang isasaalang-alang natin, ibig sabihin x(t). Hayaan ang pare-pareho ay katumbas ng 1. Sa kasong ito, gagamitin namin ang graphing function.

Larawan 1.7. Three-dimensional na modelo para sa equation (1.10)

Malthusian na modelo ng paglago mula sa saturation.

Gawin natin ang mga katulad na hakbang para sa ibang modelo. Sa huli, nakakakuha kami ng dalawang equation na nagpapakita ng pag-asa ng mga variable sa oras.

(1.12)

(1.13)

Bumuo tayo ng three-dimensional na modelo at mga linya ng antas muli.

Larawan 1.8. Three-dimensional na modelo para sa equation (1.12)

Dahil ang mga halaga ng mga variable ay hindi negatibo, pagkatapos ay sa fraction na may exponent nakakakuha tayo ng negatibong numero. Kaya, sa paglipas ng panahon, bumababa ang integral curve.

Noong nakaraan, ang isang kahulugan ng system dynamics ay ibinigay upang maunawaan ang kakanyahan ng trabaho, ngunit ngayon ay tatalakayin natin ito nang mas detalyado.

Ang system dynamics ay isang metodolohiya at paraan ng pagmomolde ng matematika para sa pagbuo, pag-unawa at pagtalakay sa mga kumplikadong problema, na orihinal na binuo noong 1950s ni Jay Forrester, at inilarawan sa kanyang trabaho (Forrester, 1961).

Ang system dynamics ay isang aspeto ng system theory bilang isang paraan para sa pag-unawa sa dynamic na pag-uugali ng mga kumplikadong system. Ang batayan ng pamamaraan ay ang pagkilala na ang istruktura ng anumang sistema ay binubuo ng maraming ugnayan sa pagitan ng mga bahagi nito, na kadalasang kasinghalaga sa pagtukoy ng pag-uugali nito gaya ng mga indibidwal na bahagi mismo. Ang mga halimbawa ay chaos theory at social dynamics, na inilarawan sa mga gawa ng iba't ibang mga may-akda (Grebogi, 1987; Sontag, 1998; Kuznetsov, 2001; Tabor, 2001). Pinagtatalunan din na dahil ang mga katangian ng kabuuan ay hindi madalas na matatagpuan sa mga katangian ng mga elemento, sa ilang mga kaso ang pag-uugali ng kabuuan ay hindi maipaliwanag sa mga tuntunin ng pag-uugali ng mga bahagi.

Tunay na maipapakita ng simulation ang praktikal na kahalagahan ng isang dinamikong sistema. Bagama't posible ito sa mga spreadsheet, maraming software packages na partikular na na-optimize para sa layuning ito.

Ang simulation mismo ay ang proseso ng paglikha at pagsusuri ng isang prototype ng isang pisikal na modelo upang mahulaan ang pagganap nito sa totoong mundo. Ang simulation modeling ay ginagamit upang matulungan ang mga designer at engineer na maunawaan sa ilalim ng kung anong mga kondisyon at kung kailan ang isang proseso ay malamang na mabigo at kung anong mga load ang maaari nitong mapaglabanan (Hemdi, 2007). Makakatulong din ang pagmomodelo na mahulaan ang gawi ng mga daloy ng likido at iba pang pisikal na phenomena. Sinusuri ng modelo ang tinatayang mga kondisyon ng operating gamit ang simulation software (Strogalev, 2008).

Ang mga limitasyon sa mga kakayahan sa simulation ay may karaniwang dahilan. Ang pagtatayo at pagkalkula ng numero ng isang eksaktong modelo ay ginagarantiyahan ang tagumpay lamang sa mga lugar kung saan umiiral ang isang eksaktong quantitative theory, iyon ay, kapag ang mga equation na naglalarawan sa ilang mga phenomena ay kilala, at ang gawain ay simpleng lutasin ang mga equation na ito nang may kinakailangang katumpakan. Sa mga lugar kung saan walang quantitative theory, ang pagbuo ng tumpak na modelo ay may limitadong halaga (Bazykin, 2003).

Gayunpaman, ang mga posibilidad ng pagmomolde ay hindi limitado. Una sa lahat, ito ay dahil sa ang katunayan na ito ay mahirap upang masuri ang saklaw ng applicability ng isang modelo ng simulation, sa partikular, ang tagal ng panahon kung saan ang isang forecast ay maaaring binuo na may kinakailangang katumpakan (Law, 2006). Bilang karagdagan, ayon sa likas na katangian nito, ang isang modelo ng simulation ay nakatali sa isang tiyak na bagay, at kapag sinusubukang ilapat ito sa isa pa, kahit na katulad na bagay, nangangailangan ito ng mga radikal na pagsasaayos o hindi bababa sa makabuluhang pagbabago.

Mayroong pangkalahatang dahilan para sa pagkakaroon ng mga limitasyon sa simulation modeling. Ang pagtatayo at pagkalkula ng numero ng isang "eksaktong" modelo ay matagumpay lamang kung mayroong isang quantitative theory, iyon ay, kung ang lahat ng mga equation ay kilala, at ang problema ay nabawasan lamang sa paglutas ng mga equation na ito na may tiyak na katumpakan (Bazykin, 2003) .

Ngunit kahit na sa kabila nito, ang simulation modeling ay isang mahusay na paraan ng pag-visualize ng mga dynamic na proseso, na nagpapahintulot, na may mas marami o mas kaunting tamang modelo, na gumawa ng mga desisyon batay sa mga resulta nito.

Sa gawaing ito, bubuuin ang mga modelo ng system gamit ang mga tool sa dynamics ng system na inaalok ng programang AnyLogic.

Modelo ng paglago ng Malthusian na walang saturation/

Bago bumuo ng isang modelo, kinakailangang isaalang-alang ang mga elemento ng system dynamics na aming gagamitin at iuugnay ang mga ito sa aming system. Ang mga sumusunod na kahulugan ay kinuha mula sa tulong ng AnyLogic.

Ang accumulator ay ang pangunahing elemento ng system dynamics diagram. Ginagamit ang mga ito upang kumatawan sa mga real-world na bagay kung saan naiipon ang ilang partikular na mapagkukunan: pera, substance, bilang ng mga grupo ng tao, ilang materyal na bagay, atbp. Ang mga accumulator ay sumasalamin sa static na estado ng simulate system, at ang kanilang mga halaga ay nagbabago sa paglipas ng panahon alinsunod sa mga daloy na umiiral sa system. Ito ay sumusunod na ang dynamics ng system ay tinutukoy ng mga daloy. Ang mga daloy sa loob at labas ng accumulator ay nagpapataas o nagpapababa sa mga halaga ng accumulator.

Ang daloy, pati na rin ang nabanggit na storage device, ay ang pangunahing elemento ng mga dynamic na diagram ng system.

Habang tinutukoy ng mga accumulator ang static na bahagi ng system, tinutukoy ng mga thread ang rate ng pagbabago ng mga value ng accumulator, iyon ay, kung paano nangyayari ang mga pagbabago sa mga stock sa paglipas ng panahon at sa gayon ay tinutukoy ang dynamics ng system.

Ang ahente ay maaaring maglaman ng mga variable. Karaniwang ginagamit ang mga variable upang magmodelo ng pagbabago ng mga katangian ng isang ahente o mag-imbak ng output ng isang modelo. Karaniwang binubuo ang mga dynamic na variable ng mga function ng accumulator.

Ang isang ahente ay maaaring magkaroon ng mga parameter. Ang mga parameter ay kadalasang ginagamit upang kumatawan sa ilang katangian ng isang modelong bagay. Ang mga ito ay kapaki-pakinabang kapag ang mga instance ng mga bagay ay may parehong pag-uugali na inilarawan sa klase, ngunit naiiba sa ilang mga halaga ng parameter. Mayroong malinaw na pagkakaiba sa pagitan ng mga variable at parameter. Kinakatawan ng variable ang estado ng modelo at maaaring magbago sa panahon ng simulation. Karaniwang ginagamit ang parameter upang ilarawan ang mga bagay nang statically. Sa isang "pagtakbo" ng modelo, ang parameter ay karaniwang pare-pareho at binabago lamang kapag kinakailangan upang muling i-configure ang pag-uugali ng modelo.

Ang koneksyon ay isang elemento ng system dynamics na ginagamit upang matukoy ang dependency sa pagitan ng mga elemento ng isang flow at drive diagram. Hindi ito awtomatikong gumagawa ng mga koneksyon, ngunit pinipilit ang user na tahasang iguhit ang mga ito sa isang graphical na editor (gayunpaman, ito ay nagkakahalaga na tandaan na Sinusuportahan din ng AnyLogic ang isang mekanismo para sa mabilis na pagtatatag ng mga nawawalang koneksyon). Bilang halimbawa, kung ang anumang elemento A ay binanggit sa equation o paunang halaga ng elemento B, kailangan mo munang ikonekta ang mga elementong ito sa isang link mula A hanggang B, at pagkatapos ay ipasok ang expression sa mga katangian ng B.

Mayroong ilang iba pang mga elemento ng system dynamics, ngunit hindi sila gagamitin sa kurso ng gawaing ito, kaya aalisin namin ang mga ito.

Una, isaalang-alang natin kung ano ang binubuo ng modelo ng system (1.4).

Una, agad naming minarkahan ang dalawang drive na maglalaman ng mga halaga ng dami ng mga produkto ng bawat isa sa mga negosyo.

Pangalawa, dahil mayroon tayong dalawang termino sa bawat equation, nakakakuha tayo ng dalawang daloy sa bawat isa sa mga drive, isang papasok, ang isa ay papalabas.

Pangatlo, lumipat tayo sa mga variable at parameter. Dalawa lang ang variable. X at Y, responsable para sa paglago ng produkto. Mayroon din kaming apat na parameter.

Pang-apat, tungkol sa mga koneksyon, ang bawat isa sa mga daloy ay dapat na nauugnay sa mga variable at parameter na kasama sa flow equation, at ang parehong mga variable ay dapat na may koneksyon sa mga accumulator upang mabago ang halaga sa paglipas ng panahon.

Mag-iiwan kami ng isang detalyadong paglalarawan ng pagbuo ng isang modelo, bilang isang halimbawa ng pagtatrabaho sa kapaligiran ng pagmomolde ng AnyLogic, para sa susunod na sistema, dahil medyo mas kumplikado ito at gumagamit ng higit pang mga parameter, at agad kaming magpapatuloy sa pagsasaalang-alang sa natapos na bersyon ng ang sistema.

Sa ibaba sa Figure 1.9 ang itinayong modelo ay ipinakita:

Larawan 1.9. System dynamics model para sa system (1.4)

Ang lahat ng mga elemento ng system dynamics ay tumutugma sa mga inilarawan sa itaas, i.e. dalawang drive, apat na stream (two in, two out), apat na parameter, dalawang dynamic na variable, at ang mga kinakailangang koneksyon.

Ipinapakita ng figure na ang mas maraming mga produkto, mas malakas ang paglago nito, na humahantong sa isang matalim na pagtaas sa bilang ng mga kalakal, na tumutugma sa aming system. Ngunit tulad ng sinabi kanina, ang kakulangan ng mga paghihigpit sa paglago na ito ay hindi nagpapahintulot sa modelong ito na mailapat sa pagsasanay.

Modelo ng paglago ng Malthusian mula sa saturation/

Isinasaalang-alang ang sistemang ito, tatalakayin natin nang mas detalyado ang pagtatayo ng modelo.

Ang unang hakbang ay magdagdag ng dalawang drive, tawagin natin silang X_stock at Y_stock. Magtalaga tayo ng paunang halaga na 1 sa bawat isa sa kanila. Tandaan na sa kawalan ng mga thread, wala sa klasikal na tinukoy na equation ng accumulator.

Larawan 1.10. Pagbuo ng modelo ng system (1.9)

Ang susunod na hakbang ay ang pagdaragdag ng mga thread. Bumuo tayo ng papasok at papalabas na daloy para sa bawat drive gamit ang isang graphical na editor. Hindi natin dapat kalimutan na ang isa sa mga gilid ng stream ay dapat na nasa drive, kung hindi man ay hindi sila konektado.

Maaari mong makita na ang equation para sa drive ay awtomatikong naitakda; siyempre, ang user ay maaaring isulat ito sa kanyang sarili sa pamamagitan ng pagpili sa "libre" na equation mode, ngunit ang pinakamadaling paraan ay iwanan ang aksyon na ito sa programa.

Ang aming ikatlong hakbang ay magdagdag ng anim na parameter at dalawang dynamic na variable. Bigyan natin ang bawat elemento ng isang pangalan alinsunod sa literal na pagpapahayag nito sa system, at itakda din ang mga paunang halaga ng mga parameter tulad ng sumusunod: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0.2.

Ang lahat ng mga elemento ng mga equation ay naroroon, ang natitira lamang ay isulat ang mga equation para sa mga daloy, ngunit upang gawin ito, kailangan mo munang magdagdag ng mga koneksyon sa pagitan ng mga elemento. Halimbawa, ang papalabas na daloy na responsable para sa termino ay dapat na nauugnay sa e1 at x. At ang bawat dynamic na variable ay dapat na nauugnay sa katumbas nitong storage (X_stock x, Y_stock y). Ang paglikha ng mga koneksyon ay katulad ng pagdaragdag ng mga thread.

Pagkatapos lumikha ng mga kinakailangang koneksyon, maaari kang magpatuloy sa pagsulat ng mga equation para sa mga daloy, na ipinapakita sa tamang figure. Siyempre, maaari kang pumunta sa reverse order, ngunit kung may mga koneksyon, habang nagsusulat ng mga equation, lalabas ang mga pahiwatig para sa pagpapalit ng mga kinakailangang parameter/variable, na ginagawang mas madali ang gawain sa mga kumplikadong modelo.

Matapos makumpleto ang lahat ng mga hakbang, maaari mong patakbuhin ang modelo ng simulation at tingnan ang resulta nito.

Ang pagkakaroon ng pagsasaalang-alang ng mga sistema ng nonlinear differential equation para sa pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga kumpanya sa ilalim ng mga kondisyon ng mutualism, maraming mga konklusyon ang maaaring iguguhit.

Mayroong dalawang estado ng system: matalas na walang limitasyong paglago, o ang pagkahilig ng dami ng produksyon sa zero. Alin sa dalawang estado ang kukunin ng system ay depende sa mga parameter.

Wala sa mga iminungkahing modelo, kabilang ang modelo na isinasaalang-alang ang mga saturation, ay angkop para sa praktikal na paggamit, dahil sa kakulangan ng isang hindi zero na matatag na posisyon, pati na rin ang mga dahilan na inilarawan sa talata 1.

Kung susubukan naming higit pang pag-aralan ang ganitong uri ng symbiotic na pakikipag-ugnayan upang lumikha ng isang modelo na naaangkop sa mga kumpanya sa pagsasanay, ito ay kinakailangan upang higit pang gawing kumplikado ang system at magpakilala ng mga bagong parameter. Halimbawa, si Bazykin sa kanyang libro ay nagbibigay ng isang halimbawa ng dynamics ng dalawang mutualistic na populasyon na may pagpapakilala ng isang karagdagang kadahilanan ng intraspecific na kumpetisyon. Dahil sa kung saan kinukuha ng system ang anyo:

(1.15)

At sa kasong ito, lumilitaw ang isang non-zero stable na posisyon ng system, na pinaghihiwalay mula sa zero ng isang "saddle", na pinalalapit ito sa totoong larawan ng nangyayari.

2. Pakikipag-ugnayan ng mga kumpanya sa mga kondisyon ng proto-cooperation

Ang lahat ng mga pangunahing teoretikal na impormasyon ay ipinakita sa nakaraang kabanata, kaya kapag sinusuri ang mga modelong tinalakay sa kabanatang ito, ang teorya ay higit na aalisin, maliban sa ilang mga punto na hindi natin nakatagpo sa nakaraang kabanata, at maaaring mayroon ding maging mga shortcut sa mga kalkulasyon. Ang modelo ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga organisasyon na isinasaalang-alang sa kabanatang ito sa ilalim ng mga kondisyon ng proto-kooperasyon, na binubuo ng mga sistema ng dalawang equation batay sa modelong Malthusian, ay mukhang sistema (1.5). Ang mga system na nasuri sa nakaraang kabanata ay nagpakita na upang mailapit ang mga ito hangga't maaari sa mga umiiral na modelo, kinakailangan upang madagdagan ang pagiging kumplikado ng mga system. Batay sa mga konklusyong ito, agad kaming magdagdag ng paghihigpit sa paglago sa modelo. Hindi tulad ng nakaraang uri ng pakikipag-ugnayan, kapag ang paglago na independyente sa ibang kumpanya ay negatibo, sa kasong ito ang lahat ng mga palatandaan ay positibo, na nangangahulugang mayroon tayong patuloy na paglago. Sa pag-iwas sa mga pagkukulang na inilarawan kanina, susubukan naming limitahan ito sa logistic equation, na kilala rin bilang Verhulst equation (Gershenfeld, 1999), na may sumusunod na anyo:

, (2.1)

kung saan ang P ay ang laki ng populasyon, ang r ay isang parameter na nagpapakita ng rate ng paglago, ang K ay isang parameter na responsable para sa maximum na posibleng laki ng populasyon. Iyon ay, sa paglipas ng panahon, ang laki ng populasyon (sa aming kaso, produksyon) ay may posibilidad sa isang tiyak na parameter K.

Makakatulong ang equation na ito na pigilan ang talamak na paglaki ng produkto na nakita natin dati. Kaya ang sistema ay tumatagal ng sumusunod na anyo:

(2.2)

Huwag kalimutan na ang dami ng mga kalakal na nakaimbak sa bodega ay iba para sa bawat kumpanya, kaya ang mga parameter na naglilimita sa paglago ay iba. Tawagin natin ang sistemang ito na "", at sa hinaharap ay gagamitin natin ang pangalang ito kapag isinasaalang-alang natin ito.

Ang pangalawang sistema na isasaalang-alang namin ay isang karagdagang pag-unlad ng modelo na may limitasyon ng Verhulst. Tulad ng sa nakaraang kabanata, ipinakilala namin ang isang limitasyon sa saturation, pagkatapos ay kukuha ng form ang system:

(2.3)

Ngayon ang bawat isa sa mga termino ay may sariling limitasyon, kaya nang walang karagdagang pagsusuri ay makikita mo na walang walang limitasyong paglago, tulad ng sa mga modelo ng nakaraang kabanata. At dahil ang bawat isa sa mga termino ay nagpapakita ng positibong paglago, ang dami ng produksyon ay hindi bababa sa zero. Tawagin natin ang modelong ito na "modelo ng proto-cooperation na may dalawang paghihigpit."

Ang dalawang modelong ito ay tinalakay sa iba't ibang mapagkukunan tungkol sa mga biyolohikal na populasyon. Ngayon ay susubukan naming palawakin ang mga system medyo. Upang gawin ito, isaalang-alang ang sumusunod na figure.

Ang figure ay nagpapakita ng isang halimbawa ng mga proseso ng dalawang kumpanya: ang bakal at karbon industriya. Ang parehong mga negosyo ay may paglago ng produkto na independiyente sa isa pa, at mayroon ding paglago ng produkto na nagreresulta mula sa kanilang pakikipag-ugnayan. Isinasaalang-alang na namin ito sa mga naunang modelo. Ngayon ay nararapat na tandaan na ang mga kumpanya ay hindi lamang gumagawa ng mga produkto, ibinebenta din nila ang mga ito, halimbawa, sa merkado o sa isang kumpanya na nakikipag-ugnayan dito. Yung. Batay sa mga lohikal na konklusyon, mayroong pangangailangan para sa negatibong paglago ng mga kumpanya sa pamamagitan ng pagbebenta ng mga produkto (sa figure, ang mga parameter β1 at β2 ay responsable para dito), pati na rin sa pamamagitan ng paglipat ng bahagi ng produksyon sa isa pang negosyo. Noong nakaraan, isinasaalang-alang lamang namin ito sa isang positibong tanda mula sa ibang kumpanya, ngunit hindi isinasaalang-alang ang katotohanan na ang unang negosyo, kapag naglilipat ng mga produkto, ay binabawasan ang dami nito. Sa kasong ito, nakukuha namin ang system:

(2.4)

At kung masasabi natin ang tungkol sa termino na kung sa mga nakaraang modelo ay ipinahiwatig na , makilala ang natural na paglaki, at ang parameter ay maaaring negatibo, kung gayon halos walang pagkakaiba, kung gayon tungkol sa termino hindi ito masasabi. Bilang karagdagan, sa hinaharap, kung isasaalang-alang ang naturang sistema na may isang paghihigpit na ipinakilala dito, mas tama na gamitin ang mga tuntunin ng positibo at negatibong paglago, dahil sa kasong ito ang iba't ibang mga paghihigpit ay maaaring ipataw sa kanila, na imposible para sa natural. paglago. Tawagin natin itong “extended protocooperation model.”

Sa wakas, ang ika-apat na modelo na isinasaalang-alang ay ang pinalawig na modelo ng proto-cooperation na may naunang nabanggit na logistic constraint sa paglago. At ang sistema para sa modelong ito ay:

, (2.5)

kung saan ang pagtaas sa produksyon ng unang enterprise, independiyente sa pangalawa, na isinasaalang-alang ang logistic constraint, - pagtaas sa produksyon ng unang kumpanya, depende sa pangalawa, isinasaalang-alang ang logistic constraint, - pagtaas sa produksyon ng pangalawang enterprise, independiyente sa una, isinasaalang-alang ang logistic constraint, - pagtaas sa produksyon ng pangalawang kumpanya, depende sa una, isinasaalang-alang ang logistic constraint, - pagkonsumo ng mga kalakal ng unang enterprise, hindi nauugnay sa iba, - pagkonsumo ng mga kalakal ng pangalawang enterprise, hindi nauugnay sa iba pa, - pagkonsumo ng mga kalakal ng unang industriya ng pangalawang industriya, - pagkonsumo ng mga kalakal ng pangalawang industriya ang unang industriya.

Sa hinaharap, ang modelong ito ay tatawagin bilang "isang pinahabang proto-operation na modelo na may logistic constraint."

1 Katatagan ng mga system bilang unang pagtataya

Protocooperation model na may Verhulst constraint

Ang mga pamamaraan para sa pagsusuri ng katatagan ng system ay ipinahiwatig sa isang katulad na seksyon ng nakaraang kabanata. Una sa lahat, hinahanap natin ang mga punto ng ekwilibriyo. Ang isa sa kanila, gaya ng dati, ay zero. Ang isa ay isang punto na may mga coordinate.

Para sa zero point λ1 = , λ2 = , dahil ang parehong mga parameter ay hindi negatibo, nakakakuha kami ng hindi matatag na node.

Dahil ang pagtatrabaho sa pangalawang punto ay hindi lubos na maginhawa, dahil sa kakulangan ng pagkakataon na paikliin ang expression, iiwan namin ang pagpapasiya ng uri ng katatagan sa mga diagram ng phase, dahil malinaw na ipinapakita nila kung ang punto ng ekwilibriyo ay matatag o hindi.

Ang pagsusuri ng sistemang ito ay mas kumplikado kaysa sa nauna dahil sa ang katunayan na ang isang saturation factor ay idinagdag, kaya ang mga bagong parameter ay lilitaw, at kapag naghahanap ng mga punto ng balanse, kailangan mong lutasin hindi isang linear, ngunit isang bilinear equation dahil sa variable sa denominator. Samakatuwid, tulad ng sa nakaraang kaso, iiwan namin ang pagpapasiya ng uri ng katatagan sa mga diagram ng phase.

Sa kabila ng paglitaw ng mga bagong parameter, ang Jacobian sa zero point, pati na rin ang mga ugat ng katangian na equation, ay mukhang katulad ng nakaraang modelo. Kaya, sa zero point mayroong isang hindi matatag na node.

Lumipat tayo sa mga advanced na modelo. Ang una sa mga ito ay hindi naglalaman ng anumang mga paghihigpit at nasa anyo ng system (2.4)

Gumawa tayo ng pagbabago ng mga variable, , At . Bagong sistema:

(2.6)

Sa kasong ito, nakakakuha tayo ng dalawang punto ng ekwilibriyo, punto A(0,0), B(). Ang punto B ay nasa unang kuwadrante dahil ang mga variable ay may mga hindi negatibong halaga.

Para sa punto ng balanse A, nakukuha natin ang:

. - hindi matatag na node,

. - siyahan,

. - siyahan,

. - matatag na node,

Sa punto B, ang mga ugat ng katangiang equation ay mga kumplikadong numero: λ1 = , λ2 = . Hindi namin matukoy ang uri ng katatagan na umaasa sa mga theorems ni Lyapunov, kaya magsasagawa kami ng numerical simulation na hindi magpapakita ng lahat ng posibleng estado, ngunit magpapahintulot sa amin na malaman ang kahit ilan sa mga ito.

Larawan 2.2. Numerical modeling ng paghahanap para sa uri ng katatagan

Kapag isinasaalang-alang ang modelong ito, kakailanganin mong harapin ang mga paghihirap sa pagkalkula, dahil mayroon itong malaking bilang ng iba't ibang mga parameter, pati na rin ang dalawang limitasyon.

Nang hindi pumunta sa mga detalye ng mga kalkulasyon, dumarating tayo sa mga sumusunod na punto ng ekwilibriyo. Point A(0,0) at point B na may mga sumusunod na coordinate:

(), kung saan a =

Para sa punto A, ang pagtukoy sa uri ng katatagan ay isang maliit na gawain. Ang mga ugat ng katangiang equation ay λ1 = , λ2 = . Nagbibigay ito sa amin ng apat na pagpipilian:

1. λ1 > 0, λ2 > 0 - hindi matatag na node.

2. λ1< 0, λ2 >0 - siyahan.

3. λ1 ​​> 0, λ2< 0 - седло.

4. λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

Sa pagsasalita tungkol sa punto B, ito ay nagkakahalaga ng pagsang-ayon na ang pagpapalit ng mga pagdadaglat sa expression para dito ay magpapalubha sa gawain sa Jacobian at paghahanap ng mga ugat ng katangian na equation. Halimbawa, pagkatapos subukang hanapin ang mga ito gamit ang mga tool sa pag-compute ng WolframAlpha, ang output ng mga halaga ng ugat ay tumagal ng halos limang linya, na hindi pinapayagan ang pagtatrabaho sa kanila sa literal na mga termino. Siyempre, kung mayroon na tayong umiiral na mga parameter, tila posible na mabilis na mahanap ang punto ng balanse, ngunit ito ay isang espesyal na kaso, dahil makikita natin ang estado ng balanse, kung mayroon ito, para lamang sa mga parameter na ito, na hindi angkop para sa ang sistema ng suporta sa desisyon kung saan ang modelo ay binalak na gawin.

Dahil sa pagiging kumplikado ng pagtatrabaho sa mga ugat ng katangiang equation, bubuo tayo ng kamag-anak na posisyon ng mga null isocline sa pamamagitan ng pagkakatulad sa sistemang nasuri sa gawain ni Bazykin (Bazykin, 2003). Ito ay magpapahintulot sa amin na isaalang-alang ang mga posibleng estado ng system, at sa hinaharap, kapag gumagawa ng mga phase portrait, tuklasin ang mga punto ng equilibrium at mga uri ng kanilang katatagan.

Pagkatapos ng ilang kalkulasyon, ang mga null-isocline equation ay kumukuha ng sumusunod na anyo:

(2.7)

Kaya, ang mga isocline ay may anyo ng mga parabola.

Larawan 2.3. Posibleng lokasyon ng mga null isocline

Mayroong apat na posibleng kaso ng kanilang mutual arrangement batay sa bilang ng mga karaniwang punto sa pagitan ng mga parabola. Ang bawat isa sa kanila ay may sariling set ng mga parameter, at samakatuwid ay mga phase portrait ng system.

2 Phase portrait ng mga system

Bumuo tayo ng isang phase portrait ng system, sa kondisyon na iyon at ang natitirang mga parameter ay katumbas ng 1. Sa kasong ito, sapat na ang isang set ng mga variable, dahil hindi magbabago ang qualitative.

Tulad ng makikita mula sa mga figure sa ibaba, ang zero point ay isang hindi matatag na node, at ang pangalawang punto, kung papalitan natin ang mga numerical value ng mga parameter, makakakuha tayo ng (-1.5, -1.5) - isang saddle.

Larawan 2.4. Phase portrait para sa system (2.2)

Kaya, dahil walang mga pagbabago ang dapat mangyari, kung gayon para sa sistemang ito mayroon lamang mga hindi matatag na estado, na malamang na dahil sa posibilidad ng walang limitasyong paglago.

Isang modelo ng proto-cooperation na may dalawang hadlang.

Sa sistemang ito mayroong isang karagdagang kadahilanan sa paglilimita, kaya ang mga diagram ng phase ay dapat na naiiba mula sa nakaraang kaso, tulad ng makikita sa figure. Ang zero point ay isa ring hindi matatag na node, ngunit sa sistemang ito lumilitaw ang isang matatag na posisyon, katulad ng isang matatag na node. Dahil sa mga parameter ng mga coordinate nito (5.5,5.5), ito ay ipinapakita sa figure.

Larawan 2.5. Phase portrait para sa system (2.3)

Kaya, ang paghihigpit sa bawat termino ay naging posible upang makakuha ng isang matatag na posisyon ng system.

Pinahabang modelo ng protocooperation.

Bumuo tayo ng mga phase portrait para sa pinahabang modelo, ngunit agad na ginagamit ang binagong anyo nito:

Isaalang-alang natin ang apat na hanay ng mga parameter, tulad ng pagsasaalang-alang sa lahat ng mga kaso na may zero equilibrium point, at ipakita din ang mga phase diagram ng numerical simulation na ginamit para sa isang non-zero equilibrium point: ang set A(1,0.5,0.5) ay tumutugma sa ang estado , ang set B(1,0.5,-0.5) ay tumutugma itakda ang C(-1,0.5,0.5) at itakda ang D(-1,0.5,-0.5) , iyon ay, isang matatag na node sa zero point. Ang unang dalawang set ay magpapakita ng mga phase portrait para sa mga parameter na aming isinasaalang-alang sa numerical simulation.

Larawan 2.6. Phase portrait para sa system (2.4) na may mga parameter na A-D.

Sa mga figure, kailangan mong bigyang pansin ang mga puntos (-1,2) at (1,-2), ayon sa pagkakabanggit, isang "saddle" ang lilitaw sa kanila. Para sa mas detalyadong view, ang figure ay nagpapakita ng ibang sukat ng figure na may saddle point (1,-2). Sa figure, ang isang matatag na sentro ay makikita sa mga punto (1,2) at (-1,-2). Tulad ng para sa zero point, mula sa figure hanggang figure sa mga diagram ng phase maaari naming malinaw na makilala ang isang hindi matatag na node, isang saddle, isang saddle at isang stable na node.

Pinahabang modelo ng proto-cooperation na may logistic constraint.

Tulad ng sa nakaraang modelo, magpapakita kami ng mga phase portrait para sa apat na kaso ng zero point, at susubukan din naming tandaan ang mga non-zero na solusyon sa mga diagram na ito. Upang gawin ito, kunin ang mga sumusunod na hanay ng mga parameter na may mga parameter na tinukoy sa sumusunod na pagkakasunud-sunod (): A(2,1,2,1), B(2,1,1,2), C(1,2,2, 1) at D (1,2,1,2). Ang natitirang mga parameter para sa lahat ng hanay ay ang mga sumusunod: , .

Sa mga figure na ipinakita sa ibaba, maaaring maobserbahan ng isa ang apat na estado ng ekwilibriyo ng zero point na inilarawan sa nakaraang seksyon para sa dinamikong sistemang ito. At din sa mga figure mayroong isang matatag na posisyon ng isang punto na may isang non-zero coordinate.

Larawan 2.7. Phase portrait para sa system (2.5) na may mga parameter na A-B

3 Mga integral na trajectory ng mga system

Protocooperation model na may Verhulst constraint

Tulad ng sa nakaraang kabanata, lulutasin natin ang bawat isa sa mga differential equation nang hiwalay at tahasang ipahayag ang pagdepende ng mga variable sa parameter ng oras.

(2.8)

(2.9)

Mula sa mga resultang equation ay malinaw na ang halaga ng bawat isa sa mga variable ay tumataas, na ipinapakita sa tatlong-dimensional na modelo sa ibaba.

Larawan 2.8. Three-dimensional na modelo para sa equation (2.8)

Ang ganitong uri ng graph sa simula ay medyo nakapagpapaalaala sa three-dimensional na imahe ng modelong Malthusian na walang saturation, na tinalakay sa Kabanata 1, dahil mayroon itong katulad na mabilis na paglaki, ngunit sa paglaon ay mapapansin mo ang pagbaba sa rate ng paglago dahil sa pag-abot. ang limitasyon sa dami ng produksyon. Kaya, ang huling hitsura ng integral curves ay katulad ng graph ng logistic equation na ginamit upang hadlangan ang isa sa mga termino.

Isang modelo ng proto-cooperation na may dalawang hadlang.

Niresolba namin ang bawat isa sa mga equation gamit ang mga tool ng Wolfram Alpha. Kaya, ang dependence ng function na x(t) ay nabawasan sa sumusunod na anyo:

(2.10)

Para sa pangalawang function ang sitwasyon ay magkatulad, kaya aalisin namin ang solusyon nito. Lumitaw ang mga numerong halaga dahil sa pagpapalit ng mga parameter na may ilang mga halaga na angkop para sa kanila, na hindi nakakaapekto sa husay na pag-uugali ng mga integral na kurba. Sa mga figure sa ibaba, ang paggamit ng mga paghihigpit sa paglago ay kapansin-pansin, dahil sa paglipas ng panahon ang exponential growth ay nagiging logarithmic.

Larawan 2.9. Three-dimensional na modelo para sa equation (2.10)

Pinalawak na Modelo ng Protocooperation

Halos katulad ng mga modelo para sa mutualism. Ang pagkakaiba lamang ay ang mas mabilis na paglago na may kaugnayan sa mga modelong iyon, tulad ng makikita mula sa mga equation na ipinakita sa ibaba (kung titingnan mo ang antas ng exponential) at mga graph. Ang integral curve ay dapat magkaroon ng anyo ng isang exponential.

(2.11)

(2.12)

Pinahabang modelo ng pakikipagtulungan ng protocol na may hadlang sa logistik

Ang ugnayan ng x(t) ay ganito:

Kung walang graph, mahirap suriin ang pag-uugali ng isang function, kaya gamit ang mga tool na alam na natin, gagawin natin ito.

Figure 2.10 Three-dimensional na modelo para sa Eq.

Ang halaga ng function ay bumababa para sa mga hindi maliit na halaga ng iba pang variable, na dahil sa kakulangan ng mga paghihigpit sa negatibong termino ng bilinear, at isang malinaw na resulta.

4 System dynamics ng mga nakikipag-ugnayang kumpanya

Protocooperation model na may Verhulst constraint.

Bumuo tayo ng system (2.2). Gamit ang mga tool na kilala na sa amin, bumuo kami ng modelo ng simulation. Sa pagkakataong ito, hindi tulad ng mga mutualistic na modelo, magkakaroon ng logistic constraint sa modelo.

Larawan 2.11. System dynamics model para sa system (2.2)

Patakbuhin natin ang modelo. Sa modelong ito, nararapat na tandaan ang katotohanan na ang paglago mula sa relasyon ay hindi limitado sa anumang bagay, at ang paglago ng mga produkto na walang impluwensya ng iba ay may isang tiyak na limitasyon. Kung titingnan mo ang expression ng logistic function mismo, mapapansin mo na sa kaso kapag ang variable (bilang ng mga kalakal) ay lumampas sa maximum na posibleng dami ng imbakan, ang termino ay nagiging negatibo. Sa kaso kung saan mayroon lamang isang logistic function, ito ay imposible, ngunit sa isang karagdagang palaging positibong kadahilanan ng paglago, ito ay posible. At ngayon mahalagang maunawaan na ang pag-andar ng logistik ay makayanan ang sitwasyon ng hindi masyadong mabilis na paglaki sa bilang ng mga produkto, halimbawa, mga linear. Bigyang-pansin natin ang mga larawan sa ibaba.

Larawan 2.12. Isang halimbawa ng modelo ng system dynamics para sa system (2.2)

Ang kaliwang pigura ay nagpapakita ng ika-5 hakbang ng programa na naaayon sa iminungkahing modelo. Ngunit sa sandaling ito ay nagkakahalaga ng pagbibigay pansin sa larawan sa kanan.

Una, ang isa sa mga input stream para sa Y_stock ay nagkaroon ng kaugnayan sa x, na ipinahayag sa mga tuntunin ng , inalis. Ginagawa ito upang ipakita ang pagkakaiba sa pagganap ng modelo na may linear, palaging positibong daloy, at paglago ng bilinear, na ipinakita para sa X_stock. Sa mga linear na walang limitasyong daloy, pagkatapos lumampas sa K parameter, ang sistema sa isang punto ay dumating sa equilibrium (sa modelong ito, ang estado ng balanse ay 200 libong mga yunit ng mga kalakal). Ngunit mas maaga, ang paglago ng bilinear ay humahantong sa isang matalim na pagtaas sa dami ng mga kalakal, na nagiging infinity. Kung iiwan natin ang parehong kanan at kaliwa na patuloy na positibong daloy bilang bilinear, pagkatapos ay nasa humigit-kumulang na ika-20-30 na hakbang, ang halaga ng nagtitipon ay dumating sa pagkakaiba ng dalawang infinity.

Batay sa itaas, maaari nating kumpiyansa na sabihin na sa kaso ng karagdagang paggamit ng mga naturang modelo, kinakailangan upang limitahan ang anumang positibong paglago.

Isang modelo ng proto-cooperation na may dalawang hadlang.

Ang pagkakaroon ng pagkilala sa mga pagkukulang ng nakaraang modelo at pagpapakilala ng isang limitasyon sa pangalawang termino sa pamamagitan ng saturation factor, bubuo kami at maglulunsad ng bagong modelo.

Larawan 2.13. System dynamics model at halimbawa ng operasyon nito para sa system (2.3)

Ang modelong ito sa huli ay nagdadala ng pinakahihintay na mga resulta. Posibleng limitahan ang paglaki ng mga halaga ng imbakan. Tulad ng makikita mula sa tamang figure para sa parehong mga negosyo, ang ekwilibriyo ay nakakamit sa isang bahagyang labis na dami ng imbakan.

Pinahabang modelo ng protocooperation.

Kapag isinasaalang-alang ang system dynamics ng modelong ito, ang mga kakayahan ng AnyLogic software environment para sa makulay na visualization ng mga modelo ay ipapakita. Ang lahat ng nakaraang modelo ay binuo gamit lamang ang mga elemento ng system dynamics. Samakatuwid, ang mga modelo mismo ay mukhang hindi mahalata; hindi nila pinapayagan ang pagsubaybay sa dinamika ng mga pagbabago sa dami ng mga produkto sa paglipas ng panahon at pagbabago ng mga parameter habang tumatakbo ang programa. Kapag nagtatrabaho sa ito at sa susunod na modelo, susubukan naming samantalahin ang mas malawak na hanay ng mga kakayahan ng programa upang baguhin ang tatlong disadvantages na binanggit sa itaas.

Una, sa programa, kasama ang seksyong "system dynamics", ang programa ay naglalaman din ng mga seksyon na "mga larawan" at "3D na mga bagay", na nagbibigay-daan sa iyo upang pag-iba-ibahin ang modelo, na kapaki-pakinabang para sa karagdagang pagtatanghal nito, dahil ito ang gumagawa ng modelo tumingin "mas kaaya-aya".

Pangalawa, upang subaybayan ang dinamika ng mga pagbabago sa mga halaga ng modelo, mayroong seksyong "mga istatistika" na nagbibigay-daan sa iyong magdagdag ng mga chart at iba't ibang tool sa pagkolekta ng data, na nag-uugnay sa mga ito sa modelo.

Pangatlo, para sa pagbabago ng mga parameter at iba pang mga bagay sa panahon ng pagpapatupad ng modelo, mayroong seksyong "mga kontrol". Binibigyang-daan ka ng mga bagay sa seksyong ito na baguhin ang mga parameter habang tumatakbo ang modelo (halimbawa, "slider"), pumili ng iba't ibang estado ng object (halimbawa, "switch") at magsagawa ng iba pang mga aksyon na nagbabago sa unang tinukoy na data sa panahon ng operasyon.

Ang modelo ay angkop para sa pang-edukasyon na kakilala sa dynamics ng mga pagbabago sa mga produkto ng enterprise, ngunit ang kakulangan ng mga paghihigpit sa paglago ay hindi pinapayagan ang paggamit nito sa pagsasanay.

Pinahabang modelo ng proto-cooperation na may logistic constraint.

Gamit ang naunang modelo, magdaragdag kami ng mga parameter mula sa logistic equation upang limitahan ang paglago.

Aalisin namin ang pagtatayo ng modelo, dahil ang lahat ng kinakailangang mga tool at prinsipyo ng pagtatrabaho sa kanila ay naipakita na sa nakaraang limang mga modelo na ipinakita sa trabaho. Nararapat lamang na tandaan na ang pag-uugali nito ay katulad ng modelo ng protocooperation na may hadlang na Verhulst. Yung. ang kakulangan ng saturation ay pumipigil sa praktikal na paggamit nito.

Matapos suriin ang mga modelo sa mga kondisyon ng proto-cooperation, tutukuyin namin ang ilang mga pangunahing punto:

Ang mga modelong tinalakay sa kabanatang ito ay nasa pagsasanay na mas angkop kaysa sa mga mutualistiko, dahil mayroon silang mga hindi-zero na stable na posisyon ng ekwilibriyo kahit na may dalawang termino. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na sa mga modelo ng mutualism ay nakamit namin ito sa pamamagitan lamang ng pagdaragdag ng ikatlong termino.

Ang mga angkop na modelo ay dapat may mga paghihigpit sa bawat isa sa mga tuntunin, dahil kung hindi, ang isang matalim na pagtaas sa mga bilinear na kadahilanan ay "sinisira" ang buong modelo ng simulation.

Batay sa punto 2, kapag nagdaragdag ng saturation factor sa pinahabang modelo ng proto-cooperation na may limitasyon ng Verhulst, pati na rin ang pagdaragdag ng mas mababang kritikal na halaga ng produksyon, ang modelo ay dapat maging mas malapit hangga't maaari sa totoong estado ng mga pangyayari. Ngunit hindi natin dapat kalimutan na ang gayong mga pagmamanipula ng sistema ay magpapalubha sa pagsusuri nito.

Konklusyon

Bilang resulta ng pag-aaral, isang pagsusuri ang isinagawa sa anim na sistema na naglalarawan sa dynamics ng produksyon ng mga negosyo na kapwa nakakaimpluwensya sa isa't isa. Bilang resulta, ang mga punto ng equilibrium at ang mga uri ng kanilang katatagan ay natukoy sa isa sa mga sumusunod na paraan: analytically, o salamat sa mga itinayong phase portrait sa mga kaso kung saan ang isang analytical na solusyon sa ilang kadahilanan ay hindi posible. Para sa bawat isa sa mga system, ang mga diagram ng phase ay itinayo, pati na rin ang mga three-dimensional na mga modelo, kung saan, kapag inaasahan, posible na makakuha ng mga integral na kurba sa mga eroplano (x,t), (y,t). Pagkatapos, gamit ang AnyLogic modeling environment, ang lahat ng mga modelo ay binuo at ang mga opsyon para sa kanilang pag-uugali sa ilalim ng ilang mga parameter ay isinasaalang-alang.

Pagkatapos pag-aralan ang mga system at pagbuo ng kanilang mga modelo ng simulation, nagiging malinaw na ang mga modelong ito ay maaari lamang ituring bilang mga modelo ng pagsasanay, o para sa paglalarawan ng mga macroscopic system, ngunit hindi bilang isang sistema ng suporta sa desisyon para sa mga indibidwal na kumpanya, dahil sa kanilang mababang katumpakan at Sa ilang mga lugar. walang ganap na maaasahang representasyon ng mga prosesong nagaganap. Ngunit hindi rin natin dapat kalimutan na gaano man katama ang dinamikong sistema na naglalarawan sa modelo, ang bawat kumpanya/organisasyon/industriya ay may kanya-kanyang proseso at limitasyon, kaya hindi posibleng gumawa at maglarawan ng pangkalahatang modelo. Sa bawat partikular na kaso, ito ay mababago: maging mas kumplikado o, sa kabaligtaran, pinasimple para sa karagdagang trabaho.

Kapag gumuhit ng isang konklusyon mula sa mga konklusyon para sa bawat kabanata, ito ay nagkakahalaga ng pagtuon sa natukoy na katotohanan na ang pagpapakilala ng mga paghihigpit sa bawat isa sa mga tuntunin ng equation, kahit na ito ay kumplikado sa sistema, ngunit ginagawang posible upang makita ang mga matatag na posisyon ng sistema, pati na rin ilapit ito sa kung ano ang nangyayari sa katotohanan. At nararapat na tandaan na ang mga modelo ng protocooperation ay mas angkop para sa pag-aaral, dahil mayroon silang mga non-zero stable na posisyon, sa kaibahan sa dalawang mutualistic na modelo na aming isinasaalang-alang.

Kaya, ang layunin ng pag-aaral na ito ay nakamit at ang mga layunin ay natapos. Sa hinaharap, bilang isang pagpapatuloy ng gawaing ito, ang isang pinalawak na modelo ng pakikipag-ugnayan ng uri ng pakikipagtulungan ng protocol na may tatlong mga paghihigpit na ipinataw dito ay isasaalang-alang: logistic, saturation factor, mas mababang kritikal na numero, na dapat magbigay-daan sa amin na lumikha ng higit pa. tumpak na modelo para sa sistema ng suporta sa desisyon, pati na rin ang isang modelo na may tatlong kumpanya. Bilang isang extension ng trabaho, maaari naming isaalang-alang ang dalawang iba pang mga uri ng pakikipag-ugnayan bilang karagdagan sa symbiosis, na binanggit sa trabaho.

Panitikan

1. Bhatia Nam Parshad; Szegx Giorgio P. (2002). Teorya ng katatagan ng mga dynamical system. Springer.

2. Blanchard P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. (2006). Mga Differential Equation. London: Thompson. pp. 96-111.

Boeing, G. (2016). Visual na Pagsusuri ng Nonlinear Dynamical System: Chaos, Fractals, Self-Similarity at ang mga Limitasyon ng Prediction. Mga sistema. 4 (4): 37.

4. Campbell, David K. (2004). Nonlinear physics: Fresh breather. Kalikasan. 432 (7016): 455-456.

Elton C.S. (1968) muling ilimbag. Ekolohiya ng hayop. Great Britain: William Clowes and Sons Ltd.

7. Forrester Jay W. (1961). Industrial Dynamics. MIT Press.

8. Gandolfo, Giancarlo (1996). Economic Dynamics (Third ed.). Berlin: Springer. pp. 407-428.

9. Gershenfeld Neil A. (1999). Ang Kalikasan ng Mathematical Modeling. Cambridge, UK: Cambridge University Press.

10. Goodman M. (1989). Mga Tala sa Pag-aaral sa System Dynamics. Pegasus.

Grebogi C, Ott E, at Yorke J (1987). Chaos, Strange Attractors, at Fractal Basin Boundaries sa Nonlinear Dynamics. Science 238 (4827), pp 632-638.

12. Hairer Ernst; Nørsett Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equation I: Nonstiff problems, Berlin, New York

Hanski I. (1999) Metapopulation Ecology. Oxford University Press, Oxford, pp. 43-46.

Hughes-Hallett Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Calculus: Single at Multivariable (6 ed.). John Wiley.

15. Llibre J., Valls C. (2007). Global analytic unang integral para sa tunay na planar Lotka-Volterra system, J. Math. Phys.

16. Jordan D.W.; Smith P. (2007). Non-Linear Ordinary Differential Equation: Introduction for Scientists and Engineers (4th ed.). Oxford university press.

Khalil Hassan K. (2001). Mga Sistemang Nonlinear. Prentice Hall.

Lamar University, Online Math Notes - Phase Plane, P. Dawkins.

Lamar University, Online Math Notes - Systems of Differential Equation, P. Dawkins.

Lang Serge (1972). Differential manifold. Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.

Batas Averill M. (2006). Pagmomodelo at Pagsusuri ng Simulation gamit ang Expertfit Software. Agham ng McGraw-Hill.

Lazard D. (2009). Tatlumpung taon ng Polynomial System Solving, at ngayon? Journal ng Symbolic Computation. 44 (3): 222-231.

24. Lewis Mark D. (2000). Ang Pangako ng Dynamic na Sistema ay Dumulog para sa Pinagsanib na Account ng Human Development. Pag-unlad ng Bata. 71 (1): 36-43.

25. Malthus T.R. (1798). Isang Essay on the Principle of Population, sa Oxford World's Classics reprint p 61, dulo ng Kabanata VII

26. Morecroft John (2007). Strategic Modeling at Business Dynamics: Isang Feedback Systems Approach. John Wiley at Mga Anak.

27. Nolte D.D. (2015), Introduction to Modern Dynamics: Chaos, Networks, Space and Time, Oxford University Press.

Ipadala ang iyong mabuting gawa sa base ng kaalaman ay simple. Gamitin ang form sa ibaba

Ang mga mag-aaral, nagtapos na mga estudyante, mga batang siyentipiko na gumagamit ng base ng kaalaman sa kanilang pag-aaral at trabaho ay lubos na magpapasalamat sa iyo.

Na-post sa http://www.allbest.ru/

Mag-ehersisyo

kontrolin ang awtomatikong dalas ng nyquist

Suriin ang mga dynamic na katangian ng awtomatikong control system na tinukoy ng block diagram na ipinakita sa Figure 1, kabilang ang mga sumusunod na yugto:

Pagpili at pagbibigay-katwiran ng mga pamamaraan ng pananaliksik, pagbuo ng isang modelo ng matematika ng mga awtomatikong sistema ng kontrol;

Bahagi ng pagkalkula, kabilang ang pagmomodelo ng matematika ng mga awtomatikong control system sa isang computer;

Stability analysis ng mathematical model ng control object at awtomatikong control system;

Pag-aaral ng katatagan ng mathematical model ng control object at automatic control system.

Block diagram ng ACS na pinag-aaralan, kung saan, ang paglipat ng mga function ng control object (OU), actuator (AM), sensor (D) at correction device (CU)

Ang mga halaga ng mga coefficient K1, K2, K3, K4, T1, T2, T3 at T4 ay ibinibigay sa talahanayan 1.

Pagpipilian para sa takdang aralin

	Mga pagpipilian

Panimula

Ang disenyo ng automation ay isa sa mga pinaka kumplikado at mahalagang mga lugar sa engineering, samakatuwid ang kaalaman sa mga pangunahing kaalaman ng automation, isang ideya ng antas ng automation sa iba't ibang mga teknolohikal na proseso, ang mga tool sa automation na ginamit at ang mga pangunahing kaalaman sa disenyo ay mga kinakailangang kondisyon para sa matagumpay na gawain ng mga inhinyero at technologist. Ang normal na operasyon ng anumang teknolohikal na proseso ay nailalarawan sa pamamagitan ng ilang mga halaga ng parameter, at ang pang-ekonomiya at ligtas na operasyon ng kagamitan ay sinisiguro sa pamamagitan ng pagpapanatili ng mga parameter ng pagpapatakbo sa loob ng mga kinakailangang limitasyon. Para sa mga layunin ng normal na operasyon ng kagamitan, pati na rin ang pagpapatupad ng kinakailangang teknolohikal na proseso sa anumang mga thermal installation, kinakailangang isama ang mga paraan ng automation sa mga pagpapaunlad ng disenyo. Sa kasalukuyan, ang mga awtomatikong sistema ng kontrol ay lalong ginagamit sa lahat ng sektor ng pambansang ekonomiya, kabilang ang agrikultura. Hindi ito nakakagulat, dahil ang automation ng mga teknolohikal na proseso ay nailalarawan sa pamamagitan ng bahagyang o kumpletong pagpapalit ng operator ng tao na may espesyal na teknikal na paraan ng pagsubaybay at kontrol. Tinitiyak ng mekanisasyon, electrification at automation ng mga teknolohikal na proseso ang pagbawas sa bahagi ng mabigat at hindi sanay na pisikal na paggawa sa agrikultura, na humahantong sa pagtaas ng produktibidad nito.

Kaya, ang pangangailangan na i-automate ang mga teknolohikal na proseso ay halata at mayroong pangangailangan na matutunan kung paano kalkulahin ang mga parameter ng mga awtomatikong control system (ACS) para sa kasunod na aplikasyon ng kanilang kaalaman sa pagsasanay.

Kasama sa gawaing kurso ang pagsusuri ng mga dynamic na katangian ng isang ibinigay na structural diagram ng isang awtomatikong control system na may compilation at pagsusuri ng mga mathematical na modelo ng mga control object.

1 . Pagsusuri ng katatagan ng ACS gamit ang Nyquist criterion

Upang hatulan ang katatagan ng isang awtomatikong sistema ng kontrol, hindi na kailangang matukoy ang eksaktong mga halaga ng mga ugat ng equation na katangian nito. Samakatuwid, ang isang kumpletong solusyon ng katangian na equation ng system ay malinaw na hindi kailangan at maaari nating limitahan ang ating sarili sa paggamit ng isa o isa pang hindi direktang pamantayan ng katatagan. Sa partikular, hindi mahirap ipakita na para sa katatagan ng isang sistema ay kinakailangan (ngunit hindi sapat) na ang lahat ng mga coefficient ng katangiang equation nito ay may parehong tanda o sapat na ang mga tunay na bahagi ng lahat ng mga ugat ng katangian na equation. ay negatibo. Kung ang mga tunay na bahagi ng lahat ng mga ugat ng equation ng katangian ay hindi negatibo, kung gayon upang matukoy ang katatagan ng ACS na ito, kinakailangan na pag-aralan gamit ang iba pang pamantayan, dahil kung ang paglipat ng function ayon sa pamantayan sa itaas ay kabilang sa isang hindi matatag na bloke kung saan ang Ang denominator ay may mga ugat na may positibong tunay na bahagi, kung gayon Kung ang ilang mga kundisyon ay natutugunan, ang saradong sistema ay maaaring maging matatag din sa kasong ito.

Ang pinaka-maginhawa para sa pag-aaral ng katatagan ng maraming mga sistema ng kontrol sa proseso ay ang Nyquist stability criterion, na nabuo bilang mga sumusunod.

Ang isang system na stable sa open state ay mananatiling stable kahit na ito ay isara ng negatibong feedback, kung ang CFC hodograph sa open state na W(jш) ay hindi sumasaklaw sa isang punto na may mga coordinate (-1; j0) sa complex plane .

Sa pormulasyon sa itaas ng pamantayan ng Nyquist, itinuturing na ang CFC hodograph W(jш) ay "hindi sumasaklaw" sa punto (-1; j0) kung ang kabuuang anggulo ng pag-ikot ng vector na iginuhit mula sa tinukoy na punto hanggang sa hodograph Ang W(jш) ay katumbas ng zero kapag ang dalas ay nagbabago mula у=0 hanggang sh > ?.

Kung ang hodograph ng frequency response W(jш) sa isang tiyak na frequency, na tinatawag na critical frequency schk, ay dumadaan sa punto (-1; j0), kung gayon ang lumilipas na proseso sa isang closed system ay kumakatawan sa mga undamped oscillations na may frequency schk, i.e. Nahanap ng system ang sarili nito sa hangganan ng katatagan na ipinahayag tulad ng sumusunod:

Narito ang W(p) ay ang transfer function ng open-loop na awtomatikong control system. Ipagpalagay natin na ang open-loop system ay stable. Pagkatapos, para sa katatagan ng closed-loop automatic control system, kinakailangan at sapat na ang hodograph ng amplitude-phase na katangian W(jw) ng open-loop system (ang katangiang ito ay nakuha mula sa W(p) sa pamamagitan ng pagpapalit p=jw) ay hindi sumasaklaw sa punto ng mga coordinate (-1, j0). Ang dalas kung saan |W(jw)| = 1, ay tinatawag na cutoff frequency (w cf).

Upang masuri kung gaano kalayo ang system mula sa hangganan ng katatagan, ipinakilala ang konsepto ng mga margin ng katatagan. Ang stability margin sa amplitude (modulus) ay nagpapahiwatig kung gaano karaming beses kailangang baguhin ang haba ng radius vector ng AFC hodograph upang dalhin ang system sa hangganan ng katatagan nang hindi binabago ang phase shift. Para sa ganap na matatag na mga sistema, ang stability margin modulo DK ay kinakalkula gamit ang formula:

kung saan ang frequency w 0 ay tinutukoy mula sa kaugnayan arg W(jw 0) = - 180 0.

Ang margin ng katatagan para sa amplitude DK ay kinakalkula din gamit ang formula:

DK = 1 - K 180;

kung saan ang K 180 ay ang halaga ng transmission coefficient sa isang phase shift na -180°.

Sa turn, ang phase stability margin ay nagsasaad kung magkano ang kinakailangan upang taasan ang absolute value ng AFC argument upang dalhin ang system sa limitasyon ng stability nang hindi binabago ang modulus value.

Ang phase stability margin Dj ay kinakalkula ng formula:

Dj = 180° - j K=1 ;

kung saan ang j K=1 ay ang halaga ng phase shift sa transmission coefficient K = 1;

Tinutukoy ng value na Dj = 180 0 + arg W (j; w av) ang phase stability margin. Mula sa Nyquist criterion, sumusunod na ang isang ACS na stable sa open state ay magiging stable sa closed state kung ang phase shift sa cutoff frequency ay hindi umabot sa -180°. Ang katuparan ng kundisyong ito ay maaaring ma-verify sa pamamagitan ng pagbuo ng mga katangian ng logarithmic frequency ng isang open-loop na awtomatikong control system.

2. Pag-aaral ng katatagan ng ACS gamit ang Nyquist criterion

Pag-aaral ng katatagan ayon sa pamantayan ng Nyquist sa pamamagitan ng pagsusuri sa AFC na may bukas na ACS. Upang gawin ito, sinira namin ang system tulad ng ipinapakita sa block diagram ng ACS na pinag-aaralan:

Block diagram ng self-propelled gun na pinag-aaralan

Nasa ibaba ang mga transfer function ng control object (OU), actuator (AM), sensor (D) at correction device (CU):

Ang mga halaga ng koepisyent para sa pagtatalaga ay ang mga sumusunod:

K1 =1.0; K2 = 0.2; K3 = 2; K4 = 1.0; T1 = 0.4; T2 = 0.2; T3 = 0.07; T4 = 0.4.

Kalkulahin natin ang function ng paglipat pagkatapos masira ang system:

W(p) = W ku (p) Ch W im (p) ChW ou (p) ChW d (p);

W(p) = H H H

Ang pagpapalit ng ibinigay na mga coefficient sa function na nakukuha natin:

Sinusuri ang function na ito sa mathematical modeling program ("MATLAV"), nakuha namin ang hodograph ng amplitude-phase-frequency response (APFC) ng open-loop ACS sa kumplikadong eroplano, na ipinapakita sa figure.

Hodograph ng phase-frequency na tugon ng isang open-loop na awtomatikong control system sa isang kumplikadong eroplano.

Pag-aaral ng katatagan ng mga self-propelled na baril batay sa AFFC

Kinakalkula namin ang transmission coefficient para sa isang phase shift na -180°, K 180 = 0.0395.

Stability margin para sa amplitude DK ayon sa formula:

DK = 1 - K 180 = 1 - 0.0395 = 0.9605; kung saan K 180 = 0.0395.

Tukuyin natin ang phase margin Dj:

Ang phase stability margin Dj ay tinutukoy ng formula: Dj = 180° - j K=1 ; kung saan ang j K=1 ay ang halaga ng phase shift sa transmission coefficient K = 1. Ngunit dahil ang j K=1 ay hindi sinusunod sa aming kaso (ang amplitude ay palaging mas mababa kaysa sa pagkakaisa), kung gayon ang sistemang pinag-aaralan ay matatag sa anumang halaga ng phase shift (ang ACS ay stable sa buong frequency range).

Pag-aaral ng katatagan ng mga self-propelled na baril gamit ang logarithmic na katangian

Logarithmic amplitude-frequency na tugon ng isang open-loop na awtomatikong control system

Logarithmic phase-frequency na katangian ng isang open-loop na awtomatikong control system

Gamit ang mathematical modeling program ("MATLAB"), nakukuha natin ang logarithmic na katangian ng pinag-aralan na ACS, na ipinakita sa Figure 4 (logarithmic amplitude-frequency na katangian) at Figure 5 (logarithmic phase-frequency na katangian), kung saan;

L(w) = 20lg|W (j; w) |).

Ang logarithmic criterion para sa katatagan ng isang ACS ay isang expression ng Nyquist criterion sa logarithmic form.

Upang mahanap ang halaga ng phase shift na 180° (Figure 5), gumuhit ng pahalang na linya patungo sa intersection kasama ang LFCH, mula sa intersection point na ito gumuhit ng patayong linya patungo sa intersection na may LFCH (Figure 4). Nakukuha namin ang halaga ng transmission coefficient para sa isang phase shift na 180°:

20lgК 180° = - 28.05862;

sa kasong ito K 180 ° = 0.0395 (DK" = 28.05862).

Ang margin ng katatagan ng amplitude ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpapahaba ng patayong linya sa halagang 20lgК 180° = 0.

Upang mahanap ang phase stability margin, isang pahalang na linya ang ipinapasa sa kahabaan ng linyang 20lgК 180 ° = 0 hanggang sa intersection kasama ang LFC at isang patayong linya ang ipinapasa mula sa puntong ito patungo sa intersection kasama ang LFC. Sa kasong ito, ang pagkakaiba sa pagitan ng nahanap na halaga ng phase shift at isang phase shift na katumbas ng 180° ay ang phase stability margin.

Dj = 180° - j K;

Dj = 180° - 0 = 180°.

kung saan: j K - natagpuan ang halaga ng phase shift;

Dahil ang LFCH ng self-propelled gun sa ilalim ng pag-aaral ay nasa ibaba ng linyang 20logK 180° = 0, samakatuwid ang self-propelled gun ay magkakaroon ng phase stability margin para sa anumang halaga ng phase shift mula zero hanggang 180°.

Konklusyon: nasuri ang LFC at LFFC, sumusunod na ang ACS sa ilalim ng pag-aaral ay matatag sa buong saklaw ng dalas.

Konklusyon

Sa gawaing ito ng kurso, isang sistema ng pagsubaybay sa instrumento ang na-synthesize at pinag-aralan gamit ang mga makabagong pamamaraan at mga tool ng control theory. Sa computational at graphical na gawaing ito, nakita namin ang transfer function ng isang closed-loop na awtomatikong control system gamit ang isang ibinigay na structural diagram at mga kilalang expression para sa mga function ng paglilipat ng mga dynamic na link.

Bibliograpiya

1. I.F. Borodin, Yu.A. Sudnik. Automation ng mga teknolohikal na proseso. Textbook para sa mga unibersidad. Moscow. "Spike", 2004.

2. V.S. Gutnikov. Pinagsamang electronics sa mga aparatong pagsukat. "Energoatomizdat". sangay ng Leningrad, 1988.

3. N.N. Ivashchenko. Awtomatikong regulasyon. Teorya at mga elemento ng mga sistema. Moscow. "Mechanical Engineering", 1978.

Nai-post sa Allbest.ru

...

Mga katulad na dokumento

Pagpapasiya ng mga function ng paglilipat at lumilipas na mga katangian ng mga link ng awtomatikong control system. Konstruksyon ng mga katangian ng amplitude-phase. Pagtatasa ng katatagan ng system. Pagpili ng isang aparato sa pagwawasto. Mga tagapagpahiwatig ng kalidad ng regulasyon.

course work, idinagdag 02/21/2016


Pag-aaral ng sistema ng kontrol ng bilis ng engine na may at walang circuit ng pagwawasto. Pagtatasa ng katatagan ng system gamit ang pamantayan ng Hurwitz, Mikhailov at Nyquist. Konstruksyon ng logarithmic amplitude-frequency at phase-frequency na mga katangian.

course work, idinagdag 03/22/2015


Pagbuo ng isang schematic diagram ng isang electrical principal mathematical model ng isang awtomatikong control system, na itinatama ng mga corrective device. Ang pagtatantya ng katatagan ng orihinal na sistema sa pamamagitan ng pamamaraang Routh-Hurwitz. Synthesis ng gustong frequency response.

course work, idinagdag noong 03/24/2013


Mga katangian ng control object (boiler drum), ang disenyo at pagpapatakbo ng awtomatikong control system, ang functional diagram nito. Pagsusuri ng katatagan ng system gamit ang pamantayan ng Hurwitz at Nyquist. Pagtatasa ng kalidad ng pamamahala batay sa mga function ng paglipat.

course work, idinagdag noong 09/13/2010


Ang layunin ng awtomatikong control system para sa cross-feed sa panahon ng plunge-cut grinding. Pagbuo ng isang functional diagram. Pagkalkula ng mga function ng paglipat ng converter, de-koryenteng motor, gearbox. Pagpapasiya ng katatagan gamit ang Nyquist criterion.

course work, idinagdag noong 08/12/2014


Pamamaraan para sa pagtukoy ng katatagan ng isang sistema gamit ang algebraic (Rouse at Hurwitz na pamantayan) at pamantayan ng katatagan ng dalas (Mikhailov at Nyquist na pamantayan), tinatasa ang katumpakan ng kanilang mga resulta. Mga tampok ng pag-compile ng isang transfer function para sa isang closed system.

gawaing laboratoryo, idinagdag noong 12/15/2010


Ang pagtatayo ng isang elementarya na circuit at pag-aaral ng prinsipyo ng pagpapatakbo ng awtomatikong sistema ng kontrol, ang kahalagahan nito sa pagpapatupad ng paraan ng pagsasaayos ng sistema ng AIDS. Ang mga pangunahing elemento ng system at ang kanilang relasyon. Pagsusuri ng katatagan ng circuit at ang pinakamainam na frequency nito.

pagsubok, idinagdag noong 09/12/2009


Pagpapasiya ng paglipat ng function ng isang open-loop system, ang karaniwang anyo ng pag-record nito at ang antas ng astatism. Pag-aaral ng amplitude-phase, tunay at haka-haka na mga katangian ng dalas. Konstruksyon ng AFFC hodograph. Algebraic na pamantayan ng Routh at Hurwitz.

course work, idinagdag noong 05/09/2011


Pagpapakilala ng mga bagong function na nakakaapekto sa pagpapatakbo ng isang pump circulation station sa isang planta ng paggawa ng bakal. Pag-install ng control at pagsukat na kagamitan. Pamantayan sa katatagan ng Mikhailov at pamantayan ng amplitude-phase Nyquist. Modernisasyon ng sistema.

thesis, idinagdag noong 01/19/2017


Functional diagram ng system para sa awtomatikong kontrol ng supply ng temperatura ng hangin sa isang pasilidad ng imbakan ng patatas. Kahulugan ng batas sa regulasyon ng system. Pagsusuri ng katatagan gamit ang pamantayan ng Hurwitz at Nyquist. Kalidad ng pamamahala para sa mga transitional function.

Panimula 4

Isang priori analysis ng mga dynamic na system 5

Pagpasa ng random na signal sa pamamagitan ng linear system 5

Ebolusyon ng phase vector ng system 7

Ebolusyon ng covariance matrix ng phase vector ng system 8

Statistical linearization 8

Unang paraan 9

Pangalawang paraan 10

Pagkalkula ng mga linearization coefficient 10

Kalabuan sa mga nonlinear na link 14

Nonlinear na link na sakop ng feedback 15

Pagmomodelo ng mga random na proseso 16

Pagbubuo ng filter 16

White Noise Simulation 17

Pagtatantya ng mga katangian ng istatistika ng mga dynamic na sistema gamit ang pamamaraan ng Monte Carlo 18

Katumpakan ng pagtatantya 18

Hindi matatag na dinamikong mga sistema 20

Mga nakatigil na dynamic na sistema 21

Isang posterior analysis ng mga dinamikong sistema 22

Kalman filter 22

Pattern ng paggalaw 22

Modelo ng pagsukat 23

Pagwawasto 23

Pagtataya 23

Pagtataya 23

Paggamit ng Kalman filtering sa mga nonlinear na problema 25

Paraan ng least squares 27

Pagbuo ng mga pagtatantya 27

Pagtataya 29

Paggamit ng least squares method sa mga nonlinear na problema 29

Konstruksyon ng Cauchy matrix 30

Simulation ng Dimensyon 30

Numerical na pamamaraan 31

Mga espesyal na tungkulin 31

Pagmomodelo ng mga random na variable 31

Uniformly distributed random variables 31

Gaussian random variable 32

Mga random na vector 33

integral ng probabilidad 34

Mga polynomial ng Chebyshev 36

Pagsasama-sama ng mga ordinaryong differential equation 36

Mga pamamaraan ng Runge-Kutta 36

Katumpakan ng mga resulta ng pagsasama-sama ng numero 37

Nested Dorman-Prince method 5(4) order 37

Mga pamamaraan ng maraming hakbang 39

Mga Paraan ng Adams 39

Pagsasama ng mga equation sa lagging argument 40

Paghahambing ng mga katangian ng computational ng mga pamamaraan 40

Problema sa Arenstorff 40

Elliptic Jacobi function 41

Dalawang problema sa katawan 41

Van der Pol equation 42

Brusselsator 42

Ang equation ni Lagrange para sa isang nakasabit na string 42

"Pleiades" 42

Pagbuo ng isang tala ng paliwanag 43

Pahina ng pamagat 43

Seksyon "Panimula" 44

Seksyon "Teorya" 44

Seksyon "Algorithm" 44

Seksyon "Programa" 45

Seksyon "Mga Resulta" 45

Seksyon "Mga Konklusyon" 45

Seksyon "Listahan ng mga mapagkukunang ginamit" 45

Mga aplikasyon 45

Panitikan 47

Panimula

Ang aklat-aralin na ito ay naglalaman ng mga metodolohikal na tagubilin para sa pagkumpleto ng mga takdang-aralin sa proyekto ng kurso at para sa pagsasagawa ng mga praktikal na klase sa kursong "Mga Pundamental ng Statistical Dynamics".

Ang layunin ng disenyo ng kurso at mga praktikal na klase ay para sa mga mag-aaral na makabisado ang teknolohiya ng isang priori at isang posterior analysis ng mga nonlinear dynamic na sistema sa ilalim ng impluwensya ng mga random na kaguluhan.

Isang priori analysis ng mga dynamic na system

Statistical linearization

Nagbibigay-daan sa iyo ang statistic linearization na ibahin ang anyo ng orihinal na nonlinear dynamic na system upang para sa pagsusuri nito ay maaari kang gumamit ng mga pamamaraan, algorithm, at mga relasyon na wasto para sa mga linear system.

Ang seksyong ito ay nakatuon sa pagtatanghal ng paraan ng statistical linearization, batay sa pinakasimpleng tinatayang diskarte na iminungkahi ng prof. I.E. Kazakov, na gayunpaman ay nagbibigay-daan sa isa na bumuo ng mga pagtatantya ng katumpakan ng isang sistema na naglalaman ng kahit na makabuluhang nonlinearities na may mga hindi tuluy-tuloy na katangian.

Ang statistic linearization ay binubuo ng pagpapalit ng orihinal na inertia-free nonlinear dependence sa pagitan ng input at output na mga proseso na may tinatayang dependence, linear na may kinalaman sa nakasentro na input random na proseso, na katumbas sa statistical sense na may kinalaman sa orihinal:

Ang isang link na may ganoong tinatayang kaugnayan sa pagitan ng input at output signal ay tinatawag na katumbas ng nonlinear na link na isinasaalang-alang.

Ang halaga ay pinili batay sa kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng mga inaasahan sa matematika ng mga nonlinear at linearized na signal at tinatawag na statistical average na katangian ng katumbas na link:

,

kung saan ang density ng pamamahagi ng input signal.

Para sa mga nonlinear na link na may kakaibang katangian, i.e. sa , ito ay maginhawa upang ipakita ang istatistikal na katangian sa anyo:

– mathematical na inaasahan ng input signal;
– statistical gain ng katumbas na link para sa average na bahagi.

yun. ang katumbas na pag-asa sa kasong ito ay nasa anyo:

Ang katangian ay tinatawag na statistical gain ng katumbas na link para sa random na bahagi (pagbabago-bago) at tinutukoy sa dalawang paraan.

Unang paraan

Alinsunod sa unang paraan ng statistical linearization, ang koepisyent ay pinili batay sa kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng mga pagkakaiba-iba ng orihinal at katumbas na mga signal. yun. Para sa pagkalkula, nakukuha namin ang sumusunod na kaugnayan:

,

kung saan ang pagkakaiba ng input random effect.

Ang sign sa expression na para ay tinutukoy ng likas na katangian ng pagtitiwala sa paligid ng halaga ng argumento. Kung ito ay tumaas, kung gayon , at kung ito ay bumaba, kung gayon .

Pangalawang paraan

Ang halaga sa pangalawang paraan ay pinili mula sa kondisyon ng pagliit ng mean square error ng linearization:

Ang huling relasyon para sa pagkalkula ng koepisyent gamit ang pangalawang paraan ay:

.

Sa konklusyon, tandaan namin na wala sa dalawang pamamaraan ng linearization na tinalakay sa itaas ang nagsisiguro ng pagkakapantay-pantay ng mga function ng ugnayan ng mga output signal ng nonlinear at katumbas na mga link. Ipinapakita ng mga kalkulasyon na para sa function ng ugnayan ng isang nonlinear na signal, ang unang paraan ng pagpili ay nagbibigay ng mas mataas na pagtatantya, at ang pangalawang paraan ay nagbibigay ng mas mababang pagtatantya, i.e. Ang mga error sa pagtukoy ng function ng ugnayan ng isang nonlinear na output signal ay may iba't ibang mga palatandaan. Sinabi ni Prof. I.E. Inirerekomenda ni Kazakov, ang may-akda ng pamamaraang nakabalangkas dito, na piliin ang kalahati ng kabuuan ng mga coefficient na nakuha ng una at pangalawang pamamaraan bilang resultang linearization coefficient.

Paghuhubog ng filter

Karaniwan, ang mga parameter ay natutukoy sa pamamagitan ng equating ng mga coefficient ng numerator at denominator polynomial sa equation

sa parehong antas.

Matapos matukoy ang transfer function ng shaping filter, ang resultang random na proseso ng simulation scheme ay mukhang ipinapakita sa figure.

Halimbawa, ang spectral density ng prosesong imodelo ay may anyo:

,

matematikal na inaasahan, at para sa pagmomodelo ng puting ingay na may intensity ay ginagamit, samakatuwid, ang pagkakaroon ng unit spectral density.

Malinaw na ang numerator at denominator ng nais na transfer function ay dapat may mga order 1 at 2 (sa katunayan, bilang squared modulo, ang transfer function ay bumubuo ng quotient ng polynomials ng 2nd at 4th degrees)

yun. Ang paglipat ng function ng shaping filter sa pinaka-pangkalahatang anyo nito ay ang mga sumusunod:

,

at ang parisukat ng modulus nito:

Ipantay natin ang mga resultang ratios:

Alisin natin ang mga pagkakapantay-pantay mula sa mga bracket at sa kanang bahagi, sa gayon ay tinutumbasan ang mga coefficient sa zero na kapangyarihan:

,

kung saan ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay malinaw na sumusunod:

; ; ; .

yun. Ang block diagram ng pagbuo ng isang random na proseso na may ibinigay na mga istatistikal na katangian mula sa puting ingay na may isang yunit ng spectral density ay mukhang ipinapakita sa figure, na isinasaalang-alang ang mga kinakalkula na halaga ng mga parameter ng bumubuo ng filter.

White noise simulation

Upang magmodelo ng isang random na proseso na may ibinigay na istatistikal na katangian, ang puting ingay ay ginagamit bilang isang input na random na proseso sa shaping filter. Gayunpaman, ang tumpak na pagmomodelo ng puting ingay ay hindi magagawa dahil sa walang katapusang pagkakaiba-iba ng random na prosesong ito.

Para sa kadahilanang ito, ang isang random na proseso ng hakbang ay ginagamit bilang isang kapalit para sa puting ingay na nakakaapekto sa isang dynamic na sistema. Ang pagitan kung saan ang pagpapatupad ng isang random na proseso ay nagpapanatili ng halaga nito na hindi nagbabago (lapad ng hakbang, pagitan ng ugnayan) ay isang pare-parehong halaga. Ang mga halaga ng pagpapatupad mismo (mga taas ng hakbang) ay mga random na variable na ipinamamahagi ayon sa isang normal na batas na may zero na inaasahan sa matematika at limitadong pagkakaiba. Ang mga halaga ng mga parameter ng proseso - pagitan ng ugnayan at pagpapakalat - ay tinutukoy ng mga katangian ng dynamic na sistema na apektado ng puting ingay.

Ang ideya ng pamamaraan ay batay sa limitadong bandwidth ng anumang tunay na dinamikong sistema. Yung. ang nakuha ng isang tunay na dinamikong sistema ay bumababa habang ang dalas ng input signal ay tumataas, at, samakatuwid, mayroong isang dalas (mas mababa sa walang katapusan) kung saan ang nakuha ng system ay napakaliit na maaari itong itakda sa zero. At ito, sa turn, ay nangangahulugan na ang isang input signal na may pare-pareho, ngunit limitado sa dalas na ito, parang multo density, para sa naturang sistema ay katumbas ng puting ingay (na may pare-pareho at walang katapusang spectral density).

Ang mga parameter ng katumbas na random na proseso - pagitan ng ugnayan at pagkakaiba - ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

kung saan ang empirically tinutukoy na limitasyon ng bandwidth ng dynamic na sistema.

Katumpakan ng mga pagtatantya

Mga pagtatantya ng inaasahan

at pagkakaiba-iba

ng isang random na variable, na binuo batay sa pagproseso ng isang limitadong sample ng mga pagpapatupad nito, ay ang kanilang mga sarili random variable.

Malinaw, mas malaki ang sample na laki ng mga pagpapatupad, mas tumpak ang walang pinapanigan na pagtatantya, mas malapit ito sa tunay na halaga ng tinantyang parameter. Nasa ibaba ang mga tinatayang formula batay sa pagpapalagay ng kanilang normal na distribusyon. Ang isang simetriko na relatibong agwat ng kumpiyansa para sa pagtatantya na tumutugma sa probabilidad ng kumpiyansa ay tinutukoy ng halaga kung saan wasto ang kaugnayan:

,

saan
- tunay na halaga ng inaasahan sa matematika ng isang random na variable,
– standard deviation ng random variable,
– integral na posibilidad.

Batay sa relasyon sa itaas, ang halaga ay maaaring matukoy tulad ng sumusunod:

,

saan ang function na kabaligtaran sa probability integral.

Dahil hindi namin alam ang katangian ng pagpapakalat ng pagtatantya nang eksakto, gagamitin namin ang tinatayang halaga nito na kinakalkula gamit ang pagtatantya:

yun. Ang huling ugnayan sa pagitan ng katumpakan ng pagtatantya ng inaasahan sa matematika at ang laki ng sample na ginamit para sa pagtatantya ay ang mga sumusunod:

.

Nangangahulugan ito na ang halaga ng agwat ng kumpiyansa (na may pare-parehong halaga ng probabilidad ng kumpiyansa) na matatagpuan sa simetriko na may kinalaman sa , na ipinahayag bilang isang fraction ng pagtatantya ng standard deviation, ay inversely proportional sa square root ng sample size.

Ang agwat ng kumpiyansa para sa pagtatantya ng pagkakaiba ay tinutukoy sa katulad na paraan:

na may katumpakan ng , na, sa kawalan ng mas tumpak na impormasyon, ay maaaring humigit-kumulang matukoy mula sa relasyon:

yun. ang halaga ng agwat ng kumpiyansa (sa isang pare-parehong halaga ng probabilidad ng kumpiyansa), na matatagpuan sa simetriko na may kinalaman sa , na ipinahayag sa mga bahagi nito, ay inversely proportional sa square root ng halaga, kung saan ang sample size.

Ang mga mas tumpak na formula para sa pagbuo ng mga agwat ng kumpiyansa para sa mga pagtatantya ay maaaring makuha gamit ang tumpak na impormasyon tungkol sa batas ng pamamahagi ng isang random na variable.

Halimbawa, para sa isang Gaussian distribution law, ang random variable

sumusunod sa batas ng pamamahagi ng Mag-aaral na may antas ng kalayaan, at ang random na variable

ipinamahagi ayon sa batas din na may antas ng kalayaan.

Kalman filter

Modelo ng paggalaw

Tulad ng nalalaman, ang filter ng Kalman ay idinisenyo upang tantyahin ang vector ng estado ng isang linear dynamic na sistema, ang modelo ng ebolusyon na maaaring isulat bilang:

saan
– Cauchy matrix, na tumutukoy sa pagbabago sa state vector ng system sa sarili nitong paggalaw (nang walang kontrol at impluwensya ng ingay) paminsan-minsan;
– vector ng pagpilit ng mga di-random na impluwensya sa system (halimbawa, mga aksyon na kontrol) sa isang sandali sa oras;
– matrix ng impluwensya ng pagpilit ng mga impluwensya sa isang sandali sa oras sa vector ng estado ng system sa isang sandali sa oras;
– vector ng random na independiyenteng nakasentro na mga impluwensya sa system sa isang sandali sa oras;
– matrix ng impluwensya ng mga random na impluwensya sa sandali ng oras sa vector ng estado ng system sa sandali ng oras.

Modelo ng pagsukat

Isinasagawa ang pagtatantya batay sa pagpoproseso ng istatistika ng mga resulta ng pagsukat na linear na nauugnay sa vector ng estado at binaluktot ng isang additive na walang pinapanigan na error:

kung saan ay isang matrix na nagkokonekta sa mga vectors ng estado at mga sukat sa parehong punto sa oras.

Pagwawasto

Ang Kalman Filter ay batay sa mga relasyon sa pagwawasto na resulta ng pagliit ng bakas ng covariance matrix ng posterior distribution density ng isang linear (kasama ang vector ng pagsukat) na pagtatantya ng vector ng estado ng system:

Pagtataya

Pagdaragdag ng mga ugnayan sa pagwawasto sa mga relasyon sa pagtataya batay sa mga linear na katangian ng modelo ng ebolusyon ng system:

kung saan ang covariance matrix ng vector, nakuha namin ang mga formula para sa paulit-ulit na Bayesian algorithm para sa pagtantya ng system state vector at ang covariance matrix nito batay sa statistical processing ng mga resulta ng pagsukat.

Pagtatasa

Malinaw, upang maipatupad ang mga relasyon sa itaas, kinakailangan upang makagawa ng mga matrice , mula sa modelo ng ebolusyon, isang matrix mula sa modelo ng pagsukat, pati na rin ng mga covariance matrice para sa bawat sandali sa oras.

Bilang karagdagan, upang masimulan ang proseso ng pagkalkula, kinakailangan na kahit papaano ay matukoy ang isang posteriori, o isang priori, mga pagtatantya ng vector ng estado at ang covariance matrix nito. Ang terminong "a priori" o "a posteriori" sa kasong ito ay nangangahulugan lamang ng kalidad kung saan ang state vector at ang covariance matrix nito ay gagamitin sa computational algorithm, at walang sinasabi tungkol sa kung paano nakuha ang mga ito.

Kaya, ang pagpili ng ratio kung saan sisimulan ang mga kalkulasyon ay natutukoy ng mga punto ng oras kung saan itinalaga ang mga paunang kondisyon ng pag-filter at ang unang vector ng raw na pagsukat. Kung ang mga punto ng oras ay nag-tutugma, kung gayon ang mga relasyon sa pagwawasto ay dapat na unang mailapat, na nagpapahintulot sa mga paunang kondisyon na linawin; kung hindi, kung gayon ang mga paunang kondisyon ay dapat munang mahulaan sa oras ng pagbubuklod ng unang hilaw na vector ng pagsukat.

Ipaliwanag natin ang algorithm ng pag-filter ng Kalman gamit ang isang figure.

Ipinapakita ng figure ang ilang posibleng mga trajectory ng phase vector sa mga coordinate axes (sa motion channel):

- totoong tilapon ng ebolusyon ng phase vector;
– ang ebolusyon ng phase vector, hinulaang batay sa paggamit ng isang modelo ng paggalaw at isang priori na pagtatantya ng phase vector na nauugnay sa sandali sa oras;
– ebolusyon ng phase vector, hinulaang batay sa paggamit ng isang motion model at isang posterior (mas tumpak) na pagtatantya ng phase vector na nauugnay sa sandali sa oras

Sa coordinate axes , (sa channel ng pagsukat) sa mga sandali ng oras at ang mga resulta ng mga sukat at inilalarawan:

,

saan
– tunay na halaga ng vector ng pagsukat sa sandali ng oras;
– vector ng mga error sa pagsukat na natanto sa oras.

Upang bumuo ng isang pagwawasto sa isang priori phase vector ng system, ang pagkakaiba sa pagitan ng resulta ng pagsukat at ang halaga na susukatin ayon sa modelo ng pagsukat ng problema ay ginagamit kung ang phase vector ay aktwal na kumuha ng halaga . Bilang resulta ng paglalapat ng mga relasyon sa pagwawasto sa isang priori na pagtatantya, ang pagtatantya ng phase vector ng system ay magiging mas tumpak at kukuha sa halaga , na gagawing posible upang mas tumpak (kahit na sa paligid ng oras ) hulaan ang pag-uugali ng phase vector ng dynamic na sistema na pinag-aaralan gamit ang problem motion model.

Sa sandali ng oras, ang resulta ng pagtataya ay ginagamit bilang isang priori na pagtatantya sa trajectory na dumadaan sa phase vector, ang pagkakaiba sa pagsukat ay muling itinayo mula sa kung saan ang a posterior, kahit na mas tumpak na halaga ay kinakalkula, atbp. hangga't may mga sukat na vectors na ipoproseso o may pangangailangan na mahulaan ang pag-uugali ng phase vector.

Pinakamababang parisukat na pamamaraan

Ang seksyon na ito ay nagpapakita ng hindi bababa sa mga parisukat na pamamaraan na inangkop para sa isang posterior analysis ng mga dynamic na system.

Konstruksyon ng mga pagtatantya

Para sa kaso ng isang linear na modelo ng pantay na katumpakan na mga sukat:

mayroon kaming sumusunod na algorithm para sa pagtatantya ng phase vector:

.

Para sa kaso ng hindi pantay na mga sukat, ang matrix na naglalaman ng mga koepisyent ng timbang sa dayagonal ay ipinakilala sa pagsasaalang-alang. Isinasaalang-alang ang mga weighting coefficient, ang nakaraang relasyon ay kukuha ng anyo:

.

Kung gagamitin natin bilang isang weighting matrix ang kabaligtaran ng covariance matrix ng mga error sa pagsukat, pagkatapos ay isinasaalang-alang ang katotohanan na nakuha natin:

.

Tulad ng mga sumusunod mula sa mga relasyon sa itaas, ang batayan ng pamamaraan ay isang matrix na nagkokonekta sa tinantyang phase vector, tinutukoy sa isang tiyak na punto sa oras, at ang vector ng pagsukat. Ang isang vector, bilang panuntunan, ay may istraktura ng bloke, kung saan ang bawat isa sa mga bloke ay itinalaga sa isang tiyak na punto sa oras, na sa pangkalahatan ay hindi nag-tutugma sa .

Ipinapakita ng figure ang ilang posibleng mga kamag-anak na posisyon ng mga sandali sa oras kung saan itinalaga ang mga sukat at ang sandali sa oras kung saan itinalaga ang vector ng mga tinantyang parameter.

Para sa bawat vector ang sumusunod na kaugnayan ay wasto:

, sa .

Kaya, sa resultang hindi bababa sa mga parisukat na relasyon, ang vector at matrix ay may sumusunod na istraktura:

; .

saan
– tinutukoy ang di-random na pagpilit na epekto sa system;
– tinutukoy ang random na epekto sa system.

ang mga ugnayan ng hula na nakatagpo sa itaas sa paglalarawan ng algorithm ng pag-filter ng Kalman ay maaaring gamitin:

nasaan ang covariance matrix ng vector.

Konstruksyon ng Cauchy matrix

Sa mga problema sa pagtatayo ng mga pagtatantya gamit ang mga pamamaraan ng pagpoproseso ng istatistika ng mga sukat, ang problema sa pagbuo ng Cauchy matrix ay madalas na nakatagpo. Ikinokonekta ng matrix na ito ang mga phase vector ng system, na itinalaga sa iba't ibang sandali ng oras, sa sarili nitong paggalaw.

Sa seksyong ito, lilimitahan natin ang ating sarili sa pagsasaalang-alang ng mga isyung nauugnay sa pagbuo ng Cauchy matrix para sa modelo ng ebolusyon, na nakasulat sa anyo ng isang sistema ng mga ordinaryong equation ng kaugalian (linear o nonlinear).

kung saan ang sumusunod na notasyon ay ginagamit para sa proportionality matrice na binuo sa paligid ng reference trajectory , :

; .

Simulation ng Pagsukat

Ang problema ay lumitaw kapag, halimbawa, kapag tinatasa ang potensyal na matamo na katumpakan ng isang pamamaraan sa isang partikular na gawain, wala kang anumang mga resulta ng pagsukat. Sa kasong ito, ang mga resulta ng pagsukat ay kailangang gayahin. Ang kakaiba ng mga resulta ng pagsukat ng pagmomodelo ay ang mga modelo ng paggalaw at pagsukat na ginamit para sa layuning ito ay maaaring hindi tumutugma sa mga modelong gagamitin mo kapag gumagawa ng mga pagtatantya gamit ang isa o ibang paraan ng pag-filter.

Ang mga tunay na halaga ng mga coordinate ng vector na ito ay dapat gamitin bilang mga paunang kondisyon para sa pagmomodelo ng ebolusyon ng phase vector ng isang dynamic na sistema. Bukod sa lugar na ito, ang tunay na coordinate ng phase vector ng system ay hindi dapat gamitin kahit saan pa.

Numerical na pamamaraan

Espesyal na katangian

Random na mga vector

Ang problema, ang solusyon kung saan ay inilarawan sa subsection na ito, ay binubuo sa pagmomodelo ng isang vector ng Gaussian random variable na nauugnay sa bawat isa.

Hayaang mabuo ang random vector na imodelo batay sa pagbabago ng isang vector ng karaniwang uncorrelated na random variable ng naaangkop na dimensyon tulad ng sumusunod: na may katumpakan na 4 na digit, batay sa pagpapalawak sa serye sa mga kapangyarihan ng argument para sa tatlong pagitan nito.

Kapag ang kabuuan ng asymptotic series ay naging halos katumbas ng 1.