Как складывать и вычитать с разными знаками. Сложение чисел с разными знаками, правило, примеры

27.09.2019

Сумма отрицательных чисел есть число отрицательное. Модуль суммы равен сумме модулей слагаемых .

Давайте разберемся, почему же сумма отрицательных чисел будет тоже отрицательным числом. Поможет нам в этом координатная прямая, на которой мы выполним сложение чисел -3 и -5. Отметим на координатной прямой точку, соответствующее числу -3.

К числу -3 нам нужно прибавить число -5. Куда мы пойдем от точки, соответствующей числу -3? Правильно, влево! На 5 единичных отрезков. Отмечаем точку и пишем число ей соответствующее. Это число -8.

Итак, при выполнении сложения отрицательных чисел с помощью координатной прямой мы все время находимся слева от начала отсчета, поэтому, понятно, что результат сложения отрицательных чисел есть число тоже отрицательное.

Примечание. Мы складывали числа -3 и -5, т.е. находили значение выражения -3+(-5). Обычно при сложении рациональных чисел просто записывают эти числа с их знаками, как бы перечисляют все числа, которые нужно сложить. Такую запись называют алгебраической суммой. Применяют (в нашем примере) запись: -3-5=-8.

Пример. Найти сумму отрицательных чисел: -23-42-54. (Согласитесь, что эта запись короче и удобнее вот такой: -23+(-42)+(-54))?

Решаем по правилу сложения отрицательных чисел: складываем модули слагаемых: 23+42+54=119. Результат будет со знаком «минус».

Записывают обычно так: -23-42-54=-119.

Сложение чисел с разными знаками.

Сумма двух чисел с разными знаками имеет знак слагаемого с большим модулем. Чтобы найти модуль суммы, нужно из большего модуля вычесть меньший .

Выполним сложение чисел с разными знаками с помощью координатной прямой.

1) -4+6. Требуется к числу -4 прибавить число 6. Отметим число -4 точкой на координатной прямой. Число 6 — положительное, значит от точки с координатой -4 нам нужно идти вправо на 6 единичных отрезков. Мы оказались справа от начала отсчета (от нуля) на 2 единичных отрезка.

Результат суммы чисел -4 и 6 — это положительное число 2:

— 4+6=2. Как можно было получить число 2? Из 6 вычесть 4, т.е. из большего модуля вычесть меньший. У результата тот же знак, что и у слагаемого с большим модулем.

2) Вычислим: -7+3 с помощью координатной прямой. Отмечаем точку, соответствующую числу -7. Идем вправо на 3 единичных отрезка и получаем точку с координатой -4. Мы были и остались слева от начала отсчета: ответ — отрицательное число.

— 7+3=-4. Этот результат мы могли получить так: из большего модуля вычли меньший, т.е. 7-3=4. В результате поставили знак слагаемого, имеющего больший модуль: |-7|>|3|.

Примеры. Вычислить: а) -4+5-9+2-6-3; б) -10-20+15-25.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ

чисел с разными знаками

Добиться того, чтобы ученик за меньшее, чем прежде, время овладел большим объемом знаний, основательных и действенных - такова одна из главных задач современной педагогики. В этой связи появляется необходимость начинать изучение нового через повторение старого, уже изученного, известного по данной теме материала. Чтобы повторение проходило быстро и для того, чтобы была наиболее наглядной связь нового со старым, надо при объяснении организовать запись изучаемого материала специальным образом.

В качестве примера расскажу о том, как я обучаю учеников сложению и вычитанию чисел с разными знаками с помощью координатной прямой. Перед изучением темы непосредственно и на протяжении уроков в 5-м и 6-м классах уделяю много внимания устройству координатной прямой. До начала изучения темы «Сложение и вычитание чисел с разными знаками» необходимо, чтобы каждый ученик твердо знал и умел ответить на следующие вопросы:

1) Как устроена координатная прямая?

2) Как располагаются на ней числа?

3) Чему равно расстояние от числа 0 до любого числа?

Учащиеся должны понимать, что движение вдоль прямой вправо приводит к увеличению числа, т.е. выполняется действие сложения, а влево - к его уменьшению, т.е. выполняется действие вычитания чисел. Чтобы работа с координатной прямой не вызывала скуки, существует много игровых нестандартных задач. Например, такая.

Вдоль шоссе начерчена прямая. Длина одного единичного отрезка равна 2 м. все двигаются только вдоль прямой. На числе 3 стоят Гена и Чебурашка. Они одновременно пошли в разные стороны и одновременно остановились. Гена прошел в 2 раза большее расстояние, чем Чебурашка, и оказался на числе 11. На каком числе оказался Чебурашка? Сколько Чебурашка прошел метров? Кто из них шел медленнее и во сколько раз? (Нестандартная математика в школе. - М., Лайда, 1993, № 62).

Когда я твердо уверена, что все ученики справляются с движениями вдоль прямой, а это очень важно, перехожу непосредственно к обучению сложению и вычитанию чисел одновременно.

Каждому учащемуся выдается опорный конспект. Разбирая положения конспекта и опираясь на уже имеющиеся геометрические наглядные картинки координатной прямой, учащиеся получают новые знания. (Конспект приведен на рисунке). Изучение темы начинается с записи в тетради вопросов, которые будут рассмотрены.

1 . Как выполнить сложение с помощью координатной прямой? Как найти неизвестное слагаемое? Рассматриваем соответствующую часть конспекта??. Вспоминаем, что к a прибавить b - это значит увеличить a на b и движение вдоль координатной прямой происходит вправо. Вспоминаем, как называются и вычисляются компоненты при сложении и законы сложения, а также свойства нуля при сложении. Это части?? и?? конспекта. Поэтому следующие вопросы, записанные в тетради, таковы:

1). Сложение - это движение вправо.

СЛ. + СЛ. = С; СЛ. = С - СЛ.

2). Законы сложения:

1) переместительный закон: a + b = b + a ;

2) сочетательный закон: (a + b ) + c = a + (b + c ) = (a + c ) + b

3). Свойства нуля при сложении: a + 0= a ; 0+ a = a ; a + (- a ) = 0.

4). Вычитание - это движение влево.

У. - В. = Р.; У. = В. + Р.; В. = У. - Р.

5). Сложение можно заменить вычитанием, а вычитание - сложением.

4 + 3 = - 1 3 - 4 = -1

4 + 3 = 3 + (- 4) = 3 - 4 = - 1

по переместительному закону сложения

6). Так раскрывают скобки:

+ (a + b + c ) = + a + b + c

«джентельмен»

- (a + b + c) = - a - b - c

«разбойник»

2 . Законы сложения.

3 . Перечислите свойства нуля при сложении.

4 . Как выполнить с помощью координатной прямой вычитание чисел? Правила нахождения неизвестных вычитаемого, уменьшаемого.

5 . Как выполняется переход от сложения к вычитанию и от вычитания к сложению?

6 . Как раскрыть скобки, перед которыми стоит: а) знак плюс; б) знак минус?

Теоретический материал довольно объемен, но так как каждая его часть связана и как бы «вытекает» одна из другой, запоминание происходит успешно. Работа с конспектом на этом не заканчивается. С каждой частью конспекта соотносится текст учебника, который прочитывается в классе. Если после этого ученик считает, что разбираемая часть ему полностью понятна, то он слегка закрашивает текст конспекта в соответствующую рамочку, как бы говоря: «Это я понял». Если же есть что-то непонятное, то рамочка не закрашивается до тех пор, пока не станет все ясно. Белая часть конспекта - сигнал «Разберись!»

Цель учителя, которую следует достичь к концу урока, такова: учащиеся, уходя с урока, должны помнить, что сложение - это движение вдоль координатной прямой вправо, а вычитание - влево. Все ученики научились раскрывать скобки. Раскрытию скобок уделяется все оставшееся время урока. Устно и письменно раскрываем скобки в заданиях типа:

				); - 20 + (- 7 + (- 5)).

Задание на дом. Ответьте на записанные в тетради вопросы, читая пункты учебника, указанные в конспекте.

На следующем уроке отрабатываем алгоритм сложения и вычитания чисел. У каждого учащегося на столе карта с инструкциями:

1) Спишите пример.

2) Раскройте, если они есть, скобки.

3) Нарисуйте координатную прямую.

4) Отметьте на ней без масштаба первое число.

5) Если за числом стоит знак «+», то двигайтесь вправо, а если знак «-» - то влево на столько единичных отрезков, сколько их содержит второе слагаемое. Нарисуйте это схематически и около числа, которое ищете, поставьте знак?

6) Поставьте вопрос «Где нуль?».

7) Определите знак числа, у которого стоит вопросительный знак, являющегося решением, так: если? стоит справа от 0, то у ответа знак +, а если? стоит слева от 0, то у ответа знак - . Запишите в ответе примера после знака = найденный знак.

8) Отметьте на чертеже три отрезка.

9) Найдите длину отрезка от нуля до знака?

Пример 1. - 35 + (- 9) = - 35 - 9 = - 44.

1. Списываю пример и раскрываю скобки.

2. Рисую картинку и рассуждаю так:

а) отмечаю - 35 и двигаюсь влево на 9 единичных отрезков; у искомого числа ставлю знак?;

б) спрашиваю себя: «Где нуль?». Отвечаю: «Нуль правее - 35 на 35 единичных отрезков, значит, знак у ответа -, так как? левее нуля»;

в) ищу расстояние от 0 до знака?. Для этого вычисляю 35 + 9 = 44 и приписываю полученное число в ответ к знаку - .

Пример 2. - 35 + 9.

Пример 3. 9 - 35.

Эти примеры решаем, проводя аналогичные примеру 1 рассуждения. Других случаев расположения чисел быть не может, и каждая картинка соответствует одному из правил, приведенных в учебнике и требующих запоминания. Проверено (и неоднократно), что данный способ сложения более рационален. Кроме того, он позволяет складывать числа даже тогда, когда ученик думает, что он ни одного правила не помнит. Данный способ работает и при действиях с дробями, нужно лишь привести их к общему знаменателю, а затем рисовать картинку. Например,

«Инструктивной» карточкой каждый пользуется до тех пор, пока в ней есть необходимость.

Такая работа заменяет нудное и однообразное действие счета по правилам живой и активно работающей мысли. Преимуществ множество: не надо зубрить и лихорадочно соображать, какое правило применять; легко запоминается устройство координатной прямой, а это и в алгебре, и в геометрии при вычислении величины отрезка, когда точка на прямой лежит между двумя другими точками. Эта методика эффективна как в классах с углубленным изучением математики, так и в классах возрастной нормы и даже в классах коррекции.

В этом уроке мы изучим сложение и вычитание целых чисел , а также правила для их сложения и вычитания.

Напомним, что целые числа — это все положительные и отрицательные числа, а также число 0. Например, следующие числа являются целыми:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Положительные числа легко , и . К сожалению, этого нельзя сказать об отрицательных числах, которые смущают многих новичков своими минусами перед каждой цифрой. Как показывает практика, ошибки сделанные из-за отрицательных чисел, расстраивают обучающихся больше всего.

Содержание урока

Примеры сложения и вычитания целых чисел

Первое чему следует научиться, это складывать и вычитать целые числа с помощью координатной прямой. Совсем необязательно рисовать координатную прямую. Достаточно воображать её в своих мыслях и видеть, где располагаются отрицательные числа, и где положительные.

Рассмотрим простейшее выражение: 1 + 3. Значение данного выражения равно 4:

Этот пример можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1, нужно сдвинуться вправо на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 4. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак плюса в выражении 1 + 3 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

Пример 2. Найдём значение выражения 1 − 3.

Значение данного выражения равно −2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается число 1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −2. На рисунке можно увидеть, как это происходит:

Знак минуса в выражении 1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.

Вообще, надо запомнить, что если осуществляется сложение, то нужно двигаться вправо в сторону увеличения. Если же осуществляется вычитание, то нужно двигаться влево в сторону уменьшения.

Пример 3. Найти значение выражения −2 + 4

Значение данного выражения равно 2

Этот пример опять же можно понять с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на четыре шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается положительное число 2.

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на четыре шага, и оказались в точке, где располагается положительное число 2.

Знак плюса в выражении −2 + 4 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

Пример 4. Найти значение выражения −1 − 3

Значение данного выражения равно −4

Этот пример опять же можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −1 нужно сдвинуться влево на три шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается отрицательное число −4

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −1 в левую сторону на три шага, и оказались в точке, где располагается отрицательное число −4.

Знак минуса в выражении −1 − 3 указывает нам, что мы должны двигаться влево в сторону уменьшения чисел.

Пример 5. Найти значение выражения −2 + 2

Значение данного выражения равно 0

Этот пример можно решить с помощью координатной прямой. Для этого из точки, где располагается отрицательное число −2 нужно сдвинуться вправо на два шага. В результате мы окажемся в точке, где располагается число 0

Видно, что мы сдвинулись из точки где располагается отрицательное число −2 в правую сторону на два шага и оказались в точке, где располагается число 0.

Знак плюса в выражении −2 + 2 указывает нам, что мы должны двигаться вправо в сторону увеличения чисел.

Правила сложения и вычитания целых чисел

Чтобы сложить или вычесть целые числа, вовсе необязательно каждый раз воображать координатную прямую, и тем более рисовать её. Удобнее воспользоваться готовыми правилами.

Применяя правила, нужно обращать внимания на знак операции и знаки чисел, которые нужно сложить или вычесть. От этого будет зависеть какое правило применять.

Пример 1. Найти значение выражения −2 + 5

Здесь к отрицательному числу прибавляется положительное число. Другими словами, осуществляется сложение чисел с разными знаками. −2 это отрицательное число, а 5 — положительное. Для таких случаев применяется следующее правило:

Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Итак, посмотрим какой модуль больше:

Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −2. Правило требует из большего модуля вычесть меньший. Поэтому мы должны из 5 вычесть 2, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше.

У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и будет в ответе. То есть, ответ будет положительным:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Обычно записывают покороче: −2 + 5 = 3

Пример 2. Найти значение выражения 3 + (−2)

Здесь как и в предыдущем примере, осуществляется сложение чисел с разными знаками. 3 это положительное число, а −2 — отрицательное. Обратите внимание, что число −2 заключено в скобки, чтобы сделать выражение понятнее. Это выражение намного проще для восприятия, чем выражение 3+−2.

Итак, применим правило сложения чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере, из большего модуля вычитаем меньший модуль и перед ответом ставим знак того числа, модуль которого больше:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Модуль числа 3 больше, чем модуль числа −2, поэтому мы из 3 вычли 2, и перед полученным ответом поставили знак того числа модуль, которого больше. У числа 3 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставлен в ответе. То есть, ответ положительный.

Обычно записывают покороче 3 + (−2) = 1

Пример 3. Найти значение выражения 3 − 7

В этом выражении из меньшего числа вычитается большее. Для такого случая применяется следующее правило:

Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего числа вычесть меньшее, и перед полученным ответом поставить минус.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

В этом выражении есть небольшая загвоздка. Вспомним, что знак равенства (=) ставится между величинами и выражениями тогда, когда они равны между собой.

Значение выражения 3 − 7 как мы узнали равно −4. Это означает, что любые преобразования которые мы будем совершать в данном выражении, должны быть равны −4

Но мы видим, что на втором этапе располагается выражение 7 − 3, которое не равно −4.

Чтобы исправить эту ситуацию, выражение 7 − 3 нужно взять в скобки и перед этой скобкой поставить минус:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

В этом случае равенство будет соблюдаться на каждом этапе:

После того, как выражение вычислено, скобки можно убрать, что мы и сделали.

Поэтому, чтобы быть более точным, решение должно выглядеть так:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Данное правило можно записать с помощью переменных. Выглядеть оно будет следующим образом:

a − b = − (b − a)

Большое количество скобок и знаков операций могут усложнять решение, казалось бы совсем простой задачи, поэтому целесообразнее научиться записывать такие примеры коротко, например 3 − 7 = − 4.

На самом деле сложение и вычитание целых чисел сводится только к сложению. Это означает, что если требуется осуществить вычитание чисел, эту операцию можно заменить сложением.

Итак, знакомимся с новым правилом:

Вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет противоположно вычитаемому.

Например, рассмотрим простейшее выражение 5 − 3. На начальных этапах изучения математики мы ставили знак равенства и записывали ответ:

Но сейчас мы прогрессируем в изучении, поэтому надо приспосабливаться к новым правилам. Новое правило говорит, что вычесть одно число из другого означает прибавить к уменьшаемому такое число, которое будет вычитаемому.

На примере выражения 5 − 3 попробуем понять это правило. Уменьшаемое в данном выражении это 5, а вычитаемое это 3. Правило говорит, что для того, чтобы из 5 вычесть 3 , нужно к 5 прибавить такое число, которое будет противоположно 3. Противоположное для числа 3 это число −3. Записываем новое выражение:

А как находить значения для таких выражений мы уже знаем. Это сложение чисел с разными знаками, которое мы рассмотрели ранее. Чтобы сложить числа с разными знаками, мы из большего модуля вычитаем меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того числа, модуль которого больше:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Модуль числа 5 больше, чем модуль числа −3. Поэтому мы из 5 вычли 3 и получили 2. У числа 5 модуль больше, поэтому знак этого числа и поставили в ответе. То есть ответ положителен.

Поначалу быстро заменять вычитание сложением удаётся не всем. Это связано с тем, что положительные числа записываются без знака плюс.

Например, в выражении 3 − 1 знак минуса, указывающий на вычитание, является знаком операции и не относится к единице. Единица в данном случае является положительным числом, и у неё есть свой знак плюса, но мы его не видим, поскольку плюс перед положительными числами не записывают.

А стало быть, для наглядности данное выражение можно записать следующим образом:

(+3) − (+1)

Для удобства числа со своим знаками заключают в скобки. В таком случае заменить вычитание сложением намного проще.

В выражении (+3) − (+1) в ычитаемое это число (+1), а противоположное ему число это (−1).

Заменим вычитание сложением и вместо вычитаемого (+1) записываем противоположное ему число (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

Дальнейшее вычисление не составит особого труда.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

На первый взгляд покажется, какой смысл в этих лишних телодвижениях, если можно старым добрым методом поставить знак равенства и сразу записать ответ 2. На самом деле это правило ещё не раз нас выручит.

Решим предыдущий пример 3 − 7, используя правило вычитания. Сначала приведём выражение к понятному виду, расставив каждому числу свои знаки.

У тройки знак плюса, поскольку она является положительным числом. Минус, указывающий на вычитание не относится к семёрке. У семёрки знак плюса, поскольку она является положительным числом:

Заменим вычитание сложением:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Дальнейшее вычисление не составляет труда:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Пример 7. Найти значение выражения −4 − 5

Перед нами снова операция вычитания. Эту операцию нужно заменить сложением. К уменьшаемому (−4) прибавим число, противоположное вычитаемому (+5). Противоположное число для вычитаемого (+5) это число (−5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Мы пришли к ситуации, где нужно сложить отрицательные числа. Для таких случаев применяется следующее правило:

Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули, и перед полученным ответом поставить минус.

Итак, сложим модули чисел, как от нас требует правило, и поставим перед полученным ответом минус:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Запись с модулями необходимо заключить в скобки и перед этими скобками поставить минус. Так мы обеспечим минус, который должен стоять перед ответом:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Решение для данного примера можно записать покороче:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

или ещё короче:

−4 − 5 = −9

Пример 8. Найти значение выражения −3 − 5 − 7 − 9

Приведём выражение к понятному виду. Здесь все числа, кроме числа −3 являются положительными, поэтому у них будут знаки плюса:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Заменим вычитания сложениями. Все минусы, кроме минуса, стоящего перед тройкой, поменяются на плюсы, и все положительные числа поменяются на противоположные:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Теперь применим правило сложения отрицательных чисел. Чтобы сложить отрицательные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Решение данного примера можно записать покороче:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

или ещё короче:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Пример 9. Найти значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Приведём выражение к понятному виду:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Здесь сразу две операции: сложение и вычитание. Сложение оставляем без изменения, а вычитание заменяем сложением:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Соблюдая , выполним поочерёдно каждое действие, опираясь на ранее изученные правила. Записи с модулями можно пропустить:

Первое действие:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Второе действие:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Третье действие:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Четвёртое действие:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Таким образом, значение выражения −10 + 6 − 15 + 11 − 7 равно −15

Примечание . Приводить выражение к понятному виду, заключая числа в скобки, вовсе необязательно. Когда происходит привыкание к отрицательным числам, это действие можно пропустить, поскольку оно отнимает время и может запутать.

Итак, для сложения и вычитания целых чисел необходимо запомнить следующие правила:

Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

На этом уроке мы узнаем, что такое отрицательное число и какие числа называются противоположными. Также научимся складывать отрицательные и положительные числа (числа с разными знаками) и разберём несколько примеров сложения чисел с разными знаками.

Посмотрите на эту шестеренку (см. рис. 1).

Рис. 1. Шестеренка часов

Это не стрелка, которая непосредственно показывает время и не циферблат (см. рис. 2). Но без этой детали часы не работают.

Рис. 2. Шестеренка внутри часов

А что обозначает буква Ы? Ничего, кроме звука Ы. Но без нее не будут «работать» многие слова. Например, слово «мЫшь». Так и отрицательные числа: они не показывают никакого количества, но без них механизм вычислений был бы существенно труднее.

Мы знаем, что сложение и вычитание равноправные операции, и их можно выполнять в любом порядке. В записи в прямом порядке мы можем посчитать: , а начать с вычитания нет, так как мы не договорились еще, а что же такое .

Понятно, что увеличить число на , а потом уменьшить на означает в итоге уменьшение на три. Почему бы так и не обозначить этот объект и так и считать: прибавить - значит вычесть . Тогда .

Число может означать, например, яблока. Новое число не обозначает никакого реального количества. Само по себе оно ничего не означает, как буква Ы. Это просто новый инструмент для упрощения вычислений.

Назовем новые числа отрицательными . Теперь мы можем вычитать из меньшего числа большее. Технически всё равно нужно вычесть из большего числа меньшего, но в ответе поставить знак минус: .

Рассмотрим ещё один пример: . Можно сделать все действия подряд: .

Однако из первого числа легче вычесть третье, а потом прибавить второе число:

Отрицательные числа можно определить и по-другому.

Для каждого натурального числа, например , введем новое число, которое обозначим , и определим, что оно обладает следующим свойством: сумма числа и равна : .

Число будем называть отрицательным, а числа и - противоположными. Таким образом, мы получили бесконечное количество новых чисел, например:

Противоположное для числа ;

Противоположное числу ;

Вычтем из меньшего числа большее: . Прибавим к данному выражению : . Получили ноль. Однако согласно свойству: число, которое в сумме с пятью дает ноль, обозначается минус пять : . Следовательно, выражение можно обозначить как .

У каждого положительного числа существует число-близнец, которое отличается только тем, что перед ним стоит знак минус Такие числа называются противоположными (см. рис. 3).

Рис. 3. Примеры противоположных чисел

Свойства противоположных чисел

1. Сумма противоположных чисел равна нулю: .

2. Если из нуля вычесть положительное число, то результатом будет противоположное отрицательное число: .

1. Оба числа могут быть положительными, и складывать их мы уже умеем: .

2. Оба числа могут быть отрицательными.

Мы уже прошли сложение таких чисел на предыдущем уроке, но убедимся, что понимаем, что с ними делать. Например: .

Чтобы эту сумму найти, складываем противоположные положительные числа и и ставим знак минус.

3. Одно число может быть положительным, а другое - отрицательным.

Прибавление отрицательного числа мы, если это нам удобно, можем заменять на вычитание положительного: .

Ещё один пример: . Опять сумму записываем как разность. Вычесть из меньшего большее число можно, вычитая из большего меньшее, но поставив знак минус.

Слагаемые можем менять местами: .

Ещё один аналогичный пример: .

Во всех случаях в итоге получается вычитание.

Чтобы коротко сформулировать эти правила, давайте вспомним еще один термин. Противоположные числа, конечно, не равны друг другу. Но было бы странно не заметить у них общего. Это общее мы назвали модулем числа . Модуль у противоположных чисел одинаковый: у положительного числа он равен самому числу, а у отрицательного - противоположному, положительному. Например: , .

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить знак минус:

Чтобы сложить отрицательное и положительное число, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль и поставить знак числа с большим модулем:

Оба числа отрицательные, следовательно, складываем их модули и ставим знак минус:

Два числа с разными знаками, следовательно, из модуля числа (больший модуль) вычитаем модуль числа и ставим знак минус (знак числа с большим модулем):

Два числа с разными знаками, следовательно, из модуля числа (больший модуль) вычитаем модуль числа и ставим знак минус (знак числа с большим модулем): .

Два числа с разными знаками, следовательно, из модуля числа (больший модуль) вычитаем модуль числа и ставим знак плюс (знак числа с большим модулем): .

У положительных и отрицательных чисел исторически разная роль.

Сначала мы ввели натуральные числа для счета предметов:

Потом мы ввели другие положительные числа - дроби, для счета нецелых количеств, частей: .

Отрицательные же числа появились как инструмент для упрощения расчетов. Не было такого, чтобы в жизни были какие-то количества, которые нам было не посчитать, и мы изобрели отрицательные числа.

То есть отрицательные числа не возникли из реального мира. Просто они оказались настолько удобными, что кое-где им нашлось применение и в жизни. Например, мы часто слышим про отрицательную температуру. При этом мы никогда не сталкиваемся с отрицательным количеством яблок. В чем же разница?

Разница в том, что в жизни отрицательные величины используют только для сравнения, но не для количеств. Если в гостинице оборудовали подвал и туда пустили лифт, то, чтобы оставить привычную нумерацию обычных этажей, может появиться минус первый этаж. Этот минус первый означает всего лишь на этаж ниже уровня земли (см. рис. 1).

Рис. 4. Минус первый и минус второй этажи

Отрицательная температура отрицательна только по сравнению с нулем, который выбрал автор шкалы Андерс Цельсий. Есть другие шкалы, и та же самая температура уже может не быть там отрицательной.

При этом мы понимаем, что невозможно поменять точку отсчета так, чтобы яблок стало не пять, а шесть. Таким образом, в жизни положительные числа используются для определения количеств ( яблок, торта).

Еще мы их используем вместо имен. Каждому телефону можно было бы дать свое имя, но количество имен ограничено, а чисел нет. Поэтому мы используем номера для телефонов. Также для упорядочивания ( век идет за веком).

Отрицательные числа в жизни используются в последнем смысле (минус первый этаж ниже нулевого и первого этажей)

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. М.: Мнемозина, 2012.
Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. «Гимназия», 2006.
Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. М.: Просвещение, 1989.
Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. М.: ЗШ МИФИ, 2011.
Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6 классов заочной школы МИФИ. М.: ЗШ МИФИ, 2011.
Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Math-prosto.ru ().
Youtube ().
School-assistant.ru ().
Allforchildren.ru ().

Домашнее задание

В данном уроке рассматривается сложение и вычитание рациональных чисел. Тема относится к категории сложных. Здесь необходимо использовать весь арсенал полученных ранее знаний.

Правила сложения и вычитания целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Напомним, что рациональными называют числа, которые могут быть представлены в виде дроби , где a – это числитель дроби, b – знаменатель дроби. При этом, b не должно быть нулём.

В данном уроке дроби и смешанные числа мы всё чаще будем называть одним общим словосочетанием — рациональные числа .

Навигация по уроку:

Пример 1. Найти значение выражения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих дробей до их вычисления:

Модуль рационального числа больше, чем модуль рационального числа . Поэтому мы из вычли . Получили ответ . Затем сократив эту дробь на 2, получили окончательный ответ .

Некоторые примитивные действия, такие как: заключение чисел в скобки и проставление модулей, можно пропустить. Данный пример вполне можно записать покороче:

Пример 2. Найти значение выражения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус, стоящий между рациональными числами и является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:

Заменим вычитание сложением. Напомним, что для этого нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:

Примечание. Заключать в скобки каждое рациональное число вовсе необязательно. Делается это для удобства, чтобы хорошо видеть какие знаки имеют рациональные числа.

Пример 3. Найти значение выражения:

В этом выражении у дробей разные знаменатели. Чтобы облегчить себе задачу, приведём эти дроби к общему знаменателю. Не будем подробно останавливаться на том, как это сделать. Если испытываете трудности, обязательно повторите урок .

После приведения дробей к общему знаменателю выражение примет следующий вид:

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Запишем решение данного примера покороче:

Пример 4. Найти значение выражения

Вычислим данное выражение в следующем : слóжим рациональные числа и , затем из полученного результата вычтем рациональное число .

Первое действие:

Второе действие:

Пример 5 . Найти значение выражения:

Представим целое число −1 в виде дроби , а смешанное число переведём в неправильную дробь:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Получили ответ .

Есть и второй способ решения. Он заключается в том, чтобы сложить отдельно целые части.

Итак, вернёмся к изначальному выражению:

Заключим каждое число в скобки. Для этого смешанное число временно :

Вычислим целые части:

(−1) + (+2) = 1

В главном выражении вместо (−1) + (+2) запишем полученную единицу:

Полученное выражение . Для этого запишем единицу и дробь вместе:

Запишем решение этим способом покороче:

Пример 6. Найти значение выражения

Переведём смешанное число в неправильную дробь. Остальную часть перепишем без изменения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Запишем решение данного примера покороче:

Пример 7. Найти значение выражение

Представим целое число −5 в виде дроби , а смешанное число переведём в неправильную дробь:

Приведём данные дроби к общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:

Таким образом, значение выражения равно .

Решим данный пример вторым способом. Вернемся к изначальному выражению:

Запишем смешанное число в развёрнутом виде. Остальное перепишем без изменений:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:

Вычислим целые части:

В главном выражении вместо запишем полученное число −7

Выражение является развёрнутой формой записи смешанного числа . Запишем число −7 и дробь вместе, образуя окончательный ответ:

Запишем это решение покороче:

Пример 8. Найти значение выражения

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Таким образом, значение выражения равно

Данный пример можно решить и вторым способом. Он заключается в том, чтобы сложить целые и дробные части по отдельности. Вернёмся к изначальному выражению:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус. Но в этот раз слóжим по отдельности целые части (−1 и −2), и дробные и

Запишем это решение покороче:

Пример 9. Найти выражения выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Заключим рациональное число в скобки вместе своим знаком. Рациональное число в скобки заключать не нужно, поскольку оно уже в скобках:

Таким образом, значение выражения равно

Теперь попробуем решить этот же пример вторым способом, а именно сложением целых и дробных частей по отдельности.

В этот раз, в целях получения короткого решения, попробуем пропустить некоторые действия, такие как: запись смешанного числа в развёрнутом виде и замена вычитания сложением:

Обратите внимание, что дробные части были приведены к общему знаменателю.

Пример 10. Найти значение выражения

Заменим вычитание сложением:

В получившемся выражении нет отрицательных чисел, которые являются основной причиной допущения ошибок. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вычитаемым, а также убрать скобки:

Получилось простейшее выражение, которое вычисляется легко. Вычислим его любым удобным для нас способом:

Пример 11. Найти значение выражения

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Пример 12. Найти значение выражения

Выражение состоит из нескольких рациональных чисел. Согласно , в первую очередь необходимо выполнить действия в скобках.

Сначала вычислим выражение , затем выражение Полученные результаты слóжим.

Первое действие:

Второе действие:

Третье действие:

Ответ: значение выражения равно

Пример 13. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Заключим рациональное число в скобки вместе со своим знаком. Рациональное число заключать в скобки не нужно, поскольку оно уже в скобках:

Приведём данные дроби в общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Таким образом, значение выражения равно

Рассмотрим сложение и вычитание десятичных дробей, которые тоже относятся к рациональным числам и которые могут быть как положительными, так и отрицательными.

Пример 14. Найти значение выражения −3,2 + 4,3

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к десятичной дроби 4,3. У этой десятичной дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы его запишем для наглядности:

(−3,2) + (+4,3)

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих десятичных дробей до их вычисления:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2 поэтому мы из 4,3 вычли 3,2. Получили ответ 1,1. Ответ положителен, поскольку перед ответом должен стоять знак того рационального числа, модуль которого больше. А модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2

Таким образом, значение выражения −3,2 + (+4,3) равно 1,1

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Пример 15. Найти значение выражения 3,5 + (−8,3)

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере из большего модуля вычитаем меньший и перед ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Таким образом, значение выражения 3,5 + (−8,3) равно −4,8

Этот пример можно записать покороче:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Пример 16. Найти значение выражения −7,2 + (−3,11)

Это сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус.

Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Таким образом, значение выражения −7,2 + (−3,11) равно −10,31

Этот пример можно записать покороче:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Пример 17. Найти значение выражения −0,48 + (−2,7)

Это сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Пример 18. Найти значение выражения −4,9 − 5,9

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус который располагается между рациональными числами −4,9 и 5,9 является знаком операции и не относится к числу 5,9. У этого рационального числа свой знак плюса, который невидим по причине того, что он не записывается. Но мы запишем его для наглядности:

(−4,9) − (+5,9)

Заменим вычитание сложением:

(−4,9) + (−5,9)

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Таким образом, значение выражения −4,9 − 5,9 равно −10,8

−4,9 − 5,9 = −10,8

Пример 19. Найти значение выражения 7 − 9,3

Заключим в скобки каждое число вместе со своими знаками

(+7) − (+9,3)

Заменим вычитание сложением

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Таким образом, значение выражения 7 − 9,3 равно −2,3

Запишем решение этого примера покороче:

7 − 9,3 = −2,3

Пример 20. Найти значение выражения −0,25 − (−1,2)

Заменим вычитание сложением:

−0,25 + (+1,2)

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед ответом поставим знак того числа, модуль которого больше:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Запишем решение этого примера покороче:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Пример 21. Найти значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1)

Выполним действия в скобках, затем слóжим полученный ответ с числом −3,5

Первое действие:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Второе действие:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Ответ: значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1) равно −6,5.

Пример 22. Найти значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)

Выполним действия в скобках. Затем из числа, которое получилось в результате выполнения первых скобок, вычтем число, которое получилось в результате выполнения вторых скобок:

Первое действие:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Второе действие:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Третье действие

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Ответ: значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) равно 6.

Пример 23. Найти значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Заключим в скобки каждое рациональное число вместе со своими знаками

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Выражение состоит из нескольких слагаемых. Согласно сочетательному закону сложения, если выражение состоит из нескольких слагаемых, то сумма не будет зависеть от порядка действий. Это значит, что слагаемые можно складывать в любом порядке.

Не будем изобретать велосипед, а слóжим все слагаемые слева направо в порядке их следования:

Первое действие:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Второе действие:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Третье действие:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Ответ: значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 равно 1.

Пример 24. Найти значение выражения

Переведём десятичную дробь −1,8 в смешанное число. Остальное перепишем без изменения: